ఒత్తిడి చేయవద్దు, ఈ పేరాలోని ప్రతిదీ కూడా చాలా సులభం. మీరు పారామెట్రిక్‌గా నిర్వచించిన ఫంక్షన్ కోసం సాధారణ సూత్రాన్ని వ్రాయవచ్చు, కానీ దానిని స్పష్టం చేయడానికి, నేను వెంటనే ఒక నిర్దిష్ట ఉదాహరణను వ్రాస్తాను. పారామెట్రిక్ రూపంలో, ఫంక్షన్ రెండు సమీకరణాల ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది: తరచుగా సమీకరణాలు కర్లీ బ్రాకెట్ల క్రింద వ్రాయబడవు, కానీ వరుసగా: , .
వేరియబుల్‌ను పారామీటర్ అంటారు మరియు "మైనస్ ఇన్ఫినిటీ" నుండి "ప్లస్ ఇన్ఫినిటీ" వరకు విలువలను తీసుకోవచ్చు. ఉదాహరణకు, విలువను పరిగణించండి మరియు దానిని రెండు సమీకరణాలలోకి మార్చండి: 
. లేదా మానవ పరంగా: "x నాలుగుకి సమానం అయితే, y ఒకదానికి సమానం." మీరు కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో ఒక పాయింట్‌ను గుర్తించవచ్చు మరియు ఈ పాయింట్ పరామితి విలువకు అనుగుణంగా ఉంటుంది. అదేవిధంగా, మీరు “te” పరామితి యొక్క ఏదైనా విలువ కోసం ఒక పాయింట్‌ను కనుగొనవచ్చు. "రెగ్యులర్" ఫంక్షన్ కొరకు, పారామెట్రిక్‌గా నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్ యొక్క అమెరికన్ ఇండియన్స్ కోసం, అన్ని హక్కులు కూడా గౌరవించబడతాయి: మీరు గ్రాఫ్‌ను రూపొందించవచ్చు, ఉత్పన్నాలను కనుగొనవచ్చు మొదలైనవి. మార్గం ద్వారా, మీరు పారామెట్రిక్‌గా పేర్కొన్న ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను ప్లాట్ చేయాలనుకుంటే, పేజీలో నా రేఖాగణిత ప్రోగ్రామ్‌ను డౌన్‌లోడ్ చేయండి గణిత సూత్రాలు మరియు పట్టికలు.
సరళమైన సందర్భాల్లో, ఫంక్షన్‌ను స్పష్టంగా సూచించడం సాధ్యమవుతుంది. మొదటి సమీకరణం నుండి పరామితిని వ్యక్తీకరిద్దాం: 
- మరియు దానిని రెండవ సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేయండి: 
. ఫలితం సాధారణ క్యూబిక్ ఫంక్షన్.
మరింత "తీవ్రమైన" సందర్భాలలో, ఈ ట్రిక్ పనిచేయదు. కానీ అది పట్టింపు లేదు, ఎందుకంటే పారామెట్రిక్ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడానికి ఒక సూత్రం ఉంది:
మేము “వేరియబుల్ teకి సంబంధించి గేమ్” యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొంటాము:
అన్ని భేదాత్మక నియమాలు మరియు ఉత్పన్నాల పట్టిక చెల్లుబాటు అయ్యేవి, సహజంగా, అక్షరానికి , అందువలన, ఉత్పన్నాలను కనుగొనే ప్రక్రియలో కొత్తదనం లేదు. టేబుల్‌లోని అన్ని “X”లను మానసికంగా “Te” అక్షరంతో భర్తీ చేయండి.
మేము “వేరియబుల్ teకి సంబంధించి x” యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొంటాము: 
ఇప్పుడు మిగిలి ఉన్నది కనుగొనబడిన ఉత్పన్నాలను మా సూత్రంలోకి మార్చడం: 
సిద్ధంగా ఉంది. ఫంక్షన్ లాగానే ఉత్పన్నం కూడా పరామితిపై ఆధారపడి ఉంటుంది.
సంజ్ఞామానం విషయానికొస్తే, దానిని ఫార్ములాలో వ్రాయడానికి బదులుగా, ఎవరైనా సబ్‌స్క్రిప్ట్ లేకుండా వ్రాయవచ్చు, ఎందుకంటే ఇది "X కి సంబంధించి" "సాధారణ" ఉత్పన్నం. కానీ సాహిత్యంలో ఎల్లప్పుడూ ఒక ఎంపిక ఉంటుంది, కాబట్టి నేను ప్రమాణం నుండి వైదొలగను.
ఉదాహరణ 6
మేము సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము
ఈ విషయంలో:
ఈ విధంగా: 
పారామెట్రిక్ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడంలో ఒక ప్రత్యేక లక్షణం వాస్తవం ప్రతి దశలోనూ ఫలితాన్ని వీలైనంత సులభతరం చేయడం ప్రయోజనకరం. కాబట్టి, పరిగణించబడిన ఉదాహరణలో, నేను దానిని కనుగొన్నప్పుడు, నేను రూట్ క్రింద కుండలీకరణాలను తెరిచాను (నేను దీన్ని చేసి ఉండకపోవచ్చు). ఫార్ములాలో ప్రత్యామ్నాయం చేసినప్పుడు, చాలా విషయాలు బాగా తగ్గిపోయే మంచి అవకాశం ఉంది. అయినప్పటికీ, వికృతమైన సమాధానాలతో ఉదాహరణలు ఉన్నాయి.
ఉదాహరణ 7
పారామెట్రిక్‌గా పేర్కొన్న ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి 
మీరు మీ స్వంతంగా పరిష్కరించుకోవడానికి ఇది ఒక ఉదాహరణ.
వ్యాసంలో ఉత్పన్నాలతో సరళమైన సాధారణ సమస్యలు మేము ఫంక్షన్ యొక్క రెండవ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనవలసిన ఉదాహరణలను పరిశీలించాము. పారామెట్రిక్‌గా నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్ కోసం, మీరు రెండవ ఉత్పన్నాన్ని కూడా కనుగొనవచ్చు మరియు ఇది క్రింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించి కనుగొనబడుతుంది: . రెండవ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు మొదట మొదటి ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనాలి.
ఉదాహరణ 8
పారామెట్రిక్‌గా ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క మొదటి మరియు రెండవ ఉత్పన్నాలను కనుగొనండి
మొదట, మొదటి ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి.
మేము సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము
ఈ విషయంలో: 
కనుగొన్న ఉత్పన్నాలను ఫార్ములాలో భర్తీ చేస్తుంది. సరళీకరణ ప్రయోజనాల కోసం, మేము త్రికోణమితి సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము: 
పారామెట్రిక్ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనే సమస్యలో, చాలా తరచుగా సరళీకరణ ప్రయోజనం కోసం ఉపయోగించడం అవసరం అని నేను గమనించాను త్రికోణమితి సూత్రాలు . వాటిని గుర్తుంచుకోండి లేదా వాటిని సులభంగా ఉంచండి మరియు ప్రతి ఇంటర్మీడియట్ ఫలితం మరియు సమాధానాలను సరళీకృతం చేసే అవకాశాన్ని కోల్పోకండి. దేనికోసం? ఇప్పుడు మనం యొక్క ఉత్పన్నాన్ని తీసుకోవాలి మరియు ఇది యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడం కంటే స్పష్టంగా ఉత్తమం.
రెండవ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి.
మేము సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము: .
మన ఫార్ములా చూద్దాం. మునుపటి దశలో హారం ఇప్పటికే కనుగొనబడింది. ఇది న్యూమరేటర్‌ను కనుగొనడానికి మిగిలి ఉంది - వేరియబుల్ “te”కి సంబంధించి మొదటి ఉత్పన్నం యొక్క ఉత్పన్నం:
ఇది సూత్రాన్ని ఉపయోగించడానికి మిగిలి ఉంది: 
మెటీరియల్‌ని బలోపేతం చేయడానికి, మీరు మీ స్వంతంగా పరిష్కరించుకోవడానికి నేను మరికొన్ని ఉదాహరణలను అందిస్తున్నాను.
