వ్యవస్థ మెటీరియల్ పాయింట్లు ప్రతి బిందువు యొక్క స్థానం మరియు కదలిక ఇచ్చిన సిస్టమ్ యొక్క అన్ని పాయింట్ల స్థానం మరియు కదలికపై ఆధారపడి ఉండే వాటిని సమితి అంటారు. మెటీరియల్ పాయింట్ల వ్యవస్థను తరచుగా యాంత్రిక వ్యవస్థ అంటారు.
మెటీరియల్ పాయింట్ల వ్యవస్థ యొక్క ద్రవ్యరాశి కేంద్రం. ద్రవ్యరాశి కేంద్రం యొక్క వ్యాసార్థ వెక్టార్ యొక్క నిర్ధారణ. ద్రవ్యరాశి కేంద్రం యొక్క లక్షణాలు. ద్రవ్యరాశి కేంద్రం యొక్క వేగం. ద్రవ్యరాశి కేంద్రం యొక్క చలన సమీకరణం యొక్క ఉత్పన్నం. మెటీరియల్ పాయింట్ల వ్యవస్థ యొక్క ద్రవ్యరాశి కేంద్రం యొక్క కోఆర్డినేట్ల పరిరక్షణ చట్టం.
ద్రవ్యరాశి కేంద్రం (లేదా జడత్వం కేంద్రం)
మెటీరియల్ పాయింట్ల వ్యవస్థలు అంటారు
జియా ఊహాత్మక పాయింట్ C, స్థానం
ఇది పంపిణీని వర్ణిస్తుంది
ఈ వ్యవస్థ యొక్క ద్రవ్యరాశి. దీని వ్యాసార్థం వెక్టర్
క్లోజ్డ్ సిస్టమ్ యొక్క ద్రవ్యరాశి కేంద్రం రెక్టిలీనియర్‌గా మరియు ఏకరీతిగా కదులుతుంది లేదా స్థిరంగా ఉంటుంది.
ద్రవ్యరాశి వేగం కేంద్రం
సాంద్రత r తో నిరంతర ద్రవ్యరాశి పంపిణీ కోసం 
. వ్యవస్థలోని ప్రతి కణానికి వర్తించే గురుత్వాకర్షణ శక్తులు దర్శకత్వం వహించినట్లయితే ఒక మార్గం, అప్పుడు ద్రవ్యరాశి కేంద్రం గురుత్వాకర్షణ కేంద్రంతో సమానంగా ఉంటుంది. కాని ఒకవేళ సమాంతరంగా కాదు, అప్పుడు ద్రవ్యరాశి కేంద్రం మరియు గురుత్వాకర్షణ కేంద్రం ఏకీభవించవు.
యొక్క సమయం ఉత్పన్నాన్ని తీసుకుంటే, మనకు లభిస్తుంది: 
ఆ. పూర్తి ప్రేరణవ్యవస్థలు ఉత్పత్తికి సమానంద్రవ్యరాశి కేంద్రం వేగంతో దాని ద్రవ్యరాశి.
ఈ వ్యక్తీకరణను మొత్తం మొమెంటమ్‌లో మార్పు యొక్క చట్టంగా మార్చడం ద్వారా, మేము కనుగొన్నాము: 
వ్యవస్థ యొక్క ద్రవ్యరాశి కేంద్రం ఒక కణం వలె కదులుతుంది, దీనిలో వ్యవస్థ యొక్క మొత్తం ద్రవ్యరాశి కేంద్రీకృతమై ఉంటుంది మరియు దాని ఫలితంగా ద్రవ్యరాశి వర్తించబడుతుంది. బాహ్యబలం
వద్ద ప్రగతిశీలకదలిక అన్ని పాయింట్లు ఘనమైనద్రవ్యరాశి కేంద్రం వలె (అదే పథాల వెంట) అదే విధంగా కదలండి, కాబట్టి, వివరించడానికి ముందుకు కదలికద్రవ్యరాశి కేంద్రం యొక్క చలన సమీకరణాన్ని వ్రాసి పరిష్కరించడానికి సరిపోతుంది.
ఎందుకంటే 
, అప్పుడు ద్రవ్యరాశి కేంద్రం క్లోజ్డ్ సిస్టమ్విశ్రాంతి లేదా ఏకరీతి స్థితిని నిర్వహించాలి రెక్టిలినియర్ మోషన్, అనగా = స్థిరం. కానీ అదే సమయంలో, మొత్తం వ్యవస్థ రొటేట్ చేయవచ్చు, వేరుగా ఎగురుతుంది, పేలవచ్చు, మొదలైనవి. చర్య ఫలితంగా అంతర్గత శక్తులు
.
Rс(t1) = Rc(t2) ద్రవ్యరాశి కేంద్రం యొక్క కోఆర్డినేట్ల పరిరక్షణ చట్టం
గురుత్వాకర్షణను ఉదాహరణగా ఉపయోగించి సంభావ్య (సంప్రదాయ) శక్తుల పని. సంభావ్య (సంప్రదాయ) శక్తి క్షేత్రాల నిర్ధారణ. భావన పరిచయం సంభావ్య శక్తిశక్తి పని ద్వారా. శక్తి మరియు సంభావ్య శక్తి మధ్య సంబంధం
సంభావ్య శక్తి అనేది ఒక శక్తి, దీని పని దాని అప్లికేషన్ యొక్క బిందువు యొక్క ప్రారంభ మరియు చివరి స్థానంపై మాత్రమే ఆధారపడి ఉంటుంది మరియు పథం రకం లేదా ఈ బిందువు యొక్క చలన చట్టంపై ఆధారపడి ఉండదు. కన్జర్వేటివ్ శక్తులు అంటే ఏదైనా సంవృత మార్గంలో పని చేసే శక్తులు 0కి సమానం.
పొటెన్షియల్ (కన్సర్వేటివ్) ఫోర్స్ ఫీల్డ్: పొటెన్షియల్ అనేది ఫీల్డ్ యొక్క ఒక బిందువు నుండి మరొకదానికి వెళ్లేటప్పుడు దీని పని పథం యొక్క ఆకృతిపై ఆధారపడి ఉండదు. సంభావ్య క్షేత్రాలు గురుత్వాకర్షణ క్షేత్రం మరియు ఎలెక్ట్రోస్టాటిక్ ఫీల్డ్.
సంభావ్యత యొక్క భావన పరిచయం. శక్తుల పని ద్వారా శక్తి - సంభావ్య శక్తి - స్కేలార్ భౌతిక పరిమాణం, సంభావ్య శక్తి క్షేత్రంలో ఉన్న నిర్దిష్ట శరీరం (లేదా మెటీరియల్ పాయింట్) యొక్క శక్తి నిల్వను వర్గీకరిస్తుంది, ఇది క్షేత్ర శక్తుల పని కారణంగా శరీరం యొక్క గతి శక్తిని పొందేందుకు (మార్చడానికి) ఉపయోగించబడుతుంది.
