పరిచయం.
ప్రయోజనం.
వివిక్త గణిత కోర్సు యొక్క కొత్త విభాగాలు, రూపంలో అమలు చేయబడినప్పటికీ పాఠ్యాంశాలుమరియు ఉపన్యాసాల శ్రేణి, మోనోగ్రాఫ్‌ల రూపంలో ఇంకా ఉనికిలో లేదు, కనీసం రష్యన్‌లో, వివిక్త గణిత శాస్త్రం నుండి సాంకేతిక విశ్వవిద్యాలయాలుపాత మీద దృష్టి పెట్టింది దరఖాస్తు సమస్యలు, ఏ ఇంజనీర్లు పరిష్కరించాలి. ముఖ్యంగా లో గణిత తర్కంఅది కనిష్టీకరణ లాజిక్ సర్క్యూట్లు, ఇది నేడు దాని ఔచిత్యాన్ని కోల్పోయింది.
లాజిక్ సర్క్యూట్ సంశ్లేషణ సిద్ధాంతం, ఒక తరం పరిశోధకుల కళ్ల ముందు దాదాపు పూర్తి “జీవ చక్రం” ద్వారా వెళ్ళింది, పరిశ్రమలు వాడుకలో ఉండడానికి ఎలా ఎక్కువ అవకాశం ఉంది అనేదానికి చాలా బోధనాత్మక ఉదాహరణ. సాంకేతిక శాస్త్రాలు, ప్రాథమిక శాస్త్రానికి బలహీనంగా సంబంధించినది. 10 సంవత్సరాల క్రితం ప్రతిదీ సాంకేతిక పత్రికలులాజిక్ సర్క్యూట్‌ల కనిష్టీకరణ మరియు సంశ్లేషణపై కథనాలతో నింపబడ్డాయి. శాస్త్రవేత్తలు అభివృద్ధి చేసిన చాలా కనిష్టీకరణ పద్ధతులు ఇప్పుడు మరచిపోయాయి మరియు ఆచరణలో డిమాండ్ లేదు. మరియు ఆ సమయంలో పూర్తిగా సైద్ధాంతికంగా పరిగణించబడిన ఆలోచనలు ఆచరణాత్మక అనువర్తనాన్ని కనుగొన్నాయి ఆధునిక సాంకేతిక పరిజ్ఙానం. ఉదాహరణకు, మసక తర్కం, పెట్రీ నెట్‌లు మరియు అల్గోరిథం సిద్ధాంతం కాల పరీక్షగా నిలిచాయి మరియు విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతున్నాయి వివిధ ప్రాంతాలుసైబర్నెటిక్స్ మరియు ప్రోగ్రామింగ్, వంటి సిస్టమ్ ప్రోగ్రామింగ్, గణన సంక్లిష్టత మరియు కృత్రిమ మేధస్సు.
మరియు అల్గోరిథంల సిద్ధాంతం వివిక్త గణితంలో కేంద్ర విభాగంగా మారింది. అయినప్పటికీ, రష్యన్‌లోని చాలా మోనోగ్రాఫ్‌ల మాదిరిగా కాకుండా, ఉపన్యాసాల సమయంలో ఈ సమస్యలు ఆచరణాత్మక, ఇంజనీరింగ్ సమస్యలను పరిష్కరించే సాధనంగా ప్రదర్శించబడతాయి.
తెలిసినట్లుగా, ప్రతి దశాబ్దం తర్వాత, కంప్యూటర్ల కాంపోనెంట్ బేస్, OS, యాక్సెస్ సాధనాలు మరియు ప్రోగ్రామ్‌లు సమూలంగా మారుతున్నాయి. అయినప్పటికీ, వాటి అంతర్లీన నిర్మాణాలు మరియు అల్గారిథమ్‌లు చాలా కాలం పాటు మారవు. అధికారిక తర్కం అభివృద్ధి చేయబడినప్పుడు మరియు మొదటి అల్గోరిథంలు అభివృద్ధి చేయబడినప్పుడు ఈ పునాదులు వేల సంవత్సరాల క్రితం వేయబడ్డాయి.
గణిత తర్కం మరియు అల్గారిథమ్‌ల సిద్ధాంతం సాంప్రదాయకంగా చెందినవి ప్రాథమిక శాస్త్రంమరియు తక్కువ ఆచరణాత్మక ఔచిత్యం మరియు అర్థం చేసుకోవడం కష్టంగా పరిగణించబడతాయి. నిజానికి, J. బుల్ సృష్టించినప్పుడు గణిత ఉపకరణంబూలియన్ బీజగణితాన్ని కనుగొనడానికి అతనికి చాలా సమయం పట్టింది ఆచరణాత్మక అప్లికేషన్, అయితే, 20వ శతాబ్దంలో ఖచ్చితంగా ఈ గణిత ఉపకరణం అన్ని కంప్యూటర్ భాగాల రూపకల్పనను సాధ్యం చేసింది. పర్యవసానంగా, ఈ పక్షపాతాలలో మొదటిది అభివృద్ధి ద్వారా విజయవంతంగా తిరస్కరించబడింది కంప్యూటర్ సాంకేతిక పరిజ్ఞానం, కంప్యూటర్ విజ్ఞానం, ధీయంత్ర పరిజ్ఞానం, ధీయంత్ర విజ్ఞానం.
ఈ క్రమశిక్షణను అర్థం చేసుకోవడంలో ఇబ్బంది గురించి పక్షపాతం విషయానికొస్తే, గణిత శాస్త్రజ్ఞుల కోసం గణిత శాస్త్రజ్ఞులు గణిత తర్కం మరియు అల్గారిథమ్‌ల సిద్ధాంతంపై పుస్తకాలు వ్రాసిన వాస్తవం నుండి ఇది ఎక్కువగా వచ్చింది.
ఇప్పుడు, కంప్యూటర్ టెక్నాలజీ సామర్థ్యాలు అనేక సార్లు పెరిగినప్పుడు, మరియు వ్యక్తిగత కంప్యూటర్లువాటిని సమర్థవంతంగా ఎలా ఉపయోగించాలో తెలిసిన వ్యక్తుల కంటే చాలా ఎక్కువ మంది ఉన్నారు, ఆధునిక కంప్యూటింగ్ టెక్నాలజీతో ఏమి చేయవచ్చో మరియు చేయలేదో అర్థం చేసుకోవడం చాలా ముఖ్యమైనది.
సరిగ్గా సాధారణ సిద్ధాంతంకంప్యూటింగ్ శక్తి ఎంత శక్తివంతమైనదైనా పరిష్కరించలేని సమస్యలు ఉన్నాయని అల్గారిథమ్‌లు చూపించాయి మరియు దాని వేగంగా అభివృద్ధి చెందుతున్న శాఖ, గణన సంక్లిష్టత యొక్క సిద్ధాంతం, పరిష్కరించగల సమస్యలు ఉన్నాయని, కానీ నిష్పాక్షికంగా సంక్లిష్టంగా ఉన్నాయని అర్థం చేసుకోవడానికి క్రమంగా దారి తీస్తుంది. మరియు వాటి సంక్లిష్టత ఏదో ఒక కోణంలో సంపూర్ణమైనదిగా మారవచ్చు. ఆధునిక కంప్యూటర్లకు ఆచరణాత్మకంగా అందుబాటులో లేదు.
ఈ కోర్సు క్రింది లక్ష్యాలను నిర్దేశిస్తుంది:
1. పరిశీలనలో ఉన్న అన్ని సమస్యలను వీలైనంత సరళంగా ప్రదర్శించండి, కానీ అధిక అర్హత కలిగిన నిపుణుడికి అవసరమైన దానికంటే సరళమైనది కాదు.
2. ఆచరణాత్మక సమస్యలుడిజైన్ మరియు విశ్లేషణ సమాచార వ్యవస్థలుప్రారంభ స్థానం, మరియు అధికారిక ఉపకరణం సాధనం క్రమబద్ధమైన పరిష్కారంఈ సమస్యలు. విద్యార్థి నింపాల్సిన పాత్ర కాదు, వెలిగించాల్సిన జ్యోతి అని మా లోతైన నమ్మకం.
3. కోర్సులోని ప్రతి విభాగంలో స్వీయ-పరీక్ష ప్రశ్నలు ఉంటాయి. సమీకరణ కోసం ఈ కోర్సువిద్యార్థి ఈ ప్రశ్నలన్నింటికీ సమాధానం ఇవ్వాలి.
ఈ కోర్సులో నైపుణ్యం సాధించిన ఫలితంగా, సంబంధిత సైద్ధాంతిక విభాగాలపై స్పష్టమైన అవగాహన ఆధారంగా విద్యార్థి వీటిని చేయగలగాలి:
అమలు చేయండి సరళమైన రూపం తార్కిక మార్పిడితార్కిక ఫంక్షన్ల యొక్క ఏకపక్ష ప్రాతిపదికన సమాచారం;
ఎవిడెన్షియల్ రీజనింగ్‌లో హైలైట్ చేయండి సహజ భాషతార్కిక నిర్మాణం, అధికారిక ప్రూఫ్ స్కీమ్‌లను నిర్మించడం మరియు వాటి ఖచ్చితత్వాన్ని తనిఖీ చేయడం.
1.2 తార్కిక ప్రాతినిధ్యాలు
తార్కిక ప్రాతినిధ్యాలు -ఒక సమితి రూపంలో అధ్యయనంలో ఉన్న వ్యవస్థ, ప్రక్రియ, దృగ్విషయం యొక్క వివరణ సంక్లిష్ట ప్రకటనలుతో తయారు చేయబడినది సాధారణ (ప్రాథమిక) ప్రకటనలుమరియు తార్కిక అనుసంధానాలు
వాటి మధ్య. తార్కిక ప్రాతినిధ్యాలు మరియు వాటి భాగాలు నిర్దిష్ట లక్షణాలు మరియు వాటిపై అనుమతించదగిన పరివర్తనాల సమితి (ఆపరేషన్లు, అనుమితి నియమాలు మొదలైనవి) ద్వారా వర్గీకరించబడతాయి, అధికారిక (గణిత) లో అభివృద్ధి చేయబడిన వాటిని అమలు చేయడం. తర్కం సరైన పద్ధతులుతార్కికం - తర్కం యొక్క చట్టాలు.
స్టేట్‌మెంట్‌ల యొక్క అధికారిక ప్రదర్శన యొక్క పద్ధతులు (నియమాలు), తార్కికంగా సరైన పరివర్తనలను ఉపయోగించి ఇప్పటికే ఉన్న వాటి నుండి కొత్త స్టేట్‌మెంట్‌ల నిర్మాణం, అలాగే స్టేట్‌మెంట్‌ల యొక్క నిజం లేదా అబద్ధాన్ని స్థాపించే పద్ధతులు (పద్ధతులు) అధ్యయనం చేయబడతాయి గణిత తర్కం.ఆధునిక గణిత తర్కం రెండు ప్రధాన విభాగాలను కలిగి ఉంటుంది: ప్రకటనల తర్కంమరియు దానిని కవర్ చేయడం తర్కాన్ని అంచనా వేయండి(Fig. 1.1), దీని నిర్మాణం కోసం రెండు విధానాలు (భాషలు) ఉన్నాయి, ఇది అధికారిక తర్కం యొక్క రెండు రూపాంతరాలను ఏర్పరుస్తుంది: తర్కం యొక్క బీజగణితంమరియు తార్కిక కాలిక్యులస్.అధికారిక తర్కం యొక్క ఈ భాషల ప్రాథమిక భావనల మధ్య ఒకదానికొకటి అనురూప్యం ఉంది. వారి ఐసోమార్ఫిజం అంతిమంగా అంతర్లీన ఆమోదయోగ్యమైన పరివర్తనల ఐక్యత ద్వారా నిర్ధారించబడుతుంది.
అన్నం. 1.1
తర్కం యొక్క సాంప్రదాయ శాఖల యొక్క ప్రధాన వస్తువులు ప్రకటనలు.
ప్రకటన - ప్రకటన వాక్యం (ప్రకటన, తీర్పు), ఓఅది చెప్పడానికి అర్ధమే నిజంలేదా తప్పుడు.అన్నీ శాస్త్రీయ జ్ఞానం(ఫిజిక్స్, కెమిస్ట్రీ, బయాలజీ మొదలైన వాటి యొక్క చట్టాలు మరియు దృగ్విషయాలు, గణిత సిద్ధాంతాలు మొదలైనవి), సంఘటనలు రోజువారీ జీవితంలో, ఆర్థిక శాస్త్రం మరియు నిర్వహణ ప్రక్రియలలో ఉత్పన్నమయ్యే పరిస్థితులు ప్రకటనల రూపంలో రూపొందించబడ్డాయి. తప్పనిసరి మరియు ప్రశ్నించే వాక్యాలు ప్రకటనలు కావు.
ప్రకటనల ఉదాహరణలు: “రెండుసార్లు రెండు నాలుగు”, “మేము 21వ శతాబ్దంలో జీవిస్తున్నాము”, “రూబుల్ రష్యన్ కరెన్సీ”, “అలియోషా ఒలేగ్ సోదరుడు”, “యూనియన్, ఖండన మరియు జోడింపు కార్యకలాపాలు సెట్లలో బూలియన్ కార్యకలాపాలు. ”, “మనిషి మర్త్యుడు” , “నిబంధనల స్థలాలను పునర్వ్యవస్థీకరించడం వల్ల మొత్తం మారదు”, “ఈ రోజు సోమవారం”, “అయితే వర్షం పడుతుంది, మీరు గొడుగు తీసుకోవాలి."
ఈ వాక్యాలను స్టేట్‌మెంట్‌లుగా కొనసాగించడానికి, వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి నిజమో అబద్ధమో మనం తప్పక తెలుసుకోవాలి, అనగా. వాటిని తెలుసు సత్య విలువ (నిజం).కొన్ని సందర్భాల్లో ప్రకటన యొక్క నిజం లేదా అబద్ధం దాని సహాయంతో మనం వివరించడానికి ప్రయత్నిస్తున్న నిర్దిష్ట వాస్తవికత (వ్యవస్థ, ప్రక్రియ, దృగ్విషయం)పై ఆధారపడి ఉంటుందని గమనించండి. ఈ సందర్భంలో, ఇచ్చిన వివరణలో (సందర్భం) ఇచ్చిన ప్రకటన నిజం (లేదా తప్పు) అని చెప్పబడుతుంది. మేము సందర్భం ఇవ్వబడిందని మరియు ప్రకటనకు నిర్దిష్ట సత్య విలువ ఉందని మేము ఊహిస్తాము.
1.3 అభివృద్ధి చెందిన గణిత తర్కం యొక్క చరిత్ర
తర్కం శాస్త్రంగా 4వ శతాబ్దంలో ఏర్పడింది. క్రీ.పూ. దీనిని గ్రీకు శాస్త్రవేత్త అరిస్టాటిల్ రూపొందించారు."లాజిక్" అనే పదం గ్రీకు "లోగోలు" నుండి వచ్చింది, ఇది ఒక వైపు "పదం" లేదా "ఎక్స్‌పోజిషన్" అని అర్ధం, మరియు మరొక వైపు ఆలోచించడం. IN వివరణాత్మక నిఘంటువుఓజెగోవా S.I. ఇది చెప్పబడింది: "లాజిక్ అనేది ఆలోచనా నియమాలు మరియు దాని రూపాల శాస్త్రం." 17వ శతాబ్దంలో జర్మన్ శాస్త్రవేత్త లీబ్నిజ్ ఒక కొత్త విజ్ఞాన శాస్త్రాన్ని రూపొందించాలని అనుకున్నాడు, అది "సత్యాన్ని లెక్కించే కళ" . ఈ తర్కంలో, లీబ్నిజ్ ప్రకారం, ప్రతి ప్రకటనకు సంబంధిత గుర్తు ఉంటుంది మరియు తార్కికం గణనల రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది. లీబ్నిజ్ యొక్క ఈ ఆలోచన, అతని సమకాలీనుల అవగాహనను అందుకోలేదు, అది వ్యాప్తి చెందలేదు లేదా అభివృద్ధి చెందలేదు మరియు అద్భుతమైన అంచనాగా మిగిలిపోయింది.
19వ శతాబ్దం మధ్యలో మాత్రమే. ఐరిష్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు జార్జ్ బూల్ 1854లో "ఆలోచన యొక్క చట్టాల పరిశోధన" అనే రచనను వ్రాసాడు, ఇది తర్కం యొక్క బీజగణితానికి పునాదులు వేసింది, దీనిలో సాధారణ బీజగణితానికి సమానమైన చట్టాలు వర్తిస్తాయి, అయితే అక్షరాలు ఉంటాయి. సంఖ్యలను సూచించదు, కానీ ప్రకటనలు. బూలియన్ బీజగణితం యొక్క భాషలో, తార్కికతను వివరించవచ్చు మరియు దాని ఫలితాలను "గణించవచ్చు". అయితే, ఇది అన్ని తార్కికాలను కవర్ చేయదు, కానీ నిర్దిష్టంగా మాత్రమే వారి రకం, కాబట్టి, బూల్ బీజగణితాన్ని ప్రతిపాదిత కాలిక్యులస్‌గా పరిగణిస్తారు.
బూలియన్ తర్కం యొక్క బీజగణితం పిండం కొత్త శాస్త్రం- గణిత తర్కం. దీనికి విరుద్ధంగా, అరిస్టాటిల్ యొక్క తర్కాన్ని సాంప్రదాయ ఫార్మల్ లాజిక్ అంటారు. "గణిత తర్కం" అనే పేరు ఈ శాస్త్రం యొక్క రెండు లక్షణాలను ప్రతిబింబిస్తుంది: ముందుగా, గణిత తర్కం అనేది గణితశాస్త్రం యొక్క భాష మరియు పద్ధతులను ఉపయోగించే తర్కం; రెండవది, గణితశాస్త్రం యొక్క అవసరాల ద్వారా గణిత తర్కం ప్రాణం పోసుకుంది.
19వ శతాబ్దం చివరిలో. జార్జ్ కాంటర్ రూపొందించిన సమితి సిద్ధాంతం గణిత తర్కంతో సహా అన్ని గణితాలకు నమ్మదగిన పునాదిగా అనిపించింది, కనీసం ప్రతిపాదిత కాలిక్యులస్ (బూల్ ఆల్జీబ్రా), ఎందుకంటే కాంటర్ బీజగణితం (సెట్ థియరీ) బూల్ బీజగణితానికి ఐసోమార్ఫిక్ అని తేలింది.
గణిత తర్కం కూడా గణితశాస్త్రం యొక్క ఒక శాఖగా మారింది, ఇది మొదట అత్యంత నైరూప్యమైనదిగా మరియు అనంతంగా చాలా దూరంగా ఉంది. ఆచరణాత్మక అప్లికేషన్లు. అయినప్పటికీ, ఈ ప్రాంతం చాలా కాలం పాటు "స్వచ్ఛమైన" గణిత శాస్త్రజ్ఞుల డొమైన్‌గా లేదు. 20వ శతాబ్దం ప్రారంభంలో. (1910) రష్యన్ శాస్త్రవేత్త ఎహ్రెన్‌ఫెస్ట్ P.S. స్విచింగ్ సర్క్యూట్‌లను వివరించడానికి టెలిఫోన్ కమ్యూనికేషన్‌లలో బూలియన్ ఆల్జీబ్రా యొక్క ఉపకరణాన్ని ఉపయోగించే అవకాశాన్ని ఎత్తి చూపారు. 1938-1940లో, దాదాపు ఏకకాలంలో, సోవియట్ శాస్త్రవేత్త V.I. షెస్టాకోవ్, అమెరికన్ శాస్త్రవేత్త షానన్ మరియు జపాన్ శాస్త్రవేత్తలు నకాషిమా మరియు హకాజావా యొక్క రచనలు డిజిటల్ టెక్నాలజీలో గణిత తర్కం యొక్క అనువర్తనంపై కనిపించాయి. డిజిటల్ పరికరాల రూపకల్పనలో గణిత తర్కం యొక్క ఉపయోగానికి అంకితమైన మొదటి మోనోగ్రాఫ్ USSR లో సోవియట్ శాస్త్రవేత్త M.A. గావ్రిలోవ్చే ప్రచురించబడింది. 1950లో. ఆధునిక మైక్రోప్రాసెసర్ టెక్నాలజీ అభివృద్ధిలో గణిత తర్కం పాత్ర చాలా ముఖ్యమైనది: ఇది కంప్యూటర్ హార్డ్‌వేర్ రూపకల్పనలో, అన్ని ప్రోగ్రామింగ్ భాషల అభివృద్ధిలో మరియు వివిక్త ఆటోమేషన్ పరికరాల రూపకల్పనలో ఉపయోగించబడుతుంది.
గణిత తర్కం అభివృద్ధికి శాస్త్రవేత్తలు గొప్ప సహకారం అందించారు వివిధ దేశాలు: కజాన్ యూనివర్శిటీ ప్రొఫెసర్ పోరేట్స్కీ P.S., డి-మోర్గాన్, పియర్స్, ట్యూరింగ్, కోల్మోగోరోవ్ A.N., హైడెల్ K. మరియు ఇతరులు.
1.4 స్వీయ-పరీక్ష కోసం ప్రశ్నలు.
1. కోర్సు యొక్క లక్ష్యాలను రూపొందించండి
నాలెడ్జ్ బేస్‌లో మీ మంచి పనిని పంపండి. దిగువ ఫారమ్‌ని ఉపయోగించండి
విద్యార్థులు, గ్రాడ్యుయేట్ విద్యార్థులు, వారి అధ్యయనాలు మరియు పనిలో నాలెడ్జ్ బేస్ ఉపయోగించే యువ శాస్త్రవేత్తలు మీకు చాలా కృతజ్ఞతలు తెలుపుతారు.
పని యొక్క HTML వెర్షన్ ఇంకా లేదు.
దిగువ లింక్‌పై క్లిక్ చేయడం ద్వారా మీరు పని యొక్క ఆర్కైవ్‌ను డౌన్లోడ్ చేసుకోవచ్చు.
ఇలాంటి పత్రాలు
గణిత తర్కం, బూలియన్ మరియు సమానమైన ఫంక్షన్ల ప్రాథమిక నిర్వచనాలు. సాధారణ భావనలుబూలియన్ బీజగణితం. జెగల్కిన్ బీజగణితం: ప్రకటనలు మరియు అంచనాలు. నిర్వచనం అధికారిక సిద్ధాంతం. అల్గోరిథంల సిద్ధాంతం యొక్క అంశాలు, పునరావృత విధులు, ట్యూరింగ్ యంత్రం.
ఉపన్యాసాల కోర్సు, 08/08/2011 జోడించబడింది
ఆలోచన యొక్క ప్రాథమిక రూపాలు: భావనలు, తీర్పులు, అనుమితులు. తార్కిక బీజగణితాన్ని వివరంగా అన్వేషించిన జార్జ్ బూల్ ఒక వ్యాసం. ఒక ప్రకటన యొక్క సత్య విలువ (అనగా, నిజం లేదా అబద్ధం). విలోమం (నిరాకరణ) మరియు సంయోగం యొక్క తార్కిక కార్యకలాపాలు.
