ఉజ్జాయింపు విలువ యొక్క సంపూర్ణ లోపాన్ని లెక్కించండి. సంపూర్ణ మరియు సంబంధిత లోపాన్ని కనుగొనడం

సంఖ్యల సంపూర్ణ మరియు సాపేక్ష లోపం.

ఏదైనా మూలం యొక్క ఉజ్జాయింపు పరిమాణాల యొక్క ఖచ్చితత్వం యొక్క లక్షణాలుగా, ఈ పరిమాణాల యొక్క సంపూర్ణ మరియు సంబంధిత లోపాల భావనలు ప్రవేశపెట్టబడ్డాయి.

ఖచ్చితమైన సంఖ్య Aకి ఉజ్జాయింపుగా సూచిస్తాం.

నిర్వచించండి. పరిమాణాన్ని ఉజ్జాయింపు సంఖ్య యొక్క లోపం అంటారు.

నిర్వచనం. సంపూర్ణ లోపం సుమారు సంఖ్య a పరిమాణం అంటారు
.

ఆచరణాత్మకంగా ఖచ్చితమైన సంఖ్య A సాధారణంగా తెలియదు, కానీ సంపూర్ణ లోపం మారే పరిమితులను మేము ఎల్లప్పుడూ సూచించవచ్చు.

నిర్వచనం. గరిష్ట సంపూర్ణ లోపం ఉజ్జాయింపు సంఖ్య a పరిమాణానికి ఎగువ హద్దుల్లో అతి చిన్నదిగా పిలువబడుతుంది , ఇది సంఖ్యను పొందే ఈ పద్ధతిని ఉపయోగించి కనుగొనవచ్చు.

ఆచరణలో, వంటి కోసం ఎగువ సరిహద్దులలో ఒకదాన్ని ఎంచుకోండి , చిన్నదానికి చాలా దగ్గరగా ఉంటుంది.

ఎందుకంటే
, ఆ
. కొన్నిసార్లు వారు వ్రాస్తారు:
.

సంపూర్ణ లోపంకొలత ఫలితం మధ్య వ్యత్యాసం

మరియు నిజమైన (వాస్తవ) విలువ కొలిచిన పరిమాణం.

కొలత లేదా గణన యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని వర్గీకరించడానికి సంపూర్ణ లోపం మరియు గరిష్ట సంపూర్ణ లోపం సరిపోవు. గుణాత్మకంగా మరింత ముఖ్యమైనది పరిమాణం సంబంధిత లోపం.

నిర్వచనం. సాపేక్ష లోపం మేము సుమారు సంఖ్యను పరిమాణం అని పిలుస్తాము:

నిర్వచనం. గరిష్ట సాపేక్ష లోపం ఇంచుమించు సంఖ్య a పరిమాణం కాల్ చేద్దాం

ఎందుకంటే
.

ఈ విధంగా, సాపేక్ష లోపం వాస్తవానికి కొలవబడిన లేదా లెక్కించిన ఉజ్జాయింపు సంఖ్య a యూనిట్‌కు సంపూర్ణ లోపం యొక్క పరిమాణాన్ని నిర్ణయిస్తుంది.

ఉదాహరణ.ఖచ్చితమైన సంఖ్యలు A నుండి మూడు ముఖ్యమైన సంఖ్యలను పూరించండి, నిర్ణయించండి

పొందిన ఉజ్జాయింపు యొక్క సంపూర్ణ D మరియు సంబంధిత δ లోపాలు

ఇచ్చిన:

కనుగొనండి:

∆-సంపూర్ణ లోపం

δ - సంబంధిత లోపం

పరిష్కారం:

=|-13.327-(-13.3)|=0.027

,ఎ 0

*100%=0.203%

సమాధానం:=0.027; δ=0.203%

2. ఉజ్జాయింపు సంఖ్య యొక్క దశాంశ సంజ్ఞామానం. ముఖ్యమైన వ్యక్తి. సంఖ్యల సరైన అంకెలు (సరైన మరియు ముఖ్యమైన అంకెల నిర్వచనం, ఉదాహరణలు; సంబంధిత లోపం మరియు సరైన అంకెల సంఖ్య మధ్య సంబంధం యొక్క సిద్ధాంతం).

నిజమైన సంకేతాలుసంఖ్యలు.

నిర్వచనం. ఉజ్జాయింపు సంఖ్య a యొక్క ముఖ్యమైన అంకె అనేది సున్నా కాకుండా ఏదైనా అంకె, మరియు అది ముఖ్యమైన అంకెల మధ్య ఉన్నట్లయితే లేదా నిల్వ చేయబడిన దశాంశ స్థానానికి ప్రతినిధి అయితే సున్నా.

ఉదాహరణకు, 0.00507 = సంఖ్యలో
మాకు 3 ముఖ్యమైన సంఖ్యలు ఉన్నాయి మరియు 0.005070= సంఖ్యలో ఉన్నాయి
ముఖ్యమైన గణాంకాలు, అనగా. దశాంశ స్థానాన్ని కాపాడుతూ కుడివైపున ఉన్న సున్నా ముఖ్యమైనది.

ఇప్పటి నుండి, సున్నాలు ముఖ్యమైనవి అయితే మాత్రమే కుడి వైపున వ్రాయడానికి అంగీకరిస్తాము. అప్పుడు, మరో మాటలో చెప్పాలంటే,

ఎడమవైపు ఉన్న సున్నాలు మినహా a యొక్క అన్ని అంకెలు ముఖ్యమైనవి.

