Bir üçgenin orta çizgisi nedir? Sağ üçgen

Bir yamuğun orta çizgisi ve özellikle onun özellikleri, geometride problemleri çözmek ve belirli teoremleri kanıtlamak için sıklıkla kullanılır.

sadece 2 kenarı birbirine paralel olan bir dörtgendir. Paralel kenarlara taban denir (Şekil 1'de - Reklam Ve M.Ö.), diğer ikisi yanaldır (şekilde AB Ve CD).

Yamuğun orta çizgisi kenarlarının orta noktalarını birleştiren bir segmenttir (Şekil 1'de - KL).

Bir yamuğun orta çizgisinin özellikleri

Yamuk orta hat teoreminin kanıtı

Kanıtlamak Bir yamuğun orta çizgisinin tabanlarının toplamının yarısına eşit olması ve bu tabanlara paralel olmasıdır.

Bir yamuk verildiğinde ABCD orta hat ile KL. Söz konusu özellikleri kanıtlamak için noktalardan düz bir çizgi çizmek gerekir. B Ve L. Şekil 2'de bu düz bir çizgidir BQ. Ve ayrıca temele devam edin Reklamçizgiyle kesiştiği noktaya BQ.

Ortaya çıkan üçgenleri düşünün L.B.C. Ve LQD:

Orta hattın tanımı gereği KL nokta L segmentin orta noktasıdır CD. Şunu takip ediyor: segmentler C.L. Ve LD eşittir.
∠BLC = ∠QLDçünkü bu açılar dikeydir.
∠BCL = ∠LDQ, bu açılar paralel doğrular üzerinde çapraz olarak uzandığı için Reklam Ve M.Ö. ve sekant CD.

Bu 3 eşitlikten, daha önce ele alınan üçgenlerin L.B.C. Ve LQD 1 tarafta ve iki bitişik açıda eşit (bkz. Şekil 3). Buradan, ∠LBC = ∠ LQD, BC=DQ ve en önemli şey - BL=LQ => KL yamuğun orta çizgisi olan ABCD, aynı zamanda üçgenin orta çizgisidir ABQ. Üçgenin orta çizgisinin özelliğine göre ABQ alıyoruz.

Bazen okulda anlatılan konular ilk seferde her zaman anlaşılır olmayabilir. Bu özellikle matematik gibi bir konu için geçerlidir. Ancak bu bilim iki kısma ayrılmaya başladığında her şey çok daha karmaşık hale gelir: cebir ve geometri.

Her öğrenci iki alandan birinde yeteneğe sahip olabilir ancak özellikle ilkokul sınıflarında hem cebirin hem de geometrinin temellerini anlamak önemlidir. Geometride ana konulardan birinin üçgenlerle ilgili bölüm olduğu düşünülmektedir.

Üçgenin orta çizgisi nasıl bulunur? Hadi çözelim.

Temel konseptler

Başlangıç olarak, bir üçgenin orta çizgisinin nasıl bulunacağını anlamak için bunun ne olduğunu anlamak önemlidir.

Orta çizginin çizilmesinde herhangi bir kısıtlama yoktur: üçgen herhangi bir şey olabilir (ikizkenar, eşkenar, dikdörtgen). Ve orta çizgiye ilişkin tüm özellikler geçerli olacaktır.

Bir üçgenin orta çizgisi, iki kenarının orta noktalarını birleştiren bir segmenttir. Bu nedenle herhangi bir üçgende bu tür 3 çizgi bulunabilir.

Özellikler

Bir üçgenin orta çizgisinin nasıl bulunacağını bilmek için, hatırlanması gereken özelliklerini belirleyelim, aksi takdirde, elde edilen tüm verilerin kanıtlanması gerektiğinden, orta çizginin uzunluğunu belirleme ihtiyacı ile problemleri çözmek imkansız olacaktır. ve teoremler, aksiyomlar veya özelliklerle tartışıldı.

Dolayısıyla “ABC üçgeninin orta çizgisi nasıl bulunur?” sorusunu cevaplamak için üçgenin kenarlarından birini bilmek yeterlidir.

Bir örnek verelim

Resme bir göz atın. Orta çizgi DE olan ABC üçgenini gösterir. Üçgenin AC tabanına paralel olduğuna dikkat edin. Bu nedenle, AC'nin değeri ne olursa olsun, ortalama DE çizgisi yarısı kadar büyük olacaktır. Örneğin, AC=20, DE=10 anlamına gelir, vb.

Bu basit yöntemlerle bir üçgenin orta çizgisini nasıl bulacağınızı anlayabilirsiniz. Temel özelliklerini ve tanımını hatırlayın, o zaman anlamını bulmakta asla sorun yaşamayacaksınız.