ప్రదర్శన, 12/14/2016 జోడించబడింది
వాటిపై సెట్లు మరియు కార్యకలాపాల యొక్క గ్రాఫిక్ వివరణ. గణిత తర్కం, బూలియన్ బీజగణితం. సంపూర్ణ సంయోగ సాధారణ రూపం. సమానమైన సూత్రాలు మరియు వాటి రుజువు. వ్యవస్థ యొక్క సంపూర్ణత బూలియన్ విధులు. తర్కం, గ్రాఫ్ సిద్ధాంతాన్ని అంచనా వేయండి.
ఉపన్యాసం, 12/01/2009 జోడించబడింది
బూలియన్ బీజగణితం యొక్క ఆవిర్భావం చరిత్ర, ప్రతిపాదిత కాలిక్యులస్ వ్యవస్థ అభివృద్ధి. ఉపయోగించి సంక్లిష్ట తార్కిక ప్రకటనల యొక్క నిజం లేదా అబద్ధాన్ని స్థాపించే పద్ధతులు బీజగణిత పద్ధతులు. డిస్జంక్షన్, సంయోగం మరియు నిరాకరణ, సత్య పట్టికలు.
ప్రదర్శన, 02/22/2014 జోడించబడింది
స్క్వేర్ మాత్రికలుమరియు నిర్ణాయకాలు. సరళ స్థలాన్ని సమన్వయం చేయండి. సిస్టమ్ రీసెర్చ్ సరళ సమీకరణాలు. మాత్రికల బీజగణితం: వాటి కూడిక మరియు గుణకారం. రేఖాగణిత చిత్రం సంక్లిష్ట సంఖ్యలుమరియు వాటిని త్రికోణమితి రూపం. లాప్లేస్ సిద్ధాంతం మరియు ఆధారం.
శిక్షణ మాన్యువల్, 03/02/2009 జోడించబడింది
సానుకూల (సహజ) సంఖ్యల సిద్ధాంతం యొక్క ప్రాథమిక భావన. అంకగణిత కార్యకలాపాల కోసం సంక్షిప్తలిపి అభివృద్ధి. విభజనకు ప్రతీక భాష. పోలికల లక్షణాలు మరియు బీజగణితం. అధికారాలతో పోలికలు పెంచుతున్నారు. తిరిగి స్క్వేర్ చేయడం. ఫెర్మాట్ యొక్క చిన్న సిద్ధాంతం.
ప్రదర్శన, 06/04/2014 జోడించబడింది
వ్యవస్థలు డిజిటల్ ప్రాసెసింగ్సమాచారం. బూల్ బీజగణితం యొక్క భావన. తార్కిక కార్యకలాపాల యొక్క హోదాలు: డిస్జంక్షన్, సంయోగం, విలోమం, తార్కికం, సమానత్వం. బూల్ బీజగణితం యొక్క చట్టాలు మరియు గుర్తింపులు. లాజికల్ బేసిక్స్కంప్యూటర్. నిర్మాణ సూత్రాల మార్పిడి.
ప్రదర్శన, 10/11/2014 జోడించబడింది
మాస్కో స్టేట్ యూనివర్శిటీ యొక్క మెకానిక్స్ మరియు మ్యాథమెటిక్స్ ఫ్యాకల్టీ యొక్క జూనియర్ విద్యార్థుల కోసం రచయితలు నిర్వహించిన ఉపన్యాసాలు మరియు సెమినార్ల నుండి వచ్చిన పదార్థాల ఆధారంగా ఈ పుస్తకం వ్రాయబడింది. ఇది గణిత తర్కం యొక్క ప్రాథమిక భావనల గురించి మాట్లాడుతుంది (ప్రతిపాదన తర్కం, ఫస్ట్-ఆర్డర్ భాషలు, వ్యక్తీకరణ, ప్రతిపాదిత కాలిక్యులస్, నిర్ణయాత్మక సిద్ధాంతాలు, సంపూర్ణత సిద్ధాంతం, నమూనా సిద్ధాంతం యొక్క సూత్రాలు). ప్రదర్శన విద్యార్థుల కోసం ఉద్దేశించబడింది గణిత పాఠశాలలు, గణిత విద్యార్థులు మరియు ఆసక్తి ఉన్న ప్రతి ఒక్కరూ గణిత తర్కం. ఈ పుస్తకంలో వివిధ ఇబ్బందులకు సంబంధించిన 200 సమస్యలు ఉన్నాయి.
ప్రకటనల లాజిక్.
ఉచ్చారణలు మరియు కార్యకలాపాలు
“n సంఖ్య హేతుబద్ధంగా ఉంటే, అప్పుడు n - బీజగణిత సంఖ్య. కానీ అది బీజగణితం కాదు. కాబట్టి p హేతుబద్ధమైనది కాదు. n సంఖ్య అంటే ఏమిటో, ఏ సంఖ్యలను హేతుబద్ధం అని మరియు బీజగణితం అని మనం తెలుసుకోవలసిన అవసరం లేదు, ఈ తార్కికం సరైనదని గుర్తించడానికి, ముగింపు వాస్తవానికి రెండు పేర్కొన్న ప్రాంగణాల నుండి అనుసరిస్తుంది. ఈ రకమైన పరిస్థితి - ఒక నిర్దిష్ట ప్రకటన దానిలో చేర్చబడిన స్టేట్‌మెంట్‌ల అర్థంతో సంబంధం లేకుండా నిజం అయినప్పుడు - ప్రతిపాదిత తర్కం యొక్క అంశాన్ని ఏర్పరుస్తుంది.
ఈ ప్రారంభం (ముఖ్యంగా లాజిక్ కోర్సు "డయాలెక్టికల్ లాజిక్" కూడా అధ్యయనం చేయబడిన ఫాకల్టీ ఆఫ్ ఫిలాసఫీ ప్రోగ్రామ్‌లో భాగమని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే) ఆందోళనకరమైనది, అయితే వాస్తవానికి మా పరిశీలనలు పూర్తిగా ఖచ్చితమైన గణిత స్వభావాన్ని కలిగి ఉంటాయి, అయినప్పటికీ మేము దీనితో ప్రారంభిస్తాము. అనధికారిక ప్రేరణలు.
విషయ సూచిక
ముందుమాట
1. ప్రతిపాదన తర్కం
1.1 ఉచ్చారణలు మరియు కార్యకలాపాలు
1.2 కంప్లీట్ లిగమెంట్ సిస్టమ్స్
1.3 ఫంక్షనల్ అంశాల పథకాలు
2. ప్రపోజిషనల్ కాలిక్యులస్
2.1 ప్రపోజిషనల్ కాలిక్యులస్ (PC)
2.2 సంపూర్ణత సిద్ధాంతం యొక్క రెండవ రుజువు
2.3 వ్యతిరేక ఉదాహరణ మరియు వరుస కాలిక్యులస్‌ను కనుగొనడం
2.4 అంతర్ దృష్టి ప్రతిపాదిత తర్కం
3. మొదటి ఆర్డర్ భాషలు
3.1 సూత్రాలు మరియు వివరణలు
3.2 సత్యం యొక్క నిర్వచనం
3.3 వ్యక్తీకరించదగిన అంచనాలు
3.4 అంకగణితంలో వ్యక్తీకరణ
3.5 వివరించలేని అంచనాలు: ఆటోమోర్ఫిజమ్స్
3.6 క్వాంటిఫైయర్ల తొలగింపు
3.7 ప్రెస్బర్గర్ అరిథ్మెటిక్
3.8 టార్స్కీ-సీడెన్‌బర్గ్ సిద్ధాంతం
3.9 ప్రాథమిక సమానత్వం
3.10 Ehrenfeucht యొక్క గేమ్
3.11 శక్తి తగ్గింపు
4. ప్రిడికేట్ కాలిక్యులస్
4.1 సాధారణంగా చెల్లుబాటు అయ్యే సూత్రాలు
4.2 సూత్రాలు మరియు అనుమితి నియమాలు
4.3 ప్రిడికేట్ కాలిక్యులస్ యొక్క సరైనది
4.4 ప్రిడికేట్ కాలిక్యులస్‌లో ముగింపులు
4.5 ప్రిడికేట్ కాలిక్యులస్ యొక్క సంపూర్ణత
4.6 వేరియబుల్స్ పేరు మార్చడం
4.7 ఉపసర్గ సాధారణ రూపం
4.8 హెర్బ్రాండ్ సిద్ధాంతం
4.9 స్కోలెమోవ్ విధులు
5. సిద్ధాంతాలు మరియు నమూనాలు
5.1 సమానత్వం యొక్క సిద్ధాంతాలు
5.2 పవర్ బూస్ట్
5.3. పూర్తి సిద్ధాంతాలు
5.4 అసంపూర్ణమైన మరియు నిర్ణయించలేని సిద్ధాంతాలు
5.5 రేఖాచిత్రాలు మరియు పొడిగింపులు
5.6 అల్ట్రాఫిల్టర్లు మరియు కాంపాక్ట్‌నెస్
5.7 ప్రామాణికం కాని విశ్లేషణ
సాహిత్యం
విషయ సూచిక
పేర్ల సూచిక.
ఉచిత డౌన్లోడ్ ఇ-బుక్అనుకూలమైన ఆకృతిలో, చూడండి మరియు చదవండి:
- fileskachat.com, వేగవంతమైన మరియు ఉచిత డౌన్లోడ్.
pdfని డౌన్లోడ్ చేయండి
దిగువన మీరు ఈ పుస్తకాన్ని రష్యా అంతటా డెలివరీతో తగ్గింపుతో ఉత్తమ ధరకు కొనుగోలు చేయవచ్చు.ఈ పుస్తకాన్ని కొనండి
లెక్చర్స్ ఆన్ మ్యాథమెటికల్ లాజిక్ అండ్ థియరీ ఆఫ్ అల్గోరిథమ్స్, పార్ట్ 2, లాంగ్వేజెస్ అండ్ కాలిక్యులస్, వెరెష్‌చాగిన్ ఎన్.కె., షెన్ ఎ., 2012 - పిడిఎఫ్ - డిపాజిట్ ఫైల్స్ అనే పుస్తకాన్ని డౌన్లోడ్ చేయండి.
వోల్జ్స్కీ విశ్వవిద్యాలయం పేరు పెట్టబడింది. తతిశ్చేవా.
గణిత తర్కం మరియు అల్గారిథమ్‌ల సిద్ధాంతంపై ఉపన్యాసాలు.
సంకలనం: అసోసియేట్ ప్రొఫెసర్ S.V. కావేరిన్.
చాప్టర్ I. ఆల్జీబ్రా ఆఫ్ లాజిక్.
§1.1. బూలియన్ ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం.
బూలియన్ ఫంక్షన్ y=f(x 1 ,x 2 ,...,x n) నుండి పివేరియబుల్స్ x 1 , x 2 ,..., x n అనేది ఏదైనా ఫంక్షన్, దీనిలో ఆర్గ్యుమెంట్‌లు మరియు ఫంక్షన్ 0 లేదా 1 విలువను తీసుకోవచ్చు, అనగా. బూలియన్ ఫంక్షన్ అనేది సున్నాలు మరియు వాటి యొక్క ఏకపక్ష సమితి
(x 1 ,x 2 ,...,x n) విలువ 0 లేదా 1కి కేటాయించబడింది.
బూలియన్ విధులుఅని కూడా పిలవబడుతుంది లాజిక్ ఆల్జీబ్రా ఫంక్షన్లు, బైనరీ ఫంక్షన్లు మరియు స్విచింగ్ ఫంక్షన్లు.
నుండి బూలియన్ ఫంక్షన్ n వేరియబుల్స్‌ను సత్య పట్టిక ద్వారా పేర్కొనవచ్చు, దీనిలో ఆర్గ్యుమెంట్ విలువల సెట్లు వాటి సంఖ్యల ఆరోహణ క్రమంలో అమర్చబడి ఉంటాయి. : మొదట రిక్రూట్‌మెంట్ జరుగుతోంది, 0 యొక్క బైనరీ విస్తరణను సూచిస్తుంది (ఈ సెట్ సంఖ్య 0); అప్పుడు సెట్ వస్తుంది, ఇది 1 యొక్క బైనరీ విస్తరణ, ఆపై 2, 3, మొదలైనవి. చివరి సెట్ కలిగి ఉంటుంది n యూనిట్లు మరియు సంఖ్య 2 యొక్క బైనరీ విస్తరణ n-1 (సెట్ల అమరిక యొక్క ఈ క్రమం అంటారు నిఘంటువు క్రమం) గణన 0 నుండి ప్రారంభమవుతుంది మరియు బూలియన్ ఫంక్షన్ విలువ 0 లేదా కావచ్చు n
1, 22 వేర్వేరు బూలియన్ ఫంక్షన్లు మాత్రమే ఉన్నాయని మేము నిర్ధారించాము n వేరియబుల్స్. అందువలన, ఉదాహరణకు, రెండు వేరియబుల్స్ యొక్క 16 బూలియన్ ఫంక్షన్లు ఉన్నాయి, మూడులో 256 మొదలైనవి.
ఉదాహరణ 1.1.1.(ఓటు) . “ముగ్గురి కమిటీ” ద్వారా నిర్దిష్ట తీర్మానాన్ని ఆమోదించడాన్ని రికార్డ్ చేసే పరికరాన్ని పరిశీలిద్దాం. తీర్మానాన్ని ఆమోదించేటప్పుడు ప్రతి కమిటీ సభ్యుడు తన స్వంత బటన్‌ను నొక్కుతారు. మెజారిటీ సభ్యులు అనుకూలంగా ఓటు వేస్తే, తీర్మానం ఆమోదించబడుతుంది. ఇది రికార్డింగ్ పరికరం ద్వారా రికార్డ్ చేయబడుతుంది. అందువలన, పరికరం f(x,y,z) ఫంక్షన్‌ని అమలు చేస్తుంది ) , దీని సత్య పట్టిక రూపం కలిగి ఉంది
| x | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| వై | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| z | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| f(x,y,z) | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
బూలియన్ ఫంక్షన్ అనేది 0 విలువను తీసుకునే అన్ని టుపుల్‌లను లెక్కించడం ద్వారా లేదా అది విలువ 1 తీసుకునే అన్ని టుపుల్‌లను లెక్కించడం ద్వారా కూడా ప్రత్యేకంగా పేర్కొనబడుతుంది. ఉదాహరణలో పొందిన ఫంక్షన్ fకింది సమానత్వ వ్యవస్థ ద్వారా కూడా పేర్కొనవచ్చు: f(0,0,0) = f(0,0,1) = f(0,1,0) = f(1,0,0) =0.
బూలియన్ ఫంక్షన్ విలువల వెక్టర్ y=f(x 1 ,x 2 ,...,x n) అనేది f ఫంక్షన్ యొక్క అన్ని విలువల యొక్క క్రమబద్ధమైన సెట్, దీనిలో విలువలు లెక్సికోగ్రాఫిక్ ఆర్డర్ ద్వారా ఆర్డర్ చేయబడతాయి. ఉదాహరణకు, మూడు వేరియబుల్స్ f యొక్క ఫంక్షన్ విలువల వెక్టర్ (0000 0010) ద్వారా పేర్కొనబడనివ్వండి మరియు f విలువ 1ని తీసుకునే సమితిని కనుగొనడం అవసరం. ఎందుకంటే 1 7వ స్థానంలో ఉంది మరియు సంఖ్యను కలిగి ఉంది నిఘంటువు క్రమం 0 వద్ద మొదలవుతుంది, అప్పుడు మనం 6 యొక్క బైనరీ విస్తరణను కనుగొనవలసి ఉంటుంది. అందువలన, f ఫంక్షన్ సెట్ (110)పై 1 విలువను తీసుకుంటుంది.
§1.2. ప్రాథమిక బూలియన్ విధులు.
బూలియన్ ఫంక్షన్‌లలో, ఎలిమెంటరీ బూలియన్ ఫంక్షన్లు అని పిలవబడేవి ప్రత్యేకంగా నిలుస్తాయి, దీని ద్వారా ఎన్ని వేరియబుల్స్ యొక్క ఏదైనా బూలియన్ ఫంక్షన్‌ను వివరించవచ్చు.
1. బూలియన్ ఫంక్షన్ f(x 1 ,x 2 ,...,x n) అన్ని సున్నాలు మరియు వాటి సెట్లలో 1 విలువను తీసుకుంటుంది స్థిరం 1, లేదా ఒకేలా యూనిట్. హోదా : 1 .
2. బూలియన్ ఫంక్షన్ f(x 1 ,x 2 ,...,x n) అన్ని సున్నాలు మరియు వాటి సెట్లలో 0 విలువను తీసుకుంటుంది స్థిరాంకం 0, లేదా ఒకేలా సున్నా. హోదా : 0 .
3. తిరస్కరణకింది సత్య పట్టిక ద్వారా నిర్వచించబడిన ఒక వేరియబుల్ యొక్క బూలియన్ ఫంక్షన్
ఇతర పేర్లు : తార్కిక గుణకారం (ఉత్పత్తి); తార్కిక "మరియు".
హోదాలు : x&y, xÿy, x⁄y, min(x,y).
5. డిస్జంక్షన్
ఇంకొక పేరు : తార్కిక పరిణామం. హోదాలు : xØy, xfly, xy.
7. సమానత్వంకింది సత్య పట్టిక ద్వారా నిర్వచించబడిన రెండు వేరియబుల్స్ యొక్క బూలియన్ ఫంక్షన్
ఇంకొక పేరు : వ్యతిరేక సమానత్వం. హోదాలు : x∆y, x+y.
9. షాఫెర్ స్ట్రోక్కింది సత్య పట్టిక ద్వారా నిర్వచించబడిన రెండు వేరియబుల్స్ యొక్క బూలియన్ ఫంక్షన్
ఇంకొక పేరు : డిస్జంక్షన్ యొక్క నిరాకరణ, తార్కిక "నాట్-లేదా", వెబ్ ఫంక్షన్.
హోదా : x∞y ; వెబ్ ఫంక్షన్ కోసం - x±y.
వ్యాఖ్య.చిహ్నాలు Ÿ, ⁄, ¤, Ø, ~, ∆, |, ∞ సంజ్ఞామానంలో చేరి ఉన్నాయి ప్రాథమిక విధులుమేము వాటిని కనెక్షన్లు లేదా ఆపరేషన్లు అని పిలుస్తాము.
§1.3. ప్రాథమిక వాటిని ఉపయోగించి బూలియన్ ఫంక్షన్లను పేర్కొనడం.
మీరు కొన్ని బూలియన్ ఫంక్షన్లను వేరియబుల్స్‌కు బదులుగా లాజికల్ ఫంక్షన్‌గా ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, ఫలితం కొత్త బూలియన్ ఫంక్షన్ అని పిలువబడుతుంది సూపర్ పొజిషన్ప్రత్యామ్నాయ విధులు (కాంప్లెక్స్ ఫంక్షన్). సూపర్‌పొజిషన్‌ని ఉపయోగించి, మీరు ఎన్ని వేరియబుల్స్‌పై ఆధారపడగల సంక్లిష్టమైన ఫంక్షన్లను పొందవచ్చు. మేము ప్రాథమిక బూలియన్ ఫంక్షన్ల పరంగా బూలియన్ ఫంక్షన్లను వ్రాయడం అని పిలుస్తాము సూత్రంఅమలు చేస్తోంది ఈ ఫంక్షన్.
ఉదాహరణ 1.3.1.ప్రాథమిక బూలియన్ ఫంక్షన్ x¤y ఇవ్వబడనివ్వండి. మనం xకి బదులుగా x 1 ∞x 2 ఫంక్షన్‌ని ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం. మేము మూడు వేరియబుల్స్ (x 1 ∞x 2)¤y ఫంక్షన్‌ని పొందుతాము. వేరియబుల్ yకి బదులుగా మనం ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, ఉదాహరణకు, x 3 ∆x 4, అప్పుడు మనకు లభిస్తుంది కొత్త కథనంనాలుగు వేరియబుల్స్ నుండి: (x 1 ∞x 2)¤(x 3 ∆x 4). సహజంగానే, ఈ విధంగా మేము బూలియన్ ఫంక్షన్లను పొందుతాము, ఇది ప్రాథమిక బూలియన్ ఫంక్షన్ల ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుంది.
ముందుకు చూస్తే, మేము దానిని గమనించాము ఏదైనాబూలియన్ ఫంక్షన్‌ను ఎలిమెంటరీ ఫంక్షన్ల సూపర్‌పొజిషన్‌గా సూచించవచ్చు.
మరింత కాంపాక్ట్ రికార్డింగ్ కోసం సంక్లిష్ట విధులుకింది సమావేశాలను పరిచయం చేద్దాం : 1) బయటి బ్రాకెట్లు విస్మరించబడ్డాయి; 2) బ్రాకెట్లలోని కార్యకలాపాలు మొదట నిర్వహించబడతాయి; 3) కింది క్రమంలో కనెక్టివ్‌ల ప్రాధాన్యత తగ్గుతుందని పరిగణించబడుతుంది : Ÿ, ⁄, ¤, Ø, ~. సమానమైన కనెక్టివ్‌లు మరియు మిగిలిన కనెక్టివ్‌ల కోసం (∆,|,∞), మీరు ప్రస్తుతానికి కుండలీకరణాలను ఉంచాలి.
ఉదాహరణలు 1.3.2. x⁄y¤z సూత్రంలో బ్రాకెట్లు ఉంచబడ్డాయి క్రింది విధంగా: ((x⁄y)¤z), ఎందుకంటే మా ఒప్పందం ప్రకారం ఆపరేషన్ ¤ ఆపరేషన్ కంటే బలమైనది.
1. x¤y~zØx సూత్రంలో బ్రాకెట్లు క్రింది విధంగా ఉంచబడ్డాయి: ((x¤y)~(zØx))
2. ఫార్ములా (x∆y)~zØxy¤Ÿzలో బ్రాకెట్లు క్రింది విధంగా ఉంచబడ్డాయి: ((x∆y)~(zØ((xy)¤(Ÿz)))).
3. ఫార్ములా xØyØz, మా ఒప్పందాన్ని అనుసరించి, సరిగ్గా వ్రాయబడలేదు, ఎందుకంటే కుండలీకరణాలను ఉంచడం వలన రెండు ఫలితాలు వస్తాయి వివిధ విధులు: ((xØy)Øz) మరియు (xØ(yØz)).
§1.4. ముఖ్యమైన మరియు ముఖ్యమైన కాని వేరియబుల్స్.
బూలియన్ ఫంక్షన్ y=f(x 1 ,x 2 ,...,x n) గణనీయంగా ఆధారపడి ఉంటుందివేరియబుల్ నుండి x k అటువంటి విలువల సమితి ఉంటే a 1 ,a 2 ,…,a k - 1, a k+1, a k + 2,..., a nఅని f (ఎ 1,a 2,..., ఎ k-1 , 0 ,ఎ k+1,a k+2,...,a n) π f (ఎ 1,a 2,..., ఎ k-1 , 1 ,ఎ k+1,a k+2,...,a n).
ఈ విషయంలో x k ఒక ముఖ్యమైన వేరియబుల్ అంటారు , వి లేకుంటే x k ని ఒక చిన్న (డమ్మీ) వేరియబుల్ అంటారు . మరో మాటలో చెప్పాలంటే, వేరియబుల్ మార్చడం వల్ల ఫంక్షన్ విలువ మారకపోతే అది అసంబద్ధం.
