సూచనలు. F(x) వ్యక్తీకరణను నమోదు చేయండి, తదుపరి క్లిక్ చేయండి. ఫలితంగా పరిష్కారం Word ఫైల్‌లో సేవ్ చేయబడుతుంది. ఎక్సెల్‌లో సొల్యూషన్ టెంప్లేట్ కూడా సృష్టించబడింది. క్రింద ఒక వీడియో సూచన ఉంది.
ఫంక్షన్‌ను నమోదు చేయడానికి నియమాలు
ఉదాహరణలు≡ x^2/(x+2)
cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
≡ x+(x-1)^(2/3)
f(a)f(b) అనే ఊహ ప్రకారం, విరామంలో మూలాన్ని కనుగొనడానికి వేగవంతమైన మార్గాన్ని పరిశీలిద్దాం<0.
f’’(x)>0 f’’(x)<0
f(b)f’’(b)>0 f(a)f’’(a)>0 
Fig.1a Fig. 1b
అంజీర్ 1aని చూద్దాం. A మరియు B పాయింట్ల ద్వారా తీగను గీయండి. తీగ సమీకరణం 
.
పాయింట్ వద్ద x=x 1 , y=0, ఫలితంగా మేము రూట్ యొక్క మొదటి ఉజ్జాయింపును పొందుతాము 
. (3.8)
పరిస్థితులను తనిఖీ చేస్తోంది
(a) f(x 1)f(b)<0,
(బి) f(x 1)f(a)<0.
షరతు (a) సంతృప్తి చెందితే, ఫార్ములా (3.8)లో మనం పాయింట్ aని x 1తో భర్తీ చేస్తాము.
.
ఈ ప్రక్రియను కొనసాగిస్తూ, మేము nవ ఉజ్జాయింపును పొందుతాము 
. (3.9)
ఇక్కడ ముగింపు a కదిలేది, అంటే f(x i)f(b)<0. Аналогичная ситуация на рис 2а.
ముగింపు a పరిష్కరించబడినప్పుడు కేసును పరిశీలిద్దాం.
f''(x)<0 f’’(x)>0
f(b)f''(b)<0 f(a)f’’(a)<0
Fig.2a Fig.2b
Fig. 1bలో, 2b f(x i)f(a) అమలు చేయబడుతుంది<0. Записав уравнение хорды, мы на первом шаге итерационного процесса получим x 1 (см. (3.8)). Здесь выполняется f(x 1)f(a)<0. Затем вводим b 1 =x 1 (в формуле (3.8) точку b заменяем на x 1), получим
.
ప్రక్రియను కొనసాగిస్తూ, మేము సూత్రానికి చేరుకుంటాము 
. (3.10)
ప్రక్రియను ఆపడం
|x n – x n-1 |<ε; ξ≈x n
అన్నం. 3
అంజీర్ 3లో f’’(x) చిహ్నాన్ని మారుస్తుంది, కాబట్టి రెండు చివరలు కదలగలవు.
తీగ పద్ధతి యొక్క పునరావృత ప్రక్రియ యొక్క కన్వర్జెన్స్ ప్రశ్నకు వెళ్లే ముందు, మేము ఒక కుంభాకార ఫంక్షన్ యొక్క భావనను పరిచయం చేస్తాము.
నిర్వచనం.ఏదైనా రెండు పాయింట్ల కోసం x 1 ,x 2 సంతృప్తికరంగా a≤x 1 ఉంటే ఒక ఫంక్షన్ నిరంతరాయంగా కుంభాకార (పుటాకార) అంటారు.
f(αx 1 + (1-α)x 2) ≥ αf(x 1) + (1-α)f(x 2) - పుటాకార
కుంభాకార ఫంక్షన్ f’’(x)≥0 కోసం.
పుటాకార ఫంక్షన్ f’’(x)≤0 కోసం
సిద్ధాంతం 3. f(x) ఫంక్షన్ కుంభాకారంగా (పుటాకార) సెగ్మెంట్లో ఉంటే , ఏ విభాగంలోనైనా 
f(x) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ అబ్సిసాస్ x 1 మరియు x 2తో గ్రాఫ్ పాయింట్ల గుండా వెళ్ళే తీగ కంటే ఎక్కువ (తక్కువ కాదు) ఉండదు.
రుజువు:
ఒక కుంభాకార విధిని పరిశీలిద్దాం. తీగ యొక్క సమీకరణం: x 1 మరియు x 2 గుండా వెళుతుంది: 
.
పాయింట్ c= αx 1 + (1-α)x 2 ను పరిగణించండి, ఇక్కడ aО
మరోవైపు, ఒక కుంభాకార ఫంక్షన్ నిర్వచనం ప్రకారం మనకు f(αx 1 + (1-α)x 2) ≤ αf 1 + (1-α)f 2 ; అందువలన f(c) ≤ g(c) మొదలైనవి. 
పుటాకార ఫంక్షన్ కోసం రుజువు సమానంగా ఉంటుంది.
మేము ఒక కుంభాకార (పుటాకార) ఫంక్షన్ విషయంలో పునరుక్తి ప్రక్రియ యొక్క కన్వర్జెన్స్ యొక్క రుజువును పరిశీలిస్తాము.
సిద్ధాంతం 4.నిరంతర, రెండుసార్లు భేదాత్మకమైన ఫంక్షన్ f(x)ని ఇవ్వనివ్వండి మరియు f(a)f(b)<0, а f’(x) и f’’(x) сохраняют свои знаки на (см. рис 1а,1б и рис 2а,2б). Тогда итерационный процесс метода хорд сходится к корню ξ с любой наперед заданной точностью ε.
రుజువు:ఉదాహరణకు f(a)f’’(a) కేసును పరిశీలిద్దాం<0 (см рис 1а и 2а). Из формулы (9) следует, что x n >x n -1 నుండి (b-x n -1)>0, మరియు f n -1 /(f b -f n -1)<0. Это справедливо для любого n, то есть получаем возрастающую последовательность чисел
a≤x 0
. (3.11)
మన దగ్గర ఉంది
(3.12)
(అంటే, తీగపై x n పాయింట్ వద్ద y(x) ఫంక్షన్ విలువ f(ξ)తో సమానంగా ఉంటుంది).
నుండి , ఆపై (3.12) నుండి ఇది అనుసరిస్తుంది
లేదా
. (3.13)
అంజీర్ కోసం. 1a, కాబట్టి
లేదా
అంటే, మొదలైనవి. (చూడండి (3.11)).
Fig. 2a కోసం. పర్యవసానంగా, (3.12) నుండి మనం పొందుతాము
అర్థం
ఎందుకంటే 
మొదలైనవి
Fig. 1b మరియు Fig. 2b లకు సారూప్య రుజువు. ఈ విధంగా, సంఖ్యల శ్రేణి కన్వర్జెంట్ అని మేము నిరూపించాము.
a≤x 0
తీగ పద్ధతి యొక్క కన్వర్జెన్స్ గుణకంతో సరళంగా ఉంటుంది 
.
, (3.14)
ఇక్కడ m 1 =min|f’(x)|, M 1 =max|f’(x)|.
ఇది క్రింది సూత్రాల నుండి అనుసరిస్తుంది. స్థిర ముగింపు b మరియు f(b)>0 కేసును పరిశీలిద్దాం.
మేము (3.9) నుండి కలిగి ఉన్నాము 
. ఇక్కడనుంచి 
. దానిని దృష్టిలో ఉంచుకుని మనం వ్రాయవచ్చు 
లేదా 
.
(ξ-x n -1)ని కుడి వైపు హారంలో (b-x n -1)తో భర్తీ చేయడం మరియు దానిని పరిగణనలోకి తీసుకోవడం (ξ-x n -1)< (b-x n -1), получим 
, ఏది నిరూపించబడాలి (అసమానత (3.14) చూడండి).
అంజీర్ 3 (f’’(x) మార్పుల గుర్తు; సాధారణ సందర్భంలో, f’ మరియు f’’ రెండూ సంకేతాలను మార్చగలవు) విషయంలో కన్వర్జెన్స్ రుజువు మరింత క్లిష్టంగా ఉంటుంది మరియు ఇక్కడ ఇవ్వబడలేదు.
