Odwrotne funkcje trygonometryczne są szeroko stosowane w analizie matematycznej. Jednak dla większości uczniów szkół średnich zadania związane z tego typu funkcją sprawiają znaczne trudności. Wynika to przede wszystkim z faktu, że w wielu podręcznikach i pomocach dydaktycznych zbyt mało uwagi poświęca się tego typu zadaniom. A jeśli uczniowie przynajmniej w jakiś sposób poradzą sobie z problemami obliczania wartości odwrotnych funkcji trygonometrycznych, wówczas równania i nierówności zawierające takie funkcje w większości wprawiają dzieci w zakłopotanie. Właściwie nie jest to zaskakujące, ponieważ praktycznie żaden podręcznik nie wyjaśnia, jak rozwiązać nawet najprostsze równania i nierówności zawierające odwrotne funkcje trygonometryczne.
Przyjrzyjmy się kilku równaniom i nierównościom obejmującym odwrotne funkcje trygonometryczne i rozwiążmy je, podając szczegółowe wyjaśnienia.
Przykład 1.
Rozwiąż równanie: 3arccos (2x + 3) = 5π/2.
Rozwiązanie.
Wyraźmy odwrotną funkcję trygonometryczną z równania, otrzymamy:
arccos (2x + 3) = 5π/6. Skorzystajmy teraz z definicji arc cosinusa.
Arcus cosinus pewnej liczby a należącej do odcinka od -1 do 1 jest kątem y łączącym odcinek od 0 do π takim, że jego cosinus jest równy liczbie x. Dlatego możemy to zapisać w ten sposób:
2x + 3 = cos 5π/6.
Zapiszmy prawą stronę powstałego równania, korzystając ze wzoru redukcyjnego:
2x + 3 = cos (π – π/6).
2x + 3 = -cos π/6;
2x + 3 = -√3/2;
2x = -3 – √3/2.
Sprowadźmy prawą stronę do wspólnego mianownika.
2x = -(6 + √3) / 2;
x = -(6 + √3) / 4.
Odpowiedź: -(6 + √3) / 4 .
Przykład 2.
Rozwiąż równanie: cos (arccos (4x – 9)) = x 2 – 5x + 5.
Rozwiązanie.
Ponieważ cos (arcсos x) = x, gdzie x należy do [-1; 1], to równanie to jest równoważne układowi:
(4x – 9 = x 2 – 5x + 5,
(-1 ≤ 4x – 9 ≤ 1.
Rozwiążmy równanie zawarte w układzie.
4x – 9 = x 2 – 5x + 5.
Jest kwadratowy, więc to rozumiemy
x 2 – 9x + 14 = 0;
D = 81 – 4 14 = 25;
x 1 = (9 + 5) / 2 = 7;
x 2 = (9 – 5) / 2 = 2.
Rozwiążmy podwójną nierówność zawartą w układzie.
1 ≤ 4x – 9 ≤ 1. Dodaj 9 do wszystkich części i otrzymamy:
8 ≤ 4x ≤ 10. Podziel każdą liczbę przez 4, otrzymamy:
2 ≤ x ≤ 2,5.
Połączmy teraz otrzymane odpowiedzi. Łatwo zauważyć, że pierwiastek x = 7 nie spełnia odpowiedzi na nierówność. Zatem jedynym rozwiązaniem równania jest x = 2.
Odpowiedź: 2.
Przykład 3.
Rozwiązać równanie: tg (arctg (0,5 – x)) = x 2 – 4x + 2,5.
Rozwiązanie.
Ponieważ tg (arctg x) = x dla wszystkich liczb rzeczywistych, równanie to jest równoważne równaniu:
0,5 – x = x 2 – 4x + 2,5.
Rozwiążmy powstałe równanie kwadratowe za pomocą dyskryminatora, po uprzednim doprowadzeniu go do standardowej postaci.
x 2 – 3x + 2 = 0;
re = 9 – 4 2 = 1;
x 1 = (3 + 1) / 2 = 2;
x 2 = (3 – 1) / 2 = 1.
Odpowiedź 1; 2.
Przykład 4.
