sin 22x'in türevi. Sinüs türevi: (sin x)′

Sinüs - sin(x)'in türevinin ispatı ve formülünün türetilmesi sunulmaktadır. Sin 2x, sinüs kare ve küp fonksiyonlarının türevlerini hesaplama örnekleri. N'inci dereceden sinüsün türevinin formülünün türetilmesi.

İçerik

Ayrıca bakınız: Sinüs ve kosinüs - özellikleri, grafikler, formüller

X'in sinüsünden x değişkenine göre türev, x'in kosinüsüne eşittir:
(günah x)' = çünkü x.

Kanıt

Sinüs türevinin formülünü türetmek için türev tanımını kullanacağız:
.

Bu sınırı bulmak için ifadeyi bilinen yasa, özellik ve kurallara indirgeyecek şekilde dönüştürmemiz gerekir. Bunu yapmak için dört özelliği bilmemiz gerekiyor.
1) İlk dikkate değer limitin anlamı şudur:
(1) ;
2) Kosinüs fonksiyonunun sürekliliği:
(2) ;
3) Trigonometrik formüller. Aşağıdaki formüle ihtiyacımız olacak:
(3) ;
4) Bir fonksiyonun limitinin aritmetik özellikleri:
Eğer ve ise, o zaman
(4) .

Bu kuralları sınırlarımıza uygulayalım. İlk önce cebirsel ifadeyi dönüştürüyoruz
.
Bunu yapmak için formülü uyguluyoruz
(3) .
Bizim durumumuzda
;
;
;
;
.

.
.

Daha sonra
.

Şimdi yerine koyma işlemini yapalım.

.

, tarihinde. İlk dikkate değer limiti (1) uygulayalım:

Aynı değişikliği yapıp süreklilik (2) özelliğini kullanalım:

Yukarıda hesaplanan limitler mevcut olduğundan, (4) özelliğini uyguluyoruz:
Sinüs türevinin formülü kanıtlanmıştır. Örnekler Sinüs içeren fonksiyonların türevlerini bulmanın basit örneklerine bakalım. Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulacağız: y = sin 2x; y=.

günah 2 x

ve y = günah 3 x.

örnek 1
Türevini bulun
günah 2x
.
Öncelikle en basit kısmın türevini bulalım:

(2x)' = 2(x)' = 2 1 = 2.

Başvuruyoruz.

Burada .
(günah 2x)' = 2 çünkü 2x. Örnekler.

Örnek 2
.
Sinüs karenin türevini bulun:
.
y=

.
Öncelikle en basit kısmın türevini bulalım:

Orijinal fonksiyonu daha anlaşılır bir biçimde yeniden yazalım:
.

En basit kısmın türevini bulalım:

Karmaşık bir fonksiyonun türevinin formülünü uyguluyoruz.
(günah 2x)' = 2 çünkü 2x. y = sin 2x; y=.

Trigonometri formüllerinden birini uygulayabilirsiniz. Daha sonra

Örnek 3 Sinüs küpün türevini bulun: Yüksek dereceli türevler
.

Türevinin

.
Öncelikle en basit kısmın türevini bulalım:

günah x Sinüs küpün türevini bulun: birinci dereceden sinüs aracılığıyla şu şekilde ifade edilebilir:
(5) .

Karmaşık bir fonksiyonun türevinin formülünü kullanarak ikinci dereceden türevi bulalım:

için formülün (5) geçerli olduğunu zaten kontrol etmiştik.

Formül (5)'in belirli bir değer için geçerli olduğunu varsayalım.

Bundan, formül (5)'in sağlandığı sonucunun çıktığını kanıtlayalım.
.
Formül (5)'i şu adrese yazalım:

.
Öncelikle en basit kısmın türevini bulalım:
Karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralını kullanarak bu denklemin türevini alıyoruz:
.
Böylece şunu bulduk:

yerine koyarsak bu formül (5) formunu alacaktır.

Formül kanıtlanmıştır.

Ayrıca bakınız:

Konuyu incelerken kolaylık ve netlik sağlamak için bir özet tablo sunuyoruz.Devamlı y = C Güç fonksiyonu y = x p	(x p) " = p x p - 1Üstel fonksiyon y = ax (a x) " = a x ln aÖzellikle ne zamana = e sahibiz y = ex
(e x) " = e x Logaritmik fonksiyon (a x) " = a x ln aÖzellikle ne zamana = e (log a x) " = 1 x ln a y = logx	(ln x) " = 1 x Trigonometrik fonksiyonlar
(sin x) " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x Ters trigonometrik fonksiyonlar	(a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2 Hiperbolik fonksiyonlar

(s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

Belirtilen tablonun formüllerinin nasıl elde edildiğini analiz edelim veya başka bir deyişle her fonksiyon tipi için türev formüllerinin türetilmesini kanıtlayalım.