ఉదాహరణ 1.4.1.బూలియన్ ఫంక్షన్లు f 1 (x 1 ,x 2) మరియు f 2 (x 1 ,x 2) కింది సత్య పట్టిక ద్వారా నిర్వచించబడనివ్వండి:
| x 1 | x 2 | f 1 (x 1 ,x 2) | f 2 (x 1 ,x 2) |
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
ఈ ఫంక్షన్ల కోసం వేరియబుల్ x 1 - ముఖ్యమైనది, మరియు వేరియబుల్ x 2 ముఖ్యమైనది కాదు.
సహజంగానే, బూలియన్ ఫంక్షన్లు అసంబద్ధమైన వేరియబుల్‌లను పరిచయం చేయడం (లేదా తొలగించడం) ద్వారా వాటి విలువలను మార్చవు. అందువల్ల, కింది వాటిలో, బూలియన్ ఫంక్షన్లు అప్రధానమైన వేరియబుల్స్ వరకు పరిగణించబడతాయి (ఉదాహరణలో మనం వ్రాయవచ్చు: f 1 (x 1 , x 2) = x 1 , f 2 (x 1 , x 2) = Ÿx 1 ).
§1.5. సత్య పట్టికలు. సమానమైన విధులు.
ప్రాథమిక ఫంక్షన్ల కోసం సత్య పట్టికలను తెలుసుకోవడం, మీరు ఈ ఫార్ములా అమలు చేసే ఫంక్షన్ యొక్క సత్య పట్టికను లెక్కించవచ్చు.
ఉదాహరణ 1.5.1. F1=x 1 ⁄x 2 ¤(x 1 ⁄Ÿx 2 ¤Ÿx 1 ⁄x 2)
అందువలన, ఫార్ములా F1 విభజనను అమలు చేస్తుంది. ఉదాహరణ 1.5.2. F2=x 1 ⁄x 2 Øx 1
అందువలన, ఫార్ములా F3 విభజనను అమలు చేస్తుంది.
బూలియన్ ఫంక్షన్లు f1 మరియు f2 అంటారు సమానమైన, ప్రతి సెట్‌లో ఉంటే ( a 1 ,a 2 ,…, ఒక ఎన్) సున్నాలు మరియు ఒకటి, ఫంక్షన్ల విలువలు సమానంగా ఉంటాయి. సమానమైన ఫంక్షన్ల సంజ్ఞామానం క్రింది విధంగా ఉంటుంది : f1=f2.
ఇచ్చిన ఉదాహరణలు 1-3 ప్రకారం, మనం వ్రాయవచ్చు
X 1 ⁄x 2 ¤(x 1 ⁄Ÿx 2 ¤Ÿx 1 ⁄x 2)=x 1 ¤x 2 ;
X 1 ⁄x 2 Øx 1 =1;
((x 1 ⁄x 2)∆x 1)∆x 2 =x 1 ¤x 2.
§1.6. ప్రాథమిక సమానత్వాలు.
బూలియన్ ఫంక్షన్‌లతో పనిచేసేటప్పుడు ఇచ్చిన సమానత్వాలు తరచుగా ఉపయోగపడతాయి.
H, H1, H2,... క్రింద కొన్ని బూలియన్ ఫంక్షన్లు ఉంటాయి.
1. డబుల్ నెగేషన్ చట్టం: H = H.
2. ఐడెంపోటెన్సీ
3. కమ్యుటేటివిటీ:
H1*H2=H2*H1, ఇక్కడ గుర్తు * అంటే కనెక్టివ్‌లలో ఒకటి &, ¤, ∆,
4. అసోసియేటివిటీ:
H1*(H2*H3)=(H1*H2)*H3, ఇక్కడ గుర్తు * అంటే కనెక్టివ్‌లలో ఒకటి &, ¤, ∆, ~.
5. పంపిణీ:
H1&(H2¤H3)=(H1&H2)¤(H1&H3); H1¤(H2&H3)=(H1¤H2)&(H1¤H3); H1&(H2∆H3)=(H1&H2)∆(H1&H3).
6. డి మోర్గాన్ చట్టాలు:
H1& H2 = H1 ∨ H2, H1∨ H2 = H1 & H2.
7. స్వాధీనం నియమాలు:
H1¤(H2&H3)=H1, H1&(H2¤H3)=H1
8. అంటుకునే చట్టాలు:
H1&H2 ∨ H1&H2 = H1, (H1∨ H2) & (H1∨ H2) = H1.
9. విలోమ చట్టాలు: H ∨ H = 1, H & H = 0.
10. స్థిరాంకాలతో కార్యకలాపాల కోసం నియమాలు:
H¤1=1, H&1=H, H¤0=H, H&0=0.
పై సమానత్వాల సత్యాన్ని తనిఖీ చేయడానికి, సంబంధిత సత్య పట్టికలను నిర్మించడం సరిపోతుంది.
ఒక ఆపరేషన్ యొక్క అసోసియేటివిటీ ప్రాపర్టీ ఈ ఆపరేషన్‌ను ఎన్ని వేరియబుల్స్‌కైనా విస్తరించడానికి అనుమతిస్తుంది. కాబట్టి, ఉదాహరణకు, x¤у¤z¤w సంజ్ఞామానం సరైనది, ఎందుకంటే కుండలీకరణాల యొక్క ఏదైనా అమరిక అదే ఫంక్షన్‌కు దారి తీస్తుంది. ఒక ఆపరేషన్ యొక్క కమ్యుటేటివ్ స్వభావం ఫార్ములాలో వేరియబుల్స్‌ను మార్చుకోవడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. ఉదాహరణకు, x⁄y⁄z⁄w=w⁄y⁄x⁄z.
§1.7. క్రియాత్మక సంపూర్ణత.
సాధారణ ఆధునిక డిజిటల్ కంప్యూటర్‌లో, సంఖ్యలు 0 మరియు 1. కాబట్టి, ప్రాసెసర్ అమలు చేసే సూచనలు బూలియన్ ఫంక్షన్లు. ఏదైనా బూలియన్ ఫంక్షన్ సంయోగం, డిస్జంక్షన్ మరియు నెగేషన్ ద్వారా అమలు చేయబడుతుందని మేము క్రింద చూపుతాము. పర్యవసానంగా, అవసరమైన ప్రాసెసర్‌ను నిర్మించడం సాధ్యమవుతుంది, దాని పారవేయడం వద్ద సంయోగం, డిస్జంక్షన్ మరియు నిరాకరణను అమలు చేసే అంశాలు ఉంటాయి. ఈ విభాగం ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వడానికి అంకితం చేయబడింది: బూలియన్ ఫంక్షన్ల యొక్క ఇతర సిస్టమ్‌లు ఉన్నాయా (మరియు అలా అయితే, అవి అన్ని ఇతర ఫంక్షన్లను వ్యక్తీకరించడానికి ఉపయోగించగల ఆస్తిని కలిగి ఉంటాయి.
మేము ఫంక్షన్ల యొక్క అనేక తరగతులను పరిచయం చేద్దాం.
1. స్థిరమైన 0ని సంరక్షించే ఫంక్షన్ల తరగతి, అనగా. అటువంటి విధులు
2. స్థిరమైన 1ని సంరక్షించే ఫంక్షన్ల తరగతి, అనగా. అటువంటి విధులు
3. స్వీయ-ద్వంద్వ ఫంక్షన్ల తరగతి, అనగా. అటువంటి విధులు y=f(x 1 ,x 2 ,...,x n) అంటే f(x 1 , x 2 ,... , x n) = f(x 1 , x 2 ,... , x n) .
4వ తరగతి సరళ విధులు, అనగా అటువంటి విధులు y=f(x 1 ,x 2 ,…,x n), వీటిని f(x 1 ,x 2 ,…,x n)=c 0 ∆c 1 x 1 ∆c 2 x 2 ∆… ∆గా సూచించవచ్చు c n x n, ఇక్కడ c 0, c 1, c 2 ... విలువ 0 లేదా 1 తీసుకోగల గుణకాలు.
5. తరగతి మార్పులేని విధులు. సున్నాలు మరియు వాటి సెట్ల సెట్‌లో Bn =((x 1 ,x 2 ,…,x n):x i œ(0,1),i=1,2,...,n) మేము ఈ క్రింది విధంగా పాక్షిక క్రమాన్ని పరిచయం చేస్తాము:
(a 1 ,a 2 ,...,a n)§( బి 1 ,b 2 ,...,b n) ఉంటే మరియు మాత్రమే a 1 § బి 1 , a 2 § బి 2 ,..., ఎ n § బి n. ఒక ఫంక్షన్ f(x 1, x 2,..., x n) B n నుండి ఏదైనా రెండు మూలకాల కోసం అయితే మోనోటోనిక్ అంటారు.
(a 1 ,a 2 ,...,a n)§( బి 1 ,b 2 ,...,b n) అది f( a 1 ,a 2 ,...,a n)§f( బి 1 ,b 2 ,...,b n).
బూలియన్ ఫంక్షన్ల యొక్క సిస్టమ్ S, ఏదైనా బూలియన్ ఫంక్షన్‌ను సూచించగల సూపర్‌పొజిషన్ అంటారు క్రియాత్మకంగా పూర్తి . ఇది ఫంక్షనల్ అని వారు అంటున్నారు పూర్తి వ్యవస్థ S బూలియన్ ఫంక్షన్ల రూపం ఆధారంగాతార్కిక ప్రదేశంలో. S ఆధారంగా అంటారు కనిష్ట , దాని నుండి ఏదైనా ఫంక్షన్ తీసివేయబడినట్లయితే, ఈ వ్యవస్థ అసంపూర్ణంగా మారుతుంది.
సంపూర్ణత ప్రమాణం (పోస్ట్ యొక్క సిద్ధాంతం) . బూలియన్ ఫంక్షన్ల యొక్క సిస్టమ్ S అనేది కనీసం ఒక ఫంక్షన్‌ని కలిగి ఉంటే మాత్రమే పూర్తవుతుంది: సంరక్షించని స్థిరాంకం 0, సంరక్షించని స్థిరాంకం 1, నాన్-సెల్ఫ్-డ్యూయల్, నాన్-లీనియర్ మరియు నాన్-మోనోటోనిక్.
ప్రాథమిక బూలియన్ ఫంక్షన్లు కలిగి ఉన్న లక్షణాలను టేబుల్ 1.7 చూపిస్తుంది (చిహ్నం * ఇచ్చిన ఫంక్షన్‌ని కలిగి ఉన్న ఆస్తిని సూచిస్తుంది).
పోస్ట్ యొక్క సిద్ధాంతం మరియు పట్టిక 1.7 ఉపయోగించి, మీరు ప్రాథమిక విధుల నుండి బేస్‌లను రూపొందించవచ్చు తదుపరి నియమం. ఏదైనా ప్రాథమిక బూలియన్ ఫంక్షన్‌ని ఎంచుకోవడం ద్వారా మరియు అవసరమైతే, ఇతర ఫంక్షన్‌లతో అనుబంధించడం ద్వారా, అవి అన్నీ కలిసి క్రియాత్మక సంపూర్ణత సిద్ధాంతాన్ని సంతృప్తిపరుస్తాయి. ఈ ఆధారం యొక్క విధుల ద్వారా మనం వ్యక్తీకరించవచ్చు అన్నీ ఇతర బూలియన్ విధులు.
అప్లికేషన్లలో తరచుగా ఉపయోగించే కొన్ని బేస్‌లను నిర్మిస్తాము.
పట్టిక 1.7
| పేరు | హోదా | అస్థిరత స్థిరాంకాలు |
అస్థిరత స్థిరాంకాలు |
సమోద్వోయ్స్ చెల్లుబాటు |
||
| కాన్స్ట్.0 | 0 | * | * | |||
| కాన్స్ట్.1 | 1 | * | * | |||
| ప్రతికూలమైనది | Ÿ | * | * | * | ||
| కొంగ్యున్. | & | * | * | |||
| డిస్జంక్షన్. | ¤ | * | * | |||
| ఇంప్లిక్. | Ø | * | * | * | * | |
| సమానమైనది. | ~ | * | * | * | ||
| mod_2 ద్వారా మొత్తం | ∆ | * | * | * | ||
| | | * | * | * | * | * | |
| పియర్స్ బాణం | ∞ | * | * | * | * | * |
1. ఫంక్షన్ల వ్యవస్థ S1=(Ÿ,⁄,¤) ఒక ఆధారాన్ని ఏర్పరుస్తుంది. బూలియన్ ఫంక్షన్‌ను S1 ఆధారంగా కనెక్టివ్‌లను మాత్రమే కలిగి ఉండే ఫారమ్‌కి తగ్గించడానికి, కింది సమానత్వాలు ఉపయోగపడతాయి: x → y = x ∨ y , x ↔ y = (x ∨ y)(x ∨ y) , x ⊕ y = xy ∨ xy, xy = x ∨ y, x ↓ y = x & y.
2. సిస్టమ్ S2=(Ÿ,&) ఒక ఆధారాన్ని ఏర్పరుస్తుంది. ఏకపక్ష ఫంక్షన్మొదట S1 నుండి కనెక్టివ్‌లను కలిగి ఉన్న ఫారమ్‌కి తగ్గించవచ్చు మరియు ఆపై
x ∨ y = x ⋅ y సంబంధాన్ని ఉపయోగించండి.
3. సిస్టమ్ S3=(Ÿ,¤) ఒక ఆధారాన్ని ఏర్పరుస్తుంది. ఒక ఏకపక్ష ఫంక్షన్‌ను మొదట S1 నుండి కనెక్టివ్‌లను కలిగి ఉన్న ఫారమ్‌కి తగ్గించవచ్చు మరియు ఆపై
x ⋅ y = x ∨ y సంబంధాన్ని ఉపయోగించండి.
4. సిస్టమ్ S4=(1,&,∆) ఒక ఆధారాన్ని ఏర్పరుస్తుంది. ఒక ఏకపక్ష విధిని మొదట S1 నుండి కనెక్టివ్‌లను కలిగి ఉన్న ఫారమ్‌కి తగ్గించవచ్చు మరియు తర్వాత x = 1⊕ x, x ∨ y = x ⊕ y ⊕ x ⋅ y సంబంధాలను ఉపయోగించవచ్చు.
5. సిస్టమ్ S5=(|) ఒక ఆధారాన్ని ఏర్పరుస్తుంది. ఒక ఏకపక్ష విధిని మొదట S2 నుండి కనెక్టివ్‌లను కలిగి ఉన్న ఫారమ్‌కి తగ్గించవచ్చు మరియు తర్వాత x ⋅ y = x y, x = xx సంబంధాలను ఉపయోగించవచ్చు.
6. సిస్టమ్ S6=(∞) ఒక ఆధారాన్ని ఏర్పరుస్తుంది. ఒక ఏకపక్ష ఫంక్షన్ మొదట S3 నుండి కనెక్టివ్‌లను కలిగి ఉన్న ఫారమ్‌కి తగ్గించబడుతుంది మరియు తర్వాత
x ∨ y = x ↓ y, x = x ↓ x సంబంధాలను ఉపయోగించండి.
7. సిస్టమ్ S7=(Ø,0) ఒక ఆధారాన్ని ఏర్పరుస్తుంది.
ఉదాహరణ 1.7.1. x¨(y∆z) ఫంక్షన్‌ని S1=(Ÿ,⁄,¤) ఆధారంగా వ్రాయండి. x ↔ (y ⊕ z) = (x ∨ y ⊕ z) ⋅(x ∨ (y ⊕ z)) = (x ∨ y ⋅ z ∨ y ⋅ z) ⋅(x ∨ y ⋅) z
అధ్యాయం II. బూలియన్ బీజగణితం.
ఆధారంలోని అన్ని బూలియన్ల సమితి S1=( ÿ, &, ⁄} రూపం బూలియన్ బీజగణితం. అందువలన, బూలియన్ బీజగణితంలో, అన్ని సూత్రాలు మూడు కనెక్టివ్‌లను ఉపయోగించి వ్రాయబడతాయి: Ÿ, &, ¤. మేము అధ్యాయం Iలో ఈ బీజగణితం యొక్క లక్షణాలను పాక్షికంగా పరిశీలించాము (ఉదాహరణకు, ప్రాథమిక సమానత్వాలను చూడండి). ఈ అధ్యాయం బూలియన్ బీజగణితానికి సంబంధించిన ప్రత్యేక లక్షణాలతో వ్యవహరిస్తుంది మరియు ఈ అధ్యాయం అంతటా మేము మూడు విధులతో మాత్రమే వ్యవహరిస్తాము: ÿ, &, ⁄.
§2.1. సాధారణ రూపాలు.
సాధారణ రూపాలు అనేది అమలు చేసే సూత్రాన్ని వ్రాయడానికి వాక్యనిర్మాణపరంగా స్పష్టమైన మార్గం ఇచ్చిన ఫంక్షన్.
x లాజికల్ వేరియబుల్ అయితే, మరియు σœ(0,1) అయితే x σ = x అయితే σσ == 10 లేదా x σ = 10 అయితే x x =≠σσ , xని అక్షరం అంటారు. . x మరియు Ÿx అక్షరాలను వ్యతిరేకతలు అంటారు. సంయోగం వేరుచేయుఅక్షరాల విభజన అని. ఉదాహరణకు, x ⋅ y ⋅ z మరియు x ⋅ y ⋅ x ⋅ x ఫార్ములాలు సంయోగాలు, x ∨ y ∨ z మరియు x ∨ y ∨ x ఫార్ములాలు విడదీయబడతాయి మరియు ఫార్ములా రెండూ ఒక విచ్ఛేదం.
డిస్జంక్టివ్ సాధారణ రూపం (DNF)పరిమిత సంఖ్యలో సంయోగాల యొక్క విభజన అంటారు .
సంయోగ సాధారణ రూపం (CNF)పరిమిత సంఖ్యలో క్లాజుల సంయోగం అంటారు .
మరింత సరళంగా: DNF అనేది ఉత్పత్తుల మొత్తం, మరియు CNF అనేది లాజికల్ మొత్తాల ఉత్పత్తి. ఉదాహరణలు.
1. xÿy¤yÿz¤x అనేది DNF (ఉత్పత్తుల మొత్తం).
2. (x ∨ y ∨ z)⋅(x ∨ y)⋅z అనేది CNF (మొత్తాల ఉత్పత్తి).
3. x ∨ y ∨ z ∨ w అనేది DNF మరియు CNF (ఏకకాలంలో).
4. x ⋅ y ⋅ z ⋅ w అనేది DNF మరియు CNF (ఏకకాలంలో).
5. (x¤x¤y)·(y¤z¤x)·z అనేది CNF.
6. x⋅y⋅z మరియు x⋅y⋅x⋅x DNFలు.
7. x ⋅(x ∨ yz)⋅ x ⋅ y ⋅ z సాధారణ రూపం కాదు (DNF లేదా CNF కాదు).
ఫంక్షన్ fని S1 ఆధారంగా వ్రాయనివ్వండి. ఈ ఫంక్షన్ క్రింది విధంగా సాధారణ రూపానికి తగ్గించబడింది:
1) మేము ఫార్ములాను రూపాంతరం చేయడానికి డి మోర్గాన్ చట్టాలను ఉపయోగిస్తాము, దీనిలో ప్రతికూల సంకేతాలు వ్యక్తిగత వేరియబుల్స్‌కు మాత్రమే సంబంధించినవి;
2) మేము డబుల్ ప్రతికూలతలను తొలగించడానికి నియమాన్ని వర్తింపజేస్తాము: ŸŸx=x;
H1&(H2¤H3)=(H1&H2)¤(H1&H3) , మరియు CNFకి తగ్గింపు కోసం రెండవ పంపిణీ చట్టం. H1¤(H2&H3)=(H1¤H2)&(H1¤H3).
ఏదైనా బూలియన్ ఫంక్షన్ అనంతమైన DNF మరియు CNF ప్రాతినిధ్యాలను కలిగి ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, విలోమ నియమాలు మరియు స్థిరాంకాలతో కార్యకలాపాల నియమాలను అదనంగా ఉపయోగించి, ప్రతి వ్యక్తి సంయోగం లేదా డిస్‌జంక్ట్‌లో ఏదైనా వేరియబుల్ ఒకటి కంటే ఎక్కువసార్లు కనిపించకుండా చూసుకోవడం సాధ్యమవుతుంది (దానిలో లేదా దాని ప్రతికూలత).
ఉదాహరణ 2.1.1. DNFకి తగ్గించడానికి మేము పంపిణీ యొక్క 1వ నియమాన్ని ఉపయోగిస్తాము.
x⋅y⋅x⋅y⋅z⋅(y∨z)=x⋅y⋅(x∨y∨z)⋅(y∨z)=(x⋅y⋅x∨x⋅y⋅y∨x⋅y ⋅z)⋅(y∨z)= అనేది CNF
= (0∨ x⋅y∨ x⋅y⋅z)⋅(y∨ z) = (x⋅y∨ x⋅y⋅z)⋅(y∨ z) = - ఇది మరొక CNF
X ⋅ y⋅у ∨ x ⋅ y⋅z⋅ y ∨ x ⋅y⋅z ∨ x ⋅ y⋅z⋅z = 0∨ 0∨ x ⋅y⋅z ∨ x
X ⋅ y ⋅ z ∨ x ⋅ y ⋅ z అనేది DNF
ఉదాహరణ 2.1.2. CNFకి తగ్గించడానికి పంపిణీ యొక్క రెండవ నియమాన్ని ఉపయోగించడం అవసరం.
x ∨ y ⋅ x ⋅ y ∨ z = x ∨ y ⋅ (x ⋅ y ⋅ z) = x ∨ y ⋅ (x ∨ y) ⋅ z =
X∨y⋅z⋅(x∨y)=(x∨y⋅z)⋅(x∨x∨y)=(x∨y)⋅(x∨z)⋅(1∨y)=
= (x ∨ y) ⋅ (x ∨ z) అనేది CNF
§2.2. ఖచ్చితమైన సాధారణ రూపాలు.
ఒక సాధారణ రూపంలోని ప్రతి పదంలో అన్ని వేరియబుల్స్ ప్రాతినిధ్యం వహిస్తే (వాటిలో లేదా వాటి ప్రతికూలతలు), మరియు ప్రతి వ్యక్తి సంయోగం లేదా డిస్‌జంక్షన్‌లో ఏదైనా వేరియబుల్ సరిగ్గా ఒకసారి కనిపిస్తే (దానిలో లేదా దాని నిరాకరణ), అప్పుడు ఈ ఫారమ్ అంటారు ఖచ్చితమైన సాధారణ రూపం (SDNF లేదా SCNF). ఉదాహరణలు:మూడు వేరియబుల్స్ f(x,y,z) యొక్క ఫంక్షన్ ఇవ్వబడనివ్వండి.
1. x ⋅ y ⋅ z ∨ x ⋅ y ⋅ z ∨ x ⋅ y ⋅ z ఒక ఖచ్చితమైన DNF.
2. (x ∨ y ∨ z)⋅(x ∨ y ∨ z)⋅(x ∨ y ∨ z) ఒక ఖచ్చితమైన CNF.
3. (x ∨ y) ⋅ (x ∨ z) ఖచ్చితమైన CNF కాదు, ఎందుకంటే ఉదాహరణకు, మొదటి మొత్తంలో వేరియబుల్ z ఉండదు.
4. xÿyÿz ఒక ఖచ్చితమైన DNF. సిద్ధాంతం 2.2.1.
1. ఒకేలా సున్నా లేని ఏదైనా బూలియన్ ఫంక్షన్‌లో నిబంధనల స్థానం వరకు ఒక SDNF మాత్రమే ఉంటుంది.
