Jinsi ukosefu wa usawa unatatuliwa. Kutatua Ukosefu wa Usawa wa Linear

Makini!
Kuna ziada
nyenzo katika Sehemu Maalum ya 555.
Kwa wale ambao "sio sana ..."
Na kwa wale ambao "sana ...")

Nini kilitokea "kukosekana kwa usawa wa quadratic"? Hakuna swali!) Ikiwa unachukua yoyote quadratic equation na ubadilishe ishara ndani yake "=" (sawa) na ishara yoyote ya ukosefu wa usawa ( > ≥ < ≤ ≠ ), tunapata usawa wa quadratic. Kwa mfano:

1. x 2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x 2 ≤ 4

Kweli, unaelewa ...)

Sio bure kwamba niliunganisha hesabu na usawa hapa. Jambo ni kwamba hatua ya kwanza katika kutatua yoyote usawa wa quadratic - kutatua equation ambayo ukosefu huu wa usawa unafanywa. Kwa sababu hii - kutokuwa na uwezo wa kuamua milinganyo ya quadratic moja kwa moja husababisha kutofaulu kabisa kwa usawa. Je, kidokezo ni wazi?) Kama kuna chochote, angalia jinsi ya kutatua milinganyo yoyote ya quadratic. Kila kitu kinaelezewa hapo kwa undani. Na katika somo hili tutashughulika na ukosefu wa usawa.

Ukosefu wa usawa ulio tayari kwa suluhisho una fomu: upande wa kushoto ni quadratic trinomial shoka 2 +bx+c, upande wa kulia - sifuri. Ishara ya usawa inaweza kuwa chochote kabisa. Mifano miwili ya kwanza iko hapa tayari kufanya uamuzi. Mfano wa tatu bado unahitaji kutayarishwa.

Ikiwa unapenda tovuti hii ...

Kwa njia, nina tovuti kadhaa za kupendeza kwako.)

Unaweza kufanya mazoezi ya kutatua mifano na kujua kiwango chako. Inajaribu kwa uthibitishaji wa papo hapo. Wacha tujifunze - kwa hamu!)

Unaweza kufahamiana na kazi na derivatives.

Kwa mfano, ukosefu wa usawa ni usemi \(x>5\).

Aina za usawa:

Ikiwa \(a\) na \(b\) ni nambari au , basi ukosefu wa usawa unaitwa nambari. Ni kweli tu kulinganisha nambari mbili. Ukosefu wa usawa kama huo umegawanywa mwaminifu Na wasio mwaminifu.

Kwa mfano:
\(-5<2\) - верное usawa wa nambari, kwa sababu \(-5\) ni kweli chini ya \(2\);

\(17+3\geq 115\) ni ukosefu wa usawa wa nambari, kwani \(17+3=20\), na \(20\) ni chini ya \(115\) (na si kubwa kuliko au sawa na) .

Ikiwa \(a\) na \(b\) ni misemo iliyo na kutofautisha, basi tunayo usawa na kutofautiana. Ukosefu kama huo umegawanywa katika aina kulingana na yaliyomo:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Inaweza kubadilika tu kwa nguvu ya kwanza
\(3x^2-x+5>0\)				Kuna tofauti katika nguvu ya pili (mraba), lakini hakuna nguvu za juu (ya tatu, ya nne, nk).
\(\logi_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... Nakadhalika.

Je, ni suluhisho gani la ukosefu wa usawa?

Ukibadilisha nambari badala ya kigezo kuwa ukosefu wa usawa, itabadilika kuwa nambari.

Ikiwa thamani iliyotolewa ya x inageuza usawa wa asili kuwa nambari ya kweli, basi inaitwa suluhisho la usawa. Ikiwa sivyo, basi thamani hii sio suluhisho. Na kwa kutatua ukosefu wa usawa- unahitaji kupata suluhisho zake zote (au onyesha kuwa hakuna).

Kwa mfano, tukibadilisha nambari \(7\) kwa usawa wa mstari \(x+6>10\), tunapata usawa sahihi wa nambari: \(13>10\). Na tukibadilisha \(2\), kutakuwa na ukosefu wa usawa wa nambari \(8>10\). Hiyo ni, \(7\) ni suluhu la ukosefu wa usawa wa asili, lakini \(2\) sivyo.

Walakini, ukosefu wa usawa \(x+6>10\) una masuluhisho mengine. Hakika, tutapata usawa sahihi wa nambari wakati wa kubadilisha \(5\), na \(12\), na \(138\)... Na tunawezaje kupata zote suluhu zinazowezekana? Kwa hili wanatumia Kwa kesi yetu tunayo:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Hiyo ni, nambari yoyote kubwa kuliko nne inafaa kwetu. Sasa unahitaji kuandika jibu. Suluhisho la kukosekana kwa usawa kawaida huandikwa kwa nambari, kwa kuongeza alama kwenye mhimili wa nambari na kivuli. Kwa kesi yetu tunayo:

Jibu: \(x\in(4;+\infty)\)

Je, ishara ya ukosefu wa usawa inabadilika lini?