Bir sabitin türevi

Kanıt 1 Bu formülü elde etmek için bir fonksiyonun bir noktadaki türevinin tanımını esas alıyoruz. x 0 = x kullanıyoruz, burada X Bu formülü elde etmek için bir fonksiyonun bir noktadaki türevinin tanımını esas alıyoruz. x 0 = x kullanıyoruz, burada herhangi bir gerçek sayının değerini alır veya başka bir deyişle,

f(x) = C fonksiyonunun tanım kümesinden herhangi bir sayıdır. Bir fonksiyonun artışının argümanın artışına oranının limitini ∆ x → 0 olarak yazalım:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Lütfen 0 ∆ x ifadesinin limit işaretinin altına düştüğüne dikkat edin. Pay sonsuz küçük bir değer içermediği için tam olarak sıfır olduğundan bu "sıfır bölü sıfır" belirsizliği değildir. Başka bir deyişle, sabit bir fonksiyonun artışı her zaman sıfırdır.

Dolayısıyla, f(x) = C sabit fonksiyonunun türevi tüm tanım kümesi boyunca sıfıra eşittir.

örnek 1

Sabit fonksiyonlar verilmiştir:

f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Çözüm Verilen koşulları açıklayalım. İlk fonksiyonda 3 doğal sayısının türevini görüyoruz. Aşağıdaki örnekte türevini almanız gerekiyor A Verilen koşulları açıklayalım. İlk fonksiyonda 3 doğal sayısının türevini görüyoruz. Aşağıdaki örnekte türevini almanız gerekiyor- herhangi bir gerçek sayı. Üçüncü örnek bize irrasyonel sayı 4'ün türevini veriyor. 13 7 22, dördüncüsü sıfırın türevidir (sıfır bir tamsayıdır). Son olarak, beşinci durumda rasyonel kesrin türevine sahibiz - 8 7.

Cevap: verilen fonksiyonların türevleri herhangi bir gerçek için sıfırdır Bu formülü elde etmek için bir fonksiyonun bir noktadaki türevinin tanımını esas alıyoruz. x 0 = x kullanıyoruz, burada(tüm tanım alanı boyunca)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Bir güç fonksiyonunun türevi

Şimdi kuvvet fonksiyonuna ve türevinin formülüne geçelim; bu form şu şekildedir: (x p) " = p x p - 1, burada üs P herhangi bir gerçek sayıdır.

Kanıt 2

Üssün doğal bir sayı olduğu formülün kanıtı: p = 1, 2, 3, …

Biz yine türevin tanımına güveniyoruz. Bir kuvvet fonksiyonunun artışının argümanın artışına oranının limitini yazalım:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Paydaki ifadeyi basitleştirmek için Newton'un binom formülünü kullanıyoruz:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p - x p = = C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Böylece:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 ( C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 · x p - 1 + 0 + .

Böylece üssün doğal sayı olduğu bir kuvvet fonksiyonunun türevinin formülünü kanıtlamış olduk.

Kanıt 3

Duruma ilişkin kanıt sağlamak için P- Sıfır dışında herhangi bir gerçek sayı için logaritmik türevi kullanırız (burada logaritmik bir fonksiyonun türevinden farkı anlamalıyız). Daha kapsamlı bir anlayışa sahip olmak için, logaritmik bir fonksiyonun türevini incelemek ve ayrıca örtülü bir fonksiyonun türevini ve karmaşık bir fonksiyonun türevini anlamak tavsiye edilir.

İki durumu ele alalım: ne zaman Bu formülü elde etmek için bir fonksiyonun bir noktadaki türevinin tanımını esas alıyoruz. x 0 = x kullanıyoruz, burada olumlu ve ne zaman Bu formülü elde etmek için bir fonksiyonun bir noktadaki türevinin tanımını esas alıyoruz. x 0 = x kullanıyoruz, burada olumsuz.

Yani x > 0. O halde: x p > 0. y = x p eşitliğini e tabanına logaritalım ve logaritmanın özelliğini uygulayalım:

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

Bu aşamada örtülü olarak belirtilen bir fonksiyon elde ettik. Türevini tanımlayalım:

(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

Şimdi durumu ele alacağız X - negatif bir sayı.

