Stosunek pól podobnych trójkątów jest równy współczynnikowi podobieństwa. Definicja trójkątów podobnych

Segmenty proporcjonalne

Aby wprowadzić pojęcie podobieństwa, musimy najpierw przypomnieć sobie pojęcie odcinków proporcjonalnych. Przypomnijmy jeszcze definicję stosunku dwóch odcinków.

Definicja 1

Stosunek dwóch odcinków to stosunek ich długości.

Koncepcja proporcjonalności segmentów ma zastosowanie również do większej liczby segmentów. Niech na przykład $AB=2$, $CD=4$, $A_1B_1=1$, $C_1D_1=2$, $A_2B_2=4$, $C_2D_2=8$, wtedy

Oznacza to, że segmenty $AB$, $A_1B_1$, $\A_2B_2$ są proporcjonalne do segmentów $CD$, $C_1D_1$, $C_2D_2$.

Podobne trójkąty

Przypomnijmy sobie najpierw, co w ogóle oznacza pojęcie podobieństwa.

Definicja 3

Figury nazywane są podobnymi, jeśli mają ten sam kształt, ale różne rozmiary.

Rozumiemy teraz pojęcie trójkątów podobnych. Rozważ rysunek 1.

Rysunek 1. Dwa trójkąty

Niech te trójkąty mają $\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1,\ \angle C=\angle C_1$. Wprowadźmy następującą definicję:

Definicja 4

Boki dwóch trójkątów nazywamy podobnymi, jeśli leżą naprzeciw równych kątów tych trójkątów.

Na rysunku 1 boki $AB$ i $A_1B_1$, $BC$ i $B_1C_1$, $AC$ i $A_1C_1$ są podobne. Wprowadźmy teraz definicję trójkątów podobnych.

Definicja 5

Dwa trójkąty nazywamy podobnymi, jeśli kąty wszystkich kątów jednego trójkąta są odpowiednio równe kątom drugiego i trójkąta, a wszystkie podobne boki tych trójkątów są proporcjonalne, to znaczy

\[\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1,\ \angle C=\angle C_1,\] \[\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C) _1)=\frac(AC)(A_1C_1)\]

Rysunek 1 pokazuje podobne trójkąty.

Oznaczenie: $ABC\sim A_1B_1C_1$

Dla pojęcia podobieństwa istnieje również pojęcie współczynnika podobieństwa.

Definicja 6

Liczba $k$ równa stosunkowi podobnych boków figur podobnych nazywa się współczynnikiem podobieństwa tych figur.

Pola podobnych trójkątów

Rozważmy teraz twierdzenie o stosunku pól trójkątów podobnych.

Twierdzenie 1

Stosunek pól dwóch podobnych trójkątów jest równy kwadratowi współczynnika podobieństwa, to znaczy

\[\frac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1))=k^2\]

Dowód.

Rozważmy dwa podobne trójkąty i oznaczmy ich pola odpowiednio jako $S$ i $S_1$ (ryc. 2).

Rysunek 2.

Aby udowodnić to twierdzenie, przypomnijmy sobie następujące twierdzenie:

Twierdzenie 2

Jeżeli kąt jednego trójkąta jest równy kątowi drugiego trójkąta, wówczas ich pola są powiązane jako iloczyn boków sąsiadujących z tym kątem.

Ponieważ trójkąty $ABC$ i $A_1B_1C_1$ są podobne, to z definicji $\angle A=\angle A_1$. Następnie, z Twierdzenia 2, otrzymujemy to

Ponieważ $\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(AC)(A_1C_1)=k$, otrzymujemy

Twierdzenie zostało udowodnione.

Zagadnienia związane z pojęciem podobieństwa trójkątów

Przykład 1

Dane są podobne trójkąty $ABC$ i $A_1B_1C_1.$ Boki pierwszego trójkąta wynoszą $AB=2,\ BC=5,\ AC=6$. Współczynnik podobieństwa tych trójkątów wynosi $k=2$. Znajdź boki drugiego trójkąta.

Rozwiązanie.

Ten problem ma dwa możliwe rozwiązania.

Niech $k=\frac(A_1B_1)(AB)=\frac((B_1C)_1)(BC)=\frac(A_1C_1)(AC)$.