Kuna mtego mmoja mkubwa katika ukosefu wa usawa ambao wanafunzi "hupenda" kuangukia:

Wakati wa kuzidisha (au kugawanya) usawa kwa nambari hasi, inabadilishwa ("zaidi" na "chini", "zaidi au sawa" na "chini ya au sawa", na kadhalika)

Kwa nini hii inatokea? Ili kuelewa hili, hebu tuangalie mabadiliko ya usawa wa nambari \(3>1\). Ni kweli, tatu kweli zaidi ya moja. Kwanza hebu tujaribu kuzidisha kwa yoyote nambari chanya, kwa mfano, mbili:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Kama tunavyoona, baada ya kuzidisha usawa unabaki kuwa kweli. Na haijalishi ni nambari gani chanya tunayozidisha, tutapata kila wakati ukosefu wa usawa wa kweli. Sasa hebu tujaribu kuzidisha kwa nambari hasi, kwa mfano, minus tatu:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Matokeo yake ni ukosefu wa usawa, kwa sababu minus tisa ni chini ya minus tatu! Hiyo ni, ili kukosekana kwa usawa kuwa kweli (na kwa hivyo, ubadilishaji wa kuzidisha na hasi ulikuwa "kisheria"), unahitaji kubadilisha ishara ya kulinganisha, kama hii: \(-9)<− 3\).
Kwa mgawanyiko itafanya kazi kwa njia ile ile, unaweza kuiangalia mwenyewe.

Sheria iliyoandikwa hapo juu inatumika kwa aina zote za usawa, sio nambari tu.

Mfano: Tatua ukosefu wa usawa \(2(x+1)-1<7+8x\)
Suluhisho:


\(2x+2-1<7+8x\)	Wacha tusogee \(8x\) kushoto, na \(2\) na \(-1\) kulia, bila kusahau kubadilisha ishara.
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(\|:(-6)\)	Wacha tugawanye pande zote mbili za ukosefu wa usawa kwa \(-6\), bila kusahau kubadilisha kutoka "chini" hadi "zaidi"
	Wacha tuweke alama kwa muda wa nambari kwenye mhimili. Kutokuwa na usawa, kwa hivyo "tunaondoa" thamani \(-1\) yenyewe na hatuichukulii kama jibu
	Hebu tuandike jibu kama muda

Jibu: \(x\in(-1;\infty)\)

Ukosefu wa usawa na ulemavu

Kutokuwepo kwa usawa, kama hesabu, kunaweza kuwa na vizuizi, ambayo ni, kwa maadili ya x. Ipasavyo, zile maadili ambazo hazikubaliki kulingana na DZ zinapaswa kutengwa na anuwai ya suluhisho.

Mfano: Tatua ukosefu wa usawa \(\sqrt(x+1)<3\)

Suluhisho: Ni wazi kwamba ili upande wa kushoto uwe chini ya \(3\), usemi mkali lazima uwe chini ya \(9\) (baada ya yote, kutoka \(9\) tu \(3\)). Tunapata:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

Wote? Thamani yoyote ya x ndogo kuliko \(8\) itatufaa? Hapana! Kwa sababu tukichukua, kwa mfano, thamani \(-5\) ambayo inaonekana inafaa mahitaji, haitakuwa suluhisho kwa usawa wa awali, kwani itatuongoza kuhesabu mzizi wa nambari hasi.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Kwa hiyo, ni lazima pia kuzingatia vikwazo juu ya thamani ya X - haiwezi kuwa hivyo kwamba kuna idadi hasi chini ya mzizi. Kwa hivyo, tunayo hitaji la pili la x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

Na ili x liwe suluhu la mwisho, lazima likidhi mahitaji yote mawili kwa wakati mmoja: lazima liwe chini ya \(8\) (kuwa suluhu) na kubwa kuliko \(-1\) (ili kuruhusiwa kimsingi). Kuipanga kwenye mstari wa nambari, tunayo jibu la mwisho:

Jibu: \(\kushoto[-1;8\kulia)\)

Imekuwa muhimu kulinganisha kiasi na kiasi wakati wa kutatua matatizo ya vitendo tangu nyakati za kale. Wakati huo huo, maneno kama vile zaidi na kidogo, ya juu na ya chini, nyepesi na nzito, ya utulivu na ya sauti zaidi, ya bei nafuu na ya gharama kubwa zaidi, nk yalionekana, kuashiria matokeo ya kulinganisha kiasi cha homogeneous.

Dhana za zaidi na kidogo ziliibuka kuhusiana na kuhesabu vitu, kupima na kulinganisha idadi. Kwa mfano, wanahisabati wa Ugiriki ya Kale walijua kwamba upande wa pembetatu yoyote ni chini ya jumla ya pande nyingine mbili na kwamba upande mkubwa zaidi uko kinyume na pembe kubwa zaidi katika pembetatu. Archimedes, wakati wa kuhesabu mduara, aligundua kuwa mzunguko wa mduara wowote ni sawa na kipenyo mara tatu na ziada ambayo ni chini ya saba ya kipenyo, lakini zaidi ya mara kumi na sabini ya kipenyo.

Andika kwa njia ya ishara uhusiano kati ya nambari na idadi kwa kutumia ishara > na b. Rekodi ambazo nambari mbili zimeunganishwa na moja ya ishara: > (kubwa kuliko), Pia ulikutana na kutofautiana kwa nambari katika darasa la chini. Unajua kwamba kutofautiana kunaweza kuwa kweli, au kunaweza kuwa uongo. Kwa mfano, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) ni usawa sahihi wa nambari, 0.23 > 0.235 ni ukosefu wa usawa wa nambari.