Üçgenin orta çizgisi

Özellikler

Üçgenin orta çizgisi üçüncü kenara paralel ve yarısına eşittir.
üç orta çizginin tamamı çizildiğinde, orijinaline benzer (hatta homotetik) 1/2 katsayılı 4 eşit üçgen oluşur.
orta çizgi buna benzer bir üçgeni kesiyor ve alanı orijinal üçgenin alanının dörtte birine eşit.

Dörtgenin orta çizgisi

Dörtgenin orta çizgisi- Bir dörtgenin karşılıklı kenarlarının orta noktalarını birleştiren bir bölüm.

Özellikler

İlk çizgi 2 karşı tarafı birbirine bağlar. İkincisi diğer 2 karşı tarafı birbirine bağlar. Üçüncüsü iki köşegenin merkezlerini birbirine bağlar (tüm dörtgenlerin kesişen merkezleri yoktur)

Dışbükey bir dörtgende orta çizgi, dörtgenin köşegenleriyle eşit açılar oluşturuyorsa, köşegenler eşittir.
Bir dörtgenin orta çizgisinin uzunluğu, diğer iki kenarın toplamının yarısından azdır veya bu kenarların paralel olması durumunda ona eşittir ve yalnızca bu durumda.
Rastgele bir dörtgenin kenarlarının orta noktaları bir paralelkenarın köşeleridir. Alanı dörtgenin alanının yarısına eşittir ve merkezi orta çizgilerin kesişme noktasında yer alır. Bu paralelkenara Varignon paralelkenarı denir;
Bir dörtgenin orta çizgilerinin kesişme noktası ortak orta noktasıdır ve köşegenlerin orta noktalarını birleştiren parçayı ikiye böler. Ayrıca dörtgenin köşelerinin ağırlık merkezidir.
Rastgele bir dörtgende orta çizginin vektörü taban vektörlerinin toplamının yarısına eşittir.

Yamuğun orta çizgisi

Yamuğun orta çizgisi- bu yamuğun kenarlarının orta noktalarını birleştiren bir segment. Yamuğun tabanlarının orta noktalarını birleştiren parçaya yamuğun ikinci orta çizgisi denir.

Özellikler

orta çizgi tabanlara paralel ve yarı toplamlarına eşittir.

Ayrıca bakınız

Notlar

Wikimedia Vakfı. 2010.

Diğer sözlüklerde “Orta Hat” ın ne olduğuna bakın:

ORTA HAT- (1) yamuğun yan kenarlarının orta noktalarını birleştiren bir yamuk parçası. Yamuğun orta çizgisi tabanlarına paraleldir ve yarı toplamlarına eşittir; (2) bir üçgenin, bu üçgenin iki kenarının orta noktalarını birleştiren bir doğru parçası: bu durumda üçüncü kenar... ... Büyük Politeknik Ansiklopedisi

Bir üçgen (yamuk), bir üçgenin iki tarafının (yamuğun kenarları) orta noktalarını birleştiren bir segmenttir... Büyük Ansiklopedik Sözlük

orta hat- 24 merkez çizgisi: Omuz kalınlığı oluğun genişliğine eşit olacak şekilde diş profilinden geçen hayali bir çizgi. Kaynak … Normatif ve teknik dokümantasyon açısından sözlük referans kitabı

Üçgen (yamuk), üçgenin iki tarafının orta noktalarını (yamuk kenarları) birleştiren bir parça. * * * ORTA ÇİZGİ Bir üçgenin (yamuk) ORTA ÇİZGİSİ, üçgenin iki tarafının orta noktalarını (yamuğun yan kenarları) birleştiren bir doğru parçası ... ansiklopedik sözlük

orta hat- tenis kortu, 3 mm tenis kortu ve spor apibrėžtis, paviršių išilgai pusiau oldu. atitikmenys: ingilizce. merkez çizgisi; orta hat hattı vok. Mittellinie, kusura bakma. orta çizgi...Spor terminų žodynas

orta hat- Linija'nın kültürel durumu ve spor apibrėžtis Linija, dalijanti fechtavimosi kovos takelį į dvi lygias dalis. atitikmenys: ingilizce. merkez çizgisi; orta hat hattı vok. Mittellinie, kusura bakma. orta çizgi...Spor terminų žodynas

orta hat- Linija'nın durumu T sritis Kuno kultura ve sportas apibrėžtis Linija, spor dalijanti aikšt(el)ę siau. atitikmenys: ingilizce. merkez çizgisi; orta hat hattı vok. Mittellinie, kusura bakma. orta çizgi...Spor terminų žodynas

1) S. l. üçgen, bir üçgenin iki kenarının orta noktalarını birleştiren doğru parçasına (üçüncü kenara taban denir). S. l. üçgenin uzunluğu tabana paralel ve yarısına eşittir; c'nin onu böldüğü üçgenin parçalarının alanı. ben... ... Büyük Sovyet Ansiklopedisi