2. 1కి సమానంగా లేని ఏదైనా బూలియన్ ఫంక్షన్‌లో నిబంధనల స్థానం వరకు ఒకే ఒక SCNF ఉంటుంది.
కింది సమస్యకు పరిష్కారంగా మేము సిద్ధాంతాన్ని నిర్మాణాత్మకంగా నిరూపిస్తాము: ఈ సత్య పట్టికను ఉపయోగించి, SDNFని నిర్మించండి.
n=3 కోసం టేబుల్ (టేబుల్ 2.2)లో ఇవ్వబడిన f(x,y,z) ఫంక్షన్ ఉదాహరణను ఉపయోగించి పరిష్కారాన్ని పరిశీలిద్దాం.
ఉదాహరణ 2.2.1.ఈ సత్య పట్టిక (టేబుల్ 2.2) ఉపయోగించి, ఒక SDNFని నిర్మించండి.
పట్టిక 2.2
| x | వై | z | ప్రాథమిక సంయోగాలు |
f(x,y,z) |
| 0 | 0 | 0 | x ⋅ y ⋅ z | 0 |
| 0 | 0 | 1 | x ⋅ y ⋅ z | 1 |
| 0 | 1 | 0 | x ⋅ y ⋅ z | 1 |
| 0 | 1 | 1 | x ⋅ y ⋅ z | 0 |
| 1 | 0 | 0 | x ⋅ y ⋅ z | 0 |
| 1 | 0 | 1 | x ⋅ y ⋅ z | 1 |
| 1 | 1 | 0 | x ⋅ y ⋅ z | 1 |
| 1 | 1 | 1 | x ⋅ y ⋅ z | 1 |
ప్రాథమిక సంయోగాలు (లేదా భాగాలు_1) పట్టికలో చేర్చబడినవి నిర్దిష్ట సున్నాలు మరియు తీసుకునే వాటికి అనుగుణంగా ఉంటాయి వేరియబుల్స్ x,y,z. నియోజకవర్గాలు నిర్మించబడుతున్నాయి_ 1 కింది నియమం ప్రకారం: ఒక వేరియబుల్ ఇచ్చిన సెట్‌లో విలువ 1ని తీసుకుంటే ఉత్పత్తిలోనే చేర్చబడుతుంది, లేకుంటే దాని నిరాకరణ ఉత్పత్తిలో చేర్చబడుతుంది. కాబట్టి, ఉదాహరణకు, సెట్‌లో (0,0,1) వేరియబుల్స్ x, y విలువ 0ని తీసుకుంటాయి మరియు అందువల్ల వాటి నిరాకరణలు ఉత్పత్తిలో చేర్చబడతాయి మరియు వేరియబుల్ z విలువ 1ని తీసుకుంటుంది కాబట్టి ఉత్పత్తిలోనే చేర్చబడుతుంది. . ఇచ్చిన సెట్ (0,0,1) కోసం, constituent_1 x ⋅ y ⋅ zకి సమానం.
సహజంగానే, సంయోగం x ⋅ y ⋅ z సెట్‌లో మాత్రమే 1కి సమానం
(0,0,0), మరియు x ⋅ y ⋅ z అనేది సెట్‌లో 1 (0,0,1) మొదలైనవి. (పట్టిక చూడండి). తరువాత, ఈ ప్రాథమిక సంయోగాలకు అనుగుణంగా ఉండే సరిగ్గా రెండు సెట్లలో రెండు ప్రాథమిక సంయోగాల విభజన 1కి సమానం అని గమనించండి. ఉదాహరణకు, ఫంక్షన్ x ⋅ y ⋅ z¤x ⋅ y ⋅ z రెండు సెట్లలో మాత్రమే 1కి సమానం - (0,0,0) మరియు (0,0,1), మరియు అన్ని ఇతర సెట్లలో ఇది సమానం 0. అదేవిధంగా, ఈ ప్రాథమిక సంయోగాలకు సంబంధించిన మూడు సెట్లలో మూడు ప్రాథమిక సంయోగాల విభజన 1కి సమానం, మొదలైనవి.
ఆ. మాకు దొరికింది నియమం: SDNF నిర్మాణం కోసంమీరు ఫంక్షన్ 1కి సమానమైన అడ్డు వరుసలను ఎంచుకోవాలి, ఆపై సంబంధిత ప్రధాన సంయోగాల విభజనను తీసుకోవాలి, మేము కోరుకున్న SDNFని పొందుతాము. కాబట్టి మా ఉదాహరణ కోసం, మనకు x ⋅ y ⋅ z ¤ x ⋅ y ⋅ z ¤ x ⋅ y ⋅ z ¤ x ⋅ y ⋅ z ¤ x ⋅ y ⋅ z .
టాస్క్. ఈ సత్య పట్టికను ఉపయోగించి, SCNFని నిర్మించండి.
రాజ్యాంగం_0సున్నాలు మరియు వాటి సమితి కోసం (వేరియబుల్స్ x,y,z తీసుకుంటుంది) ఈ క్రింది విధంగా నిర్మించబడింది: ఈ సెట్‌లోని విలువను తీసుకుంటే వేరియబుల్ డిస్‌జంక్షన్‌లోనే చేర్చబడుతుంది 0 , లేకపోతే పని దాని నిరాకరణను కలిగి ఉంటుంది.
SKNF నిర్మాణానికి నియమం:మీరు ఫంక్షన్ సమానంగా ఉండే పంక్తులను ఎంచుకోవాలి 0 , ఆపై సంబంధిత భాగాలు_0 యొక్క సంయోగాన్ని తీసుకోండి. ఫలితంగా కావలసిన SCNF ఉంటుంది. కాబట్టి మా ఉదాహరణ కోసం, మనకు f = (x ∨ y∨ z)⋅(x ∨ y∨ z)⋅(x ∨ y∨ z) .
వ్యాఖ్య. ఖచ్చితమైన CNF ఫంక్షన్ fని నిర్మించడానికి, f ఫంక్షన్ కోసం ఒక ఖచ్చితమైన DNFని నిర్మించడం సరిపోతుంది, ఆపై
రిమార్క్ ఆధారంగా మన ఉదాహరణ కోసం SCNFని నిర్మిస్తాము. 1. మేము నిరాకరణ కోసం SDNFని నిర్మిస్తాము.
x ⋅ y ⋅ z ∨ x ⋅ y ⋅ z ∨ x ⋅ y ⋅ z
2. మేము డి మోర్గాన్ చట్టాలను ఉపయోగిస్తాము f = f = x ⋅ y⋅ z ∨ x ⋅ y⋅z ∨ x ⋅ y⋅ z = x ⋅ y⋅ z&x ⋅ y⋅z&x = x ⋅ y⋅z&x = ) ⋅(x ∨ y ∨ z)⋅(x ∨ y ∨ z) .
ట్రూత్ టేబుల్‌ని ఉపయోగించి SDNF (మరియు SCNF)ని కనుగొనే వివరించిన పద్ధతి తరచుగా కింది అల్గారిథమ్ కంటే ఎక్కువ శ్రమతో కూడుకున్నది.
1. SDNFని కనుగొనడానికి ఈ ఫార్ములామేము మొదట DNFకి తగ్గిస్తాము.
2. కొన్ని సంయోగం K (అనగా K అనేది నిర్దిష్ట సంఖ్యలో వేరియబుల్స్ లేదా వాటి నిరాకరణల ఉత్పత్తి) వేరియబుల్ yని కలిగి ఉండకపోతే, మేము ఈ సంయోగాన్ని K&(y ∨ y) సమానమైన ఫార్ములాతో భర్తీ చేస్తాము మరియు వర్తింపజేస్తాము పంపిణీ చట్టం, మేము ఫలిత సూత్రాన్ని DNFకి అందజేస్తాము; అనేక తప్పిపోయిన వేరియబుల్స్ ఉంటే, వాటిలో ప్రతిదానికి మేము ఫారమ్ (y ∨ y) యొక్క సంబంధిత సూత్రాన్ని సంయోగానికి జోడిస్తాము.
3. ఫలితంగా DNF యూనిట్ యొక్క అనేక సారూప్య భాగాలను కలిగి ఉంటే, మేము వాటిలో ఒకదాన్ని మాత్రమే వదిలివేస్తాము. ఫలితం SDNF.
వ్యాఖ్య: ఒక SCNFని ఒక వేరియబుల్ కలిగి లేని నిబంధనగా నిర్మించడం వద్దమేము y⋅ y ఫారమ్ యొక్క సూత్రాన్ని జోడిస్తాము, అనగా. మేము ఈ డిస్‌జంక్ట్‌ని సమానమైన ఫార్ములా D ∨ y⋅ yతో భర్తీ చేస్తాము మరియు పంపిణీ యొక్క 2వ నియమాన్ని వర్తింపజేస్తాము.
ఉదాహరణ 2. 2. 2.సమానమైన పరివర్తనలను ఉపయోగించి f ఫంక్షన్ కోసం SDNFని నిర్మించండి.
f = x ∨ y ⋅ z = x ⋅ (y ∨ y) ⋅ (z ∨ z) ∨ y ⋅ z ⋅ (x ∨ x) == x ⋅ y ⋅ z x ⋅ x y ⋅ z y ⋅ z ⋅ x y ⋅ z ⋅ x =
తిరోగమనం.
SDNF యొక్క గణన సిద్ధాంతపరమైనది మాత్రమే కాదు, గొప్ప ఆచరణాత్మక ప్రాముఖ్యత కూడా ఉంది. ఉదాహరణకు, చాలా మందిలో ఆధునిక కార్యక్రమాలుకాంప్లెక్స్‌ను కంపోజ్ చేయడానికి గ్రాఫికల్ ఇంటర్‌ఫేస్‌తో తార్కిక పరిస్థితులుపట్టిక రూపంలో దృశ్య రూపం ఉపయోగించబడుతుంది: షరతులు కణాలలో వ్రాయబడతాయి మరియు ఒక కాలమ్ యొక్క కణాలు సంయోగం ద్వారా అనుసంధానించబడినట్లు పరిగణించబడతాయి మరియు నిలువు వరుసలు ఒక డిస్జంక్షన్ ద్వారా అనుసంధానించబడినట్లు పరిగణించబడతాయి, అనగా అవి DNFని ఏర్పరుస్తుంది (లేదా దీనికి విరుద్ధంగా, ఈ సందర్భంలో, CNF పొందబడుతుంది). ప్రత్యేకించి, ఈ విధంగా QBE (క్వరీ-బై ఎగ్జాంపుల్) గ్రాఫికల్ ఇంటర్‌ఫేస్ రూపొందించబడింది, DBMSను ప్రశ్నించేటప్పుడు తార్కిక పరిస్థితులను రూపొందించడానికి ఉపయోగించబడుతుంది.
అల్గోరిథం 2.2.1. SDNF నిర్మాణం
ప్రవేశ ద్వారం: వెక్టర్ X: స్ట్రింగ్ యొక్క శ్రేణి - వేరియబుల్ ఐడెంటిఫైయర్‌లు, మ్యాట్రిక్స్ V: వేరియబుల్ విలువల యొక్క అన్ని విభిన్న సెట్లలో 0..1 యొక్క శ్రేణి,
వెక్టార్ F: 0..1 సంబంధిత ఫంక్షన్ విలువల శ్రేణి.
బయటకి దారి:ఇచ్చిన ఫంక్షన్ కోసం SDNF ఫార్ములా యొక్క రికార్డ్‌ను రూపొందించే చిహ్నాల క్రమం.
f:= తప్పుడు(విచ్ఛిత్తి యొక్క ఎడమ ఒపెరాండ్ ఉనికికి సంకేతం) కోసం i నుండి 1కు 2 n చేయండి
ఉంటే F[i] = 1 అప్పుడు ఉంటే f అప్పుడు
దిగుబడి"¤" (ఫార్ములాకు డిస్జంక్షన్ గుర్తును జోడించడం; ఆపరేటర్ దిగుబడి m ప్రింట్లు
చిహ్నం m) లేకపోతే f:= నిజం
ముగింపు ఉంటే g:= తప్పుడు(సంయోగం యొక్క ఎడమ ఒపెరాండ్ ఉనికికి సంకేతం) కోసంజె నుండి 1కు n ఉంటే చేయండి g అప్పుడు
దిగుబడి"⁄" (ఫార్ములాకు సంయోగ చిహ్నాన్ని జోడించడం)
లేకపోతే g: = నిజం
ఉంటే ముగింపు V ( ఫార్ములాకు వేరియబుల్ ఐడెంటిఫైయర్ జోడించడం
§2.3. క్విన్ పద్ధతి ద్వారా DNF కనిష్టీకరణ.
ప్రతి ఫార్ములా ఉంది చివరి సంఖ్యవేరియబుల్స్ యొక్క సంఘటనలు. వేరియబుల్ యొక్క సంభవం సూత్రంలో వేరియబుల్ ఆక్రమించే స్థలాన్ని సూచిస్తుంది. ఇచ్చిన బూలియన్ ఫంక్షన్ f కోసం, ఈ ఫంక్షన్‌ను సూచించే మరియు కలిగి ఉన్న DNFని కనుగొనడం పని అతి చిన్న సంఖ్యవేరియబుల్స్ యొక్క సంఘటనలు.
x అనేది లాజికల్ వేరియబుల్ మరియు σœ(0,1) అయితే x σ =xx అయితే σσ== 10 .
అని పిలిచారు లేఖ . సంయోగంఅక్షరాల సంయోగం అంటారు. ఉదాహరణకు, x ⋅ y ⋅ z మరియు x ⋅ y ⋅ x x x ఫార్ములాలు సంయోగాలు . ఎలిమెంటరీ ప్రోడక్ట్ అనేది ఏదైనా వేరియబుల్ ఒకటి కంటే ఎక్కువసార్లు కనిపించని సంయోగం (దానినే లేదా దాని నిరాకరణ).
ఫార్ములా f1 అంటారు ఇంప్లైంట్సూత్రాలు f , f1 ప్రాథమిక ఉత్పత్తి అయితే మరియు f 1 ⁄ f = f 1, అనగా. అంటే, సూత్రాలకు సంబంధించిన విధులకు, అసమానత f 1 § f కలిగి ఉంటుంది. ఫార్ములా f యొక్క ఇంప్లికెంట్ f1 అంటారు సాధారణ , ఒకవేళ, f1 నుండి ఏదైనా అక్షరాన్ని విస్మరించిన తర్వాత, ఫార్ములా f యొక్క అంతర్లీనంగా ఒక ఫార్ములా పొందబడకపోతే.
ఉదాహరణ 2.3.1 . ఫార్ములా f=xØy కోసం అన్ని ఇంప్లిడెంట్‌లు మరియు సింపుల్ ఇంప్లికెంట్‌లను కనుగొనండి . వేరియబుల్స్‌తో మొత్తం 8 ప్రాథమిక ఉత్పత్తులు ఉన్నాయి Xమరియు u.క్రింద, స్పష్టత కోసం, వారి సత్య పట్టికలు ఇవ్వబడ్డాయి:
| x | వై | xØy | x ⋅ వై | x ⋅ వై | x ⋅ వై | x ⋅ వై | x | వై | x | వై | |||||||
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | |||||||
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | |||||||
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | |||||||
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | |||||||
సత్య పట్టికల నుండి x ⋅ y , x ⋅ y , x ⋅ y , x ,y సూత్రాలు అని మేము నిర్ధారించాము - xØy ఫార్ములా యొక్క అన్ని ఇంప్లిడెంట్‌లు, మరియు ఈ ఇంప్లిడెంట్‌లలో x మరియు y ఫార్ములాలు సరళంగా ఉంటాయి (ఉదాహరణకు, ఫార్ములా x ⋅ y, సాధారణ ఇంప్లిడెంట్ కాదు, ఎందుకంటే, y అక్షరాన్ని విస్మరిస్తే, మేము xని పొందుతాము).
సంక్షిప్త DNFఇచ్చిన ఫార్ములా (ఫంక్షన్) యొక్క అన్ని ప్రధాన ఇంప్లికెంట్ల డిస్జంక్షన్ అంటారు .
సిద్ధాంతం 2.3.1.స్థిరాంకం 0 కాని ఏదైనా బూలియన్ ఫంక్షన్ సంక్షిప్తలిపి DNFగా సూచించబడుతుంది.
ఉదాహరణ 2.3.1లో, ఫార్ములా xØyకి సంబంధించిన ఫంక్షన్ x ∨ y ఫార్ములా ద్వారా సూచించబడుతుంది, ఇది దాని సంక్షిప్త DNF.
తగ్గిన DNF అదనపు ఇంప్లికెంట్‌లను కలిగి ఉండవచ్చు, దీని తొలగింపు సత్య పట్టికను మార్చదు. మేము తగ్గించబడిన DNF నుండి అన్ని అనవసరమైన చిక్కులను తీసివేసినట్లయితే, మేము DNF అని పిలువబడే ఒక DNFని పొందుతాము వీధి చివర.
ఒక ఫంక్షన్ యొక్క డెడ్-ఎండ్ DNF వలె ప్రాతినిధ్యం వహిస్తుందని గమనించండి సాధారణ కేసుఅస్పష్టమైన. అన్ని డెడ్-ఎండ్ ఫారమ్‌ల నుండి ఎంచుకుంటే, వేరియబుల్స్ యొక్క అతి తక్కువ సంఖ్యలో సంభవించే ఫారమ్ ఇస్తుంది కనిష్ట DNF (MDNF).
పద్ధతిని పరిగణించండి క్వినా,ఇచ్చిన బూలియన్ ఫంక్షన్‌ను సూచించే MDNFని కనుగొనడానికి. మేము ఈ క్రింది మూడు కార్యకలాపాలను నిర్వచించాము:
1. పూర్తి బంధం ఆపరేషన్ : f ⋅ x ∨ f ⋅ x = f ⋅ (x ∨ x) = f ;
2. పాక్షిక అంటుకునే ఆపరేషన్:
f ⋅ x ∨ f ⋅ x = f ⋅ (x ∨ x) ∨ f ⋅ x ∨ f ⋅ x = f ∨ f ⋅ x ∨ f ⋅ x ;
3. ప్రాథమిక శోషణ f ⋅ x σ ∨ f = f , σ ∈ (0,1) .
సిద్ధాంతం 2.3.2(క్వైన్స్ సిద్ధాంతం). ఒకవేళ, SDNF ఫంక్షన్ ఆధారంగా, మేము అసంపూర్తిగా అంటుకునే మరియు ప్రాథమిక శోషణ యొక్క అన్ని సాధ్యమైన ఆపరేషన్‌లను నిర్వహిస్తే, అప్పుడు ఫలితం తగ్గిన DNF అవుతుంది, అనగా, అన్ని సాధారణ ఇంప్లికెంట్ల విభజన.
ఉదాహరణ 2.3.2. f(x,y,z) ఫంక్షన్‌ని ఖచ్చితమైన DNF f = x ⋅ y⋅ z ∨ x ⋅ y⋅z ∨ x ⋅ y⋅z ∨ x ⋅ y⋅ z ∨ x ⋅ y. అప్పుడు, రెండు దశల్లో అసంపూర్తిగా అంటుకునే అన్ని కార్యకలాపాలను నిర్వహిస్తుంది, ఆపై ప్రాథమిక శోషణ, మేము కలిగి ఉన్నాము
f 
అందువలన, f ఫంక్షన్ యొక్క సంక్షిప్త DNF ఫార్ములా y¤x·z.
ఆచరణలో, ప్రతి దశలో అసంపూర్తిగా గ్లూయింగ్ ఆపరేషన్లు చేస్తున్నప్పుడు, ఈ కార్యకలాపాలలో పాల్గొన్న నిబంధనలను వ్రాయడం సాధ్యం కాదు, కానీ ఏ గ్లూయింగ్లో పాల్గొనని అన్ని పూర్తి గ్లూయింగ్లు మరియు సంయోగాల ఫలితాలను మాత్రమే వ్రాయడం సాధ్యమవుతుంది.
ఉదాహరణ 2. 3. 3. f(x,y,z) ఫంక్షన్‌ని ఖచ్చితమైన DNF f = x ⋅ y ⋅ z ∨ x ⋅ y ⋅ z ∨ x ⋅ y ⋅ z ∨ x ⋅ y ⋅ z ద్వారా అందించబడనివ్వండి.
అప్పుడు, gluing మరియు తరువాత ప్రాథమిక శోషణ యొక్క కార్యకలాపాలు చేయడం, మేము కలిగి
f = x ⋅ y ⋅(z ∨ z) ∨ y ⋅ z ⋅(x ∨ x) ∨ x ⋅ z⋅(y ∨ y) = x ⋅ y ∨ y ∋ z ⋅
తగ్గించబడిన DNF నుండి కనీస DNFని పొందేందుకు, Quine మాత్రిక ఉపయోగించబడుతుంది , ఇది క్రింది విధంగా నిర్మించబడింది. పట్టిక యొక్క నిలువు వరుస శీర్షికలు ఖచ్చితమైన DNF యూనిట్ యొక్క భాగాలను కలిగి ఉంటాయి మరియు అడ్డు వరుస శీర్షికలు ఫలితంగా సంక్షిప్త DNF నుండి సాధారణ ఇంప్లికెంట్‌లను కలిగి ఉంటాయి. పట్టికలో, ఆస్టరిస్క్‌లు అడ్డు వరుసలు మరియు నిలువు వరుసల విభజనలను సూచిస్తాయి, వాటి కోసం అడ్డు వరుస హెడర్‌లోని సంయోగం యూనిట్ యొక్క భాగంలో చేర్చబడుతుంది, ఇది నిలువు శీర్షిక.
ఉదాహరణకు 2.3.3. క్విన్ మాతృక రూపాన్ని కలిగి ఉంది
డెడ్-ఎండ్ DNFలో, కనీస సంఖ్య సాధారణ ఇంప్లికెంట్‌లు ఎంపిక చేయబడతాయి, దీని యొక్క విభజన యూనిట్ యొక్క అన్ని భాగాలను భద్రపరుస్తుంది, అనగా క్విన్ మ్యాట్రిక్స్ యొక్క ప్రతి నిలువు వరుసలో ఒకదానికి సంబంధించిన వరుసతో కూడలి వద్ద నక్షత్రం ఉంటుంది. ఎంపిక చేసిన ఇంప్లిమెంట్స్. అతి తక్కువ సంఖ్యలో వేరియబుల్స్ సంభవించే డెడ్-ఎండ్ DNF కనిష్ట DNFగా ఎంపిక చేయబడింది.
ఉదాహరణ 2.3.3లో, క్విన్ మ్యాట్రిక్స్‌ని ఉపయోగించి, ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క కనిష్ట DNF x ⋅ y ¤ x ⋅ z అని మేము కనుగొన్నాము.
వ్యాఖ్య.
f =f మరియు డి మోర్గాన్ చట్టాలను ఉపయోగించండి.
§ 2.4. కార్నోట్ మ్యాప్స్.
తక్కువ సంఖ్యలో వేరియబుల్స్‌తో (మరియు, అందువల్ల, కనీస DNFని కనుగొనడం) సాధారణ ఇంప్లికెంట్ ఫార్ములాలను పొందేందుకు మరొక మార్గం, కార్నోట్ మ్యాప్‌లు అని పిలవబడే ఉపయోగంపై ఆధారపడి ఉంటుంది.