Wtedy $A_1B_1=kAB,\ (B_1C)_1=kBC,\ A_1C_1=kAC$.

Zatem $A_1B_1=4,\ (B_1C)_1=10,\ A_1C_1=12$

Niech $k=\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C)_1)=\frac(AC)(A_1C_1)$

Następnie $A_1B_1=\frac(AB)(k),\ (B_1C)_1=\frac(BC)(k),\ A_1C_1=\frac(AC)(k)$.

Zatem $A_1B_1=1,\ (B_1C)_1=2,5,\\A_1C_1=3$.

Przykład 2

Biorąc pod uwagę podobne trójkąty $ABC$ i $A_1B_1C_1.$ Bok pierwszego trójkąta to $AB=2$, odpowiedni bok drugiego trójkąta to $A_1B_1=6$. Wysokość pierwszego trójkąta wynosi $CH=4$. Znajdź obszar drugiego trójkąta.

Rozwiązanie.

Ponieważ trójkąty $ABC$ i $A_1B_1C_1$ są podobne, to $k=\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(1)(3)$.

Znajdźmy obszar pierwszego trójkąta.

Z Twierdzenia 1 mamy:

\[\frac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1))=k^2\] \[\frac(4)(S_(A_1B_1C_1))=\frac(1)(9)\] \

Definicja i właściwości trójkątów podobnych

Liczby a 1 , a 2 , a 3 , …, a n nazywane są proporcjonalnymi do liczb b 1 , b 2 , b 3 , …, b n jeśli zachodzi równość: a 1 / b 1 = a 2 / b 2 = a 3 / b 3 = ... = a n /b n = k, gdzie k jest pewną liczbą zwaną współczynnikiem proporcjonalności.

Przykład. Liczby 6; 7,5 i 15 są proporcjonalne do liczb -4; 5 i 10. Współczynnik proporcjonalności to liczba -1,5, ponieważ

6/-4 = -7,5/5 = 15/-10 = -1,5.

Proporcjonalność liczb ma miejsce, jeśli liczby te są powiązane proporcjonalnie.

Wiadomo, że proporcję mogą składać się z co najmniej czterech liczb, zatem pojęcie proporcjonalności stosuje się do co najmniej czterech liczb (jedna para liczb jest proporcjonalna do drugiej pary lub jedna trójka liczb jest proporcjonalna do innej trójki, itp.).

Spójrzmy na Ryż. 1 dwa trójkąty ABC i A 1 B 1 C 1 o równych kątach parami: A = A 1, B = B 1, C = C 1.

Nazywa się boki leżące naprzeciw równych par kątów obu trójkątów podobny. Tak, dalej Ryż. 1 boki AB i A 1 B 1, AC i A 1 C 1, BC i B 1 C 1, są podobne, ponieważ leżą naprzeciw odpowiednio równych kątów trójkątów ABC i A 1 B 1 C 1.

Zdefiniujmy podobne trójkąty:

Nazywa się dwa trójkąty podobny, jeśli ich kąty są parami równe, a boki podobne są proporcjonalne.

Stosunek podobnych boków podobnych trójkątów nazywa się współczynnik podobieństwa.

Podobne trójkąty oznacza się następująco: Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1 .

Wkrótce Ryż. 2 mamy: Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1

kąty A = A 1, B = B 1, C = C 1 i AB/A 1 B 1 = BC/B 1 C 1 = AC/A 1 C 1 = k, gdzie k jest współczynnikiem podobieństwa. Z Ryż. 2 jasne jest, że podobne trójkąty mają te same proporcje i różnią się jedynie skalą.

Uwaga 1: Równe trójkąty są podobne 1-krotnie.

Uwaga 2: Wyznaczając trójkąty podobne, należy tak uporządkować ich wierzchołki, aby ich kąty były parami równe. Na przykład dla trójkątów pokazanych na rysunku 2 błędne jest stwierdzenie, że Δ ABC ~ Δ B 1 C 1 A 1. Obserwując prawidłową kolejność wierzchołków, wygodnie jest zapisać proporcję łączącą podobne boki trójkątów bez odwoływania się do rysunku: licznik i mianownik odpowiednich stosunków powinny zawierać pary wierzchołków zajmujących te same pozycje w oznaczeniu podobnych trójkąty. Przykładowo z zapisu „Δ ABC ~ Δ KNL” wynika, że kąty A = K, B = N, C = L i AB/KN = BC/NL = AC/KL.