Rozwiąż równanie: arcctg (2x – 1) = arcctg (x 2 /2 + x/2).
Rozwiązanie.
Ponieważ arcctg f(x) = arcctg g(x) wtedy i tylko wtedy, gdy f(x) = g(x), to 
2x – 1 = x 2 /2 + x/2. Rozwiążmy powstałe równanie kwadratowe:
4x – 2 = x 2 + x;
x 2 – 3x + 2 = 0.
Z twierdzenia Viety otrzymujemy to
x = 1 lub x = 2.
Odpowiedź 1; 2.
Przykład 5.
Rozwiąż równanie: arcsin (2x – 15) = arcsin (x 2 – 6x – 8).
Rozwiązanie.
Ponieważ równanie w postaci arcsin f(x) = arcsin g(x) jest równoważne układowi
(f(x) = g(x),
(f(x) € [-1; 1],
wówczas pierwotne równanie jest równoważne układowi:
(2x – 15 = x 2 – 6x + 8,
(-1 ≤ 2x – 15 ≤ 1.
Rozwiążmy powstały układ:
(x 2 – 8x + 7 = 0,
(14 ≤ 2x ≤ 16.
Z pierwszego równania, korzystając z twierdzenia Viety, mamy, że x = 1 lub x = 7. Rozwiązując drugą nierówność układu, dowiadujemy się, że 7 ≤ x ≤ 8. Dlatego do końcowego nadaje się tylko pierwiastek x = 7 odpowiedź.
Odpowiedź: 7.
Przykład 6.
Rozwiąż równanie: (arccos x) 2 – 6 arccos x + 8 = 0.
Rozwiązanie.
Niech arccos x = t, wówczas t należy do odcinka i równanie przyjmuje postać:
t 2 – 6t + 8 = 0. Rozwiąż powstałe równanie kwadratowe, korzystając z twierdzenia Viety, stwierdzamy, że t = 2 lub t = 4.
Ponieważ t = 4 nie należy do odcinka, otrzymujemy, że t = 2, tj. arccos x = 2, co oznacza x = cos 2.
Odpowiedź: cos 2.
Przykład 7.
Rozwiąż równanie: (arcsin x) 2 + (arccos x) 2 = 5π 2 /36.
Rozwiązanie.
Skorzystajmy z równości arcsin x + arccos x = π/2 i zapiszmy równanie w postaci
(arcsin x) 2 + (π/2 – arcsin x) 2 = 5π 2 /36.
Niech arcsin x = t, to t należy do odcinka [-π/2; π/2] i równanie przyjmuje postać:
t 2 + (π/2 – t) 2 = 5π 2 /36.
Rozwiążmy powstałe równanie:
t 2 + π 2 /4 – πt + t 2 = 5π 2 /36;
2t 2 – πt + 9π 2 /36 – 5π 2 /36 = 0;
2t 2 – πt + 4π 2 /36 = 0;
2t 2 – πt + π 2 /9 = 0. Mnożąc każdy wyraz przez 9, aby pozbyć się ułamków w równaniu, otrzymujemy:
18t 2 – 9πt + π2 = 0.
Znajdźmy dyskryminator i rozwiążmy powstałe równanie:
re = (-9π) 2 – 4 · 18 · π 2 = 9π 2 .
t = (9π – 3π) / 2 18 lub t = (9π + 3π) / 2 18;
t = 6π/36 lub t = 12π/36.
Po redukcji mamy:
t = π/6 lub t = π/3. Następnie
arcsin x = π/6 lub arcsin x = π/3.
Zatem x = sin π/6 lub x = sin π/3. Oznacza to, że x = 1/2 lub x = √3/2.
Odpowiedź: 1/2; √3/2.
Przykład 8.
Znajdź wartość wyrażenia 5nx 0, gdzie n jest liczbą pierwiastków, a x 0 jest pierwiastkiem ujemnym równania 2 arcsin x = - π – (x + 1) 2.
Rozwiązanie.