సమస్యలలో, f(x) = 0 సమీకరణం యొక్క వాస్తవ మూలాల సంఖ్యను నిర్ణయించండి, ఈ మూలాలను వేరు చేయండి మరియు తీగలు మరియు టాంజెంట్ల పద్ధతిని ఉపయోగించి, 0.001 ఖచ్చితత్వంతో వాటి సుమారు విలువలను కనుగొనండి.
సెగ్మెంట్‌పై లెట్ ఫంక్షన్ నిరంతరంగా ఉంటుంది, సెగ్మెంట్ చివర్లలో వివిధ సంకేతాలను మరియు ఉత్పన్నాన్ని తీసుకుంటుంది f "(x)గుర్తును సేవ్ చేస్తుంది. రెండవ ఉత్పన్నం యొక్క సంకేతంపై ఆధారపడి, వక్రత అమరిక యొక్క క్రింది సందర్భాలు సాధ్యమే (Fig. 1).
అన్నం. 1.
తీగ పద్ధతిని ఉపయోగించి సుమారు రూట్ లెక్కింపు కోసం అల్గోరిథం.
ప్రారంభ డేటా: f(x)-ఫంక్షన్ ; ఇ- అవసరమైన ఖచ్చితత్వం; x 0 - ప్రారంభ ఉజ్జాయింపు.
ఫలితం: xpr- సమీకరణం యొక్క సుమారు మూలం f(x)= 0.
పరిష్కార పద్ధతి:
అన్నం. 2. f "(x) f ""(x)>0.
కేసును ఎప్పుడు పరిశీలిద్దాం f "(x)మరియు f ""(x)అదే సంకేతాలను కలిగి ఉంటాయి (Fig. 2).
ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ పాయింట్ల గుండా వెళుతుంది ఎ 0 (a,f(a))మరియు బి 0 (బి,ఎఫ్(బి)). సమీకరణం యొక్క అవసరమైన మూలం (పాయింట్ x*) అనేది మాకు తెలియదు, దానికి బదులుగా చుక్క పడుతుంది X 1 తీగ కూడళ్లు ఎ 0 IN 0 అబ్సిస్సా అక్షంతో. ఇది రూట్ యొక్క ఉజ్జాయింపు విలువ అవుతుంది.
విశ్లేషణాత్మక జ్యామితిలో, కోఆర్డినేట్‌లతో రెండు బిందువుల గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని నిర్దేశించే సూత్రం ఉద్భవించింది. (x1; y1)మరియు (x2; y2): .
అప్పుడు తీగ సమీకరణం ఎ 0 IN 0 రూపంలో వ్రాయబడుతుంది: .
విలువను కనుక్కోండి x = x 1 , దేని కొరకు y = 0: . ఇప్పుడు రూట్ విభాగంలో ఉంది . ఈ విభాగానికి తీగ పద్ధతిని వర్తింపజేద్దాం. పాయింట్లను కలుపుతూ తీగను గీయండి ఎ 1 (x 1 ,f(x 1 )) మరియు బి 0 (బి,ఎఫ్(బి)), మరియు మేము కనుగొంటాము X 2 - తీగ యొక్క ఖండన స్థానం ఎ 1 IN 0 ఇరుసుతో ఓహ్: x 2 =x 1 .
ఈ ప్రక్రియను కొనసాగిస్తూ, మేము కనుగొంటాము
x 3 =x 2 .
రూట్‌కు ఉజ్జాయింపులను లెక్కించడానికి మేము పునరావృత సూత్రాన్ని పొందుతాము
x n+1 =x n .
ఈ సందర్భంలో ముగింపు బిసెగ్మెంట్ కదలకుండా మరియు ముగింపు ఉంటుంది aకదులుతుంది.
అందువలన, మేము తీగ పద్ధతి కోసం గణన సూత్రాలను పొందుతాము:
x n+1 =x n ; x 0 = ఎ. (4)
మేము పేర్కొన్న ఖచ్చితత్వాన్ని చేరుకునే వరకు సమీకరణం యొక్క ఖచ్చితమైన మూలానికి వరుస ఉజ్జాయింపుల గణన కొనసాగుతుంది, అనగా. కింది షరతు తప్పక పాటించాలి: |x n+1 -x n |< , పేర్కొన్న ఖచ్చితత్వం ఎక్కడ ఉంది.
ఇప్పుడు మొదటి మరియు రెండవ ఉత్పన్నాలు వేర్వేరు సంకేతాలను కలిగి ఉన్నప్పుడు కేసును పరిశీలిద్దాం, అనగా. f "(x) f ""(x)<0 . (Fig. 3).
అన్నం. 3. కేసు కోసం తీగ పద్ధతి యొక్క రేఖాగణిత వివరణ f "(x) f ""(x)<0 .
చుక్కలను కనెక్ట్ చేద్దాం ఎ 0 (a,f(a))మరియు బి 0 (బి,ఎఫ్(బి))తీగ ఎ 0 IN 0 . అక్షంతో తీగ యొక్క ఖండన స్థానం ఓహ్మేము రూట్ యొక్క మొదటి ఉజ్జాయింపును పరిశీలిస్తాము. ఈ సందర్భంలో, సెగ్మెంట్ యొక్క స్థిర ముగింపు ముగింపు అవుతుంది ఎ.
తీగ సమీకరణం ఎ 0 IN 0 :. ఇక్కడ నుండి మేము కనుగొంటాము x 1 , ఊహిస్తూ y = 0: x 1 = బి. ఇప్పుడు సమీకరణం యొక్క మూలం x. ఈ విభాగానికి తీగ పద్ధతిని వర్తింపజేయడం, మేము పొందుతాము x 2 =x 1 . కొనసాగింపు, మొదలైనవి, మేము పొందుతాము x n+1 =x n .
పద్ధతి యొక్క గణన సూత్రాలు:
x n+1 =x n , x 0 =0 . (5)
గణనలను పూర్తి చేయడానికి షరతులు: |x n+1 -x n |< . అప్పుడు xpr = xn+1ఖచ్చితత్వంతో కాబట్టి, ఉంటే f "(x) f ""(x)>0రూట్ యొక్క ఉజ్జాయింపు విలువ ఫార్ములా (4) ఉపయోగించి కనుగొనబడింది, if f "(x) f ""(x)<0 , అప్పుడు సూత్రం ప్రకారం (5).
ఒకటి లేదా మరొక సూత్రం యొక్క ఆచరణాత్మక ఎంపిక క్రింది నియమాన్ని ఉపయోగించి నిర్వహించబడుతుంది: సెగ్మెంట్ యొక్క స్థిర ముగింపు అనేది ఫంక్షన్ యొక్క సంకేతం రెండవ ఉత్పన్నం యొక్క చిహ్నంతో సమానంగా ఉంటుంది.
ఉదాహరణ. సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి ఈ నియమం యొక్క ప్రభావాన్ని వివరించండి
(x-1)ln(x)-1=0, రూట్ ఐసోలేషన్ సెగ్మెంట్ అయితే .
పరిష్కారం. ఇక్కడ f(x)=(x-1)ln(x)-1.
f "(x)=ln(x)+;
f ""(x)=.