దశాంశ సంఖ్య వ్యవస్థలో, ఏదైనా సంఖ్య a పరిమిత లేదా అనంతమైన మొత్తం (దశాంశ భిన్నం)గా సూచించబడుతుంది:

ఎక్కడ
,
- మొదటి ముఖ్యమైన అంకె, m - సంఖ్య యొక్క అత్యంత ముఖ్యమైన దశాంశ స్థానంగా పిలువబడే పూర్ణాంకం.

ఉదాహరణకు, 518.3 =, m=2.

సంజ్ఞామానాన్ని ఉపయోగించి, మేము సరైన దశాంశ స్థానాల భావనను పరిచయం చేస్తాము (in ప్రాముఖ్యమైన గణాంకాలు) సుమారు

1వ రోజు.

నిర్వచనం. n రూపం యొక్క సుమారు సంఖ్య a లో మొదటి ముఖ్యమైన అంకెలు అని చెప్పబడింది ,

ఇక్కడ i= m, m-1,..., m-n+1 ఈ సంఖ్య యొక్క సంపూర్ణ లోపం nవ ముఖ్యమైన అంకె ద్వారా వ్యక్తీకరించబడిన అంకెల సగం యూనిట్‌ను మించకపోతే సరైనవి:

లేకపోతే చివరి అంకె
అని సందేహించారు.

దాని లోపాన్ని సూచించకుండా సుమారు సంఖ్యను వ్రాసేటప్పుడు, అన్ని వ్రాసిన సంఖ్యలు అవసరం

విశ్వాసకులుగా ఉన్నారు. ఈ అవసరం అన్ని గణిత పట్టికలలో కలుస్తుంది.

"n సరైన అంకెలు" అనే పదం ఉజ్జాయింపు సంఖ్య యొక్క ఖచ్చితత్వం యొక్క డిగ్రీని మాత్రమే వర్ణిస్తుంది మరియు ఉజ్జాయింపు సంఖ్య యొక్క మొదటి n ముఖ్యమైన అంకెలు ఖచ్చితమైన సంఖ్య A యొక్క సంబంధిత అంకెలతో సమానంగా ఉన్నాయని అర్థం చేసుకోకూడదు. ఉదాహరణకు, సంఖ్యలు A = 10, a = 9.997, అన్ని ముఖ్యమైన అంకెలు భిన్నంగా ఉంటాయి , కానీ a సంఖ్య 3 చెల్లుబాటు అయ్యే ముఖ్యమైన అంకెలను కలిగి ఉంటుంది. నిజానికి, ఇక్కడ m=0 మరియు n=3 (మేము దానిని ఎంపిక ద్వారా కనుగొంటాము).

మునిసిపల్ విద్యా సంస్థ "ఉప్షిన్స్కాయ సెకండరీ స్కూల్"లో గణిత ఉపాధ్యాయుడు

రిపబ్లిక్ ఆఫ్ మారి ఎల్ యొక్క ఓర్షా జిల్లా

(యు.ఎ. మకారిచెవ్ ఆల్జీబ్రా రాసిన పాఠ్యపుస్తకం 8)

సంపూర్ణ లోపం

గ్రాఫ్ నుండి x = 1.5 వద్ద y విలువను కనుగొనండి

y=x 2

y ≈2.3

ఫార్ములా ఉపయోగించి x = 1.5 వద్ద y విలువను కనుగొనండి

y =1.5 2 = 2,25

సుమారు విలువ ఖచ్చితమైన విలువ నుండి 2.3 – 2.25 = 0.05 తేడా ఉంటుంది

సంపూర్ణ లోపం

గ్రాఫ్ నుండి x = 1.8 వద్ద y విలువను కనుగొనండి

y=x 2

y ≈3.2

ఫార్ములా ఉపయోగించి x = 1.8 వద్ద y విలువను కనుగొనండి

y =1.8 2 = 3,24

సుమారు విలువ ఖచ్చితమైన విలువ నుండి 3.24 – 3.2 = 0.04 తేడా ఉంటుంది

సంపూర్ణ లోపం

1,5

ఖచ్చితమైన విలువ వద్ద

(ఫార్ములా ప్రకారం)

1,8

2,25

ఉజ్జాయింపు వద్ద (ప్రణాళిక ప్రకారం)

3,24

2,3

3,2

y=x 2

నిర్వచనం. సంపూర్ణ లోపం

y = 2.3 A.P. = |2,25 – 2,3| = |- 0,0 5| = 0,05

y = 3,2 ఎ.పి. = |3,24 – 3,2| = | 0,0 4| = 0,04

సంపూర్ణ లోపం

నిర్వచనం. సంపూర్ణ లోపం సుమారు విలువను ఖచ్చితమైన మరియు ఉజ్జాయింపు విలువల మధ్య వ్యత్యాసం యొక్క మాడ్యూల్ అంటారు.

ఉదాహరణ 1 పుడ్ 16.38కి సమానం.ఈ విలువను పూర్ణ సంఖ్యలకు రౌండ్ చేయండి మరియు ఉజ్జాయింపు విలువ యొక్క సంపూర్ణ లోపాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం. 1 6.38 ≈ 16

16,38 – ఖచ్చితమైన విలువ;

16 అనేది సుమారుగా విలువ.