Ukosefu wa usawa unaohusisha haijulikani unaweza kuwa kweli kwa baadhi ya thamani zisizojulikana na uongo kwa wengine. Kwa mfano, ukosefu wa usawa 2x+1>5 ni kweli kwa x = 3, lakini si kweli kwa x = -3. Kwa usawa na mtu asiyejulikana, unaweza kuweka kazi: kutatua usawa. Shida za kutatua usawa katika mazoezi hutolewa na kutatuliwa sio chini ya shida za kutatua hesabu. Kwa mfano, matatizo mengi ya kiuchumi yanakuja kwenye utafiti na ufumbuzi wa mifumo ya usawa wa mstari. Katika matawi mengi ya hisabati, ukosefu wa usawa ni wa kawaida zaidi kuliko milinganyo.

Baadhi ya ukosefu wa usawa hutumika kama njia ya pekee ya kuthibitisha au kukanusha kuwepo kwa kitu fulani, kwa mfano, mzizi wa mlinganyo.

Ukosefu wa usawa wa nambari

Unaweza kulinganisha nambari nzima na sehemu za desimali. Jua sheria za kulinganisha sehemu za kawaida na denominator sawa lakini nambari tofauti; na nambari zinazofanana lakini madhehebu tofauti. Hapa utajifunza jinsi ya kulinganisha nambari zozote mbili kwa kupata ishara ya tofauti zao.

Kulinganisha nambari hutumiwa sana katika mazoezi. Kwa mfano, mwanauchumi analinganisha viashiria vilivyopangwa na halisi, daktari analinganisha joto la mgonjwa na kawaida, turner inalinganisha vipimo vya sehemu ya mashine na kiwango. Katika visa vyote hivyo, nambari zingine hulinganishwa. Kama matokeo ya kulinganisha nambari, usawa wa nambari hutokea.

Ufafanuzi. Nambari a ni kubwa kuliko nambari b ikiwa tofauti a-b ni chanya. Nambari a ni chini ya nambari b ikiwa tofauti a-b ni hasi.

Ikiwa a ni kubwa kuliko b, basi wanaandika: a > b; ikiwa a ni chini ya b, basi wanaandika: a Hivyo, ukosefu wa usawa a > b unamaanisha kuwa tofauti a - b ni chanya, i.e. a - b > 0. Kutokuwa na usawa a Kwa nambari zozote mbili a na b, kutoka kwa mahusiano matatu yafuatayo a > b, a = b, a Kulinganisha nambari a na b ina maana ya kujua ni ipi kati ya ishara >, = au Nadharia. Ikiwa a > b na b > c, basi a > c.

Nadharia. Ikiwa unaongeza nambari sawa kwa pande zote mbili za usawa, ishara ya usawa haitabadilika.
Matokeo. Neno lolote linaweza kuhamishwa kutoka sehemu moja ya ukosefu wa usawa hadi nyingine kwa kubadilisha ishara ya neno hili hadi kinyume.

Nadharia. Ikiwa pande zote mbili za usawa zinazidishwa na nambari sawa chanya, basi ishara ya usawa haibadilika. Ikiwa pande zote mbili za usawa zinazidishwa na nambari hasi sawa, basi ishara ya usawa itabadilika kuwa kinyume.
Matokeo. Ikiwa pande zote mbili za usawa zimegawanywa na idadi sawa chanya, basi ishara ya usawa haitabadilika. Ikiwa pande zote mbili za usawa zimegawanywa na nambari hasi sawa, basi ishara ya usawa itabadilika kuwa kinyume.

Unajua kwamba usawa wa nambari Unaweza kuongeza na kuzidisha muhula kwa muhula. Ifuatayo, utajifunza jinsi ya kufanya vitendo sawa na usawa. Uwezo wa kuongeza na kuzidisha kukosekana kwa usawa neno kwa neno mara nyingi hutumika katika mazoezi. Vitendo hivi husaidia kutatua matatizo ya kutathmini na kulinganisha maana za misemo.

Wakati wa kuamua kazi mbalimbali Mara nyingi huna budi kuongeza au kuzidisha pande za kushoto na kulia za ukosefu wa usawa muda baada ya muda. Wakati huo huo, wakati mwingine inasemekana kuwa usawa huongeza au kuzidisha. Kwa mfano, ikiwa mtalii alitembea zaidi ya kilomita 20 siku ya kwanza, na zaidi ya kilomita 25 kwa pili, basi tunaweza kusema kwamba katika siku mbili alitembea zaidi ya kilomita 45. Vivyo hivyo, ikiwa urefu wa mstatili ni chini ya cm 13 na upana ni chini ya cm 5, basi tunaweza kusema kwamba eneo la mstatili huu ni chini ya 65 cm2.

Wakati wa kuzingatia mifano hii, zifuatazo zilitumika: nadharia za kuongeza na kuzidisha usawa:

Nadharia. Wakati wa kuongeza usawa wa ishara sawa, usawa wa ishara sawa hupatikana: ikiwa > b na c > d, basi a + c > b + d.

Nadharia. Wakati wa kuzidisha usawa wa ishara sawa, ambao pande za kushoto na za kulia ni chanya, usawa wa ishara sawa hupatikana: ikiwa a > b, c > d na a, b, c, d ni nambari nzuri, basi ac > bd.