ఈ ఉదాహరణలోని రెండవ ఉత్పన్నం రూట్ ఐసోలేషన్ విభాగంలో సానుకూలంగా ఉంటుంది : f ""(x)>0, f(3)>0, అనగా. f(b) f""(x)>0. అందువల్ల, తీగ పద్ధతిని ఉపయోగించి ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించేటప్పుడు, మూలాన్ని స్పష్టం చేయడానికి, మేము సూత్రాలను (4) ఎంచుకుంటాము.
var e,c,a,b,y,ya,yb,yn,x,x1,x2,xn,f1,f2:రియల్;
ప్రారంభం ఇ:=0.0001;
రైట్ల్న్("vvedi nachalo otrezka");
రైట్ల్న్("vvedi konec otrezka");
y:=((x-1)*ln(x))-1;
y:=((x-1)*ln(x))-1;
yb:=y; c:=(a+b)/2; x:=c;
y:=((x-1)*ln(x))-1;
f1:=ln(x) + (x-1)/x ;
f2:= 1/x + 1/(x*x);
ఉంటే (ya*yb< 0) and (f1*f2 > 0)
ఆపై x1:=a ప్రారంభించండి; అయితే abs(x2 - x) > e do
x2:=x1 - (yn*(b-x1))/(yb - yn);
రైట్ఎల్ఎన్("కోరెన్ ఉరవ్నేనియా xn = ", x2)
ముగింపు elsebegin x1:=b;
అయితే abs(x2 - x) > e do
ప్రారంభం x:=x1; y:=((x-1)*ln(x))-1; yn:=y;
x2:=x1 - (yn*(x1- a))/(yn - ya);
రైట్ల్న్("కోరెన్ ఉరవ్నేనియా xn = ", x2);
సాధారణ పునరావృత పద్ధతి
సమీకరణాన్ని పరిగణించండి f(x)=0(1) వేరు వేరు వేరుతో X. సాధారణ పునరావృత పద్ధతిని ఉపయోగించి సమీకరణం (1)ని పరిష్కరించడానికి, మేము దానిని సమానమైన రూపానికి తగ్గిస్తాము: x=ts(x). (2)
ఇది ఎల్లప్పుడూ చేయవచ్చు, మరియు అనేక విధాలుగా. ఉదాహరణకి:
x=g(x) f(x) + x ? c(x), ఎక్కడ g(x) - సెగ్మెంట్లో మూలాలు లేని ఏకపక్ష నిరంతర ఫంక్షన్ .
వీలు x (0) - ఏదో ఒక విధంగా పొందిన మూలానికి ఉజ్జాయింపు x(సరళమైన సందర్భంలో x (0) =(a+b)/2).సాధారణ పునరావృత పద్ధతిలో పునరావృత క్రమం యొక్క నిబంధనలను వరుసగా లెక్కించడం ఉంటుంది:
x (k+1) =ts(x (కె) ), k=0, 1, 2, ... (3)
సమీపించడం నుండి ప్రారంభమవుతుంది x (0) .
ప్రకటన: 1 సాధారణ పునరుక్తి పద్ధతి యొక్క క్రమం (x(k)) కలుస్తుంది మరియు μ ఫంక్షన్ నిరంతరంగా ఉంటే, అప్పుడు క్రమం యొక్క పరిమితి x=μ(x) సమీకరణం యొక్క మూలం.
సాక్ష్యం: అది ఉండనివ్వండి. (4)
సమానత్వంలో పరిమితికి వెళ్దాం x (k+1) =ts(x (కె) ) ఒక వైపు, మేము (4) నుండి పొందుతాము మరియు మరొక వైపు, ఫంక్షన్ యొక్క కొనసాగింపు కారణంగా tsమరియు (4) .
ఫలితంగా మనకు లభిస్తుంది x * =ts(x * ). అందుకే, x * - సమీకరణం యొక్క మూలం (2), అనగా. X=x * .
ఈ ప్రకటనను ఉపయోగించడానికి, క్రమం తప్పనిసరిగా కలుస్తుంది (x (కె) }. కన్వర్జెన్స్ కోసం తగినంత షరతు ఇస్తుంది:
సిద్ధాంతం 1: (కన్వర్జెన్స్‌పై) సమీకరణాన్ని తెలియజేయండి x=ts(x)విభాగంలో ఒకే మూలాన్ని కలిగి ఉంది మరియు షరతులు నెరవేరుతాయి:
- 1) సి(x) సి 1 ;
- 2) c(x) "x;
- 3) స్థిరత్వం ఉంది q > 0: | q "(x) | ? q . అప్పుడు పునరావృత క్రమం (x (కె) }, ఫార్ములా ద్వారా ఇవ్వబడింది x (k+1) = q(x (కె) ), k=0, 1,...ఏదైనా ప్రారంభ ఉజ్జాయింపు వద్ద కలుస్తుంది x (0) .
రుజువు: క్రమం యొక్క రెండు ప్రక్కనే ఉన్న నిబంధనలను పరిగణించండి (x (కె) ): x (కె) = q(x (k-1) ) మరియు x (k+1) = q(x (కె) ) షరతు 2 ప్రకారం నుండి) x (కె)మరియు x (k+1)సెగ్మెంట్ లోపల పడుకోండి , అప్పుడు Lagrange యొక్క సగటు విలువ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి మనం పొందుతాము:
x (k+1) - x (కె) = q(x (కె) ) - సి(x (k-1) ) = సి "(సి కె )(x (కె) - x (k-1) ), ఇక్కడ సి కె (x (k-1) , x (కె) ).
ఇక్కడ నుండి మనం పొందుతాము:
| x (k+1) - x (కె) | = | ts "(సి కె ) | · | x (కె) - x (k-1) | ? q | x (కె) - x (k-1) | ?
? q(q|x (k-1) - x (k-2) |) = q 2 | x (k-1) - x (k-2) | ? ...? q కె | x (1) - x (0) |. (5)
సిరీస్ పరిగణించండి
ఎస్ ? = x (0) + (x (1) - x (0) ) + ... + (x (k+1) - x (కె) ) + ... . (6)
ఈ సిరీస్ కలుస్తుందని మేము నిరూపిస్తే, దాని పాక్షిక మొత్తాల క్రమం కూడా కలుస్తుంది
ఎస్ కె = x (0) + (x (1) - x (0) ) + ... + (x (కె) - x (k-1) ).
కానీ దానిని లెక్కించడం కష్టం కాదు
ఎస్ కె = x (k)) . (7)
పర్యవసానంగా, మేము పునరావృత శ్రేణి యొక్క కలయికను నిరూపిస్తాము (x (కె) }.
సిరీస్ (6) యొక్క కన్వర్జెన్స్‌ని నిరూపించడానికి, మనం దానిని పదం వారీగా (మొదటి పదం లేకుండా) పోల్చి చూద్దాం x (0) ) సమీపంలో
q 0 | x (1) - x (0) | +q 1 |x (1) - x (0) | + ... + |x (1) - x (0) | + ..., (8)
ఇది అనంతంగా తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతిగా కలుస్తుంది (షరతు ద్వారా q< 1 ) అసమానత (5) కారణంగా, శ్రేణి (6) యొక్క సంపూర్ణ విలువలు కన్వర్జెంట్ సిరీస్ (8) యొక్క సంబంధిత నిబంధనలను మించవు (అంటే, సిరీస్ (8) శ్రేణిని పెద్దదిగా చేస్తుంది (6). కాబట్టి, సిరీస్ (6 ) కూడా కలుస్తుంది.ఈ విధంగా, క్రమం కలుస్తుంది (x (0) }.
మేము లోపాన్ని అంచనా వేయడానికి ఒక పద్ధతిని అందించే సూత్రాన్ని పొందుతాము |X - x (k+1) |
సాధారణ పునరావృత పద్ధతి.
X-x (k+1) = X - S k+1 = ఎస్ ? -ఎస్ k+1 = (x (k+2) - (k+1) ) + (x (k+3) - x (k+2) ) + ... .
అందుకే
|X - x (k+1) | ? |x (k+2) - (k+1) | + |x (k+3) - x (k+2) | +... ? q k+1 |x (1) - x (0) | +q k+2 |x (1) - x (0) | + ... = q k+1 |x (1) - x (0) | /(1-q).
ఫలితంగా, మేము సూత్రాన్ని పొందుతాము
|X - x (k+1) | ? q k+1 |x (1) - x (0) | /(1-q).(9)
కోసం తీసుకుంటోంది x (0) అర్థం x (కె) , వెనుక x (1) - అర్థం x (k+1)(సిద్ధాంతం యొక్క షరతులు నెరవేరినట్లయితే అటువంటి ఎంపిక సాధ్యమవుతుంది కాబట్టి) మరియు అసమానత కోసం పరిగణనలోకి తీసుకోవడం q k+1 ? qమేము అవుట్పుట్:
|X - x (k+1) | ? q k+1 |x (k+1) - x (కె) | / (1-q) ? q|x (k+1) - x (కె) | /(1-q).