Eğer gösterge Pçift ​​sayı ise x için kuvvet fonksiyonu tanımlanır< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

O zaman xp< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Eğer P tek sayı ise x için kuvvet fonksiyonu tanımlanır< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1

Son geçiş şu sebepten dolayı mümkündür: P tek sayıdır o zaman s-1 ya çift sayı ya da sıfır (p = 1 için), dolayısıyla negatif için Bu formülü elde etmek için bir fonksiyonun bir noktadaki türevinin tanımını esas alıyoruz. x 0 = x kullanıyoruz, burada(- x) p - 1 = x p - 1 eşitliği doğrudur.

Böylece herhangi bir gerçek p için bir kuvvet fonksiyonunun türevinin formülünü kanıtlamış olduk.

Örnek 2

Verilen işlevler:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Türevlerini belirleyin.

f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Verilen fonksiyonlardan bazılarını derecenin özelliklerine göre y = x p tablo biçimine dönüştürüyoruz ve ardından şu formülü kullanıyoruz:

f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Üstel bir fonksiyonun türevi

Kanıt 4

Tanımı temel alarak türev formülünü türetelim:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Belirsizlik yaşadık. Genişletmek için yeni bir değişken z = a ∆ x - 1 (z → 0, ∆ x → 0 olarak) yazalım. Bu durumda, a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Son geçiş için yeni logaritma tabanına geçiş formülü kullanıldı.

Orijinal limiti yerine koyalım:

(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

İkinci dikkat çekici limiti hatırlayalım ve sonra üstel fonksiyonun türevinin formülünü elde edelim:

(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

Örnek 3

Üstel fonksiyonlar verilmiştir:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Türevlerini bulmak gerekiyor.

f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Üstel fonksiyonun türevi ve logaritmanın özellikleri için formülü kullanıyoruz:

f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Logaritmik bir fonksiyonun türevi

Kanıt 5

Herhangi bir logaritmik fonksiyonun türevinin formülünün bir kanıtını verelim Bu formülü elde etmek için bir fonksiyonun bir noktadaki türevinin tanımını esas alıyoruz. x 0 = x kullanıyoruz, burada tanım alanında ve logaritmanın a tabanının izin verilen değerleri. Türevin tanımına dayanarak şunu elde ederiz:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

Belirtilen eşitlik zincirinden, dönüşümlerin logaritmanın özelliğine dayandığı açıktır. lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e eşitliği ikinci dikkate değer limite göre doğrudur.

Örnek 4

Logaritmik fonksiyonlar verilmiştir:

f 1 (x) = log ln 3 x , f 2 (x) = ln x

Türevlerini hesaplamak gerekir.

f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Türetilmiş formülü uygulayalım:

f 1 " (x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3) ; f 2 " (x) = (ln x) " = 1 x ln e = 1 x

Yani doğal logaritmanın türevi bir bölü Bu formülü elde etmek için bir fonksiyonun bir noktadaki türevinin tanımını esas alıyoruz. x 0 = x kullanıyoruz, burada.

Trigonometrik fonksiyonların türevleri

Kanıt 6

Bir trigonometrik fonksiyonun türevinin formülünü elde etmek için bazı trigonometrik formülleri ve ilk harika limiti kullanalım.

Sinüs fonksiyonunun türevinin tanımına göre şunu elde ederiz:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Sinüs farkı formülü aşağıdaki eylemleri gerçekleştirmemize izin verecektir:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 günah (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 çünkü x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 günah ∆ x 2 · çünkü x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = çünkü x + 0 2 · lim ∆ x → 0 günah ∆ x 2 ∆ x 2

Son olarak ilk harika limiti kullanıyoruz:

günah " x = çünkü x + 0 2 · lim ∆ x → 0 günah ∆ x 2 ∆ x 2 = çünkü x

Yani fonksiyonun türevi günah x irade çünkü x.

Ayrıca kosinüsün türevinin formülünü de kanıtlayacağız:

çünkü " x = lim ∆ x → 0 çünkü (x + ∆ x) - çünkü x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 günah x + ∆ x - x 2 günah x + ∆ x + x 2 ∆ x = = = - lim ∆ x → 0 günah ∆ x 2 günah x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 günah ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Onlar. cos x fonksiyonunun türevi şöyle olacaktır: – günah x.