Üçgenin iki tarafının orta noktalarını birleştiren bir üçgen parçası. Üçgenin üçüncü kenarına denir üçgenin tabanı. S. l. Bir üçgenin uzunluğu tabana paralel ve uzunluğunun yarısına eşittir. Herhangi bir üçgende S. l. ...'den kesiliyor. Matematik Ansiklopedisi

Üçgen (yamuk), üçgenin iki tarafının orta noktalarını (yamuk kenarları) birleştiren bir parça ... Doğal bilim. ansiklopedik sözlük

Kitabın

Tükenmez kalem "Jotter Luxe K177 West M" (mavi) (1953203), . Hediye kutusunda tükenmez kalem. Mektup rengi: mavi. Hat: orta. Fransa'da yapıldı...

Üçgenin orta çizgisi kavramı

Üçgenin orta çizgisi kavramını tanıtalım.

Tanım 1

Bu, bir üçgenin iki tarafının orta noktalarını birleştiren bir segmenttir (Şekil 1).

Şekil 1. Üçgenin orta çizgisi

Üçgen Orta Hat Teoremi

Teorem 1

Bir üçgenin orta çizgisi kenarlarından birine paralel ve yarısına eşittir.

Kanıt.

Bize $ABC$ üçgeni verilsin. $MN$ orta çizgidir (Şekil 2'deki gibi).

Şekil 2. Teorem 1'in Gösterimi

$\frac(AM)(AB)=\frac(BN)(BC)=\frac(1)(2)$ olduğundan, $ABC$ ve $MBN$ üçgenleri, üçgenlerin benzerliğine ilişkin ikinci kritere göre benzerdir . Araç

Ayrıca $\angle A=\angle BMN$ sonucu çıkar, bu da $MN||AC$ anlamına gelir.

Teorem kanıtlandı.

Üçgen orta hat teoreminin sonuçları

Sonuç 1: Bir üçgenin kenarortayları bir noktada kesişir ve tepe noktasından başlayarak $2:1$ oranında kesişme noktasına bölünür.

Kanıt.

$ABC$ üçgenini düşünün; burada $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ onun medyanlarıdır. Medyanlar kenarları ikiye böldüğü için. Ortadaki $A_1B_1$ çizgisini ele alalım (Şekil 3).

Şekil 3. Sonuç 1'in Gösterimi

Teorem 1'e göre $AB||A_1B_1$ ve $AB=2A_1B_1$, dolayısıyla $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Bu, $ABM$ ve $A_1B_1M$ üçgenlerinin, üçgenlerin benzerliğine ilişkin ilk kritere göre benzer olduğu anlamına gelir. Daha sonra

Benzer şekilde, kanıtlanmıştır ki

Teorem kanıtlandı.

Sonuç 2:Üçgenin ortadaki üç çizgisi, onu $k=\frac(1)(2)$ benzerlik katsayısına sahip orijinal üçgene benzer 4 üçgene böler.

Kanıt.

Orta çizgisi $A_1B_1,\ (\ A)_1C_1,\ B_1C_1$ olan bir $ABC$ üçgenini düşünün (Şekil 4)

Şekil 4. Sonuç 2'nin Gösterimi

$A_1B_1C$ üçgenini düşünün. $A_1B_1$ orta çizgi olduğundan, o zaman

$C$ açısı bu üçgenlerin ortak açısıdır. Sonuç olarak, $A_1B_1C$ ve $ABC$ üçgenleri, benzerlik katsayısı $k=\frac(1)(2)$ olan üçgenlerin benzerliğine ilişkin ikinci kritere göre benzerdir.

Benzer şekilde, $A_1C_1B$ ve $ABC$ üçgenleri ile $C_1B_1A$ ve $ABC$ üçgenlerinin $k=\frac(1)(2)$ benzerlik katsayısıyla benzer oldukları kanıtlanmıştır.

$A_1B_1C_1$ üçgenini düşünün. $A_1B_1,\ (\A)_1C_1,\ B_1C_1$ üçgenin orta çizgileri olduğundan, o zaman

Bu nedenle, üçgenlerin benzerliğine ilişkin üçüncü kritere göre, $A_1B_1C_1$ ve $ABC$ üçgenleri $k=\frac(1)(2)$ benzerlik katsayısıyla benzerdir.

Teorem kanıtlandı.

Üçgenin orta çizgisi kavramına ilişkin problem örnekleri

örnek 1

Kenarları 16$ cm, 10$ cm ve 14$ cm olan bir üçgen verildiğinde, köşeleri bu üçgenin kenarlarının orta noktalarında bulunan üçgenin çevresini bulun.

