Sinus jest jedną z podstawowych funkcji trygonometrycznych, której zastosowanie nie ogranicza się wyłącznie do geometrii. Tabele do obliczania funkcji trygonometrycznych, takie jak kalkulatory inżynieryjne, nie zawsze są pod ręką, a do rozwiązania czasami konieczne jest obliczenie sinusa różne zadania. Ogólnie rzecz biorąc, obliczenie sinusa pomoże utrwalić umiejętności rysowania i wiedzę o tożsamościach trygonometrycznych.

Gry z linijką i ołówkiem

Proste zadanie: jak znaleźć sinus kąta narysowanego na papierze? Do rozwiązania potrzebujesz zwykłej linijki, trójkąta (lub kompasu) i ołówka. Najprostszym sposobem obliczenia sinusa kąta jest podzielenie dalszej ramienia trójkąta z kątem prostym przez dłuższy bok - przeciwprostokątną. Zatem najpierw należy uzupełnić kąt ostry do kształtu trójkąta prostokątnego, rysując linię prostopadłą do jednego z promieni w dowolnej odległości od wierzchołka kąta. Będziemy musieli zachować kąt dokładnie 90°, dla którego potrzebujemy trójkąta urzędniczego.

Korzystanie z kompasu jest nieco dokładniejsze, ale zajmuje więcej czasu. Na jednym z promieni musisz zaznaczyć 2 punkty w pewnej odległości, w przybliżeniu wyreguluj promień na kompasie równa odległości między punktami i rysuj półkola ze środkami w tych punktach, aż do uzyskania przecięcia tych linii. Łącząc ze sobą punkty przecięcia naszych okręgów, otrzymujemy ścisłą prostopadłość do promienia naszego kąta; pozostaje tylko przedłużyć linię, aż przetnie się ona z innym promieniem.

W powstałym trójkącie musisz za pomocą linijki zmierzyć bok przeciwny do narożnika i długi bok jednego z promieni. Stosunek pierwszego wymiaru do drugiego będzie pożądaną wartością sinusa kąt ostry.

Znajdź sinus dla kąta większego niż 90°

Dla kąt rozwarty zadanie nie jest dużo trudniejsze. Musisz narysować promień od wierzchołka do przeciwna strona za pomocą linijki utwórz linię prostą z jednym z półprostych kąta, który nas interesuje. Powstały kąt ostry należy traktować jak opisano powyżej, sinusy sąsiadujące rogi, tworzące razem kąt odwrotny 180°, są równe.

Obliczanie sinusa przy użyciu innych funkcji trygonometrycznych

Możliwe jest również obliczenie sinusa, jeśli znane są wartości innych funkcji trygonometrycznych kąta lub przynajmniej długości boków trójkąta. Pomogą nam w tym tożsamości trygonometryczne. Spójrzmy na typowe przykłady.

Jak znaleźć sinus ze znanym cosinusem kąta? Pierwsza tożsamość trygonometryczna, oparta na twierdzeniu Pitagorasa, stwierdza, że ​​suma kwadratów sinusa i cosinusa tego samego kąta jest równa jeden.

Jak znaleźć sinus ze znaną tangensem kąta? Styczną uzyskuje się dzieląc stronę dalszą przez stronę bliższą lub dzieląc sinus przez cosinus. Zatem sinus będzie iloczynem cosinusa i tangensa, a kwadrat sinusa będzie kwadratem tego iloczynu. Cosinus kwadratowy zastępujemy różnicą między jednością a sinusem kwadratowym zgodnie z pierwszym tożsamość trygonometryczna i poprzez proste manipulacje sprowadzamy równanie do obliczenia sinusa kwadratowego poprzez styczną, odpowiednio, aby obliczyć sinus, będziesz musiał wyodrębnić pierwiastek uzyskanego wyniku.

Jak znaleźć sinus ze znanym cotangensem kąta? Wartość cotangensu można obliczyć, dzieląc długość nogi najbliższej kątowi przez długość dalszej, a także dzieląc cosinus przez sinus, czyli cotangens jest funkcją, odwrotność tangensa względem liczby 1. Aby obliczyć sinus, możesz obliczyć tangens korzystając ze wzoru tg α = 1 / ctg α i skorzystać ze wzoru z drugiej opcji. Można również wyprowadzić bezpośredni wzór przez analogię do stycznej, która będzie wyglądać w następujący sposób.

Jak znaleźć sinus trzech boków trójkąta

Istnieje wzór na znalezienie długości nieznanego boku dowolnego trójkąta, nie tylko prostokątnego, z dwóch znane partie korzystając z funkcji trygonometrycznej cosinusa przeciwnego kąta. Ona wygląda tak.

Cóż, sinus można dalej obliczyć z cosinusa zgodnie z powyższymi wzorami.