Ponieważ -π/2 ≤ arcsin x ≤ π/2, to -π ≤ 2 arcsin x ≤ π. Co więcej, (x + 1) 2 ≥ 0 dla wszystkich rzeczywistych x,
wtedy -(x + 1) 2 ≤ 0 i -π – (x + 1) 2 ≤ -π.
Zatem równanie może mieć rozwiązanie, jeśli obie jego strony są jednocześnie równe –π, tj. równanie jest równoważne układowi:
(2 arcsin x = -π,
(-π – (x + 1) 2 = -π.
Rozwiążmy powstały układ równań:
(arcsin x = -π/2,
((x + 1) 2 = 0.
Z drugiego równania mamy, że x = -1, odpowiednio n = 1, wówczas 5nx 0 = 5 · 1 · (-1) = -5.
Odpowiedź: -5.
Jak pokazuje praktyka, warunkiem pomyślnego zdania egzaminów jest umiejętność rozwiązywania równań z odwrotnymi funkcjami trygonometrycznymi. Dlatego szkolenie w rozwiązywaniu takich problemów jest po prostu konieczne i obowiązkowe podczas przygotowań do jednolitego egzaminu państwowego.
Nadal masz pytania? Nie wiesz jak rozwiązywać równania?
Aby uzyskać pomoc od nauczyciela -.
Pierwsza lekcja jest darmowa!
blog.site, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do oryginalnego źródła.
Lekcje 32-33. Odwrotne funkcje trygonometryczne
09.07.2015 5917 0Cel: rozważyć odwrotne funkcje trygonometryczne i ich zastosowanie do zapisywania rozwiązań równań trygonometrycznych.
I. Przekazywanie tematu i celu zajęć
II. Nauka nowego materiału
1. Odwrotne funkcje trygonometryczne
Rozpocznijmy dyskusję na ten temat od następującego przykładu.
Przykład 1
Rozwiążmy równanie: a) grzech x = 1/2; b) grzech x = a.
a) Na osi rzędnych nanosimy wartość 1/2 i konstruujemy kąty x 1 i x2, dla których grzech x = 1/2. W tym przypadku x1 + x2 = π, skąd x2 = π – x 1 . Korzystając z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych, znajdujemy wówczas wartość x1 = π/6
Weźmy pod uwagę okresowość funkcji sinus i zapiszmy rozwiązania tego równania:
gdzie k ∈ Z.
b) Oczywiście algorytm rozwiązania równania grzech x = a jest takie samo jak w poprzednim akapicie. Oczywiście teraz wartość a jest wykreślana wzdłuż osi rzędnych. Trzeba jakoś wyznaczyć kąt x1. Uzgodniliśmy, że kąt ten będziemy oznaczać symbolem arcsin A. Następnie rozwiązania tego równania można zapisać w postaciTe dwie formuły można połączyć w jedną: w której 
Pozostałe odwrotne funkcje trygonometryczne wprowadza się w podobny sposób.
Bardzo często konieczne jest określenie wielkości kąta na podstawie znanej wartości jego funkcji trygonometrycznej. Taki problem jest wielowartościowy - istnieje niezliczona ilość kątów, których funkcje trygonometryczne mają tę samą wartość. Dlatego w oparciu o monotoniczność funkcji trygonometrycznych wprowadza się następujące odwrotne funkcje trygonometryczne w celu jednoznacznego określenia kątów.
Arcsine liczby a (arcsin , którego sinus jest równy a, tj.
Cosinus liczby a(arcos a) jest kątem a z przedziału, którego cosinus jest równy a, tj.
Arcus tangens liczby a(arctg a) - taki kąt a z przedziałuktórego tangens jest równy a, tj.
tg a = a.
Arccotangens liczby a(arcctg a) jest kątem a z przedziału (0; π), którego cotangens jest równy a, tj. ctg a = a.