Uwaga 3: Wymagania wymienione w definicji trójkątów podobnych są zbędne. Nieco później udowodnimy kryteria podobieństwa dla trójkątów, które zawierają mniej wymagań dla podobnych trójkątów.

Sformułujmy właściwości trójkątów podobnych:

Stosunek odpowiednich elementów liniowych podobnych trójkątów jest równy współczynnikowi ich podobieństwa. Do takich elementów podobnych trójkątów zaliczają się elementy mierzone w jednostkach długości. Są to na przykład bok trójkąta, obwód, środkowa. Kąt lub powierzchnia nie mają zastosowania do takich elementów.
Stosunek pól podobnych trójkątów jest równy kwadratowi ich współczynnika podobieństwa.

Niech trójkąty ABC i A 1 B 1 C 1 będą podobne ze współczynnikiem k (ryc. 2).

Udowodnimy, że S ABC /S A1 B1 C1 = k 2 .

Ponieważ kąty podobnych trójkątów są równe parami, tj. A = A 1, oraz z twierdzenia o stosunku pól trójkątów o równych kątach, mamy:

S ABC /S A1 B1 C1 = (AB · AC) / (A 1 B 1 · ZA 1 do 1) = AB/A 1 b 1 · AC/A 1 do 1 .

Ze względu na podobieństwo trójkątów AB/A 1 B 1 = k i AC/A 1 C 1 = k,

zatem S ABC /S A1 B1 C1 = AB/A 1 B 1 · AC/A 1 do 1 = k · k = k 2 .

Uwaga: Sformułowane powyżej właściwości podobnych trójkątów obowiązują również w przypadku dowolnych figur.

Znaki podobieństwa trójkątów

Wymogi jakie z definicji stawiane są trójkątom podobnym (są to równość kątów i proporcjonalność boków) są zbędne. Podobieństwo trójkątów można ustalić przy użyciu mniejszej liczby elementów.

Zatem przy rozwiązywaniu problemów najczęściej stosuje się pierwsze kryterium podobieństwa trójkątów, które stwierdza, że aby dwa trójkąty były podobne, wystarczy równość ich kątów:

Pierwszy znak podobieństwa trójkątów (o dwa kąty): Jeżeli dwa kąty jednego trójkąta są odpowiednio równe dwóm kątom drugiego trójkąta, to te trójkąty są podobne (ryc. 3).

Niech zostaną dane trójkąty Δ ABC, Δ A 1 B 1 C 1, w których kąty A = A 1, B = B 1. Należy udowodnić, że Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1 .

Dowód.

1) Zgodnie z twierdzeniem o sumie kątów trójkąta mamy:

kąt C = 180° (kąt A + kąt B) = 180° (kąt A 1 + kąt B 1) = kąt C 1.

2) Z twierdzenia o stosunku pól trójkątów o równych kątach,

S ABC /S A1 B1 C1 = (AB AC) / (A 1 B 1 A 1 C 1) = (AB BC) / (A 1 B 1 B 1 do 1) = (AC BC) / (A 1 C 1 · B 1 do 1).

3) Z równości (AB AC) / (A 1 B 1 A 1 C 1) = (AB BC) / (A 1 B 1 B 1 C 1) wynika, że AC/A 1 C 1 = BC /B 1 C 1 .

4) Z równości (AB BC) / (A 1 B 1 B 1 C 1) = (AC BC) / (A 1 C 1 B 1 C 1) wynika, że AB/A 1 B 1 = AC /A 1 C 1.

Zatem trójkąty ABC i A 1 B 1 C 1 DA = DA 1, DB = DB 1, DC = DC 1 i AB/A 1 B 1 = AC/A 1 C 1.

5) AB/A 1 B 1 = AC/A 1 C 1 = BC/B 1 C 1, czyli boki podobne są proporcjonalne. Oznacza to, że z definicji Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1.