Lekcja na temat „Sinus, cosinus i tangens kąta ostrego trójkąta prostokątnego”

Cele Lekcji:

edukacyjno – wprowadzić pojęcia sinus, cosinus, tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym, zbadać zależności i zależności pomiędzy tymi wielkościami;

rozwijanie - tworzenie pojęć sinusa, cosinusa, tangensa jako funkcji kąta, dziedzina definicji funkcji trygonometrycznych, rozwój logiczne myślenie, rozwój poprawnej mowy matematycznej;

edukacyjne – rozwijanie umiejętności samodzielnej pracy, kultury zachowania, dokładności prowadzenia dokumentacji.

Postęp lekcji:

1. Organizowanie czasu

„Edukacja to nie liczba odbytych lekcji, ale liczba zrozumiałych. Jeśli więc chcesz iść do przodu, pospiesz się powoli i bądź ostrożny.”

2. Motywacja do lekcji.

Pewien mądry człowiek powiedział: „ Najwyższa manifestacja duch jest umysłem. Najwyższym przejawem rozumu jest geometria. Komórka geometrii jest trójkątem. Jest tak niewyczerpany jak Wszechświat. Okrąg jest duszą geometrii. Poznaj okrąg, a nie tylko poznasz duszę geometrii, ale wzniesiesz swoją duszę.

Spróbujemy razem z Tobą przeprowadzić małe badania. Dzielmy się pomysłami, które przychodzą Ci do głowy i nie bój się popełniać błędów, każda myśl może wskazać nam nowy kierunek poszukiwań. Nasze osiągnięcia mogą nie wydawać się komuś wielkie, ale będą naszymi własnymi osiągnięciami!

3. Aktualizacja wiedzy podstawowej.

Jakie mogą być kąty?

Co to są trójkąty?

Jakie są główne elementy definiujące trójkąt?

Jakie rodzaje trójkątów istnieją w zależności od boków?

Jakie rodzaje trójkątów istnieją w zależności od kątów?

Co to jest noga?

Co to jest przeciwprostokątna?

Jak nazywają się boki trójkąta prostokątnego?

Jakie znasz zależności między bokami i kątami tego trójkąta?

Dlaczego musisz znać zależności między bokami i kątami?

Jakie zadania życiowe mogą wiązać się z koniecznością liczenia nieznane partie w trójkącie?

Termin „przeciwprostokątna” pochodzi od greckie słowo„hypoinouse”, czyli „rozciąganie się nad czymś”, „kurczenie się”. Słowo to wywodzi się z obrazu starożytnych greckich harf, na których struny są naciągnięte na końcach dwóch wzajemnie prostopadłych stojaków. Termin „cathetus” pochodzi od greckiego słowa „kathetos”, które oznacza początek „pionu”, „prostopadle”.

Euklides powiedział: „Nogi to boki tworzące kąt prosty”.

W Starożytna Grecja znany był już sposób konstruowania trójkąta prostokątnego na ziemi. Aby to zrobić, użyli liny, na której zawiązano 13 węzłów, w tej samej odległości od siebie. Podczas budowy piramid w Egipcie wykonano w ten sposób trójkąty prostokątne. Pewnie dlatego nazwano trójkąt prostokątny o bokach 3,4,5 Trójkąt egipski.

4. Studiowanie nowego materiału.

W starożytności ludzie obserwowali gwiazdy i na podstawie tych obserwacji prowadzili kalendarz, obliczali daty siewów i czas wylewów rzek; statki na morzu i karawany na lądzie odbywały swoją podróż dzięki gwiazdom. Wszystko to doprowadziło do konieczności nauczenia się obliczania boków trójkąta, którego dwa wierzchołki znajdują się na ziemi, a trzeci jest reprezentowany przez punkt na gwiaździstym niebie. W oparciu o tę potrzebę powstała nauka o trygonometrii - nauka badająca połączenia między bokami trójkąta.

Czy uważasz, że relacje, które już znamy, wystarczą, aby rozwiązać takie problemy?

Celem dzisiejszej lekcji jest poznanie nowych powiązań i zależności, wyprowadzenie zależności, dzięki którym na kolejnych lekcjach geometrii będziesz mógł rozwiązać takie problemy.

Poczujmy się, jakbyśmy wczuli się w tę rolę pracownicy naukowi i podążając za geniuszami starożytności Talesem, Euklidesem, Pitagorasem pójdźmy ścieżką szukać prawdy.

Do tego potrzebujemy podstawy teoretyczne.

Podświetl na czerwono kąt A i nogę BC.

Atrakcja zielony noga AC.

