Zależność liniowa I niezależność liniowa wektory.
Baza wektorów. Afiniczny układ współrzędnych

Na widowni stoi wózek z czekoladkami, a każdy dzisiejszy gość otrzyma słodką parę – geometrię analityczną z algebrą liniową. W tym artykule zostaną omówione dwie sekcje jednocześnie. wyższa matematyka i zobaczymy, jak poradzą sobie w jednym opakowaniu. Zrób sobie przerwę, zjedz Twix! ... cholera, co za bzdury. Chociaż ok, nie zdobędę punktów, ostatecznie powinieneś mieć pozytywne nastawienie do nauki.

Liniowa zależność wektorów, niezależność wektora liniowego, baza wektorów i inne terminy mają nie tylko interpretację geometryczną, ale przede wszystkim znaczenie algebraiczne. Samo pojęcie „wektora” z punktu widzenia algebra liniowa- nie zawsze jest to „zwykły” wektor, który możemy przedstawić na płaszczyźnie lub w przestrzeni. Dowodów nie trzeba szukać daleko, spróbuj narysować wektor przestrzeni pięciowymiarowej . Albo wektor pogodowy, po który właśnie pojechałem do Gismeteo: – temperatura i Ciśnienie atmosferyczne odpowiednio. Przykład jest oczywiście błędny z punktu widzenia właściwości Przestrzeń wektorowa, niemniej jednak nikt nie zabrania formalizacji tych parametrów jako wektora. Oddech jesieni...

Nie, nie będę Was zanudzać teorią, liniowymi przestrzeniami wektorowymi, zadaniem jest to zrobić zrozumieć definicje i twierdzenia. Nowe terminy (zależność liniowa, niezależność, kombinacja liniowa, baza itp.) mają zastosowanie do wszystkich wektorów z algebraicznego punktu widzenia, ale zostaną podane przykłady geometryczne. Dzięki temu wszystko jest proste, dostępne i przejrzyste. Poza zadaniami geometria analityczna przyjrzymy się niektórym typowe zadania algebra Aby opanować materiał, wskazane jest zapoznanie się z lekcjami Wektory dla manekinów I Jak obliczyć wyznacznik?

Liniowa zależność i niezależność wektorów płaskich.
Podstawa płaska i afiniczny układ współrzędnych

Rozważ płaszczyznę swojego biurko komputerowe(tylko stół, stolik nocny, podłoga, sufit, co tylko chcesz). Zadanie będzie składać się z następujących działań:

1) Wybierz podstawę płaszczyzny. Z grubsza rzecz biorąc, blat ma długość i szerokość, więc intuicyjnie wiadomo, że do zbudowania podstawy potrzebne będą dwa wektory. Jeden wektor to zdecydowanie za mało, trzy wektory to za dużo.

2) Na podstawie wybranej podstawy ustawić układ współrzędnych(siatka współrzędnych), aby przypisać współrzędne wszystkim obiektom na stole.

Nie zdziw się, na początku wyjaśnienia będą na palcach. Co więcej, na twoim. Proszę umieścić lewy palec wskazujący na krawędzi blatu, tak aby patrzył na monitor. To będzie wektor. Teraz miejsce mały palec prawa ręka na krawędzi stołu w ten sam sposób - tak, aby był skierowany w stronę ekranu monitora. To będzie wektor. Uśmiechnij się, wyglądasz świetnie! Co możemy powiedzieć o wektorach? Wektory danych współliniowy, co znaczy liniowy wyrażane przez siebie:
, cóż, lub odwrotnie: , gdzie jest pewna liczba różna od zera.

Możesz zobaczyć zdjęcie tego działania w klasie. Wektory dla manekinów, gdzie wyjaśniłem zasadę mnożenia wektora przez liczbę.

Czy Twoje palce postawią podstawę na płaszczyźnie biurka komputerowego? Oczywiście, że nie. Wektory współliniowe przemieszczają się tam i z powrotem sam kierunku, a płaszczyzna ma długość i szerokość.

Takie wektory nazywane są liniowo zależne.

Odniesienie: Słowa „liniowy”, „liniowy” oznaczają fakt, że w równania matematyczne, wyrażenia nie zawierają kwadratów, sześcianów, innych potęg, logarytmów, sinusów itp. Istnieją tylko wyrażenia i zależności liniowe (1. stopnia).

Dwa wektory płaskie liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy są współliniowe.