శక్తి మరియు సంభావ్య శక్తి మధ్య సంబంధం - ప్రతి పాయింట్ సంభావ్య క్షేత్రంశరీరంపై పనిచేసే శక్తి యొక్క నిర్దిష్ట విలువ మరియు సంభావ్య శక్తి U యొక్క నిర్దిష్ట విలువకు అనుగుణంగా ఉంటుంది. దీని అర్థం శక్తి మరియు U మధ్య కనెక్షన్ ఉండాలి, మరోవైపు, dA = –dU,
గణిత బిందువుల సమితి, కదలిక మరియు స్థానం ముందుగా నిర్ణయించబడినవి (ఉదాహరణకు, సైకిల్, సౌర వ్యవస్థ).
వ్యవస్థ యొక్క ద్రవ్యరాశి ఇలా నిర్వచించబడింది అంకగణిత మొత్తంవ్యవస్థలో చేర్చబడిన పాయింట్ల ద్రవ్యరాశి.
CMS అనేది వ్యాసార్థం వెక్టార్‌ని ఉపయోగించి అంతరిక్షంలో స్థానం నిర్ణయించబడే పాయింట్.
2. మెటీరియల్ పాయింట్ యొక్క వ్యవస్థ యొక్క బాహ్య మరియు అంతర్గత శక్తులు. అంతర్గత శక్తుల లక్షణాలు.
బాండ్ ప్రతిచర్య శక్తులు పేర్కొన్న మరియు ప్రతిచర్య శక్తులుగా విభజించబడ్డాయి.
బాహ్య శక్తులు (F e) పరిశీలనలో ఉన్న సిస్టమ్‌లో చేర్చబడని శరీరాల నుండి పరిశీలనలో ఉన్న సిస్టమ్ యొక్క శరీరాలపై పనిచేసే శక్తులు.
అంతర్గత శక్తులు (F i) అనేది పరిశీలనలో ఉన్న సిస్టమ్‌లోని శరీరాల మధ్య పరస్పర చర్య చేసే శక్తులు.
3. పదార్థ వ్యవస్థ యొక్క అంతర్గత శక్తుల పని.
ఏదైనా కదలిక కోసం మార్చలేని వ్యవస్థ యొక్క అంతర్గత శక్తులు చేసిన పని మొత్తం సున్నాకి సమానం.
A మరియు B వ్యవస్థ యొక్క రెండు పాయింట్లుగా ఉండనివ్వండి.
R A మరియు R B - మాడ్యులస్‌లో సమానం మరియు వ్యతిరేకం
ఈ పాయింట్ల మధ్య పరస్పర చర్య యొక్క దిశ.
కదిలేటప్పుడు, పాయింట్లు A మరియు B లు ప్రాథమిక కదలికలు ds A మరియు ds Bలను అందుకుంటాయి.
కదలికలపై ds A II మరియు ds B II, శక్తుల చర్య యొక్క రేఖలకు లంబంగా, శక్తులు పనిని ఉత్పత్తి చేయవు. ఒక మార్పులేని వ్యవస్థ యొక్క పాయింట్లు A మరియు B మధ్య దూరం దాని కదలిక సమయంలో మారదు కాబట్టి, కదలికలు ds A I మరియు ds B I సమానంగా ఉండాలి మరియు అదే దిశలో దర్శకత్వం వహించాలి. ఇది దాన్ని అనుసరిస్తుంది.
4. వ్యవస్థ యొక్క ద్రవ్యరాశి కేంద్రం యొక్క కదలికపై సిద్ధాంతం. ద్రవ్యరాశి కేంద్రం యొక్క చలన పరిరక్షణ చట్టం.
ఇక్కడ c అనేది ద్రవ్యరాశి బిందువు యొక్క కేంద్రం
A c - ద్రవ్యరాశి కేంద్రం యొక్క త్వరణం
M - మొత్తం వ్యవస్థ యొక్క ద్రవ్యరాశి
ద్రవ్యరాశి కేంద్రం యొక్క చలన పరిరక్షణ చట్టం: మొత్తం అయితే, ద్రవ్యరాశి కేంద్రం యొక్క చలన పరిరక్షణ చట్టం.
=>
5. దృఢమైన శరీరం యొక్క అనువాద చలనం యొక్క అవకలన సమీకరణం.
అనువాద m*a c =∑F e i
a i =m i *V i మెక్ సిస్టమ్ యొక్క కదలికల సంఖ్య
m i – i-th పాయింట్ యొక్క ద్రవ్యరాశి
F e i - అన్నింటికీ ఫలితం బాహ్య శక్తులు
Q i =m i *V i i-th పాయింట్ యొక్క కదలికల సంఖ్య
సిస్టమ్ కోసం అన్ని సమీకరణాలను (1) జోడిద్దాం
…………
________
∑Q i =∑ (m i *V i)
Q=M*V c (3) మొత్తం సిస్టమ్ యొక్క కదలిక మొత్తం
M*r c = ∑(m i * r i) (2)
సమయానికి సంబంధించి సమీకరణం (2)ని వేరు చేద్దాం:
M*v c =∑(m i * r i)
6. మెటీరియల్ సిస్టమ్ యొక్క మొమెంటం మార్పుపై సిద్ధాంతం.
అవకలన రూపం
సమగ్ర రూపం
కదలిక మొత్తం ఎక్కడ ఉంది యాంత్రిక వ్యవస్థచివరి మరియు ప్రారంభ స్థానంలో
చివరి మరియు ప్రారంభ స్థానంలో ఉన్న పప్పుల మొత్తం
7. స్థిర అక్షం చుట్టూ తిరిగే దృఢమైన శరీరం యొక్క మొమెంటం.
ఈ కేంద్రం గుండా వెళుతున్న ఏదైనా అక్షం zపై ఏదైనా కేంద్రానికి సంబంధించి దృఢమైన శరీరం యొక్క కోణీయ మొమెంటం యొక్క ప్రొజెక్షన్‌ను ఈ అక్షానికి సంబంధించి శరీరం యొక్క కోణీయ మొమెంటం l z అంటారు:
8. మెటీరియల్ సిస్టమ్ యొక్క కోణీయ మొమెంటం మార్పుపై సిద్ధాంతం.
(1) మొత్తం (1)=0 అయితే, L 0 =const L 0 x =const.
ఏదైనా స్థిర అక్షం zకి సంబంధించి ఒక బిందువు యొక్క మొమెంటం యొక్క క్షణం l z యొక్క సమయ ఉత్పన్నం అదే అక్షానికి సంబంధించి బిందువుపై పనిచేసే శక్తి F యొక్క క్షణానికి సమానం.
(1) నుండి పరిణామం: ఒక బిందువుపై పనిచేసే శక్తి కొంత సమయం వరకు ఏదైనా అక్షానికి సంబంధించి ఉంటే సున్నాకి సమానం, ఈ అక్షానికి సంబంధించి ఇచ్చిన బిందువు యొక్క కోణీయ మొమెంటం ఈ సమయంలో స్థిరంగా ఉంటుంది.