Obliczmy, jaka część jest przeciwną nogą kąta ostrego A do jego przeciwprostokątnej, w tym celu tworzymy stosunek Przeciwna strona do przeciwprostokątnej:

Ta relacja ma specjalną nazwę - taką, że rozumie ją każdy człowiek w każdym zakątku planety mówimy o mniej więcej liczba reprezentująca stosunek przeciwnej strony kąta ostrego do przeciwprostokątnej. To słowo jest sinusem. Zapisz to. Ponieważ słowo sinus bez nazwy kąta traci wszelkie znaczenie, zapis matematyczny wygląda następująco:

Teraz nawiąż relację sąsiadującą nogę do przeciwprostokątnej kąta ostrego A:

Ten stosunek nazywa się cosinusem. Jego zapis matematyczny:

Rozważmy inny stosunek kąta ostrego A: stosunek strony przeciwnej do strony sąsiedniej:

Ten stosunek nazywa się tangensem. Jego zapis matematyczny:

5. Konsolidacja nowego materiału.

Skonsolidujmy nasze pośrednie odkrycia.

Sinus jest...

Cosinus to...

Styczna to...

grzech A =	grzech O =	grzech A 1 =
ponieważ A =	sałata O =	ponieważ A 1 =
brązowy A =	tg O =	opalony A 1 =

Rozwiąż ustnie nr 88, 889, 892 (praca w parach).

Wykorzystanie zdobytej wiedzy do rozwiązania problem praktyczny:

„Z wieży latarni morskiej o wysokości 70 m widać statek pod kątem 3° do horyzontu. Jakie to jest

odległość latarni morskiej od statku?

Problem rozwiązano frontalnie. Podczas dyskusji robimy rysunek oraz niezbędne notatki na tablicy i w zeszytach.

Przy rozwiązywaniu problemu wykorzystywane są tabele Bradisa.

Rozważ rozwiązanie problemu s. 175.

Rozwiąż zadanie nr 902(1).

6. Ćwiczenia dla oczu.

Nie odwracając głowy, rozejrzyj się po ścianie klasy po obwodzie zgodnie z ruchem wskazówek zegara, tablicy po obwodzie w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, trójkącie przedstawionym na stojaku zgodnie z ruchem wskazówek zegara i równym trójkącie w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Obróć głowę w lewo i spójrz na linię horyzontu, a teraz na czubek nosa. Zamknij oczy, policz do 5, otwórz oczy i...

Przyłożymy dłonie do oczu,
Rozłóżmy nasze silne nogi.
Skręcając w prawo
Rozejrzyjmy się majestatycznie.
I ty też musisz iść w lewo
Spójrz spod dłoni.
I - w prawo! I dalej
Przez lewe ramię!
Teraz kontynuujmy pracę.

7. Niezależna praca studenci.

Rozwiąż nr.

8. Podsumowanie lekcji. Odbicie. D/z.

Czego nowego się nauczyłeś? Na lekcji:

czy rozważałeś...

analizowałeś...

Otrzymaliście …

doszedłeś do wniosku...

uzupełniłeś leksykon następujące warunki...

Nauka światowa rozpoczęła się od geometrii. Osoba nie może naprawdę rozwijać się kulturowo i duchowo, jeśli nie uczyła się geometrii w szkole. Geometria zrodziła się nie tylko z praktycznych, ale i duchowych potrzeb człowieka.

W ten sposób poetycko wyjaśniła swoją miłość do geometrii

Kocham geometrię...

Uczę geometrii, bo to kocham

Potrzebujemy geometrii, bez niej nigdzie nie dojdziemy.

Sinus, cosinus, obwód – tutaj wszystko jest ważne,

Wszystko jest tu potrzebne

Musisz się tylko nauczyć i zrozumieć wszystko bardzo wyraźnie,

Wykonuj zadania i testy na czas.

Sinus i cosinus pierwotnie powstały z potrzeby obliczania wielkości w trójkątach prostokątnych. Zauważono, że jeśli miara stopnia kątów w trójkącie prostokątnym nie ulega zmianie, to współczynnik proporcji, niezależnie od tego, jak bardzo zmienią się długości tych boków, zawsze pozostaje taki sam.

W ten sposób wprowadzono pojęcia sinusa i cosinusa. Sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek przeciwprostokątnej do przeciwprostokątnej, a cosinus to stosunek boku sąsiadującego z przeciwprostokątną.

Twierdzenia o cosinusach i sinusach

Ale cosinusy i sinusy można używać nie tylko do trójkątów prostokątnych. Aby znaleźć wartość kąta rozwartego lub ostrego lub boku dowolnego trójkąta, wystarczy zastosować twierdzenie o cosinusach i sinusach.

Twierdzenie cosinus jest dość proste: „Kwadrat boku trójkąta równa sumie kwadraty pozostałych dwóch boków minus dwukrotność iloczynu tych boków przez cosinus kąta między nimi.

Istnieją dwie interpretacje twierdzenia o sinusie: mała i rozszerzona. Według małego: „W trójkącie kąty są proporcjonalne przeciwne partie». To twierdzenie często rozszerzany ze względu na właściwość opisanego koła trójkąta: „W trójkącie kąty są proporcjonalne do przeciwnych boków, a ich stosunek jest równy średnicy opisanego koła”.