ఎ.పి. = | 16,38 – 16 | = |0 ,38 | = 0, 38

సంపూర్ణ లోపం

ఉదాహరణ 2 verst 1067 మీ.కి సమానం. ఈ విలువను పదులకి రౌండ్ చేయండి మరియు ఉజ్జాయింపు విలువ యొక్క సంపూర్ణ లోపాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం. 10 6 7 ≈ 1070

1067 - ఖచ్చితమైన విలువ;

1070 అనేది సుమారుగా విలువ.

ఎ.పి. = | 1067 – 1070 | = |-3| = 3

సంపూర్ణ లోపం

ఉదాహరణ 3. పురాతన రష్యన్ పొడవు యొక్క కొలత లోతుగా 2.13 మీ.కి సమానం. ఈ విలువను పదవ వంతుకు పూరించండి మరియు ఉజ్జాయింపు విలువ యొక్క సంపూర్ణ లోపాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం. 2.1 3 ≈ 2.1

2.13 - ఖచ్చితమైన విలువ;

2.1 అనేది సుమారుగా విలువ.

ఎ.పి. = | 2,13 – 2,1 | = | 0,03 | = 0,03

సంపూర్ణ లోపం

ఉదాహరణ 4. ఒక భిన్నాన్ని అనంతమైన భిన్నం వలె సూచించండి ఆవర్తన భిన్నం. ఫలితాన్ని వందవ వంతుకు పూరించండి మరియు ఉజ్జాయింపు విలువ యొక్క సంపూర్ణ లోపాన్ని కనుగొనండి.

ఉజ్జాయింపు ఖచ్చితత్వం

సంపూర్ణ లోపాన్ని కనుగొనడం ఎల్లప్పుడూ సాధ్యమేనా?

AB ≈ 5.3 సెం.మీ

AB సెగ్మెంట్ పొడవును కనుగొనండి

సెగ్మెంట్ AB యొక్క పొడవు యొక్క ఖచ్చితమైన విలువను మేము గుర్తించలేము, కాబట్టి సుమారుగా విలువ యొక్క సంపూర్ణ లోపాన్ని కనుగొనడం అసాధ్యం.

అటువంటి సందర్భాలలో, లోపం సంఖ్యగా సూచించబడుతుంది, దానికి మించి సంపూర్ణ లోపం ఎక్కువగా ఉండదు.

మా ఉదాహరణలో, మనం 0.1 సంఖ్యను అటువంటి సంఖ్యగా తీసుకోవచ్చు.

ఎందుకు? పాలకుడి విభజన విలువ 0.1 సెం.మీ మరియు అందువల్ల 5.3 యొక్క సుమారు విలువ యొక్క సంపూర్ణ లోపం 0.1 కంటే ఎక్కువ కాదు.

ఉజ్జాయింపు ఖచ్చితత్వం

5.3 సంఖ్య అనేది 0.1 ఖచ్చితత్వంతో సెగ్మెంట్ AB (సెంటీమీటర్లలో) పొడవు యొక్క ఉజ్జాయింపు విలువ అని వారు చెప్పారు.

AB ≈ 5.3 సెం.మీ

t ≈ 28 0 నుండి 1 వరకు ఖచ్చితమైనది

t ≈ 14 0 ఖచ్చితత్వంతో 2

బొమ్మలు 1-4లో చూపిన సాధనాలతో కొలిచేటప్పుడు పొందిన పరిమాణాల యొక్క సుమారు విలువల ఖచ్చితత్వాన్ని నిర్ణయించండి

ఉజ్జాయింపు ఖచ్చితత్వం

AB ≈ 5.3 సెం.మీ

ఉంటే x ≈ a మరియు ఉజ్జాయింపు విలువ యొక్క సంపూర్ణ లోపం నిర్దిష్ట సంఖ్యను మించదు h , ఆసంఖ్య ఎసుమారుగా విలువ అని పిలుస్తారు X h కు ఖచ్చితమైనది

X ≈ ఎ వరకు h

X = ఎ ± h

ఉజ్జాయింపు ఖచ్చితత్వం

AB ≈ 5.3 సెం.మీ

0.1కి ఖచ్చితమైనది

t ≈ 28 0 నుండి 1 వరకు ఖచ్చితమైనది

2కి ఖచ్చితమైనది

నిర్వచనం. ఉజ్జాయింపు విలువ యొక్క సాపేక్ష లోపం (ఖచ్చితత్వం) అనేది ఉజ్జాయింపు విలువ యొక్క మాడ్యూల్‌కు సంపూర్ణ లోపం (ఖచ్చితత్వం) యొక్క నిష్పత్తి.

కొలత నాణ్యతను అంచనా వేయడానికి నిర్వచనాలను ఉపయోగించవచ్చు సంబంధిత లోపం మరియు సాపేక్ష ఖచ్చితత్వం

l = 100.0 ± 0.1

b = 0.4 ± 0.1

సంబంధిత లోపం

నిర్వచనం .

ఉదాహరణ 5. పురాతన రష్యన్ మాస్ కొలత పుడ్ 16.38కి సమానం.ఈ విలువను పూర్ణ సంఖ్యలకు రౌండ్ చేయండి మరియు ఉజ్జాయింపు విలువ యొక్క సంబంధిత లోపాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం. 1 6.38 ≈ 16

16.38 - ఖచ్చితమైన విలువ;

16 అనేది సుమారుగా విలువ.

ఎ.పి. = | 16,38 – 16 | = |0 ,38 | = 0, 38

సంబంధిత లోపం

నిర్వచనం . ఉజ్జాయింపు విలువ యొక్క సాపేక్ష లోపం అనేది సుమారుగా విలువ యొక్క సంపూర్ణ విలువకు సంపూర్ణ లోపం యొక్క నిష్పత్తి.