కాబట్టి, మేము చివరకు పొందుతాము:
|X - x (k+1) | ? q|x (k+1) - x (కె) | /(1-q). (10)
పునరావృత క్రమాన్ని ముగించే ప్రమాణాన్ని పొందేందుకు మేము ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము. సమీకరణాన్ని తెలియజేయండి x=ts(x)సాధారణ పునరావృతం ద్వారా పరిష్కరించబడుతుంది మరియు సమాధానాన్ని ఖచ్చితత్వంతో కనుగొనాలి ఇ,అంటే
|X - x (k+1) | ? ఇ.
ఖాతాలోకి (10) తీసుకొని, మేము ఖచ్చితత్వాన్ని కనుగొన్నాము ఇఅసమానత సంతృప్తి చెందితే సాధించబడుతుంది
|x (k+1) -x (కె) | ? (1-q)/q.(11)
అందువలన, సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనడానికి x=ts(x)ఖచ్చితత్వంతో సరళమైన పునరావృత పద్ధతిని ఉపయోగించి, చివరి పొరుగు ఉజ్జాయింపుల మధ్య వ్యత్యాసం యొక్క మాడ్యులస్ సంఖ్య కంటే ఎక్కువగా ఉండే వరకు పునరావృతాలను కొనసాగించడం అవసరం. e(1-q)/q.
రిమార్క్ 1: స్థిరమైన qగా, ఒకరు సాధారణంగా పరిమాణానికి ఎగువ అంచనాను తీసుకుంటారు
రేఖాగణిత వివరణ
ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను చూద్దాం. దీనర్థం సమీకరణానికి పరిష్కారం మరియు రేఖతో ఖండన స్థానం:
చిత్రం 1.
మరియు తదుపరి పునరావృతం అనేది సరళ రేఖతో క్షితిజ సమాంతర సరళ రేఖ యొక్క ఖండన యొక్క x కోఆర్డినేట్.
మూర్తి 2.
ఫిగర్ కన్వర్జెన్స్ అవసరాన్ని స్పష్టంగా చూపిస్తుంది. ఉత్పన్నం 0కి దగ్గరగా ఉంటే, అల్గోరిథం వేగంగా కలుస్తుంది. పరిష్కారం సమీపంలోని ఉత్పన్నం యొక్క గుర్తుపై ఆధారపడి, ఉజ్జాయింపులను వివిధ మార్గాల్లో నిర్మించవచ్చు. ఒకవేళ, ప్రతి తదుపరి ఉజ్జాయింపు రూట్ యొక్క మరొక వైపు నిర్మించబడి ఉంటే:
మూర్తి 3.
ముగింపు
గణనల నాణ్యతను మెరుగుపరచడంలో సమస్య, కావలసిన మరియు వాస్తవాల మధ్య వ్యత్యాసంగా ఉంది మరియు భవిష్యత్తులో కూడా ఉంటుంది. సమాచార సాంకేతిక పరిజ్ఞానాన్ని అభివృద్ధి చేయడం ద్వారా దీని పరిష్కారం సులభతరం చేయబడుతుంది, ఇందులో సమాచార ప్రక్రియలను నిర్వహించడానికి మరియు నిర్దిష్ట సాధనాలను ఉపయోగించి వాటి అమలు కోసం మెరుగుపరిచే పద్ధతులను కలిగి ఉంటుంది - పర్యావరణాలు మరియు ప్రోగ్రామింగ్ భాషలు.
సాధారణ పునరావృతం, న్యూటన్, తీగలు మరియు సగం విభజన పద్ధతులను ఉపయోగించి సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనడానికి పని యొక్క ఫలితం సృష్టించబడిన ఫంక్షనల్ మోడల్‌గా పరిగణించబడుతుంది. ఈ నమూనా నిర్ణయాత్మక సమస్యలకు వర్తిస్తుంది, అనగా. ప్రయోగాత్మక గణన లోపం నిర్లక్ష్యం చేయబడవచ్చు. సృష్టించబడిన ఫంక్షనల్ మోడల్ మరియు దాని సాఫ్ట్‌వేర్ అమలు మరింత క్లిష్టమైన సమస్యలను పరిష్కరించడంలో సేంద్రీయ భాగంగా ఉపయోగపడుతుంది.
కోర్సు పని "సంఖ్యా పద్ధతులు. నాన్ లీనియర్ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం" అనే అంశంపై పరిశోధన నిర్వహించిన తరువాత, నేను పరిచయంలో సెట్ చేసిన లక్ష్యాలను సాధించాను. మూలాలను శుద్ధి చేసే పద్ధతులు వివరంగా చర్చించబడ్డాయి. ప్రతి నిర్వచనం మరియు సిద్ధాంతానికి అనేక ఉదాహరణలు ఇవ్వబడ్డాయి. అన్ని సిద్ధాంతాలు నిరూపించబడ్డాయి.
వివిధ వనరులను ఉపయోగించడం వల్ల అంశాన్ని పూర్తిగా అన్వేషించడం సాధ్యమైంది.
తీగ పద్ధతి (పద్ధతి అని కూడా పిలుస్తారు సెకాంట్ పద్ధతి ) నాన్ లీనియర్ సమీకరణాలను పరిష్కరించే పద్ధతుల్లో ఒకటి మరియు సమీకరణం యొక్క ఏకైక మూలాన్ని కలిగి ఉన్న విరామం యొక్క వరుస సంకుచితంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. పేర్కొన్న ఖచ్చితత్వాన్ని సాధించే వరకు పునరావృత ప్రక్రియ నిర్వహించబడుతుంది.
సగం విభజన పద్ధతి వలె కాకుండా, తీగ పద్ధతి పరిశీలనలో ఉన్న విరామం యొక్క విభజన దాని మధ్యలో కాకుండా, అబ్సిస్సా అక్షం (X అక్షం)తో తీగ యొక్క ఖండన పాయింట్ వద్ద నిర్వహించబడుతుందని సూచిస్తుంది. ఒక తీగ అనేది పరిశీలనలో ఉన్న విరామం చివరిలో పరిశీలనలో ఉన్న ఫంక్షన్ యొక్క పాయింట్ల ద్వారా గీసిన విభాగంగా అర్థం చేసుకోబడుతుందని గమనించాలి. పరిశీలనలో ఉన్న పద్ధతి సగభాగాల పద్ధతి కంటే మూలాన్ని వేగంగా కనుగొనడాన్ని అందిస్తుంది, పరిశీలనలో ఉన్న అదే విరామం పేర్కొనబడితే.
రేఖాగణితంగా, తీగ పద్ధతి పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న వక్ర తీగతో భర్తీ చేయడానికి సమానం మరియు (Fig. 1 చూడండి.).
చిత్రం 1. ఒక ఫంక్షన్‌కు సెగ్మెంట్ (తీగ) నిర్మాణం.
A మరియు B బిందువుల ద్వారా వెళ్ళే సరళ రేఖ (తీగ) యొక్క సమీకరణం క్రింది రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:
ఈ సమీకరణం కార్టీసియన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో సరళ రేఖను వివరించడానికి ఒక సాధారణ సమీకరణం. వక్రరేఖ యొక్క వాలు వరుసగా హారంలోని విలువలను ఉపయోగించి ఆర్డినేట్ మరియు అబ్సిస్సాతో పాటు నిర్దేశించబడింది మరియు .