Pochodne

Pochodna jest narzędziem matematycznym, które pokazuje, jak szybko zmienia się funkcja w zależności od zmiany jej argumentu. Pochodne są stosowane w geometrii i wielu dyscyplinach technicznych.

Rozwiązując problemy, musisz znać wartości tabelaryczne pochodnych funkcji trygonometrycznych: sinus i cosinus. Pochodna sinusa to cosinus, a cosinus to sinus, ale ze znakiem minus.

Zastosowanie w matematyce

Sinusy i cosinusy są szczególnie często wykorzystywane do rozwiązywania trójkątów prostokątnych i problemów z nimi związanych.

Wygoda sinusów i cosinusów znajduje również odzwierciedlenie w technologii. Łatwo było wyznaczyć kąty i boki za pomocą twierdzeń o cosinusach i sinusach, załamując się złożone figury i obiekty w „proste” trójkąty. Inżynierowie często zajmują się obliczeniami współczynnika proporcji i środki stopnia, poświęciłem dużo czasu i wysiłku na obliczenie cosinusów i sinusów kątów innych niż tabelaryczne.

Wtedy na ratunek przyszły tablice Bradisa, zawierające tysiące wartości sinusów, cosinusów, stycznych i kotangentów różne kąty. W Czas sowiecki niektórzy nauczyciele zmuszali swoich uczniów do zapamiętywania stron tabel Bradisa.

Radian - wielkość kątowałuki, długość równy promieniowi lub 57,295779513° stopni.

Stopień (w geometrii) - 1/360 część koła lub 1/90 część prosty kąt.

π = 3,141592653589793238462… ( przybliżona wartość liczby Pi).

Tabela cosinusów dla kątów: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Kąt x (w stopniach)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
Kąt x (w radianach)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 x π/3	3 x π/4	5 x π/6	π	7 x π/6	5 x π/4	4 x π/3	3 x π/2	5 x π/3	7 x π/4	11xπ/6	2 x π
bo x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1

Średni poziom

Trójkąt prostokątny. Kompletny ilustrowany przewodnik (2019)

TRÓJKĄT PROSTOKĄTNY. PIERWSZY POZIOM.

W przypadku problemów kąt prosty wcale nie jest konieczny - lewy dolny róg, więc musisz nauczyć się rozpoznawać trójkąt prostokątny w tej formie,

i w tym

i w tym

Co jest dobrego w trójkącie prostokątnym? Cóż... przede wszystkim są wyjątkowe piękne imiona dla jego stron.

Uwaga na rysunek!

Pamiętaj i nie mieszaj: są dwie nogi i jest tylko jedna przeciwprostokątna(jedyny, niepowtarzalny i najdłuższy)!

Cóż, omówiliśmy nazwy, teraz najważniejsza rzecz: twierdzenie Pitagorasa.

Twierdzenie Pitagorasa.

Twierdzenie to jest kluczem do rozwiązania wielu problemów związanych z trójkątem prostokątnym. Pitagoras udowodnił to całkowicie odwieczny czas i od tego czasu przyniosła wiele korzyści tym, którzy ją znają. A najlepsze w tym jest to, że jest proste.

Więc, Twierdzenie Pitagorasa:

Czy pamiętasz dowcip: „Spodnie pitagorejskie są równe ze wszystkich stron!”?

Narysujmy te same spodnie pitagorejskie i spójrzmy na nie.

Czy to nie wygląda jak jakieś szorty? Cóż, po których stronach i gdzie są równe? Dlaczego i skąd wziął się ten żart? I ten żart wiąże się właśnie z twierdzeniem Pitagorasa, a ściślej ze sposobem, w jaki sam Pitagoras sformułował swoje twierdzenie. A sformułował to w ten sposób:

"Suma obszary kwadratów, zbudowany na nogach, jest równy powierzchnia kwadratowa, zbudowany na przeciwprostokątnej.”

Czy to naprawdę brzmi trochę inaczej? I tak, kiedy Pitagoras przedstawił oświadczenie swojego twierdzenia, powstał dokładnie taki obraz.

Na tym obrazku suma pól małych kwadratów jest równa powierzchni dużego kwadratu. Aby dzieci lepiej pamiętały, że suma kwadratów nóg jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej, ktoś dowcipny wymyślił ten żart o spodniach pitagorejskich.

Dlaczego teraz formułujemy twierdzenie Pitagorasa?

Czy Pitagoras cierpiał i mówił o kwadratach?

Widzisz, w starożytności nie było... algebry! Nie było żadnych znaków i tak dalej. Nie było żadnych napisów. Czy możesz sobie wyobrazić, jak okropne było dla biednych starożytnych uczniów zapamiętywanie wszystkiego słowami?! I możemy się cieszyć, że mamy proste sformułowanie twierdzenia Pitagorasa. Powtórzmy to jeszcze raz, żeby lepiej zapamiętać:

Teraz powinno być łatwo:

Kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg.