Skrzyżuj palce na stole tak, aby powstał między nimi kąt inny niż 0 lub 180 stopni. Dwa wektory płaskieliniowy Nie zależne wtedy i tylko wtedy, gdy nie są współliniowe. Tak więc uzyskano podstawę. Nie trzeba się wstydzić, że podstawa okazała się „przekrzywiona” nieprostopadłymi wektorami o różnych długościach. Już wkrótce przekonamy się, że do jego konstrukcji odpowiedni jest nie tylko kąt 90 stopni i nie tylko wektory jednostkowe o jednakowej długości

Każdy wektor samolotu jedyny sposób rozwija się według podstawy:
, gdzie są liczbami rzeczywistymi. Numery są nazywane współrzędne wektora na tej podstawie.

Mówi się też, że wektorprzedstawiony jako kombinacja liniowa wektory bazowe. Oznacza to, że wyrażenie nazywa się rozkład wektorowywedług podstawy Lub kombinacja liniowa wektory bazowe.

Na przykład możemy powiedzieć, że wektor jest rozłożony wzdłuż ortonormalnej podstawy płaszczyzny lub możemy powiedzieć, że jest on reprezentowany jako liniowa kombinacja wektorów.

Sformułujmy definicja podstawy formalnie: Podstawa samolotu nazywa się parą liniowo niezależnych (niewspółliniowych) wektorów, , w której każdy wektor płaski jest liniową kombinacją wektorów bazowych.

Istotnym punktem definicji jest fakt, że wektory są brane V w określonej kolejności . Bazy – to dwie zupełnie różne bazy! Jak mówią, nie można zastąpić małego palca lewej ręki małym palcem prawej ręki.

Ustaliliśmy podstawę, ale nie wystarczy ustawić siatkę współrzędnych i przypisać współrzędne każdemu elementowi na biurku komputera. Dlaczego to nie wystarczy? Wektory są swobodne i wędrują po całej płaszczyźnie. Jak więc przypisać współrzędne do tych małych brudnych miejsc na stole pozostałych po szalonym weekendzie? Potrzebny jest punkt wyjścia. A taki punkt orientacyjny to punkt znany wszystkim - pochodzenie współrzędnych. Rozumiemy układ współrzędnych:

Zacznę od systemu „szkolnego”. Już na lekcji wprowadzającej Wektory dla manekinów Podkreśliłem pewne różnice pomiędzy prostokątnym układem współrzędnych a bazą ortonormalną. Oto standardowe zdjęcie:

Kiedy o tym mówią prostokątny układ współrzędnych, to najczęściej mają na myśli początek współrzędnych, osie współrzędnych i skaluj wzdłuż osi. Spróbuj wpisać w wyszukiwarkę „prostokątny układ współrzędnych”, a zobaczysz, że wiele źródeł podpowie Ci o osiach współrzędnych znanych z V-VI klasy i o tym, jak nanosić punkty na płaszczyznę.

Z drugiej strony wydaje się, że tak układ prostokątny współrzędne można całkowicie określić na podstawie podstawy ortonormalnej. I to prawie prawda. Brzmi to sformułowanie w następujący sposób:

pochodzenie, I ortonormalny podstawa jest ustalona Kartezjański układ współrzędnych płaszczyzny prostokątnej . Oznacza to prostokątny układ współrzędnych zdecydowanie jest zdefiniowany przez pojedynczy punkt i dwa jednostkowe wektory ortogonalne. Dlatego widzisz rysunek, który podałem powyżej - w problemy geometryczne Często (ale nie zawsze) rysowane są zarówno wektory, jak i osie współrzędnych.

Myślę, że każdy to rozumie, używając punktu (początku) i podstawy ortonormalnej DOWOLNY PUNKT na płaszczyźnie i DOWOLNY WEKTOR na płaszczyźnie można przypisać współrzędne. Mówiąc obrazowo, „wszystko na płaszczyźnie można policzyć”.

Czy są zobowiązani wektory współrzędnych być odizolowanym? Nie, mogą mieć dowolną niezerową długość. Rozważ punkt drugi wektor ortogonalny dowolna niezerowa długość:

Taka podstawa nazywa się prostokątny. Początek współrzędnych z wektorami jest określony przez siatkę współrzędnych, a każdy punkt na płaszczyźnie, dowolny wektor ma swoje współrzędne w danej bazie. Na przykład lub. Oczywistą niedogodnością jest to, że wektory współrzędnych V przypadek ogólny mają różne długości inne niż jedność. Jeśli długości są równe jedności, wówczas uzyskuje się zwykłą podstawę ortonormalną.