కార్నోట్ మ్యాప్ ఉంది ప్రత్యేక రకంకనిష్ట రూపాలను కనుగొనే ప్రక్రియను సులభతరం చేసే పట్టిక మరియు వేరియబుల్స్ సంఖ్య ఆరుకు మించనప్పుడు విజయవంతంగా ఉపయోగించబడుతుంది. n వేరియబుల్స్‌పై ఆధారపడి ఫంక్షన్ల కోసం కర్నాఫ్ మ్యాప్‌లు 2 n సెల్‌లుగా విభజించబడిన దీర్ఘచతురస్రం. రేఖాచిత్రంలోని ప్రతి సెల్ బైనరీ n-డైమెన్షనల్ సెట్‌తో అనుబంధించబడి ఉంటుంది. సత్యం పట్టిక నుండి ఇచ్చిన ఫంక్షన్ f యొక్క విలువలు అవసరమైన చతురస్రాల్లోకి నమోదు చేయబడతాయి, అయితే సెల్ 0కి అనుగుణంగా ఉంటే, అది సాధారణంగా ఖాళీగా ఉంటుంది.
పట్టిక 2.4.1లో. మూడు వేరియబుల్స్‌పై ఆధారపడి ఉండే ఫంక్షన్ కోసం కర్నాఫ్ మ్యాప్‌ను గుర్తించడానికి ఒక ఉదాహరణ చూపిస్తుంది. మ్యాప్ యొక్క దిగువ నాలుగు కణాలు బైనరీ సెట్‌లకు అనుగుణంగా ఉంటాయి, దీనిలో వేరియబుల్ xవిలువ 1ని తీసుకుంటుంది, మొదటి నాలుగు సెల్‌లు వేరియబుల్‌లోని సెట్‌లకు అనుగుణంగా ఉంటాయి xవిలువ 0 తీసుకుంటుంది. మ్యాప్‌లో కుడి సగం ఉండే నాలుగు సెల్‌లు వేరియబుల్ y సెట్‌లకు అనుగుణంగా ఉంటాయి; విలువ 1, మొదలైనవి తీసుకుంటుంది. పట్టిక 2.4.2 లో. n=4 వేరియబుల్స్ కోసం కర్నాఫ్ మ్యాప్ యొక్క మార్కింగ్ చూపబడింది.
కనిష్ట DNFని నిర్మించడానికి, మేము నిర్వహిస్తాము gluing విధానం "1".కలిసి ఉండే "1" విలువలు పొరుగు కణాలకు అనుగుణంగా ఉంటాయి, అనగా. ఒక వేరియబుల్ విలువలో మాత్రమే తేడా ఉన్న కణాలు (ద్వారా గ్రాఫిక్ ప్రాతినిధ్యంనిలువుగా లేదా క్షితిజ సమాంతర రేఖవ్యతిరేక తీవ్ర కణాల సామీప్యాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకోవడం).
"1"ను అంటుకునే ప్రక్రియ కర్నాగ్ మ్యాప్ యొక్క ఒకే కణాలను సమూహాలుగా కలపడానికి వస్తుంది మరియు క్రింది నియమాలను అనుసరించాలి;
1. ఒక సమూహంలో చేర్చబడిన కణాల సంఖ్య తప్పనిసరిగా 2 యొక్క బహుళంగా వ్యక్తీకరించబడాలి, అనగా. 2 మీ ఇక్కడ m=0,1,2,...
2. 2 m కణాల సమూహంలో చేర్చబడిన ప్రతి కణం సమూహంలో m పొరుగు కణాలను కలిగి ఉండాలి.
3. ప్రతి సెల్ తప్పనిసరిగా కనీసం ఒక సమూహానికి చెందినదిగా ఉండాలి.
4. ప్రతి సమూహం చేర్చాలి గరిష్ట సంఖ్యకణాలు, అనగా. ఏ సమూహం మరొక సమూహంలో ఉండకూడదు.
5. సమూహాల సంఖ్య తక్కువగా ఉండాలి.
ఫంక్షన్ f చదవండిగ్లూయింగ్ సమూహం ప్రకారం ఈ క్రింది విధంగా నిర్వహించబడుతుంది: సేవ్ చేసే వేరియబుల్స్ అదే విలువలుగ్లూయింగ్ సమూహం యొక్క కణాలలో, అవి సంయోగంలోకి ప్రవేశిస్తాయి మరియు విలువలు 1 వేరియబుల్స్‌కు అనుగుణంగా ఉంటాయి మరియు విలువలు 0 వాటి ప్రతికూలతలకు అనుగుణంగా ఉంటాయి.
మేము కవరేజీలు 1ని రూపొందించడంలో సహాయపడే టెంప్లేట్‌లను అందజేస్తాము (మేము వేరియబుల్‌లను ఒకేలా పరిగణిస్తాము, కానీ మేము వాటిని వ్రాయము). సంజ్ఞామానాన్ని సరళీకృతం చేయడానికి, మేము వేరియబుల్స్‌ను గుర్తించము, అయినప్పటికీ మేము వాటి హోదాలను పట్టికలు 2.4.1, 2.4.2లో ఉంచుతాము.
| 1 | 1 |
| 1 | 1 |
| F=Ÿy&x | |
| 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 |
F=Ÿz&Ÿy f=Ÿx&y
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
F=Ÿx&z f=y&w F=Ÿx&Ÿy
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 1 | 1 |
F=Ÿy&Ÿw f=Ÿy&Ÿz F=Ÿz&Ÿx
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | ||||
| 1 | 1 | 1 | 1 |
F=y&z&w f=Ÿy&Ÿz&Ÿw F=x&y&Ÿz
| 1 | ||
| 1 | ||
| 1 | 1 | 1 |
| 1 |
ఉదాహరణ 2.4.1. MDNFని నిర్మించండి.
ముందుగా మనం పూతలు ఏమైనా ఉన్నాయా అని చూస్తాము_ 1 16 సెల్స్‌లో కనీసం ఒక కవర్‌ని కవర్ చేస్తుంది 1. అలాంటి కవరింగ్‌లు లేవు. మేము 8 కణాల కవర్లకు వెళ్తాము. 8 సెల్స్‌లో 1 కవర్లు కనీసం ఒక అన్‌కవర్డ్‌ని కవర్ చేస్తున్నాయో లేదో చూద్దాం 1. అలాంటి కవర్లు ఏవీ లేవు. మేము 4 కణాల కవర్లకు వెళ్తాము. 4లో 1 సెల్‌ల కవర్లు కనీసం ఒక అన్‌కవర్డ్‌ను కవర్ చేస్తున్నాయో లేదో చూద్దాం 1. అలాంటి రెండు కవరింగ్‌లు ఉన్నాయి. మేము 2 కణాల కవర్లకు వెళ్తాము. అటువంటి పూత మాత్రమే ఉంది. అందువలన, మొత్తం 1 కవర్ మారింది. తర్వాత, మనం కొన్ని కవరింగ్‌లను తీసివేయగలమో లేదో చూద్దాం, తద్వారా అన్ని యూనిట్లు కప్పబడి ఉంటాయి. ముగింపులో మేము MDNFని వ్రాస్తాము: f =x⋅z∨y⋅w∨y⋅z⋅w.
వ్యాఖ్య.ఫంక్షన్ f యొక్క కనిష్ట CNFని నిర్మించడానికి, f ఫంక్షన్ కోసం కనిష్ట DNFని నిర్మిస్తే సరిపోతుంది, ఆపై
f =f మరియు డి మోర్గాన్ చట్టాలను ఉపయోగించండి.
అధ్యాయం III. జెగల్కిన్ బీజగణితం.
జెగల్కిన్ ప్రాతిపదికన S4=(∆,&,1)లో నిర్వచించబడిన బూలియన్ ఫంక్షన్ల సమితిని జెగల్కిన్ ఆల్జీబ్రా అంటారు.
ప్రాథమిక లక్షణాలు.
1. మార్పిడి
H1∆H2=H2∆H1, H1&H2=H2
2. అనుబంధం
H1∆(H2∆H3)=(H1∆H2)∆H3, H1&(H2&H3)=(H1&H2)
3. పంపిణీ
H1&(H2∆H3)=(H1&H2)∆(H1&H3);
4. స్థిరాంకాల లక్షణాలు H&1=H, H&0=0, H∆0=H;
5. H∆H=0, H&H=H.
ప్రకటన 3.1.1.అన్ని ఇతర బూలియన్ విధులు జెగల్కిన్ బీజగణితం యొక్క కార్యకలాపాల ద్వారా వ్యక్తీకరించబడతాయి:
Ÿx=1∆x, x¤y=x∆y∆xy, x~y=1∆x∆y, xØy=1∆x∆xy, x∞y=1∆x∆y∆xy, x|y= 1∆xy.
నిర్వచనం. n వేరియబుల్స్ యొక్క జెగల్కిన్ బహుపది (బహుపది మాడ్యులో 2) x 1 ,x 2 ,…,x n అనేది c0∆с1x1∆c2x2∆…∆cnxn∆c12x1x2∆…∆x12...తో స్థిరంగా k0∆с1x1 0 లేదా 1 విలువలను తీసుకోవచ్చు.
Zhegalkin బహుపది వ్యక్తిగత వేరియబుల్స్ యొక్క ఉత్పత్తులను కలిగి ఉండకపోతే, దానిని లీనియర్ (లీనియర్ ఫంక్షన్) అంటారు.
ఉదాహరణకు, f=x∆yz∆xyz మరియు f1=1∆x∆y∆z బహుపదిలు, రెండవది లీనియర్ ఫంక్షన్.
సిద్ధాంతం 3.1.1.ప్రతి బూలియన్ ఫంక్షన్ జెగల్కిన్ బహుపది రూపంలో ఒక ప్రత్యేక పద్ధతిలో సూచించబడుతుంది.
ఇచ్చిన ఫంక్షన్ నుండి జెగల్కిన్ బహుపదిలను నిర్మించడానికి ప్రధాన పద్ధతులను ప్రదర్శిస్తాము.
1. పద్ధతి అనిశ్చిత గుణకాలు. P(x 1 ,x 2 ,...,x n) ఇవ్వబడిన ఫంక్షన్ f(x 1 ,x 2 ,...,xn) అమలు చేసే కావలసిన జెగల్కిన్ బహుపది. ఫారంలో రాద్దాం
P= c 0 ∆c 1 x 1 ∆c 2 x 2 ∆…∆c n x n ∆c 12 x 1 x 2 ∆…∆c12… n x 1 x 2 …x n .
k తో కోఎఫీషియంట్‌లను కనుగొనండి. దీన్ని చేయడానికి, సత్య పట్టికలోని ప్రతి అడ్డు వరుస నుండి వేరియబుల్స్ x 1 , x 2 ,…, x n విలువలను వరుసగా కేటాయిస్తాము. ఫలితంగా, మేము 2 n తెలియని వాటితో 2 n సమీకరణాల వ్యవస్థను పొందుతాము మాత్రమే నిర్ణయం. దాన్ని పరిష్కరించిన తర్వాత, మేము బహుపది P(x 1 ,x 2 ,…,xn) యొక్క గుణకాలను కనుగొంటాము.
2. కనెక్టివ్‌ల సెట్‌పై ఫార్ములాలను మార్చడంపై ఆధారపడిన పద్ధతి ( ÿ,&}. ఇవ్వబడిన ఫంక్షన్ f(x 1 ,x 2 ,…,x n)ని గ్రహించి, కనెక్టివ్‌ల (Ÿ,&) సెట్‌పై Ф కొంత సూత్రాన్ని రూపొందించండి. ఆపై ప్రతిచోటా A ఫారమ్ యొక్క ఉప సూత్రాలను A∆1తో భర్తీ చేయండి, పంపిణీ చట్టాన్ని ఉపయోగించి బ్రాకెట్‌లను తెరవండి (ఆస్తి 3 చూడండి), ఆపై లక్షణాలను 4 మరియు 5 వర్తింపజేయండి.
ఉదాహరణ 3.1.1. f(x,y)=xØy ఫంక్షన్ కోసం జెగల్కిన్ బహుపదిని నిర్మించండి.
పరిష్కారం. 1 . (నిర్ధారించబడని గుణకాల పద్ధతి). అవసరమైన బహుపదిని ఫారమ్‌లో వ్రాద్దాం
P(x,y)= c 0 ∆c 1 x∆c 2 y∆c 12 xy సత్య పట్టికను ఉపయోగించడం
| x | 0 | 0 | 1 | 1 |
| వై | 0 | 1 | 0 | 1 |
| xØy | 1 | 1 | 0 | 1 |
f(0,0)=P(0,0)= c 0 =1, f(0,1)=P(0,1)= c 0 ∆ c 2 =1, f(1,0) =P(1,0)= c 0 ∆c 1 =0, f(1,1)=P(1,1)= c 0 ∆c 1 ∆c 2 ∆c 12 =1
మేము స్థిరంగా కనుగొన్న చోట నుండి, c 0 =1, c 1 =1, c 2 =0, c 12 =1. కాబట్టి xØy=1∆x∆xy (స్టేట్‌మెంట్ 3.1తో సరిపోల్చండి).
2.(ఫార్ములా మార్పిడి పద్ధతి.)మన దగ్గర ఉంది
x → y = x ∨ y = x ⋅ y = (x ⋅ (y ⊕ 1)) ⊕ 1 = 1 ⊕ x ⊕ x ⋅ y .
జెగల్కిన్ బీజగణితం యొక్క ప్రయోజనం (ఇతర బీజగణితాలతో పోలిస్తే) లాజిక్ యొక్క అంకగణితం, ఇది బూలియన్ ఫంక్షన్ల యొక్క పరివర్తనలను చాలా సరళంగా నిర్వహించడం సాధ్యం చేస్తుంది. బూలియన్ బీజగణితంతో పోలిస్తే దీని ప్రతికూలత సూత్రాల గజిబిజిగా ఉంటుంది.
అధ్యాయం IV. ప్రకటనలు. ఊహిస్తుంది.
§4.1. ప్రకటనలు.
తర్కం యొక్క బీజగణితాన్ని నిర్మించేటప్పుడు, మేము ఉపయోగించాము ఫంక్షనల్ విధానం. అయితే, ఈ బీజగణితాన్ని నిర్మాణాత్మకంగా నిర్మించడం సాధ్యమవుతుంది. మొదట, అధ్యయనం యొక్క వస్తువులను (స్టేట్‌మెంట్‌లు) నిర్వచించండి, ఈ వస్తువులపై కార్యకలాపాలను పరిచయం చేయండి మరియు వాటి లక్షణాలను అధ్యయనం చేయండి. అధికారిక నిర్వచనాలు ఇద్దాం.
చెప్పడం ద్వారాఒక నిర్దిష్ట సమయంలో అది నిజమా (విలువ I లేదా 1) లేదా తప్పు (విలువ L లేదా 0) అని నిస్సందేహంగా చెప్పగలిగే డిక్లరేటివ్ వాక్యాన్ని పిలుద్దాం. ఉదాహరణకు, “5 ఒక ప్రధాన సంఖ్య”, “Esc కీ నొక్కినది” మొదలైనవి. కనెక్టివ్‌లను ఉపయోగించడం “కాదు”, “మరియు”, “లేదా”, “if,... then”, “if and only if” (అవి “Ÿ”, “&”, “¤”, “Ø” కార్యకలాపాలకు అనుగుణంగా ఉంటాయి , “~” » తదనుగుణంగా), మరింత సంక్లిష్టమైన ప్రకటనలను (వాక్యాలు) నిర్మించవచ్చు. ఈ విధంగా ప్రతిపాదిత బీజగణితం నిర్మించబడింది.
సంక్లిష్ట స్టేట్‌మెంట్‌ల రికార్డింగ్‌ను సరళీకృతం చేయడానికి, కనెక్టివ్‌ల ప్రాధాన్యత పరిచయం చేయబడింది: “Ÿ”, “&”, “¤”, “Ø”, “~”, ఇది అనవసరమైన బ్రాకెట్‌లను వదిలివేయడంలో సహాయపడుతుంది.
మేము సాధారణ ప్రకటనలను ప్రతిపాదన వేరియబుల్స్ అని పిలుస్తాము.
ఫార్ములా భావనను పరిచయం చేద్దాం.
1. ప్రతిపాదన వేరియబుల్స్ సూత్రాలు.
2. A, B సూత్రాలు అయితే, ŸA, A⁄B, A¤B, AØB, A~B అనే వ్యక్తీకరణలు సూత్రాలు.
3. సూత్రాలు 1 మరియు 2 పేరాలకు అనుగుణంగా రూపొందించబడిన వ్యక్తీకరణలు మాత్రమే.
ప్రతిపాదిత వేరియబుల్స్ యొక్క అన్ని విలువలకు మరియు విలువను తీసుకునే ఫార్ములా అంటారు టాటాలజీ (లేదా సాధారణంగా చెల్లుబాటు అయ్యేది),మరియు ప్రతిపాదిత వేరియబుల్స్ యొక్క అన్ని విలువలకు A విలువను తీసుకునే ఫార్ములా అంటారు విరుద్ధమైన (లేదా అసాధ్యం)
ప్రతిపాదిత బీజగణితం యొక్క లక్షణాల వివరణ బూలియన్ బీజగణితంలో సంబంధిత ఫంక్షన్ల వర్ణనను పోలి ఉంటుంది మరియు మేము వాటిని వదిలివేస్తాము.
§4.2. ఊహిస్తుంది. అంచనాలపై తార్కిక కార్యకలాపాలు.
ఈ అధ్యాయంలోని అధ్యయనం యొక్క అంశం అంచనాలుగా ఉంటుంది - ఏకపక్ష సెట్ల మ్యాపింగ్‌లు స్టేట్‌మెంట్‌ల సమితిగా ఉంటాయి. వాస్తవానికి, మేము దీనికి పరివర్తన చేస్తున్నాము కొత్త స్థాయిసంగ్రహణలు, పాఠశాలలో చేసిన రకం యొక్క మార్పు - వాస్తవ సంఖ్యల అంకగణితం నుండి సంఖ్యా ఫంక్షన్ల బీజగణితం వరకు.
నిర్వచనం 2.1 x 1 ,x 2 ,…,xn ఏకపక్ష స్వభావం యొక్క వేరియబుల్స్ యొక్క చిహ్నాలుగా ఉండనివ్వండి. మేము ఈ వేరియబుల్స్‌ని సబ్జెక్ట్ వేరియబుల్స్ అని పిలుస్తాము. వేరియబుల్స్ (x 1 ,x 2 ,...,x n) సెట్లు M=(M1,M2,...Mn)కి చెందినవిగా ఉండనివ్వండి, దీనిని మనం సబ్జెక్ట్ ఏరియా అని పిలుస్తాము (అంటే x i œM i, ఇక్కడ Miని డొమైన్ అంటారు. వేరియబుల్ xi యొక్క నిర్వచనం). లొకేలిటీ ప్రిడికేట్ n (n-ప్లేస్ ప్రిడికేట్) నిర్వచించబడింది విషయం ప్రాంతం M, విలువ AND లేదా L విలువను తీసుకునే లాజికల్ ఫంక్షన్.
ఉదాహరణ 4.2.1. D(x1,x2) = "సహజ సంఖ్య x1 సహజ సంఖ్య x2 ద్వారా విభజించబడింది (మిగతా లేకుండా). - జంటల సమితిపై నిర్వచించబడిన రెండు-స్థల సూచన సహజ సంఖ్యలు M=NäN. సహజంగానే, D(4,2) = మరియు, D(3,5) = 0.
ఉదాహరణ 4.2.2. Q(x) ==“x 2<-1, хœR» - одноместный предикат, определенный на множестве действительных чисел М=R. Ясно, что Q(1) = Л, Q(5) = Л, и вообще предикат Q(x) - тождественно ложен, т. е.
Q(x) = А అన్ని xœR కోసం.
ఉదాహరణ 4.2.3. B(x,y,z) = “x 2 +y 2 M పై నిర్వచించబడిన P ప్రిడికేట్ విలువ మరియు సబ్జెక్ట్ వేరియబుల్స్ యొక్క ఏదైనా విలువలను తీసుకుంటే ఒకేలా నిజం అంటారు; సబ్జెక్ట్ వేరియబుల్స్ యొక్క ఏదైనా విలువలకు A విలువను తీసుకుంటే, P ప్రిడికేట్ ఒకే విధంగా తప్పుగా పిలువబడుతుంది. ఉదాహరణ 4.2.2 నుండి Qని అంచనా వేయండి. ఒకేలా తప్పు. ప్రిడికేట్‌లు లాజికల్ ఆపరేషన్లు ప్రవేశపెట్టబడిన స్టేట్‌మెంట్‌ల సెట్‌లో విలువలతో కూడిన ఫంక్షన్లు కాబట్టి, ఈ ఆపరేషన్లు సహజంగా ప్రిడికేట్‌ల కోసం నిర్వచించబడతాయి. P మరియు Q లు Mపై నిర్వచించబడాలి. అప్పుడు 1. ¬P(x, x,..., x n) = P(x, x,..., x) ∧ 1 2 n 1 2 n ∧ 1 2 n 3. (P ∨ Q)(x 1 ,x 2 ,…,x n) = P(x 1 ,x 2 ,…,x n) ∨ Q(x 1 ,x 2 ,…,x n) 4. (P → Q)(x 1 ,x 2 ,…,x n) = P(x 1 ,x 2 ,…,x n) → Q(x 1 ,x 2 ,…,x n) P మరియు Qని అంచనా వేస్తుంది, నిర్వచించబడింది P(x 1 ,x 2 ,…,xn)=Q(x 1 ,x 2 ,…,xn) ఏదైనా సెట్ (x 1 ,x 2 ,..., x n) అయితే M పై సమానం (P=Q అని వ్రాయండి) అంటారు. )
M నుండి సబ్జెక్ట్ వేరియబుల్స్ .