Przykład 2
Znajdźmy:
Biorąc pod uwagę definicje odwrotnych funkcji trygonometrycznych, otrzymujemy:
Przykład 3
Obliczmy 
Niech kąt a = arcsin 3/5, czyli z definicji grzech a = 3/5 i . Dlatego musimy znaleźć sałata A. Korzystając z podstawowej tożsamości trygonometrycznej, otrzymujemy:
Uwzględnia się, że cos a ≥ 0. Zatem 
Właściwości funkcji | Funkcjonować |
|||
y = arcsin x | y = arccos x | y = arctan x | y = łuk x |
|
Domena | x ∈ [-1; 1] | x ∈ [-1; 1] | x ∈ (-∞; +∞) | x ∈ (-∞ +∞) |
Zakres wartości | y ∈ [ -π/2 ; π /2 ] | y ∈ | y ∈ (-π/2 ; π /2 ) | y ∈ (0;π) |
Parytet | Dziwne | Ani parzyste, ani dziwne | Dziwne | Ani parzyste, ani dziwne |
Funkcja zerowa (y = 0) | Przy x = 0 | Przy x = 1 | Przy x = 0 | y ≠ 0 |
Przedziały stałości znaku | y > 0 dla x ∈ (0; 1], Na< 0 при х ∈ [-1; 0) | y > 0 dla x ∈ [-1; 1) | y > 0 dla x ∈ (0; +∞), Na< 0 при х ∈ (-∞; 0) | y > 0 dla x ∈ (-∞; +∞) |
Monotonia | Wzrastający | Malejąco | Wzrastający | Malejąco |
Związek z funkcją trygonometryczną | grzech y = x | ponieważ y = x | tg y = x | ctg y = x |
Harmonogram | ||||
Podajmy szereg bardziej typowych przykładów związanych z definicjami i podstawowymi własnościami odwrotnych funkcji trygonometrycznych.
Przykład 4
Znajdźmy dziedzinę definicji funkcji
Aby móc zdefiniować funkcję y należy spełnić nierówność
co jest równoważne systemowi nierówności
Rozwiązaniem pierwszej nierówności jest przedział x∈
(-∞; +∞), drugi - Ten interwał i jest rozwiązaniem układu nierówności, a zatem dziedziną definicji funkcji
Przykład 5
Znajdźmy obszar zmiany funkcji
Rozważmy zachowanie funkcji z = 2x - x2 (patrz rysunek).
Jasne jest, że z ∈ (-∞; 1). Biorąc pod uwagę, że argument z funkcja arc cotangens zmienia się w określonych granicach, z danych tabelarycznych to otrzymujemy
Czyli obszar zmian
Przykład 6
Udowodnimy, że funkcja y = arctg x dziwne. Pozwalać
Następnie tg a = -x lub x = - tg a = tg (- a), i 
Dlatego - a = arctg x lub a = - arctg X. Zatem to widzimytj. y(x) jest funkcją nieparzystą.
Przykład 7
Wyraźmy poprzez wszystkie odwrotne funkcje trygonometryczne
Pozwalać 
To oczywiste 
Potem od
Przedstawmy kąt 
Ponieważ 
To 
Podobnie zatem 
I 
Więc,
Przykład 8
Zbudujmy wykres funkcji y = cos(arcsin x).
Oznaczmy zatem a = arcsin x 
Weźmy pod uwagę, że x = sin a i y = cos a, czyli x 2 + y2 = 1 i ograniczenia dotyczące x (x∈
[-1; 1]) i y (y ≥ 0). Następnie wykres funkcji y = cos(arcsin x) jest półkolem.
Przykład 9
Zbudujmy wykres funkcji y = arccos (cosx).
Ponieważ funkcja cos x zmiany w przedziale [-1; 1], wówczas funkcja y jest zdefiniowana na całej osi liczbowej i zmienia się na odcinku . Pamiętajmy, że y = arccos(cosx) = x w segmencie; funkcja y jest parzysta i okresowa z okresem 2π. Biorąc pod uwagę, że funkcja ma te właściwości bo x Teraz łatwo jest utworzyć wykres.
Zwróćmy uwagę na kilka przydatnych równości:
Przykład 10
Znajdźmy najmniejszą i największą wartość funkcji Oznaczmy 
Następnie 
Zdobądźmy funkcję 
Funkcja ta ma minimum w punkcie z = π/4 i jest równe 
Największą wartość funkcji osiąga się w punkcie z = -π/2 i jest równe 
Zatem i
Przykład 11
Rozwiążmy równanie
Weźmy to pod uwagę 
Wtedy równanie wygląda następująco:
Lub 
Gdzie Z definicji arcus tangens otrzymujemy:
2. Rozwiązywanie prostych równań trygonometrycznych
Podobnie jak w przykładzie 1, możesz otrzymać rozwiązania najprostszych równań trygonometrycznych.