! Notatka : w bazie ortogonalnej, a także poniżej w podstawach afinicznych płaszczyzny i przestrzeni, uwzględniane są jednostki wzdłuż osi WARUNKOWY. Na przykład jedna jednostka na osi x zawiera 4 cm, a jedna jednostka na osi rzędnych zawiera 2 cm.Ta informacja wystarczy, aby w razie potrzeby zamienić „niestandardowe” współrzędne na „nasze zwykłe centymetry”.

Drugie pytanie, na które właściwie już udzielono odpowiedzi, brzmi: czy kąt między wektorami bazowymi musi wynosić 90 stopni? NIE! Jak mówi definicja, wektory bazowe muszą być tylko niewspółliniowe. Odpowiednio kąt może wynosić dowolna wartość z wyjątkiem 0 i 180 stopni.

Punkt na płaszczyźnie tzw pochodzenie, I niewspółliniowy wektory, , ustawić układ współrzędnych płaszczyzny afinicznej :

Czasami nazywany jest taki układ współrzędnych skośny system. Jako przykład, rysunek pokazuje punkty i wektory:

Jak rozumiesz, afiniczny układ współrzędnych jest jeszcze mniej wygodny, nie działają w nim wzory na długości wektorów i odcinków, które omówiliśmy w drugiej części lekcji Wektory dla manekinów, wiele pysznych receptur związanych Iloczyn skalarny wektorów. Ale zasady dodawania wektorów i mnożenia wektora przez liczbę, wzory na dzielenie segmentu w tej relacji, a także niektóre inne rodzaje problemów, które wkrótce rozważymy.

Wniosek jest taki, że najwygodniejszym szczególnym przypadkiem afinicznego układu współrzędnych jest kartezjański układ prostokątny. Dlatego najczęściej musisz ją widywać, moja droga. ...Jednak wszystko w tym życiu jest względne - jest wiele sytuacji, w których kąt skośny (lub jakiś inny, np. polarny) system współrzędnych. A humanoidom mogą spodobać się takie systemy =)

Przejdźmy do części praktycznej. Wszystkie problemy z tej lekcji obowiązują zarówno dla prostokątnego układu współrzędnych, jak i dla ogólnego przypadku afinicznego. Nie ma tu nic skomplikowanego, cały materiał jest dostępny nawet dla ucznia.

Jak określić współliniowość wektorów płaskich?

Typowa rzecz. Aby uzyskać dwa wektory płaskie były współliniowe, konieczne i wystarczające jest, aby odpowiadające im współrzędne były proporcjonalne Zasadniczo jest to szczegółowy opis oczywistej relacji współrzędna po współrzędnej.

Przykład 1

a) Sprawdź, czy wektory są współliniowe .
b) Czy wektory tworzą bazę? ?

Rozwiązanie:
a) Sprawdźmy, czy istnieje dla wektorów współczynnik proporcjonalności, taki, że równości są spełnione:

Na pewno opowiem Wam o „fantastycznej” wersji stosowania tej zasady, która w praktyce sprawdza się całkiem nieźle. Chodzi o to, żeby od razu uzupełnić proporcję i sprawdzić, czy się zgadza:

Zróbmy proporcję ze stosunków odpowiednich współrzędnych wektorów:

Skróćmy:
, zatem odpowiednie współrzędne są proporcjonalne, zatem

Zależność można odwrócić; jest to opcja równoważna:

Do autotestu można wykorzystać fakt, że wektory współliniowe wyrażają się liniowo względem siebie. W w tym przypadku istnieją równości . Ich zasadność można łatwo zweryfikować poprzez elementarne operacje na wektorach:

b) Dwa wektory płaskie tworzą bazę, jeśli nie są współliniowe (liniowo niezależne). Badamy wektory pod kątem kolinearności . Stwórzmy system:

Z pierwszego równania wynika, że ​​, z drugiego równania wynika, że ​​, co oznacza system jest niespójny(brak rozwiązań). Zatem odpowiednie współrzędne wektorów nie są proporcjonalne.

Wniosek: wektory są liniowo niezależne i tworzą bazę.

Uproszczona wersja rozwiązania wygląda następująco:

Zróbmy proporcję z odpowiednich współrzędnych wektorów :
, co oznacza, że ​​wektory te są liniowo niezależne i stanowią bazę.