Kutokuwepo kwa usawa kwa ishara > (kubwa kuliko) na 1/2, 3/4 b, c Pamoja na ishara ukosefu mkali wa usawa> na Vivyo hivyo, ukosefu wa usawa \(a \geq b \) unamaanisha kwamba nambari a ni kubwa kuliko au sawa na b, yaani, a sio chini ya b.

Ukosefu wa usawa ulio na ishara \(\geq \) au ishara \(\leq \) huitwa zisizo kali. Kwa mfano, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) sio usawa mkali.

Mali yote ya usawa mkali pia ni halali kwa usawa usio mkali. Zaidi ya hayo, ikiwa kwa usawa mkali ishara > zilizingatiwa kinyume na unajua kwamba kutatua mfululizo matatizo yaliyotumika inabidi uunde kielelezo cha hisabati kwa namna ya equation au mfumo wa milinganyo. Ifuatayo, utajifunza kwamba mifano ya hisabati ya kutatua matatizo mengi ni usawa na haijulikani. Tutaanzisha dhana ya kutatua ukosefu wa usawa na kuonyesha jinsi ya kuangalia kama nambari iliyopewa kutatua usawa maalum.

Ukosefu wa usawa wa fomu
\(shoka > b, \quad shoka ambamo a na b zimo nambari zilizopewa, na x haijulikani, inaitwa usawa wa mstari na moja isiyojulikana.

Ufafanuzi. Suluhisho la kukosekana kwa usawa na moja isiyojulikana ni thamani ya haijulikani ambayo usawa huu unakuwa usawa wa kweli wa nambari. Kutatua ukosefu wa usawa kunamaanisha kutafuta suluhu zake zote au kuthibitisha kuwa hakuna.

Ulitatua milinganyo kwa kuzipunguza hadi milinganyo rahisi zaidi. Vile vile, wakati wa kutatua usawa, mtu anajaribu kupunguza, kwa kutumia mali, kwa namna ya kutofautiana rahisi.

Kutatua kukosekana kwa usawa kwa shahada ya pili na kigezo kimoja

Ukosefu wa usawa wa fomu
\(ax^2+bx+c >0 \) na \(ax^2+bx+c ambapo x ni kigezo, a, b na c ni nambari fulani na \(a \neq 0 \), zinazoitwa kutofautiana kwa shahada ya pili na kutofautiana moja.

Suluhisho la usawa
\(ax^2+bx+c >0 \) au \(ax^2+bx+c inaweza kuchukuliwa kama kutafuta vipindi ambapo kitendakazi \(y= ax^2+bx+c \) huchukua chanya au hasi. maadili Ili kufanya hivyo, inatosha kuchambua jinsi grafu ya kazi \(y= ax^2+bx+c\) iko kwenye ndege ya kuratibu: ambapo matawi ya parabola yanaelekezwa - juu au chini, iwe. parabola huingilia mhimili wa x na ikiwa inafanya, basi kwa pointi gani.

Algorithm ya kutatua usawa wa digrii ya pili na tofauti moja:
1) kupata mbaguzi quadratic trinomial\(ax^2+bx+c\) na ujue kama utatu una mizizi;
2) ikiwa trinomial ina mizizi, basi ziweke alama kwenye mhimili wa x na kupitia alama zilizowekwa chora parabola ya mpangilio, matawi ambayo yanaelekezwa juu kwa > 0 au chini kwa 0 au chini kwa 3) tafuta vipindi kwenye mhimili wa x ambao viambishi vya alama ziko juu ya mhimili wa x (ikiwa vitasuluhisha ukosefu wa usawa \(ax^2+bx+c >0\)) au chini ya mhimili wa x (ikiwa watasuluhisha ukosefu wa usawa
\(ax^2+bx+c Kutatua ukosefu wa usawa kwa kutumia mbinu ya muda

Fikiria kazi
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

Kikoa cha chaguo hili la kukokotoa ni seti ya nambari zote. Sufuri za chaguo za kukokotoa ni nambari -2, 3, 5. Zinagawanya kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa katika vipindi \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) na \( (5; +\infty)\)

Wacha tujue ni nini ishara za kazi hii ziko katika kila vipindi vilivyoonyeshwa.

Usemi (x + 2)(x - 3)(x - 5) ni zao la mambo matatu. Ishara ya kila moja ya mambo haya katika vipindi vinavyozingatiwa imeonyeshwa kwenye jedwali:

Kwa ujumla, acha kazi itolewe na formula
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
ambapo x ni kigezo, na x 1, x 2, ..., x n ni nambari ambazo hazilingani. Nambari x 1 , x 2 , ..., x n ni sufuri za chaguo la kukokotoa. Katika kila kipindi ambacho kikoa cha ufafanuzi kinagawanywa na zero za kazi, ishara ya kazi imehifadhiwa, na wakati wa kupita kwa sifuri ishara yake inabadilika.

Mali hii hutumiwa kutatua usawa wa fomu
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) ambapo x 1, x 2, ..., x n ni nambari zisizo sawa.

Njia inayozingatiwa kutatua usawa inaitwa njia ya muda.

Wacha tutoe mifano ya kutatua usawa kwa kutumia njia ya muda.

Tatua ukosefu wa usawa:

\(x(0.5-x)(x+4) Ni wazi, sufuri za chaguo za kukokotoa f(x) = x(0.5-x)(x+4) ni pointi \(x=0, \; x= \ frac(1)(2) , \; x=-4 \)

Tunapanga zero za kazi kwenye mhimili wa nambari na kuhesabu ishara kwa kila muda:

Tunachagua vipindi hivyo ambavyo kazi ni chini ya au sawa na sifuri na kuandika jibu.