అబ్సిస్సా అక్షంతో సరళ రేఖ యొక్క ఖండన స్థానం కోసం, పైన వ్రాసిన సమీకరణం క్రింది రూపంలో తిరిగి వ్రాయబడుతుంది:
పునరావృత ప్రక్రియ ద్వారా వెళ్ళడానికి కొత్త విరామంగా, మేము రెండింటిలో ఒకదానిని ఎంచుకుంటాము లేదా , దాని చివర్లలో ఫంక్షన్ వివిధ సంకేతాల విలువలను తీసుకుంటుంది. సెగ్మెంట్ చివర్లలో ఫంక్షన్ విలువల వ్యతిరేక సంకేతాలను అనేక విధాలుగా నిర్ణయించవచ్చు. సెగ్మెంట్ చివరలలో ఫంక్షన్ యొక్క విలువలను గుణించడం మరియు గుణకారం యొక్క ఫలితాన్ని సున్నాతో పోల్చడం ద్వారా ఉత్పత్తి యొక్క చిహ్నాన్ని నిర్ణయించడం ఈ పద్ధతుల్లో ఒకటి:
లేదా 
.
రెండు వరుస ఉజ్జాయింపుల సామీప్యత యొక్క పరిస్థితి పేర్కొన్న ఖచ్చితత్వం కంటే తక్కువగా ఉన్నప్పుడు రూట్‌ను శుద్ధి చేసే పునరావృత ప్రక్రియ ముగుస్తుంది, అనగా.
Fig.2. గణన లోపం యొక్క నిర్వచనం యొక్క వివరణ.
తీగ పద్ధతి యొక్క కన్వర్జెన్స్ సరళంగా ఉంటుందని గమనించాలి, కానీ విభజన పద్ధతి యొక్క కన్వర్జెన్స్ కంటే వేగంగా ఉంటుంది.
తీగ పద్ధతిని ఉపయోగించి నాన్ లీనియర్ సమీకరణం యొక్క మూలాన్ని కనుగొనే అల్గోరిథం
1. రూట్ సెపరేషన్ పద్ధతుల్లో ఒకదానిని ఉపయోగించి ప్రారంభ అనిశ్చితి విరామాన్ని కనుగొనండి. Zగణన దోషాన్ని ఇవ్వండి (చిన్న సానుకూల సంఖ్య) మరియు ప్రారంభ పునరావృత దశ () .
2. అబ్సిస్సా అక్షంతో తీగ యొక్క ఖండన బిందువును కనుగొనండి:
3. పాయింట్ల వద్ద ఫంక్షన్ విలువను కనుగొనడం అవసరం , మరియు . తరువాత, మీరు రెండు షరతులను తనిఖీ చేయాలి:
షరతు నెరవేరితే 
, అప్పుడు కావలసిన రూట్ ఎడమ సెగ్మెంట్ పుట్ లోపల ఉంది, ;
షరతు నెరవేరితే 
, అప్పుడు కావలసిన రూట్ కుడి సెగ్మెంట్ లోపల ఉంది అంగీకరించు , .
ఫలితంగా, కొత్త అనిశ్చితి విరామం కనుగొనబడింది, దానిపై సమీకరణం యొక్క కావలసిన మూలం ఉంది:
4. మేము ఈ సందర్భంలో పేర్కొన్న ఖచ్చితత్వం కోసం సమీకరణం యొక్క మూలం యొక్క సుమారు విలువను తనిఖీ చేస్తాము:
రెండు వరుస ఉజ్జాయింపుల మధ్య వ్యత్యాసం పేర్కొన్న ఖచ్చితత్వం కంటే తక్కువగా ఉంటే, పునరావృత ప్రక్రియ ముగుస్తుంది. రూట్ యొక్క ఉజ్జాయింపు విలువ సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది:
రెండు వరుస ఉజ్జాయింపుల మధ్య వ్యత్యాసం అవసరమైన ఖచ్చితత్వాన్ని చేరుకోకపోతే, పునరావృత ప్రక్రియను కొనసాగించడం మరియు పరిశీలనలో ఉన్న అల్గోరిథం యొక్క 2వ దశకు వెళ్లడం అవసరం.
తీగ పద్ధతిని ఉపయోగించి సమీకరణాలను పరిష్కరించే ఉదాహరణ
ఉదాహరణగా, తీగ పద్ధతిని ఉపయోగించి నాన్ లీనియర్ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడాన్ని పరిగణించండి. యొక్క ఖచ్చితత్వంతో పరిశీలనలో ఉన్న పరిధిలో రూట్ తప్పనిసరిగా కనుగొనబడాలి.
సాఫ్ట్‌వేర్ ప్యాకేజీలో నాన్ లీనియర్ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించే ఎంపికMathCAD.
గణన ఫలితాలు, అవి రూట్ యొక్క ఉజ్జాయింపు విలువలో మార్పుల యొక్క డైనమిక్స్, అలాగే పునరావృత దశపై ఆధారపడి గణన లోపాలు, గ్రాఫికల్ రూపంలో ప్రదర్శించబడతాయి (Fig. 1 చూడండి).
చిత్రం 1. తీగ పద్ధతిని ఉపయోగించి గణన ఫలితాలు
ఒక పరిధిలో సమీకరణం కోసం శోధిస్తున్నప్పుడు పేర్కొన్న ఖచ్చితత్వాన్ని నిర్ధారించడానికి, 6 పునరావృత్తులు చేయడం అవసరం. చివరి పునరావృత దశలో, నాన్ లీనియర్ సమీకరణం యొక్క మూలం యొక్క సుమారు విలువ విలువ ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది: .
గమనిక:
ఈ పద్ధతి యొక్క సవరణ తప్పుడు స్థానం పద్ధతి(ఫాల్స్ పొజిషన్ మెథడ్), ఇది సెకెంట్ పద్ధతికి భిన్నంగా ఉంటుంది, ప్రతిసారీ చివరి 2 పాయింట్లు తీసుకోబడవు, కానీ రూట్ చుట్టూ ఉన్న పాయింట్లు.
రెండవ ఉత్పన్నాన్ని నాన్ లీనియర్ ఫంక్షన్ నుండి తీసుకోగలిగితే, శోధన అల్గోరిథం సరళీకృతం చేయబడుతుందని గమనించాలి. రెండవ ఉత్పన్నం స్థిరమైన చిహ్నాన్ని నిర్వహిస్తుందని అనుకుందాం మరియు రెండు సందర్భాలను పరిశీలిద్దాం:
కేసు #1:
మొదటి షరతు నుండి సెగ్మెంట్ యొక్క స్థిర వైపు వైపు అని తేలింది a.
కేసు #2:
సంఖ్యా పద్ధతులు 1
నాన్ లీనియర్ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం 1
సమస్య ప్రకటన 1
రూట్ స్థానికీకరణ 2
రూట్ శుద్ధీకరణ 4
మూలాలను శుద్ధి చేసే పద్ధతులు 4
సగం విభజన పద్ధతి 4
తీగ పద్ధతి 5
న్యూటన్ పద్ధతి (టాంజెంట్ పద్ధతి) 6
సంఖ్యా ఏకీకరణ 7
సమస్య యొక్క ప్రకటన 7
దీర్ఘచతురస్ర పద్ధతి 8
ట్రాపెజాయిడ్ పద్ధతి 9
పారాబొలా పద్ధతి (సింప్సన్ ఫార్ములా) 10
సంఖ్యా పద్ధతులు
ఆచరణలో, చాలా సందర్భాలలో తలెత్తిన గణిత సమస్యకు ఖచ్చితమైన పరిష్కారం కనుగొనడం సాధ్యం కాదు. కోరిన పరిష్కారం సాధారణంగా ప్రాథమిక లేదా ఇతర తెలిసిన ఫంక్షన్లలో వ్యక్తీకరించబడనందున ఇది జరుగుతుంది. అందువల్ల, సంఖ్యా పద్ధతులు గొప్ప ప్రాముఖ్యతను సంతరించుకున్నాయి.
సంఖ్యా పద్ధతులు అంటే అంకగణితం మరియు సంఖ్యలపై కొన్ని తార్కిక కార్యకలాపాలకు తగ్గించబడిన సమస్యలను పరిష్కరించడానికి పద్ధతులు. పని యొక్క సంక్లిష్టత, పేర్కొన్న ఖచ్చితత్వం మరియు ఉపయోగించిన పద్ధతిపై ఆధారపడి, భారీ సంఖ్యలో చర్యలు అవసరం కావచ్చు మరియు ఇక్కడ మీరు హై-స్పీడ్ కంప్యూటర్ లేకుండా చేయలేరు.