Çözüm.

İstenilen üçgenin köşeleri verilen üçgenin kenarlarının orta noktalarında bulunduğundan, kenarları orijinal üçgenin orta çizgileridir. Sonuç 2'ye göre, istenen üçgenin kenarlarının $8$ cm, $5$ cm ve $7$ cm'ye eşit olduğunu buluyoruz.

Cevap:$20$ bkz.

Örnek 2

Verilen bir $ABC$ üçgeni. $N\ ve\ M$ noktaları sırasıyla $BC$ ve $AB$ kenarlarının orta noktalarıdır (Şekil 5).

Şekil 5.

$BMN=14$ cm üçgeninin çevresi $ABC$ üçgeninin çevresini bulun.

Çözüm.

$N\ ve\ M$, $BC$ ve $AB$ kenarlarının orta noktaları olduğundan, $MN$ orta çizgidir. Araç

Teorem 1'e göre $AC=2MN$. Şunu elde ederiz:

Üçgenin orta çizgisi

Özellikler

Üçgenin orta çizgisi üçüncü kenara paralel ve yarısına eşittir.
üç orta çizginin tamamı çizildiğinde, orijinaline benzer (hatta homotetik) 1/2 katsayılı 4 eşit üçgen oluşur.
orta çizgi buna benzer bir üçgeni kesiyor ve alanı orijinal üçgenin alanının dörtte birine eşit.

Dörtgenin orta çizgisi

Dörtgenin orta çizgisi- Bir dörtgenin karşılıklı kenarlarının orta noktalarını birleştiren bir bölüm.

Özellikler

Dışbükey bir dörtgende orta çizgi, dörtgenin köşegenleriyle eşit açılar oluşturuyorsa, köşegenler eşittir.
Bir dörtgenin orta çizgisinin uzunluğu, diğer iki kenarın toplamının yarısından azdır veya bu kenarların paralel olması durumunda ona eşittir ve yalnızca bu durumda.
Rastgele bir dörtgenin kenarlarının orta noktaları bir paralelkenarın köşeleridir. Alanı dörtgenin alanının yarısına eşittir ve merkezi orta çizgilerin kesişme noktasında yer alır. Bu paralelkenara Varignon paralelkenarı denir;
Bir dörtgenin orta çizgilerinin kesişme noktası ortak orta noktasıdır ve köşegenlerin orta noktalarını birleştiren parçayı ikiye böler. Ayrıca dörtgenin köşelerinin ağırlık merkezidir.
Rastgele bir dörtgende orta çizginin vektörü taban vektörlerinin toplamının yarısına eşittir.

Yamuğun orta çizgisi

Özellikler

orta çizgi tabanlara paralel ve yarı toplamlarına eşittir.

Ayrıca bakınız

Notlar

Wikimedia Vakfı. 2010.

Ortalama öldürücü doz
Yamuğun orta çizgisi

Diğer sözlüklerde “Orta Hat” ın ne olduğuna bakın:

ORTA HAT- bir üçgenin (yamuk), üçgenin iki tarafının orta noktalarını (yamuğun kenarları) birleştiren bir bölüm ... Büyük Ansiklopedik Sözlük

orta hat- üçgen (yamuk), üçgenin iki tarafının orta noktalarını (yamuk kenarları) birleştiren bir segment. * * * ORTA ÇİZGİ Bir üçgenin (yamuk) ORTA ÇİZGİSİ, üçgenin iki tarafının orta noktalarını (yamuğun yan kenarları) birleştiren bir doğru parçası ... ansiklopedik sözlük

orta hat- 1) S. l. üçgen, bir üçgenin iki kenarının orta noktalarını birleştiren doğru parçasına (üçüncü kenara taban denir). S. l. üçgenin uzunluğu tabana paralel ve yarısına eşittir; c'nin onu böldüğü üçgenin parçalarının alanı. ben... ... Büyük Sovyet Ansiklopedisi

ORTA HAT- Üçgenin iki tarafının orta noktalarını birleştiren bir üçgen parçası. Üçgenin üçüncü kenarına denir üçgenin tabanı. S. l. Bir üçgenin uzunluğu tabana paralel ve uzunluğunun yarısına eşittir. Herhangi bir üçgende S.l. ...'den kesiliyor. Matematik Ansiklopedisi

ORTA HAT- üçgen (yamuk), üçgenin iki tarafının orta noktalarını (yamuk kenarları) birleştiren bir segment ... Doğal bilim. ansiklopedik sözlük

Kitabın

Tükenmez kalem "Jotter Luxe K177 West M" (mavi) (1953203), . Hediye kutusunda tükenmez kalem. Mektup rengi: mavi. Hat: orta. Fransa'da yapıldı...