Jibu:
\(x \katika \kushoto(-\infty; \; 1 \kulia) \kikombe \kushoto[ 4; \; +\infty \kulia) \)

Kudumisha faragha yako ni muhimu kwetu. Kwa sababu hii, tumeunda Sera ya Faragha ambayo inaeleza jinsi tunavyotumia na kuhifadhi maelezo yako. Tafadhali kagua desturi zetu za faragha na utujulishe ikiwa una maswali yoyote.

Ukusanyaji na matumizi ya taarifa za kibinafsi

Taarifa za kibinafsi hurejelea data inayoweza kutumiwa kutambua au kuwasiliana na mtu mahususi.

Unaweza kuulizwa kutoa maelezo yako ya kibinafsi wakati wowote unapowasiliana nasi.

Ifuatayo ni baadhi ya mifano ya aina za taarifa za kibinafsi ambazo tunaweza kukusanya na jinsi tunavyoweza kutumia taarifa hizo.

Ni taarifa gani za kibinafsi tunazokusanya:

Unapotuma ombi kwenye tovuti, tunaweza kukusanya taarifa mbalimbali, ikiwa ni pamoja na jina lako, nambari ya simu, anwani Barua pepe na kadhalika.

Jinsi tunavyotumia maelezo yako ya kibinafsi:

Imekusanywa na sisi habari za kibinafsi inaturuhusu kuwasiliana nawe na kukujulisha kuhusu matoleo ya kipekee, matangazo na matukio mengine na matukio yajayo.
Mara kwa mara, tunaweza kutumia taarifa zako za kibinafsi kutuma arifa na mawasiliano muhimu.
Tunaweza pia kutumia taarifa za kibinafsi kwa madhumuni ya ndani kama vile ukaguzi, uchambuzi wa data na masomo mbalimbali ili kuboresha huduma tunazotoa na kukupa mapendekezo kuhusu huduma zetu.
Ukishiriki katika droo ya zawadi, shindano au ukuzaji kama huo, tunaweza kutumia maelezo unayotoa ili kusimamia programu kama hizo.

Ufichuaji wa habari kwa wahusika wengine

Hatufichui taarifa zilizopokelewa kutoka kwako kwa wahusika wengine.

Vighairi:

Ikiwa ni lazima, kwa mujibu wa sheria, utaratibu wa mahakama, V jaribio, na/au kulingana na maombi ya umma au maombi kutoka mashirika ya serikali kwenye eneo la Shirikisho la Urusi - kufichua maelezo yako ya kibinafsi. Tunaweza pia kufichua maelezo kukuhusu ikiwa tutatambua kuwa ufichuzi kama huo ni muhimu au unafaa kwa usalama, utekelezaji wa sheria au madhumuni mengine ya umuhimu wa umma.
Katika tukio la kupanga upya, kuunganishwa, au mauzo, tunaweza kuhamisha maelezo ya kibinafsi tunayokusanya kwa mrithi husika.

Ulinzi wa habari za kibinafsi

Tunachukua tahadhari - ikiwa ni pamoja na usimamizi, kiufundi na kimwili - ili kulinda taarifa zako za kibinafsi dhidi ya upotevu, wizi na matumizi mabaya, pamoja na ufikiaji usioidhinishwa, ufichuzi, mabadiliko na uharibifu.

Kuheshimu faragha yako katika kiwango cha kampuni

Ili kuhakikisha kuwa maelezo yako ya kibinafsi ni salama, tunawasiliana na viwango vya faragha na usalama kwa wafanyakazi wetu na kutekeleza kwa uthabiti kanuni za ufaragha.

Kutokuwepo kwa usawa na mifumo ya kukosekana kwa usawa ni moja ya mada zinazoshughulikiwa sekondari katika algebra. Kwa upande wa kiwango cha ugumu, sio ngumu zaidi, kwa kuwa ina sheria rahisi (zaidi juu yao baadaye kidogo). Kama sheria, watoto wa shule hujifunza kutatua mifumo ya usawa kwa urahisi kabisa. Hii pia ni kwa sababu ya ukweli kwamba walimu "hufundisha" wanafunzi wao juu ya mada hii. Na hawawezi kusaidia lakini kufanya hivi, kwa sababu inasomwa katika siku zijazo kwa kutumia zingine wingi wa hisabati, na pia hujaribiwa kwenye OGE na Mtihani wa Jimbo la Umoja. KATIKA vitabu vya shule Mada ya kukosekana kwa usawa na mifumo ya usawa imefunikwa kwa undani sana, kwa hivyo ikiwa utaisoma, ni bora kurejea kwao. Nakala hii inasimulia tu nyenzo kubwa, na kunaweza kuwa na mapungufu.

Dhana ya mfumo wa kutofautiana

Ukigeuka lugha ya kisayansi, basi tunaweza kufafanua dhana ya "mfumo wa kutofautiana". Huu ni mfano wa hisabati ambao unawakilisha tofauti kadhaa. Mfano huu, kwa kweli, unahitaji suluhisho, na hii itakuwa jibu la jumla kwa usawa wote wa mfumo uliopendekezwa katika kazi (kawaida hii imeandikwa ndani yake, kwa mfano: "Tatua mfumo wa usawa 4 x + 1 > 2 na 30 - x > 6... "). Hata hivyo, kabla ya kuendelea na aina na mbinu za ufumbuzi, unahitaji kuelewa kitu kingine.