Twierdzenie o odcinkach proporcjonalnych. Dzielenie odcinka w zadanym stosunku

Twierdzenie o odcinku proporcjonalnym jest uogólnieniem twierdzenia Talesa.

Aby skorzystać z twierdzenia Talesa, konieczne jest, aby linie równoległe przecinające dwie dane linie odcięły równe odcinki na jednej z nich. Uogólnione twierdzenie Talesa stwierdza, że jeśli proste równoległe przecinają się z dwiema danymi liniami, to odcięte przez nie odcinki na jednej linii są proporcjonalne do odcinków odciętych na drugiej linii.

Twierdzenie o odcinkach proporcjonalnych udowadnia się podobnie jak twierdzenie Talesa (tylko zamiast równości trójkątów zastosowano tu ich podobieństwo).

Twierdzenie o odcinkach proporcjonalnych (uogólnione twierdzenie Talesa): Linie równoległe przecinające dwie dane linie odcinają na nich proporcjonalne odcinki.

Własność środkowych trójkąta

Pierwsze kryterium podobieństwa trójkątów pozwala nam udowodnić własność środkowych trójkąta:

Własność środkowych trójkąta:Środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie i są przez ten punkt dzielone w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka (ryc. 4).

Nazywa się punkt przecięcia środkowych środek ciężkości trójkąt.

Niech będzie dane Δ ABC, dla którego AA 1, BB 1, CC 1 są medianami, dodatkowo AA 1 ∩CC 1 = O. Należy udowodnić, że BB 1 ∩ CC 1 = O i AO/OA 1 = VO /OB 1 = CO/OS 1 = 2.

Dowód.

1) Narysuj środkową linię A 1 C 1. Z twierdzenia o linii środkowej trójkąta A 1 C 1 || AC i A 1 do 1 = AC/2.

2) Trójkąty AOC i A 1 OC 1 są podobne pod dwoma kątami (kąt AOC = kąt A 1 OC 1 jako pionowy, kąt OAC = kąt OA 1 C 1 jako wewnętrzny poprzecznie leżący z A 1 C 1 || AC i sieczną AA 1 ) zatem z definicji trójkątów podobnych AO/A 1 O = OC/OS 1 = AC/A 1 C 1 = 2.

3) Niech BB 1 ∩CC 1 = O 1 . Podobnie jak w punktach 1 i 2 można udowodnić, że VO/O 1 B 1 = CO 1 /O 1 C = 2. Ponieważ jednak na odcinku CC 1 istnieje pojedynczy punkt O dzielący go w stosunku CO: OS 1 = 2: 1, wówczas punkty O i O 1 pokrywają się. Oznacza to, że wszystkie środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie, dzieląc każdą z nich w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka.

Na kursie geometrii, w temacie „obszar wielokątów”, udowodniono, że środkowa dzieli dowolny trójkąt na dwie równe części. Ponadto, gdy trzy środkowe trójkąta przecinają się, powstaje sześć równych trójkątów.

Nadal masz pytania? Nie wiesz, jak rozwiązać problemy takie jak trójkąty?
Aby uzyskać pomoc od nauczyciela -.
Pierwsza lekcja jest darmowa!

blog.site, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do oryginalnego źródła.

1.3. Stosunek pól trójkątów podobnych. Twierdzenie. Stosunek pól dwóch podobnych trójkątów jest równy kwadratowi współczynnika podobieństwa. Dowód. Niech trójkąty ABC i A1B1C1 będą podobne, a współczynnik podobieństwa będzie równy k. Oznaczmy pola tych trójkątów literami S i S1. Zatem, ponieważ A=A1.

Slajd 11 z prezentacji „Podobne trójkąty” klasa 8. Rozmiar archiwum z prezentacją wynosi 1756 KB.

Geometria w klasie 8

podsumowanie innych prezentacji

„Prostokąty” - przekątna. Obrazy. Boki prostokąta. Obwód prostokąta. Człowiek. Pole prostokąta. Prostokąt w życiu. Definicja. Bok prostokąta. Przekątne. Opowieść o prostokącie. Prostokąt. Przeciwne strony.