ఉదాహరణ 6. పురాతన రష్యన్ పొడవు యొక్క కొలత verst 1067 మీ.కి సమానం. ఈ విలువను పదులకి రౌండ్ చేయండి మరియు ఉజ్జాయింపు విలువ యొక్క సంబంధిత లోపాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం. 10 6 7 ≈ 1070

1067 - ఖచ్చితమైన విలువ;

1070 అనేది సుమారుగా విలువ.

ఎ.పి. = | 1067 – 1070 | = |-3| = 3

సంబంధిత లోపం

ఉదాహరణ 7. భిన్నాన్ని అనంతమైన ఆవర్తన భిన్నంగా భావించండి. ఫలితాన్ని వందవ వంతుకు పూరించండి మరియు ఉజ్జాయింపు విలువ యొక్క సంబంధిత లోపాన్ని కనుగొనండి.

తో చేసిన గణనలలో సరికానితను అంచనా వేయడానికి సంపూర్ణ మరియు సంబంధిత లోపాలు ఉపయోగించబడతాయి అధిక సంక్లిష్టత. అవి వివిధ కొలతలలో మరియు రౌండ్ గణన ఫలితాల కోసం కూడా ఉపయోగించబడతాయి. సంపూర్ణ మరియు సంబంధిత లోపాన్ని ఎలా గుర్తించాలో చూద్దాం.

సంపూర్ణ లోపం

సంఖ్య యొక్క సంపూర్ణ లోపంఈ సంఖ్య మరియు దాని ఖచ్చితమైన విలువ మధ్య వ్యత్యాసాన్ని కాల్ చేయండి.
ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం : పాఠశాలలో 374 మంది విద్యార్థులు ఉన్నారు. మనం ఈ సంఖ్యను 400కి రౌండ్ చేస్తే, సంపూర్ణ కొలత లోపం 400-374=26.

సంపూర్ణ లోపాన్ని లెక్కించడానికి ఇది అవసరం మరింతతక్కువ తీసివేయండి.

సంపూర్ణ లోపం కోసం ఒక సూత్రం ఉంది. మేము అక్షరం A ద్వారా ఖచ్చితమైన సంఖ్యను సూచిస్తాము మరియు అక్షరం a - ఖచ్చితమైన సంఖ్యకు ఉజ్జాయింపు. ఉజ్జాయింపు సంఖ్య అనేది ఖచ్చితమైన సంఖ్య నుండి కొద్దిగా భిన్నంగా ఉండే సంఖ్య మరియు సాధారణంగా దానిని గణనలలో భర్తీ చేస్తుంది. అప్పుడు ఫార్ములా ఇలా కనిపిస్తుంది:

Δa=A-a. సూత్రాన్ని ఉపయోగించి సంపూర్ణ లోపాన్ని ఎలా కనుగొనాలో మేము పైన చర్చించాము.

ఆచరణలో, కొలతను ఖచ్చితంగా అంచనా వేయడానికి సంపూర్ణ లోపం సరిపోదు. సంపూర్ణ లోపాన్ని లెక్కించడానికి కొలిచిన పరిమాణం యొక్క ఖచ్చితమైన విలువను తెలుసుకోవడం చాలా అరుదుగా సాధ్యమవుతుంది. 20 సెంటీమీటర్ల పొడవు గల పుస్తకాన్ని కొలవడం మరియు 1 సెం.మీ లోపాన్ని అనుమతించడం, మీరు దీనితో కొలతను పరిగణించవచ్చు పెద్ద తప్పు. కానీ 20 మీటర్ల గోడను కొలిచేటప్పుడు 1 సెం.మీ లోపం ఏర్పడినట్లయితే, ఈ కొలత సాధ్యమైనంత ఖచ్చితమైనదిగా పరిగణించబడుతుంది. అందువలన, ఆచరణలో మరింత ముఖ్యమైనసాపేక్ష కొలత లోపం యొక్క నిర్వచనం ఉంది.

± గుర్తును ఉపయోగించి సంఖ్య యొక్క సంపూర్ణ లోపాన్ని రికార్డ్ చేయండి. ఉదాహరణకి , వాల్‌పేపర్ యొక్క రోల్ యొక్క పొడవు 30 మీ ± 3 సెం.మీ. సంపూర్ణ దోష పరిమితిని గరిష్ట సంపూర్ణ లోపం అంటారు.

సాపేక్ష లోపం

సాపేక్ష లోపంవారు సంఖ్య యొక్క సంపూర్ణ లోపం యొక్క నిష్పత్తిని సంఖ్యకు కూడా పిలుస్తారు. విద్యార్థులతో ఉదాహరణలో సంబంధిత లోపాన్ని లెక్కించేందుకు, మేము 26ని 374తో భాగిస్తాము. మేము 0.0695 సంఖ్యను పొందుతాము, దానిని శాతానికి మార్చండి మరియు 6% పొందండి. సాపేక్ష లోపం శాతంగా సూచించబడుతుంది ఎందుకంటే ఇది పరిమాణం లేని పరిమాణం. సాపేక్ష లోపం ఖచ్చితమైన అంచనాకొలత లోపాలు. 10 cm మరియు 10 m విభాగాల పొడవును కొలిచేటప్పుడు మేము 1 cm యొక్క సంపూర్ణ దోషాన్ని తీసుకుంటే, అప్పుడు సంబంధిత లోపాలు వరుసగా 10% మరియు 0.1%కి సమానంగా ఉంటాయి. 10 సెం.మీ పొడవు ఉన్న విభాగానికి, 1 సెం.మీ లోపం చాలా పెద్దది, ఇది 10% లోపం. కానీ పది మీటర్ల విభాగానికి, 1 సెం.మీ పట్టింపు లేదు, 0.1% మాత్రమే.