Cóż, najważniejsze twierdzenie o trójkątach prostokątnych zostało omówione. Jeśli ciekawi Cię, jak to zostało udowodnione, zapoznaj się z kolejnymi poziomami teorii, a teraz przejdźmy dalej… do ciemny las...trygonometria! Do okropnych słów sinus, cosinus, tangens i cotangens.

Sinus, cosinus, tangens, cotangens w trójkącie prostokątnym.

W rzeczywistości wszystko wcale nie jest takie straszne. Oczywiście w artykule należy przyjrzeć się „prawdziwym” definicjom sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa. Ale naprawdę nie chcę, prawda? Możemy się radować: aby rozwiązać problemy dotyczące trójkąta prostokątnego, możesz po prostu wypełnić następujące proste rzeczy:

Dlaczego wszystko jest tuż za rogiem? Gdzie jest róg? Aby to zrozumieć, musisz wiedzieć, jak stwierdzenia 1–4 są pisane słownie. Spójrz, zrozum i zapamiętaj!

1.
Właściwie brzmi to tak:

A co z kątem? Czy istnieje noga znajdująca się naprzeciwko rogu, czyli przeciwna (dla kąta) noga? Oczywiście, że tak! To jest noga!

A co z kątem? Przyjrzyj się uważnie. Która noga przylega do rogu? Oczywiście noga. Oznacza to, że dla kąta noga sąsiaduje i

Teraz uważaj! Zobacz, co mamy:

Zobacz jakie to fajne:

Przejdźmy teraz do stycznej i cotangensu.

Jak mam to teraz zapisać słowami? Jaka jest noga w stosunku do kąta? Oczywiście odwrotnie - „leży” naprzeciwko rogu. A co z nogą? Sąsiaduje z rogiem. Co więc mamy?

Widzisz, jak licznik i mianownik zamieniły się miejscami?

A teraz znowu rogi i dokonałem wymiany:

Streszczenie

Zapiszmy krótko wszystko, czego się nauczyliśmy.

Twierdzenie Pitagorasa:

Głównym twierdzeniem dotyczącym trójkątów prostokątnych jest twierdzenie Pitagorasa.

twierdzenie Pitagorasa

Swoją drogą, czy dobrze pamiętasz, czym są nogi i przeciwprostokątna? Jeśli nie jest zbyt dobry, spójrz na zdjęcie - odśwież swoją wiedzę

Jest całkiem możliwe, że korzystałeś już z twierdzenia Pitagorasa wiele razy, ale czy zastanawiałeś się kiedyś, dlaczego takie twierdzenie jest prawdziwe? Jak mogę to udowodnić? Postępujmy jak starożytni Grecy. Narysujmy kwadrat z bokiem.

Zobacz jak sprytnie podzieliliśmy jego boki na długości i!

Teraz połączmy zaznaczone kropki

Tutaj jednak zauważyliśmy coś innego, ale sam patrzysz na rysunek i zastanawiasz się, dlaczego tak jest.

Jakie jest pole równe? większy kwadrat? Prawidłowy, . A co z mniejszym obszarem? Z pewnością, . Całkowita powierzchnia czterech rogów pozostaje. Wyobraź sobie, że wzięliśmy ich po dwóch na raz i oparliśmy o siebie przeciwprostokątnymi. Co się stało? Dwa prostokąty. Oznacza to, że powierzchnia „nacięć” jest równa.

Połączmy to teraz w jedną całość.

Przeliczmy:

Odwiedziliśmy więc Pitagorasa - w starożytny sposób udowodniliśmy jego twierdzenie.

Trójkąt prostokątny i trygonometria

Dla trójkąta prostokątnego zachodzą następujące zależności:

Sinus kąta ostrego równy stosunkowi stronę przeciwną do przeciwprostokątnej

Cosinus kąta ostrego jest równy stosunkowi sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.

Tangens kąta ostrego jest równy stosunkowi strony przeciwnej do strony sąsiedniej.

Cotangens kąta ostrego jest równy stosunkowi boku sąsiedniego do boku przeciwnego.

I jeszcze raz to wszystko w formie tabletu:

To jest bardzo wygodne!

Znaki równości trójkątów prostokątnych

I. Z dwóch stron

II. Przez nogę i przeciwprostokątną

III. Według przeciwprostokątnej i kąta ostrego

IV. Wzdłuż nogi i kąta ostrego

A)

B)

Uwaga! Bardzo ważne jest tutaj, aby nogi były „odpowiednie”. Na przykład, jeśli to pójdzie tak:

WTEDY TRÓJKĄTY NIE SĄ RÓWNE, mimo że mają jeden identyczny kąt ostry.

Potrzebować w obu trójkątach noga sąsiadowała ze sobą lub w obu była przeciwna.