ఉదాహరణ 9
ఉదాహరణ 10
పారామెట్రిక్‌గా పేర్కొన్న ఫంక్షన్‌ను కనుగొనండి మరియు కనుగొనండి 
మీరు విజయం సాధించాలని కోరుకుంటున్నాను!
ఈ పాఠం ఉపయోగకరంగా ఉంటుందని నేను ఆశిస్తున్నాను మరియు మీరు ఇప్పుడు పరోక్షంగా మరియు పారామెట్రిక్ ఫంక్షన్ల నుండి పేర్కొన్న ఫంక్షన్ల ఉత్పన్నాలను సులభంగా కనుగొనవచ్చు
పరిష్కారాలు మరియు సమాధానాలు:
ఉదాహరణ 3: పరిష్కారం:
ఈ విధంగా:
ఇప్పటి వరకు, ఈ పంక్తుల పాయింట్ల ప్రస్తుత కోఆర్డినేట్‌లను నేరుగా కనెక్ట్ చేసే విమానంలోని పంక్తుల సమీకరణాలను మేము పరిగణించాము. అయితే, లైన్‌ను నిర్వచించే మరొక పద్ధతి తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది, దీనిలో ప్రస్తుత కోఆర్డినేట్లు మూడవ వేరియబుల్ యొక్క విధులుగా పరిగణించబడతాయి.
వేరియబుల్ యొక్క రెండు ఫంక్షన్లను ఇవ్వనివ్వండి
t యొక్క అదే విలువల కోసం పరిగణించబడుతుంది. అప్పుడు t యొక్క ఈ విలువలలో ఏదైనా ఒక నిర్దిష్ట విలువ మరియు y యొక్క నిర్దిష్ట విలువకు అనుగుణంగా ఉంటుంది మరియు అందువల్ల ఒక నిర్దిష్ట బిందువుకు అనుగుణంగా ఉంటుంది. ఫంక్షన్ల నిర్వచనం (73) డొమైన్ నుండి వేరియబుల్ t అన్ని విలువల ద్వారా నడుస్తున్నప్పుడు, పాయింట్ విమానంలో ఒక నిర్దిష్ట లైన్ Cని వివరిస్తుంది, సమీకరణాలు (73) ఈ రేఖ యొక్క పారామెట్రిక్ సమీకరణాలు అంటారు మరియు వేరియబుల్ అంటారు ఒక పరామితి.
ఫంక్షన్‌కి విలోమ ఫంక్షన్ ఉందని మనం అనుకుందాం.ఈ ఫంక్షన్‌ని రెండవ సమీకరణాల్లోకి (73) ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మనం సమీకరణాన్ని పొందుతాము
y ని ఫంక్షన్‌గా వ్యక్తపరుస్తుంది
ఈ ఫంక్షన్ సమీకరణాల ద్వారా పారామెట్రిక్‌గా ఇవ్వబడిందని చెప్పడానికి అంగీకరిస్తాము (73). ఈ సమీకరణాల నుండి సమీకరణం (74)కి మారడాన్ని పారామీటర్ ఎలిమినేషన్ అంటారు. పారామెట్రిక్‌గా నిర్వచించబడిన విధులను పరిగణనలోకి తీసుకున్నప్పుడు, పరామితిని మినహాయించడం అవసరం లేదు, కానీ ఎల్లప్పుడూ ఆచరణాత్మకంగా సాధ్యం కాదు.
అనేక సందర్భాల్లో, ఇది చాలా సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది, పరామితి యొక్క విభిన్న విలువలను అందించి, సూత్రాలను (73) ఉపయోగించి, వాదన మరియు ఫంక్షన్ y యొక్క సంబంధిత విలువలను లెక్కించడం.
ఉదాహరణలు చూద్దాం.
ఉదాహరణ 1. మూలం మరియు వ్యాసార్థం R వద్ద కేంద్రం ఉన్న సర్కిల్‌పై ఏకపక్ష బిందువుగా ఉండనివ్వండి. ఈ బిందువు యొక్క కార్టీసియన్ కోఆర్డినేట్లు x మరియు y దాని ధ్రువ వ్యాసార్థం మరియు ధ్రువ కోణం ద్వారా వ్యక్తీకరించబడతాయి, వీటిని మనం ఇక్కడ t ద్వారా సూచిస్తాము, ఈ క్రింది విధంగా ( చాప్టర్ I, § 3, పేరా 3 చూడండి):
సమీకరణాలు (75) వృత్తం యొక్క పారామెట్రిక్ సమీకరణాలు అంటారు. వాటిలో పరామితి ధ్రువ కోణం, ఇది 0 నుండి మారుతూ ఉంటుంది.
సమీకరణాలు (75) పదం వారీగా వర్గీకరించబడి, జోడించబడితే, గుర్తింపు కారణంగా పరామితి తొలగించబడుతుంది మరియు కార్టీసియన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లోని వృత్తం యొక్క సమీకరణం పొందబడుతుంది, ఇది రెండు ప్రాథమిక విధులను నిర్వచిస్తుంది:
ఈ ఫంక్షన్లలో ప్రతి ఒక్కటి సమీకరణాల (75) ద్వారా పారామెట్రిక్‌గా పేర్కొనబడింది, అయితే ఈ ఫంక్షన్ల పరామితి పరిధులు భిన్నంగా ఉంటాయి. వాటిలో మొదటిదానికి; ఈ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఎగువ సెమిసర్కిల్. రెండవ ఫంక్షన్ కోసం, దాని గ్రాఫ్ దిగువ సెమిసర్కిల్.
ఉదాహరణ 2. ఏకకాలంలో దీర్ఘవృత్తాకారాన్ని పరిగణించండి
మరియు మూలం మరియు వ్యాసార్థం a వద్ద కేంద్రం ఉన్న వృత్తం (Fig. 138).
దీర్ఘవృత్తాకారంలోని ప్రతి బిందువు Mకు మేము వృత్తం యొక్క N బిందువును అనుబంధిస్తాము, ఇది పాయింట్ M వలె అదే అబ్సిస్సాను కలిగి ఉంటుంది మరియు దానితో పాటు ఆక్స్ అక్షం యొక్క అదే వైపున ఉంటుంది. పాయింట్ N యొక్క స్థానం, అందువలన పాయింట్ M, పాయింట్ యొక్క ధ్రువ కోణం t ద్వారా పూర్తిగా నిర్ణయించబడుతుంది.ఈ సందర్భంలో, వారి సాధారణ abscissa కోసం మేము క్రింది వ్యక్తీకరణను పొందుతాము: x = a. మేము దీర్ఘవృత్తాకార సమీకరణం నుండి పాయింట్ M వద్ద ఆర్డినేట్‌ను కనుగొంటాము:
పాయింట్ M యొక్క ఆర్డినేట్ మరియు పాయింట్ N యొక్క ఆర్డినేట్ తప్పనిసరిగా ఒకే సంకేతాలను కలిగి ఉండాలి కాబట్టి గుర్తు ఎంపిక చేయబడింది.
అందువలన, దీర్ఘవృత్తాకారానికి క్రింది పారామితి సమీకరణాలు పొందబడతాయి:
ఇక్కడ t పరామితి 0 నుండి మారుతూ ఉంటుంది.
ఉదాహరణ 3. పాయింట్ వద్ద కేంద్రంతో ఒక వృత్తాన్ని పరిగణించండి) మరియు వ్యాసార్థం a, ఇది స్పష్టంగా మూలం వద్ద x- అక్షాన్ని తాకుతుంది (Fig. 139). ఈ వృత్తం x-అక్షం వెంట జారిపోకుండా తిరుగుతుందని అనుకుందాం. వృత్తం యొక్క పాయింట్ M, ఇది ప్రారంభ క్షణంలో కోఆర్డినేట్‌ల మూలంతో సమానంగా ఉంటుంది, ఇది సైక్లాయిడ్ అని పిలువబడే పంక్తిని వివరిస్తుంది.