సిద్ధాంతం 4.2.1 M పై నిర్వచించబడిన n-ary ప్రిడికేట్‌ల సమితి బూలియన్ ప్రిడికేట్ బీజగణితాన్ని ఏర్పరుస్తుంది. అందువల్ల, ప్రాథమిక సమానత్వాలు వారికి చెల్లుతాయి (§1.6 చూడండి). P(x 1 ,x 2 ,...,xn) Mపై నిర్వచించబడిన n-ary ప్రిడికేట్‌గా ఉండనివ్వండి. మనం x i =ని పరిష్కరిద్దాం. a. (n-1)-ary ప్రిడికేట్ Q(x 1 ,x 2 ,...,xk-1, xk+1,xn)ని ఈ క్రింది విధంగా నిర్వచిద్దాం: Q(x 1 ,x 2 ,...,xk-1,xk +1, xn)=P(x 1 ,x 2 ,…,xk1, a,xk+1,xn). I- విలువను నిర్ణయించడం ద్వారా ప్రిడికేట్ P(x 1 ,x 2 ,…,xn) నుండి ప్రిడికేట్ Q(x 1 ,x 2 ,…,xk-1, xk+1,xn) పొందబడిందని వారు అంటున్నారు. వ వేరియబుల్: x i = a
. నిర్వచనం
4.3.1
. P(x) అనేది ఒక ఏకరూప సూచనగా ఉండనివ్వండి. దానితో మనం “xP(x) (“ఏదైనా x P(x)” కోసం చదవండి” అని సూచించే స్టేట్‌మెంట్‌ను అనుబంధిద్దాం, ఇది P(x) ఒకేలా నిజమైన ప్రిడికేట్ అయితే మరియు అయితే మాత్రమే నిజం. “xP(x) స్టేట్‌మెంట్ x వేరియబుల్‌పై యూనివర్సల్ క్వాంటిఫైయర్‌ని జోడించడం ద్వారా ప్రిడికేట్ P నుండి పొందబడుతుంది అని చెప్పబడింది. నిర్వచనం 4.3.2. P(x) అనేది ఒక ఏకరూప సూచనగా ఉండనివ్వండి. మనం దానిని $xP(x) అని సూచించే స్టేట్‌మెంట్‌తో అనుబంధిద్దాం ("అక్కడ x P(x)" అని చదవండి), ఇది P(x) ఒకేలా తప్పుడు సూచన అయితే మాత్రమే తప్పు. $xP(x) అనే ప్రకటన చరరాశికి అస్తిత్వ పరిమాణాన్ని జోడించడం ద్వారా ప్రిడికేట్ P నుండి పొందబడుతుంది. గమనిక 1.క్వాంటిఫైయర్ల కోసం " మరియు $ అనే చిహ్నాలు వరుసగా A మరియు E అనే లాటిన్ అక్షరాలు విలోమించబడ్డాయి, ఇవి ఆంగ్ల పదాలలో మొదటి అక్షరాలు అన్నీ- అన్నీ, ఉనికిలో ఉన్నాయి- ఉనికిలో ఉన్నాయి. గమనిక 2.స్టేట్‌మెంట్‌లను వేరియబుల్స్ లేని ప్రిడికేట్‌లుగా పరిగణించవచ్చు, అంటే 0-ప్లేస్ ప్రిడికేట్‌లు (లేదా ఏదైనా లొకేలిటీ యొక్క ప్రిడికేట్‌లు). P(x 1 ,x 2 ,...,xn) Mపై నిర్వచించబడిన n-ary ప్రిడికేట్‌గా ఉండనివ్వండి. దానిలో x 1 ,x 2 ,…,x k-1 ,x k వేరియబుల్స్ యొక్క విలువలను పరిష్కరిద్దాం. +1 ,x n . మేము యూనివర్సల్ (అస్తిత్వం) క్వాంటిఫైయర్‌ని ఫలితంగా వచ్చే అనారీ ప్రిడికేట్ Q(x k)కి జోడించి, స్టేట్‌మెంట్‌ను పొందుతాము. అందువలన, వేరియబుల్స్ x 1 ,x 2 ,..., x k-1 ,x k+1 ,x n విలువల స్థిర సెట్ సార్వత్రికత (ఉనికి) యొక్క పరిమాణాన్ని ఉపయోగించి ఒక ప్రకటనతో అనుబంధించబడుతుంది. x 1 ,x 2 ,…,x k-1 ,x k+1 ,x n అనే వేరియబుల్స్ యొక్క ఈ (n-1)-ary ప్రిడికేట్ అసలు ప్రిడికేట్ P(x 1 ,x 2 ,...,) నుండి పొందబడింది. x n) kth వేరియబుల్‌లో క్వాంటిఫైయర్ యూనివర్సాలిటీ (ఉనికి) జోడించడం ద్వారా. ఈ ప్రిడికేట్ సూచించబడింది: “x నుండి P(x 1 ,x 2 ,...,x n) ($x నుండి P(x 1 ,x 2 ,…,x n)). k-th వేరియబుల్ గురించి (ఇది ఇకపై ఉండదు) ఇది విశ్వజనీనత (ఉనికి) యొక్క పరిమాణానికి కట్టుబడి ఉందని వారు చెప్పారు. ఉదాహరణ 4.3.1. D(x1,x2) = "సహజ సంఖ్య x1 సహజ సంఖ్య x2 ద్వారా (శేషం లేకుండా) భాగించబడుతుంది." - రెండు-స్థానాల సూచన. దాని వేరియబుల్స్‌కు వరుసగా క్వాంటిఫైయర్‌లను కేటాయిద్దాం. అన్నది స్పష్టం 1) "x1"x2D(x1,x2)=0 2) "x2"x1D(x1,x2)=0 3) $x1$x2D(x1,x2)=1 4) $x2$x1D(x1,x2)=1 5) "x1$x2D(x1,x2)=1 6) $x2"x1D(x1,x2)=1 7) $x1"x2D(x1,x2) =0 8) "x1$x2D(x1,x2)=1. ఈ విధంగా (చివరి ఉదాహరణలో 7 మరియు 8 పోల్చడం ద్వారా) మేము సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించాము: సాధారణంగా, కనెక్టివ్‌లు మరియు క్వాంటిఫైయర్లు ఈ క్రింది విధంగా ప్రాధాన్యత ప్రకారం ఆర్డర్ చేయబడతాయి: Ÿ, ", $, &, ¤, Ø, ~. సిద్ధాంతం 4.3.1.వ్యతిరేక క్వాంటిఫైయర్లు, సాధారణంగా చెప్పాలంటే, ప్రయాణం చేయవు. సిద్ధాంతం 4.3.2.(క్వాంటిఫైయర్‌లను కలిగి ఉన్న ప్రాథమిక సమానత్వాలు) క్రింది సమానత్వాలు జరుగుతాయి: 1. డి మోర్గాన్ చట్టాలు ∀ xP (x) = ∃x P(x) , ∃xP (x) = ∀ x P(x) 2. కమ్యుటేటివిటీ ∀x∀yP(x,y) =∀y∀xP(x,y) , ∃x∃yP(x,y) =∃y∃xP(x,y) 3. పంపిణీ ∀x(P(x)&Q(x)) =∀xP(x)&Q(x) , ∃x(P(x)∨ Q(x))=∃xP(x)∨ Q(x) 4. క్వాంటిఫైయర్ల చర్యపై పరిమితులు ∀x(P(x)∨Q(y))=∀xP(x)∨∀xQ(y) , ∃x(P(x)&Q(y) =∃xP(x)&∃xQ(y) 5. ఏదైనా రెండు-స్థానాల సూచన కోసం ∃y∀xP(x,y) →∀x∃yP(x,y) =1 అధికారిక సిద్ధాంతం(లేదా కాలిక్యులస్)
వై- ఇది: 1 సెట్ ఎ
పాత్రలు ఏర్పడతాయి వర్ణమాల
;
1.
ఒక గుత్తి ఎఫ్
వర్ణమాలలోని పదాలు ఎ, ఎఫ్
à ఎ
అంటారు సూత్రాలు
;
3. ఉపసమితి బి
సూత్రాలు, బి
à ఎఫ్
,
అంటారు సిద్ధాంతాలు; 4. అనేక సంబంధాలు ఆర్
అనే సూత్రాల సమితిపై అనుమితి నియమాలు. చాలా చిహ్నాలు ఎ
పరిమిత లేదా అనంతం కావచ్చు. సాధారణంగా, చిహ్నాలను రూపొందించడానికి, పరిమిత అక్షరాల సమితి ఉపయోగించబడుతుంది, అవసరమైతే, సహజ సంఖ్యలు సూచికలుగా కేటాయించబడతాయి. చాలా సూత్రాలు ఎఫ్
సాధారణంగా ప్రేరక నిర్వచనం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది, ఉదాహరణకు అధికారిక వ్యాకరణం ద్వారా. నియమం ప్రకారం, ఈ సెట్ అనంతం. సెట్స్ ఎ
మరియు ఎఫ్
సమిష్టిగా నిర్ణయిస్తాయి భాష
,
లేదా సంతకం
,
అధికారిక సిద్ధాంతం. అనేక సిద్ధాంతాలు బి
పరిమిత లేదా అనంతం కావచ్చు. సిద్ధాంతాల సమితి అనంతం అయితే, ఒక నియమం వలె, ఇది సూత్రప్రాయ పథకం నుండి నిర్దిష్ట సూత్రాలను రూపొందించడానికి పరిమిత సూత్రాలు మరియు నియమాల సమితిని ఉపయోగించి పేర్కొనబడుతుంది. చాలా అనుమితి నియమాలు ఆర్
, ఒక నియమం వలె, కోర్సు. కాబట్టి, కాలిక్యులస్ వైఒక నాలుగు ఉంది (A, F, B, R)
. కాలిక్యులస్‌లో ఉత్పన్నం ద్వారా వై F 1 ,F 2 ,...,Fn ఫార్ములాల శ్రేణి అంటే ఏదైనా k (1§k§n) ఫార్ములా Fk అనేది కాలిక్యులస్ Y యొక్క సూత్రం లేదా అనుమితి నియమం ద్వారా పొందిన ఏదైనా మునుపటి సూత్రాల యొక్క ప్రత్యక్ష పరిణామం . F 1 ,F 2 ,…,F n ,G ఫార్ములా G యొక్క ఉత్పన్నం లేదా రుజువు అని పిలవబడే ముగింపు ఉన్నట్లయితే, ఫార్ములా Gని కాలిక్యులస్ Y యొక్క సిద్ధాంతం అంటారు (Yలో ఉత్పన్నమైనది లేదా Y లో నిరూపించదగినది) సిద్ధాంతం జి. ఇది క్రింది విధంగా వ్రాయబడింది: F 1,F 2,...,F n + G. కాలిక్యులస్ వైఅని పిలిచారు స్థిరమైన, కాకపోతే దాని అన్ని సూత్రాలు నిరూపించదగినవి. స్థిరత్వానికి మరొక నిర్వచనం ఇవ్వవచ్చు: F మరియు ŸF (F యొక్క తిరస్కరణ) సూత్రాలు ఏకకాలంలో తీసివేయబడకపోతే కాలిక్యులస్‌ను స్థిరంగా పిలుస్తారు. కాలిక్యులస్ వైఅని పిలిచారు పూర్తి(లేదా తగినది) ప్రతి నిజమైన ప్రకటన M సిద్ధాంతం యొక్క సిద్ధాంతానికి అనుగుణంగా ఉంటే వై
. అధికారిక సిద్ధాంతం వైఅని పిలిచారు నిర్ణయించదగినది, సిద్ధాంతం యొక్క ఏదైనా ఫార్ములా కోసం, ఈ ఫార్ములా సిద్ధాంతం యొక్క సిద్ధాంతమా కాదా అని నిర్ణయించే అల్గోరిథం ఉంటే వైలేదా. అధికారిక కాలిక్యులస్ భావనను ఉపయోగించి, మేము ప్రతిపాదిత కాలిక్యులస్ (PS)ని నిర్వచించాము. వర్ణమాల IW కలిగి ఉంటుంది 1. అక్షరాలు A, B, Q, R, P మరియు ఇతరులు, బహుశా సూచికలతో (వీటిని ప్రతిపాదిత వేరియబుల్స్ అంటారు) 2. తార్కిక చిహ్నాలు(లిగమెంట్స్) Ÿ, &, ¤, Ø, 3. సహాయక పాత్రలు
(,). చాలా సూత్రాలు IV ప్రేరకంగా నిర్ణయించబడుతుంది: 1. అన్ని ప్రతిపాదన వేరియబుల్స్ IV సూత్రాలు; 2. A, B సూత్రాలు IV అయితే ,
toŸA, A⁄B, A¤B, AØB - సూత్రాలుIV ;
3. వ్యక్తీకరణ అనేది IV ఫార్ములా అయితే మరియు దీనిని పాయింట్లు "1" మరియు ఉపయోగించి స్థాపించగలిగితే మాత్రమే అందువలన, ఏదైనా IV సూత్రం కనెక్టివ్స్ Ÿ, ⁄, ¤, Ø ఉపయోగించి ప్రతిపాదన వేరియబుల్స్ నుండి నిర్మించబడింది. భవిష్యత్తులో, ఫార్ములాలను వ్రాసేటప్పుడు, మునుపటి అధ్యాయంలోని అదే సంప్రదాయాలను ఉపయోగించి, మేము కొన్ని కుండలీకరణాలను వదిలివేస్తాము. సిద్ధాంతాలు IV క్రింది సూత్రాలు (ఏదైనా A,B,C ఫార్ములాలకు) 2. (AØB)Ø((AØ(BØC))Ø(AØC)); 5. (AØB)Ø((AØC)Ø(AØ(B⁄C))); 8. (AØC)Ø((BØC)Ø((A¤B)ØC)); 9. (AØB)Ø((AØŸB)ØŸA); ఈ సూత్రాలను IV యాక్సియమ్ పథకాలు అంటారు .
ఏదైనా స్కీమ్‌లో నిర్దిష్ట సూత్రాలను ప్రత్యామ్నాయం చేసినప్పుడు, సూత్రప్రాయ పథకం యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం పొందబడుతుంది. అనుమితి నియమం IEలో ముగింపు నియమం ఉంది (మోడస్ పోనెన్స్): A మరియు AØB ఉత్పన్నమైన సూత్రాలు అయితే, B కూడా ఉత్పన్నమవుతుంది ప్రతీకాత్మకంగా ఇది ఇలా వ్రాయబడింది: ఎ, ఎబి →
బి
. ఉదాహరణకు, A⁄B మరియు A⁄BØ(AØC) స్టేట్‌మెంట్‌లు తగ్గించదగినవి అయితే, AØC అనే స్టేట్‌మెంట్ కూడా అనుమితి నియమం ప్రకారం ఉత్పన్నమవుతుంది. F 1 ,F 2 ,...,F n (F 1 ,F 2 ,...,F n +G అని సూచిస్తారు) F 1 ,F 2 , ఫార్ములాల శ్రేణి ఉన్నట్లయితే, F 1 ,F 2 ,…,F n అనే సూత్రాల నుండి G ఫార్ములా తీసివేయబడుతుంది. ,F k ,G , దీనిలో ఏదైనా ఫార్ములా ఒక సిద్ధాంతం, లేదా F 1,F 2,...,F n (పరికల్పనలు అని పిలుస్తారు) సూత్రాల జాబితాకు చెందినది లేదా నియమం ప్రకారం మునుపటి సూత్రాల నుండి పొందబడుతుంది అనుమితి. "(+G చే సూచించబడుతుంది) నుండి G సూత్రం యొక్క ఉత్పన్నం G అనేది IV సిద్ధాంతానికి సమానం. ఉదాహరణ 5.2.1. AØA ఫార్ములా IVలో ఉత్పన్నమైనదని చూపిద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, మేము ఈ ఫార్ములా యొక్క ఉత్పన్నాన్ని నిర్మిస్తాము: 1) సూత్రం 2లో, Bని AØAతో, Cని Aతో భర్తీ చేయండి. మేము సిద్ధాంతాన్ని పొందుతాము (AØ(AØA))Ø((AØ((AØA)ØA))Ø(AØA)); 2) సూత్రం 1లో మేము Bని Aతో భర్తీ చేస్తాము. మేము AØ(AØA)ని పొందుతాము; 3) మోడస్ పోనెన్స్ ప్రకారం 1 మరియు 2 నుండి మేము ముగించాము (AØ((AØA)ØA))Ø(AØA); 4) సూత్రం 1లో మనం Bని AØAతో భర్తీ చేస్తాము. మనకు AØ((AØA)ØA); 5) పేరాల నుండి. 3 మరియు 4, అనుమితి నియమం ప్రకారం, + AØA నిజం. సిద్ధాంతం 5.2.1. 1. F 1 ,F 2 ,...,Fn,A,B IV సూత్రాలు అయితే, Г=(F 1 ,F 2 ,…,Fn), Г+A, అప్పుడు Г,B+A. (మీరు పరికల్పనల సంఖ్యను పెంచవచ్చు). 2. F 1 ,F 2 ,…,F n +A అయితే మరియు F 1 ⁄F 2 ⁄…⁄F n +A (ఒక పరికల్పనకు అనేక పరికల్పనలను తగ్గించడం) అయితే మాత్రమే. సిద్ధాంతం 5.3.1. (తగ్గింపు సిద్ధాంతం) Г,B+A అయితే, Г+BØA, ఇక్కడ Г అనేది కొన్ని సూత్రాల సమితి Г=(F 1 ,F 2 ,…,F n ). కరోలరీ 5.3.1.అప్పుడు మరియు F 1 ,F 2 ,…,F n +A అయితే మాత్రమే, ఎప్పుడు రుజువు. F 1 ,F 2 ,…,F n +Aని అనుమతించండి. అప్పుడు, తగ్గింపు సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేస్తే, మనకు F 1 ,F 2 ,…,F n-1 +F n ØA ఉంటుంది. అదేవిధంగా F 1 ,F 2 ,...,F n-2 +F n 1Ø(F n ØA), మొదలైనవి. ప్రక్రియను అవసరమైనన్ని సార్లు కొనసాగించడం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది F 1 Ø(F 2 Ø…Ø(F n-1 Ø(F n ØA))...) సమృద్ధిని నిరూపించడానికి, +B అని ఊహించండి, ఇక్కడ B=F 1 Ø(F 2 Ø…Ø(F n-1 Ø(F n ØA))…). సిద్ధాంతం 5.2.1., అంశం 1ని ఉపయోగిస్తాము: F 1 +B .
ముగింపు నియమం ప్రకారం, మేము F 1 + (F 2 Ø…Ø(F n-1 Ø(F n ØA))…), ఆపై n దశల తర్వాత మనకు F 1 ,F 2 ,…,F n +A ఉంటుంది . ఈ విధంగా, కరోలరీ 5.3.1కి ధన్యవాదాలు., F 1,F 2,...,F n సూత్రాల నుండి ఫార్ములా A యొక్క మినహాయింపును తనిఖీ చేయడం, ఫార్ములా యొక్క నిరూపణను తనిఖీ చేయడానికి తగ్గించబడింది. F 1 Ø(F 2 Ø…Ø(F n-1 Ø(F n ØA))…). ఫార్ములా A యొక్క విలువ ప్రతిపాదిత వేరియబుల్స్ యొక్క ఏదైనా విలువలకు ఒకదానికి సమానం అయినట్లయితే, A ఫార్ములాను ఒకేలా నిజం (లేదా టాటాలజీ) అని పిలుస్తారని గుర్తుంచుకోండి. కింది సిద్ధాంతం సూత్రం యొక్క సారూప్యత యొక్క ధృవీకరణను దాని సారూప్య సత్యం యొక్క ధృవీకరణకు తగ్గిస్తుంది. సిద్ధాంతం 5.3.2. (పూర్తి గురించి). A ఫార్ములా A అనేది ఒకేలా నిజమైతే మరియు మాత్రమే నిరూపించబడుతుంది (టటాలజీ): +A ‹ A-టటాలజీ. అందువలన, ఒక సూత్రం నిరూపించబడుతుందో లేదో నిర్ధారించడానికి, దాని సత్య పట్టికను సంకలనం చేయడానికి సరిపోతుంది. తెలిసినట్లుగా, సత్య పట్టికను నిర్మించడానికి సమర్థవంతమైన అల్గోరిథం ఉంది మరియు అందువలన, IV పరిష్కరించగల. ఉదాహరణ 5.3.1. P+P అని నిరూపిద్దాం. తగ్గింపు సిద్ధాంతం ప్రకారం, ఇది +(PØP)కి సమానం. ప్రతిగా, సంపూర్ణత సిద్ధాంతం ప్రకారం, (РØР) ఒక టాటాలజీ అని నిరూపించడానికి సరిపోతుంది. ఫార్ములా (РØР) కోసం సత్య పట్టికను కంపైల్ చేయడం ,
(РØР) ఒకేలా నిజమని మరియు అందువల్ల నిరూపించదగినదని మేము నమ్ముతున్నాము. సిద్ధాంతం 5.3.3. (అనుకూలత గురించి). IW కాలిక్యులస్ స్థిరంగా ఉంటుంది. రుజువు. సంపూర్ణత సిద్ధాంతం ప్రకారం, ఒకేలా నిజం కాని ఏదైనా ఫార్ములా IWలో నిరూపించబడదు. ఉదాహరణకు, అటువంటి ఫార్ములా A⁄(ŸA) ఫార్ములా. సూత్రాల సమితిని Г అంటారు వివాదాస్పదమైనది
,
ఒకవేళ Г+А⁄(ŸА) .
Г అనేది విరుద్ధమైన సూత్రాల సమితి అయితే, మేము ఈ వాస్తవాన్ని Г+ ద్వారా సూచిస్తాము. ప్రకటన
5.3.1.
Г»(ŸA) సెట్ విరుద్ధమైతే మరియు ఫార్ములా A అనేది Г సూత్రాల సమితి నుండి తీసివేయబడుతుంది. లాజిక్ ప్రోగ్రామింగ్, ఆర్టిఫిషియల్ ఇంటెలిజెన్స్ మరియు ప్రోగ్రామింగ్‌లోని ఇతర ఆధునిక పోకడలకు ఆటోమేటిక్ థియరం రుజువు మూలస్తంభం. సాధారణంగా చెప్పాలంటే, ఒక ఏకపక్ష ఫార్ములా A ఇచ్చిన అల్గోరిథం ఉండకపోవచ్చు, ఒక పరిమిత సంఖ్యలో దశల తర్వాత, కాలిక్యులస్ Yలో A తీసివేయబడుతుందా లేదా అనేది నిర్ణయించవచ్చు. అయితే, కొన్ని సాధారణ అధికారిక సిద్ధాంతాలు (ఉదాహరణకు, ప్రతిపాదిత కాలిక్యులస్) మరియు కొన్ని సాధారణ ఫార్ములాలు (ఉదాహరణకు, ఒక యూనరీ ప్రిడికేట్‌తో అనువర్తిత ప్రిడికేట్ కాలిక్యులస్), ఆటోమేటిక్ థియరమ్ ప్రూవింగ్ కోసం అల్గారిథమ్‌లు అంటారు. క్రింద, ప్రతిపాదిత కాలిక్యులస్ యొక్క ఉదాహరణను ఉపయోగించి, మేము రిజల్యూషన్ పద్ధతి యొక్క ప్రాథమికాలను వివరిస్తాము - ఒక క్లాసిక్ మరియు అదే సమయంలో స్వయంచాలకంగా సిద్ధాంతాలను నిరూపించే ప్రసిద్ధ పద్ధతి. x అనేది లాజికల్ వేరియబుల్ మరియు σœ(0,1) అయితే వ్యక్తీకరణ అని గుర్తుంచుకోండి x σ = xx అయితే σσ == 10 లేదా x σ = 10 అయితే x x =≠σσ , అంటారు లేఖ. x మరియు Ÿx అక్షరాలు అంటారు విరుద్ధమైన.
సంయోగంఅక్షరాల సంయోగం అంటారు. వేరుచేయుఅక్షరాల విభజన అని. D 1 = B 1 ∨ A, D 2 = B 2 ∨ A క్లాజులుగా ఉండనివ్వండి. నిబంధన B 1 ¤B 2 అంటారు పరిష్కారంక్లాజులు D 1 మరియు D 2 అక్షరం A ద్వారా మరియు res A (D 1 ,D 2) ద్వారా సూచించబడుతుంది. డి 1 మరియు డి 2 క్లాజ్‌ల యొక్క సాల్వెంట్ అనేది కొన్ని అక్షరం ద్వారా ద్రావకం మరియు res (D 1 ,D 2) ద్వారా సూచించబడుతుంది. సహజంగానే res(A,ŸA)=0. నిజానికి, ఎందుకంటే A=A¤0 మరియు ŸA=ŸA¤0, ఆపై res(A,ŸA)=0¤0=0. నిబంధనలు D 1 మరియు D 2 విరుద్ధమైన అక్షరాలను కలిగి ఉండకపోతే, అప్పుడు వాటికి పరిష్కారాలు ఉండవు. ఉదాహరణ 5.5.1.ఉంటే D 1 =A¤B¤C, D 2 = A ∨ B ∨ Q, ఆపై res A (D 1 ,D 2)=B¤C¤ B ¤Q, res B (D 1 ,D 2)=A¤C¤A¤Q, resC(D 1 ,D 2) ఉనికిలో లేదు. ప్రకటన 5.5.1. res(D 1 ,D 2) ఉన్నట్లయితే, D 1 ,D 2 + res(D 1 ,D 2). S=(D 1 ,D 2 ,...,Dn) నిబంధనల సమితిగా ఉండనివ్వండి. F 1 ,F 2 ,...,F n సూత్రాల క్రమాన్ని S నుండి ఒక నిశ్చయమైన ఉత్పన్నం అంటారు, ప్రతి ఫార్ములా F k కోసం షరతుల్లో ఒకదానిని కలిగి ఉంటే: 2. j, k ఉన్నాయి
సిద్ధాంతం 5.5.1.