9. శరీరం యొక్క జడత్వం యొక్క క్షణం యొక్క భావన. జడత్వం యొక్క వ్యాసార్థం.
ఏదైనా అక్షం zకి సంబంధించి దృఢమైన శరీరం యొక్క జడత్వం యొక్క క్షణం (జడత్వం యొక్క అక్షసంబంధ క్షణం) స్కేలార్ పరిమాణం, మొత్తానికి సమానం, ఇచ్చిన అక్షానికి దాని దూరం r k యొక్క చదరపు ద్వారా శరీరం యొక్క ప్రతి బిందువు యొక్క ద్రవ్యరాశి m k యొక్క ఉత్పత్తిని కలిగి ఉంటుంది.
అనంతమైన సన్నని రింగ్ యొక్క జడత్వం యొక్క క్షణం ( పదార్థం సర్కిల్) దాని భ్రమణ అక్షానికి సంబంధించి దాని ద్రవ్యరాశి దాని వ్యాసార్థం యొక్క చతురస్రానికి సమానం:
అక్షానికి సంబంధించి శరీరం యొక్క జడత్వం యొక్క క్షణం ఒక నిర్దిష్ట విభాగం యొక్క పొడవు యొక్క చదరపు ద్వారా శరీర ద్రవ్యరాశి యొక్క ఉత్పత్తిగా సూచించబడుతుంది, ఇది సంబంధిత అక్షానికి సంబంధించి శరీరం యొక్క జడత్వం యొక్క వ్యాసార్థం అని పిలుస్తారు:
ఏదైనా అక్షానికి సంబంధించి శరీరం యొక్క జడత్వం యొక్క వ్యాసార్థం ద్వారా, అటువంటి అనంతమైన సన్నని రింగ్ యొక్క వ్యాసార్థాన్ని మనం అర్థం చేసుకోవచ్చు, దీనిలో రింగ్ యొక్క జడత్వం యొక్క క్షణాన్ని పొందడానికి శరీరం యొక్క మొత్తం ద్రవ్యరాశి M ను కేంద్రీకరించడం అవసరం, క్షణం సమానంఈ అక్షానికి సంబంధించి శరీరం యొక్క జడత్వం.
10. జడత్వం బంధువు యొక్క క్షణం సమాంతర అక్షాలు(హ్యూజెన్స్-స్టెయిన్ సిద్ధాంతం).
ఏదైనా అక్షానికి సంబంధించి శరీరం యొక్క జడత్వం యొక్క క్షణం క్షణం సమానంఈ శరీర బంధువు యొక్క జడత్వం కేంద్ర అక్షం, ఇచ్చిన అక్షానికి సమాంతరంగా, శరీర ద్రవ్యరాశి యొక్క ఉత్పత్తికి మరియు ఈ అక్షాల మధ్య దూరం యొక్క వర్గానికి జోడించబడుతుంది.
హ్యూజెన్స్-స్టెయిన్ సిద్ధాంతం.
11. సజాతీయ శరీరాల జడత్వం యొక్క అక్షసంబంధ క్షణాలు: రాడ్, బోలు మరియు ఘన సిలిండర్లు, బంతి.
స్థిరమైన క్రాస్-సెక్షన్ యొక్క సన్నని స్ట్రెయిట్ రాడ్ యొక్క జడత్వం యొక్క క్షణం
సమరూపత యొక్క కేంద్ర అక్షానికి సంబంధించి సజాతీయ సూటిగా ఉండే సన్నని రాడ్ యొక్క జడత్వం యొక్క క్షణం దాని పొడవు యొక్క స్క్వేర్ ద్వారా రాడ్ యొక్క ద్రవ్యరాశి యొక్క ఉత్పత్తిలో 1/12కి సమానం.
ఘన యొక్క జడత్వం యొక్క క్షణం
రౌండ్ సిలిండర్.
దాని భ్రమణ అక్షం గురించి సజాతీయ ఘన వృత్తాకార సిలిండర్ యొక్క జడత్వం యొక్క క్షణం సగానికి సమానంసిలిండర్ యొక్క ద్రవ్యరాశి మరియు దాని వ్యాసార్థం యొక్క చతురస్రం యొక్క ఉత్పత్తి.
బోలు వృత్తాకార సిలిండర్ యొక్క జడత్వం యొక్క క్షణం.
దాని భ్రమణ అక్షానికి సంబంధించి సజాతీయ బోలు రౌండ్ సిలిండర్ యొక్క జడత్వం యొక్క క్షణం దాని బయటి మరియు లోపలి రేడియాల చతురస్రాల మొత్తం ద్వారా సిలిండర్ ద్రవ్యరాశి యొక్క సగం ఉత్పత్తికి సమానం.
12. స్థిర అక్షం చుట్టూ దృఢమైన శరీరం యొక్క భ్రమణ డైనమిక్ సమీకరణం.
శరీరం యొక్క భ్రమణ అక్షం మరియు శరీరం యొక్క కోణీయ త్వరణానికి సంబంధించి శరీరం యొక్క జడత్వం యొక్క క్షణం యొక్క ఉత్పత్తి అదే అక్షానికి సంబంధించి శరీరానికి వర్తించే అన్ని బాహ్య శక్తుల యొక్క ప్రధాన క్షణానికి సమానం.
సమీకరణం (1)ని డైనమిక్ సమీకరణం అంటారు భ్రమణ ఉద్యమందృఢమైన శరీరం.
13. పదార్థ వ్యవస్థ యొక్క గతి శక్తిలో మార్పుపై సిద్ధాంతం.
ఒక నిర్దిష్ట స్థానభ్రంశం వద్ద యాంత్రిక వ్యవస్థ యొక్క గతి శక్తిలో మార్పు ఈ స్థానభ్రంశం వద్ద వ్యవస్థ యొక్క భౌతిక పాయింట్లపై పనిచేసే బాహ్య మరియు అంతర్గత శక్తుల పని మొత్తానికి సమానం.
T అనేది చివరి క్షణంలో ఉన్న గతిశక్తి
T 0 - గతి శక్తి ఇన్ ప్రారంభ క్షణంసమయం
∑А i e +∑А i j - బాహ్య మరియు అంతర్గత శక్తుల పని మొత్తం
పరిస్థితి: ప్రారంభ మరియు ముగింపు స్థానాలు అవసరం.
14. పదార్థ వ్యవస్థ యొక్క గతి శక్తి. కోనిగ్ సిద్ధాంతం.
యాంత్రిక వ్యవస్థ అనేది వివిధ కనెక్షన్ల ద్వారా పరస్పరం అనుసంధానించబడిన శరీరాల సమితి.
ప్రతి శరీరం యొక్క స్థానాలు మరియు కదలికలు పరస్పరం నిర్ణయించబడతాయి. యాంత్రిక వ్యవస్థ యొక్క గతి శక్తి అనేది వ్యవస్థలో చేర్చబడిన i-th శరీరం యొక్క గతి శక్తుల యొక్క అంకగణిత మొత్తంగా నిర్వచించబడింది.