సైక్లోయిడ్ యొక్క పారామెట్రిక్ సమీకరణాలను మనం పొందుదాము, వృత్తం యొక్క భ్రమణ కోణం MSVని పరామితిగా తీసుకుంటాము, దాని స్థిర బిందువును O స్థానం నుండి M స్థానానికి తరలించేటప్పుడు, పాయింట్ M యొక్క కోఆర్డినేట్లు మరియు y కోసం మేము ఈ క్రింది వ్యక్తీకరణలను పొందుతాము:
సర్కిల్ జారిపోకుండా అక్షం వెంట తిరుగుతుంది అనే వాస్తవం కారణంగా, సెగ్మెంట్ OB యొక్క పొడవు ఆర్క్ BM యొక్క పొడవుకు సమానంగా ఉంటుంది. ఆర్క్ BM యొక్క పొడవు a వ్యాసార్థం మరియు కేంద్ర కోణం t యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం కాబట్టి, అప్పుడు . అందుకే . కానీ అందువలన,
ఈ సమీకరణాలు సైక్లోయిడ్ యొక్క పారామెట్రిక్ సమీకరణాలు. t పరామితి 0 నుండి సర్కిల్‌కు మారినప్పుడు ఒక పూర్తి విప్లవం వస్తుంది. పాయింట్ M సైక్లోయిడ్ యొక్క ఒక ఆర్క్‌ను వివరిస్తుంది.
ఇక్కడ t పరామితిని మినహాయించడం గజిబిజిగా ఉండే వ్యక్తీకరణలకు దారి తీస్తుంది మరియు ఆచరణాత్మకంగా అసాధ్యమైనది.
పంక్తుల యొక్క పారామెట్రిక్ నిర్వచనం ముఖ్యంగా మెకానిక్స్‌లో ఉపయోగించబడుతుంది మరియు పరామితి యొక్క పాత్ర సమయం ద్వారా ఆడబడుతుంది.
ఉదాహరణ 4. క్షితిజ సమాంతర కోణంలో ప్రారంభ వేగంతో తుపాకీ నుండి కాల్చబడిన ప్రక్షేపకం యొక్క పథాన్ని నిర్ధారిద్దాం. మేము గాలి నిరోధకత మరియు ప్రక్షేపకం యొక్క పరిమాణాలను విస్మరించాము, దానిని మెటీరియల్ పాయింట్‌గా పరిగణించండి.
కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌ని ఎంచుకుందాం. కోఆర్డినేట్‌ల మూలంగా మూతి నుండి ప్రక్షేపకం యొక్క నిష్క్రమణ పాయింట్‌ను తీసుకుందాం. ఆక్స్ అక్షాన్ని క్షితిజ సమాంతరంగా మరియు Oy అక్షాన్ని నిలువుగా నిర్దేశిద్దాం, వాటిని తుపాకీ మూతితో ఒకే విమానంలో ఉంచుదాం. గురుత్వాకర్షణ శక్తి లేకుంటే, ప్రక్షేపకం సరళ రేఖలో కదులుతుంది, ఆక్స్ అక్షంతో ఒక కోణాన్ని తయారు చేస్తుంది మరియు t సమయానికి అది దూరం ప్రయాణించేది. t సమయంలో ప్రక్షేపకం యొక్క కోఆర్డినేట్లు వరుసగా సమానంగా ఉంటాయి. కు: . గురుత్వాకర్షణ కారణంగా, ప్రక్షేపకం ఈ క్షణం ద్వారా నిలువుగా ఒక మొత్తంతో దిగిపోవాలి. కాబట్టి, వాస్తవానికి, t సమయంలో, ప్రక్షేపకం యొక్క అక్షాంశాలు సూత్రాల ద్వారా నిర్ణయించబడతాయి:
ఈ సమీకరణాలు స్థిరమైన పరిమాణాలను కలిగి ఉంటాయి. t మారినప్పుడు, ప్రక్షేపకం పథం వద్ద కోఆర్డినేట్లు కూడా మారుతాయి. సమీకరణాలు ప్రక్షేపకం పథం యొక్క పారామెట్రిక్ సమీకరణాలు, దీనిలో పరామితి సమయం
మొదటి సమీకరణం నుండి వ్యక్తీకరించడం మరియు దానిని ప్రత్యామ్నాయం చేయడం
రెండవ సమీకరణం, మేము రూపంలో ప్రక్షేపకం పథం యొక్క సమీకరణాన్ని పొందుతాము ఇది పారాబొలా యొక్క సమీకరణం.
పరోక్షంగా పేర్కొన్న ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం.
పారామెట్రిక్‌గా నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం
ఈ వ్యాసంలో మనం ఉన్నత గణితంలో పరీక్షలలో తరచుగా కనిపించే మరో రెండు విలక్షణమైన పనులను పరిశీలిస్తాము. మెటీరియల్‌ని విజయవంతంగా ప్రావీణ్యం పొందడానికి, మీరు తప్పనిసరిగా కనీసం ఇంటర్మీడియట్ స్థాయిలో డెరివేటివ్‌లను కనుగొనగలగాలి. మీరు రెండు ప్రాథమిక పాఠాలలో మరియు మొదటి నుండి ఆచరణాత్మకంగా ఉత్పన్నాలను కనుగొనడం నేర్చుకోవచ్చు సంక్లిష్ట ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం. మీ డిఫరెన్సియేషన్ స్కిల్స్ ఓకే అయితే, వెళ్దాం.
పరోక్షంగా పేర్కొన్న ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం
లేదా, సంక్షిప్తంగా, అవ్యక్త ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం. అవ్యక్త విధి అంటే ఏమిటి? ఒక వేరియబుల్ యొక్క ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనాన్ని మొదట గుర్తుంచుకోండి:
సింగిల్ వేరియబుల్ ఫంక్షన్స్వతంత్ర వేరియబుల్ యొక్క ప్రతి విలువ ఫంక్షన్ యొక్క ఒక మరియు ఒకే విలువకు అనుగుణంగా ఉండే నియమం.
వేరియబుల్ అంటారు స్వతంత్ర చరరాశిలేదా వాదన.
వేరియబుల్ అంటారు ఆధారిత చరరాశిలేదా ఫంక్షన్
.
ఇప్పటివరకు మేము నిర్వచించిన ఫంక్షన్లను చూశాము స్పష్టమైనరూపం. దాని అర్థం ఏమిటి? నిర్దిష్ట ఉదాహరణలను ఉపయోగించి చర్చను నిర్వహిస్తాము.
ఫంక్షన్ పరిగణించండి 
ఎడమ వైపున మనకు ఒంటరి “ప్లేయర్” మరియు కుడి వైపున ఉన్నట్లు మనం చూస్తాము - "Xలు" మాత్రమే. అంటే, ఫంక్షన్ స్పష్టంగాస్వతంత్ర వేరియబుల్ ద్వారా వ్యక్తీకరించబడింది.
మరొక ఫంక్షన్ చూద్దాం:
ఇక్కడే వేరియబుల్స్ మిక్స్ అవుతాయి. పైగా ఏ విధంగానూ అసాధ్యం"Y"ని "X" ద్వారా మాత్రమే వ్యక్తపరచండి. ఈ పద్ధతులు ఏమిటి? సంకేతం యొక్క మార్పుతో నిబంధనలను భాగం నుండి భాగానికి బదిలీ చేయడం, వాటిని బ్రాకెట్ల నుండి తరలించడం, నిష్పత్తి యొక్క నియమం ప్రకారం కారకాలను విసిరివేయడం మొదలైనవి. సమానత్వాన్ని తిరిగి వ్రాయండి మరియు "y"ని స్పష్టంగా వ్యక్తీకరించడానికి ప్రయత్నించండి: . మీరు గంటల తరబడి సమీకరణాన్ని ట్విస్ట్ చేయవచ్చు మరియు తిప్పవచ్చు, కానీ మీరు విజయం సాధించలేరు.