Teğet ve kotanjant türevlerinin formüllerini türev alma kurallarına dayanarak türetiyoruz:

t g " x = sin x çünkü x " = günah " x · cos x - sin x · cos " x çünkü 2 x = = çünkü x · cos x - sin x · (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x günah 2 x = - günah 2 x + çünkü 2 x günah 2 x = - 1 günah 2 x

Ters trigonometrik fonksiyonların türevleri

Ters fonksiyonların türeviyle ilgili bölüm arksinüs, arkkosinüs, arktanjant ve arkkotanjant türevlerinin formüllerinin ispatı hakkında kapsamlı bilgi sağlar, bu nedenle konuyu burada tekrarlamayacağız.

Hiperbolik fonksiyonların türevleri

Kanıt 7

Hiperbolik sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant türevlerinin formüllerini türev kuralını ve üstel fonksiyonun türevi formülünü kullanarak türetebiliriz:

s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Tablonun ilk formülünü türetirken bir noktada türev fonksiyonunun tanımından ilerleyeceğiz. Hadi nereye götürelim X– herhangi bir gerçek sayı, yani, X– fonksiyonun tanım alanından herhangi bir sayı. Fonksiyonun artışının argümanın artışına oranının limitini yazalım:

Limit işareti altında, payın sonsuz küçük bir değer içermemesi, tam olarak sıfır olması nedeniyle sıfırın sıfıra bölünmesinin belirsizliği olmayan bir ifadenin elde edildiğine dikkat edilmelidir. Başka bir deyişle, sabit bir fonksiyonun artışı her zaman sıfırdır.

Böylece, sabit bir fonksiyonun türevitüm tanım alanı boyunca sıfıra eşittir.

Bir güç fonksiyonunun türevi.

Bir güç fonksiyonunun türevinin formülü şu şekildedir: üs burada P– herhangi bir gerçek sayı.

Önce doğal üssün formülünü kanıtlayalım; p = 1, 2, 3, …

Türev tanımını kullanacağız. Bir kuvvet fonksiyonunun artışının argümanın artışına oranının limitini yazalım:

Paydaki ifadeyi basitleştirmek için Newton binom formülüne dönüyoruz:

Buradan,

Bu, doğal bir üs için bir kuvvet fonksiyonunun türevinin formülünü kanıtlar.

Üstel bir fonksiyonun türevi.

Tanıma dayanarak türev formülünün türetilmesini sunuyoruz:

Belirsizliğe ulaştık. Genişletmek için yeni bir değişken tanıtıyoruz ve . Daha sonra . Son geçişte yeni bir logaritmik tabana geçiş formülünü kullandık.

Orijinal limiti yerine koyalım:

İkinci dikkat çekici limiti hatırlarsak üstel fonksiyonun türevinin formülüne ulaşırız:

Logaritmik bir fonksiyonun türevi.

Logaritmik bir fonksiyonun türevinin formülünü her şey için kanıtlayalım X tanım alanından ve tabanın tüm geçerli değerlerinden A logaritma Türevin tanımı gereği elimizde:

Fark ettiğiniz gibi ispat sırasında dönüşümler logaritmanın özellikleri kullanılarak yapıldı. Eşitlik ikinci dikkat çekici limit nedeniyle doğrudur.

Trigonometrik fonksiyonların türevleri.

Trigonometrik fonksiyonların türevleri için formüller türetmek için, bazı trigonometri formüllerinin yanı sıra ilk dikkate değer limiti de hatırlamamız gerekecek.

Sinüs fonksiyonunun türevinin tanımı gereği elimizdeki .

Sinüs farkı formülünü kullanalım:

İlk dikkate değer sınıra dönmeye devam ediyoruz:

Böylece fonksiyonun türevi günah x Orada çünkü x.

Kosinüsün türevinin formülü tamamen aynı şekilde kanıtlanmıştır.

Bu nedenle fonksiyonun türevi çünkü x Orada –sin x.

Kanıtlanmış türev alma kurallarını (bir kesrin türevi) kullanarak teğet ve kotanjant için türev tablosu formülleri türeteceğiz.

Hiperbolik fonksiyonların türevleri.

Türev tablosundan türev alma kuralları ve üstel fonksiyonun türevinin formülü, hiperbolik sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın türevleri için formüller türetmemize olanak sağlar.

Ters fonksiyonun türevi.

Sunum sırasında karışıklığı önlemek için, türevin alındığı fonksiyonun argümanını, yani fonksiyonun türevi olduğunu alt simge olarak belirtelim. f(x)İle X.

Şimdi formüle edelim Ters bir fonksiyonun türevini bulma kuralı.

Fonksiyonlara izin ver y = f(x) Ve x = g(y) karşılıklı olarak ters, aralıklarla ve sırasıyla tanımlanır. Bir noktada fonksiyonun sıfırdan farklı sonlu bir türevi varsa f(x), o zaman bu noktada ters fonksiyonun sonlu bir türevi vardır g(y), Ve . Başka bir gönderide .