కోనిగ్ సిద్ధాంతం:
యాంత్రిక వ్యవస్థ యొక్క గతి శక్తి వ్యవస్థ యొక్క ద్రవ్యరాశి కేంద్రం యొక్క గతి శక్తి మొత్తానికి సమానం, దీని ద్రవ్యరాశి మొత్తం వ్యవస్థ యొక్క ద్రవ్యరాశికి సమానం మరియు దానిలోని ఈ వ్యవస్థ యొక్క గతి శక్తికి సమానం సాపేక్ష చలనంద్రవ్యరాశి కేంద్రానికి సంబంధించి.
15. వద్ద ఒక ఘన శరీరం యొక్క గతి శక్తి వివిధ రకములుఅతని కదలికలు.
శరీరం యొక్క గతి శక్తి ఏ రకమైన కదలికను బట్టి నిర్ణయించబడుతుంది.
1) ముందుకు కదలిక
2) భ్రమణ ఉద్యమం
3) విమానం సమాంతర కదలిక
16. దృఢమైన శరీరం యొక్క డైనమిక్ ప్లేన్-సమాంతర చలనం.
17. మెటీరియల్ పాయింట్ కోసం డి'అలెంబర్ట్ సూత్రం.
ఒక బిందువుకు వర్తించే అన్ని శక్తుల రేఖాగణిత మొత్తం మరియు ఈ బిందువు యొక్క జడత్వ బలం సున్నాకి సమానం. , ఎక్కడ
18. మెటీరియల్ సిస్టమ్ కోసం డి'అలెంబర్ట్ సూత్రం.
(i=1,2,...,n), పాయింట్‌కి వర్తింపజేసిన పేర్కొన్న శక్తుల ఫలితం ఎక్కడ ఉంటుంది; -ఈ పాయింట్‌కి వర్తించే బంధాల ప్రతిచర్యల ఫలితం; -పదార్థ బిందువు యొక్క జడత్వం శక్తి.
సమీకరణం ఏ సమయంలోనైనా నిర్దేశిత శక్తుల ఫలితం యొక్క రేఖాగణిత మొత్తం, కనెక్షన్ల యొక్క ఫలిత ప్రతిచర్య మరియు నాన్-ఫ్రీ మెకానికల్ సిస్టమ్ యొక్క ప్రతి పదార్థ బిందువుకు జడత్వ శక్తి సున్నాకి సమానం అని చూపిస్తుంది.
19. ఖచ్చితంగా దృఢమైన శరీరం యొక్క ప్రధాన వెక్టర్ మరియు జడత్వం యొక్క ప్రధాన క్షణం.
ముందుకు ఉద్యమం
ప్రధాన వెక్టర్ అనేది ప్రధాన క్షణం, ఇక్కడ J z అనేది భ్రమణ అక్షానికి సంబంధించి శరీరం యొక్క జడత్వం యొక్క క్షణం, ε అనేది శరీరం యొక్క కోణీయ త్వరణం యొక్క బీజగణిత విలువ.
20. మెకానికల్ కనెక్షన్లు, నిలుపుదల మరియు నాన్-రిటైనింగ్ కనెక్షన్లు, స్టేషనరీ మరియు నాన్-స్టేషనరీ, హెడ్ మరియు నాన్-హెడ్.
కనెక్షన్లు మరొక శరీరం యొక్క కదలిక స్వేచ్ఛను పరిమితం చేసే శరీరాలు.
OA=l – ఫ్లెక్సిబుల్ థ్రెడ్ - దృఢమైన కనెక్షన్ సమీకరణం
కనెక్షన్ల వర్గీకరణ:
1) తల - సమీకరణాలు లేని కనెక్షన్లు
కోఆర్డినేట్ అవకలనలు.
2) తల లేనివి - సమీకరణాలను కలిగి ఉన్న కనెక్షన్లు
కోఆర్డినేట్ అవకలనలు.
స్టేషనరీ (వీటి సమీకరణాలు కలిగి ఉండవు
పారామితి t.)
నాన్-స్టేషనరీ (వీటి యొక్క సమీకరణాలు కలిగి ఉంటాయి
పారామితి t.)
నిలుపుకోవడం (సమీకరణం నిర్ణయించబడుతుంది
సమానత్వం).
నాన్-రిటైనింగ్ (సమీకరణం అసమానత ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది).
21. సాధ్యమైన కదలికలు.
సిస్టమ్పై విధించిన కనెక్షన్ల ద్వారా అనుమతించబడిన శరీరం యొక్క కదలిక సాధ్యమైన కదలిక.
ఒక బిందువు యొక్క సాధ్యమయ్యే కదలిక సాధారణంగా దాని వాస్తవ ప్రాథమిక కదలికకు భిన్నంగా ఒక చిహ్నంతో సూచించబడుతుంది.
22. సాధ్యం స్థానభ్రంశంపై శక్తి యొక్క ప్రాథమిక పని. ఆదర్శ కనెక్షన్లు.
సిస్టమ్‌లోని పాయింట్ల స్థానభ్రంశాలకు సంబంధించి ప్రాథమిక ప్రతిచర్య మొత్తం సున్నాకి సమానమైన కనెక్షన్‌లను ఆదర్శ కనెక్షన్లు అంటారు. ఆదర్శ కనెక్షన్లు అన్నీ స్థిరంగా ఉంటాయి రేఖాగణిత కనెక్షన్లుఘర్షణ లేకుండా.
మృదువైన ఉపరితలం (ప్రతిచర్య సాధారణంగా ఉపరితలంపైకి మళ్ళించబడుతుంది, అటువంటి బంధం యొక్క కదలిక టాంజెంట్ ప్లేన్‌లో మాత్రమే సాధ్యమవుతుంది, అనగా, ఎల్లప్పుడూ బాండ్ రియాక్షన్ యొక్క దిశకు లంబంగా మరియు పని = 0)
స్థిర కీలు (దీని యొక్క ప్రతిచర్య యొక్క అప్లికేషన్ పాయింట్
సిస్టమ్ ఎలా కదిలినా కనెక్షన్ చలనం లేకుండా ఉంటుంది
మరియు ప్రతిచర్య యొక్క పని సున్నా).
రెండు శరీరాలను కలుపుతూ ఒక కదిలే కీలు (ప్రతిచర్య R 1 మరియు R 2
ఈ శరీరాలు ఒకదానికొకటి పరిమాణంలో సమానంగా ఉంటాయి మరియు ఒక దిశలో నిర్దేశించబడతాయి
నేరుగా ఎదురుగా, ఏదైనా ప్రాథమిక కోసం
ఈ కనెక్షన్ యొక్క ప్రతిచర్యల యొక్క అప్లికేషన్ పాయింట్‌ను కదిలించడం, వాటి మొత్తం
ప్రాథమిక పని 0).