Czy zauważyłeś, jak znaki równości trójkątów prostokątnych różnią się od zwykłych znaków równości trójkątów? Przyjrzyj się tematowi „i zwróć uwagę na fakt, że dla równości „zwykłych” trójkątów muszą być równe trzy ich elementy: dwa boki i kąt między nimi, dwa kąty i bok między nimi, czyli trzy boki. Ale dla równości trójkątów prostokątnych wystarczą tylko dwa odpowiednie elementy. Świetnie, prawda?

Sytuacja jest w przybliżeniu taka sama w przypadku znaków podobieństwa trójkątów prostokątnych.

Znaki podobieństwa trójkątów prostokątnych

I. Pod kątem ostrym

II. Z dwóch stron

III. Przez nogę i przeciwprostokątną

Mediana w trójkącie prostokątnym

Dlaczego tak jest?

Zamiast trójkąta prostokątnego rozważ cały prostokąt.

Narysujmy przekątną i rozważmy punkt - punkt przecięcia przekątnych. Co wiesz o przekątnych prostokąta?

I co z tego wynika?

Okazało się więc, że

1. - mediana:

Zapamiętaj ten fakt! Bardzo pomaga!

Jeszcze bardziej zaskakujące jest to, że jest też odwrotnie.

Co dobrego można uzyskać z faktu, że środkowa poprowadzona do przeciwprostokątnej jest równa połowie przeciwprostokątnej? Spójrzmy na zdjęcie

Przyjrzyj się uważnie. Mamy: , czyli odległości od punktu do wszystkich trzech wierzchołków trójkąta okazały się równe. Ale w trójkącie jest tylko jeden punkt, którego odległości od wszystkich trzech wierzchołków trójkąta są równe, i jest to ŚRODEK KOŁA. Więc co się stało?

Zacznijmy więc od tego „oprócz…”.

Spójrzmy na i.

Ale podobne trójkąty wszystkie kąty są równe!

To samo można powiedzieć o i

Teraz narysujmy to razem:

Jakie korzyści można wyciągnąć z tego „potrójnego” podobieństwa?

Cóż, na przykład - dwa wzory na wysokość trójkąta prostokątnego.

Zapiszmy relacje odpowiednich stron:

Aby znaleźć wysokość, rozwiązujemy proporcję i otrzymujemy pierwsza formuła „Wysokość w trójkącie prostokątnym”:

Zastosujmy więc podobieństwo: .

Co się teraz stanie?

Ponownie rozwiązujemy proporcję i otrzymujemy drugą formułę:

Trzeba bardzo dobrze zapamiętać obie te formuły i skorzystać z tej, która jest wygodniejsza. Zapiszmy je jeszcze raz

Twierdzenie Pitagorasa:

W trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg: .

Znaki równości trójkątów prostokątnych:

• z dwóch stron:
• przez nogę i przeciwprostokątną: lub
• wzdłuż nogi i przyległego kąta ostrego: lub
• wzdłuż nogi i przeciwległy kąt ostry: lub
• przez przeciwprostokątną i kąt ostry: lub.

Znaki podobieństwa trójkątów prostokątnych:

• jeden ostry róg: lub
• z proporcjonalności dwóch nóg:
• z proporcjonalności nogi i przeciwprostokątnej: lub.

Sinus, cosinus, tangens, cotangens w trójkącie prostokątnym

• Sinus kąta ostrego trójkąta prostokątnego to stosunek przeciwnej strony do przeciwprostokątnej:
• Cosinus kąta ostrego trójkąta prostokątnego to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej:
• Tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek boku przeciwnego do boku sąsiedniego:
• Cotangens kąta ostrego trójkąta prostokątnego to stosunek boku sąsiedniego do boku przeciwnego: .

Wysokość trójkąta prostokątnego: lub.

W trójkącie prostokątnym środkowa narysowana z wierzchołka kąta prostego jest równa połowie przeciwprostokątnej: .

Pole trójkąta prostokątnego:

• przez nogi:

Nauczyciele uważają, że każdy uczeń powinien umieć wykonywać obliczenia, wiedzieć wzory trygonometryczne, ale nie każdy nauczyciel wyjaśnia, czym są sinus i cosinus. Jakie jest ich znaczenie, gdzie się je stosuje? Dlaczego mówimy o trójkątach, a w podręczniku jest okrąg? Spróbujmy połączyć wszystkie fakty w jedną całość.

Przedmiot szkolny

Naukę trygonometrii zwykle rozpoczyna się w klasach 7-8 Liceum. W tym momencie uczniowie wyjaśniają, czym są sinus i cosinus i proszeni są o rozwiązanie problemy geometryczne korzystania z tych funkcji. Więcej pojawi się później złożone formuły oraz wyrażenia, które należy przekształcić algebraicznie (wzory double i półkąt, funkcje mocy), praca jest wykonywana za pomocą koła trygonometrycznego.