Zwykle opcja ta nie jest odrzucana przez recenzentów, jednak problem pojawia się w przypadkach, gdy niektóre współrzędne są równe zeru. Lubię to: . Lub tak: . Lub tak: . Jak tu zastosować proporcję? (w rzeczywistości nie można dzielić przez zero). Z tego powodu uproszczone rozwiązanie nazwałem „fantastycznym”.

Odpowiedź: a), b) forma.

Mały twórczy przykład Dla niezależna decyzja:

Przykład 2

Przy jakiej wartości parametru znajdują się wektory czy będą współliniowe?

W przykładowym rozwiązaniu parametr znajduje się poprzez proporcję.

Istnieje elegancki algebraiczny sposób sprawdzenia wektorów pod kątem kolinearności.Usystematyzujmy naszą wiedzę i dodajmy ją jako piąty punkt:

Dla dwóch wektorów płaskich poniższe stwierdzenia są równoważne:

2) wektory stanowią bazę;
3) wektory nie są współliniowe;

+ 5) wyznacznik złożony ze współrzędnych tych wektorów jest niezerowy.

Odpowiednio, poniższe przeciwstawne stwierdzenia są równoważne:
1) wektory są liniowo zależne;
2) wektory nie stanowią bazy;
3) wektory są współliniowe;
4) wektory mogą być wyrażane liniowo przez siebie;
+ 5) wyznacznik złożony ze współrzędnych tych wektorów, równy zeru .

Naprawdę mam taką nadzieję ten moment rozumiesz już wszystkie terminy i stwierdzenia, z którymi się spotykasz.

Przyjrzyjmy się bliżej nowemu, piątemu punktowi: dwa wektory płaskie są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik złożony ze współrzędnych danych wektorów jest równy zeru:. Aby zastosować tę funkcję, oczywiście musisz to zrobić znaleźć determinanty.

Zdecydujmy Przykład 1 w drugi sposób:

a) Obliczmy wyznacznik złożony ze współrzędnych wektorów :
, co oznacza, że ​​wektory te są współliniowe.

b) Dwa wektory płaskie tworzą bazę, jeśli nie są współliniowe (liniowo niezależne). Obliczmy wyznacznik złożony ze współrzędnych wektorowych :
, co oznacza, że ​​wektory są liniowo niezależne i stanowią bazę.

Odpowiedź: a), b) forma.

Wygląda znacznie bardziej kompaktowo i ładniej niż rozwiązanie o proporcjach.

Za pomocą rozważanego materiału można ustalić nie tylko współliniowość wektorów, ale także udowodnić równoległość odcinków i linii prostych. Rozważmy kilka problemów z określonymi kształtami geometrycznymi.

Przykład 3

Dane są wierzchołki czworokąta. Udowodnić, że czworokąt jest równoległobokiem.

Dowód: Nie ma potrzeby tworzenia rysunku w zadaniu, ponieważ rozwiązanie będzie czysto analityczne. Przypomnijmy definicję równoległoboku:
Równoległobok Nazywa się czworokąt, którego przeciwne boki są równoległe parami.

Należy zatem udowodnić:
1) równoległość przeciwnych stron i;
2) równoległość przeciwnych stron i.

Udowodnimy:

1) Znajdź wektory:

2) Znajdź wektory:

Rezultatem jest ten sam wektor („styl szkolny” - równe wektory). Kolinearność jest dość oczywista, ale lepiej sformalizować decyzję jasno, z układem. Obliczmy wyznacznik złożony ze współrzędnych wektorowych:
, co oznacza, że ​​wektory te są współliniowe, oraz .

Wniosek: Przeciwne strony czworoboki są równoległe parami, co oznacza, że ​​z definicji jest to równoległobok. CO BYŁO DO OKAZANIA.

Więcej figurek dobre i inne:

Przykład 4

Dane są wierzchołki czworokąta. Udowodnić, że czworokąt jest trapezem.

Dla bardziej rygorystycznego sformułowania dowodu lepiej oczywiście uzyskać definicję trapezu, ale wystarczy po prostu przypomnieć sobie, jak on wygląda.

To zadanie, które możesz rozwiązać samodzielnie. Kompletne rozwiązanie na koniec lekcji.

A teraz czas powoli przenieść się z samolotu w kosmos:

Jak określić kolinearność wektorów przestrzennych?

Zasada jest bardzo podobna. Aby dwa wektory przestrzenne były współliniowe, konieczne i wystarczające jest, aby odpowiadające im współrzędne były proporcjonalne.