నేను మీకు పరిచయం చేస్తాను: - ఉదాహరణ అవ్యక్త ఫంక్షన్.
గణిత విశ్లేషణ యొక్క కోర్సులో ఇది అవ్యక్త ఫంక్షన్ అని నిరూపించబడింది ఉంది(అయితే, ఎల్లప్పుడూ కాదు), దీనికి గ్రాఫ్ ఉంటుంది ("సాధారణ" ఫంక్షన్ వలె). అవ్యక్త విధి సరిగ్గా అదే ఉందిమొదటి ఉత్పన్నం, రెండవ ఉత్పన్నం మొదలైనవి. వారు చెప్పినట్లు, లైంగిక మైనారిటీల యొక్క అన్ని హక్కులు గౌరవించబడతాయి.
మరియు ఈ పాఠంలో మనం పరోక్షంగా పేర్కొన్న ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని ఎలా కనుగొనాలో నేర్చుకుంటాము. ఇది అంత కష్టం కాదు! అన్ని భేద నియమాలు మరియు ప్రాథమిక ఫంక్షన్ల ఉత్పన్నాల పట్టిక అమలులో ఉంటాయి. వ్యత్యాసం ఒక విచిత్రమైన క్షణంలో ఉంది, దానిని మనం ప్రస్తుతం పరిశీలిస్తాము.
అవును, మరియు నేను మీకు శుభవార్త చెబుతాను - క్రింద చర్చించిన పనులు మూడు ట్రాక్‌ల ముందు రాయి లేకుండా చాలా కఠినమైన మరియు స్పష్టమైన అల్గోరిథం ప్రకారం నిర్వహించబడతాయి.
ఉదాహరణ 1
1) మొదటి దశలో, మేము రెండు భాగాలకు స్ట్రోక్‌లను అటాచ్ చేస్తాము:
2) మేము ఉత్పన్నం యొక్క సరళత యొక్క నియమాలను ఉపయోగిస్తాము (పాఠం యొక్క మొదటి రెండు నియమాలు ఉత్పన్నాన్ని ఎలా కనుగొనాలి? పరిష్కారాల ఉదాహరణలు):
3) ప్రత్యక్ష భేదం.
ఎలా వేరు చేయాలో పూర్తిగా స్పష్టంగా ఉంది. స్ట్రోక్స్ కింద "గేమ్స్" ఉన్న చోట ఏమి చేయాలి?
- కేవలం అవమానకరమైన స్థితికి, ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం దాని ఉత్పన్నానికి సమానం: .
ఎలా వేరు చేయాలి
ఇక్కడ మేము కలిగి క్లిష్టమైన ఫంక్షన్. ఎందుకు? సైన్ కింద “Y” అనే ఒక్క అక్షరం మాత్రమే ఉన్నట్లు తెలుస్తోంది. కానీ వాస్తవం ఏమిటంటే “y” అనే ఒకే ఒక అక్షరం ఉంది - స్వయంగా ఒక ఫంక్షన్(పాఠం ప్రారంభంలో నిర్వచనం చూడండి). అందువలన, సైన్ అనేది బాహ్య విధి మరియు అంతర్గత విధి. సంక్లిష్టమైన ఫంక్షన్‌ను వేరు చేయడానికి మేము నియమాన్ని ఉపయోగిస్తాము 
:
మేము సాధారణ నియమం ప్రకారం ఉత్పత్తిని వేరు చేస్తాము 
:
దయచేసి గమనించండి – ఇది కూడా ఒక క్లిష్టమైన విధి, ఏదైనా "గంటలు మరియు ఈలలతో ఆట" అనేది సంక్లిష్టమైన పని:
పరిష్కారం కూడా ఇలా ఉండాలి:
బ్రాకెట్లు ఉంటే, వాటిని విస్తరించండి:
4) ఎడమ వైపున మేము ప్రైమ్‌తో “Y”ని కలిగి ఉన్న నిబంధనలను సేకరిస్తాము. మిగతావన్నీ కుడి వైపుకు తరలించండి:
5) ఎడమ వైపున మేము బ్రాకెట్ల నుండి ఉత్పన్నాన్ని తీసుకుంటాము:
6) మరియు నిష్పత్తి యొక్క నియమం ప్రకారం, మేము ఈ బ్రాకెట్లను కుడి వైపు యొక్క హారంలోకి వదలాము:
ఉత్పన్నం కనుగొనబడింది. సిద్ధంగా ఉంది.
ఏదైనా ఫంక్షన్‌ను పరోక్షంగా తిరిగి వ్రాయవచ్చని గమనించడం ఆసక్తికరంగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, ఫంక్షన్ 
ఇలా తిరిగి వ్రాయవచ్చు: 
. మరియు ఇప్పుడే చర్చించిన అల్గోరిథం ఉపయోగించి దానిని వేరు చేయండి. వాస్తవానికి, "అవ్యక్త ఫంక్షన్" మరియు "అవ్యక్త ఫంక్షన్" అనే పదబంధాలు ఒక సెమాంటిక్ సూక్ష్మభేదంలో విభిన్నంగా ఉంటాయి. "పరోక్షంగా పేర్కొన్న ఫంక్షన్" అనే పదబంధం మరింత సాధారణమైనది మరియు సరైనది, 
- ఈ ఫంక్షన్ పరోక్షంగా పేర్కొనబడింది, కానీ ఇక్కడ మీరు "గేమ్"ని వ్యక్తీకరించవచ్చు మరియు ఫంక్షన్‌ను స్పష్టంగా ప్రదర్శించవచ్చు. "ఇంప్లిసిట్ ఫంక్షన్" అనే పదబంధం "y" వ్యక్తీకరించబడనప్పుడు "క్లాసికల్" ఇంప్లిసిట్ ఫంక్షన్‌ను సూచిస్తుంది.
రెండవ పరిష్కారం
శ్రద్ధ!నమ్మకంగా ఎలా కనుగొనాలో మీకు తెలిస్తేనే మీరు రెండవ పద్ధతితో మిమ్మల్ని పరిచయం చేసుకోవచ్చు పాక్షిక ఉత్పన్నాలు. కాలిక్యులస్ బిగినర్స్ మరియు డమ్మీస్, దయచేసి ఈ పాయింట్‌ని చదవకండి మరియు దాటవేయవద్దు, లేకపోతే మీ తల పూర్తిగా గందరగోళంగా ఉంటుంది.
రెండవ పద్ధతిని ఉపయోగించి అవ్యక్త ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి.
మేము అన్ని నిబంధనలను ఎడమ వైపుకు తరలిస్తాము:
మరియు రెండు వేరియబుల్స్ యొక్క ఫంక్షన్‌ను పరిగణించండి:
అప్పుడు ఫార్ములా ఉపయోగించి మా ఉత్పన్నం కనుగొనవచ్చు
పాక్షిక ఉత్పన్నాలను కనుగొనండి:
ఈ విధంగా:
రెండవ పరిష్కారం మీరు తనిఖీని నిర్వహించడానికి అనుమతిస్తుంది. పాక్షిక ఉత్పన్నాలు తరువాత ప్రావీణ్యం పొందుతాయి మరియు “ఒక వేరియబుల్ యొక్క ఫంక్షన్ యొక్క డెరివేటివ్” అనే అంశాన్ని అధ్యయనం చేసే విద్యార్థికి ఇంకా పాక్షిక ఉత్పన్నాలు తెలియకూడదు కాబట్టి, అసైన్‌మెంట్ యొక్క చివరి సంస్కరణను వ్రాయడం వారికి మంచిది కాదు.
మరికొన్ని ఉదాహరణలు చూద్దాం.