Jednak nauczyciele nie zawsze są w stanie jasno wyjaśnić znaczenie używanych pojęć i zastosowanie formuł. Dlatego uczeń często nie widzi sensu ten temat a zapamiętane informacje szybko zostają zapomniane. Warto jednak kiedyś wytłumaczyć licealiście, na przykład, związek pomiędzy funkcją a Ruch oscylacyjny, I połączenie logiczne zostaną zapamiętane na wiele lat, a żarty o bezużyteczności przedmiotu staną się przeszłością.

Stosowanie

Dla ciekawości przyjrzyjmy się różnym gałęziom fizyki. Chcesz określić zasięg pocisku? A może obliczasz siłę tarcia między obiektem a określoną powierzchnią? Kołyszeć wahadłem, obserwować promienie przechodzące przez szkło, obliczać indukcję? Pojęcia trygonometryczne pojawiają się w prawie każdym wzorze. Czym więc są sinus i cosinus?

Definicje

Sinus kąta to stosunek przeciwnej strony do przeciwprostokątnej, cosinus to stosunek sąsiedniej strony do tej samej przeciwprostokątnej. Nie ma tu absolutnie nic skomplikowanego. Być może uczniowie są zwykle zdezorientowani znaczeniami, w których widzą tablica trygonometryczna, ponieważ pojawiają się tam pierwiastki kwadratowe. Tak, uzyskiwanie z nich ułamków dziesiętnych nie jest zbyt wygodne, ale kto powiedział, że wszystkie liczby w matematyce muszą być równe?

W książkach z zadaniami z trygonometrii można znaleźć zabawną wskazówkę: większość odpowiedzi jest parzysta i spójna najgorszy przypadek zawierają pierwiastek z dwóch lub trzech. Wniosek jest prosty: jeśli Twoja odpowiedź okaże się ułamkiem „wielopiętrowym”, sprawdź dwukrotnie rozwiązanie pod kątem błędów w obliczeniach lub rozumowaniu. I najprawdopodobniej je znajdziesz.

O czym pamiętać

Jak każda nauka, trygonometria zawiera dane, których należy się nauczyć.

Po pierwsze, powinieneś pamiętać wartości liczbowe dla sinusów, cosinusów trójkąta prostokątnego 0 i 90, a także 30, 45 i 60 stopni. Wskaźniki te występują w dziewięciu na dziesięć zadania szkolne. Patrząc na te wartości w podręczniku, stracisz dużo czasu, a podczas sprawdzianu lub egzaminu w ogóle nie będzie gdzie na nie spojrzeć.

Należy pamiętać, że wartość obu funkcji nie może być większa niż jedność. Jeśli gdziekolwiek w obliczeniach otrzymasz wartość spoza zakresu 0-1, zatrzymaj się i spróbuj rozwiązać problem ponownie.

Suma kwadratów sinusa i cosinusa jest równa jeden. Jeśli już znalazłeś jedną z wartości, użyj tej formuły, aby znaleźć pozostałą.

Twierdzenia

W podstawowej trygonometrii istnieją dwa podstawowe twierdzenia: sinusy i cosinusy.

Pierwsza stwierdza, że ​​stosunek każdego boku trójkąta do sinusa przeciwległego kąta jest taki sam. Po drugie, kwadrat dowolnego boku można otrzymać, dodając kwadraty dwóch pozostałych boków i odejmując ich iloczyn podwójny pomnożony przez cosinus kąta leżącego między nimi.

Zatem, jeśli podstawimy wartość kąta 90 stopni do twierdzenia o cosinusie, otrzymamy... twierdzenie Pitagorasa. Teraz, jeśli chcesz obliczyć pole figury, która nie jest trójkątem prostokątnym, nie musisz się już martwić - dwa omówione twierdzenia znacznie uproszczą rozwiązanie problemu.

Cele i zadania

Nauka trygonometrii stanie się znacznie łatwiejsza, gdy uświadomisz sobie jeden prosty fakt: wszystkie czynności, które wykonujesz, mają na celu osiągnięcie tylko jednego celu. Dowolne parametry trójkąta można znaleźć, jeśli znasz minimum informacji na jego temat - może to być wartość jednego kąta i długość dwóch lub na przykład trzech boków.

Aby określić sinus, cosinus, tangens dowolnego kąta, dane te są wystarczające i za ich pomocą można łatwo obliczyć obszar figury. Prawie zawsze odpowiedź wymaga jednej z wymienionych wartości i można je znaleźć za pomocą tych samych wzorów.

Niespójności w uczeniu się trygonometrii

Jednym z zagadkowych pytań, którego uczniowie wolą unikać, jest odkrycie związku pomiędzy różne koncepcje w trygonometrii. Wydawałoby się, że trójkąty służą do badania sinusów i cosinusów kątów, ale z jakiegoś powodu symbole często znajdują się na rysunku z okręgiem. Ponadto istnieje całkowicie niezrozumiały wykres przypominający falę zwany falą sinusoidalną, który nie ma zewnętrznego podobieństwa ani do koła, ani do trójkątów.