Przykład 5

Sprawdź, czy następujące wektory przestrzenne są współliniowe:

A) ;
B)
V)

Rozwiązanie:
a) Sprawdźmy, czy istnieje współczynnik proporcjonalności dla odpowiednich współrzędnych wektorów:

Układ nie ma rozwiązania, co oznacza, że ​​wektory nie są współliniowe.

„Uproszczenie” jest sformalizowane poprzez sprawdzenie proporcji. W tym przypadku:
– odpowiadające im współrzędne nie są proporcjonalne, co oznacza, że ​​wektory nie są współliniowe.

Odpowiedź: wektory nie są współliniowe.

b-c) Są to punkty do samodzielnej decyzji. Wypróbuj na dwa sposoby.

Istnieje metoda sprawdzania kolinearności wektorów przestrzennych poprzez wyznacznik trzeciego rzędu, Ta metoda omówione w artykule Iloczyn wektorowy wektorów.

Podobnie jak w przypadku płaszczyzny, rozważane narzędzia można wykorzystać do badania równoległości odcinków przestrzennych i prostych.

Witamy w drugiej części:

Liniowa zależność i niezależność wektorów w przestrzeni trójwymiarowej.
Baza przestrzenna i afiniczny układ współrzędnych

Wiele wzorów, które sprawdziliśmy w samolocie, będzie dotyczyć przestrzeni kosmicznej. Próbowałem zminimalizować notatki z teorii, ponieważ lwia część informacja została już przeżuta. Zalecam jednak uważne przeczytanie części wprowadzającej, gdyż pojawią się nowe terminy i koncepcje.

Teraz zamiast płaszczyzny biurka komputerowego eksplorujemy trójwymiarową przestrzeń. Najpierw stwórzmy jego podstawę. Ktoś jest teraz w pomieszczeniu, ktoś na zewnątrz, ale w każdym razie nie możemy uciec od trzech wymiarów: szerokości, długości i wysokości. Dlatego do zbudowania podstawy potrzebne będą trzy wektory przestrzenne. Jeden lub dwa wektory nie wystarczą, czwarty jest zbędny.

I znowu rozgrzewamy się na palcach. Proszę podnieść rękę i rozłożyć ją różne strony kciuk, indeks i środkowy palec . To będą wektory, patrzą w różnych kierunkach, mają różne długości i mają różne kąty pomiędzy nimi. Gratulacje, podstawa trójwymiarowej przestrzeni jest gotowa! Swoją drogą, nie ma potrzeby demonstrowania tego nauczycielom, bez względu na to, jak mocno kręcisz palcami, ale od definicji nie ma ucieczki =)

Dalej, zapytajmy ważna kwestia, czy dowolne trzy wektory tworzą bazę przestrzeń trójwymiarowa ? Naciśnij mocno trzema palcami na blat biurka komputera. Co się stało? Trzy wektory znajdują się w tej samej płaszczyźnie i, z grubsza rzecz biorąc, straciliśmy jeden z wymiarów - wysokość. Takie wektory są współpłaszczyznowy i jest całkiem oczywiste, że podstawa przestrzeni trójwymiarowej nie jest tworzona.

Należy zauważyć, że wektory współpłaszczyznowe nie muszą leżeć w tej samej płaszczyźnie; mogą się w niej znajdować płaszczyzny równoległe(tylko nie rób tego palcami, tylko Salvador Dali poradził sobie w ten sposób =)).

Definicja: wektory są nazywane współpłaszczyznowy, jeśli istnieje płaszczyzna, do której są one równoległe. Logiczne jest tutaj dodanie, że jeśli taka płaszczyzna nie istnieje, to wektory nie będą współpłaszczyznowe.

Trzy wektor współpłaszczyznowy zawsze liniowo zależne, to znaczy, że są wyrażane liniowo przez siebie. Dla uproszczenia wyobraźmy sobie jeszcze raz, że leżą one w tej samej płaszczyźnie. Po pierwsze, wektory są nie tylko współpłaszczyznowe, mogą być również współliniowe, wtedy dowolny wektor można wyrazić poprzez dowolny wektor. W drugim przypadku, jeśli np. wektory nie są współliniowe, to trzeci wektor wyraża się przez nie w unikalny sposób: (i dlaczego łatwo zgadnąć z materiałów w poprzedniej sekcji).

Odwrotna sytuacja jest również prawdą: trzy niewspółpłaszczyznowe wektory są zawsze liniowo niezależne to znaczy nie wyrażają się one poprzez siebie nawzajem. I oczywiście tylko takie wektory mogą stanowić podstawę przestrzeni trójwymiarowej.