Równanie | Rozwiązanie |
tgx = a | |
ctg x = a |
Przykład 12
Rozwiążmy równanie 
Ponieważ funkcja sinus jest nieparzysta, zapisujemy równanie w postaci
Rozwiązania tego równania:
skąd to znajdziemy? 
Przykład 13
Rozwiążmy równanie 
Korzystając z podanego wzoru zapisujemy rozwiązania równania:
i znajdziemy 
Należy pamiętać, że w szczególnych przypadkach (a = 0; ±1) przy rozwiązywaniu równań sin x = a i cos x = i łatwiej i wygodniej jest używać nie ogólnych wzorów, ale zapisywać rozwiązania na podstawie okręgu jednostkowego:
dla równania sin x = 1 rozwiązanie
dla równania sin x = 0 rozwiązań x = π k;
dla równania sin x = -1 rozwiązanie 
dla równania cos x = 1 rozwiązania x = 2π k ;
dla równania cos x = 0 rozwiązań
dla równania cos x = -1 rozwiązanie 
Przykład 14
Rozwiążmy równanie 
Ponieważ w tym przykładzie mamy do czynienia ze szczególnym przypadkiem równania, rozwiązanie zapiszemy stosując odpowiedni wzór:
skąd to znajdziemy? 
III. Pytania kontrolne (ankieta frontalna)
1. Zdefiniować i wymienić główne własności odwrotnych funkcji trygonometrycznych.
2. Podaj wykresy odwrotnych funkcji trygonometrycznych.
3. Rozwiązywanie prostych równań trygonometrycznych.
IV. Zadanie lekcji
§ 15, nr 3 (a, b); 4 (c, d); 7 lit. a); 8 lit. a); 12 lit. b); 13 lit. a); 15 lit. c); 16 lit. a); 18 (a, b); 19 lit. c); 21;
§ 16, nr 4 (a, b); 7 lit. a); 8 lit. b); 16 (a, b); 18 lit. a); 19 (c, d);
§ 17, nr 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 7 (c, d); 9 lit. b); 10 (a, c).
V. Praca domowa
§ 15, nr 3 (c, d); 4 (a, b); 7 lit. c); 8 lit. b); 12 lit. a); 13(b); 15 (g); 16 lit. b); 18 (c, d); 19 (g); 22;
§ 16, nr 4 (c, d); 7 lit. b); 8 lit. a); 16 (c, d); 18 lit. b); 19 (a, b);
§ 17, nr 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (a, b); 9 lit. d); 10 (b, d).
VI. Zadania kreatywne
1. Znajdź dziedzinę funkcji:
Odpowiedzi:
2. Znajdź zakres funkcji:
Odpowiedzi:
3. Narysuj wykres funkcji:
VII. Podsumowanie zajęć
Podano definicje odwrotnych funkcji trygonometrycznych i ich wykresy. A także wzory łączące odwrotne funkcje trygonometryczne, wzory na sumy i różnice.
Definicja odwrotnych funkcji trygonometrycznych
Ponieważ funkcje trygonometryczne są okresowe, ich funkcje odwrotne nie są unikalne. Zatem równanie y = grzech x, dla danego , ma nieskończenie wiele pierwiastków. Rzeczywiście, ze względu na okresowość sinusa, jeśli x jest takim pierwiastkiem, to tak jest x + 2πn(gdzie n jest liczbą całkowitą) będzie również pierwiastkiem równania. Zatem, odwrotne funkcje trygonometryczne są wielowartościowe. Aby ułatwić pracę z nimi, wprowadzono koncepcję ich głównych znaczeń. Rozważmy na przykład sinus: y = grzech x. Jeśli ograniczymy argument x do przedziału , to na nim funkcja y = grzech x wzrasta monotonicznie. Dlatego ma unikalną funkcję odwrotną, która nazywa się arcsinus: x = arcsin y.