క్రమబద్ధమైన మరియు యాదృచ్ఛిక లోపాలు ఉన్నాయి. సిస్టమాటిక్ అనేది పునరావృత కొలతల సమయంలో మారకుండా ఉండే లోపం. కొలత ప్రక్రియపై ప్రభావం ఫలితంగా యాదృచ్ఛిక లోపం సంభవిస్తుంది బాహ్య కారకాలుమరియు దాని అర్థాన్ని మార్చవచ్చు.

లోపాలను లెక్కించడానికి నియమాలు

లోపాల యొక్క నామమాత్రపు అంచనా కోసం అనేక నియమాలు ఉన్నాయి:

సంఖ్యలను జోడించేటప్పుడు మరియు తీసివేసేటప్పుడు, వాటి సంపూర్ణ లోపాలను జోడించడం అవసరం;
సంఖ్యలను విభజించేటప్పుడు మరియు గుణించేటప్పుడు, సంబంధిత లోపాలను జోడించడం అవసరం;
శక్తికి పెంచబడినప్పుడు, సాపేక్ష దోషం ఘాతాంకంతో గుణించబడుతుంది.

సుమారు మరియు ఖచ్చితమైన సంఖ్యలు ఉపయోగించి వ్రాయబడ్డాయి దశాంశాలు. ఖచ్చితమైన విలువ అనంతంగా ఉంటుంది కాబట్టి సగటు విలువ మాత్రమే తీసుకోబడుతుంది. ఈ సంఖ్యలను ఎలా వ్రాయాలో అర్థం చేసుకోవడానికి, మీరు నిజమైన మరియు సందేహాస్పద సంఖ్యల గురించి తెలుసుకోవాలి.

నిజమైన సంఖ్యలు సంఖ్య యొక్క సంపూర్ణ దోషాన్ని మించి ర్యాంక్ ఉన్న సంఖ్యలు. ఫిగర్ యొక్క అంకె సంపూర్ణ లోపం కంటే తక్కువగా ఉంటే, దానిని సందేహాస్పదంగా పిలుస్తారు. ఉదాహరణకి , 0.002 లోపంతో 3.6714 భిన్నం కోసం, సరైన సంఖ్యలు 3,6,7, మరియు సందేహాస్పదమైనవి 1 మరియు 4. ఉజ్జాయింపు సంఖ్య యొక్క రికార్డింగ్‌లో సరైన సంఖ్యలు మాత్రమే మిగిలి ఉన్నాయి. ఈ సందర్భంలో భిన్నం ఇలా ఉంటుంది - 3.67.

పరిమాణం యొక్క ఖచ్చితమైన మరియు ఉజ్జాయింపు విలువల మధ్య వ్యత్యాసాన్ని అంటారు ఉజ్జాయింపు లోపం ( x ద్వారా సూచించబడుతుంది),

ఆ. x=x- ఎ- ఉజ్జాయింపు లోపం

ఎక్కడ x= ఎ+ x,

ఆ. నిజమైన విలువ ఉజ్జాయింపు విలువ మరియు ఉజ్జాయింపు లోపం మొత్తానికి సమానం.

పరిమాణం యొక్క ఖచ్చితమైన మరియు ఉజ్జాయింపు విలువల మధ్య వ్యత్యాసం యొక్క మాడ్యులస్ అంటారు సంపూర్ణ లోపంసంఖ్య యొక్క సుమారు విలువ X.

ఆ. - సంపూర్ణ ఉజ్జాయింపు లోపం.

x= అని వ్రాయండి మరియు h అంటే x యొక్క నిజమైన విలువ సరిహద్దుల మధ్య ఉంటుంది, అనగా. a - h X a + h

ఉదాహరణ 1.సంస్థలో 1284 మంది కార్మికులు మరియు ఉద్యోగులు ఉన్నారు. ఈ సంఖ్యను 1300కి చుట్టుముట్టినప్పుడు, సంపూర్ణ దోషం 1300 -1284 = 16. 1280కి చుట్టుముట్టినప్పుడు, సంపూర్ణ లోపం 1284 - 1280 = 4.

ఉదాహరణ 2.సంఖ్య యొక్క సుమారు విలువలు x = ; ఈ మూడు అంచనాలలో ఏది ఉత్తమమైనది?

పరిష్కారం:

మేము కనుగొంటాము ; సంఖ్య యొక్క ఉత్తమ ఉజ్జాయింపు Xఉంది

ఉదాహరణ 3.భాగం పొడవు x (సెం.మీ.) 33 x 34 సరిహద్దుల లోపల మూసివేయబడింది. భాగం యొక్క సంపూర్ణ కొలత లోపం యొక్క పరిమితిని కనుగొనండి.

పరిష్కారం:సరిహద్దుల యొక్క అంకగణిత సగటును భాగం యొక్క పొడవు యొక్క ఉజ్జాయింపు విలువగా తీసుకుందాం: a = (33 + 34)/2 = 33.5 (సెం.మీ).