23. సాధ్యం కదలికల సూత్రం. లాగ్రాంజ్ సూత్రం.
వ్యవస్థను సమతుల్యం చేయడానికి ఆదర్శ కనెక్షన్లుసమతౌల్య స్థానం నుండి వ్యవస్థ యొక్క ఏదైనా స్థానభ్రంశం కోసం దానికి వర్తించే అన్ని క్రియాశీల శక్తుల ప్రాథమిక పనుల మొత్తం సున్నాకి సమానంగా ఉండటం అవసరం మరియు సరిపోతుంది.
ప్రాథమిక ఊహ: అన్ని స్థానభ్రంశాలు అనంతమైనవి (δS, δφ).
పాయింట్ల కదలికలు రెక్టిలినియర్‌గా భావించబడతాయి.
24. డి'అలెంబర్ట్ - లాగ్రాంజ్ సూత్రం ( సాధారణ సమీకరణండైనమిక్ సిస్టమ్).
అన్ని క్రియాశీల లేదా ఇవ్వబడిన శక్తుల ప్రాథమిక పనుల మొత్తం మరియు అన్ని జడత్వ శక్తుల ప్రాథమిక పనుల మొత్తం సున్నా.
డైనమిక్స్ యొక్క సాధారణ సమీకరణం.
25. సాధారణీకరించిన కోఆర్డినేట్, వేగం మరియు త్వరణం.
స్వతంత్ర పరిమాణాలు, యాంత్రిక వ్యవస్థ యొక్క అన్ని పాయింట్ల స్థానాన్ని ప్రత్యేకంగా నిర్ణయించే స్పెసిఫికేషన్‌లను ఈ వ్యవస్థ యొక్క సాధారణీకరించిన కోఆర్డినేట్లు అంటారు. హోలోనోమిక్ సిస్టమ్స్ కోసం, యాంత్రిక వ్యవస్థ యొక్క స్వతంత్ర సాధారణీకరించిన కోఆర్డినేట్ల సంఖ్య ఈ వ్యవస్థ యొక్క స్వేచ్ఛ డిగ్రీల సంఖ్యకు సమానం.
సాధారణీకరించిన కోఆర్డినేట్ల సమయ ఉత్పన్నాలను సాధారణీకరించిన వేగాలు అంటారు.
సాధారణీకరించిన వేగాల సమయ ఉత్పన్నాలను సాధారణీకరించిన త్వరణాలు అంటారు.
26. వారి గణన కోసం సాధారణీకరించిన శక్తులు మరియు పద్ధతులు.
సాధారణీకరించిన కోఆర్డినేట్‌కు సంబంధించిన సాధారణీకరించిన బలాన్ని అంటారు స్కేలార్ పరిమాణం, సంబంధం ద్వారా నిర్వచించబడింది ప్రాథమిక పని క్రియాశీల శక్తులుఈ ఇంక్రిమెంట్ విలువకు కోఆర్డినేట్ యొక్క ప్రాథమిక పెంపు వల్ల యాంత్రిక వ్యవస్థ యొక్క కదలికపై.
సాధారణీకరించిన శక్తులు సాధారణ బాహ్య మరియు అంతర్గత శక్తులుగా విభజించబడ్డాయి.
27. సాధారణీకరించిన కోఆర్డినేట్లలో యాంత్రిక వ్యవస్థ కోసం సమతౌల్య స్థితి.
ఏదైనా శక్తుల వ్యవస్థకు, సమతౌల్య పరిస్థితులు రూపాన్ని కలిగి ఉంటాయి
శక్తుల యొక్క సాంప్రదాయిక వ్యవస్థ కోసం సమతౌల్య పరిస్థితులు రూపాన్ని కలిగి ఉంటాయి
28. రెండవ రకమైన లాగ్రాంజ్ సమీకరణం.
(j=1, 2, …, లు)
ఈ సమీకరణాలు అవకలన సమీకరణాలుసిస్టమ్ q 1, q 2, ..., q s యొక్క సాధారణీకరించిన కోఆర్డినేట్‌లకు సంబంధించి రెండవ క్రమం.
29. పొటెన్షియల్ ఫోర్స్ ఫీల్డ్‌లో కదులుతున్న రెండవ రకమైన లాగ్రాంజ్ సమీకరణం.
ఉంటే పదార్థం వ్యవస్థక్షేత్ర శక్తుల ప్రభావంతో సంభావ్య శక్తి క్షేత్రంలో కదులుతుంది (సిస్టమ్పై విధించిన అన్ని కనెక్షన్లు అనువైనవి), అప్పుడు సాధారణీకరించిన శక్తులను సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించవచ్చు
Q i = - dP/dq i
L=T-P (కైనటిక్ పొటెన్షియల్) ఫంక్షన్‌ని పరిగణలోకి తీసుకుందాం.
ఈ ఫంక్షన్‌ను లాగ్రాంజ్ ఫంక్షన్ అంటారు. ఆపై దానిని రెండవ రకమైన లాగ్రాంజ్ సమీకరణంలోకి మార్చడం:
వ్యవస్థ లుతేడా. అనే సమీకరణాలు 2వ రకమైన లాగ్రాంజ్ సమీకరణాలు. ఈ సమీకరణాలు ప్రదర్శించబడ్డాయి. అనేది ఒక తేడా. రెండవ ఆర్డర్ సాపేక్ష సమీకరణాలు. సాధారణీకరించిన అక్షాంశాలు వ్యవస్థలు, ..., ఈ సమీకరణాలను సమగ్రపరచడం మరియు ప్రారంభం ప్రకారం నిర్ణయించడం. స్థిరమైన ఏకీకరణ కోసం పరిస్థితులు, మేము పొందుతాము లు eq. బొచ్చు కదలికలు సాధారణీకరించిన అక్షాంశాలలో వ్యవస్థలు:
30. ఉచిత కంపనాలుఒక స్థాయి స్వేచ్ఛతో ఒకే సామూహిక వ్యవస్థ.
ఉచిత కంపనాల అవకలన సమీకరణం.
ఉచిత డోలనం కాలం
కార్గో మోషన్ యొక్క సమీకరణం
ఉచిత వైబ్రేషన్ ఫ్రీక్వెన్సీ
31. బలవంతంగా కంపనాలు.
శక్తులను పునరుద్ధరించడం మరియు భంగపరిచే ఏకకాల చర్యతో, ఒక పదార్థ పాయింట్ సంక్లిష్టతను నిర్వహిస్తుంది ఆసిలేటరీ మోషన్, ఇది ఉచిత మరియు సూపర్‌పోజిషన్ యొక్క ఫలితం బలవంతంగా డోలనాలుపాయింట్లు.
బలవంతంగా డోలనాలు ఆధారపడి ఉండవు ప్రారంభ పరిస్థితులుపాయింట్ ఉద్యమం.
తక్కువ పౌనఃపున్యం యొక్క బలవంతపు డోలనాల సమీకరణం.