(రిజల్యూషన్ పద్ధతి యొక్క సంపూర్ణత గురించి). S నుండి 0తో ముగిసే రిజల్యూటివ్ ముగింపు ఉన్నట్లయితే మాత్రమే S నిబంధనల సమితి విరుద్ధంగా ఉంటుంది. ఇచ్చిన ఫార్ములాల F 1,F 2,...,F n నుండి ఫార్ములా F యొక్క మినహాయింపును తనిఖీ చేయడానికి రిజల్యూషన్ పద్ధతిని ఉపయోగించవచ్చని గమనించండి. నిజానికి, F 1 ,F 2 ,...,F n +F షరతు F 1 ,F 2 ,...,F n ,ŸF+ (అనేక సూత్రాలు విరుద్ధమైనవి)కి సమానం, ఇది Q+ షరతుకు సమానం, ఇక్కడ Q=F 1 ⁄F 2 ⁄…⁄F n ⁄(ŸF). Q సూత్రాన్ని CNFకి కుదిద్దాం: Q=D 1 ⁄D 2 ⁄...⁄Dm, ఆపై Q+ ‹D 1 ⁄D 2 ⁄...⁄Dm+ ‹ D 1 ,D 2 ,...,D m + . ఈ విధంగా, F 1 ,F 2 ,...,F n +F యొక్క మినహాయింపును తనిఖీ చేసే పని S=(D 1 ,D 2 ,...,D m ) నిబంధనల సమితి యొక్క అసమానతను తనిఖీ చేయడానికి వస్తుంది. S నుండి ఒక నిశ్చయాత్మక ముగింపు 0 ఉనికికి సమానం. ఉదాహరణ 5.5.2.రిజల్యూషన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి AØ(BØC), CDØE, ŸFØD&(Ÿ)E + AØ(BØF) నిష్పత్తిని తనిఖీ చేయండి. ప్రకటన 5.3.1 ప్రకారం. కోసం తనిఖీ చేయాలి అస్థిరత అనేక సూత్రాలు S = (AØ(BØC), CDØE, ŸFØD&(Ÿ)E, Ÿ(AØ(BØF))). మేము అన్ని సూత్రాలను అందిస్తున్నాము. S నుండి KNF: S = (A ∨ B ∨ C,C ⋅ D ∨ E, F ∨ D ⋅ E, A ∨ B ∨ F) == (A ∨ B ∨ C, C ∨ D ∨ E, (F ∨ D) ⋅ (F ∨ E), A ⋅ B ⋅ F) . అందువలన, మేము S = (A ∨ B ∨ C, C ∨ D ∨ E,F ∨ D,F ∨ E,A,B, F) నిబంధనల సమితిని పొందుతాము. 0తో ముగిసే S నుండి ఒక నిశ్చయాత్మక ముగింపును రూపొందిద్దాం: 1. res A (A ∨ B ∨ C,A) = B ∨ C ; 2. res B (B ∨ C,B) = C ; 3. res D (C ∨ D ∨ E,F ∨ D) = C ∨ E ∨ F ; 4. res E (C ∨ E ∨ F,F ∨ E) = C ∨ F ; 5. res C (C, C ∨ F) = F ; 6. res (F, F) = 0 . కాబట్టి, AØ(BØF) సూత్రం AØ(BØC), CDØE, ŸFØD&(Ÿ)E సూత్రాల సెట్ నుండి తీసివేయబడుతుందని మేము నిర్ధారించాము. ఇచ్చిన క్లాజ్‌ల సెట్‌కు సంతృప్తతను కనుగొనడానికి రిజల్యూషన్ పద్ధతి సరిపోతుందని గమనించండి. దీన్ని చేయడానికి, రిజల్యూషన్ పద్ధతి యొక్క సంపూర్ణతపై సిద్ధాంతం నుండి S. నుండి రిజల్యూటివ్ తగ్గింపుల ద్వారా పొందిన అన్ని నిబంధనలను S సెట్‌లో చేర్చుదాం. అది అనుసరిస్తుంది కరోలరీ 5.5.1.నిబంధనల సమితి S దానిలోని అన్ని మూలకాల యొక్క ద్రావణాలను కలిగి ఉంటే, S 0–S అయితే మాత్రమే సంతృప్తి చెందుతుంది. ఆధునికత యొక్క విశిష్ట లక్షణం మానవ కార్యకలాపాల యొక్క వివిధ రంగాలలో సమస్యలను (పనులు) పరిష్కరించడంలో కంప్యూటర్లను విస్తృతంగా ఉపయోగించడం. అయితే, సమస్య మొదట అల్గారిథమిక్‌గా పరిష్కరించబడాలి, అనగా. ఒక అధికారిక ప్రిస్క్రిప్షన్ తప్పక ఇవ్వాలి, దాని తర్వాత ఒక నిర్దిష్ట రకం అన్ని సమస్యలను పరిష్కరించడానికి తుది ఫలితాన్ని పొందవచ్చు (ఇది అల్గోరిథం యొక్క సహజమైన, కఠినమైన భావన కాదు). ఉదాహరణకు, రెండు సహజ సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ విభజనను కనుగొనే అల్గోరిథం ఎ, బి, క్రింది విధంగా: 1) సంఖ్యను విస్తరించండి aప్రధాన కారకాల ద్వారా; 2) దశ 1ని పునరావృతం చేయండి బి
మరియు 3వ దశకు వెళ్లండి; 3) విస్తరణల నుండి సాధారణ ప్రధాన కారకాల ఉత్పత్తిని కంపోజ్ చేయండి ఎమరియు బివిస్తరణలలో చేర్చబడిన సూచీలలో అతి చిన్నదానికి సమానమైన సూచికలతో. ఈ ఉదాహరణను విశ్లేషించిన తరువాత, మేము అల్గోరిథం యొక్క అతి ముఖ్యమైన లక్షణాలను (గుణాలు) గమనించాము: 1.
మాస్ పాత్ర- అల్గోరిథం యొక్క వర్తింపు ఒక సమస్యకు కాదు, సమస్యల తరగతికి. 2.
విచక్షణ- అల్గోరిథం యొక్క వ్యక్తిగత దశల్లో (దశలు) స్పష్టమైన విచ్ఛిన్నం. 3.
నిర్ణయాత్మకత- అమలు దశల యొక్క అటువంటి సంస్థ, దీనిలో ఒక దశ నుండి మరొక దశకు ఎలా మారాలి అనేది ఎల్లప్పుడూ స్పష్టంగా ఉంటుంది. 4.
అవయవం- ఒక నిర్దిష్ట సమస్యను పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథంను వర్తింపజేసేటప్పుడు ఫలితాన్ని పొందడానికి, అల్గోరిథం యొక్క దశల పరిమిత క్రమం నిర్వహించబడుతుంది: ఒక అల్గోరిథం ఉనికిలో ఉండటం అల్గోరిథం ఉనికికి రుజువుగా పనిచేస్తే, దాని లేకపోవడాన్ని నిరూపించడానికి అల్గోరిథం యొక్క ఖచ్చితమైన గణిత నిర్వచనం అవసరం అని గమనించండి. ఒక అల్గోరిథం భావనను అధికారికీకరించే ప్రయత్నాలు సృష్టికి దారితీశాయి ట్యూరింగ్ యంత్రాలు, అల్గోరిథం అమలు చేసే కొన్ని ఊహాత్మక పరికరం. అల్గోరిథం యొక్క భావనను నిర్వచించడంలో మరొక దశ ప్రదర్శన పునరావృత విధులు ,
ఒక అల్గోరిథం యొక్క భావనను అధికారికీకరించే మరియు కంప్యూటబిలిటీ యొక్క సహజమైన భావనను అమలు చేసే విధులుగా. ట్యూరింగ్ మెషీన్లలో కంప్యూటబుల్ ఫంక్షన్ల సెట్‌తో రికర్సివ్ ఫంక్షన్ల సెట్ ఏకీభవించిందని త్వరలో కనుగొనబడింది. అల్గోరిథం యొక్క భావనను వివరించడానికి క్లెయిమ్ చేసిన కొత్త కాన్సెప్ట్‌లు ట్యూరింగ్ మెషీన్లలో కంప్యూటబుల్ ఫంక్షన్‌లకు సమానమైనవి మరియు అందువల్ల పునరావృత ఫంక్షన్‌లకు సమానమైనవిగా మారాయి. అల్గారిథమ్ అంటే ఏమిటి అనే దాని గురించి జరుగుతున్న చర్చ యొక్క ఫలితం ఇప్పుడు చర్చి యొక్క థీసిస్ అని పిలువబడే ఒక ప్రకటన. చర్చి యొక్క థీసిస్.కొన్ని యాంత్రిక పరికరం ద్వారా అల్గోరిథం లేదా కంప్యూటబిలిటీ భావన, ట్యూరింగ్ మెషీన్‌లపై గణన భావనతో సమానంగా ఉంటుంది (అందువలన పునరావృత ఫంక్షన్ భావనతో). మరో మాటలో చెప్పాలంటే, అల్గోరిథం అనేది ఫంక్షనల్ రేఖాచిత్రం ద్వారా సూచించబడే ప్రక్రియ మరియు కొన్ని ట్యూరింగ్ మెషీన్ ద్వారా అమలు చేయబడుతుంది. ట్యూరింగ్ మెషిన్ అనేది టేప్, నియంత్రణ పరికరం మరియు రీడ్ హెడ్‌తో కూడిన (నైరూప్య) పరికరం. టేప్ కణాలుగా విభజించబడింది. ప్రతి సెల్ ఖచ్చితంగా ఒక అక్షరాన్ని కలిగి ఉంటుంది బాహ్య వర్ణమాల
A=(
a 0,
a 1,…,
a n ).కొన్ని గుర్తు (మేము దానిని సూచిస్తాము Ÿ
) వర్ణమాల A ఖాళీగా పిలువబడుతుంది మరియు ప్రస్తుతం ఖాళీ అక్షరాన్ని కలిగి ఉన్న ఏదైనా గడిని ఖాళీ సెల్ అంటారు (ఆ సమయంలో). టేప్ రెండు దిశలలో సంభావ్యంగా అపరిమితంగా ఉంటుందని భావించబడుతుంది. నియంత్రణ పరికరంప్రతి క్షణంలో సమితికి చెందిన ఏదో ఒక స్థితిలో q j ఉంటుంది Q=(q 0 , q 1 ,..., q m )(m=l). సెట్ Q అంటారు అంతర్గత వర్ణమాల
.
ఈ పరిస్థితులలో ఒకటి (సాధారణంగా q 0) ఫైనల్ అని మరియు కొన్ని ఇతర (సాధారణంగా q 1) - ప్రారంభ. రీడ్ హెడ్ టేప్ వెంట కదులుతుంది, తద్వారా ఏ సమయంలోనైనా అది టేప్‌లోని ఒక సెల్‌ను ఖచ్చితంగా స్కాన్ చేస్తుంది. తల గమనించిన సెల్‌లోని విషయాలను చదవగలదు మరియు గమనించిన గుర్తుకు బదులుగా బాహ్య వర్ణమాల నుండి ఏదైనా కొత్త చిహ్నాన్ని వ్రాయగలదు ఎ(బహుశా అదే). ఆపరేషన్ సమయంలో, నియంత్రణ పరికరం, అది ఉన్న స్థితి మరియు తల చూసే చిహ్నాన్ని బట్టి, దాని అంతర్గత స్థితిని మారుస్తుంది q. అప్పుడు అది పర్యవేక్షించబడుతున్న సెల్‌లోని బాహ్య వర్ణమాల నుండి నిర్దిష్ట అక్షరాన్ని ప్రింట్ చేయమని హెడ్‌కి ఆర్డర్ ఇస్తుంది A,ఆపై స్థానంలో ఉండమని, లేదా ఒక సెల్‌ను కుడివైపుకి తరలించమని లేదా ఒక సెల్‌ను ఎడమవైపుకు తరలించమని తలని ఆదేశిస్తుంది. చివరి స్థితిలో ఒకసారి, యంత్రం పనిచేయడం ఆగిపోతుంది. టేప్‌పై కాన్ఫిగరేషన్ (లేదా యంత్ర పదం)దీని ద్వారా ఏర్పడిన సమితి అంటారు: 1) క్రమం a
i(1)
,ఎ
i(2)
,...,ఎ
i(లు)బాహ్య వర్ణమాల నుండి అక్షరాలు ఎ, టేప్ కణాలలో రికార్డ్ చేయబడింది, ఎక్కడ a
i
(1)
.- ఎడమవైపున ఉన్న మొదటి గడిలో వ్రాయబడిన చిహ్నం మొదలైనవి. (అటువంటి ఏదైనా క్రమాన్ని అంటారు ఒక్క మాటలో చెప్పాలంటే) 2) అంతర్గత మెమరీ స్థితి q r ; 3) సంఖ్య కెగ్రహించిన సెల్. మేము మెషిన్ కాన్ఫిగరేషన్‌ను ఈ క్రింది విధంగా వ్రాస్తాము: a ,a ,..., a a i(r) a ,a ,..., a i(1) i(2) i(r−1) q r i(r+1) i(r+2) i(s) ఇక్కడ ఆర్- గ్రహించిన సెల్ భిన్నం వలె హైలైట్ చేయబడింది. యంత్రం అయితే, అంతర్గత స్థితిలో ఉండటం q i, గుర్తు ఉన్న సెల్‌ని అంగీకరిస్తుంది ఒక యు, తదుపరి క్షణంలో ఈ సెల్‌కి గుర్తు రాస్తుంది ఒక ఆర్, అంతర్గత స్థితికి వెళుతుంది qsమరియు టేప్ వెంట కదులుతుంది, అప్పుడు యంత్రం ఆదేశాన్ని అమలు చేస్తుందని వారు చెప్పారు q i a u
Æ
q s a r S, ఇక్కడ S చిహ్నం క్రింది విలువలలో ఒకదాన్ని తీసుకోవచ్చు: -1 – తలని ఎడమవైపుకి మార్చండి; +1 - తల కుడివైపు షిఫ్ట్; 0 - తల స్థానంలో ఉంటుంది. ట్యూరింగ్ యంత్రం యొక్క ఆపరేషన్‌ను నిర్ణయించే అన్ని ఆదేశాల (క్వింట్లు) జాబితా అంటారు కార్యక్రమంఈ కారు. మెషిన్ ప్రోగ్రామ్ తరచుగా పట్టిక రూపంలో పేర్కొనబడుతుంది. కాబట్టి ఖండన వద్ద పట్టికలో పైన వివరించిన పరిస్థితి కోసం పంక్తులు a
uమరియు కాలమ్ q iనిలబడతారు q s a r S(పట్టిక 6.2.1 చూడండి) పట్టిక 6.2.1. కార్యక్రమంలో జంట కోసం కార్లు ఉంటే (
q i, a u
)
ఐదు లేదు, ఆపై పంక్తి ఖండన వద్ద పట్టికలో ఒక యు, మరియు కాలమ్ q iఒక డాష్ జోడించబడింది. కాబట్టి, ట్యూరింగ్ యంత్రం అనేది నిర్వచనం ప్రకారం, కిట్ M=(A,Q,P), ఎక్కడ ఎ- బాహ్య వర్ణమాల, ప్ర- అంతర్గత రాష్ట్రాల వర్ణమాల, పి- కార్యక్రమం. ఒక యంత్రం, టేప్‌పై వ్రాసిన P అనే పదంతో పని చేయడం ప్రారంభించి, తుది స్థితికి చేరుకున్నట్లయితే, దానిని అంటారు ఈ పదానికి వర్తిస్తుంది. దాని పని ఫలితం దాని చివరి స్థితిలో టేప్‌లో రికార్డ్ చేయబడిన పదం. లేకపోతే, యంత్రం R అనే పదానికి వర్తించదని చెప్పారు. ఉదాహరణ 6.2.1 యునారీ నంబర్ సిస్టమ్‌లో వ్రాయబడిన సహజ సంఖ్యలను జోడించే ట్యూరింగ్ మెషీన్‌ను తయారు చేద్దాం (అంటే, ఒక చిహ్నాన్ని ఉపయోగించి వ్రాయబడింది |.
ఉదాహరణకు 5=||||.). పరిష్కారం. వర్ణమాల పరిగణించండి ఎ
= {|, +, ⁄}. యంత్రం క్రింది ప్రోగ్రామ్ ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది: ఈ యంత్రం యొక్క ఆపరేషన్ సమయంలో వరుసగా ఉత్పన్నమయ్యే కాన్ఫిగరేషన్‌లను ప్రారంభ పదంపై వ్రాస్దాం ||+ ||| , అనగా 2+3. ఇక్కడ, కాన్ఫిగరేషన్‌ను రికార్డ్ చేస్తున్నప్పుడు, మేము కింది సమావేశాన్ని ఉపయోగిస్తాము: యంత్రం ఉన్న స్థితిని గమనించిన అక్షరం వెనుక కుడివైపున కుండలీకరణాల్లో వ్రాయబడింది. ఉదాహరణ 6.2.2.యూనరీ నంబర్ సిస్టమ్‌లో వ్రాసిన సహజ సంఖ్యలను రెట్టింపు చేసే ట్యూరింగ్ మెషీన్‌ను రూపొందించండి. పరిష్కారం.మేము A=(|, α, ⁄) వర్ణమాలలో అవసరమైన యంత్రాన్ని నిర్మిస్తాము. అటువంటి యంత్రం కోసం ప్రోగ్రామ్ ఇలా ఉండవచ్చు: ఫలిత యంత్రాన్ని పదానికి వర్తింపజేద్దాం ||
. కొత్త అక్షరం α పరిచయం మరియు అసలు వాటిని భర్తీ చేయడం |
αలో అసలైన దానిని వేరు చేయడానికి అనుమతిస్తుంది |
మరియు కొత్త (కేటాయించబడింది) |
. రాష్ట్రం q 1భర్తీని అందిస్తుంది |
α మీద ,
రాష్ట్రం q 2α కోసం శోధనను అందిస్తుంది ,
భర్తీ చేయడానికి ఉద్దేశించబడింది |
, మరియు α కనుగొనబడనప్పుడు యంత్రాన్ని ఆపడం, q 3పూర్తిని నిర్ధారిస్తుంది |
α ద్వారా భర్తీ చేయబడిన సందర్భంలో |.
ఈ పేరాలో మనం అంగీకరిస్తాం 1. సహజ సంఖ్యల సమితి N 0 (సున్నా)ని కలిగి ఉంటుంది, అనగా. N=(0,1,2,3,...); 2. పరిగణనలో ఉన్న విధులు f=f(x 1 ,x 2 ,...,x n) వేరియబుల్స్ N నుండి విలువలను తీసుకున్నప్పుడు మాత్రమే నిర్వచించబడతాయి, అనగా. xiœN; 3. DŒN ఫంక్షన్ల విలువల పరిధి; 4. పరిశీలనలో ఉన్న విధులు f=f(x 1 ,x 2 ,...,x n) పాక్షికంగా నిర్వచించబడతాయి, అనగా. సహజ సంఖ్యల అన్ని సెట్ల కోసం నిర్వచించబడలేదు. పరిగణలోకి ప్రవేశపెడదాం సాధారణ విధులు o(x)=0, s(x)=x+1,
నేను n (x 1 ,..., x n)
=
x మీ ఈ విధులు తగిన యాంత్రిక పరికరాన్ని (ఉదాహరణకు, ట్యూరింగ్ మెషిన్) ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు. ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ ఇచ్చిన ఫంక్షన్ల ఆధారంగా కొత్త ఫంక్షన్లను నిర్మించే ఆపరేటర్‌లను నిర్వచిద్దాం. సూపర్‌పొజిషన్ ఆపరేటర్. k వేరియబుల్స్ యొక్క f(x 1 ,x 2 ,...,x k) మరియు k ఫంక్షన్లు f 1 (x 1 ,x 2 ,…,x n),…,f k (x 1 ,x 2 ,…,x n) ఉండనివ్వండి n వేరియబుల్స్ ఇవ్వబడ్డాయి. f,f 1 ,...,f k అనేది ఫంక్షన్ j(x 1 ,x 2 ,...,x n)= f(f 1 (x 1 ,x 2 ,...,x n),...,f k (x 1 ,x 2 ,...,x n)) f,f 1 ,...,f k , అనే ఫంక్షన్‌లకు సూపర్‌పొజిషన్ ఆపరేటర్ S k+1ని వర్తింపజేయడం ద్వారా j ఫంక్షన్‌ని పొందవచ్చని మేము చెప్తాము మరియు j=S k+1 (f,f 1 ,…,f k) ఉదాహరణకు, S 2 (s, o)=s(o(x)), అనగా. 1కి సమానమైన ఫంక్షన్, మరియు S 2 (s,s)=s(s(x)) అనేది ఒక ఫంక్షన్ y(x)=x+2. ప్రిమిటివ్ రికర్షన్ ఆపరేటర్. g(x 1 ,x 2 ,...,x n) మరియు h(x 1 ,x 2 ,...,x n+2) ఫంక్షన్లను ఇవ్వనివ్వండి. f(x 1 ,x 2 ,…,x n+1) ఒక ఫంక్షన్‌ని నిర్మిస్తాము x 1 ,x 2 ,…,x n విలువలు స్థిరంగా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు మనం ఊహిస్తాము: f(x 1 ,x 2 ,…,x n ,0)= g(x 1 ,x 2 ,…,x n) f 1 (x 1 ,x 2 ,...,x n ,y+1)= h(x 1 ,x 2 ,...,x n ,y, f(x 1 ,x 2 ,…,x n ,y)) ఈ సమానతలు f(x 1 ,x 2 ,...,x n+1) ఫంక్షన్‌ను ప్రత్యేకంగా నిర్వచించాయి. F ఫంక్షన్‌ను ఆదిమ రికర్షన్ ఆపరేటర్ R ఉపయోగించి పొందిన ఫంక్షన్ అంటారు. f=R(g,h) అనే సంజ్ఞామానం ఉపయోగించబడుతుంది. ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ప్రేరక నిర్వచనం (ప్రిమిటివ్ రికర్షన్ ఆపరేటర్‌లో ప్రదర్శించబడింది) గణితంలో అసాధారణం కాదు. ఉదాహరణకు, 1) సహజ ఘాతాంకం కలిగిన డిగ్రీ ప్రేరకంగా నిర్ణయించబడుతుంది: a
0
=1, a n+ 1
= ఒక ఎన్
ÿ a
; 2) కారకం: 0!=1, (n+1)!= n!ÿ(n+1), మొదలైనవి. నిర్వచనం.అతి సరళమైన o(x)=0, s(x)=x+1, I m n (x 1 ,..., x n) = x m నుండి సూపర్‌పొజిషన్ ఆపరేటర్‌లు మరియు ప్రిమిటివ్ రికర్షన్‌ని పరిమిత సంఖ్యలో వర్తింపజేయడం ద్వారా పొందగలిగే విధులు అంటారు ఆదిమంగా పునరావృతం. u(x,y)=x+y ఫంక్షన్ ఆదిమ పునరావృతం అని తనిఖీ చేద్దాం. నిజానికి, మనకు ఇవి ఉన్నాయి: u(x,0)=0, u(x,y+1)=x+y+1=u(x,y)+1. x= I 1 1 (x), మరియు u(x,y)+1=s(u(x,y))=S 2 (s,u) నుండి ఇది ఒక ఆదిమ పునరావృత పథకం. ఇక్కడ g(x)= I 1 1 (x), మరియు h(x,y,u)=s(u)=S 2 (s, I 3 3). అదే విధంగా m(x,y)=xÿy, d(x,y)=x y (మేము నిర్వచనం ప్రకారం 0 0 =1) ఫాక్ట్(x)=x అని కూడా నిరూపించబడింది! మరియు అనేక ఇతరాలు ఆదిమంగా పునరావృతమవుతాయి. గమనిక; ఆదిమంగా పునరావృత విధులు ప్రతిచోటా నిర్వచించబడ్డాయి (అంటే, వారి వాదనల యొక్క అన్ని విలువలకు నిర్వచించబడింది). నిజానికి, సరళమైన విధులు ఓ, ఎస్,నేను ప్రతిచోటా నిర్వచించబడ్డాను మరియు ప్రతిచోటా నిర్వచించిన ఫంక్షన్‌లకు సూపర్‌పొజిషన్ మరియు ప్రిమిటివ్ రికర్షన్ ఆపరేటర్‌లను వర్తింపజేయడం కూడా ప్రతిచోటా నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్లను అందిస్తుంది. కాబట్టి ఒక ఫంక్షన్ వంటి = x − y, x ≥ y అయితే< y x అయితే f(x,y) ఉండదు ఆదిమంగా పునరావృతం కాదు. ఇక్కడ f(x,y)=x-y ఫంక్షన్‌ని పరిగణించే హక్కు మాకు లేదు, ఎందుకంటే ఫంక్షన్ విలువలు తప్పనిసరిగా సహజ సంఖ్యలుగా ఉండాలి (అందువల్ల ప్రతికూలం కాదు). అయితే, ఒక ఫంక్షన్ పరిగణించవచ్చు ÷ y = 0x − y ifif x x<≥y.y ఇది ఆదిమంగా పునరావృతంగా ఉందో లేదో తనిఖీ చేద్దాం. j(x)=xπ1 అనే ఫంక్షన్ ఆదిమ పునరావృతమని ముందుగా నిరూపిద్దాం. నిజానికి, j(0)=0. j(y+1)=(y+1)π1=y, ఇది xπ1 ఫంక్షన్‌కు ఆదిమ పునరావృత పథకం వలె పనిచేస్తుంది. చివరగా, xπ0=x, xπ(y+1)=(xπy)π1=j(xπy) అనేది xπy కోసం ఒక ఆదిమ పునరావృత పథకం. ప్రిమిటివ్ రికర్సివ్ ఫంక్షన్ల కంటే చాలా విస్తృతమైన ఫంక్షన్ల తరగతి పునరావృత ఫంక్షన్ల తరగతి (క్రింద నిర్వచనాన్ని చూడండి). సాహిత్యంలో ఈ విధులను కూడా పిలుస్తారు పాక్షికంగా పునరావృతం .