అప్పుడు భాగం పొడవు యొక్క ఉజ్జాయింపు విలువ కోసం సంపూర్ణ దోష పరిమితి 0.5 (సెం.మీ.) మించదు. విలువను ఎగువ మరియు సగం వ్యత్యాసంగా కూడా కనుగొనవచ్చు తక్కువ పరిమితులు, అనగా = (34-33)/2 = 0.5 (సెం.మీ.). భాగం పొడవు X, =0.5 (సెం.మీ) ఖచ్చితత్వంతో కనుగొనబడింది, సంఖ్య యొక్క సుమారు విలువల మధ్య ఉంటుంది X:

33.5-0.5 x 33.5+0.5;

x=33.5 0.5 (సెం.మీ.).

ఒక పరిమాణం యొక్క ఉజ్జాయింపు విలువ యొక్క సంపూర్ణ విలువకు ఉజ్జాయింపు యొక్క సంపూర్ణ లోపం యొక్క నిష్పత్తిని అంటారు సంబంధిత లోపంవిధానం మరియు ద్వారా సూచించబడుతుంది.

ఉజ్జాయింపు యొక్క సాపేక్ష లోపం

ఉదాహరణ 1.పొడవును కొలిచేటప్పుడు ఎల్మరియు కండక్టర్ వ్యాసం పొందబడింది ఎల్=(10.0 0.1) మీ , డి= (2.5 0.1) మిమీ. ఈ కొలతలలో ఏది మరింత ఖచ్చితమైనది?

పరిష్కారం:కండక్టర్ పొడవు 0.1m=100mm ఖచ్చితత్వంతో కొలుస్తారు మరియు కండక్టర్ వ్యాసం 0.1mm ఖచ్చితత్వంతో కొలుస్తారు.

కండక్టర్ యొక్క పొడవును కొలిచేటప్పుడు, 10000 మిమీకి 100 మిమీ సంపూర్ణ లోపం అనుమతించబడుతుంది మరియు అందువల్ల అనుమతించదగిన సంపూర్ణ లోపం

కొలిచిన పరిమాణం.

వ్యాసాన్ని కొలిచేటప్పుడు, అనుమతించదగిన సంపూర్ణ లోపం

కొలిచిన పరిమాణం. అందువలన, కండక్టర్ పొడవు కొలత మరింత ఖచ్చితమైనది.

ఉదాహరణ 2.ఈ ఉజ్జాయింపు యొక్క సంపూర్ణ మరియు సంబంధిత లోపాలను కనుగొనడానికి 0.111 అనేది సుమారుగా విలువ అని తెలుసు.

పరిష్కారం:ఇక్కడ x=, ఎ=0.111. అప్పుడు = x- ఎ= 1/9 – 0.111 = 1/9000-a.p.p.,

-ఓ.పి.పి

ఉదాహరణ 3.పాఠశాలలో 197 మంది విద్యార్థులు ఉన్నారు. మేము ఈ సంఖ్యను 200కి పూర్తి చేస్తాము. సంపూర్ణ లోపం 200-197 = 3. సాపేక్ష లోపం %కి సమానం లేదా గుండ్రంగా ఉంటుంది.
చాలా సందర్భాలలో, ఉజ్జాయింపు సంఖ్య యొక్క ఖచ్చితమైన విలువను తెలుసుకోవడం అసాధ్యం, అందువలన ఖచ్చితమైన విలువలోపాలు. అయినప్పటికీ, లోపం (సంపూర్ణ లేదా సంబంధిత) నిర్దిష్ట సంఖ్యను మించదని నిర్ధారించడం దాదాపు ఎల్లప్పుడూ సాధ్యపడుతుంది.

ఉదాహరణ 4.

ఒక విక్రేత పుచ్చకాయను తూకంలో తూకం వేస్తాడు. సెట్‌లోని అతి చిన్న బరువు 50 గ్రా. బరువు 3600 గ్రా. ఈ సంఖ్య సుమారుగా ఉంటుంది. ఖచ్చితమైన ద్రవ్యరాశిపుచ్చకాయ తెలియదు. కానీ సంపూర్ణ దోషం 50 గ్రా మించదు. సాపేక్ష లోపం % మించదు.

సంక్లిష్ట సంఖ్యలు.

గ్రాఫిక్ చిత్రంసంక్లిష్ట సంఖ్యలు.
సంక్లిష్ట సంఖ్యల చిత్రం.

సంక్లిష్ట సంఖ్యలు రూపంలో వ్రాయబడ్డాయి: a+ bi. ఇక్కడ aమరియు బి – వాస్తవ సంఖ్యలు , ఎ i – ఊహాత్మక యూనిట్, అనగా. i 2 = –1.సంఖ్య aఅని పిలిచారు అబ్సిస్సా, a బి - ఆర్డినేట్సంక్లిష్ట సంఖ్య a+ bi.సంక్లిష్ట సంఖ్య 0 + ద్విఅని పిలిచారు పూర్తిగా ఊహాత్మక సంఖ్య.రికార్డు ద్విఅంటే 0కి సమానం + ద్వి.