O ile nie zaznaczono inaczej, przez odwrotne funkcje trygonometryczne rozumiemy ich główne wartości, które wyznaczają poniższe definicje.
Arcsine ( y = Arcsin x) jest odwrotną funkcją sinusa ( x = grzech
Cosinus łukowy ( y = Arcos x) jest odwrotną funkcją cosinusa ( x = przytulny), posiadający dziedzinę definicji i zbiór wartości.
Arcus tangens ( y = Arktan x) jest odwrotną funkcją tangensa ( x = tg y), posiadający dziedzinę definicji i zbiór wartości.
arckotangens ( y = arcctg x) jest odwrotną funkcją cotangensu ( x = ctg y), posiadający dziedzinę definicji i zbiór wartości.
Wykresy odwrotnych funkcji trygonometrycznych
Wykresy odwrotnych funkcji trygonometrycznych otrzymuje się z wykresów funkcji trygonometrycznych metodą odbicia lustrzanego względem prostej y = x. Zobacz sekcje Sinus, cosinus, Tangens, cotangens.
y = Arcsin x
y = Arcos x
y = Arktan x
y = arcctg x
Podstawowe formuły
Tutaj należy zwrócić szczególną uwagę na przedziały, dla których obowiązują wzory.
arcsin(sin x) = x Na
grzech(arcsin x) = x
arccos(cos x) = x Na
cos(arccos x) = x
arctan(tg x) = x Na
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x Na
ctg(arcctg x) = x
Wzory dotyczące odwrotnych funkcji trygonometrycznych
Wzory na sumę i różnicę
w lub
w i
w i
w lub
w i
w i
Na
Na
Na
Na
Funkcjom sin, cos, tg i ctg zawsze towarzyszą arcsinus, arccosinus, arcus tangens i arccotangens. Jedna jest konsekwencją drugiej, a pary funkcji są równie ważne w pracy z wyrażeniami trygonometrycznymi.
Rozważmy rysunek okręgu jednostkowego, który graficznie przedstawia wartości funkcji trygonometrycznych.
Jeśli obliczymy łuki OA, arcos OC, arctg DE i arcctg MK, to wszystkie będą równe wartości kąta α. Poniższe wzory odzwierciedlają związek pomiędzy podstawowymi funkcjami trygonometrycznymi i odpowiadającymi im łukami.
Aby lepiej zrozumieć właściwości arcsinusa, należy wziąć pod uwagę jego funkcję. Harmonogram ma postać krzywej asymetrycznej przechodzącej przez środek współrzędnych.
Właściwości arcsine:
Jeśli porównamy wykresy grzech I arcsin, dwie funkcje trygonometryczne mogą mieć wspólne zasady.
cosinus łukowy
Arccos liczby to wartość kąta α, którego cosinus jest równy a.
Krzywa y = arcos x odzwierciedla wykres arcsin x, z tą tylko różnicą, że przechodzi przez punkt π/2 na osi OY.
Przyjrzyjmy się bardziej szczegółowo funkcji arc cosinus:
- Funkcja jest zdefiniowana na przedziale [-1; 1].
- ODZ dla arccos - .
- Wykres w całości mieści się w pierwszej i drugiej ćwiartce, a sama funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.
- Y = 0 przy x = 1.
- Krzywa maleje na całej długości. Niektóre właściwości arc cosinusa pokrywają się z funkcją cosinus.
Niektóre właściwości arc cosinusa pokrywają się z funkcją cosinus.
Być może uczniowie uznają takie „szczegółowe” badanie „łuków” za niepotrzebne. W przeciwnym razie niektóre podstawowe, standardowe zadania egzaminacyjne mogą doprowadzić uczniów w ślepy zaułek.
Ćwiczenie 1. Wskaż funkcje pokazane na rysunku.
Odpowiedź: Ryż. 1 – 4, rys. 2 – 1.