వాటిని గుర్తించడానికి, మేము మరొక ఆపరేటర్‌ని పరిచయం చేస్తాము. కనిష్టీకరణ ఆపరేటర్. f(x 1 ,x 2 ,... ,x n ,x n+1) ఫంక్షన్ ఇవ్వబడనివ్వండి. మొదటి n వేరియబుల్స్‌లో కొన్ని విలువలను x 1 ,x 2 ,… ,x n ని సరిచేసి f(x 1 ,x 2 ,… ,x n ,0), f(x 1 ,x 2 ,... ,x n ,1ని గణిద్దాం. ), f(x 1 ,x 2 ,... ,x n ,2) మొదలైనవి. y అనేది అతిచిన్న సహజ సంఖ్య అయితే f(x 1 ,x 2 ,... X n ,y)=x n+1 (అనగా విలువలు f(x 1 ,x 2 ,… ,x n ,0), f(x 1 ,x 2 ,... ,x n ,1),…,f( x 1,x 2,… X n ,y-1) అన్నీ ఉన్నాయి మరియు xn +1కి సమానం కాదు), అప్పుడు మనం g(x 1 ,x 2 ,... X n ,x n+1)=y. అందువలన, g(x 1 ,x 2 ,… ,x n ,x n+1)=min(y|f(x 1 ,x 2 ,…,x n ,y)=x n+1). అలా అయితే వైలేదు, అప్పుడు f(x 1 ,x 2 ,... ,x n ,x n+1) నిర్వచించబడలేదని మేము పరిగణిస్తాము. కాబట్టి, మూడు కేసులు సాధ్యమే: 1. f(x 1 ,x 2 ,... ,x n ,0), f(x 1 ,x 2 ,... ,x n ,1),...,f(x 1 ,x 2 ,... ,x n ,y-1) ఉనికిలో ఉన్నాయి మరియు xn +1, మరియు f(x 1 ,x 2 ,…,x n ,y)=x n+1 ; 2. f(x 1 ,x 2 ,... ,x n ,0), f(x 1 ,x 2 ,... ,x n ,1),...,f(x 1 ,x 2 ,... ,x n ,y-1) ఉనికిలో ఉన్నాయి మరియు xn +1కి సమానం కాదు, కానీ f(x 1 ,x 2 ,…,x n ,y) ఉనికిలో లేదు; 3. f(x 1 ,x 2 ,... , x n ,i) అన్ని iœN కోసం ఉన్నాయి మరియు xn +1 నుండి భిన్నంగా ఉంటాయి. 1వ సందర్భం సంభవించినట్లయితే, అప్పుడు g(x 1 ,x 2 ,... ,x n ,x n+1)=y, మరియు 2వ లేదా 3వ కేస్ అయితే, అప్పుడు g(x 1 ,x 2 ,… ,x n , x n +1) నిర్వచించబడలేదు. ఈ విధంగా పొందిన ఫంక్షన్ g అనేది కనిష్టీకరణ ఆపరేటర్‌ని ఉపయోగించి f నుండి పొందబడుతుంది ఎం. మేము g= Mf అని వ్రాస్తాము. కనిష్టీకరణ ఆపరేటర్ అనేది విలోమ ఫంక్షన్ ఆపరేటర్ యొక్క స్పష్టమైన సాధారణీకరణ. సాధారణీకరణ చాలా లోతుగా ఉంది, ఎందుకంటే f ఫంక్షన్ ఒకదానికొకటి అవసరం లేదు (వేరియబుల్ x n+1లో) నిర్వచనం.సరళమైన వాటి నుండి పొందగలిగే విధులు o(x)=0, s(x)=x+1,
నేను n (x 1 ,..., x n)
= x మీసూపర్‌పొజిషన్ ఆపరేటర్‌లను వర్తింపజేయడం, ప్రిమిటివ్ రికర్షన్ మరియు మినిమైజేషన్ ఆపరేటర్‌లను పరిమిత సంఖ్యలో సార్లు అంటారు పునరావృత. రికర్సివ్ ఫంక్షన్ల తరగతి ఆదిమ పునరావృత ఫంక్షన్ల తరగతి కంటే విస్తృతంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే ఇది ప్రతిచోటా నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్లను మాత్రమే కలిగి ఉండదు. ఉదాహరణకు, ఫంక్షన్ అని నిరూపిద్దాం = x − y, x ≥ y అయితే< y x అయితే f(x,y) ఉండదు పునరావృతమవుతుంది. నిజానికి, f(x,y)=min(z| y+z=x), మరియు u(x,y)=x+y అనే ఫంక్షన్ ఆదిమంగా పునరావృతమవుతుందని గతంలో స్థాపించబడింది. కొన్ని యాంత్రిక పరికరం గణించగల ఫంక్షన్ల గురించి మన సహజమైన అవగాహనను పునరావృత ఫంక్షన్లు ప్రతిబింబిస్తాయి. ప్రత్యేకించి, అవి ట్యూరింగ్ మెషీన్లలో గణించబడతాయి (మునుపటి పేరా చూడండి). దీనికి విరుద్ధంగా, ట్యూరింగ్ మెషీన్‌లో గణించదగిన ప్రతి ఫంక్షన్ పునరావృతమవుతుంది. మేము ఈ వాస్తవాన్ని తనిఖీ చేయము, ఎందుకంటే దీనికి చాలా సమయం మరియు స్థలం పడుతుంది. పూర్తి రుజువును కనుగొనవచ్చు, ఉదాహరణకు, A.I. మాల్ట్సేవ్ "అల్గారిథమ్స్ మరియు రికర్సివ్ ఫంక్షన్లు" పుస్తకంలో. సహజ ఆర్గ్యుమెంట్‌ల యొక్క ప్రతి ఫంక్షన్ పునరావృతం కాదని గమనించండి, ఒకే ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క ప్రతి ఫంక్షన్ కూడా కాదు. నాన్-రికర్సివ్ ఫంక్షన్ల ఉనికి అల్గారిథమిక్‌గా పరిష్కరించలేని సమస్యల ఉనికికి "గణిత కారణం". గణితశాస్త్రంలోని వివిధ విభాగాలలో అల్గారిథమిక్‌గా పరిష్కరించలేని సమస్యలు ఉన్నాయి, అనగా. పరిష్కార అల్గోరిథం లేని సమస్యలు, మరియు ఇది ఇంకా కనుగొనబడలేదు కాబట్టి కాదు, కానీ ఇది సూత్రప్రాయంగా అసాధ్యం కాబట్టి. వాస్తవానికి, అల్గోరిథం తప్పనిసరిగా ట్యూరింగ్ మెషీన్స్ మరియు రికర్సివ్ ఫంక్షన్ల అర్థంలో అర్థం చేసుకోవాలి. ఈ సమస్యలలో ఒకదాన్ని రూపొందించుకుందాం ట్యూరింగ్ మెషిన్ ఆపే సమస్య.ట్యూరింగ్ మెషిన్ అనేది పరిమిత సంఖ్యలో పారామితుల ద్వారా నిర్వచించబడిన వస్తువు. ఒక పరిమిత సెట్ నుండి మరొకదానికి అన్ని పాక్షిక మ్యాపింగ్‌లు సమర్ధవంతంగా పునర్నంబరు చేయబడతాయి. కాబట్టి, ప్రతి ట్యూరింగ్ యంత్రానికి ఒక సంఖ్యను (సహజ సంఖ్య) కేటాయించవచ్చు. T(n) n సంఖ్యతో ట్యూరింగ్ మెషీన్‌గా ఉండనివ్వండి. ఖాళీ బెల్ట్‌తో పనిచేయడం ప్రారంభించిన కొన్ని యంత్రాలు చివరికి ఆగిపోతాయి మరియు కొన్ని నిరవధికంగా నడుస్తాయి. సమస్య తలెత్తుతుంది: సహజ సంఖ్య n ఇచ్చినట్లయితే, ఖాళీ టేప్‌లో ప్రారంభించబడిన ట్యూరింగ్ మెషిన్ T(n) ఆగిపోతుందో లేదో నిర్ణయించండి. ఈ పని అల్గోరిథమిక్‌గా నిర్ణయించలేనిది. అంటే, ఆటోమేటిక్ విధానం లేదు ,
ప్రతి n యంత్రం T(n) ఆగిపోతుందా లేదా అని నిర్ణయిస్తుంది. ఏదైనా నిర్దిష్ట యంత్రం ఆగిపోతుందా లేదా అని నిర్ణయించకుండా ఇది మమ్మల్ని నిరోధించదు. అన్ని యంత్రాలకు ఒకేసారి దీనిని పరిష్కరించే పద్ధతి లేదు .
సమస్య ఉన్నందున, దాన్ని పరిష్కరించడానికి సమర్థవంతమైన అల్గారిథమ్‌ను ఎలా కనుగొనాలి? మరియు ఒక అల్గోరిథం కనుగొనబడితే, అదే సమస్యను పరిష్కరించే ఇతర అల్గారిథమ్‌లతో దానిని ఎలా పోల్చవచ్చు? దాని నాణ్యతను ఎలా అంచనా వేయాలి? ఈ రకమైన ప్రశ్నలు ప్రోగ్రామర్లు మరియు కంప్యూటింగ్ యొక్క సైద్ధాంతిక అధ్యయనంలో పాల్గొన్న వారికి ఆసక్తిని కలిగి ఉంటాయి. అల్గారిథమ్‌లను మూల్యాంకనం చేయడానికి అనేక ప్రమాణాలు ఉన్నాయి. చాలా తరచుగా, ఇన్‌పుట్ డేటా పెరిగేకొద్దీ సమస్యను పరిష్కరించడానికి అవసరమైన సమయం మరియు మెమరీ సామర్థ్యం యొక్క పెరుగుదల క్రమంలో మేము ఆసక్తి కలిగి ఉంటాము. మేము దాని పరిమాణం అని పిలువబడే ప్రతి నిర్దిష్ట పనితో ఒక సంఖ్యను అనుబంధించాలనుకుంటున్నాము ,
ఇది ఇన్‌పుట్ డేటా మొత్తం యొక్క కొలతను వ్యక్తపరుస్తుంది. ఉదాహరణకు, మాతృక గుణకార సమస్య యొక్క పరిమాణం కారకం మాత్రికల యొక్క అతిపెద్ద పరిమాణం కావచ్చు. సమస్య పరిమాణం యొక్క విధిగా అల్గోరిథం తీసుకున్న సమయాన్ని అంటారు సమయం సంక్లిష్టతఈ అల్గోరిథం. సమస్య పరిమాణం పెరిగేకొద్దీ పరిమితిలో ఈ సంక్లిష్టత యొక్క ప్రవర్తనను అంటారు లక్షణరహిత సమయ సంక్లిష్టత
.
అదేవిధంగా మనం నిర్వచించవచ్చు కెపాసిటివ్ సంక్లిష్టతమరియు అసింప్టోటిక్ కెపాసిటివ్ సంక్లిష్టత. అల్గోరిథం యొక్క అసింప్టోటిక్ సంక్లిష్టత, ఈ అల్గోరిథం ద్వారా పరిష్కరించబడే సమస్యల పరిమాణాన్ని చివరికి నిర్ణయిస్తుంది. ఒక అల్గోరిథం పరిమాణం n యొక్క ఇన్‌పుట్‌లను cÿn 2 సమయంలో ప్రాసెస్ చేస్తే, ఇక్కడ c -
కొంత స్థిరంగా ఉంటుంది, అప్పుడు వారు ఈ అల్గోరిథం యొక్క సమయ సంక్లిష్టత O(n 2) అని చెబుతారు ("ఆఫ్ ఆర్డర్ ఎన్ స్క్వేర్" చదవండి). ప్రస్తుత తరం డిజిటల్ కంప్యూటింగ్ మెషీన్‌ల ద్వారా వచ్చిన కంప్యూటింగ్ వేగంలో అపారమైన పెరుగుదల సమర్థవంతమైన అల్గారిథమ్‌ల ప్రాముఖ్యతను తగ్గిస్తుందని ఎవరైనా అనుకోవచ్చు. అయితే, దీనికి విరుద్ధంగా జరుగుతుంది. కంప్యూటింగ్ మెషీన్లు వేగంగా మరియు వేగవంతమవుతాయి మరియు మేము పెద్ద సమస్యలను పరిష్కరించగలము, ఇది యంత్రం వేగం పెరిగేకొద్దీ సాధించగల సమస్య పరిమాణంలో పెరుగుదలను నిర్ణయించే అల్గోరిథం యొక్క సంక్లిష్టత. కింది సమయ సంక్లిష్టతలతో మనకు ఐదు అల్గారిథమ్‌లు A1,A2,...,A5 ఉన్నాయని చెప్పండి: ఇక్కడ, సమయ సంక్లిష్టత అనేది పరిమాణం n యొక్క ఇన్‌పుట్‌ను ప్రాసెస్ చేయడానికి అవసరమైన సమయ యూనిట్ల సంఖ్య. సమయం యొక్క యూనిట్ ఒక మిల్లీసెకన్ (1సె=1000 మిల్లీసెకన్లు)గా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు అల్గారిథమ్ A1 ఒక సెకనులో 1000 సైజు ఇన్‌పుట్‌ను ప్రాసెస్ చేయగలదు, అయితే A5 పరిమాణం 9 కంటే ఎక్కువ ఇన్‌పుట్‌ను ప్రాసెస్ చేయగలదు. పట్టికలో. 6.5.1 ఈ ఐదు అల్గారిథమ్‌ల ద్వారా ఒక సెకను, ఒక నిమిషం మరియు ఒక గంటలో పరిష్కరించగల సమస్యల పరిమాణాలు ఇవ్వబడ్డాయి. పట్టిక 6.5.3. తరువాతి తరం కంప్యూటర్లు ఇప్పుడున్నదానికంటే 10 రెట్లు వేగంగా ఉంటాయని అనుకుందాం. పట్టిక 6.5.2 లో. ఈ వేగం పెరగడం వల్ల మనం పరిష్కరించగల సమస్యల పరిమాణం ఎలా పెరుగుతుందో చూపిస్తుంది. అల్గోరిథం A5 కోసం, వేగంలో పదిరెట్లు పెరుగుదల సమస్య యొక్క పరిమాణాన్ని కేవలం మూడు యూనిట్ల ద్వారా మాత్రమే పరిష్కరించగలదని గమనించండి (టేబుల్ 6.5.2లోని చివరి పంక్తిని చూడండి.), అయితే అల్గారిథమ్ A3 కోసం సమస్య యొక్క పరిమాణం మూడు రెట్లు ఎక్కువ. . పట్టిక 6.5.4. పెరుగుతున్న వేగం యొక్క ప్రభావానికి బదులుగా, మరింత సమర్థవంతమైన అల్గోరిథంను ఉపయోగించడం వల్ల కలిగే ప్రభావాన్ని ఇప్పుడు పరిశీలిద్దాం. పట్టిక 6.5.1కి తిరిగి వెళ్దాం. మేము పోలిక కోసం 1 నిమిషం ప్రాతిపదికగా తీసుకుంటే, అల్గోరిథం A4ని అల్గారిథమ్ A3తో భర్తీ చేయడం ద్వారా, మేము సమస్యను 6 రెట్లు పెద్దదిగా మరియు A4ని A2తో భర్తీ చేయడం ద్వారా పరిష్కరించగలము. ,
మీరు 125 రెట్లు పెద్ద సమస్యను పరిష్కరించగలరు. ఈ ఫలితాలు 10x వేగంతో సాధించిన 2x మెరుగుదల కంటే చాలా ఆకర్షణీయంగా ఉన్నాయి. మేము పోలిక కోసం 1 గంటను ప్రాతిపదికగా తీసుకుంటే, వ్యత్యాసం మరింత ముఖ్యమైనదిగా మారుతుంది. దీని నుండి మేము అల్గోరిథం యొక్క అసింప్టోటిక్ సంక్లిష్టత అల్గారిథమ్ నాణ్యతకు ఒక ముఖ్యమైన కొలమానంగా పనిచేస్తుందని మరియు గణన వేగంలో తదుపరి పెరుగుదలతో మరింత ముఖ్యమైనదిగా మారుతుందని వాగ్దానం చేస్తుందని మేము నిర్ధారించాము. ఇక్కడ ప్రధాన శ్రద్ధ పరిమాణాల పెరుగుదల క్రమంలో చెల్లించబడినప్పటికీ, అల్గోరిథం యొక్క సంక్లిష్టతలో పెరుగుదల యొక్క పెద్ద క్రమంలో చిన్న గుణకార స్థిరాంకం (స్థిరమైన) ఉండవచ్చని అర్థం చేసుకోవాలి. సి O(f(x)) నిర్వచనంలో, మరొక అల్గోరిథం యొక్క సంక్లిష్టతలో పెరుగుదల యొక్క చిన్న క్రమం కంటే. ఈ సందర్భంలో, వేగంగా పెరుగుతున్న సంక్లిష్టతతో అల్గోరిథం చిన్న సమస్యలకు ప్రాధాన్యతనిస్తుంది - బహుశా మనకు ఆసక్తి ఉన్న అన్ని సమస్యలకు కూడా. ఉదాహరణకు, A1, A2, A3, A4, A5 అల్గారిథమ్‌ల యొక్క సమయ సంక్లిష్టతలు వాస్తవానికి వరుసగా 1000n, 100nÿlog(n), 10n2, n3 మరియు 2 అని అనుకుందాం. n అప్పుడు పరిమాణం 2§n§9, A2 - సైజు సమస్యలకు A5 ఉత్తమంగా ఉంటుంది 10§n§58, A1 - 59§n§1024 వద్ద, మరియు A1- n>1024తో.- 1. F.A. నోవికోవ్. ప్రోగ్రామర్‌లకు వివిక్త గణితం./ సెయింట్ పీటర్స్‌బర్గ్: పీటర్, 2001, 304С. 2. S.V. సుడోప్లాటోవ్, E.V. ఓవ్చిన్నికోవా. వివిక్త గణిత అంశాలు./ M., INFRA-M, నోవోసిబిర్స్క్, NSTU పబ్లిషింగ్ హౌస్, 3. Y.M.ఎరుసలిమ్స్కీ. వివిక్త గణితం / M., “యూనివర్శిటీ బుక్”, 2001, 279 pp. 4. A. అహో, J. హాప్‌క్రాఫ్ట్, J. ఉల్మాన్. గణన అల్గారిథమ్‌ల నిర్మాణం మరియు విశ్లేషణ. / M., మీర్, 1979, 536С. 5. V.N.Nefedov, V.A.Osipova కోర్స్ ఇన్ డిస్క్రీట్ మ్యాథమెటిక్స్./ M., MAI పబ్లిషింగ్ హౌస్, 1992, 264P.§4.3. క్వాంటిఫైయర్లు మరియు వాటి లక్షణాలు.
అధ్యాయం V. అధికారిక సిద్ధాంతాలు.
§5.1. అధికారిక సిద్ధాంతం యొక్క నిర్వచనం.
§5.2. ప్రతిపాదన కాలిక్యులస్.
§5.3. తగ్గింపు సిద్ధాంతం. IV యొక్క సంపూర్ణత.
§5.4. సిద్ధాంతాల యొక్క స్వయంచాలక రుజువు.
§5.5. IWలో రిజల్యూషన్ పద్ధతి.
అధ్యాయం VI. అల్గోరిథంల సిద్ధాంతం యొక్క అంశాలు.
§6.1. అల్గోరిథం నిర్వచనం.
§6.2. ట్యూరింగ్ యంత్రం.
q 0
…
q i
…
q m
…
ఒక యు
q
లు
a
rS
…
§6.3. పునరావృత విధులు
§6.4. అల్గారిథమిక్‌గా పరిష్కరించలేని సమస్యలు.
§6.5. అల్గోరిథంలు మరియు వాటి సంక్లిష్టతలు.
సాహిత్యం.