తక్కువ ఫ్రీక్వెన్సీ డోలనం వ్యాప్తి
అధిక ఫ్రీక్వెన్సీ యొక్క బలవంతపు డోలనాల సమీకరణం
అధిక ఫ్రీక్వెన్సీ డోలనం వ్యాప్తి
A 0 విలువకు బలవంతంగా డోలనం A B యొక్క వ్యాప్తి యొక్క η నిష్పత్తిని డైనమిజం కోఎఫీషియంట్ అంటారు.
32. రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ డిగ్రీల స్వేచ్ఛతో వ్యవస్థల డోలనాలు. ఉచిత మరియు సహజ కంపనాలు.
సాధారణీకరించిన కోఆర్డినేట్లలో ఒకదానిలో మాత్రమే మార్పుకు సంబంధించిన డోలనాలను పిలుస్తారు. స్వంతం. ఉచిత వైబ్రేషన్‌లు వాటి స్వంత వాటి జోడింపు ఫలితంగా ఉంటాయి. ఒక డిగ్రీ స్వేచ్ఛ ఉన్న సిస్టమ్‌లు ఒకే వైబ్రేషన్ ఫ్రీక్వెన్సీని కలిగి ఉంటాయి. అందువల్ల, వారికి, ఉచిత మరియు సహజ కంపనాలు సమానంగా ఉంటాయి. రెండు-డిగ్రీ-ఆఫ్-ఫ్రీడమ్ సిస్టమ్ రెండు ఫ్రీక్వెన్సీలను కలిగి ఉంటుంది సహజ కంపనాలు. అదేవిధంగా, n-డిగ్రీల స్వేచ్ఛ కలిగిన సిస్టమ్ సహజ డోలనాల n-పౌనఃపున్యాలను కలిగి ఉంటుందని చూపవచ్చు, అనగా. ఫ్రీక్వెన్సీల సంఖ్యకు స్వేచ్ఛ డిగ్రీల సంఖ్య సమానంగా ఉంటుంది.
33. పాయింట్ల వద్ద ప్రభావం యొక్క దృగ్విషయం. ఇంపాక్ట్ ఫోర్స్ మరియు ఇంపాక్ట్ ఇంపల్స్.
ప్రభావం అనేది ఒక దృగ్విషయం, దీనిలో శరీరాల పరస్పర చర్య ఫలితంగా, వాటి వేగం చాలా తక్కువ వ్యవధిలో పరిమిత పరిమాణంలో మారుతుంది. నియమం ప్రకారం, ప్రభావ దృగ్విషయం సంప్రదించే శరీరాల ప్లాస్టిక్ వైకల్యంతో కూడి ఉంటుంది, దీని ఫలితంగా యాంత్రిక శక్తి ఉష్ణ శక్తిగా మార్చబడుతుంది. అందువల్ల, శరీరాల ప్రభావం గురించి సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు, గతి శక్తిలో మార్పుపై సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించలేరు. ఈ సందర్భాలలో, మొమెంటం మరియు కోణీయ మొమెంటం మార్పుపై సిద్ధాంతం వర్తించబడుతుంది, ఇది సమగ్ర రూపంలో వ్రాయబడుతుంది.
ప్రభావం యొక్క దృగ్విషయం అనేది ఒక దృగ్విషయం, దీనిలో అతి తక్కువ వ్యవధిలో, శరీరంపై బిందువుల వేగం పరిమిత పరిమాణంలో మారుతుంది (గోడను కొట్టే బంతి మొదలైనవి)
టీవీ కదలికల సంఖ్యలో చివరి మార్పు. అతితక్కువ తక్కువ ప్రభావ సమయంలో శరీరం ఏర్పడుతుంది, ఎందుకంటే ప్రభావం సమయంలో అభివృద్ధి చెందే శక్తుల పరిమాణాలు చాలా పెద్దవిగా ఉంటాయి, దీని ఫలితంగా ప్రభావం సమయంలో ఈ శక్తుల ప్రేరణలు పరిమిత విలువలుగా ఉంటాయి. అలాంటి శక్తులు అంటారు. - తక్షణం లేదా షాక్.
1) ప్రభావం సమయంలో తక్షణం కాని శక్తుల చర్యను విస్మరించవచ్చు.
2) తరలించు మేటర్. ప్రభావం సమయంలో పాయింట్లను విస్మరించవచ్చు.
3) పదార్థంపై ప్రభావం శక్తి యొక్క ఫలితం. పాయింట్ వెలాసిటీ వెక్టర్ ప్రభావం సమయంలో పరిమిత మార్పు ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుంది, సమీకరణం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది - బి
34. ప్రభావంపై పదార్థం పాయింట్ యొక్క మొమెంటం మార్పుపై సిద్ధాంతం.
ప్రభావం సమయంలో యాంత్రిక వ్యవస్థ యొక్క మొమెంటం మార్పు సమానంగా ఉంటుంది రేఖాగణిత మొత్తంఅన్ని బాహ్య షాక్ పప్పులు, సిస్టమ్ యొక్క పాయింట్లకు వర్తించబడుతుంది.
(1)
సమీకరణం బొచ్చు యొక్క కదలికల సంఖ్యలో మార్పు గురించి సిద్ధాంతాన్ని వ్యక్తపరుస్తుంది. ప్రభావ వ్యవస్థలు:
బొచ్చు కదలికల సంఖ్యను మార్చడం. ప్రభావం సమయంలో వ్యవస్థలు TO= అన్ని బాహ్య షాక్ ప్రేరణల రేఖాగణిత మొత్తం ఎస్వ్యవస్థకు జోడించబడింది.
కదలికల సంఖ్య మొత్తం వ్యవస్థ యొక్క ద్రవ్యరాశి పరంగా వ్యక్తీకరించవచ్చు mమరియు వ్యవస్థ యొక్క ద్రవ్యరాశి కేంద్రం యొక్క వేగం మరియు సూత్రాల ప్రకారం
ఈ సమీకరణాలను (1)కి ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం మరియు ప్రభావంపై ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వేగంలో మార్పును నిర్ణయించే ఈ సమీకరణాన్ని పొందండి.
బాహ్య షాక్ పప్పులు లేనప్పుడు మనకు ఇవి ఉన్నాయి:
బొచ్చు మీద నటించేటప్పుడు. అంతర్గత షాక్ ప్రేరణల వ్యవస్థ, వ్యవస్థ యొక్క కదలిక మొత్తం మారదు.
పుట 1
మనం వ్యవకలనం చేయకుండా, సమీకరణాలను (6.1) జోడించినట్లయితే, మనం మొమెంటం యొక్క పరిరక్షణ నియమాన్ని పొందుతాము.