Co więcej, kąty mierzy się albo w stopniach, albo w radianach, a liczba Pi, zapisana po prostu jako 3,14 (bez jednostek), z jakiegoś powodu pojawia się we wzorach i odpowiada 180 stopniom. Jak to wszystko jest powiązane?

Jednostki

Dlaczego Pi wynosi dokładnie 3,14? Czy pamiętasz, jakie jest to znaczenie? Jest to liczba promieni mieszczących się w łuku na połowie koła. Jeśli średnica koła wynosi 2 centymetry, obwód wyniesie 3,14 * 2, czyli 6,28.

Punkt drugi: być może zauważyłeś podobieństwo między słowami „radian” i „promień”. Faktem jest, że jeden radian jest liczbą równa wartości kąt wyznaczony między środkiem okręgu a łukiem o długości jednego promienia.

Teraz połączymy zdobytą wiedzę i zrozumiemy, dlaczego w trygonometrii „Pi na pół” jest zapisane na górze osi współrzędnych, a „Pi” jest zapisane po lewej stronie. Jest to wartość kątowa mierzona w radianach, ponieważ półkole ma 180 stopni, czyli 3,14 radianów. A gdzie są stopnie, są sinusy i cosinusy. Łatwo jest narysować trójkąt z żądanego punktu, odkładając segmenty do środka i do osi współrzędnych.

Spójrzmy w przyszłość

Trygonometria, studiowana w szkole, zajmuje się układ prostoliniowy współrzędne, gdzie – niezależnie od tego, jak dziwnie to zabrzmi – linia prosta jest linią prostą.

Ale jest coś więcej złożone sposoby praca z przestrzenią: suma kątów trójkąta będzie tutaj większa niż 180 stopni, a linia prosta naszym zdaniem będzie wyglądać jak prawdziwy łuk.

Przejdźmy od słów do czynów! Weź jabłko. Wykonaj trzy nacięcia nożem, tak aby patrząc z góry uzyskać trójkąt. Wyjmij powstały kawałek jabłka i spójrz na „żebra”, w miejscu, w którym kończy się skórka. Wcale nie są proste. Owoc w twoich rękach można umownie nazwać okrągłym, ale teraz wyobraź sobie, jak skomplikowane muszą być formuły, za pomocą których można znaleźć obszar wyciętego kawałka. Ale niektórzy specjaliści rozwiązują takie problemy każdego dnia.

Funkcje trygonometryczne w życiu

Czy zauważyłeś, że najkrótsza trasa samolotu z punktu A do punktu B na powierzchni naszej planety ma wyraźny kształt łuku? Powód jest prosty: Ziemia jest kulista, co oznacza, że ​​​​na trójkątach nie można wiele obliczyć - trzeba używać bardziej skomplikowanych wzorów.

Nie można obejść się bez sinusa/cosinusa kąta ostrego w jakichkolwiek kwestiach związanych z przestrzenią. Co ciekawe, nakłada się na to wiele czynników: funkcje trygonometryczne są wymagane przy obliczaniu ruchu planet po okręgach, elipsach i różnych trajektoriach większych niż złożone kształty; proces wystrzeliwania rakiet, satelitów, wahadłowców, oddokowania pojazdów badawczych; monitorowanie odległe gwiazdy oraz badanie galaktyk, do których ludzie nie będą mogli dotrzeć w dającej się przewidzieć przyszłości.

Ogólnie rzecz biorąc, pole działania osoby znającej trygonometrię jest bardzo szerokie i najwyraźniej będzie się rozszerzać z czasem.

Wniosek

Dziś dowiedzieliśmy się, a przynajmniej powtórzyliśmy, czym są sinus i cosinus. To pojęcia, których nie musisz się bać – po prostu ich zapragnij, a zrozumiesz ich znaczenie. Pamiętaj, że trygonometria nie jest celem, a jedynie narzędziem, które można wykorzystać do zaspokojenia rzeczywistości człowiek potrzebuje: buduj domy, dbaj o bezpieczeństwo ruchu drogowego, a nawet eksploruj ogrom wszechświata.

Rzeczywiście, sama nauka może wydawać się nudna, ale gdy tylko znajdziesz w niej sposób na osiągnięcie własnych celów i samorealizację, proces uczenia się stanie się interesujący, a Twoja osobista motywacja wzrośnie.

Jak Praca domowa Spróbuj znaleźć sposoby zastosowania funkcji trygonometrycznych w obszarze działalności, który Cię osobiście interesuje. Wyobraź sobie, użyj swojej wyobraźni, a wtedy prawdopodobnie przekonasz się, że nowa wiedza przyda Ci się w przyszłości. A poza tym matematyka jest przydatna ogólny rozwój myślący.