„Iloczyn kropkowy we współrzędnych” – wektor. Twierdzenie Napoleona. Konsekwencja. Własności iloczynu skalarnego wektorów. Wymień karty. Rozwiążmy problem. Geometria. Iloczyn skalarny we współrzędnych i jego właściwości. Sprawdzian z matematyki. Nowy materiał. Rozwiązanie trójkąta. Rozgrzewka matematyczna. Nazwisko autora twierdzenia. Dowód twierdzenia Pitagorasa.

„Znajdowanie obszaru równoległoboku” - Powierzchnia równoległoboku. Ćwiczenia ustne. Wysokość. Wyznaczanie wysokości równoległoboku. Wysokości równoległoboku. Znajdź obszar równoległoboku. Pole trójkąta. Powierzchnia kwadratu. Właściwości obszarów. Znajdź obszar trójkąta. Znajdź obwód kwadratu. Baza. Znajdź obszar prostokąta. Znajdź pole kwadratu. Znaki równości trójkątów prostokątnych.

„Wektory 8. klasy” - Nazwij wektory równe i przeciwne. Wektory na lekcjach fizyki. Bezwzględna wielkość wektora. Bezwzględna wielkość wektora. Prostokąt o wszystkich bokach równych. Koncepcja wektora. Wyznacz współrzędne wektora. Znajdź i nazwij równe wektory na tym rysunku. Równe wektory. Samodzielna praca w parach. Współrzędne wektora. Motto lekcji. Skalarne wielkości fizyczne, takie jak siła tarcia i prędkość.

„Różne rodzaje symetrii” – wymaganie. Ruchoma symetria. Trójkąt równoramienny o symetrii lustrzanej. Teoria grup. Symetria w biologii. Symetria obrotowa. Symetria biradialna. Co to jest symetria. Supersymetria. Symetria w geometrii. Symetria w fizyce. Górna część dzwonu. Pojawienie się dwustronnej symetrii. Dwustronna symetria. Twierdzenie Noether. Brak symetrii. Symetria fizyki. Centralna symetria.

„Kwadrat w życiu” – Kwadraty spotykają nas wszędzie. Indie. Magiczny kwadrat Albrechta Durera. Fabuła. Kwadraty. Magiczny kwadrat Lo Shu. Czarny kwadrat. Zagadka „Kwadrat”. Ciekawe fakty na temat placu. Kwadrat figury geometrycznej. Plac Malewicza. Magiczny kwadrat. Prostokąt. Kwadrat. Podstawowy pomysł. Interesujące fakty. Chiny.

Typ lekcji: lekcja wprowadzenia nowego materiału.

Cel lekcji: Udowodnić własność pól trójkątów podobnych i pokazać jej praktyczne znaczenie w rozwiązywaniu problemów.

Cele Lekcji:

nauczanie – udowadnianie własności pól trójkątów podobnych i pokazywanie ich praktycznego znaczenia w rozwiązywaniu problemów;

rozwijanie - rozwijanie umiejętności analizowania i doboru argumentów przy rozwiązywaniu problemu, którego metoda rozwiązania jest nieznana;

edukacyjne - kultywowanie zainteresowania przedmiotem poprzez treść procesu edukacyjnego i tworzenie sytuacji sukcesu, kultywowanie umiejętności pracy w grupie.

Student posiada następującą wiedzę:

Jednostka treści ćwiczeń, której uczniowie muszą się nauczyć:

Podczas zajęć.

1. Moment organizacyjny.

2. Aktualizowanie wiedzy.

3. Praca z problematyczną sytuacją.

4. Podsumowanie lekcji i zapisanie pracy domowej, refleksja.

Metody nauczania: werbalne, wizualne, problemowe.

Formy szkolenia: praca frontalna, praca w mini grupach, praca indywidualna i samodzielna.

Technologie: zadaniowe, informatyczne, podejście kompetencyjne.

Sprzęt:

komputer, projektor do prezentacji prezentacyjnych, tablica interaktywna, kamera dokumentacyjna;

prezentacja komputerowa w programie Microsoft PowerPoint;

podsumowanie uzupełniające;

Podczas zajęć

1. Moment organizacyjny.

Dzisiaj na lekcji będziemy pracować nie w zeszytach, ale w notatkach, które wypełnisz w celu kontynuacji całej lekcji. Podpisz to. Ocena za lekcję będzie składać się z dwóch elementów: za notatki uzupełniające i za aktywną pracę na lekcji.