ఇది సమయం లో స్థిరత్వం యొక్క చట్టం వలె పూర్తిగా అధికారికంగా తిరిగి వ్రాయబడుతుంది
కొంత వేగం Vc:
వేగంతో కదులుతున్న రిఫరెన్స్ సిస్టమ్‌కి వెళ్దాం (6.4). వేగం
1 మరియు 2 కణాలు రూపాంతరం చెందుతాయి క్రింది విధంగా:
అంటే కొత్త ఫ్రేమ్ ఆఫ్ రిఫరెన్స్‌లో అవి బంధువు యొక్క వేగం ద్వారా వ్యక్తీకరించబడతాయి
ఉద్యమాలు. ఒక నిర్దిష్ట బిందువు యొక్క వ్యాసార్థం వెక్టర్‌తో వేగం Vcని అనుబంధిద్దాం ఆర్దీనితో:
నిర్వచనం (6.6) నుండి తెలిసిన దానితో సమానంగా ఉంటుందని గమనించండి పాఠశాల కోర్సు
గురుత్వాకర్షణ కేంద్రం యొక్క భౌతిక శాస్త్ర భావన. దానిని నిరూపించడానికి, ప్రారంభానికి వెళ్దాం
పాయింట్‌కి కోఆర్డినేట్ చేస్తుంది ఆర్తో. అప్పుడు, పూర్తిగా (6.5) సారూప్యతతో, మేము పొందుతాము
ఈ విధంగా,
(గురుత్వాకర్షణ కేంద్రం ద్రవ్యరాశి మరియు "భుజం" యొక్క ఉత్పత్తుల సమానత్వం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది). కానీ నిర్వచనాలు (6.4) మరియు (6.6) మరింత సరైనవి మరియు సార్వత్రికమైనవి, ఎందుకంటే అవి ఎన్ని మెటీరియల్ పాయింట్లకు ఎటువంటి సమస్యలు లేకుండా సాధారణీకరించబడతాయి మరియు అందువల్ల
స్థూల శరీరాలు. మెకానిక్స్‌లో పాయింట్ సి - మరియు సాధారణంగా భౌతిక శాస్త్రంలో - సాధారణంగా అంటారు
మెటీరియల్ పాయింట్ల వ్యవస్థ యొక్క ద్రవ్యరాశి కేంద్రం లేదా జడత్వం కేంద్రం.
కొన్నింటిని లోపలికి అనుమతించండి జడత్వ వ్యవస్థ m 1, m 2, ... m N ద్రవ్యరాశితో పరస్పర చర్య చేసే పదార్థ బిందువుల స్థానం కోఆర్డినేట్లు వ్యాసార్థం వెక్టర్‌లను ఉపయోగించి t సమయం యొక్క ప్రతి క్షణంలో పేర్కొనబడతాయి ఆర్ 1(టి), ఆర్ 2 (టి),... ఆర్ N(t)
(Fig. 6.3 a చూడండి). అప్పుడు మెటీరియల్ పాయింట్ల యొక్క పరిగణించబడిన వ్యవస్థ యొక్క ద్రవ్యరాశి కేంద్రం అటువంటి బిందువు దీని వ్యాసార్థం వెక్టర్ ఆర్ ఆర్ 1(టి), ఆర్ 2 (టి),... ఆర్ N (t) ప్రకారం మెటీరియల్ పాయింట్లు
లో దానిని నొక్కి చెప్పుదాము సాధారణ కేసుద్రవ్యరాశి కేంద్రం యొక్క స్థానం ఏకీభవించదు
సిస్టమ్ యొక్క ఏదైనా మెటీరియల్ పాయింట్ల స్థానం (Fig. 6.3 బి చూడండి),
అయితే కొన్నిసార్లు ఇది జరగవచ్చు.
అన్నం. 6.3, మెటీరియల్ పాయింట్ల వ్యవస్థ యొక్క ద్రవ్యరాశి కేంద్రం అటువంటి బిందువు దీని వ్యాసార్థం వెక్టర్ ఆర్ c(t) వ్యాసార్థం వెక్టర్స్ పరంగా వ్యక్తీకరించబడింది ఆర్ 1(టి), ఆర్ 2 (టి),... ఆర్ N(t) మెటీరియల్ పాయింట్లు
సమయానికి సంబంధించి సమానత్వం (6.7) యొక్క ఎడమ మరియు కుడి భుజాలను వేరు చేద్దాం.
సమయానికి సంబంధించి వ్యాసార్థం వెక్టర్ యొక్క ఉత్పన్నం, నిర్వచనం ప్రకారం, వేగం, కాబట్టి
ఫలితంగా మనకు ఏమి లభిస్తుంది
ఇక్కడ Vc అనేది ద్రవ్యరాశి కేంద్రం యొక్క వేగం, v 1, v 2,... v N అనేది మెటీరియల్ పాయింట్ల వేగం. పరిమాణం m 1 v 1 in (6.8) అనేది మొదటి మెటీరియల్ పాయింట్ యొక్క మొమెంటం, m 2 V 2 అనేది రెండవ పాయింట్ యొక్క మొమెంటం మరియు
మొదలైనవి అందువల్ల, వ్యక్తీకరణ యొక్క వంకర బ్రాకెట్లలో (6.8) అనేది పరిశీలనలో ఉన్న మెటీరియల్ పాయింట్ల వ్యవస్థ యొక్క ప్రేరణల మొత్తం, అంటే మొత్తం సిస్టమ్ యొక్క ప్రేరణ P. తత్ఫలితంగా, సమానత్వం (6.8) రూపంలో తిరిగి వ్రాయబడుతుంది
P = (m 1 + m 2 + .... + m N ) V c. (6.9)
ద్రవ్యరాశి కేంద్రం విశ్రాంతిగా ఉన్న ఫ్రేమ్ ఆఫ్ రిఫరెన్స్‌లో,
మెటీరియల్ పాయింట్ల సాపేక్ష చలనంపై మనకు ఆసక్తి లేకుంటే, మొత్తం సిస్టమ్ యొక్క కదలికపై ఆసక్తి ఉంటే, అప్పుడు మొత్తం వ్యవస్థను Vc వేగంతో కదులుతున్న ఒక మెటీరియల్ పాయింట్‌గా పరిగణించవచ్చు మరియు మొమెంటం P కలిగి ఉంటుంది. ద్రవ్యరాశిని గుర్తుంచుకోండి. మెటీరియల్ పాయింట్ యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం, ప్రేరణ మరియు వేగం మధ్య అనుపాతత యొక్క గుణకం. కాబట్టి, వంకర బ్రాకెట్లలో జతచేయబడిన సమానత్వం (6.9)లో అనుపాతత యొక్క గుణకం, పరిశీలనలో ఉన్న సిస్టమ్ యొక్క ద్రవ్యరాశి M:
M = m 1 + m 2 +…. + m N , (6.10)
అంటే, మెటీరియల్ పాయింట్ల వ్యవస్థ యొక్క ద్రవ్యరాశి ఈ బిందువుల ద్రవ్యరాశి మొత్తానికి సమానం. సంబంధం (6.10), దీని ప్రకారం ద్రవ్యరాశి సంక్లిష్ట శరీరందాని భాగాల ద్రవ్యరాశి మొత్తానికి సమానం, మనకు సుపరిచితమైనది మరియు స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది. అయితే, మనం తరువాత చూడబోతున్నట్లుగా, సాపేక్ష మెకానిక్స్‌లో (అనగా, మరింత సాధారణ సందర్భంలో) పరిస్థితి పూర్తిగా భిన్నంగా ఉంటుంది. న్యూటోనియన్ మెకానిక్స్ యొక్క పరిమిత సందర్భంలో, సమానత్వం (6.10). ప్రత్యేక సంధర్భంఖచ్చితంగా
భౌతిక చట్టం- ద్రవ్యరాశి పరిరక్షణ చట్టం.
