మాధ్యమిక పాఠశాలలో (9వ తరగతి) బీజగణితాన్ని అభ్యసిస్తున్నప్పుడు, ముఖ్యమైన అంశాలలో ఒకటి సంఖ్యా శ్రేణుల అధ్యయనం, ఇందులో పురోగతి - రేఖాగణిత మరియు అంకగణితం. ఈ వ్యాసంలో మనం ఒక అంకగణిత పురోగతిని మరియు పరిష్కారాలతో ఉదాహరణలను పరిశీలిస్తాము.

అంకగణిత పురోగతి అంటే ఏమిటి?

దీన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి, ప్రశ్నలోని పురోగతిని నిర్వచించడం అవసరం, అలాగే సమస్యలను పరిష్కరించడంలో తరువాత ఉపయోగించబడే ప్రాథమిక సూత్రాలను అందించడం అవసరం.

కొన్ని బీజగణిత పురోగతిలో 1వ పదం 6కి సమానం, మరియు 7వ పదం 18కి సమానం అని తెలుసు. వ్యత్యాసాన్ని కనుగొని ఈ క్రమాన్ని 7వ పదానికి పునరుద్ధరించడం అవసరం.

తెలియని పదాన్ని నిర్ణయించడానికి సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము: a n = (n - 1) * d + a 1 . షరతు నుండి తెలిసిన డేటాను దానిలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం, అంటే, a 1 మరియు a 7 సంఖ్యలు, మనకు ఉన్నాయి: 18 = 6 + 6 * d. ఈ వ్యక్తీకరణ నుండి మీరు తేడాను సులభంగా లెక్కించవచ్చు: d = (18 - 6) /6 = 2. అందువలన, మేము సమస్య యొక్క మొదటి భాగానికి సమాధానమిచ్చాము.

క్రమాన్ని 7వ పదానికి పునరుద్ధరించడానికి, మీరు బీజగణిత పురోగతి యొక్క నిర్వచనాన్ని ఉపయోగించాలి, అంటే, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, మరియు మొదలైనవి. ఫలితంగా, మేము మొత్తం క్రమాన్ని పునరుద్ధరిస్తాము: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

ఉదాహరణ సంఖ్య 3: పురోగతిని గీయడం

సమస్యను మరింత జటిలం చేద్దాం. ఇప్పుడు మనం అంకగణిత పురోగతిని ఎలా కనుగొనాలి అనే ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వాలి. కింది ఉదాహరణను ఇవ్వవచ్చు: రెండు సంఖ్యలు ఇవ్వబడ్డాయి, ఉదాహరణకు - 4 మరియు 5. బీజగణిత పురోగతిని సృష్టించడం అవసరం, తద్వారా వీటి మధ్య మరో మూడు పదాలు ఉంచబడతాయి.

మీరు ఈ సమస్యను పరిష్కరించడం ప్రారంభించడానికి ముందు, భవిష్యత్ పురోగతిలో ఇచ్చిన సంఖ్యలు ఏ స్థలాన్ని ఆక్రమిస్తాయో మీరు అర్థం చేసుకోవాలి. వాటి మధ్య మరో మూడు పదాలు ఉంటాయి కాబట్టి, ఒక 1 = -4 మరియు 5 = 5. దీన్ని స్థాపించిన తర్వాత, మేము మునుపటి మాదిరిగానే సమస్యకు వెళ్తాము. మళ్ళీ, nవ పదం కోసం మేము సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము, మనకు లభిస్తుంది: a 5 = a 1 + 4 * d. నుండి: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25. మేము ఇక్కడ పొందింది వ్యత్యాసం యొక్క పూర్ణాంకం విలువ కాదు, కానీ అది హేతుబద్ధ సంఖ్య, కాబట్టి బీజగణిత పురోగతికి సూత్రాలు అలాగే ఉంటాయి.

ఇప్పుడు కనుగొన్న వ్యత్యాసాన్ని 1కి జోడించి, పురోగతి యొక్క తప్పిపోయిన నిబంధనలను పునరుద్ధరిద్దాము. మనకు లభిస్తుంది: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, ఇది కలిసి ఉంటుంది సమస్య యొక్క పరిస్థితులతో.

ఉదాహరణ సంఖ్య 4: పురోగతి యొక్క మొదటి పదం

పరిష్కారాలతో అంకగణిత పురోగతికి ఉదాహరణలు ఇవ్వడం కొనసాగిద్దాం. అన్ని మునుపటి సమస్యలలో, బీజగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి సంఖ్య తెలిసింది. ఇప్పుడు వేరొక రకమైన సమస్యను పరిశీలిద్దాం: రెండు సంఖ్యలను ఇవ్వనివ్వండి, ఇక్కడ 15 = 50 మరియు 43 = 37. ఈ క్రమం ఏ సంఖ్యతో ప్రారంభమవుతుందో కనుగొనడం అవసరం.

ఇప్పటివరకు ఉపయోగించిన సూత్రాలు 1 మరియు d యొక్క పరిజ్ఞానాన్ని కలిగి ఉంటాయి. సమస్య ప్రకటనలో, ఈ సంఖ్యల గురించి ఏమీ తెలియదు. అయినప్పటికీ, సమాచారం అందుబాటులో ఉన్న ప్రతి పదానికి మేము వ్యక్తీకరణలను వ్రాస్తాము: a 15 = a 1 + 14 * d మరియు a 43 = a 1 + 42 * d. 2 తెలియని పరిమాణాలు (a 1 మరియు d) ఉన్న రెండు సమీకరణాలను మేము అందుకున్నాము. దీని అర్థం సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడానికి సమస్య తగ్గించబడింది.

ఈ వ్యవస్థను పరిష్కరించడానికి సులభమైన మార్గం ప్రతి సమీకరణంలో 1ని వ్యక్తీకరించడం మరియు ఫలిత వ్యక్తీకరణలను సరిపోల్చడం. మొదటి సమీకరణం: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; రెండవ సమీకరణం: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. ఈ వ్యక్తీకరణలను సమం చేస్తే, మనకు లభిస్తుంది: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, ఇక్కడ వ్యత్యాసం d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464 (కేవలం 3 దశాంశ స్థానాలు మాత్రమే ఇవ్వబడ్డాయి).

d తెలుసుకోవడం, మీరు 1 కోసం పైన ఉన్న 2 వ్యక్తీకరణలలో దేనినైనా ఉపయోగించవచ్చు. ఉదాహరణకు, మొదటిది: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496.

పొందిన ఫలితం గురించి మీకు సందేహాలు ఉంటే, మీరు దాన్ని తనిఖీ చేయవచ్చు, ఉదాహరణకు, పురోగతి యొక్క 43 వ పదాన్ని నిర్ణయించండి, ఇది పరిస్థితిలో పేర్కొనబడింది. మనకు లభిస్తుంది: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. లెక్కల్లో వెయ్యో వంతుకు చుట్టుముట్టడం వల్ల చిన్న లోపం ఏర్పడింది.

ఉదాహరణ సంఖ్య 5: మొత్తం

ఇప్పుడు అంకగణిత పురోగతి మొత్తానికి పరిష్కారాలతో అనేక ఉదాహరణలను చూద్దాం.

కింది ఫారమ్ యొక్క సంఖ్యాపరమైన పురోగతిని ఇవ్వనివ్వండి: 1, 2, 3, 4, ...,. ఈ సంఖ్యల 100 మొత్తాన్ని ఎలా లెక్కించాలి?

కంప్యూటర్ టెక్నాలజీ అభివృద్ధికి ధన్యవాదాలు, ఈ సమస్యను పరిష్కరించడం సాధ్యమవుతుంది, అనగా, అన్ని సంఖ్యలను వరుసగా జోడించండి, ఒక వ్యక్తి ఎంటర్ కీని నొక్కిన వెంటనే కంప్యూటర్ చేస్తుంది. అయితే, మీరు సమర్పించిన సంఖ్యల శ్రేణి బీజగణిత పురోగతి అని మరియు దాని వ్యత్యాసం 1కి సమానం అని మీరు శ్రద్ధ వహిస్తే సమస్య మానసికంగా పరిష్కరించబడుతుంది. మొత్తానికి సూత్రాన్ని వర్తింపజేస్తే, మనకు లభిస్తుంది: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

ఈ సమస్యను "గాస్సియన్" అని పిలుస్తారని గమనించడం ఆసక్తికరంగా ఉంది, ఎందుకంటే 18 వ శతాబ్దం ప్రారంభంలో ప్రసిద్ధ జర్మన్, ఇప్పటికీ 10 సంవత్సరాల వయస్సులో, కొన్ని సెకన్లలో తన తలపై దాన్ని పరిష్కరించగలిగాడు. బీజగణిత పురోగమనం యొక్క మొత్తానికి సూత్రం బాలుడికి తెలియదు, కానీ మీరు వరుస చివరలలోని సంఖ్యలను జతగా జోడిస్తే, మీరు ఎల్లప్పుడూ ఒకే ఫలితాన్ని పొందుతారని అతను గమనించాడు, అంటే 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., మరియు ఈ మొత్తాలు సరిగ్గా 50 (100/2) ఉంటాయి కాబట్టి, సరైన సమాధానం పొందడానికి 50ని 101తో గుణిస్తే సరిపోతుంది.

ఉదాహరణ సంఖ్య 6: n నుండి m వరకు ఉన్న నిబంధనల మొత్తం

అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొత్తానికి మరొక సాధారణ ఉదాహరణ క్రింది విధంగా ఉంది: సంఖ్యల శ్రేణిని అందించారు: 3, 7, 11, 15, ..., మీరు 8 నుండి 14 వరకు ఉన్న దాని నిబంధనల మొత్తం దేనికి సమానంగా ఉంటుందో కనుగొనాలి. .

సమస్య రెండు విధాలుగా పరిష్కరించబడుతుంది. వాటిలో మొదటిది 8 నుండి 14 వరకు తెలియని పదాలను కనుగొనడం, ఆపై వాటిని వరుసగా సంగ్రహించడం. కొన్ని నిబంధనలు ఉన్నందున, ఈ పద్ధతి చాలా శ్రమతో కూడుకున్నది కాదు. అయినప్పటికీ, రెండవ పద్ధతిని ఉపయోగించి ఈ సమస్యను పరిష్కరించడానికి ప్రతిపాదించబడింది, ఇది మరింత సార్వత్రికమైనది.

m మరియు n పదాల మధ్య బీజగణిత పురోగతి మొత్తానికి సూత్రాన్ని పొందడం ఆలోచన, ఇక్కడ n > m పూర్ణాంకాలు. రెండు సందర్భాల్లో, మేము మొత్తానికి రెండు వ్యక్తీకరణలను వ్రాస్తాము:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

n > m నుండి, 2వ మొత్తంలో మొదటిది చేర్చబడిందని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది. చివరి ముగింపు అంటే మనం ఈ మొత్తాల మధ్య వ్యత్యాసాన్ని తీసుకొని దానికి a m అనే పదాన్ని జోడిస్తే (వ్యత్యాసాన్ని తీసుకునే సందర్భంలో, అది మొత్తం S n నుండి తీసివేయబడుతుంది), మేము సమస్యకు అవసరమైన సమాధానాన్ని పొందుతాము. మనకు ఇవి ఉన్నాయి: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). ఈ వ్యక్తీకరణలో n మరియు m కోసం సూత్రాలను ప్రత్యామ్నాయం చేయడం అవసరం. అప్పుడు మనకు లభిస్తుంది: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

ఫలిత సూత్రం కొంత గజిబిజిగా ఉంటుంది, అయినప్పటికీ, S mn మొత్తం n, m, a 1 మరియు dపై మాత్రమే ఆధారపడి ఉంటుంది. మా సందర్భంలో, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. ఈ సంఖ్యలను ప్రత్యామ్నాయంగా, మేము పొందుతాము: S mn = 301.

పై పరిష్కారాల నుండి చూడగలిగినట్లుగా, అన్ని సమస్యలు nవ పదం యొక్క వ్యక్తీకరణ మరియు మొదటి పదాల సమితి యొక్క ఫార్ములా యొక్క జ్ఞానంపై ఆధారపడి ఉంటాయి. ఈ సమస్యలలో దేనినైనా పరిష్కరించడానికి ప్రారంభించడానికి ముందు, మీరు పరిస్థితిని జాగ్రత్తగా చదవాలని, మీరు ఏమి కనుగొనాలో స్పష్టంగా అర్థం చేసుకుని, ఆపై మాత్రమే పరిష్కారాన్ని కొనసాగించాలని సిఫార్సు చేయబడింది.

మరొక చిట్కా ఏమిటంటే, సరళత కోసం ప్రయత్నించడం, అంటే, మీరు సంక్లిష్టమైన గణిత గణనలను ఉపయోగించకుండా ఒక ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వగలిగితే, మీరు అలా చేయాలి, ఎందుకంటే ఈ సందర్భంలో పొరపాటు చేసే అవకాశం తక్కువగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, పరిష్కారం సంఖ్య 6తో అంకగణిత పురోగతి యొక్క ఉదాహరణలో, S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, మరియు మొత్తం సమస్యను ప్రత్యేక సబ్‌టాస్క్‌లుగా విభజించండి (ఈ సందర్భంలో, ముందుగా a n మరియు m అనే పదాలను కనుగొనండి).

పొందిన ఫలితం గురించి మీకు సందేహాలు ఉంటే, ఇచ్చిన కొన్ని ఉదాహరణలలో చేసినట్లుగా దాన్ని తనిఖీ చేయాలని సిఫార్సు చేయబడింది. అంకగణిత పురోగతిని ఎలా కనుగొనాలో మేము కనుగొన్నాము. మీరు దానిని గుర్తించినట్లయితే, అది అంత కష్టం కాదు.

I. V. యాకోవ్లెవ్ | గణిత పదార్థాలు | MathUs.ru

అంకగణిత పురోగతి

అంకగణిత పురోగతి అనేది ఒక ప్రత్యేక రకం క్రమం. అందువల్ల, అంకగణితం (ఆ తర్వాత రేఖాగణిత) పురోగతిని నిర్వచించే ముందు, మనం సంఖ్యా క్రమం యొక్క ముఖ్యమైన భావనను క్లుప్తంగా చర్చించాలి.

తదనంతరము

స్క్రీన్‌పై నిర్దిష్ట సంఖ్యలు ఒకదాని తర్వాత ఒకటి ప్రదర్శించబడే పరికరాన్ని ఊహించండి. 2 అనుకుందాం; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : ఈ సంఖ్యల సమితి ఖచ్చితంగా ఒక క్రమానికి ఉదాహరణ.

నిర్వచనం. సంఖ్యా శ్రేణి అనేది సంఖ్యల సమితి, దీనిలో ప్రతి సంఖ్యకు ఒక ప్రత్యేక సంఖ్యను కేటాయించవచ్చు (అంటే, ఒకే సహజ సంఖ్యతో అనుబంధించబడుతుంది)1. n సంఖ్యను క్రమం యొక్క nవ పదం అంటారు.

కాబట్టి, పై ఉదాహరణలో, మొదటి సంఖ్య 2, ఇది సీక్వెన్స్‌లోని మొదటి సభ్యుడు, దీనిని a1 ద్వారా సూచించవచ్చు; ఐదవ సంఖ్య 6 సంఖ్యను కలిగి ఉంటుంది, ఇది క్రమం యొక్క ఐదవ పదం, దీనిని a5 ద్వారా సూచించవచ్చు. సాధారణంగా, సీక్వెన్స్ యొక్క nవ పదం ఒక (లేదా bn, cn, మొదలైనవి) ద్వారా సూచించబడుతుంది.

చాలా అనుకూలమైన పరిస్థితి ఏమిటంటే, క్రమం యొక్క nవ పదాన్ని కొన్ని ఫార్ములా ద్వారా పేర్కొనవచ్చు. ఉదాహరణకు, సూత్రం an = 2n 3 క్రమాన్ని నిర్దేశిస్తుంది: 1; 1; 3; 5; 7; : : : సూత్రం an = (1)n క్రమాన్ని నిర్దేశిస్తుంది: 1; 1; 1; 1; :::

సంఖ్యల ప్రతి సెట్ ఒక క్రమం కాదు. అందువలన, ఒక విభాగం ఒక క్రమం కాదు; ఇది తిరిగి నంబర్ చేయడానికి "చాలా ఎక్కువ" సంఖ్యలను కలిగి ఉంది. అన్ని వాస్తవ సంఖ్యల సెట్ R కూడా ఒక క్రమం కాదు. ఈ వాస్తవాలు గణిత విశ్లేషణలో నిరూపించబడ్డాయి.

అంకగణిత పురోగతి: ప్రాథమిక నిర్వచనాలు

ఇప్పుడు మేము అంకగణిత పురోగతిని నిర్వచించడానికి సిద్ధంగా ఉన్నాము.

నిర్వచనం. అంకగణిత పురోగతి అనేది ఒక క్రమం, దీనిలో ప్రతి పదం (రెండవ నుండి మొదలవుతుంది) మునుపటి పదం మరియు కొంత స్థిర సంఖ్య (అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసం అని పిలుస్తారు) మొత్తానికి సమానంగా ఉంటుంది.

ఉదాహరణకు, సీక్వెన్స్ 2; 5; 8; పదకొండు; : : : అనేది మొదటి పదం 2 మరియు తేడా 3తో కూడిన అంకగణిత పురోగతి. సీక్వెన్స్ 7; 2; 3; 8; : : : అనేది మొదటి పదం 7 మరియు తేడా 5తో కూడిన అంకగణిత పురోగతి. సీక్వెన్స్ 3; 3; 3; : : : అనేది సున్నాకి సమానమైన తేడాతో అంకగణిత పురోగతి.

సమానమైన నిర్వచనం: an+1 a వ్యత్యాసం స్థిరమైన విలువ అయితే (n నుండి స్వతంత్రంగా) ఉన్న క్రమాన్ని అంకగణిత పురోగతి అంటారు.

అంకగణిత పురోగతిని దాని వ్యత్యాసం సానుకూలంగా ఉంటే పెరుగుతుందని మరియు దాని వ్యత్యాసం ప్రతికూలంగా ఉంటే తగ్గడాన్ని అంటారు.

1 కానీ ఇక్కడ మరింత సంక్షిప్త నిర్వచనం ఉంది: క్రమం అనేది సహజ సంఖ్యల సమితిపై నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్. ఉదాహరణకు, వాస్తవ సంఖ్యల క్రమం f: N ! ఆర్.

డిఫాల్ట్‌గా, శ్రేణులు అనంతంగా పరిగణించబడతాయి, అనగా అనంతమైన సంఖ్యలను కలిగి ఉంటాయి. కానీ పరిమిత శ్రేణులను పరిగణనలోకి తీసుకోవడానికి ఎవరూ మమ్మల్ని ఇబ్బంది పెట్టరు; వాస్తవానికి, ఏదైనా పరిమిత సంఖ్యల సమితిని పరిమిత శ్రేణి అని పిలుస్తారు. ఉదాహరణకు, ముగింపు క్రమం 1; 2; 3; 4; 5 ఐదు సంఖ్యలను కలిగి ఉంటుంది.

అంకగణిత పురోగతి యొక్క nవ పదం కోసం ఫార్ములా

అంకగణిత పురోగతి పూర్తిగా రెండు సంఖ్యల ద్వారా నిర్ణయించబడుతుందని అర్థం చేసుకోవడం సులభం: మొదటి పదం మరియు వ్యత్యాసం. అందువల్ల, ప్రశ్న తలెత్తుతుంది: మొదటి పదం మరియు వ్యత్యాసాన్ని తెలుసుకోవడం, అంకగణిత పురోగతి యొక్క ఏకపక్ష పదాన్ని ఎలా కనుగొనాలి?

అంకగణిత పురోగతి యొక్క nవ పదానికి అవసరమైన సూత్రాన్ని పొందడం కష్టం కాదు. ఒక లెట్

తేడాతో అంకగణిత పురోగతి డి. మాకు ఉన్నాయి:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : : :):
ప్రత్యేకంగా, మేము వ్రాస్తాము:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
మరియు ఇప్పుడు ఇది ఒక సూత్రం అని స్పష్టమవుతుంది:
an = a1 + (n 1)d:

సమస్య 1. అంకగణిత పురోగతిలో 2; 5; 8; పదకొండు; : : : nవ పదం కోసం సూత్రాన్ని కనుగొని, వందవ పదాన్ని లెక్కించండి.

పరిష్కారం. ఫార్ములా (1) ప్రకారం మనకు ఉన్నాయి:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

అంకగణిత పురోగతికి సంబంధించిన ఆస్తి మరియు సంకేతం

అంకగణిత పురోగతి యొక్క ఆస్తి. అంకగణిత పురోగతిలో ఏదైనా

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, అంకగణిత పురోగతి యొక్క ప్రతి సభ్యుడు (రెండవది నుండి) దాని పొరుగు సభ్యుల అంకగణిత సగటు.

	రుజువు. మాకు ఉన్నాయి:
	a n 1+ a n+1		(ఒక డి) + (ఒక + డి)

ఏది అవసరమో.

మరింత సాధారణంగా, అంకగణిత పురోగతి మరియు సమానత్వాన్ని సంతృప్తిపరుస్తుంది

a n = a n k+ a n+k

ఏదైనా n > 2 మరియు ఏదైనా సహజ k కోసం< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

ఫార్ములా (2) అనేది అవసరమైనదిగా మాత్రమే కాకుండా, క్రమాన్ని అంకగణిత పురోగతికి తగిన షరతుగా కూడా పని చేస్తుంది.

అంకగణిత పురోగతి సంకేతం. సమానత్వం (2) అన్ని n > 2 కోసం కలిగి ఉంటే, అప్పుడు క్రమం a అంకగణిత పురోగతి.

రుజువు. ఫార్ములా (2)ని ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాస్దాం:

a na n 1= a n+1a n:

దీని నుండి an+1 an తేడా nపై ఆధారపడదని మనం చూడవచ్చు మరియు దీని అర్థం క్రమం an అనేది అంకగణిత పురోగతి.

ఒక అంకగణిత పురోగతి యొక్క ఆస్తి మరియు సంకేతం ఒక ప్రకటన రూపంలో రూపొందించబడుతుంది; సౌలభ్యం కోసం, మేము దీన్ని మూడు సంఖ్యల కోసం చేస్తాము (ఇది తరచుగా సమస్యలలో సంభవించే పరిస్థితి).

అంకగణిత పురోగతి యొక్క లక్షణం. a, b, c అనే మూడు సంఖ్యలు 2b = a + c అయితే మాత్రమే అంకగణిత పురోగతిని ఏర్పరుస్తాయి.

సమస్య 2. (MSU, ఫ్యాకల్టీ ఆఫ్ ఎకనామిక్స్, 2007) సూచించిన క్రమంలో మూడు సంఖ్యలు 8x, 3 x2 మరియు 4 తగ్గుతున్న అంకగణిత పురోగతిని ఏర్పరుస్తాయి. xని కనుగొని, ఈ పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసాన్ని సూచించండి.

పరిష్కారం. అంకగణిత పురోగతి యొక్క ఆస్తి ద్వారా మేము కలిగి ఉన్నాము:

2(3 x2) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x = 5:

x = 1 అయితే, 6 తేడాతో మనం 8, 2, 4 తగ్గుతున్న పురోగతిని పొందుతాము. x = 5 అయితే, మనం 40, 22, 4 యొక్క పెరుగుతున్న పురోగతిని పొందుతాము; ఈ కేసు తగినది కాదు.

సమాధానం: x = 1, తేడా 6.

అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి n నిబంధనల మొత్తం

పురాణాల ప్రకారం, ఒక రోజు ఉపాధ్యాయుడు 1 నుండి 100 వరకు ఉన్న సంఖ్యల మొత్తాన్ని కనుగొనమని పిల్లలకు చెప్పి, వార్తాపత్రిక చదవడానికి నిశ్శబ్దంగా కూర్చున్నాడు. అయితే కొద్ది నిమిషాల్లోనే ఓ కుర్రాడు సమస్యను పరిష్కరించినట్లు తెలిపాడు. ఇది 9 ఏళ్ల కార్ల్ ఫ్రెడరిక్ గౌస్, తరువాత చరిత్రలో గొప్ప గణిత శాస్త్రజ్ఞులలో ఒకరు.

చిన్న గౌస్ ఆలోచన ఇలా ఉంది. వీలు

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

ఈ మొత్తాన్ని రివర్స్ ఆర్డర్‌లో వ్రాస్దాం:

S = 100 + 99 + 98 + : :: + 3 + 2 + 1;

మరియు ఈ రెండు సూత్రాలను జోడించండి:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

బ్రాకెట్లలోని ప్రతి పదం 101కి సమానం మరియు మొత్తం 100 అటువంటి పదాలు ఉన్నాయి

2S = 101 100 = 10100;

మేము మొత్తం సూత్రాన్ని పొందేందుకు ఈ ఆలోచనను ఉపయోగిస్తాము

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

మేము nవ పదం యొక్క సూత్రాన్ని an = a1 + (n 1)dకి ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే ఫార్ములా (3) యొక్క ఉపయోగకరమైన మార్పు పొందబడుతుంది:

		2a1 + (n 1)d

సమస్య 3. 13 ద్వారా భాగించబడే అన్ని సానుకూల మూడు అంకెల సంఖ్యల మొత్తాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం. 13 యొక్క గుణిజాలుగా ఉండే మూడు అంకెల సంఖ్యలు మొదటి పదం 104 మరియు తేడా 13తో అంకగణిత పురోగతిని ఏర్పరుస్తాయి; ఈ పురోగతి యొక్క nవ పదం రూపం కలిగి ఉంది:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

మన ప్రోగ్రెస్షన్‌లో ఎన్ని నిబంధనలు ఉన్నాయో తెలుసుకుందాం. దీన్ని చేయడానికి, మేము అసమానతను పరిష్కరిస్తాము:

ఒక 6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13 ; n 6 69:

కాబట్టి, మా పురోగతిలో 69 మంది సభ్యులు ఉన్నారు. ఫార్ములా (4)ని ఉపయోగించి మేము అవసరమైన మొత్తాన్ని కనుగొంటాము:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

అంకగణితం మరియు రేఖాగణిత పురోగతి

సైద్ధాంతిక సమాచారం

సైద్ధాంతిక సమాచారం

	అంకగణిత పురోగతి	రేఖాగణిత పురోగతి
నిర్వచనం	అంకగణిత పురోగతి ఒక ఎన్ప్రతి సభ్యుడు, రెండవదాని నుండి ప్రారంభించి, అదే సంఖ్యకు జోడించబడిన మునుపటి సభ్యునికి సమానంగా ఉండే క్రమం డి (డి- పురోగతి వ్యత్యాసం)	రేఖాగణిత పురోగతి b nసున్నా కాని సంఖ్యల శ్రేణి, ప్రతి పదం, రెండవది నుండి మొదలై, అదే సంఖ్యతో గుణించబడిన మునుపటి పదానికి సమానం q (q- పురోగతి యొక్క హారం)
పునరావృత సూత్రం	ఏదైనా సహజ కోసం n a n + 1 = a n + d	ఏదైనా సహజ కోసం n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
ఫార్ములా n వ పదం	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
లక్షణ లక్షణం
మొదటి n నిబంధనల మొత్తం

వ్యాఖ్యలతో టాస్క్‌ల ఉదాహరణలు

వ్యాయామం 1

అంకగణిత పురోగతిలో ( ఒక ఎన్) a 1 = -6, ఒక 2

n వ పదం యొక్క సూత్రం ప్రకారం:

ఒక 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 డి

షరతు ప్రకారం:

a 1= -6, అప్పుడు ఒక 22= -6 + 21 డి.

పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసాన్ని కనుగొనడం అవసరం:

d = a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2

ఒక 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

సమాధానం : ఒక 22 = -48.

టాస్క్ 2

రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క ఐదవ పదాన్ని కనుగొనండి: -3; 6;....

1వ పద్ధతి (n-టర్మ్ ఫార్ములా ఉపయోగించి)

రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క nవ పదం సూత్రం ప్రకారం:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

ఎందుకంటే బి 1 = -3,

2వ పద్ధతి (పునరావృత సూత్రాన్ని ఉపయోగించి)

పురోగతి యొక్క హారం -2 (q = -2) కాబట్టి:

బి 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

బి 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

బి 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

సమాధానం : బి 5 = -48.

టాస్క్ 3

అంకగణిత పురోగతిలో ( a n ) a 74 = 34; ఒక 76= 156. ఈ పురోగతి యొక్క డెబ్బై-ఐదవ పదాన్ని కనుగొనండి.

అంకగణిత పురోగతికి, లక్షణ లక్షణం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది .

అందువలన:

.

ఫార్ములాలో డేటాను ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:

సమాధానం: 95.

టాస్క్ 4

అంకగణిత పురోగతిలో ( a n ) a n= 3n - 4. మొదటి పదిహేడు పదాల మొత్తాన్ని కనుగొనండి.

అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి n పదాల మొత్తాన్ని కనుగొనడానికి, రెండు సూత్రాలు ఉపయోగించబడతాయి:

.

వాటిలో ఏది ఈ సందర్భంలో ఉపయోగించడానికి మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది?

షరతు ప్రకారం, అసలు పురోగతి యొక్క nవ పదం యొక్క సూత్రం తెలుస్తుంది ( ఒక ఎన్) ఒక ఎన్= 3n - 4. మీరు వెంటనే కనుగొనవచ్చు మరియు a 1, మరియు ఒక 16కనుగొనకుండా డి. కాబట్టి, మేము మొదటి సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము.

సమాధానం: 368.

టాస్క్ 5

అంకగణిత పురోగతిలో( ఒక ఎన్) a 1 = -6; ఒక 2= -8. పురోగతి యొక్క ఇరవై-రెండవ పదాన్ని కనుగొనండి.

n వ పదం యొక్క సూత్రం ప్రకారం:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21డి.

షరతు ప్రకారం, ఉంటే a 1= -6, అప్పుడు ఒక 22= -6 + 21డి. పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసాన్ని కనుగొనడం అవసరం:

d = a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2

ఒక 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

సమాధానం : ఒక 22 = -48.

టాస్క్ 6

రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క అనేక వరుస నిబంధనలు వ్రాయబడ్డాయి:

x అని లేబుల్ చేయబడిన పురోగతి యొక్క పదాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కరించేటప్పుడు, మేము nవ పదం కోసం సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము b n = b 1 ∙ q n - 1రేఖాగణిత పురోగతి కోసం. పురోగతి యొక్క మొదటి పదం. ప్రోగ్రెస్షన్ q యొక్క హారంని కనుగొనడానికి, మీరు ప్రోగ్రెస్షన్ యొక్క ఇచ్చిన నిబంధనలలో దేనినైనా తీసుకోవాలి మరియు మునుపటి దానితో విభజించాలి. మా ఉదాహరణలో, మనం తీసుకోవచ్చు మరియు విభజించవచ్చు. మేము q = 3ని పొందుతాము. nకి బదులుగా, మేము ఫార్ములాలో 3ని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము, ఎందుకంటే ఇచ్చిన రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క మూడవ పదాన్ని కనుగొనడం అవసరం.

కనుగొన్న విలువలను సూత్రంలోకి మార్చడం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది:

.

సమాధానం : .

టాస్క్ 7

nవ పదం యొక్క ఫార్ములా ద్వారా అందించబడిన అంకగణిత పురోగతి నుండి, షరతు సంతృప్తికరంగా ఉన్నదాన్ని ఎంచుకోండి ఒక 27 > 9:

ప్రోగ్రెషన్ యొక్క 27వ టర్మ్ కోసం ఇచ్చిన షరతు తప్పనిసరిగా సంతృప్తి చెందాలి కాబట్టి, మేము ప్రతి నాలుగు పురోగతిలో nకి బదులుగా 27ని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము. 4 వ పురోగతిలో మనం పొందుతాము:

.

సమాధానం: 4.

టాస్క్ 8

అంకగణిత పురోగతిలో a 1= 3, d = -1.5. అసమానత కలిగి ఉన్న n యొక్క అతిపెద్ద విలువను పేర్కొనండి ఒక ఎన్ > -6.

శ్రద్ధ!
అదనంగా ఉన్నాయి
ప్రత్యేక విభాగం 555లోని పదార్థాలు.
చాలా "చాలా కాదు..." ఉన్నవారికి.
మరియు "చాలా..." ఉన్నవారికి)

అంకగణిత పురోగతి అనేది సంఖ్యల శ్రేణి, దీనిలో ప్రతి సంఖ్య మునుపటి కంటే అదే మొత్తంలో ఎక్కువ (లేదా తక్కువ) ఉంటుంది.

ఈ అంశం తరచుగా సంక్లిష్టంగా మరియు అపారమయినదిగా కనిపిస్తుంది. అక్షరాల సూచికలు, పురోగతి యొక్క n వ పదం, పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసం - ఇవన్నీ ఏదో ఒకవిధంగా గందరగోళంగా ఉన్నాయి, అవును... అంకగణిత పురోగతి యొక్క అర్ధాన్ని గుర్తించండి మరియు ప్రతిదీ వెంటనే మెరుగుపడుతుంది.)

అంకగణిత పురోగతి భావన.

అంకగణిత పురోగతి అనేది చాలా సులభమైన మరియు స్పష్టమైన భావన. మీకు ఏమైనా సందేహాలు ఉన్నాయా? ఫలించలేదు.) మీరే చూడండి.

నేను అసంపూర్తిగా ఉన్న సంఖ్యల శ్రేణిని వ్రాస్తాను:

1, 2, 3, 4, 5, ...

మీరు ఈ సిరీస్‌ని పొడిగించగలరా? ఐదు తర్వాత ఏ సంఖ్యలు వస్తాయి? అందరూ... ఊ..., క్లుప్తంగా చెప్పాలంటే 6, 7, 8, 9 మొదలైన సంఖ్యలు తర్వాతి వస్తాయని అందరూ గ్రహిస్తారు.

పనిని క్లిష్టతరం చేద్దాం. నేను మీకు అసంపూర్తిగా ఉన్న సంఖ్యల శ్రేణిని ఇస్తున్నాను:

2, 5, 8, 11, 14, ...

మీరు నమూనాను పట్టుకోగలరు, సిరీస్‌ని విస్తరించగలరు మరియు పేరు పెట్టగలరు ఏడవవరుస సంఖ్య?

ఈ సంఖ్య 20 అని మీరు గ్రహించినట్లయితే, అభినందనలు! మీకు అనిపించడమే కాదు అంకగణిత పురోగతి యొక్క ముఖ్య అంశాలు,కానీ వాటిని వ్యాపారంలో విజయవంతంగా ఉపయోగించారు! మీరు దాన్ని గుర్తించకపోతే, చదవండి.

ఇప్పుడు సంచలనాల నుండి గణితంలోకి కీలకమైన అంశాలను అనువదిద్దాం.)

మొదటి కీలక అంశం.

అంకగణిత పురోగతి సంఖ్యల శ్రేణితో వ్యవహరిస్తుంది.ఇది మొదట గందరగోళంగా ఉంది. మేము సమీకరణాలను పరిష్కరించడం, గ్రాఫ్‌లు గీయడం మరియు అన్నింటికి అలవాటు పడ్డాము... కానీ ఇక్కడ మేము సిరీస్‌ను పొడిగిస్తాము, సిరీస్ సంఖ్యను కనుగొనండి...

ఇట్స్ ఓకే. గణితం యొక్క కొత్త శాఖతో పురోగతి అనేది మొదటి పరిచయము. విభాగాన్ని "సిరీస్" అని పిలుస్తారు మరియు సంఖ్యలు మరియు వ్యక్తీకరణల శ్రేణితో ప్రత్యేకంగా పని చేస్తుంది. అలవాటు చేసుకోండి.)

రెండవ కీలక అంశం.

అంకగణిత పురోగతిలో, ఏ సంఖ్య అయినా మునుపటి దానికంటే భిన్నంగా ఉంటుంది అదే మొత్తంలో.

మొదటి ఉదాహరణలో, ఈ వ్యత్యాసం ఒకటి. మీరు ఏ సంఖ్య తీసుకున్నా, అది మునుపటి కంటే ఒకటి ఎక్కువ. రెండవది - మూడు. ఏదైనా సంఖ్య మునుపటి కంటే మూడు ఎక్కువ. వాస్తవానికి, ఈ క్షణం నమూనాను గ్రహించి, తదుపరి సంఖ్యలను లెక్కించడానికి మాకు అవకాశాన్ని ఇస్తుంది.

మూడవ కీలక అంశం.

ఈ క్షణం అద్భుతమైనది కాదు, అవును... కానీ ఇది చాలా చాలా ముఖ్యమైనది. ఇక్కడ అతను: ప్రతి పురోగతి సంఖ్య దాని స్థానంలో ఉంది.మొదటి సంఖ్య ఉంది, ఏడవది, నలభై అయిదవది మొదలైనవి. మీరు వాటిని యాదృచ్ఛికంగా కలపినట్లయితే, నమూనా అదృశ్యమవుతుంది. అంకగణిత పురోగతి కూడా అదృశ్యమవుతుంది. కేవలం సంఖ్యల శ్రేణి మాత్రమే మిగిలి ఉంది.

అది మొత్తం పాయింట్.

వాస్తవానికి, కొత్త అంశంలో కొత్త నిబంధనలు మరియు హోదాలు కనిపిస్తాయి. మీరు వాటిని తెలుసుకోవాలి. లేకపోతే, మీరు పనిని అర్థం చేసుకోలేరు. ఉదాహరణకు, మీరు ఇలాంటిదాన్ని నిర్ణయించుకోవాలి:

a 2 = 5, d = -2.5 అయితే, అంకగణిత పురోగతి (a n) యొక్క మొదటి ఆరు పదాలను వ్రాయండి.

స్ఫూర్తిదాయకంగా ఉందా?) అక్షరాలు, కొన్ని సూచికలు... మరియు పని, మార్గం ద్వారా, సరళంగా ఉండకూడదు. మీరు నిబంధనలు మరియు హోదాల అర్థాన్ని అర్థం చేసుకోవాలి. ఇప్పుడు మేము ఈ విషయంలో ప్రావీణ్యం పొందుతాము మరియు పనికి తిరిగి వస్తాము.

నిబంధనలు మరియు హోదాలు.

అంకగణిత పురోగతిసంఖ్యల శ్రేణి, దీనిలో ప్రతి సంఖ్య మునుపటి సంఖ్య నుండి భిన్నంగా ఉంటుంది అదే మొత్తంలో.

ఈ పరిమాణాన్ని అంటారు . ఈ భావనను మరింత వివరంగా పరిశీలిద్దాం.

అంకగణిత పురోగతి వ్యత్యాసం.

అంకగణిత పురోగతి వ్యత్యాసంఏదైనా ప్రోగ్రెస్షన్ నంబర్‌కి సంబంధించిన మొత్తం మరింతమునుపటిది.

ఒక ముఖ్యమైన అంశం. దయచేసి పదానికి శ్రద్ధ వహించండి "మరింత".గణితశాస్త్రపరంగా, దీని అర్థం ప్రతి పురోగతి సంఖ్య కలిపితేమునుపటి సంఖ్యకు అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసం.

లెక్కించేందుకు, చెప్పండి రెండవసిరీస్ సంఖ్యలు, మీరు అవసరం ప్రధమసంఖ్య జోడించుఅంకగణిత పురోగతికి ఇదే తేడా. గణన కోసం ఐదవది- వ్యత్యాసం అవసరం జోడించుకు నాల్గవ,బాగా, మొదలైనవి

అంకగణిత పురోగతి వ్యత్యాసంబహుశా అనుకూల,అప్పుడు సిరీస్‌లోని ప్రతి సంఖ్య నిజమైనదిగా మారుతుంది మునుపటి కంటే ఎక్కువ.ఈ పురోగతి అంటారు పెరుగుతున్నాయి.ఉదాహరణకి:

8; 13; 18; 23; 28; .....

ఇక్కడ ప్రతి సంఖ్య పొందబడుతుంది కలిపితేసానుకూల సంఖ్య, మునుపటి దానికి +5.

తేడా ఉండవచ్చు ప్రతికూల,అప్పుడు సిరీస్‌లోని ప్రతి సంఖ్య ఉంటుంది మునుపటి కంటే తక్కువ.ఈ పురోగతిని అంటారు (మీరు నమ్మరు!) తగ్గుతోంది.

ఉదాహరణకి:

8; 3; -2; -7; -12; .....

ఇక్కడ ప్రతి సంఖ్య కూడా పొందబడుతుంది కలిపితేమునుపటిదానికి, కానీ ఇప్పటికే ప్రతికూల సంఖ్య, -5.

మార్గం ద్వారా, పురోగతితో పని చేస్తున్నప్పుడు, దాని స్వభావాన్ని తక్షణమే గుర్తించడం చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది - ఇది పెరుగుతోందా లేదా తగ్గిపోతుంది. నిర్ణయాన్ని నావిగేట్ చేయడానికి, మీ తప్పులను గుర్తించడానికి మరియు చాలా ఆలస్యం కాకముందే వాటిని సరిదిద్దడానికి ఇది చాలా సహాయపడుతుంది.

అంకగణిత పురోగతి వ్యత్యాసంసాధారణంగా అక్షరం ద్వారా సూచించబడుతుంది డి.

ఎలా కనుగొనాలి డి? చాలా సింపుల్. సిరీస్‌లోని ఏదైనా సంఖ్య నుండి తీసివేయడం అవసరం మునుపటిసంఖ్య. తీసివేయి. మార్గం ద్వారా, తీసివేత ఫలితాన్ని "తేడా" అంటారు.)

ఉదాహరణకు, నిర్వచిద్దాం, డిఅంకగణిత పురోగతిని పెంచడానికి:

2, 5, 8, 11, 14, ...

మనకు కావలసిన సిరీస్‌లోని ఏదైనా సంఖ్యను తీసుకుంటాము, ఉదాహరణకు, 11. మేము దాని నుండి తీసివేస్తాము మునుపటి సంఖ్యఆ. 8:

ఇది సరైన సమాధానం. ఈ అంకగణిత పురోగతికి, తేడా మూడు.

మీరు తీసుకోవచ్చు ఏదైనా పురోగతి సంఖ్య,ఎందుకంటే నిర్దిష్ట పురోగతి కోసం d-ఎప్పుడూ అదే.కనీసం ఎక్కడా వరుస ప్రారంభంలో, కనీసం మధ్యలో, కనీసం ఎక్కడైనా. మీరు మొదటి సంఖ్యను మాత్రమే తీసుకోలేరు. ఎందుకంటే మొదటి సంఖ్య మునుపటిది లేదు.)

మార్గం ద్వారా, అది తెలుసుకోవడం d=3, ఈ పురోగతి యొక్క ఏడవ సంఖ్యను కనుగొనడం చాలా సులభం. ఐదవ సంఖ్యకు 3ని జోడిద్దాం - మనకు ఆరవ వస్తుంది, అది 17 అవుతుంది. ఆరవ సంఖ్యకు మూడు కలుపుదాం, మనకు ఏడవ సంఖ్య వస్తుంది - ఇరవై.

నిర్వచించుకుందాం డిఅవరోహణ అంకగణిత పురోగతి కోసం:

8; 3; -2; -7; -12; .....

సంకేతాలతో సంబంధం లేకుండా, నిర్ణయించాలని నేను మీకు గుర్తు చేస్తున్నాను డిఏదైనా సంఖ్య నుండి అవసరం మునుపటిదాన్ని తీసివేయండి.ఏదైనా పురోగతి సంఖ్యను ఎంచుకోండి, ఉదాహరణకు -7. అతని మునుపటి సంఖ్య -2. అప్పుడు:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసం ఏదైనా సంఖ్య కావచ్చు: పూర్ణాంకం, భిన్నం, అహేతుకం, ఏదైనా సంఖ్య.

ఇతర నిబంధనలు మరియు హోదాలు.

సిరీస్‌లోని ప్రతి సంఖ్యను పిలుస్తారు అంకగణిత పురోగతిలో సభ్యుడు.

పురోగతి యొక్క ప్రతి సభ్యుడు దాని స్వంత సంఖ్యను కలిగి ఉంది.సంఖ్యలు ఎటువంటి ఉపాయాలు లేకుండా ఖచ్చితంగా క్రమంలో ఉన్నాయి. మొదటి, రెండవ, మూడవ, నాల్గవ, మొదలైనవి. ఉదాహరణకు, పురోగతిలో 2, 5, 8, 11, 14, ... రెండు మొదటి పదం, ఐదు రెండవది, పదకొండు నాల్గవది, బాగా, మీరు అర్థం చేసుకోండి...) దయచేసి స్పష్టంగా అర్థం చేసుకోండి - సంఖ్యలు స్వయంగాఖచ్చితంగా ఏదైనా కావచ్చు, పూర్తిగా, భిన్నమైనది, ప్రతికూలమైనది, ఏమైనా కావచ్చు సంఖ్యల సంఖ్య- ఖచ్చితంగా క్రమంలో!

సాధారణ రూపంలో పురోగతిని ఎలా వ్రాయాలి? ఏమి ఇబ్బంది లేదు! శ్రేణిలోని ప్రతి సంఖ్య అక్షరంగా వ్రాయబడుతుంది. అంకగణిత పురోగతిని సూచించడానికి, అక్షరం సాధారణంగా ఉపయోగించబడుతుంది a. సభ్యుని సంఖ్య దిగువ కుడి వైపున ఉన్న సూచిక ద్వారా సూచించబడుతుంది. మేము కామాలతో (లేదా సెమికోలన్లు) వేరు చేయబడిన పదాలను ఇలా వ్రాస్తాము:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1- ఇది మొదటి సంఖ్య, a 3- మూడవ, మొదలైనవి. ఫాన్సీ ఏమీ లేదు. ఈ శ్రేణిని క్లుప్తంగా ఇలా వ్రాయవచ్చు: (ఒక ఎన్).

పురోగతులు జరుగుతాయి పరిమిత మరియు అనంతం.

అల్టిమేట్పురోగతి పరిమిత సంఖ్యలో సభ్యులను కలిగి ఉంది. ఐదు, ముప్పై ఎనిమిది, ఏమైనా. కానీ అది పరిమిత సంఖ్య.

అనంతంపురోగతి - మీరు ఊహించినట్లుగా, అనంతమైన సభ్యులను కలిగి ఉంది.)

మీరు ఇలాంటి సిరీస్ ద్వారా తుది పురోగతిని వ్రాయవచ్చు, అన్ని నిబంధనలు మరియు చివర చుక్క:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5.

లేదా ఇలా, చాలా మంది సభ్యులు ఉంటే:

a 1, a 2, ... a 14, a 15.

చిన్న ఎంట్రీలో మీరు సభ్యుల సంఖ్యను అదనంగా సూచించాలి. ఉదాహరణకు (ఇరవై మంది సభ్యులకు), ఇలా:

(a n), n = 20

ఈ పాఠంలోని ఉదాహరణలలో వలె, వరుస చివరిలో ఉన్న దీర్ఘవృత్తాకారం ద్వారా అనంతమైన పురోగతిని గుర్తించవచ్చు.

ఇప్పుడు మీరు పనులను పరిష్కరించవచ్చు. పనులు సరళమైనవి, పూర్తిగా అంకగణిత పురోగతి యొక్క అర్థాన్ని అర్థం చేసుకోవడం కోసం.

అంకగణిత పురోగతిపై టాస్క్‌ల ఉదాహరణలు.

పైన ఇవ్వబడిన పనిని వివరంగా చూద్దాం:

1. a 2 = 5, d = -2.5 అయితే, అంకగణిత పురోగతి (a n) యొక్క మొదటి ఆరు పదాలను వ్రాయండి.

మేము పనిని అర్థమయ్యే భాషలోకి అనువదిస్తాము. అనంతమైన అంకగణిత పురోగతి ఇవ్వబడింది. ఈ పురోగతి యొక్క రెండవ సంఖ్య అంటారు: a 2 = 5.పురోగతి వ్యత్యాసం తెలుసు: d = -2.5.మేము ఈ పురోగతి యొక్క మొదటి, మూడవ, నాల్గవ, ఐదవ మరియు ఆరవ పదాలను కనుగొనాలి.

స్పష్టత కోసం, సమస్య యొక్క పరిస్థితులకు అనుగుణంగా నేను ఒక శ్రేణిని వ్రాస్తాను. మొదటి ఆరు పదాలు, ఇక్కడ రెండవ పదం ఐదు:

a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6,....

a 3 = ఒక 2 + డి

వ్యక్తీకరణలో ప్రత్యామ్నాయం a 2 = 5మరియు d = -2.5. మైనస్ గురించి మర్చిపోవద్దు!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

మూడో టర్మ్ రెండోసారి కంటే తక్కువ అని తేలింది. అంతా తార్కికమే. సంఖ్య మునుపటి కంటే ఎక్కువగా ఉంటే ప్రతికూలవిలువ, అంటే సంఖ్య మునుపటి కంటే తక్కువగా ఉంటుంది. పురోగతి తగ్గుతోంది. సరే, దానిని పరిగణలోకి తీసుకుందాం.) మేము మా సిరీస్ యొక్క నాల్గవ పదాన్ని లెక్కించాము:

ఒక 4 = a 3 + డి

ఒక 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

ఒక 5 = ఒక 4 + డి

ఒక 5=0+(-2,5)= - 2,5

ఒక 6 = ఒక 5 + డి

ఒక 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

కాబట్టి, మూడవ నుండి ఆరవ వరకు నిబంధనలు లెక్కించబడ్డాయి. ఫలితం క్రింది సిరీస్:

a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

ఇది మొదటి పదాన్ని కనుగొనడానికి మిగిలి ఉంది a 1బాగా తెలిసిన రెండవ ప్రకారం. ఇది ఇతర దిశలో, ఎడమ వైపున ఒక అడుగు.) కాబట్టి, అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసం డికు చేర్చకూడదు ఒక 2, ఎ తీసుకెళ్లు:

a 1 = ఒక 2 - డి

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

అంతే. అసైన్‌మెంట్ సమాధానం:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

ప్రయాణిస్తున్నప్పుడు, మేము ఈ పనిని పరిష్కరించామని నేను గమనించాలనుకుంటున్నాను పునరావృతంమార్గం. ఈ భయంకరమైన పదం అంటే పురోగతి యొక్క సభ్యుని కోసం శోధన మాత్రమే మునుపటి (ప్రక్కనే) సంఖ్య ప్రకారం.మేము దిగువ పురోగతితో పని చేయడానికి ఇతర మార్గాలను పరిశీలిస్తాము.

ఈ సాధారణ పని నుండి ఒక ముఖ్యమైన ముగింపును తీసుకోవచ్చు.

గుర్తుంచుకో:

మనకు కనీసం ఒక పదం మరియు అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసం తెలిస్తే, ఈ పురోగతి యొక్క ఏదైనా పదాన్ని మనం కనుగొనవచ్చు.

నీకు గుర్తుందా? ఈ సాధారణ ముగింపు ఈ అంశంపై పాఠశాల కోర్సు యొక్క చాలా సమస్యలను పరిష్కరించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. అన్ని పనులు మూడు ప్రధాన పారామితుల చుట్టూ తిరుగుతాయి: అంకగణిత పురోగతి సభ్యుడు, పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసం, పురోగతి యొక్క సభ్యుని సంఖ్య.అన్నీ.

వాస్తవానికి, అన్ని మునుపటి బీజగణితాలు రద్దు చేయబడవు.) అసమానతలు, సమీకరణాలు మరియు ఇతర విషయాలు పురోగతికి జోడించబడ్డాయి. కానీ పురోగతిని బట్టి- ప్రతిదీ మూడు పారామితుల చుట్టూ తిరుగుతుంది.

ఉదాహరణగా, ఈ అంశంపై కొన్ని జనాదరణ పొందిన పనులను చూద్దాం.

2. n=5, d = 0.4, మరియు a 1 = 3.6 అయితే పరిమిత అంకగణిత పురోగతిని శ్రేణిగా వ్రాయండి.

ఇక్కడ ప్రతిదీ సులభం. ఇప్పటికే అన్నీ ఇచ్చారు. మీరు అంకగణిత పురోగతి యొక్క సభ్యులను ఎలా లెక్కించాలో గుర్తుంచుకోవాలి, వాటిని లెక్కించాలి మరియు వాటిని వ్రాయాలి. విధి పరిస్థితులలో పదాలను కోల్పోకుండా ఉండటం మంచిది: “చివరి” మరియు “ n=5". కాబట్టి మీరు ముఖం పూర్తిగా నీలం రంగులోకి వచ్చే వరకు లెక్కించకూడదు.) ఈ పురోగతిలో కేవలం 5 (ఐదుగురు) సభ్యులు మాత్రమే ఉన్నారు:

a 2 = a 1 + d = 3.6 + 0.4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0.4 = 4.4

ఒక 4 = a 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8

ఒక 5 = ఒక 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2

సమాధానం వ్రాయడానికి ఇది మిగిలి ఉంది:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

మరొక పని:

3. సంఖ్య 7 అంకగణిత పురోగతి (a n)లో సభ్యుడిగా ఉంటుందో లేదో నిర్ణయించండి a 1 = 4.1; d = 1.2.

మ్... ఎవరికి తెలుసు? ఏదో గుర్తించడం ఎలా?

ఎలా-ఎలా... ప్రోగ్రెస్షన్‌ని సిరీస్‌ రూపంలో రాసి అక్కడ ఏడు ఉంటుందో లేదో చూడాలి! మేము లెక్కిస్తాము:

a 2 = a 1 + d = 4.1 + 1.2 = 5.3

a 3 = a 2 + d = 5.3 + 1.2 = 6.5

ఒక 4 = a 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

ఇప్పుడు మనం కేవలం ఏడుగురం మాత్రమేనని స్పష్టంగా కనిపిస్తోంది జారిపోయింది 6.5 మరియు 7.7 మధ్య! ఏడు మా సంఖ్యల శ్రేణిలోకి రాలేదు మరియు అందువల్ల, ఏడు ఇచ్చిన పురోగతిలో సభ్యులుగా ఉండరు.

సమాధానం: లేదు.

మరియు ఇక్కడ GIA యొక్క నిజమైన వెర్షన్ ఆధారంగా ఒక సమస్య ఉంది:

4. అంకగణిత పురోగతి యొక్క అనేక వరుస నిబంధనలు వ్రాయబడ్డాయి:

...; 15; X; 9; 6; ...

ముగింపు మరియు ప్రారంభం లేకుండా వ్రాసిన సిరీస్ ఇక్కడ ఉంది. సభ్యుల సంఖ్య లేదు, తేడా లేదు డి. ఇట్స్ ఓకే. సమస్యను పరిష్కరించడానికి, అంకగణిత పురోగతి యొక్క అర్ధాన్ని అర్థం చేసుకోవడం సరిపోతుంది. చూద్దాం మరియు ఏది సాధ్యమో చూద్దాం తెలుసుకొనుటకుఈ సిరీస్ నుండి? మూడు ప్రధాన పారామితులు ఏమిటి?

సభ్యుల సంఖ్యలు? ఇక్కడ ఒక్క సంఖ్య కూడా లేదు.

కానీ మూడు సంఖ్యలు ఉన్నాయి మరియు - శ్రద్ధ! - పదం "స్థిరమైన"పరిస్థితిలో. సంఖ్యలు ఖాళీలు లేకుండా ఖచ్చితంగా క్రమంలో ఉన్నాయని దీని అర్థం. ఈ వరుసలో ఇద్దరు ఉన్నారా? పొరుగుతెలిసిన సంఖ్యలు? అవును నా దగ్గర వుంది! ఇవి 9 మరియు 6. కాబట్టి, మనం అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించవచ్చు! ఆరు నుండి తీసివేయండి మునుపటిసంఖ్య, అనగా. తొమ్మిది:

కేవలం చిన్నవిషయాలు మాత్రమే మిగిలి ఉన్నాయి. Xకి మునుపటి సంఖ్య ఏది? పదిహేను. దీనర్థం X ను సులభంగా చేర్చడం ద్వారా సులభంగా కనుగొనవచ్చు. అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసాన్ని 15కి జోడించండి:

అంతే. సమాధానం: x=12

ఈ క్రింది సమస్యలను మనమే పరిష్కరిస్తాము. గమనిక: ఈ సమస్యలు ఫార్ములాలపై ఆధారపడి లేవు. అంకగణిత పురోగతి యొక్క అర్థాన్ని పూర్తిగా అర్థం చేసుకోవడానికి.) మేము కేవలం సంఖ్యలు మరియు అక్షరాల శ్రేణిని వ్రాస్తాము, దానిని చూసి గుర్తించండి.

5. 5 = -3 అయితే అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి సానుకూల పదాన్ని కనుగొనండి; d = 1.1.

6. సంఖ్య 5.5 అనేది అంకగణిత పురోగతి (a n)లో ఒక సభ్యుని అని తెలుసు, ఇక్కడ a 1 = 1.6; d = 1.3. ఈ పదం యొక్క సంఖ్య n ను నిర్ణయించండి.

7. అంకగణిత పురోగతిలో a 2 = 4; a 5 = 15.1. 3ని కనుగొనండి.

8. అంకగణిత పురోగతి యొక్క అనేక వరుస నిబంధనలు వ్రాయబడ్డాయి:

...; 15.6; X; 3.4; ...

x అక్షరం ద్వారా సూచించబడిన పురోగతి యొక్క పదాన్ని కనుగొనండి.

9. రైలు స్టేషన్ నుండి కదలడం ప్రారంభించింది, నిమిషానికి 30 మీటర్ల వేగంతో ఏకరీతిగా పెరుగుతుంది. ఐదు నిమిషాల్లో రైలు వేగం ఎంత? కిమీ/గంటలో మీ సమాధానం ఇవ్వండి.

10. అంకగణిత పురోగతిలో a 2 = 5; a 6 = -5. 1ని కనుగొనండి.

సమాధానాలు (అస్తవ్యస్తంగా ఉన్నాయి): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.

అంతా పనిచేసింది? అద్భుతం! మీరు క్రింది పాఠాలలో అధిక స్థాయిలో అంకగణిత పురోగతిని నేర్చుకోవచ్చు.

అంతా ఫలించలేదా? ఏమి ఇబ్బంది లేదు. ప్రత్యేక విభాగం 555లో, ఈ సమస్యలన్నీ ఒక్కొక్కటిగా క్రమబద్ధీకరించబడతాయి.) మరియు, వాస్తవానికి, ఒక సాధారణ ఆచరణాత్మక సాంకేతికత వివరించబడింది, ఇది వెంటనే అటువంటి పనులకు పరిష్కారాన్ని స్పష్టంగా, స్పష్టంగా, ఒక చూపులో హైలైట్ చేస్తుంది!

మార్గం ద్వారా, రైలు పజిల్‌లో ప్రజలు తరచుగా పొరపాట్లు చేసే రెండు సమస్యలు ఉన్నాయి. ఒకటి పూర్తిగా పురోగతికి సంబంధించినది మరియు రెండవది గణితం మరియు భౌతిక శాస్త్రంలో ఏవైనా సమస్యలకు సాధారణం. ఇది ఒకదాని నుండి మరొకదానికి కొలతల అనువాదం. ఈ సమస్యలను ఎలా పరిష్కరించాలో చూపిస్తుంది.

ఈ పాఠంలో మేము అంకగణిత పురోగతి యొక్క ప్రాథమిక అర్థాన్ని మరియు దాని ప్రధాన పారామితులను పరిశీలించాము. ఈ అంశంపై దాదాపు అన్ని సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ఇది సరిపోతుంది. జోడించు డిసంఖ్యలకు, సిరీస్ రాయండి, ప్రతిదీ పరిష్కరించబడుతుంది.

ఫింగర్ సొల్యూషన్ ఈ పాఠంలోని ఉదాహరణలలో వలె, వరుసగా చాలా చిన్న ముక్కలకు బాగా పని చేస్తుంది. సిరీస్ పొడవుగా ఉంటే, లెక్కలు మరింత క్లిష్టంగా మారతాయి. ఉదాహరణకు, ప్రశ్నలో సమస్య 9లో ఉంటే మనం భర్తీ చేస్తాము "ఐదు నిమిషాలు"పై "ముప్పై ఐదు నిమిషాలు"సమస్య మరింత తీవ్రమవుతుంది.)

మరియు సారాంశంలో సరళమైన, కానీ లెక్కల పరంగా అసంబద్ధమైన పనులు కూడా ఉన్నాయి, ఉదాహరణకు:

అంకగణిత పురోగతి (a n) ఇవ్వబడింది. 1 =3 మరియు d=1/6 అయితే 121ని కనుగొనండి.

కాబట్టి ఏమిటి, మనం 1/6 అనేక, చాలా సార్లు జోడించబోతున్నారా?! మిమ్మల్ని మీరు చంపుకోగలరా!?

మీరు చేయగలరు.) మీకు ఒక సాధారణ సూత్రం తెలియకపోతే, మీరు అలాంటి పనులను ఒక నిమిషంలో పరిష్కరించవచ్చు. ఈ ఫార్ములా తదుపరి పాఠంలో ఉంటుంది. మరియు ఈ సమస్య అక్కడ పరిష్కరించబడుతుంది. ఒక్క నిమిషంలో.)

మీకు ఈ సైట్ నచ్చితే...

మార్గం ద్వారా, నేను మీ కోసం మరికొన్ని ఆసక్తికరమైన సైట్‌లను కలిగి ఉన్నాను.)

మీరు ఉదాహరణలను పరిష్కరించడం సాధన చేయవచ్చు మరియు మీ స్థాయిని కనుగొనవచ్చు. తక్షణ ధృవీకరణతో పరీక్షిస్తోంది. నేర్చుకుందాం - ఆసక్తితో!)

మీరు విధులు మరియు ఉత్పన్నాలతో పరిచయం పొందవచ్చు.

అంకగణిత పురోగతిసంఖ్యల క్రమానికి పేరు పెట్టండి (పురోగతి యొక్క నిబంధనలు)

దీనిలో ప్రతి తదుపరి పదం మునుపటి పదం నుండి కొత్త పదం ద్వారా భిన్నంగా ఉంటుంది, దీనిని కూడా పిలుస్తారు దశ లేదా పురోగతి తేడా.

అందువల్ల, పురోగతి దశ మరియు దాని మొదటి పదాన్ని పేర్కొనడం ద్వారా, మీరు సూత్రాన్ని ఉపయోగించి దానిలోని ఏదైనా మూలకాన్ని కనుగొనవచ్చు

అంకగణిత పురోగతి యొక్క లక్షణాలు

1) అంకగణిత పురోగమనంలోని ప్రతి సభ్యుడు, రెండవ సంఖ్య నుండి ప్రారంభించి, పురోగతి యొక్క మునుపటి మరియు తదుపరి సభ్యుల అంకగణిత సగటు

సంభాషణ కూడా నిజం. పురోగమనం యొక్క ప్రక్కనే ఉన్న బేసి (సరి) నిబంధనల యొక్క అంకగణిత సగటు వాటి మధ్య ఉండే పదానికి సమానం అయితే, ఈ సంఖ్యల క్రమం అంకగణిత పురోగతి. ఈ ప్రకటనను ఉపయోగించి, ఏదైనా క్రమాన్ని తనిఖీ చేయడం చాలా సులభం.

అలాగే, అంకగణిత పురోగతి యొక్క లక్షణం ద్వారా, పై సూత్రాన్ని క్రింది వాటికి సాధారణీకరించవచ్చు

మీరు సమాన గుర్తుకు కుడి వైపున నిబంధనలను వ్రాస్తే దీన్ని ధృవీకరించడం సులభం

సమస్యలలో గణనలను సరళీకృతం చేయడానికి ఇది తరచుగా ఆచరణలో ఉపయోగించబడుతుంది.

2) అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి n నిబంధనల మొత్తం సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది

అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొత్తానికి సూత్రాన్ని బాగా గుర్తుంచుకోండి; ఇది గణనలలో ఎంతో అవసరం మరియు సాధారణ జీవిత పరిస్థితులలో చాలా తరచుగా కనుగొనబడుతుంది.

3) మీరు మొత్తం మొత్తాన్ని కాకుండా, దాని kth పదం నుండి ప్రారంభమయ్యే సీక్వెన్స్‌లో కొంత భాగాన్ని కనుగొనవలసి ఉంటే, కింది మొత్తం ఫార్ములా మీకు ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది

4) kth సంఖ్య నుండి ప్రారంభమయ్యే అంకగణిత పురోగతి యొక్క n నిబంధనల మొత్తాన్ని కనుగొనడం అనేది ఆచరణాత్మక ఆసక్తి. దీన్ని చేయడానికి, సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి

ఇది సైద్ధాంతిక పదార్థాన్ని ముగించింది మరియు ఆచరణలో సాధారణ సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ముందుకు సాగుతుంది.

ఉదాహరణ 1. అంకగణిత పురోగతి యొక్క నలభైవ పదాన్ని కనుగొనండి 4;7;...

పరిష్కారం:

మనకున్న షరతు ప్రకారం

పురోగతి దశను నిర్ధారిద్దాం

బాగా తెలిసిన సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, మేము పురోగతి యొక్క నలభైవ పదాన్ని కనుగొంటాము

ఉదాహరణ 2. అంకగణిత పురోగతి దాని మూడవ మరియు ఏడవ పదాల ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది. పురోగతి యొక్క మొదటి పదాన్ని మరియు పది మొత్తాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం:

సూత్రాలను ఉపయోగించి పురోగతి యొక్క అందించిన అంశాలను వ్రాస్దాం

మేము రెండవ సమీకరణం నుండి మొదటిదాన్ని తీసివేస్తాము, ఫలితంగా మేము పురోగతి దశను కనుగొంటాము

అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి పదాన్ని కనుగొనడానికి మేము కనుగొన్న విలువను ఏదైనా సమీకరణాలలోకి మారుస్తాము

మేము పురోగతి యొక్క మొదటి పది నిబంధనల మొత్తాన్ని గణిస్తాము

సంక్లిష్ట గణనలను ఉపయోగించకుండా, మేము అవసరమైన అన్ని పరిమాణాలను కనుగొన్నాము.

ఉదాహరణ 3. ఒక అంకగణిత పురోగతి హారం మరియు దాని నిబంధనలలో ఒకటి ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది. పురోగతి యొక్క మొదటి పదాన్ని, 50 నుండి ప్రారంభమయ్యే 50 పదాల మొత్తాన్ని మరియు మొదటి 100 మొత్తాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం:

పురోగతి యొక్క వందవ మూలకం కోసం సూత్రాన్ని వ్రాస్దాం

మరియు మొదటిదాన్ని కనుగొనండి

మొదటిదాని ఆధారంగా, మేము పురోగతి యొక్క 50వ పదాన్ని కనుగొంటాము

పురోగతి యొక్క భాగం మొత్తాన్ని కనుగొనడం

మరియు మొదటి 100 మొత్తం

పురోగతి మొత్తం 250.

ఉదాహరణ 4.

ఒకవేళ అంకగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనల సంఖ్యను కనుగొనండి:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

పరిష్కారం:

మొదటి పదం మరియు పురోగతి దశ పరంగా సమీకరణాలను వ్రాసి వాటిని నిర్ధారిద్దాం

మొత్తంలో పదాల సంఖ్యను నిర్ణయించడానికి మేము పొందిన విలువలను మొత్తం సూత్రంలోకి మారుస్తాము

మేము సరళీకరణలను నిర్వహిస్తాము

మరియు చతుర్భుజ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

కనుగొనబడిన రెండు విలువలలో, 8 సంఖ్య మాత్రమే సమస్య పరిస్థితులకు సరిపోతుంది. ఈ విధంగా, పురోగతి యొక్క మొదటి ఎనిమిది పదాల మొత్తం 111.

ఉదాహరణ 5.

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

1+3+5+...+x=307.

పరిష్కారం: ఈ సమీకరణం అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొత్తం. దాని మొదటి పదాన్ని వ్రాసి, పురోగతిలో తేడాను కనుగొనండి