Mifumo ya usawa na mifumo ya equations

Katika mchakato wa kusoma mada mpya mara nyingi sana kutoelewana hutokea. Kwa upande mmoja, kila kitu ni wazi na unataka kuanza kutatua kazi haraka iwezekanavyo, lakini kwa upande mwingine, wakati fulani hubakia kwenye "kivuli" na hauelewi kikamilifu. Pia, baadhi ya vipengele vya ujuzi uliopatikana tayari vinaweza kuunganishwa na mpya. Kama matokeo ya "kuingiliana" huku, makosa mara nyingi hufanyika.

Kwa hiyo, kabla ya kuanza kuchambua mada yetu, tunapaswa kukumbuka tofauti kati ya equations na kutofautiana na mifumo yao. Ili kufanya hivyo, tunahitaji kufafanua tena kile data inawakilisha. dhana za hisabati. Equation daima ni usawa, na daima ni sawa na kitu (katika hisabati neno hili linaonyeshwa na ishara "="). Ukosefu wa usawa ni mfano ambao thamani moja ni kubwa au ndogo kuliko nyingine, au ina taarifa kwamba hazifanani. Kwa hiyo, katika kesi ya kwanza, ni sahihi kuzungumza juu ya usawa, na kwa pili, bila kujali jinsi inavyoonekana wazi kutoka kwa jina yenyewe, kuhusu kutofautiana kwa data ya awali. Mifumo ya equations na usawa kivitendo haina tofauti kutoka kwa kila mmoja na njia za kuzitatua ni sawa. Tofauti pekee ni kwamba katika kesi ya kwanza usawa hutumiwa, na katika kesi ya pili usawa hutumiwa.

Aina za usawa

Kuna aina mbili za kutofautiana: nambari na kwa kutofautiana haijulikani. Aina ya kwanza inawakilisha maadili yaliyotolewa (nambari) ambayo hayana usawa kwa kila mmoja, kwa mfano, 8> 10. Ya pili ni ukosefu wa usawa ulio na kigezo kisichojulikana (kilichoonyeshwa na herufi fulani. Alfabeti ya Kilatini, mara nyingi X). Tofauti hii inahitaji kupatikana. Kulingana na ngapi kuna, mfano wa hisabati hutofautisha kati ya kutofautiana na moja (hufanya mfumo wa kutofautiana na kutofautiana moja) au vigezo kadhaa (hufanya mfumo wa kutofautiana na vigezo kadhaa).

Aina mbili za mwisho, kulingana na kiwango cha ujenzi wao na kiwango cha utata wa suluhisho, imegawanywa kuwa rahisi na ngumu. Rahisi pia huitwa usawa wa mstari. Wao, kwa upande wake, wamegawanywa kuwa madhubuti na yasiyo ya kawaida. Wale madhubuti haswa "sema" kwamba idadi moja lazima iwe kidogo au zaidi, kwa hivyo hii ni katika fomu safi ukosefu wa usawa. Mifano kadhaa zinaweza kutolewa: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5, n.k. Zile zisizo kali pia zinajumuisha usawa. Hiyo ni, thamani moja inaweza kuwa kubwa kuliko au sawa na thamani nyingine (ishara "≥") au chini ya au sawa na thamani nyingine (ishara "≤"). Hata katika kukosekana kwa usawa kwa mstari, kutofautisha hakuko kwenye mzizi, mraba, au kugawanywa na chochote, ndiyo sababu wanaitwa "rahisi." Changamano kinahusisha vigeu visivyojulikana ambavyo vinahitaji utekelezaji ili kupata. zaidi shughuli za hisabati. Mara nyingi ziko katika mraba, mchemraba au chini ya mzizi, zinaweza kuwa za msimu, logarithmic, sehemu, nk. Lakini kwa kuwa kazi yetu ni hitaji la kuelewa suluhisho la mifumo ya usawa, tutazungumza juu ya mfumo wa usawa wa mstari. . Hata hivyo, kabla ya hayo, maneno machache yanapaswa kusemwa kuhusu mali zao.

Tabia za usawa

Tabia za usawa ni pamoja na zifuatazo:

Ishara ya usawa inabadilishwa ikiwa operesheni inatumiwa kubadili utaratibu wa pande (kwa mfano, ikiwa t 1 ≤ t 2, basi t 2 ≥ t 1).
Pande zote mbili za usawa hukuruhusu kuongeza nambari sawa kwa yenyewe (kwa mfano, ikiwa t 1 ≤ t 2, basi t 1 + nambari ≤ t 2 + nambari).
Ukosefu wa usawa mbili au zaidi na ishara katika mwelekeo sawa kuruhusu pande zao za kushoto na kulia kuongezwa (kwa mfano, ikiwa t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, basi t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4) .
Sehemu zote mbili za usawa zinaweza kuzidishwa au kugawanywa na nambari sawa chanya (kwa mfano, ikiwa t 1 ≤ t 2 na nambari ≤ 0, basi nambari · t 1 ≥ nambari · t 2).
Kutokuwa na usawa mbili au zaidi wanachama chanya na ishara ya mwelekeo huo huo, kuruhusu wenyewe kuzidishwa na kila mmoja (kwa mfano, ikiwa t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t 4 ≥ 0 basi t 1 t 3 ≤ t 2 t 4).
Sehemu zote mbili za usawa hujiruhusu kuzidishwa au kugawanywa na nambari hasi sawa, lakini katika kesi hii ishara ya usawa inabadilika (kwa mfano, ikiwa t 1 ≤ t 2 na nambari ≤ 0, basi nambari · t 1 ≥ nambari · t 2).
Ukosefu wote wa usawa una mali ya transitivity (kwa mfano, ikiwa t 1 ≤ t 2 na t 2 ≤ t 3, basi t 1 ≤ t 3).