సంఖ్యా పద్ధతి ద్వారా పొందిన పరిష్కారం సాధారణంగా సుమారుగా ఉంటుంది, అంటే, ఇది కొంత లోపాన్ని కలిగి ఉంటుంది. సమస్య యొక్క ఉజ్జాయింపు పరిష్కారంలో లోపం యొక్క మూలాలు:
పరిష్కార పద్ధతి యొక్క లోపం;
సంఖ్యలతో కార్యకలాపాలలో రౌండ్ లోపాలు.
పద్ధతి లోపం వల్ల కలుగుతుందిఎందుకంటే సంఖ్యా పద్ధతి సాధారణంగా మరొక, సరళమైన సమస్యను పరిష్కరిస్తుంది, అది అసలు సమస్యను సుమారుగా (దగ్గరగా తీసుకువస్తుంది). కొన్ని సందర్భాల్లో, సంఖ్యా పద్ధతి అంతులేని ప్రక్రియ, ఏది పరిమితిలోకావలసిన పరిష్కారానికి దారి తీస్తుంది. ప్రక్రియ, ఏదో ఒక దశలో అంతరాయం కలిగించి, సుమారుగా పరిష్కారాన్ని ఇస్తుంది.
రౌండింగ్ లోపంసమస్యను పరిష్కరించే ప్రక్రియలో చేసిన అంకగణిత కార్యకలాపాల సంఖ్యపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఒకే సమస్యను పరిష్కరించడానికి వివిధ సంఖ్యా పద్ధతులను ఉపయోగించవచ్చు. రౌండింగ్ లోపాలకు సున్నితత్వం ఎంచుకున్న పద్ధతిపై గణనీయంగా ఆధారపడి ఉంటుంది.
నాన్ లీనియర్ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం సమస్య ప్రకటన
తెలియని ఒకదానితో నాన్‌లీనియర్ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం అనేది భౌతిక శాస్త్రం, రసాయన శాస్త్రం, జీవశాస్త్రం మరియు సైన్స్ మరియు టెక్నాలజీ యొక్క ఇతర రంగాలలో ఉత్పన్నమయ్యే ముఖ్యమైన గణిత సమస్యలలో ఒకటి.
సాధారణంగా, ఒక తెలియని ఒక నాన్ లీనియర్ సమీకరణాన్ని వ్రాయవచ్చు:
f(x) = 0 ,
ఎక్కడ f(x) – ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క కొంత నిరంతర ఫంక్షన్ x.
ఏదైనా సంఖ్య x 0 , దేని వద్ద f(x 0 ) ≡ 0, సమీకరణం యొక్క మూలం అంటారు f(x) = 0.
నాన్ లీనియర్ సమీకరణాలను పరిష్కరించే పద్ధతులు విభజించబడ్డాయి నేరుగా(విశ్లేషణాత్మక, ఖచ్చితమైన) మరియు పునరావృతం. ప్రత్యక్ష పద్ధతులు ఒక నిర్దిష్ట సంబంధం (ఫార్ములా) రూపంలో పరిష్కారాన్ని వ్రాయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తాయి. ఈ సందర్భంలో, మూలాల విలువలను ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి పరిమిత సంఖ్యలో అంకగణిత కార్యకలాపాలలో లెక్కించవచ్చు. త్రికోణమితి, సంవర్గమాన, ఘాతాంక మరియు సాధారణ బీజగణిత సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఇలాంటి పద్ధతులు అభివృద్ధి చేయబడ్డాయి.
ఏది ఏమైనప్పటికీ, ఆచరణలో ఎదురయ్యే నాన్ లీనియర్ సమీకరణాలలో ఎక్కువ భాగం ప్రత్యక్ష పద్ధతుల ద్వారా పరిష్కరించబడదు. నాల్గవ డిగ్రీ కంటే ఎక్కువ బీజగణిత సమీకరణం కోసం కూడా, పరిమిత సంఖ్యలో అంకగణిత కార్యకలాపాలతో ఫార్ములా రూపంలో విశ్లేషణాత్మక పరిష్కారాన్ని పొందడం సాధ్యం కాదు. అటువంటి అన్ని సందర్భాల్లో, ఏదైనా నిర్దిష్ట ఖచ్చితత్వంతో మూలాల యొక్క ఉజ్జాయింపు విలువలను పొందడం సాధ్యం చేసే సంఖ్యా పద్ధతులకు వెళ్లడం అవసరం.
సంఖ్యా విధానంతో, నాన్ లీనియర్ సమీకరణాలను పరిష్కరించే సమస్య రెండు దశలుగా విభజించబడింది: స్థానికీకరణ(వేరు) మూలాలు, అనగా. అక్షం మీద అటువంటి విభాగాలను కనుగొనడం x, దీనిలో ఒకే ఒక్క రూట్ ఉంది మరియు మూలాల స్పష్టీకరణ, అనగా ఇచ్చిన ఖచ్చితత్వంతో మూలాల యొక్క సుమారు విలువల గణన.
మూలాల స్థానికీకరణ
సమీకరణం యొక్క మూలాలను వేరు చేయడానికి f(x) = 0 ముందుగా, పరిశీలనలో ఉన్న సెగ్మెంట్‌పై ధృవీకరించడం సాధ్యం చేసే ప్రమాణాన్ని కలిగి ఉండటం అవసరం [ a,బి] ఒక రూట్ ఉంది మరియు రెండవది, సూచించిన విభాగంలో ఈ రూట్ మాత్రమే ఉంది.
ఫంక్షన్ అయితే f(x) విరామంలో నిరంతరంగా ఉంటుంది [ a,బి], మరియు సెగ్మెంట్ చివర్లలో దాని విలువలు వేర్వేరు సంకేతాలను కలిగి ఉంటాయి, అనగా.
f(a) f(బి) < 0 ,
అప్పుడు ఈ విభాగంలో కనీసం ఒక రూట్ ఉంటుంది.
అత్తి 1. మూలాల విభజన. ఫంక్షన్ f(x) విరామంలో మోనోటోనిక్ కాదు [ a,బి].
ఈ పరిస్థితి, మూర్తి (1) నుండి చూడవచ్చు, రూట్ యొక్క ప్రత్యేకతను నిర్ధారించదు. సెగ్మెంట్లో రూట్ యొక్క ప్రత్యేకతను నిర్ధారించే తగినంత అదనపు షరతు [ a,బి] అనేది ఈ విరామంలో ఫంక్షన్ మోనోటోనిక్‌గా ఉండాలనే నిబంధన. ఒక ఫంక్షన్ యొక్క మోనోటోనిసిటీకి చిహ్నంగా, మేము మొదటి ఉత్పన్నం యొక్క సంకేతం యొక్క స్థిరత్వం యొక్క స్థితిని ఉపయోగించవచ్చు f′( x) .
కాబట్టి, విరామంలో అయితే [ a,బి] ఫంక్షన్ నిరంతర మరియు మార్పులేనిది, మరియు సెగ్మెంట్ చివర్లలో దాని విలువలు వేర్వేరు సంకేతాలను కలిగి ఉంటాయి, అప్పుడు పరిశీలనలో ఉన్న విభాగంలో ఒకే ఒక మూలం ఉంటుంది.
ఈ ప్రమాణాన్ని ఉపయోగించి, మీరు మూలాలను వేరు చేయవచ్చు విశ్లేషణాత్మకమార్గం, ఒక ఫంక్షన్ యొక్క మోనోటోనిసిటీ యొక్క విరామాలను కనుగొనడం.
రూట్ వేరు చేయవచ్చు గ్రాఫికల్ గా, ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను నిర్మించడం సాధ్యమైతే వై=f(x) . ఉదాహరణకు, మూర్తి (1)లోని ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్, విరామంలో ఈ ఫంక్షన్‌ను మూడు మోనోటోనిసిటీ విరామాలుగా విభజించవచ్చని మరియు ఈ విరామంలో దీనికి మూడు మూలాలు ఉన్నాయని చూపిస్తుంది.
రూట్ వేరు కూడా చేయవచ్చు పట్టికమార్గం. మనకు ఆసక్తి కలిగించే సమీకరణం (2.1) యొక్క అన్ని మూలాలు విరామంలో ఉన్నాయని అనుకుందాం [ ఎ, బి]. ఈ విభాగం యొక్క ఎంపిక (రూట్ శోధన విరామం) చేయవచ్చు, ఉదాహరణకు, నిర్దిష్ట భౌతిక లేదా ఇతర సమస్య యొక్క విశ్లేషణ ఆధారంగా.
అన్నం. 2. రూట్ స్థానికీకరణ యొక్క పట్టిక పద్ధతి.
మేము విలువలను లెక్కిస్తాము f(x) పాయింట్ నుండి ప్రారంభమవుతుంది x=ఎ, కొన్ని దశలతో కుడివైపుకు వెళ్లడం h(Fig. 2). ప్రక్కనే ఉన్న విలువల జత కనుగొనబడిన వెంటనే f(x) విభిన్న సంకేతాలను కలిగి ఉంటుంది, కాబట్టి వాదన యొక్క సంబంధిత విలువలు xమూలాన్ని కలిగి ఉన్న సెగ్మెంట్ యొక్క సరిహద్దులుగా పరిగణించవచ్చు.
సమీకరణాల మూలాలను వేరు చేయడానికి పట్టిక పద్ధతి యొక్క విశ్వసనీయత ఫంక్షన్ యొక్క స్వభావంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. f(x) మరియు ఎంచుకున్న దశ పరిమాణంపై h. నిజానికి, తగినంత చిన్న విలువ కోసం h(h<<|బి−ఎ|) ప్రస్తుత సెగ్మెంట్ సరిహద్దుల్లో [ x, x+h] ఫంక్షన్ f(x) అదే గుర్తు యొక్క విలువలను తీసుకుంటుంది, అప్పుడు సమీకరణం ఆశించడం సహజం f(x) = 0కి ఈ విభాగంలో మూలాలు లేవు. అయితే, ఇది ఎల్లప్పుడూ కేసు కాదు: ఫంక్షన్ యొక్క మోనోటోనిసిటీ యొక్క పరిస్థితి కలుసుకోకపోతే f(x) విభాగంలో [ x, x+h] సమీకరణం యొక్క మూలాలుగా మారవచ్చు (Fig. 3a).
Fig 3a Figure 3b
విభాగంలో అనేక మూలాలు కూడా ఉన్నాయి [ x, x+h] షరతు నెరవేరితే కూడా కనిపించవచ్చు f(x) f(x+ h) < 0 (Fig. 3b). అటువంటి పరిస్థితులను ఊహించి, మీరు చాలా చిన్న విలువలను ఎంచుకోవాలి h.
ఈ విధంగా మూలాలను వేరు చేయడం ద్వారా, మేము ఎంచుకున్న దశ వరకు వాటి సుమారు విలువలను తప్పనిసరిగా పొందుతాము. కాబట్టి, ఉదాహరణకు, మేము స్థానికీకరణ సెగ్మెంట్ మధ్యలో రూట్ యొక్క ఉజ్జాయింపు విలువగా తీసుకుంటే, ఈ విలువ యొక్క సంపూర్ణ లోపం శోధన దశలో సగం మించదు ( h/2). ప్రతి రూట్ సమీపంలోని దశను తగ్గించడం ద్వారా, సూత్రప్రాయంగా, ఏదైనా ముందుగా నిర్ణయించిన విలువకు రూట్ విభజన యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని పెంచడం సాధ్యమవుతుంది. అయితే, ఈ పద్ధతికి పెద్ద మొత్తంలో లెక్కలు అవసరం. అందువల్ల, సమస్య యొక్క విభిన్న పారామితులతో సంఖ్యా ప్రయోగాలు చేస్తున్నప్పుడు, మూలాల కోసం పదేపదే శోధించాల్సిన అవసరం వచ్చినప్పుడు, అటువంటి పద్ధతి మూలాలను శుద్ధి చేయడానికి తగినది కాదు మరియు మూలాలను వేరు చేయడానికి (స్థానికీకరించడానికి) మాత్రమే ఉపయోగించబడుతుంది, అనగా. వాటికి ప్రారంభ ఉజ్జాయింపులను నిర్ణయించడం. రూట్ శుద్ధీకరణ ఇతర, మరింత ఆర్థిక పద్ధతులను ఉపయోగించి నిర్వహించబడుతుంది.
పునరావృత పద్ధతి
సమీకరణం కోసం సాధారణ పునరావృత పద్ధతి f(x) = 0 క్రింది విధంగా ఉంది:
1) అసలు సమీకరణం పునరావృత్తులు కోసం అనుకూలమైన రూపంలోకి మార్చబడింది:
x = φ (X). (2.2)
2) ప్రారంభ ఉజ్జాయింపును ఎంచుకోండి X 0 మరియు పునరావృత సూత్రాన్ని ఉపయోగించి తదుపరి ఉజ్జాయింపులను లెక్కించండి
x కె = φ
(x కె -1), కె =1,2, ... (2.3)
పునరావృత క్రమం యొక్క పరిమితి ఉంటే, అది సమీకరణం యొక్క మూలం f(x) = 0, అనగా. f(ξ ) =0.
వై = φ (X)
ఒక x 0 x 1 x 2 ξ బి
అన్నం. 2. కన్వర్జెంట్ పునరావృత ప్రక్రియ
అంజీర్లో. పునరావృత పద్ధతిని ఉపయోగించి తదుపరి ఉజ్జాయింపును పొందే ప్రక్రియను మూర్తి 2 చూపుతుంది. ఉజ్జాయింపుల క్రమం మూలానికి కలుస్తుంది ξ .
పునరావృత పద్ధతిని వర్తింపజేయడానికి సైద్ధాంతిక ఆధారం క్రింది సిద్ధాంతం ద్వారా ఇవ్వబడింది.
సిద్ధాంతం 2.3. కింది షరతులను నెరవేర్చనివ్వండి:
1) సమీకరణం యొక్క మూలం X= φ(x)విభాగానికి చెందినది [ ఎ, బి];
2) అన్ని ఫంక్షన్ విలువలు φ (X) విభాగానికి చెందినది [ ఎ, బి],టి. ఇ. ఎ ≤ φ (X)≤బి;
3) అటువంటి సానుకూల సంఖ్య ఉంది q< 1, ఉత్పన్నం ఏమిటి φ "(x) విభాగంలోని అన్ని పాయింట్ల వద్ద [ ఎ, బి] అసమానతను సంతృప్తిపరుస్తుంది | φ "(x) | ≤ q.
1) పునరావృత క్రమం x n= φ (x p- 1)(n = 1, 2, 3, ...) దేనికైనా కలుస్తుంది x 0 Î [ ఎ, బి];
2) పునరావృత క్రమం యొక్క పరిమితి సమీకరణం యొక్క మూలం
x = φ(x), అంటే x కె= ξ, ఆపై ξ= φ (ξ);
3) పునరావృత క్రమం యొక్క కన్వర్జెన్స్ రేటును వర్గీకరించే అసమానత నిజం
| ξ -x k | ≤ (బా)× q k.(2.4)
సహజంగానే, ఈ సిద్ధాంతం చాలా కఠినమైన షరతులను సెట్ చేస్తుంది, ఇది పునరావృత పద్ధతిని వర్తించే ముందు తప్పక తనిఖీ చేయాలి. ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం అయితే φ (x) సంపూర్ణ విలువలో ఒకటి కంటే ఎక్కువ, అప్పుడు పునరావృత ప్రక్రియ వేరుగా ఉంటుంది (Fig. 3).