Bu kural herhangi bir durum için yeniden formüle edilebilir. X aralıktan alırız .

Bu formüllerin geçerliliğini kontrol edelim.

Doğal logaritmanın ters fonksiyonunu bulalım (Burada sen bir fonksiyondur ve X- argüman). Bu denklemi çözdükten sonra X, şunu elde ederiz (burada X bir fonksiyondur ve sen– onun argümanı). Yani, ve karşılıklı ters fonksiyonlar.

Türev tablosundan şunu görüyoruz Ve .

Ters fonksiyonun türevlerini bulma formüllerinin bizi aynı sonuçlara götürdüğünden emin olalım:

Gördüğünüz gibi türev tablosundaki sonuçların aynısını elde ettik.

Artık ters trigonometrik fonksiyonların türevlerinin formüllerini ispatlayacak bilgiye sahibiz.

Arsinüsün türeviyle başlayalım.

. Daha sonra ters fonksiyonun türevinin formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

Geriye sadece dönüşümleri gerçekleştirmek kalıyor.

Ark sinüs aralığı aralık olduğundan , O (temel temel fonksiyonlar, özellikleri ve grafikleri bölümüne bakın). Bu nedenle bunu dikkate almıyoruz.

Buradan, . Arksinüs türevinin tanım alanı aralıktır (-1; 1) .

Ark kosinüs için her şey tamamen aynı şekilde yapılır:

Arktanjantın türevini bulalım.

Ters fonksiyon için .

Ortaya çıkan ifadeyi basitleştirmek için arktanjantı arkkosinüs cinsinden ifade edelim.

İzin vermek arkgx = z, Daha sonra

Buradan,

Ark kotanjantının türevi benzer şekilde bulunur:

Türev

Bir matematiksel fonksiyonun türevini hesaplamak (farklılaşma), yüksek matematik çözerken çok yaygın bir problemdir. Basit (temel) matematiksel fonksiyonlar için bu oldukça basit bir konudur, çünkü temel fonksiyonların türev tabloları uzun süredir derlenmiştir ve kolayca erişilebilir durumdadır. Ancak karmaşık bir matematiksel fonksiyonun türevini bulmak basit bir iş değildir ve çoğu zaman ciddi çaba ve zaman gerektirir.

Türevi çevrimiçi bulun

Çevrimiçi hizmetimiz, anlamsız uzun hesaplamalardan kurtulmanızı sağlar ve türevi çevrimiçi bul bir anda. Ayrıca web sitesinde yer alan hizmetimizi kullanarak www.site, hesaplayabilirsin çevrimiçi türev hem temel bir fonksiyondan hem de analitik çözümü olmayan çok karmaşık bir fonksiyondan. Sitemizin diğerlerine kıyasla ana avantajları şunlardır: 1) Türevi hesaplamak için matematiksel bir fonksiyon girme yöntemine ilişkin katı gereklilikler yoktur (örneğin, sinüs x fonksiyonunu girerken bunu sin x veya sin olarak girebilirsiniz) (x) veya sin[x], vb. d.); 2) çevrimiçi türev hesaplaması anında gerçekleşir çevrimiçi ve kesinlikle ücretsiz; 3) bir fonksiyonun türevini bulmanızı sağlarız herhangi bir sipariş Türevin sırasını değiştirmek çok kolay ve anlaşılır; 4) hemen hemen her matematiksel fonksiyonun türevini çevrimiçi olarak bulmanızı sağlıyoruz, hatta diğer hizmetler tarafından çözülemeyen çok karmaşık olanları bile. Verilen yanıt her zaman doğrudur ve hata içeremez.

Sunucumuzu kullanmak, 1) türevin sizin için çevrimiçi olarak hesaplanmasını sağlayarak hata veya yazım hatası yapabileceğiniz zaman alıcı ve yorucu hesaplamaları ortadan kaldırır; 2) bir matematiksel fonksiyonun türevini kendiniz hesaplarsanız, o zaman size elde edilen sonucu hizmetimizin hesaplamalarıyla karşılaştırma ve çözümün doğru olduğundan emin olma veya ortaya çıkan bir hatayı bulma fırsatı sunarız; 3) İstenilen fonksiyonu bulmanın genellikle zaman aldığı basit fonksiyonların türev tablolarını kullanmak yerine hizmetimizi kullanın.

Tek yapmanız gereken türevi çevrimiçi bul- hizmetimizi kullanmaktır