Sasa, baada ya kujifunza kanuni za msingi za nadharia zinazohusiana na usawa, tunaweza kuendelea moja kwa moja kwa kuzingatia sheria za kutatua mifumo yao.

Kutatua mifumo ya usawa. Habari za jumla. Ufumbuzi

Kama ilivyoelezwa hapo juu, suluhisho ni maadili ya kutofautisha ambayo yanafaa kwa usawa wote wa mfumo uliopeanwa. Kutatua mifumo ya kukosekana kwa usawa ni utekelezaji shughuli za hisabati, ambayo hatimaye husababisha ufumbuzi wa mfumo mzima au kuthibitisha kuwa hauna ufumbuzi. Katika kesi hii, kutofautisha kunasemekana kurejelea tupu seti ya nambari(imeandikwa kama hii: herufi inayoashiria kigeugeu∈ (tia saini “ni mali”) ø (tia saini “seti tupu”), kwa mfano, x ∈ ø (soma: “Kigezo “x” ni cha seti tupu") Kuna njia kadhaa za kutatua mifumo ya kutofautiana: kielelezo, aljebra, mbinu ya uingizwaji. Ni vyema kutambua kwamba ni miongoni mwa hizo. mifano ya hisabati, ambayo ina vigezo kadhaa visivyojulikana. Katika kesi ambapo kuna moja tu, njia ya muda inafaa.

Mbinu ya picha

Inakuruhusu kutatua mfumo wa usawa na idadi kadhaa isiyojulikana (kutoka mbili na hapo juu). Shukrani kwa njia hii, mfumo wa usawa wa mstari unaweza kutatuliwa kwa urahisi na kwa haraka, kwa hiyo ni njia ya kawaida. Hii inafafanuliwa na ukweli kwamba kupanga grafu hupunguza kiasi cha kuandika shughuli za hisabati. Inakuwa ya kupendeza sana kuchukua pumziko kidogo kutoka kwa kalamu, kuchukua penseli na mtawala na kuanza vitendo zaidi kwa msaada wao wakati kazi nyingi zimefanywa na unataka aina kidogo. Hata hivyo njia hii watu wengine hawapendi kwa sababu wanapaswa kuacha kazi na kubadili yao shughuli ya kiakili kwa kuchora. Hata hivyo, hii ni njia yenye ufanisi sana.

Ili kutatua mfumo wa kutofautiana kwa kutumia njia ya mchoro, ni muhimu kuhamisha masharti yote ya kila usawa kwa yao upande wa kushoto. Ishara zitabadilishwa, sifuri inapaswa kuandikwa upande wa kulia, basi kila usawa unahitaji kuandikwa tofauti. Matokeo yake, kazi zitapatikana kutokana na kutofautiana. Baada ya hayo, unaweza kuchukua penseli na mtawala: sasa unahitaji kuchora grafu ya kila kazi iliyopatikana. Seti nzima ya nambari ambayo itakuwa katika muda wa makutano yao itakuwa suluhisho kwa mfumo wa usawa.

Njia ya algebra

Inakuruhusu kutatua mfumo wa kutofautiana na vigezo viwili visivyojulikana. Pia, usawa lazima uwe nao na ishara sawa kukosekana kwa usawa (yaani, lazima iwe na ishara tu "kubwa kuliko", au tu "chini ya" ishara, nk) Licha ya mapungufu yake, njia hii pia ni ngumu zaidi. Inatumika katika hatua mbili.

Ya kwanza inahusisha vitendo vya kuondokana na moja ya vigezo visivyojulikana. Kwanza unahitaji kuichagua, kisha uangalie uwepo wa nambari mbele ya kutofautiana hii. Ikiwa hazipo (basi kutofautisha kutaonekana kama herufi moja), basi hatubadilishi chochote, ikiwa kuna (aina ya kutofautisha itakuwa, kwa mfano, 5y au 12y), basi ni muhimu kutengeneza. hakikisha kuwa katika kila usawa nambari iliyo mbele ya kigeu kilichochaguliwa ni sawa. Ili kufanya hivyo, unahitaji kuzidisha kila neno la kukosekana kwa usawa kwa kizidishi cha kawaida, kwa mfano, ikiwa 3y imeandikwa kwa usawa wa kwanza, na 5y kwa pili, basi ni muhimu kuzidisha masharti yote ya usawa wa kwanza na 5, na pili kwa 3. Matokeo ni 15y na 15y, kwa mtiririko huo.