వై = φ
(x) వై = x
 |
అన్నం. 3. విభిన్న పునరావృత ప్రక్రియ
పునరావృత పద్ధతుల కలయికకు ఒక షరతుగా, అసమానత
|x k - x k - 1 | ≤ ε . (2.5)
తీగ పద్ధతివక్రరేఖను భర్తీ చేయడం వద్ద = f(xపాయింట్ల గుండా వెళుతున్న లైన్ సెగ్మెంట్ ( ఎ, f(a)) మరియు ( బి, f(బి)) బియ్యం. 4) అక్షంతో రేఖ యొక్క ఖండన బిందువు యొక్క అబ్సిస్సా ఓహ్తదుపరి విధానంగా తీసుకోబడింది.
తీగ పద్ధతి కోసం గణన సూత్రాన్ని పొందడానికి, మేము పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని వ్రాస్తాము ( a, f(a)) మరియు ( బి, f(బి)) మరియు, సమీకరణ వద్దసున్నాకి, మేము కనుగొంటాము X:
Þ 
తీగ పద్ధతి అల్గోరిథం :
1) వీలు కె = 0;
2) తదుపరి పునరావృత సంఖ్యను లెక్కించండి: కె = కె + 1.
తదుపరిది కనుక్కోండి కె-ఇ ఫార్ములా ఉపయోగించి ఉజ్జాయింపు:
x కె= a- f(a)(బి - a)/(f(బి) - f(a)).
లెక్క తీసుకుందాం f(x కె);
3) ఉంటే f(x కె)= 0 (రూట్ కనుగొనబడింది), ఆపై 5వ దశకు వెళ్లండి.
ఉంటే f(x కె) × f(బి)>0, అప్పుడు బి= x కె, లేకపోతే a = x కె;
4) ఉంటే |x k – x k -1 | > ε , ఆపై 2వ దశకు వెళ్లండి;
5) రూట్ విలువను ప్రదర్శిస్తుంది x k ;
వ్యాఖ్య. మూడవ పేరా యొక్క చర్యలు హాల్వ్స్ డివిజన్ పద్ధతి యొక్క చర్యలకు సమానంగా ఉంటాయి. అయితే, తీగ పద్ధతిలో, రూట్ యొక్క పొరుగున ఉన్న ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ పైకి కుంభాకారంగా ఉంటే, ప్రతి దశలో సెగ్మెంట్ యొక్క అదే ముగింపు (కుడి లేదా ఎడమ) మార్చబడుతుంది (Fig. 4, ఎ) లేదా పుటాకార డౌన్ (Fig. 4, బి).కాబట్టి, పొరుగు ఉజ్జాయింపుల మధ్య వ్యత్యాసం కన్వర్జెన్స్ ప్రమాణంలో ఉపయోగించబడుతుంది.
అన్నం. 4. తీగ పద్ధతి
4. న్యూటన్ పద్ధతి(టాంజెంట్లు)
సమీకరణం యొక్క మూలం యొక్క ఉజ్జాయింపు విలువను కనుగొననివ్వండి f(x)= 0, మరియు దానిని సూచించండి x n.గణన సూత్రం న్యూటన్ పద్ధతితదుపరి విధానాన్ని నిర్ణయించడానికి x n+1 రెండు విధాలుగా పొందవచ్చు.
మొదటి పద్ధతి రేఖాగణిత అర్థాన్ని వ్యక్తపరుస్తుంది న్యూటన్ పద్ధతిమరియు ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ యొక్క ఖండన బిందువుకు బదులుగా వాస్తవం కలిగి ఉంటుంది వద్ద= f(x) ఇరుసుతో ఓహ్అక్షంతో ఖండన స్థానం కోసం వెతుకుతోంది ఓహ్పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు గీసిన టాంజెంట్ ( x n,f(x n)), అంజీర్లో చూపిన విధంగా. 5. టాంజెంట్ సమీకరణం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది y - f(x n)= f"(x n)(x- x n).
అన్నం. 5. న్యూటన్ పద్ధతి (టాంజెంట్స్)
అక్షంతో టాంజెంట్ యొక్క ఖండన పాయింట్ వద్ద ఓహ్వేరియబుల్ వద్ద= 0. సమం చేయడం వద్దసున్నాకి, మేము వ్యక్తపరుస్తాము Xమరియు మేము సూత్రాన్ని పొందుతాము టాంజెంట్ పద్ధతి :
(2.6)
రెండవ పద్ధతి: ఫంక్షన్ విస్తరించండి f(x) ఒక పాయింట్ సమీపంలో టేలర్ సిరీస్‌లో x = x n:
()కు సంబంధించి మనల్ని మనం సరళ నిబంధనలకు పరిమితం చేసుకుందాం X- x n), సున్నాకి సెట్ చేయబడింది f(x) మరియు, ఫలిత సమీకరణం నుండి తెలియని వాటిని వ్యక్తపరుస్తుంది X, ద్వారా సూచిస్తుంది x n+1 మేము ఫార్ములా (2.6) పొందుతాము.
న్యూటన్ పద్ధతి యొక్క కలయికకు తగిన షరతులను అందజేద్దాం.
సిద్ధాంతం 2.4. సెగ్మెంట్లో లెట్ [ ఎ, బి]షరతులు నెరవేర్చబడ్డాయి:
1) ఫంక్షన్ f(x) మరియు దాని ఉత్పన్నాలు f"(X) మరియు f ""(x)నిరంతర;
2) ఉత్పన్నాలు f"(x)మరియు f""(x) సున్నాకి భిన్నంగా ఉంటాయి మరియు నిర్దిష్ట స్థిరమైన సంకేతాలను కలిగి ఉంటాయి;
3) f(a)× f(బి) <
0 (ఫంక్షన్ f(x) విభాగంలో మార్పుల గుర్తు).
అప్పుడు ఒక విభాగం ఉంది [ α
, β
], సమీకరణం యొక్క కావలసిన మూలాన్ని కలిగి ఉంటుంది f(x) =
0, దీనిలో పునరుక్తి క్రమం (2.6) కలుస్తుంది. సున్నా ఉజ్జాయింపుగా ఉంటే X 0 ఆ సరిహద్దు బిందువును ఎంచుకోండి [ α
, β
], దీనిలో ఫంక్షన్ యొక్క సంకేతం రెండవ ఉత్పన్నం యొక్క గుర్తుతో సమానంగా ఉంటుంది,
ఆ. f(x 0)× f"(x 0)>0, ఆ తర్వాత పునరావృత శ్రేణి మోనోటోనికల్‌గా కలుస్తుంది
వ్యాఖ్య. తీగ పద్ధతి వ్యతిరేక దిశ నుండి వస్తుందని గమనించండి మరియు ఈ రెండు పద్ధతులు ఒకదానికొకటి పూర్తి చేయగలవు. కలయిక కూడా సాధ్యమే తీగ-టాంజెంట్ పద్ధతి.
5. సెకాంట్ పద్ధతి
ఉత్పన్నాన్ని ఉజ్జాయింపు వ్యక్తీకరణతో భర్తీ చేయడం ద్వారా న్యూటన్ పద్ధతి నుండి సెకాంట్ పద్ధతిని పొందవచ్చు - వ్యత్యాస సూత్రం:
, 
,
. (2.7)
ఫార్ములా (2.7) రెండు మునుపటి ఉజ్జాయింపులను ఉపయోగిస్తుంది x nమరియు x n - 1. కాబట్టి, ఇచ్చిన ప్రారంభ ఉజ్జాయింపు కోసం X 0 తదుపరి ఉజ్జాయింపును లెక్కించడం అవసరం x 1 , ఉదాహరణకు, సూత్రం ప్రకారం ఉత్పన్నం యొక్క ఉజ్జాయింపు భర్తీతో న్యూటన్ యొక్క పద్ధతి ద్వారా
, 
సెకాంట్ పద్ధతి యొక్క అల్గోరిథం:
1) ప్రారంభ విలువ సెట్ చేయబడింది X 0 మరియు లోపం ε . లెక్క తీసుకుందాం
;
2) కోసం n = 1, 2, ... షరతు నెరవేరినప్పుడు | x n – x n -1 | > ε , లెక్కించు x n+ 1 సూత్రం ప్రకారం (2.7).