2. Aktualizowanie wiedzy uczniów. Przygotowanie do aktywnej aktywności edukacyjnej i poznawczej na głównym etapie lekcji.

Kontynuujemy naukę tematu „podobieństwo trójkątów”. Przypomnijmy sobie więc, czego uczyliśmy się na ostatniej lekcji.

Teoretyczna rozgrzewka. Test. W Twoich notatkach pierwsze zadanie ma charakter testowy. Odpowiedz na pytania, wybierając jedną z proponowanych opcji odpowiedzi i wprowadź swoją odpowiedź, jeśli to konieczne.

Nauczyciel: Jak nazywa się stosunek dwóch odcinków?

Odpowiedź: Stosunek dwóch odcinków dwóch odcinków to stosunek ich długości.

Nauczyciel: W jakim przypadku są to segmentyAB I płyta CDproporcjonalnie do segmentówA 1 B 1 i C 1 D 1

Odpowiedź: segmenty AB I płyta CDproporcjonalnie do segmentówA 1 B 1 i C 1 D 1 jeśli

Twoje opcje. Cienki. Nie zapomnij poprawić każdego, kto się myli.

Nauczyciel: Zdefiniować podobne trójkąty? Zapoznaj się z notatką referencyjną. Masz trzy możliwości odpowiedzi na to pytanie. Wybierz właściwy. Zakreśl to.

Więc proszę, którą opcję wybrałeś_______

Odpowiedź: Dwa trójkąty nazywamy podobnymi, jeśli ich kąty są odpowiednio równe, a boki jednego trójkąta są proporcjonalne do boków drugiego trójkąta.

Dobrze zrobiony! Popraw każdego, kto się myli.

Nauczyciel: Jaki jest stosunek pól dwóch trójkątów, które mają równe kąty?

Odpowiedź: Jeżeli kąt jednego trójkąta jest równy kątowi drugiego trójkąta, to pola tych trójkątów są powiązane jako iloczyn boków obejmujących równe kąty.

Rozwiązywanie problemów z wykorzystaniem gotowych rysunków.Następnie odbędzie się nasza rozgrzewka podczas rozwiązywania problemów z wykorzystaniem gotowych rysunków. Zadania te możesz także zobaczyć w notatkach referencyjnych.

Odbicie. Wyjaśnijmy, jaka wiedza i umiejętności pozwoliły nam rozwiązać te problemy. Jakie metody rozwiązywania zastosowaliśmy (zapisując odpowiedzi na tablicy).

Możliwe odpowiedzi:

Wyznaczanie trójkątów podobnych;

Zastosowanie definicji trójkątów podobnych do rozwiązywania problemów;

Twierdzenie o stosunku pól trójkątów o równych kątach;

A teraz proponuję rozwiązanie kilku problemów, które mają coś wspólnego z tematem lekcji, ale są bardziej związane z geografią.

Sytuacja sukcesu.

Pierwsze zadanie stoi przed Tobą. Sami pracujemy nad tym problemem. Pierwsza osoba, która rozwiąże, pokaże swoje rozwiązanie na tablicy, a ktoś inny zademonstruje swoje rozwiązanie za pomocą kamery dokumentacyjnej, dzięki czemu piszemy pięknie i dokładnie.

Odpowiedź: boki trójkąta bermudzkiego to 2000 km, 1840 km, 2220 km. Długość granicy wynosi 6060 km.

Odbicie.

Możliwa odpowiedź: Podobne trójkąty mają podobne boki, które są proporcjonalne.

Sytuacja sukcesu.

Ustaliliśmy wymiary Trójkąta Bermudzkiego. Cóż, teraz poznajmy wymiary kwietnika. Odwracamy notatki pomocnicze. Drugie zadanie. Rozwiązujemy ten problem pracując w parach. Sprawdzamy w podobny sposób, ale dopiero wynik przedstawi para, która jako pierwsza wykona zadanie.