Hatua ya pili ya suluhisho. Ni muhimu kuhamisha upande wa kushoto wa kila usawa kwa pande zao za kulia, kubadilisha ishara ya kila neno kinyume chake, na kuandika sifuri upande wa kulia. Halafu inakuja sehemu ya kufurahisha: kuondoa kigeu kilichochaguliwa (kingine kinachojulikana kama "kupunguza") huku ukiongeza ukosefu wa usawa. Hii inasababisha ukosefu wa usawa na kigezo kimoja kinachohitaji kutatuliwa. Baada ya hayo, unapaswa kufanya kitu kimoja, tu na tofauti nyingine isiyojulikana. Matokeo yaliyopatikana yatakuwa suluhisho la mfumo.

Mbinu ya uingizwaji

Inakuruhusu kutatua mfumo wa kukosekana kwa usawa ikiwa inawezekana kuanzisha kigezo kipya. Kwa kawaida, njia hii hutumiwa wakati kutofautiana haijulikani katika muda mmoja wa kutofautiana hufufuliwa kwa nguvu ya nne, na kwa muda mwingine ni mraba. Kwa hivyo, njia hii inalenga kupunguza kiwango cha usawa katika mfumo. Sampuli ya usawa x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 inatatuliwa kwa njia hii. Tofauti mpya imeanzishwa, kwa mfano t. Wanaandika: "Hebu t = x 2," basi mfano huo umeandikwa tena kwa fomu mpya. Kwa upande wetu, tunapata t 2 - t - 1 ≤0. Ukosefu huu wa usawa unahitaji kutatuliwa kwa kutumia njia ya muda (zaidi juu ya hiyo baadaye kidogo), kisha urudi kwa mabadiliko ya X, kisha ufanye vivyo hivyo na ukosefu mwingine wa usawa. Majibu yaliyopokelewa yatakuwa suluhisho la mfumo.

Mbinu ya muda

Hii ndiyo njia rahisi zaidi ya kutatua mifumo ya kutofautiana, na wakati huo huo ni ya ulimwengu wote na imeenea. Inatumika katika shule za sekondari na hata katika shule za upili. Kiini chake kiko katika ukweli kwamba mwanafunzi anatafuta vipindi vya usawa kwenye mstari wa nambari, ambayo hutolewa kwenye daftari (hii sio grafu, lakini mstari wa kawaida na nambari). Ambapo vipindi vya kutofautiana vinaingiliana, suluhisho la mfumo linapatikana. Ili kutumia njia ya muda, unahitaji kufuata hatua hizi:

Masharti yote ya kila usawa huhamishiwa upande wa kushoto na ishara inabadilika hadi kinyume (sifuri imeandikwa kulia).
Ukosefu wa usawa umeandikwa tofauti, na suluhisho kwa kila mmoja wao imedhamiriwa.
Makutano ya kutofautiana kwenye mstari wa nambari hupatikana. Nambari zote ziko kwenye makutano haya zitakuwa suluhisho.

Je, nitumie njia gani?

Ni wazi ile inayoonekana kuwa rahisi na inayofaa zaidi, lakini kuna matukio wakati kazi zinahitaji njia fulani. Mara nyingi wanasema kuwa unahitaji kusuluhisha kwa kutumia grafu au njia ya muda. Njia ya algebraic na uingizwaji hutumiwa mara chache sana au sio kabisa, kwani ni ngumu sana na inachanganya, na zaidi ya hayo, hutumiwa zaidi kutatua mifumo ya equations badala ya usawa, kwa hivyo unapaswa kuamua kuchora grafu na vipindi. Wanaleta uwazi, ambao hauwezi lakini kuchangia katika utekelezaji wa ufanisi na wa haraka wa shughuli za hisabati.

Ikiwa kitu haifanyi kazi

Wakati wa kusoma mada fulani katika aljebra, kwa kawaida, matatizo yanaweza kutokea na uelewa wake. Na hii ni kawaida, kwa sababu ubongo wetu umeundwa kwa namna ambayo hauwezi kuelewa nyenzo ngumu kwa wakati mmoja. Mara nyingi unahitaji kusoma tena aya, kupata msaada kutoka kwa mwalimu, au kufanya mazoezi ya kutatua tatizo. kazi za kawaida. Kwa upande wetu, zinaonekana, kwa mfano, kama hii: "Suluhisha mfumo wa kukosekana kwa usawa 3 x + 1 ≥ 0 na 2 x - 1 > 3." Kwa hivyo, hamu ya kibinafsi, msaada kutoka kwa watu wa nje na mazoezi husaidia kuelewa mada yoyote ngumu.

Kisuluhishi?

Kitabu cha ufumbuzi pia kinafaa sana, lakini si kwa kuiga kazi za nyumbani, lakini kwa msaada wa kibinafsi. Ndani yao unaweza kupata mifumo ya usawa na suluhisho, angalia (kama templates), jaribu kuelewa hasa jinsi mwandishi wa suluhisho alikabiliana na kazi hiyo, na kisha jaribu kufanya hivyo peke yako.

hitimisho

Algebra ni mojawapo ya wengi masomo magumu Shuleni. Naam, unaweza kufanya nini? Hisabati imekuwa kama hii kila wakati: kwa wengine ni rahisi, lakini kwa wengine ni ngumu. Lakini kwa hali yoyote, inapaswa kukumbukwa mpango wa elimu ya jumla Imejengwa kwa namna ambayo mwanafunzi yeyote anaweza kuishughulikia. Kwa kuongeza, mtu lazima akumbuke idadi kubwa ya wasaidizi. Baadhi yao wametajwa hapo juu.