ఉదాహరణ 2
పరోక్షంగా ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి
రెండు భాగాలకు స్ట్రోక్‌లను జోడించండి:
మేము సరళత నియమాలను ఉపయోగిస్తాము:
ఉత్పన్నాలను కనుగొనడం:
అన్ని బ్రాకెట్లను తెరవడం:
మేము అన్ని నిబంధనలను ఎడమ వైపుకు, మిగిలిన వాటిని కుడి వైపుకు తరలిస్తాము:
చివరి సమాధానం: 
ఉదాహరణ 3
పరోక్షంగా ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి 
పాఠం చివరిలో పూర్తి పరిష్కారం మరియు నమూనా రూపకల్పన.
భేదం తర్వాత భిన్నాలు తలెత్తడం అసాధారణం కాదు. అటువంటి సందర్భాలలో, మీరు భిన్నాలను వదిలించుకోవాలి. మరో రెండు ఉదాహరణలు చూద్దాం.
ఉదాహరణ 4
పరోక్షంగా ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి 
మేము రెండు భాగాలను స్ట్రోక్‌ల క్రింద జతచేస్తాము మరియు సరళత నియమాన్ని ఉపయోగిస్తాము: 
సంక్లిష్టమైన ఫంక్షన్‌ను వేరు చేయడానికి నియమాన్ని ఉపయోగించి భేదం చూపండి 
మరియు గుణకాల భేదం యొక్క నియమం 
:
బ్రాకెట్లను విస్తరించడం: 
ఇప్పుడు మనం భిన్నాన్ని వదిలించుకోవాలి. ఇది తరువాత చేయవచ్చు, కానీ వెంటనే దీన్ని చేయడం మరింత హేతుబద్ధమైనది. భిన్నం యొక్క హారం కలిగి ఉంటుంది. గుణించండి పై . వివరంగా, ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది:
కొన్నిసార్లు భేదం తర్వాత 2-3 భిన్నాలు కనిపిస్తాయి. మనకు మరొక భిన్నం ఉంటే, ఉదాహరణకు, ఆపరేషన్ పునరావృతం కావాలి - గుణించాలి ప్రతి భాగం యొక్క ప్రతి పదంపై
ఎడమ వైపున మేము దానిని బ్రాకెట్లలో ఉంచాము:
చివరి సమాధానం: 
ఉదాహరణ 5
పరోక్షంగా ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి
మీరు మీ స్వంతంగా పరిష్కరించుకోవడానికి ఇది ఒక ఉదాహరణ. ఒకే విషయం ఏమిటంటే, మీరు భిన్నాన్ని వదిలించుకోవడానికి ముందు, మీరు మొదట భిన్నం యొక్క మూడు-అంతస్తుల నిర్మాణాన్ని వదిలించుకోవాలి. పాఠం చివరిలో పూర్తి పరిష్కారం మరియు సమాధానం.
పారామెట్రిక్‌గా నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం
ఒత్తిడి చేయవద్దు, ఈ పేరాలోని ప్రతిదీ కూడా చాలా సులభం. మీరు పారామెట్రిక్‌గా నిర్వచించిన ఫంక్షన్ కోసం సాధారణ సూత్రాన్ని వ్రాయవచ్చు, కానీ దానిని స్పష్టం చేయడానికి, నేను వెంటనే ఒక నిర్దిష్ట ఉదాహరణను వ్రాస్తాను. పారామెట్రిక్ రూపంలో, ఫంక్షన్ రెండు సమీకరణాల ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది: తరచుగా సమీకరణాలు కర్లీ బ్రాకెట్ల క్రింద వ్రాయబడవు, కానీ వరుసగా: , .
వేరియబుల్‌ను పారామీటర్ అంటారుమరియు "మైనస్ ఇన్ఫినిటీ" నుండి "ప్లస్ ఇన్ఫినిటీ" వరకు విలువలను తీసుకోవచ్చు. ఉదాహరణకు, విలువను పరిగణించండి మరియు దానిని రెండు సమీకరణాలలోకి మార్చండి: 
. లేదా మానవ పరంగా: "x నాలుగుకి సమానం అయితే, y ఒకదానికి సమానం." మీరు కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో ఒక పాయింట్‌ను గుర్తించవచ్చు మరియు ఈ పాయింట్ పరామితి విలువకు అనుగుణంగా ఉంటుంది. అదేవిధంగా, మీరు “te” పరామితి యొక్క ఏదైనా విలువ కోసం ఒక పాయింట్‌ను కనుగొనవచ్చు. "రెగ్యులర్" ఫంక్షన్ కొరకు, పారామెట్రిక్‌గా నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్ యొక్క అమెరికన్ ఇండియన్స్ కోసం, అన్ని హక్కులు కూడా గౌరవించబడతాయి: మీరు గ్రాఫ్‌ను రూపొందించవచ్చు, ఉత్పన్నాలను కనుగొనవచ్చు మొదలైనవి. మార్గం ద్వారా, మీరు పారామెట్రిక్‌గా నిర్వచించిన ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను ప్లాట్ చేయవలసి వస్తే, మీరు నా ప్రోగ్రామ్‌ను ఉపయోగించవచ్చు.
సరళమైన సందర్భాల్లో, ఫంక్షన్‌ను స్పష్టంగా సూచించడం సాధ్యమవుతుంది. మొదటి సమీకరణం నుండి పరామితిని వ్యక్తీకరిద్దాం: 
- మరియు దానిని రెండవ సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేయండి: 
. ఫలితం సాధారణ క్యూబిక్ ఫంక్షన్.
మరింత "తీవ్రమైన" సందర్భాలలో, ఈ ట్రిక్ పనిచేయదు. కానీ అది పట్టింపు లేదు, ఎందుకంటే పారామెట్రిక్ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడానికి ఒక సూత్రం ఉంది:
మేము “వేరియబుల్ teకి సంబంధించి గేమ్” యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొంటాము:
అన్ని భేదాత్మక నియమాలు మరియు ఉత్పన్నాల పట్టిక చెల్లుబాటు అయ్యేవి, సహజంగా, అక్షరానికి , అందువలన, ఉత్పన్నాలను కనుగొనే ప్రక్రియలో కొత్తదనం లేదు. టేబుల్‌లోని అన్ని “X”లను మానసికంగా “Te” అక్షరంతో భర్తీ చేయండి.
మేము “వేరియబుల్ teకి సంబంధించి x” యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొంటాము: 
ఇప్పుడు మిగిలి ఉన్నది కనుగొనబడిన ఉత్పన్నాలను మా సూత్రంలోకి మార్చడం: 
సిద్ధంగా ఉంది. ఫంక్షన్ లాగానే ఉత్పన్నం కూడా పరామితిపై ఆధారపడి ఉంటుంది.
సంజ్ఞామానం విషయానికొస్తే, దానిని ఫార్ములాలో వ్రాయడానికి బదులుగా, ఎవరైనా సబ్‌స్క్రిప్ట్ లేకుండా వ్రాయవచ్చు, ఎందుకంటే ఇది "X కి సంబంధించి" "సాధారణ" ఉత్పన్నం. కానీ సాహిత్యంలో ఎల్లప్పుడూ ఒక ఎంపిక ఉంటుంది, కాబట్టి నేను ప్రమాణం నుండి వైదొలగను.
ఉదాహరణ 6
మేము సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము
ఈ విషయంలో:
ఈ విధంగా: 
పారామెట్రిక్ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడంలో ఒక ప్రత్యేక లక్షణం వాస్తవం ప్రతి దశలోనూ ఫలితాన్ని వీలైనంత సులభతరం చేయడం ప్రయోజనకరం. కాబట్టి, పరిగణించబడిన ఉదాహరణలో, నేను దానిని కనుగొన్నప్పుడు, నేను రూట్ క్రింద కుండలీకరణాలను తెరిచాను (నేను దీన్ని చేసి ఉండకపోవచ్చు). ఫార్ములాలో ప్రత్యామ్నాయం చేసినప్పుడు, చాలా విషయాలు బాగా తగ్గిపోయే మంచి అవకాశం ఉంది. అయినప్పటికీ, వికృతమైన సమాధానాలతో ఉదాహరణలు ఉన్నాయి.
ఉదాహరణ 7
పారామెట్రిక్‌గా పేర్కొన్న ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి 
మీరు మీ స్వంతంగా పరిష్కరించుకోవడానికి ఇది ఒక ఉదాహరణ.
వ్యాసంలో ఉత్పన్నాలతో సరళమైన సాధారణ సమస్యలుమేము ఫంక్షన్ యొక్క రెండవ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనవలసిన ఉదాహరణలను పరిశీలించాము. పారామెట్రిక్‌గా నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్ కోసం, మీరు రెండవ ఉత్పన్నాన్ని కూడా కనుగొనవచ్చు మరియు ఇది క్రింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించి కనుగొనబడుతుంది: . రెండవ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు మొదట మొదటి ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనాలి.
ఉదాహరణ 8
పారామెట్రిక్‌గా ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క మొదటి మరియు రెండవ ఉత్పన్నాలను కనుగొనండి
మొదట, మొదటి ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి.
మేము సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము
ఈ విషయంలో: 
మేము కనుగొన్న ఉత్పన్నాలను సూత్రంలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము. సరళీకరణ ప్రయోజనాల కోసం, మేము త్రికోణమితి సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము: 
ఫంక్షన్‌ని పారామెట్రిక్ మార్గంలో పేర్కొననివ్వండి:
(1)
పారామీటర్ అని పిలువబడే కొన్ని వేరియబుల్ ఎక్కడ ఉంది. మరియు ఫంక్షన్లు వేరియబుల్ యొక్క నిర్దిష్ట విలువ వద్ద ఉత్పన్నాలను కలిగి ఉండనివ్వండి. అంతేకాకుండా, పాయింట్ యొక్క నిర్దిష్ట పొరుగు ప్రాంతంలో కూడా ఫంక్షన్ విలోమ ఫంక్షన్‌ను కలిగి ఉంటుంది. అప్పుడు ఫంక్షన్ (1) పాయింట్ వద్ద ఉత్పన్నం ఉంటుంది, ఇది పారామెట్రిక్ రూపంలో సూత్రాల ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది:
(2)
ఇక్కడ మరియు ఫంక్షన్ల యొక్క ఉత్పన్నాలు మరియు వేరియబుల్ (పరామితి)కి సంబంధించి ఉంటాయి. అవి తరచుగా ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయబడతాయి:
;
.
అప్పుడు సిస్టమ్ (2) క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:
రుజువు
షరతు ప్రకారం, ఫంక్షన్ విలోమ ఫంక్షన్‌ను కలిగి ఉంటుంది. దానిని ఇలా సూచిస్తాం
.
అప్పుడు అసలు ఫంక్షన్‌ను సంక్లిష్టమైన ఫంక్షన్‌గా సూచించవచ్చు:
.
సంక్లిష్ట మరియు విలోమ ఫంక్షన్లను వేరు చేయడానికి నియమాలను ఉపయోగించి దాని ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి:
.
నియమం నిరూపించబడింది.
రెండవ మార్గంలో రుజువు
పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క నిర్వచనం ఆధారంగా రెండవ మార్గంలో ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి:
.
సంజ్ఞామానాన్ని పరిచయం చేద్దాం:
.
అప్పుడు మునుపటి ఫార్ములా రూపం తీసుకుంటుంది:
.
పాయింట్ యొక్క పొరుగున ఫంక్షన్ విలోమ ఫంక్షన్‌ను కలిగి ఉందనే వాస్తవాన్ని సద్వినియోగం చేద్దాం.
కింది సంజ్ఞామానాన్ని పరిచయం చేద్దాం:
;
;
;
.
భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారంను దీని ద్వారా విభజించండి:
.
వద్ద , . అప్పుడు
.
నియమం నిరూపించబడింది.
హయ్యర్ ఆర్డర్ డెరివేటివ్స్
అధిక ఆర్డర్‌ల ఉత్పన్నాలను కనుగొనడానికి, అనేక సార్లు భేదాన్ని ప్రదర్శించడం అవసరం. కింది ఫారమ్‌లో పారామెట్రిక్‌గా నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్ యొక్క రెండవ-ఆర్డర్ ఉత్పన్నాన్ని మనం కనుగొనవలసి ఉందని అనుకుందాం:
(1)
ఫార్ములా (2)ని ఉపయోగించి మేము మొదటి ఉత్పన్నాన్ని కనుగొంటాము, ఇది పారామెట్రిక్‌గా కూడా నిర్ణయించబడుతుంది:
(2)
వేరియబుల్ ద్వారా మొదటి ఉత్పన్నాన్ని సూచిస్తాము:
.
అప్పుడు, వేరియబుల్‌కు సంబంధించి ఫంక్షన్ యొక్క రెండవ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు వేరియబుల్‌కు సంబంధించి ఫంక్షన్ యొక్క మొదటి ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనాలి. వేరియబుల్‌పై వేరియబుల్ ఆధారపడటం కూడా పారామెట్రిక్ మార్గంలో పేర్కొనబడింది:
(3)
(3) సూత్రాలు (1) మరియు (2)తో పోల్చి చూస్తే, మేము కనుగొంటాము:
ఇప్పుడు ఫంక్షన్ల ద్వారా ఫలితాన్ని వ్య‌క్తం చేద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, ఉత్పన్న భిన్నం సూత్రాన్ని ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:
.
అప్పుడు
.
ఇక్కడ నుండి మనం వేరియబుల్‌కు సంబంధించి ఫంక్షన్ యొక్క రెండవ ఉత్పన్నాన్ని పొందుతాము:
ఇది పారామెట్రిక్ రూపంలో కూడా ఇవ్వబడుతుంది. మొదటి పంక్తిని ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చని గమనించండి:
.
ప్రక్రియను కొనసాగిస్తూ, మీరు మూడవ మరియు అధిక ఆర్డర్‌ల వేరియబుల్ నుండి ఫంక్షన్ల ఉత్పన్నాలను పొందవచ్చు.
మేము ఉత్పన్నం కోసం సంజ్ఞామానాన్ని పరిచయం చేయనవసరం లేదని గమనించండి. మీరు దీన్ని ఇలా వ్రాయవచ్చు:
;
.
ఉదాహరణ 1
పారామెట్రిక్‌గా నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి:
పరిష్కారం
మేము సంబంధించి ఉత్పన్నాలను కనుగొంటాము.
ఉత్పన్నాల పట్టిక నుండి మనం కనుగొంటాము:
;
.
మేము దరఖాస్తు చేస్తాము:
.
ఇక్కడ .
.
ఇక్కడ .
అవసరమైన ఉత్పన్నం:
.
సమాధానం
ఉదాహరణ 2
పరామితి ద్వారా వ్యక్తీకరించబడిన ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి:
పరిష్కారం
పవర్ ఫంక్షన్లు మరియు మూలాల కోసం సూత్రాలను ఉపయోగించి బ్రాకెట్లను విస్తరింపజేద్దాం:
.
ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడం:
.
ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడం. దీన్ని చేయడానికి, మేము వేరియబుల్‌ను పరిచయం చేస్తాము మరియు సంక్లిష్ట ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం కోసం సూత్రాన్ని వర్తింపజేస్తాము.
.
మేము కావలసిన ఉత్పన్నాన్ని కనుగొంటాము:
.
సమాధానం
ఉదాహరణ 3
ఉదాహరణ 1లో పారామెట్రిక్‌గా నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్ యొక్క రెండవ మరియు మూడవ ఆర్డర్ ఉత్పన్నాలను కనుగొనండి:
పరిష్కారం
ఉదాహరణ 1లో మేము మొదటి ఆర్డర్ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొన్నాము:
హోదాను పరిచయం చేద్దాం. అప్పుడు ఫంక్షన్ కు సంబంధించి ఉత్పన్నం అవుతుంది. ఇది పారామెట్రిక్‌గా పేర్కొనబడింది:
సంబంధించి రెండవ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడానికి, మేము సంబంధించి మొదటి ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనాలి.
ద్వారా వేరు చేద్దాం.
.
మేము ఉదాహరణ 1లో ఉత్పన్నాన్ని కనుగొన్నాము:
.
దీనికి సంబంధించి రెండవ-ఆర్డర్ ఉత్పన్నం దీనికి సంబంధించి మొదటి-ఆర్డర్ ఉత్పన్నానికి సమానం:
.
కాబట్టి, మేము పారామెట్రిక్ ఫారమ్‌కు సంబంధించి రెండవ-ఆర్డర్ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొన్నాము:
ఇప్పుడు మనం మూడవ ఆర్డర్ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొంటాము. హోదాను పరిచయం చేద్దాం. అప్పుడు మేము ఫంక్షన్ యొక్క మొదటి-ఆర్డర్ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనాలి, ఇది పారామెట్రిక్ మార్గంలో పేర్కొనబడింది:
సంబంధించి ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి. దీన్ని చేయడానికి, మేము దానిని సమాన రూపంలో తిరిగి వ్రాస్తాము:
.
నుండి
.
దీనికి సంబంధించి మూడవ ఆర్డర్ ఉత్పన్నం దీనికి సంబంధించి మొదటి ఆర్డర్ డెరివేటివ్‌కి సమానం:
.
వ్యాఖ్య
మీరు వేరియబుల్స్ మరియు , యొక్క ఉత్పన్నాలు వరుసగా మరియు , ఎంటర్ చేయవలసిన అవసరం లేదు. అప్పుడు మీరు దీన్ని ఇలా వ్రాయవచ్చు:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
సమాధానం
పారామెట్రిక్ ప్రాతినిధ్యంలో, రెండవ-ఆర్డర్ ఉత్పన్నం క్రింది రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:
మూడవ ఆర్డర్ ఉత్పన్నం.
లాగరిథమిక్ భేదం
ప్రాథమిక ఫంక్షన్ల ఉత్పన్నాలు
భేదం యొక్క ప్రాథమిక నియమాలు
ఫంక్షన్ అవకలన
ఫంక్షన్ ఇంక్రిమెంట్ యొక్క ప్రధాన సరళ భాగం ఎడి xఫంక్షన్ యొక్క భేదాన్ని నిర్ణయించడంలో
డి f=f(x)- ఎఫ్(x 0)= ఎ(x - x 0)+o(x – x 0), x®x 0
ఫంక్షన్ యొక్క అవకలన అని పిలుస్తారు f(x) పాయింట్ వద్ద x 0 మరియు సూచించబడుతుంది
df(x 0)= f¢(x 0) డి x=Aడి x.
అవకలన పాయింట్ మీద ఆధారపడి ఉంటుంది x 0 మరియు ఇంక్రిమెంట్ D నుండి x.డిపై xఅదే సమయంలో వారు దానిని స్వతంత్ర వేరియబుల్‌గా చూస్తారు, కాబట్టి ప్రతి పాయింట్ వద్ద అవకలన అనేది ఇంక్రిమెంట్ D యొక్క లీనియర్ ఫంక్షన్ x.
మేము ఒక ఫంక్షన్‌గా పరిగణించినట్లయితే f(x)=x, అప్పుడు మనకు లభిస్తుంది dx=డి x,dy=Adx. ఇది లీబ్నిజ్ సంజ్ఞామానానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది
టాంజెంట్ యొక్క ఆర్డినేట్ యొక్క ఇంక్రిమెంట్ వలె అవకలన యొక్క రేఖాగణిత వివరణ.
అన్నం. 4.3
1) f=స్థిరంగా , f¢= 0,df= 0D x= 0.
2) f=u+v, f¢=u¢+v¢, df = du+dv.
3) f=uv, f¢=u¢v+v¢u, df = u dv + v du.
పర్యవసానం. (cf(x))¢=cf¢(x), (సి 1 f 1 (x)+…+c n f n(x))¢= సి 1 f¢ 1 (x)+…+ c n f¢ n(x)
4) f=u/v, v(x 0)¹0 మరియు ఉత్పన్నం ఉంది, అప్పుడు f¢=(u¢v-v¢ u)/v 2 .
సంక్షిప్తత కోసం మేము సూచిస్తాము u=u(x), యు 0 = యు(x 0), ఆపై
D వద్ద పరిమితికి ఉత్తీర్ణత x® 0 మేము అవసరమైన సమానత్వాన్ని పొందుతాము.
5) సంక్లిష్ట ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం.
సిద్ధాంతం. f¢ ఉంటే(x 0), g¢(x 0)మరియు x 0 = g(t 0), తర్వాత కొన్ని పరిసరాల్లో టి 0 కాంప్లెక్స్ ఫంక్షన్ f నిర్వచించబడింది(g(t)), ఇది పాయింట్ t వద్ద విభిన్నంగా ఉంటుంది 0 మరియు
రుజువు.
f(x)- ఎఫ్(x 0)= f¢(x 0)(x-x 0)+ a( x)(x-x 0), xÎ యు(x 0).
f(g(t))- ఎఫ్(g(t 0))= f¢(x 0)(g(t)-గ్రా(t 0))+ a( g(t))(g(t)-గ్రా(t 0)).
ఈ సమానత్వం యొక్క రెండు వైపులా విభజిద్దాము ( t - t 0) మరియు వద్ద పరిమితికి వెళ్దాం t®t 0 .
6) విలోమ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క గణన.
సిద్ధాంతం. f నిరంతరంగా మరియు ఖచ్చితంగా మోనోటోన్‌గా ఉండనివ్వండి[a,b]. పాయింట్ x వద్ద తెలియజేయండి 0 Î( a,b)f¢ ఉంది(x 0)¹ 0 , తర్వాత విలోమ ఫంక్షన్ x=f -1 (వై)పాయింట్ y వద్ద ఉంది 0 ఉత్పన్నం సమానం
రుజువు. మేము లెక్కిస్తాము fఖచ్చితంగా మార్పు లేకుండా పెరుగుతుంది, అప్పుడు f -1 (వై) నిరంతరంగా ఉంటుంది, దీని ద్వారా మార్పు లేకుండా పెరుగుతుంది [ f(a),f(బి)]. పెడతాం వై 0 = f(x 0), y=f(x), x - x 0 = డి x,
y - y 0 = డి వై. విలోమ ఫంక్షన్ యొక్క కొనసాగింపు కారణంగా D వై®0 Þ డి x®0, మా వద్ద ఉంది
పరిమితికి ఉత్తీర్ణత, మేము అవసరమైన సమానత్వాన్ని పొందుతాము.
7) సరి ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం బేసి, బేసి ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం సరి.
నిజానికి, ఉంటే x® - x 0 , ఆ - x® x 0 , అందుకే
బేసి ఫంక్షన్ కోసం సరి ఫంక్షన్ కోసం
1) f=స్థిరత్వం, f¢(x)=0.
2) f(x)=x, f¢(x)=1.
3) f(x)=e x, f¢(x)= ఇ x ,
4) f(x)=ఎ x,(ఒక x)¢ = గొడ్డలి ln a.
5) ln a.
6) f(x)=ln x,
పర్యవసానం. (సరి ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం బేసి)
7) (x m )¢= m x m -1 , x>0, x m = ఇ m ln x .
8) (పాపం x)¢= కాస్ x,
9) (కస్ x)¢=- పాపం x,(కస్ x)¢= (పాపం x+ p/2)) ¢= కాస్( x+ p/2)=-పాపం x.
10) (tg x)¢= 1/కాస్ 2 x.
11) (ctg x)¢= -1/పాపం 2 x.
16)ష x,చ x.
f(x),, దాని నుండి అది అనుసరిస్తుంది f¢(x)= f(x)(ln f(x))¢ .
అదే ఫార్ములా విభిన్నంగా పొందవచ్చు f(x)= ఇ ln f(x) , f¢=e ln f(x) (ln f(x))¢.
ఉదాహరణ. ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని లెక్కించండి f=x x.
=x x = x x = x x = x x(ln x+ 1).
విమానంలో పాయింట్ల రేఖాగణిత స్థానం
మేము దానిని ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ అని పిలుస్తాము, పారామెట్రిక్‌గా ఇవ్వబడింది. వారు ఫంక్షన్ యొక్క పారామెట్రిక్ స్పెసిఫికేషన్ గురించి కూడా మాట్లాడతారు.
గమనిక 1.ఉంటే x, yకోసం నిరంతర [a,b] మరియు x(t) విభాగంలో ఖచ్చితంగా మార్పులేనిది (ఉదాహరణకు, ఖచ్చితంగా మార్పు లేకుండా పెరుగుతుంది), తర్వాత [ a,b], a=x(ఎ) , b=x(బి) ఫంక్షన్ నిర్వచించబడింది f(x)= వై(t(x)), ఎక్కడ టి(x) – x(t)కి విలోమ ఫంక్షన్ ఈ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌తో సమానంగా ఉంటుంది
నిర్వచనం డొమైన్ అయితే పారామెట్రిక్‌గా ఇచ్చిన ఫంక్షన్‌ను పరిమిత సంఖ్యలో విభాగాలుగా విభజించవచ్చు ,k= 1,2,...,ఎన్,ప్రతిదానిపై ఒక ఫంక్షన్ ఉంది x(t) ఖచ్చితంగా మోనోటోనిక్, అప్పుడు పారామెట్రిక్‌గా నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్ పరిమిత సంఖ్యలో సాధారణ ఫంక్షన్‌లుగా కుళ్ళిపోతుంది fk(x)= వై(t -1 (x)) డొమైన్‌లతో [ x(ఎ కె), x(బి కె)] విభాగాలను పెంచడం కోసం x(t) మరియు డొమైన్‌లతో [ x(బి కె), x(ఎ కె)] పనితీరు తగ్గుతున్న ప్రాంతాలకు x(t). ఈ విధంగా పొందిన ఫంక్షన్లను పారామెట్రిక్‌గా నిర్వచించిన ఫంక్షన్ యొక్క ఒకే-విలువ గల శాఖలు అంటారు.
ఫిగర్ పారామెట్రిక్‌గా నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను చూపుతుంది
ఎంచుకున్న పారామిటరైజేషన్‌తో, నిర్వచనం ప్రాంతం ఫంక్షన్ సిన్ (2.) యొక్క కఠినమైన మోనోటోనిసిటీ ఐదు విభాగాలుగా విభజించబడింది t), సరిగ్గా: tÎ tÎ ,tÎ ,tÎ , మరియు, తదనుగుణంగా, గ్రాఫ్ ఈ విభాగాలకు అనుగుణంగా ఐదు స్పష్టమైన శాఖలుగా విభజించబడుతుంది.
అన్నం. 4.4
అన్నం. 4.5
మీరు పాయింట్ల యొక్క అదే రేఖాగణిత స్థానం యొక్క విభిన్న పారామీటర్‌ను ఎంచుకోవచ్చు
ఈ సందర్భంలో అటువంటి నాలుగు శాఖలు మాత్రమే ఉంటాయి. వారు కఠినమైన మార్పులేని ప్రాంతాలకు అనుగుణంగా ఉంటారు tÎ ,tÎ ,టిÎ ,tÎ విధులు పాపం (2 t).
అన్నం. 4.6
ఫంక్షన్ సిన్ యొక్క మోనోటోనిసిటీ యొక్క నాలుగు విభాగాలు(2 t) సుదీర్ఘ విభాగంలో.
అన్నం. 4.7
ఒక చిత్రంలో రెండు గ్రాఫ్‌ల వర్ణన రెండు ఫంక్షన్ల యొక్క మోనోటోనిసిటీ ప్రాంతాలను ఉపయోగించి, పారామెట్రిక్‌గా పేర్కొన్న ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను సుమారుగా వర్ణించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.
ఉదాహరణగా, విభాగానికి సంబంధించిన మొదటి శాఖను పరిగణించండి tÎ . ఈ విభాగం చివరలో ఫంక్షన్ x=పాపం (2 t) -1 విలువలను తీసుకుంటుంది మరియు 1 , కాబట్టి ఈ శాఖ [-1,1] వద్ద నిర్వచించబడుతుంది. దీని తరువాత, మీరు రెండవ ఫంక్షన్ యొక్క మార్పులేని ప్రాంతాలను చూడాలి y=కాస్( t), ఆమె ఉంది మార్పులేని రెండు విభాగాలు . మొదటి శాఖలో మోనోటోనిసిటీ యొక్క రెండు విభాగాలు ఉన్నాయని చెప్పడానికి ఇది అనుమతిస్తుంది. గ్రాఫ్ యొక్క ముగింపు పాయింట్లను కనుగొన్న తర్వాత, గ్రాఫ్ యొక్క మార్పులేని స్వభావాన్ని సూచించడానికి మీరు వాటిని సరళ రేఖలతో కనెక్ట్ చేయవచ్చు. ప్రతి శాఖతో ఇలా చేయడం ద్వారా, మేము గ్రాఫ్ యొక్క స్పష్టమైన శాఖల మార్పులేని ప్రాంతాలను పొందుతాము (అవి చిత్రంలో ఎరుపు రంగులో హైలైట్ చేయబడ్డాయి)
అన్నం. 4.8
మొదటి ఏక-విలువ శాఖ f 1 (x)= వై(t(x)) , సైట్కు అనుగుణంగా కోసం నిర్ణయించబడుతుంది xఓ[-1,1] . మొదటి ఏక-విలువ శాఖ tÎ , xО[-1,1].
అన్ని ఇతర మూడు శాఖలు కూడా నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను కలిగి ఉంటాయి [-1,1] .
అన్నం. 4.9
రెండవ శాఖ tÎ xО[-1,1].
అన్నం. 4.10
మూడవ శాఖ tÎ xఓ[-1,1]
అన్నం. 4.11
నాల్గవ శాఖ tÎ xఓ[-1,1]
అన్నం. 4.12
వ్యాఖ్య 2. ఒకే ఫంక్షన్ వేర్వేరు పారామెట్రిక్ సెట్టింగ్‌లను కలిగి ఉంటుంది. తేడాలు రెండు విధులకు సంబంధించినవి కావచ్చు x(t), వై(t) , మరియు నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ ఈ విధులు.
ఒకే ఫంక్షన్ కోసం వివిధ పారామెట్రిక్ అసైన్‌మెంట్‌ల ఉదాహరణ
మరియు tО[-1, 1] .
గమనిక 3. x,y నిరంతరం ఆన్‌లో ఉంటే , x(t)-విభాగంలో ఖచ్చితంగా మార్పులేనిది మరియు ఉత్పన్నాలు ఉన్నాయి y¢(t 0),x¢(t 0)¹0, అప్పుడు ఉంది f¢(x 0)= .
నిజంగా, .
చివరి ప్రకటన పారామెట్రిక్‌గా నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్ యొక్క ఒకే-విలువ గల శాఖలకు కూడా వర్తిస్తుంది.
4.2 అధిక ఆర్డర్‌ల ఉత్పన్నాలు మరియు భేదాలు
అధిక ఉత్పన్నాలు మరియు అవకలనలు. పారామెట్రిక్‌గా పేర్కొన్న ఫంక్షన్ల భేదం. లీబ్నిజ్ సూత్రం.