W tym przykładzie nacisk położony jest na małe rzeczy. Zazwyczaj uczniowie są bardzo nieuważni przy budowie wykresów i wyglądzie funkcji. Rzeczywiście, po co pamiętać o typie krzywej, skoro zawsze można ją wykreślić za pomocą obliczonych punktów. Nie zapominaj, że w warunkach testowych czas spędzony na rysowaniu prostego zadania będzie wymagany do rozwiązania bardziej złożonych zadań.
Arcus tangens
Arctg liczby a są wartością kąta α taką, że jego tangens jest równy a.
Jeśli weźmiemy pod uwagę wykres arcustangens, możemy wyróżnić następujące właściwości:
- Wykres jest nieskończony i zdefiniowany na przedziale (- ∞; + ∞).
- Arctangens jest funkcją nieparzystą, dlatego arctan (- x) = - arctan x.
- Y = 0 przy x = 0.
- Krzywa rośnie w całym zakresie definicji.
Przedstawiamy krótką analizę porównawczą tg x i arctg x w formie tabeli.
Arckotangens
Arcctg liczby - przyjmuje wartość α z przedziału (0; π) taką, że jej cotangens jest równy a.
Własności funkcji arc cotangens:
- Przedział definicji funkcji jest nieskończony.
- Zakresem dopuszczalnych wartości jest przedział (0; π).
- F(x) nie jest ani parzyste, ani nieparzyste.
- Na całej długości wykres funkcji maleje.
Porównanie ctg x i arctg x jest bardzo proste, wystarczy wykonać dwa rysunki i opisać zachowanie krzywych.
Zadanie 2. Dopasuj wykres i formę zapisu funkcji.
Jeśli pomyślimy logicznie, z wykresów jasno wynika, że obie funkcje rosną. Dlatego obie figury wykazują pewną funkcję arctan. Z właściwości arcustangens wiadomo, że y=0 przy x = 0,
Odpowiedź: Ryż. 1 – 1, ryc. 2 – 4.
Tożsamości trygonometryczne arcsin, arcos, arctg i arcctg
Wcześniej zidentyfikowaliśmy już związek między łukami a podstawowymi funkcjami trygonometrii. Zależność tę można wyrazić za pomocą szeregu wzorów, które pozwalają na wyrażenie sinusa argumentu poprzez jego arcsinus, arccosinus lub odwrotnie. Znajomość takich tożsamości może być przydatna przy rozwiązywaniu konkretnych przykładów.
Istnieją również zależności dla arctg i arcctg:
Kolejna przydatna para formuł określa wartość sumy arcsin i arcos, a także arcctg i arcctg tego samego kąta.
Przykłady rozwiązywania problemów
Zadania trygonometryczne można podzielić na cztery grupy: obliczyć wartość liczbową konkretnego wyrażenia, skonstruować wykres danej funkcji, znaleźć jej dziedzinę definicji czyli ODZ i wykonać przekształcenia analityczne w celu rozwiązania przykładu.
Rozwiązując problem pierwszego rodzaju, musisz przestrzegać następującego planu działania:
Podczas pracy z wykresami funkcji najważniejsza jest znajomość ich właściwości i wyglądu krzywej. Rozwiązywanie równań i nierówności trygonometrycznych wymaga tablic tożsamości. Im więcej formuł zapamięta uczeń, tym łatwiej będzie znaleźć odpowiedź na zadanie.
Załóżmy, że w ramach egzaminu Unified State Examination musisz znaleźć odpowiedź na równanie takie jak:
Jeśli poprawnie przekształcisz wyrażenie i doprowadzisz je do pożądanej formy, rozwiązanie go jest bardzo proste i szybkie. Najpierw przesuńmy arcsin x na prawą stronę równości.
Jeśli pamiętasz formułę arcsin (sin α) = α, to możemy sprowadzić poszukiwanie odpowiedzi do rozwiązania układu dwóch równań:
Ograniczenie modelu x wynikało ponownie z właściwości arcsin: ODZ dla x [-1; 1]. Gdy a ≠0, częścią układu jest równanie kwadratowe z pierwiastkami x1 = 1 i x2 = - 1/a. Gdy a = 0, x będzie równe 1.