బాహ్య శక్తులు లేనప్పుడు, అనగా ఒక క్లోజ్డ్ సిస్టమ్ కోసం, వ్యవస్థ యొక్క అన్ని శరీరాల ప్రేరణల మొత్తం సమయం మీద ఆధారపడి ఉండదు; తరువాత (6.9) నుండి పదార్థ బిందువుల యొక్క క్లోజ్డ్ సిస్టమ్ యొక్క ద్రవ్యరాశి కేంద్రం యొక్క చలనం యొక్క ముఖ్యమైన ఆస్తిని అనుసరిస్తుంది:
అనగా మెటీరియల్ పాయింట్ల క్లోజ్డ్ సిస్టమ్ యొక్క ద్రవ్యరాశి కేంద్రం చలనం లేనిది లేదా
ఏకరీతిగా మరియు సరళంగా కదులుతుంది, అయితే ప్రతి మెటీరియల్ పాయింట్లు పని చేయగలవు సంక్లిష్ట ఉద్యమం. పై ప్రకటనను కొన్నిసార్లు ద్రవ్యరాశి కేంద్రం యొక్క కదలికపై సిద్ధాంతం అని పిలుస్తారు.
మేము ఇప్పుడు గతి శక్తి యొక్క క్రింది ముఖ్యమైన ఆస్తిని నిరూపిస్తాము:
పదార్థ బిందువుల వ్యవస్థ యొక్క గతి శక్తి T అనేది వ్యవస్థ యొక్క మొత్తం ద్రవ్యరాశి యొక్క గతిశక్తి మొత్తానికి సమానం, మానసికంగా దాని ద్రవ్యరాశి మధ్యలో కేంద్రీకృతమై దానితో కదులుతుంది మరియు అదే వ్యవస్థ యొక్క గతి శక్తి T దానిలో ఉంటుంది. ద్రవ్యరాశి కేంద్రంతో కదిలే సూచన వ్యవస్థకు సంబంధించి సాపేక్ష చలనం:
ఇక్కడ M = m 1 + m 2 + ... + m N. Vc అనేది అసలు రిఫరెన్స్ ఫ్రేమ్‌లోని ద్రవ్యరాశి కేంద్రం యొక్క వేగం, v i అనేది పాయింట్ Cతో కలిసి కదులుతున్న రిఫరెన్స్ ఫ్రేమ్‌కి సంబంధించి i-th మెటీరియల్ పాయింట్ యొక్క వేగం. అటువంటి వ్యవస్థను సాధారణంగా "సెంటర్ ఆఫ్ మాస్ సిస్టమ్" అంటారు. , “సెంటర్ ఆఫ్ జడత్వ వ్యవస్థ” లేదా కేవలం “సి-సిస్టమ్” . (ఈ వ్యవస్థ సి-సిస్టమ్‌తో ఏకీభవించనట్లయితే, సమస్య ఎదురయ్యే రిఫరెన్స్ సిస్టమ్‌ను సాధారణంగా ప్రయోగశాల రిఫరెన్స్ సిస్టమ్ లేదా ఎల్-సిస్టమ్ అంటారు).
దీనిని నిరూపించడానికి, మేము మొదట రెండు రిఫరెన్స్ సిస్టమ్‌లలో గతి శక్తిని అనుసంధానించే మరింత సాధారణ సంబంధాన్ని పొందుతాము (Fig. 6.4 చూడండి). పాత సిస్టమ్ R i, V i మరియు కొత్త సిస్టమ్ r i, v iలో పాయింట్ల కోఆర్డినేట్లు మరియు వేగాల కోసం, మేము గెలీలియన్ రూపాంతరాలను వ్రాస్తాము:
ఇక్కడ R అనేది పాత సిస్టమ్ నుండి కొత్తదానికి పరివర్తన యొక్క వ్యాసార్థం వెక్టర్, మరియు V అనేది పాత వ్యవస్థకు సంబంధించి కొత్త సిస్టమ్ యొక్క కదలిక వేగం.
అన్నం. 6.4 రెండు రిఫరెన్స్ సిస్టమ్‌లలో అక్షాంశాల కనెక్షన్
అప్పుడు పాత ఫ్రేమ్ ఆఫ్ రిఫరెన్స్‌లోని గతిశక్తిని ఇలా సూచించవచ్చు
(6.12)
(6.12) యొక్క కుడి వైపు మూడు మొత్తాలుగా సూచించవచ్చు:
ఇక్కడ P అనేది కొత్త రిఫరెన్స్ ఫ్రేమ్‌లోని మెటీరియల్ పాయింట్ల సిస్టమ్ యొక్క మొత్తం మొమెంటం. సంబంధాన్ని (6.13) సాధారణంగా కోయినిగ్ సిద్ధాంతం అంటారు. ఉంటే కొత్త వ్యవస్థ q-సిస్టమ్‌తో సమానంగా ఉంటుంది, అప్పుడు దానిలోని మొత్తం మొమెంటం సున్నా, V = Vc, అంటే సంబంధం (6.11) కలిగి ఉంటుంది.
ఈ విభాగాన్ని ముగించడానికి, మనం రెండు గమనించండి ముఖ్యమైన లక్షణాలు, ద్రవ్యరాశి కేంద్రం యొక్క నిర్వచనం నుండి ఉత్పన్నమవుతుంది. ముందుగా, (6.7)లోని కణాలను ఏదైనా సమూహాలలో కలపవచ్చు, ఉదాహరణకు:
ఇక్కడ నుండి, అర్థం చేసుకోవడం సులభం, ప్రతి శరీరం యొక్క ద్రవ్యరాశి దానిలో కేంద్రీకృతమై ఉంటుంది అనే ఊహ ప్రకారం, ఏదైనా స్థూల శరీరాల యొక్క ద్రవ్యరాశి కేంద్రాన్ని భౌతిక బిందువుల వ్యవస్థ యొక్క ద్రవ్యరాశి కేంద్రంగా కనుగొనవచ్చు. సొంత ద్రవ్యరాశి కేంద్రం.
మరియు రెండవది, (6.7)లోని సమ్మషన్ నుండి ఏకీకరణకు తరలించడం సులభం,
పదార్థ సాంద్రత ρ(t) యొక్క నిరంతర పంపిణీతో శరీరం యొక్క ద్రవ్యరాశి కేంద్రం యొక్క స్థానాన్ని మనం గణిస్తే:
