Ufafanuzi na sifa za utendaji usio na kikomo na mkubwa usio na kikomo kwa uhakika. Uthibitisho wa mali na nadharia. Uhusiano kati ya utendakazi usio na kikomo na mkubwa usio na kikomo.
Ufafanuzi wa kazi zisizo na ukomo na zisizo na kikomo
Acha x 0 ni hatua isiyo na kikomo au isiyo na kikomo: ∞, -∞ au +∞.
Ufafanuzi wa kazi isiyo na kikomo
Kazi α (x) kuitwa usio na kikomo kama x inaelekea x 0
0
, na ni sawa na sifuri:
.
Ufafanuzi wa kazi kubwa isiyo na kikomo
Kazi f (x) kuitwa kubwa isiyo na kikomo kama x inaelekea x 0
, ikiwa chaguo la kukokotoa lina kikomo kama x → x 0
, na ni sawa na infinity:
.
Sifa za kazi zisizo na kikomo
Mali ya jumla, tofauti na bidhaa ya kazi zisizo na kikomo
Jumla, tofauti na bidhaa idadi ya kikomo ya vitendaji visivyo na kikomo kama x → x 0 ni kitendakazi kisicho na kikomo kama x → x 0 .
Mali hii ni matokeo ya moja kwa moja ya mali ya hesabu ya mipaka ya kazi.
Nadharia ya bidhaa utendakazi mdogo kwa usio na ukomo
Bidhaa ya chaguo za kukokotoa iliyowekewa mipaka kwenye kitongoji fulani cha uhakika x 0 , hadi usio na kikomo, kama x → x 0 , ni kitendakazi kisicho na kikomo kama x → x 0 .
Sifa ya kuwakilisha chaguo za kukokotoa kama jumla ya kitendakazi kisichobadilika na kisicho na kikomo
Ili kazi f (x) alikuwa na kikomo cha mwisho, ni muhimu na inatosha
,
wapi - bila kikomo kazi ndogo kama x → x 0
.
Sifa za kazi kubwa zisizo na kikomo
Nadharia juu ya jumla ya chaguo za kukokotoa zenye mipaka na kubwa isiyo na kikomo
Jumla au tofauti ya chaguo za kukokotoa zenye mipaka kwenye eneo fulani lililotobolewa la nukta x 0
, na kazi kubwa isiyo na kikomo, kama x → x 0
, haina mwisho kazi kubwa kama x → x 0
.
Nadharia juu ya mgawanyo wa chaguo za kukokotoa lenye mipaka na kubwa sana
Ikiwa kazi f (x) ni kubwa sana kama x → x 0
, na kazi g (x)- imefungwa kwenye kitongoji fulani cha uhakika x 0
, Hiyo
.
Nadharia juu ya mgawanyo wa chaguo za kukokotoa iliyopakana chini na isiyo na kikomo
Ikiwa kitendo, kwenye kitongoji fulani kilichochomwa cha uhakika, kwa thamani kamili imefungwa chini nambari chanya:
,
na chaguo la kukokotoa ni lisilo na kikomo kama x → x 0
:
,
na kuna kitongoji kilichochomwa cha uhakika ambacho , basi
.
Mali ya usawa wa kazi kubwa isiyo na kikomo
Ikiwa chaguo la kukokotoa ni kubwa sana kwa:
,
na utendakazi na , kwenye baadhi ya vitongoji vilivyotobolewa vya uhakika vinatosheleza ukosefu wa usawa:
,
basi kazi pia ni kubwa sana kwa:
.
Mali hii ina kesi mbili maalum.
Wacha, kwenye ujirani fulani uliotobolewa wa point , kazi na kukidhi ukosefu wa usawa:
.
Kisha ikiwa , basi na .
Ikiwa, basi na.
Uhusiano kati ya kazi kubwa sana na zisizo na kikomo
Kutoka kwa sifa mbili za awali hufuata uhusiano kati ya kazi kubwa isiyo na kikomo na isiyo na kikomo.
Ikiwa chaguo za kukokotoa ni kubwa sana kwa , basi chaguo hili la kukokotoa si la kikomo kwa .
Ikiwa chaguo za kukokotoa ni ndogo kwa , na , basi chaguo la kukokotoa ni kubwa sana kwa .
Uhusiano kati ya utendakazi usio na kikomo na utendakazi mkubwa usio na kikomo unaweza kuonyeshwa kwa njia ya mfano:
,
.
Ikiwa kitendakazi kisicho na kikomo kina ishara fulani kwa , yaani, ni chanya (au hasi) kwenye kitongoji fulani cha point , basi tunaweza kuiandika kama hii:
.
Vivyo hivyo, ikiwa kazi kubwa isiyo na kikomo ina ishara fulani kwa , basi wanaandika:
, au.
Kisha unganisho la mfano kati ya kazi ndogo na kubwa sana zinaweza kuongezewa na uhusiano ufuatao:
,
,
,
.
Fomula za ziada, kuunganisha alama za infinity zinaweza kupatikana kwenye ukurasa
"Pointi infinity na mali zao."
Uthibitisho wa mali na nadharia
Uthibitisho wa nadharia juu ya bidhaa ya kazi iliyo na mipaka na isiyo na kikomo
Acha kazi iwe kubwa sana kwa:
.
Na kuwe na kitongoji kilichochomwa cha uhakika ambacho
katika .
Wacha tuchukue mlolongo wa kiholela wa kugeukia . Halafu, kuanzia nambari fulani N, vitu vya mlolongo vitakuwa vya kitongoji hiki:
katika .
Kisha
katika .
Kulingana na ufafanuzi wa kikomo cha kazi kulingana na Heine,
.
Halafu, kwa mali ya usawa wa mlolongo mkubwa usio na kikomo,
.
Kwa kuwa mfuatano ni wa kiholela, unabadilika kuwa , basi, kwa ufafanuzi wa kikomo cha chaguo la kukokotoa kulingana na Heine,
.
Mali hiyo imethibitishwa.
Marejeleo:
L.D. Kudryavtsev. Vizuri uchambuzi wa hisabati. Juzuu 1. Moscow, 2003.
MFUATA WA NAMBA VI
§ l48. Jumla inapungua sana maendeleo ya kijiometri
Hadi sasa, tunapozungumza juu ya hesabu, kila wakati tumekuwa tukifikiria kuwa idadi ya maneno katika hesabu hizi ni ya mwisho (kwa mfano, 2, 15, 1000, nk). Lakini wakati wa kutatua shida fulani (haswa hisabati ya juu) mtu anapaswa kushughulika na kiasi nambari isiyo na kikomo masharti
S= a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)
Kiasi gani hizi? A-kipaumbele jumla ya idadi isiyo na kikomo ya masharti a 1 , a 2 , ..., a n , ... inaitwa kikomo cha jumla S n kwanza P nambari wakati P -> ∞ :
S=S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)
Kikomo (2), bila shaka, kinaweza kuwepo au kisiwepo. Kwa hiyo, wanasema kwamba jumla (1) ipo au haipo.
Tunawezaje kujua kama jumla (1) ipo katika kila moja kesi maalum? Uamuzi wa pamoja Suala hili linakwenda mbali zaidi ya upeo wa programu yetu. Hata hivyo, kuna moja muhimu kesi maalum, ambayo sasa tunapaswa kuzingatia. Tutazungumza juu ya muhtasari wa masharti ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana.
Hebu a 1 , a 1 q , a 1 q 2, ... ni ukuaji wa kijiometri unaopungua sana. Hii ina maana kwamba | q |< 1. Сумма первых P masharti ya maendeleo haya ni sawa
Kutoka kwa nadharia kuu kuhusu mipaka vigezo(tazama § 136) tunapata:
Lakini 1 = 1, a qn = 0. Kwa hiyo
Kwa hivyo, jumla ya maendeleo ya kijiometri ambayo yanapungua sana ni sawa na muhula wa kwanza wa mwendelezo huu ikigawanywa na denominator moja toa ya mwendelezo huu.
1) Jumla ya maendeleo ya kijiometri 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... ni sawa na
na jumla ya maendeleo ya kijiometri ni 12; -6; 3; - 3 / 2 , ... sawa
2) Rahisi sehemu ya mara kwa mara 0.454545 ... kubadilisha kwa kawaida.
Ili kutatua tatizo hili, hebu fikiria sehemu iliyotolewa kama jumla isiyo na kikomo:
Upande wa kulia wa usawa huu ni jumla ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana, muda wa kwanza ambao ni sawa na 45/100, na denominator ni 1/100. Ndiyo maana
Kutumia njia iliyoelezwa, inaweza pia kupatikana kanuni ya jumla ubadilishaji wa sehemu rahisi za muda hadi za kawaida (tazama Sura ya II, § 38):
Ili kubadilisha sehemu rahisi ya upimaji kuwa sehemu ya kawaida, unahitaji kufanya kwa njia ifuatayo: weka kipindi katika nambari Nukta, na kipunguzo ni nambari inayojumuisha nasaba zilizochukuliwa mara nyingi kama kuna tarakimu katika kipindi cha sehemu ya desimali.
3) Badilisha sehemu iliyochanganywa ya upimaji 0.58333 .... kuwa sehemu ya kawaida.
Wacha tufikirie sehemu hii kama jumla isiyo na kikomo:
Kwa upande wa kulia wa usawa huu, masharti yote, kuanzia 3/1000, huunda ukuaji wa kijiometri unaopungua sana, muda wa kwanza ambao ni sawa na 3/1000, na denominator ni 1/10. Ndiyo maana
Kwa kutumia njia iliyoelezwa, kanuni ya jumla ya kubadilisha sehemu zilizochanganywa za upimaji kuwa sehemu za kawaida zinaweza kupatikana (tazama Sura ya II, § 38). Kwa makusudi hatuiwasilishi hapa. Hakuna haja ya kukumbuka sheria hii ngumu. Ni muhimu zaidi kujua kwamba sehemu yoyote ya muda iliyochanganyika inaweza kuwakilishwa kama jumla ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana na nambari fulani. Na formula
kwa jumla ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana, lazima, bila shaka, ukumbuke.
Kama zoezi, tunashauri kwamba wewe, pamoja na shida Nambari 995-1000 zilizopewa hapa chini, ugeuke tena kwa shida Nambari 301 § 38.
Mazoezi
995. Ni nini kinachoitwa jumla ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana?
996. Pata hesabu za maendeleo ya kijiometri yanayopungua sana:
997. Kwa maadili gani X maendeleo
inapungua bila kikomo? Pata jumla ya maendeleo kama haya.
998.V pembetatu ya usawa na upande A iliyoandikwa kwa kuunganisha sehemu za katikati za pande zake pembetatu mpya; pembetatu mpya imeandikwa katika pembetatu hii kwa njia ile ile, na kadhalika ad infinitum.
a) jumla ya mizunguko ya pembetatu hizi zote;
b) jumla ya maeneo yao.
999. Mraba na upande A iliyoandikwa kwa kuunganisha sehemu za katikati za pande zake mraba mpya; mraba umeandikwa katika mraba huu kwa njia ile ile, na kadhalika ad infinitum. Tafuta jumla ya mizunguko ya miraba hii yote na jumla ya maeneo yao.
1000. Tunga ukuaji wa kijiometri unaopungua sana hivi kwamba jumla yake ni sawa na 25/4, na jumla ya miraba ya masharti yake ni sawa na 625/24.
Ili hesabu jumla ya mfululizo, unahitaji tu kuongeza vipengele vya safu nambari maalum ya nyakati. Kwa mfano:
Katika mfano hapo juu, hii ilifanyika kwa urahisi sana, kwani ilibidi ijumuishwe mara kadhaa. Lakini vipi ikiwa kikomo cha juu cha muhtasari ni kutokuwa na mwisho? Kwa mfano, ikiwa tunahitaji kupata jumla ya safu zifuatazo:
Kwa mlinganisho na mfano uliopita, tunaweza kuandika kiasi hiki kama hiki:
Lakini nini cha kufanya baadaye?! Katika hatua hii ni muhimu kuanzisha dhana jumla ya sehemu ya mfululizo. Kwa hiyo, jumla ya sehemu ya mfululizo(iliyoashiria S n) ni jumla ya masharti n ya kwanza ya mfululizo. Wale. kwa upande wetu:
Kisha jumla ya safu asili inaweza kuhesabiwa kama kikomo cha jumla ya sehemu:
Hivyo, kwa kuhesabu jumla ya mfululizo, ni muhimu kwa namna fulani kupata kujieleza kwa jumla ya sehemu ya mfululizo (S n). Kwa upande wetu mahususi, mfululizo ni kupungua kwa maendeleo ya kijiometri na denominator ya 1/3. Kama unavyojua, jumla ya vitu vya kwanza vya n vya maendeleo ya kijiometri huhesabiwa na formula:
hapa b 1 ni kipengele cha kwanza cha maendeleo ya kijiometri (kwa upande wetu ni 1) na q ni denominator ya maendeleo (kwa upande wetu 1/3). Kwa hivyo, jumla ya sehemu S n kwa safu yetu ni sawa na:
Kisha jumla ya mfululizo wetu (S) kulingana na ufafanuzi uliotolewa hapo juu ni sawa na:
Mifano iliyojadiliwa hapo juu ni rahisi sana. Kawaida, kuhesabu jumla ya safu ni ngumu zaidi, na ugumu mkubwa uko katika kupata jumla ya safu. Imeangaziwa hapa chini kikokotoo cha mtandaoni, kulingana na mfumo wa Wolfram Alpha, hukuruhusu kukokotoa jumla ya mfululizo changamano. Zaidi ya hayo, ikiwa kikokotoo hakikuweza kupata jumla ya mfululizo, kuna uwezekano hivyo mfululizo huu ni tofauti (katika kesi hii kikokotoo kinaonyesha ujumbe kama "jumla ya kutofautiana"), i.e. Kikokotoo hiki pia husaidia kwa njia isiyo ya moja kwa moja kupata wazo la muunganisho wa mfululizo.
Ili kupata jumla ya mfululizo wako, lazima ueleze tofauti ya mfululizo, ya chini na mipaka ya juu muhtasari, pamoja na usemi wa muhula wa nth wa mfululizo (yaani, usemi halisi wa mfululizo wenyewe).
Jumla ya yote nambari za asili inaweza kuandikwa kwa kutumia safu zifuatazo za nambari
Hii, kwa mtazamo wa kwanza, matokeo ya kupinga kabisa, hata hivyo yanaweza kuthibitishwa kwa ukali. Lakini kabla ya kuzungumza juu ya uthibitisho, tunahitaji kuchukua hatua nyuma na kukumbuka dhana za msingi.
Wacha tuanze na ukweli kwamba jumla ya "classical" ya safu ndio kikomo kiasi cha sehemu mfululizo, ikiwa ipo na ina mwisho. Maelezo yanaweza kupatikana katika Wikipedia na fasihi inayohusiana. Ikiwa kikomo cha mwisho hakipo, basi mfululizo unasemekana kuwa tofauti.
Kwa mfano, jumla ya sehemu ya masharti ya k ya kwanza ya safu ya nambari 1 + 2 + 3 + 4 +... imeandikwa kama ifuatavyo.
Ni rahisi kuelewa kuwa jumla hii inakua bila kikomo kwani k huelekea kutokuwa na mwisho. Kwa hivyo, mfululizo wa asili ni tofauti na, kwa kusema madhubuti, hauna jumla. Kuna, hata hivyo, njia nyingi za kugawa thamani ya mwisho kwa mfululizo tofauti.
Safu ya 1+2+3+4+... iko mbali na safu mseto pekee. Chukua, kwa mfano, mfululizo wa Grundy
Ambayo pia hutofautiana, lakini inajulikana kuwa mbinu ya muhtasari ya Cesaro inaturuhusu kugawa thamani maalum ya 1/2 kwa mfululizo huu. Muhtasari kulingana na Cesaro unajumuisha kufanya kazi si kwa kiasi kidogo cha mfululizo, lakini kwa wastani wao wa hesabu. Ikiwa tutajiruhusu kufikiria kwa uhuru, tunaweza kusema kwamba hesabu za sehemu za safu ya Grundy zinazunguka kati ya 0 na 1, kulingana na ni mwanachama gani wa safu hiyo ndiye wa mwisho katika jumla (+1 au -1), kwa hivyo thamani ya 1/2, kama wastani wa hesabu wa mbili maadili iwezekanavyo kiasi cha sehemu.
Mfano mwingine wa kuvutia wa mfululizo tofauti ni mfululizo unaobadilishana 1 - 2 + 3 - 4 +..., hesabu za sehemu ambazo pia huzunguka. Muhtasari kwa mbinu ya Abeli huturuhusu kugawa thamani ya mwisho ya 1/4 kwa mfululizo huu. Kumbuka kwamba njia ya Abeli ni, kwa namna fulani, maendeleo ya njia ya majumuisho ya Cesaro, hivyo matokeo 1/4 si vigumu kuelewa kutoka kwa mtazamo wa intuition.
Ni muhimu kutambua hapa kuwa njia za muhtasari sio ujanja ambao wanahisabati walikuja nao kwa njia fulani kushughulikia safu tofauti. Ikiwa unatumia majumuisho ya Cesaro au mbinu ya Abel kwa mfululizo wa muunganisho, jibu ambalo njia hizi hutoa ni kiasi cha classical mfululizo wa muunganisho.
Wala muhtasari wa Cesaro wala njia ya Abeli, hata hivyo, inaruhusu mtu kufanya kazi na mfululizo 1 + 2 + 3 + 4 +..., kwa kuwa njia za hesabu za kiasi cha sehemu, pamoja na njia za hesabu za njia za hesabu, zinatofautiana. Kwa kuongezea, ikiwa maadili 1/2 au 1/4 yanaweza kukubalika kwa njia fulani na kuunganishwa na safu inayolingana, basi -1/12 ni ngumu kuhusishwa na safu 1 + 2 + 3 + 4 +..., ambayo ni mfuatano usio na kikomo wa nambari kamili chanya.
Kuna njia kadhaa za kufikia matokeo -1/12. Katika dokezo hili nitakaa kwa ufupi tu juu ya moja yao, ambayo ni kuhalalisha kwa kazi ya zeta. Wacha tuanzishe kazi ya zeta
Kubadilisha s = -1, tunapata asili mfululizo wa nambari 1+2+3+4+…. Hebu tufanye mfululizo wa shughuli rahisi za hisabati kwenye kazi hii
Kazi ya Dirichlet eta iko wapi
Wakati thamani s = -1 chaguo hili la kukokotoa linakuwa mfululizo unaojulikana 1 - 2 + 3 - 4 + 5 -... ambao "jumla" ni sawa na 1/4. Sasa tunaweza kutatua equation kwa urahisi
Inafurahisha, matokeo haya hupata matumizi katika fizikia. Kwa mfano, katika nadharia ya kamba. Hebu tufungue ukurasa wa 22 wa kitabu cha Joseph Polchinski cha “String Theory”:
Ikiwa kwa watu wengine nadharia ya kamba sio mfano wa kushawishi kwa sababu ya ukosefu wa ushahidi wa matokeo mengi ya nadharia hii, basi tunaweza pia kutaja kuwa njia zinazofanana zinaonekana katika nadharia ya quantum mashamba wakati wa kujaribu kukokotoa athari ya Casimir.
Ili kuepuka kwenda mara mbili, hapa kuna mifano michache ya kuvutia zaidi na kazi ya zeta
Kwa wale ambao wanataka kupata habari zaidi juu ya mada, nitagundua kuwa niliamua kuandika barua hii baada ya kutafsiri nakala inayolingana kwenye Wikipedia, ambapo katika sehemu ya "Viungo" unaweza kupata mengi. nyenzo za ziada, zaidi katika Kiingereza.
David Berman, Marianne Freiberger
Hivi majuzi kulikuwa na mijadala mingi matokeo ya ajabu. Inaelezwa kuwa unapojumlisha nambari zote za asili
basi kiasi kitakuwa sawa na . Wazo hili imeonyeshwa kwenye video Numberphile, ambayo inasema kuwa matokeo yamethibitishwa na pia inasema kwamba hutumiwa sana katika fizikia. Wazo hili liliwashangaza watu sana hata likaishia kwenye gazeti la New York Times. Kwa hivyo hii yote inamaanisha nini?
Hisabati
Kwanza kabisa, jumla isiyo na kikomo ya nambari zote za asili sio sawa. Unaweza kuthibitisha hili kwa urahisi kwa kuhesabu kiasi kidogo kwenye kikokotoo
Nakadhalika. inakuwa kubwa na kubwa kwa ukuaji, yaani, kwa kuongezeka kwa idadi ya idadi ya asili iliyoongezwa. Kwa kweli, ukichagua kubwa ya kutosha, unaweza kuifanya iwe kubwa kama unavyotaka. Kwa mfano, ikiwa unapokea
Na unapopokea
Kwa hivyo, wanahisabati wanasema kwamba safu hii inatofautiana. Au, ili kuiweka kwa urahisi zaidi, kwamba jumla ni sawa na infinity.
Srinivasa Ramanujan
Kwa hiyo inatoka wapi? Kwa kweli, matokeo yasiyo sahihi yalionekana katika kazi ya mwanahisabati maarufu wa India Srinivasa Ramanujan mnamo 1913. Lakini Ramanujan alijua alichokuwa akifanya, na alikuwa na sababu ya kukiandika. Alisoma ile inayoitwa kazi ya Euler zeta. Ili kuelewa hii ni nini, hebu kwanza tuchunguze jumla isiyo na kikomo
Utagundua kuwa jumla hii hupatikana unapojumlisha nambari, miraba inverse nambari za asili:
Sasa kiasi hiki hakina tofauti. Ikiwa tutazingatia mlolongo wa kiasi kidogo, kama tulivyofanya hapo juu,
basi matokeo ambayo yatapatikana yatakuwa karibu na nambari inayotaka, lakini haitazidi kamwe. Wanahisabati wanasema kwamba mfululizo hubadilika hadi , au kwa urahisi zaidi kwamba jumla ya mfululizo huo ni sawa na .
Sasa hebu tuone ni nini kitatokea ikiwa, badala ya kugawanya nambari za asili katika dhehebu, tutaziinua kwa nguvu nyingine? Ni zinageuka kuwa kiasi sambamba
hubadilika hadi thamani ya mwisho ikiwa digrii ni nambari kubwa kuliko . Kwa kila kichwa = "Imetolewa na QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> сумма имеет определенное конечное значение. — это то, что называется функцией, и эта функция называется дзета-функцией Эйлера в честь !} mwanahisabati bora Karne ya 17 na Leonhard Euler.
Hadi sasa nzuri sana. Lakini nini kitatokea ikiwa tutazingatia nambari ndogo kuliko ? Kwa mfano, nini kitatokea ikiwa unachukua? Hebu tuangalie.
Kwa hivyo tulipata jumla yetu ya asili, ambayo tunajua ni tofauti. Vile vile ni kweli kwa maadili mengine yoyote chini ya au sawa na : jumla hutofautiana.
Maoni. Kuendelea kwa kazi ya zeta ya Euler. Chaguo za kukokotoa za Euler zeta hufafanuliwa kwa nambari halisi kubwa kuliko . Nambari halisi ni sehemu ya familia kubwa ya nambari inayoitwa nambari ngumu. Na ingawa nambari halisi zinalingana na alama zote kwenye mstari wa nambari, nambari changamano zinalingana na alama zote kwenye ndege iliyo na nambari halisi ya nambari. Ndege hii inaitwa ndege tata. Kama vile vitendaji ambavyo hoja zake ni nambari halisi zinavyofafanuliwa, vitendaji ambavyo hoja zake ni nambari changamano zinaweza kufafanuliwa.
Moja ukweli wa ajabu Jambo kuhusu utendakazi wa vigeuzo changamano ni kwamba ikiwa unajua thamani ya chaguo za kukokotoa kwenye seti fulani ya data, basi (hadi maelezo machache ya kiufundi) unaweza kujua thamani ya kazi katika hatua yoyote katika ndege changamano. Mbinu hii ya kupanua kikoa cha chaguo za kukokotoa inajulikana kama mwendelezo wa uchanganuzi. Chaguo za kukokotoa zeta za Euler hufafanuliwa kwa nambari halisi kubwa kuliko . Kwa kuwa nambari halisi ni nambari changamano, tunaweza kufikiria kazi hii kama kazi tata, na kisha utumie muendelezo wa uchanganuzi kupata kipengele kipya, iliyofafanuliwa kwenye ndege nzima, lakini inalingana na kitendakazi cha Euler zeta kwa nambari halisi kubwa kuliko . Hii ni kazi ya Riemann zeta.
Kuna jambo moja zaidi linaloweza kufanywa. Kutumia hisabati yenye nguvu ( uchambuzi wa kina tazama maoni), tunaweza kupanua kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa za Euler zeta ili kwa nambari zilizo chini ya au sawa, chaguo hili la kukokotoa lichukue thamani zenye kikomo. Kwa maneno mengine, kuna njia ya kufafanua kazi mpya, wacha tuiite , ili kwa title="Rendered by QuickLaTeX.com)." height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;">!}
Na kwa chaguo za kukokotoa kungechukua maadili fulani ya mwisho. Njia hii inaitwa muendelezo wa uchanganuzi, na kazi mpya inayotoa inaitwa kazi ya Riemann zeta, iliyopewa jina la mwanahisabati wa karne ya 18 Bernhard Riemann. (Kuunda chaguo hili jipya la kukokotoa ambalo huchukua thamani zenye kikomo kunajumuisha kutoa kutoka kwa mfululizo tofauti mfululizo mwingine tofauti, ili kwamba infinity inayotokana na jumla ya tofauti ya kwanza kuondoa infinity inayotokana na jumla ya pili tofauti iwe sawa na kitu chenye kikomo.)
Sawa. Sasa tunayo kazi ambayo kwa title="Imetolewa na QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> принимает те же значения, что и дзета-функция Эйлера . И для дзета-функция Римана принимает конечные значения. Какое значение вы получите, когда подставите в дзета-функцию? Вы угадали:!}
Na ikiwa utafanya makosa ya kudhani kwamba kwa , basi utapata usawa (usio sahihi).
Hii inaeleza kwa nini Ramanujan aliandika usemi huu wa ajabu.
Ujanja
Kwa hivyo, watu kwenye video "walithibitisha" vipi kwamba jumla ya nambari zote asili ni sawa na ? Kwa kweli hawakufanya hivyo. Kutazama video hii ni kama kumtazama mchawi na kujaribu kubaini wakati sungura anashushwa kwenye kofia. Hatua ya kwanza ya "ushahidi" inajaribu kukushawishi juu ya jambo la kijinga, ambalo ni kiasi kisicho na kipimo.
Video haizingatii hili kwa muda mrefu na inaonekana kuashiria kuwa ni dhahiri. Lakini hebu tuangalie hili kwa karibu zaidi kuona kama lina mantiki hata kidogo. Wacha jumla iwe sawa na nambari ya mwisho, wacha tuiite . Tukijiongezea, tunapata jumla isiyo na kikomo
Lakini hii ni kiasi cha awali tu, kutoka wapi
Kwa kuwa, hiyo si kweli. Kwa hivyo, taarifa kwamba jumla isiyo na kikomo inaweza kuchukuliwa kuwa sawa sio sahihi. Kwa kweli, unaweza kupata matokeo tofauti kwa kutumia kiasi kisicho na kipimo ambacho hutofautiana. Huu ni ujanja!
Fizikia
Lakini je, matokeo haya yasiyo sahihi yaliishiaje kwenye kitabu cha kiada cha fizikia kama inavyoonyeshwa kwenye video? Hapa ndipo mambo yanavutia sana. Tuseme unachukua sahani mbili za chuma zinazoendesha na kuzipanga kwa utupu ili ziwe sawa kwa kila mmoja. Kulingana na fizikia ya kitambo, haipaswi kuwa na nguvu inayofanya kazi kati ya sahani hizi mbili.
Athari ya Casimir
Lakini fizikia ya classical haizingatii madhara ya ajabu unayoyaona ukiitazama dunia kwa mizani ndogo sana. Ili kuzizingatia, tunahitaji fizikia ya quantum, ambayo inadai mambo mengi ya ajabu sana. Mmoja wao ni kwamba ombwe si tupu, ni kamili ya shughuli. Wakati wote kinachojulikana chembe virtual. Shughuli hii inatoa kinachojulikana nishati sifuri: Nguvu ya chini kabisa ambayo kitu kinaweza kuwa nayo sio sifuri kamwe. Unapojaribu kukokotoa jumla ya msongamano wa nishati kati ya sahani mbili kwa kutumia hesabu au fizikia ya quantum, unaishia na jumla isiyo na kikomo.
Jumla hii isiyo na kikomo pia ndiyo unayopata unapochomeka thamani kwenye kazi ya zeta ya Euler:
Ni bahati mbaya kwa sababu kiasi hiki inatofautiana (inafanya haraka zaidi kuliko ), ambayo itamaanisha wiani usio na kipimo wa nishati. Huu ni ujinga dhahiri. Lakini vipi ikiwa utachukulia kwa ucheshi kuwa jumla isiyo na kikomo ni sawa na chaguo za kukokotoa za Riemann zeta, badala ya chaguo za kukokotoa za Euler zeta, katika ? Kweli, basi unapata wiani wa nishati. Hii ina maana kwamba kuna lazima iwe na nguvu ya kuvutia kati ya sahani za chuma, ambayo pia inaonekana kuwa ya ujinga, kwani fizikia ya classical inaonyesha kwamba haipaswi kuwa na nguvu.
Lakini hapa kuna mshangao. Wanafizikia walipofanya jaribio hilo, waligundua kuwa nguvu ipo, na inalingana na msongamano wa nishati sawa kabisa na !
Hii ya ajabu matokeo ya kimwili inayojulikana kama athari ya Casimir, iliyopewa jina la mwanafizikia wa Uholanzi Hendrik Casimir.
Chukua muda kufahamu hili. Fizikia ya quantum inasema kwamba msongamano wa nishati unapaswa kuwa sawa na
Huu ni upuuzi, lakini majaribio yanaonyesha kuwa ikiwa (kimakosa) utazingatia jumla hii kuwa sawa na thamani ya kazi ya zeta kwa , utapata jibu sahihi. Kwa hivyo inaonekana kwamba maumbile yanafuata mawazo ya Ramanujan. Aliongeza kipengele cha kukokotoa zeta cha Euler ili kujumuisha thamani ndogo kuliko , kwa werevu akiondoa ukomo ili kufikia thamani iliyo na kikomo. Hii ni ajabu!
Sababu tunaona katika video ya Numberphile na kwenye kitabu cha kiada cha fizikia na sio na ni kwamba unapofikiria athari ya Casimir ikitokea kwa mwelekeo mmoja (kando ya mstari, sio katika 3D), msongamano wa nishati unaozingatia, ni sawa na , sio. .
Kwa hivyo kwa nini watu wa Numberphile wanakuza "matokeo" haya ya kushangaza? Bila shaka wanajua kuhusu kuendelea kwa uchanganuzi, ambayo hufanya kazi kuwa maalum kabisa, lakini hii ni mambo ya kiufundi sana kwa video zao. Kujua njia ya uchambuzi mwendelezo unaofanya matokeo ya mwisho kuwa ya kuridhisha huku wakiyaficha kwenye mfuko wao wa nyuma, walisonga mbele kwa werevu. Kwa kufanya hivyo, walipokea maoni zaidi ya milioni, na ulimwengu ulianza kuzungumza juu ya kazi ya zeta na hisabati. Wanaweza kupongezwa kwa hili. Hisabati ya kazi ya zeta ni nzuri sana, na tuliyoshughulikia hapa ni mwanzo tu. orodha ndefu sifa za ajabu za hisabati. Tunapoeneza hisabati na fizikia, ni lazima kila wakati tufanye uchaguzi kuhusu kile ambacho hatusemi na kile tunachoeleza. Ambapo tutachora mstari huo ni juu yetu.