మాడ్యూల్సంక్లిష్ట సంఖ్య అనేది వెక్టర్ యొక్క పొడవు OP, వర్ణిస్తోంది సంక్లిష్ట సంఖ్యసమన్వయం మీద ( సమగ్రమైన) విమానం. సంయోగ సంక్లిష్ట సంఖ్యలు ఒకే మాడ్యులస్‌ను కలిగి ఉంటాయి

విమానంలో కార్టీసియన్‌ను పరిశీలిద్దాం దీర్ఘచతురస్రాకార వ్యవస్థ xOyని సమన్వయం చేస్తుంది. ప్రతి సంక్లిష్ట సంఖ్య z = a + biని కోఆర్డినేట్‌లతో (a;b) ఒక పాయింట్‌తో అనుబంధించవచ్చు మరియు దీనికి విరుద్ధంగా, కోఆర్డినేట్‌లతో (c;d) ప్రతి పాయింట్‌ను w = c + di సంక్లిష్ట సంఖ్యతో అనుబంధించవచ్చు. అందువలన, విమానం యొక్క పాయింట్లు మరియు సంక్లిష్ట సంఖ్యల సమితి మధ్య ఒకదానికొకటి అనురూప్యం ఏర్పడుతుంది. అందువల్ల, సంక్లిష్ట సంఖ్యలను విమానంలో పాయింట్లుగా సూచించవచ్చు. సంక్లిష్ట సంఖ్యలు చిత్రీకరించబడిన విమానం సాధారణంగా సంక్లిష్ట విమానం అంటారు.

ఉదాహరణ. కాంప్లెక్స్ ప్లేన్‌లోని సంఖ్యలను సూచిస్తాం

Z 1 = 2 + i; z 2 = 3i; z 3 = -3 + 2i; z 4 = -1 – i.

వి

ఎ

సంక్లిష్ట సంఖ్యలపై అంకగణిత కార్యకలాపాలు వాస్తవ సంఖ్యల మాదిరిగానే ఉంటాయి: వాటిని ఒకదానికొకటి జోడించవచ్చు, తీసివేయవచ్చు, గుణించవచ్చు మరియు విభజించవచ్చు. కూడిక మరియు తీసివేత నియమం ప్రకారం జరుగుతుంది ( a + ద్వి) ± ( సి + di) = (a ± సి) + (బి ± డి)i, మరియు గుణకారం నియమాన్ని అనుసరిస్తుంది ( a + ద్వి) · ( సి + di) = (ac – bd) + (ప్రకటన + క్రీ.పూ)i(ఇక్కడ అది ఉపయోగించబడుతుంది i 2 = –1). సంఖ్య = a – ద్విఅని పిలిచారు సంక్లిష్ట సంయోగంకు z = a + ద్వి. సమానత్వం z · = a 2 + బి 2 ఒక సంక్లిష్ట సంఖ్యను మరొక (సున్నా కాని) సంక్లిష్ట సంఖ్యతో ఎలా విభజించాలో అర్థం చేసుకోవడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది:

ఉదాహరణకి,

కోసం పనులు స్వతంత్ర నిర్ణయం

సంపూర్ణ మరియు సాపేక్ష లోపం

లోపం సిద్ధాంతం యొక్క అంశాలు

ఖచ్చితమైన మరియు ఉజ్జాయింపు సంఖ్యలు

సంఖ్య యొక్క ఖచ్చితత్వం సాధారణంగా ఎప్పుడు సందేహించబడదు మేము మాట్లాడుతున్నాముపూర్ణాంక డేటా విలువల గురించి (2 పెన్సిల్స్, 100 చెట్లు). అయినప్పటికీ, చాలా సందర్భాలలో, సంఖ్య యొక్క ఖచ్చితమైన విలువను సూచించడం అసాధ్యం అయినప్పుడు (ఉదాహరణకు, పాలకుడితో ఒక వస్తువును కొలిచేటప్పుడు, పరికరం నుండి ఫలితాలను తీసుకోవడం మొదలైనవి), మేము సుమారు డేటాతో వ్యవహరిస్తున్నాము.

ఉజ్జాయింపు విలువ అనేది ఖచ్చితమైన విలువ నుండి కొద్దిగా భిన్నంగా ఉండే సంఖ్య మరియు దానిని గణనలలో భర్తీ చేస్తుంది. ఒక సంఖ్య యొక్క ఉజ్జాయింపు విలువ దాని ఖచ్చితమైన విలువ నుండి ఎంత వరకు భిన్నంగా ఉంటుందో దాని ద్వారా వర్గీకరించబడుతుంది లోపం .

లోపం యొక్క క్రింది ప్రధాన వనరులు వేరు చేయబడ్డాయి:

1. సమస్య సూత్రీకరణలో లోపాలు, ఉజ్జాయింపు వివరణ ఫలితంగా ఉత్పన్నమవుతుంది నిజమైన దృగ్విషయంగణితం పరంగా.

2. పద్ధతి లోపాలు, ఇచ్చిన సమస్యను పరిష్కరించడంలో మరియు దానిని సారూప్యమైన దానితో భర్తీ చేయడంలో ఇబ్బంది లేదా అసంభవంతో సంబంధం కలిగి ఉంటుంది, అంటే తెలిసిన మరియు అందుబాటులో ఉన్న పద్ధతిపరిష్కారాలు మరియు కావలసిన దానికి దగ్గరగా ఫలితాన్ని పొందండి.

3. ప్రాణాంతకమైన లోపాలు, అసలు డేటా యొక్క సుమారు విలువలతో అనుబంధించబడింది మరియు ఉజ్జాయింపు సంఖ్యలపై గణనల పనితీరు కారణంగా.

4. రౌండింగ్ లోపాలుగణన సాధనాలను ఉపయోగించి పొందిన ప్రారంభ డేటా, ఇంటర్మీడియట్ మరియు తుది ఫలితాల విలువలను చుట్టుముట్టడంతో సంబంధం కలిగి ఉంటుంది.

సంపూర్ణ మరియు సాపేక్ష లోపం

లోపాల కోసం అకౌంటింగ్ ఉంది ముఖ్యమైన అంశంఅప్లికేషన్లు సంఖ్యా పద్ధతులు, లోపం నుండి తుది ఫలితంమొత్తం సమస్య యొక్క పరిష్కారం అన్ని రకాల లోపాల పరస్పర చర్య యొక్క ఉత్పత్తి. అందువల్ల, మూలాధార డేటా యొక్క ఖచ్చితత్వం ఆధారంగా ఫలితం యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని అంచనా వేయడం లోపం సిద్ధాంతం యొక్క ప్రధాన కార్యాలలో ఒకటి.

ఒక ఖచ్చితమైన సంఖ్య మరియు దాని ఉజ్జాయింపు విలువ అయితే, ఉజ్జాయింపు విలువ యొక్క లోపం (లోపం) దాని ఖచ్చితమైన విలువకు దాని విలువ యొక్క సామీప్య స్థాయి.

లోపం యొక్క సరళమైన పరిమాణాత్మక కొలత సంపూర్ణ లోపం, ఇది నిర్వచించబడింది

(1.1.2-1)

ఫార్ములా 1.1.2-1 నుండి చూడగలిగినట్లుగా, సంపూర్ణ లోపం విలువకు సమానమైన కొలత యూనిట్లను కలిగి ఉంటుంది. అందువల్ల, సంపూర్ణ లోపం యొక్క పరిమాణం ఆధారంగా ఉజ్జాయింపు నాణ్యత గురించి సరైన ముగింపును రూపొందించడం ఎల్లప్పుడూ సాధ్యం కాదు. ఉదాహరణకు, ఉంటే , మరియు మేము ఒక యంత్ర భాగం గురించి మాట్లాడుతున్నాము, అప్పుడు కొలతలు చాలా కఠినమైనవి, మరియు మేము ఓడ యొక్క పరిమాణం గురించి మాట్లాడినట్లయితే, అవి చాలా ఖచ్చితమైనవి. ఈ విషయంలో, సాపేక్ష లోపం యొక్క భావన ప్రవేశపెట్టబడింది, దీనిలో సంపూర్ణ లోపం యొక్క విలువ సుమారుగా విలువ యొక్క మాడ్యూల్‌కు సంబంధించినది ( ).

(1.1.2-2)

సాపేక్ష లోపాల ఉపయోగం సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది, ప్రత్యేకించి, అవి డేటా కొలతల పరిమాణాలు మరియు యూనిట్ల స్థాయిపై ఆధారపడవు. సాపేక్ష లోపం భిన్నాలు లేదా శాతాలలో కొలుస్తారు. కాబట్టి, ఉదాహరణకు, ఉంటే

,ఎ , ఆ , మరియు ఉంటే మరియు ,

అయితే మరి .

ఫంక్షన్ యొక్క లోపాన్ని సంఖ్యాపరంగా అంచనా వేయడానికి, మీరు చర్యల లోపాన్ని లెక్కించడానికి ప్రాథమిక నియమాలను తెలుసుకోవాలి:

· సంఖ్యలను జోడించేటప్పుడు మరియు తీసివేసేటప్పుడు సంఖ్యల యొక్క సంపూర్ణ లోపాలు జోడించబడతాయి

· సంఖ్యలను గుణించడం మరియు విభజించేటప్పుడు వారి సంబంధిత లోపాలు ఒకదానికొకటి జోడించబడతాయి

· ఒక శక్తికి ఇంచుమించు సంఖ్యను పెంచుతున్నప్పుడు దాని సంబంధిత దోషం ఘాతాంకంతో గుణించబడుతుంది

ఉదాహరణ 1.1.2-1. అందించిన ఫంక్షన్: . విలువ యొక్క సంపూర్ణ మరియు సంబంధిత లోపాలను కనుగొనండి (ఎగ్జిక్యూషన్ ఫలితం యొక్క లోపం అంకగణిత కార్యకలాపాలు), విలువలు ఉంటే తెలిసినవి, మరియు 1 అనేది ఖచ్చితమైన సంఖ్య మరియు దాని లోపం సున్నా.

సాపేక్ష లోపం యొక్క విలువను ఈ విధంగా నిర్ణయించిన తరువాత, సంపూర్ణ లోపం యొక్క విలువను మనం కనుగొనవచ్చు , ఇక్కడ విలువ సుమారుగా విలువల కోసం సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది

పరిమాణం యొక్క ఖచ్చితమైన విలువ సాధారణంగా తెలియదు కాబట్టి, గణన మరియు పై సూత్రాల ప్రకారం అది అసాధ్యం. అందువల్ల, ఆచరణలో, ఫారమ్ యొక్క గరిష్ట లోపాలు అంచనా వేయబడతాయి:

(1.1.2-3)

ఎక్కడ మరియు – తెలిసిన పరిమాణాలు, ఇవి సంపూర్ణ మరియు సాపేక్ష లోపాల యొక్క ఎగువ పరిమితులు, లేకుంటే వాటిని గరిష్ట సంపూర్ణ మరియు గరిష్ట సాపేక్ష దోషాలు అంటారు. కాబట్టి, ఖచ్చితమైన విలువ లోపల ఉంటుంది:

విలువ ఉంటే తెలిసిన, అప్పుడు , మరియు పరిమాణం తెలిసినట్లయితే , ఆ