Odpowiedź: boki trójkątnego kwietnika mają długość 10 m i 11 m 20 cm.

Sprawdźmy to. Czy wszyscy się zgadzają? Kto zdecydował inaczej?

Odbicie.

Jakiej metody działania użyłeś, aby rozwiązać ten problem? Zapisz to w notatce referencyjnej.

Możliwa odpowiedź:

podobne trójkąty mają równe odpowiednie kąty;

Pola trójkątów o równych kątach są iloczynem boków zawierających równe kąty.

Sytuacja niepowodzenia.

5. Studiowanie nowego materiału.

Rozwiązując trzecie zadanie, uczniowie stają przed problemem. Nie są w stanie rozwiązać problemu, ponieważ ich zdaniem przesłanki problemu nie są wystarczająco kompletne lub otrzymują bezpodstawną odpowiedź.

Uczniowie nie zetknęli się wcześniej z tego typu problemem, zatem wystąpił błąd w rozwiązaniu problemu.

Odbicie.

Jaką metodą próbowałeś rozwiązać?

Dlaczego nie mogłeś rozwiązać ostatniego równania?

Studenci: Nie możemy znaleźć pola trójkąta, jeśli znane jest tylko pole podobnego trójkąta i współczynnik podobieństwa.

Zatem, cel naszej lekcji Znajdź pole trójkąta, jeśli znane jest tylko pole podobnego trójkąta i współczynnik podobieństwa.

Przeformułujmy problem na język geometryczny. Rozwiążmy to i wróćmy do tego problemu.

Wniosek: Stosunek pól trójkątów podobnych jest równy kwadratowi współczynnika podobieństwa.

Cóż, teraz wróćmy do problemu nr 3 i rozwiążmy go w oparciu o udowodniony fakt.

7. Podsumowanie lekcji

Jakich nowych rzeczy nauczyłeś się dzisiaj robić?

Rozwiązuj zadania, w których znany jest współczynnik podobieństwa i pole jednego z podobnych trójkątów.

Jaka właściwość geometryczna nam w tym pomogła?

Stosunek pól trójkątów podobnych jest równy kwadratowi współczynnika podobieństwa.

Praca domowa.

s. 58 s. 139 nr 546, 548

Twórcze zadanie.

Znajdź, jaki jest stosunek obwodów dwóch podobnych trójkątów (nr 547)

Do widzenia.

nauczyciel: .

Typ lekcji: lekcja wprowadzenia nowego materiału.

Cel lekcji: Udowodnij własność obszarów podobnych trójkątów i pokaż jej praktyczne znaczenie w rozwiązywaniu problemów.

Cele Lekcji:

nauczanie – udowadnianie własności pól trójkątów podobnych i pokazywanie ich praktycznego znaczenia w rozwiązywaniu problemów; rozwijanie - rozwijanie umiejętności analizowania i doboru argumentów przy rozwiązywaniu problemu, którego metoda rozwiązania jest nieznana; edukacyjne - kultywowanie zainteresowania przedmiotem poprzez treść procesu edukacyjnego i tworzenie sytuacji sukcesu, kultywowanie umiejętności pracy w grupie.

Student posiada następującą wiedzę:

1. Definicja trójkątów podobnych;

2. Zastosowanie definicji trójkątów podobnych do rozwiązywania problemów;

3. Twierdzenie o stosunku pól trójkątów o równych kątach;

Jednostka treści ćwiczeń, której uczniowie muszą się nauczyć:

Podczas zajęć.

1. Moment organizacyjny.

2. Aktualizowanie wiedzy.

3. Praca z problematyczną sytuacją.

4. Podsumowanie lekcji i zapisanie pracy domowej, refleksja.

Metody nauczania: werbalne, wizualne, poszukiwanie problemów.

Formy szkoleń: praca frontalna, praca w minigrupach, praca indywidualna i samodzielna.

Technologie: zorientowana na zadania, technologia informacyjna, podejście oparte na kompetencjach.

Sprzęt:

komputer, projektor do prezentacji prezentacyjnych, tablica interaktywna, kamera dokumentacyjna; prezentacja komputerowa w programie Microsoft PowerPoint; podsumowanie uzupełniające;