Definicja: Podstawa przestrzeni trójwymiarowej nazywa się potrójną liniowo niezależnymi (niewspółpłaszczyznowymi) wektorami, podjęte w określonej kolejności i dowolny wektor przestrzeni jedyny sposób jest rozkładany na zadaną bazę, gdzie są współrzędne wektora w tej bazie

Przypomnę, że możemy również powiedzieć, że wektor jest przedstawiony w postaci kombinacja liniowa wektory bazowe.

Pojęcie układu współrzędnych wprowadza się dokładnie w taki sam sposób, jak w przypadku płaszczyzny: jeden punkt i dowolne trzy liniowe niezależne wektory:

pochodzenie, I niewspółpłaszczyznowe wektory, podjęte w określonej kolejności, ustawić afiniczny układ współrzędnych przestrzeni trójwymiarowej :

Z pewnością, siatka współrzędnych„ukośny” i niewygodny, ale mimo to skonstruowany układ współrzędnych na to pozwala zdecydowanie określić współrzędne dowolnego wektora i współrzędne dowolnego punktu w przestrzeni. Podobnie jak w przypadku płaszczyzny, niektóre formuły, o których już wspomniałem, nie będą działać w afinicznym układzie współrzędnych przestrzeni.

Najbardziej znanym i wygodnym przypadkiem specjalnym afinicznego układu współrzędnych, jak wszyscy się domyślają, jest prostokątny układ współrzędnych przestrzeni:

Punkt w przestrzeni zwany pochodzenie, I ortonormalny podstawa jest ustalona Kartezjański prostokątny układ współrzędnych przestrzeni . Znajomy obrazek:

Zanim przejdziemy do zadań praktycznych, ponownie usystematyzujmy informacje:

Dla trzy wektory space poniższe stwierdzenia są równoważne:
1) wektory są liniowo niezależne;
2) wektory stanowią bazę;
3) wektory nie są współpłaszczyznowe;
4) wektory nie mogą być wyrażane liniowo przez siebie;
5) wyznacznik złożony ze współrzędnych tych wektorów jest różny od zera.

Myślę, że przeciwne stwierdzenia są zrozumiałe.

Liniową zależność/niezależność wektorów przestrzennych tradycyjnie sprawdza się za pomocą wyznacznika (punkt 5). Pozostały zadania praktyczne będzie miał wyraźny charakter algebraiczny. Czas odłożyć kij do geometrii i chwycić kij baseballowy algebry liniowej:

Trzy wektory przestrzeni są współpłaszczyznowe wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik złożony ze współrzędnych danych wektorów jest równy zeru: .

Chciałbym zwrócić uwagę na mały niuans techniczny: współrzędne wektorów można zapisać nie tylko w kolumnach, ale także w wierszach (wartość wyznacznika nie zmieni się z tego powodu - patrz właściwości wyznaczników). Ale jest znacznie lepszy w kolumnach, ponieważ jest bardziej korzystny w rozwiązywaniu niektórych praktycznych problemów.

Tym czytelnikom, którzy trochę zapomnieli o metodach obliczania wyznaczników, a może w ogóle ich nie rozumieją, polecam jedną z moich najstarszych lekcji: Jak obliczyć wyznacznik?

Przykład 6

Sprawdź, czy następujące wektory stanowią podstawę przestrzeni trójwymiarowej:

Rozwiązanie: Tak naprawdę całe rozwiązanie sprowadza się do obliczenia wyznacznika.

a) Obliczmy wyznacznik złożony ze współrzędnych wektorowych (wyznacznik ujawnia się w pierwszym wierszu):

, co oznacza, że ​​wektory są liniowo niezależne (nie współpłaszczyznowe) i stanowią podstawę przestrzeni trójwymiarowej.

Odpowiedź: te wektory tworzą bazę

b) Jest to punkt do samodzielnej decyzji. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Spotkaj się i zadania twórcze:

Przykład 7

Przy jakiej wartości parametru wektory będą współpłaszczyznowe?

Rozwiązanie: Wektory są współpłaszczyznowe wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik złożony ze współrzędnych tych wektorów jest równy zeru:

Zasadniczo musisz rozwiązać równanie z wyznacznikiem. Spadamy na zera niczym latawce na skoczkach - najlepiej otworzyć wyznacznik w drugiej linii i od razu pozbyć się minusów:

Dokonujemy dalszych uproszczeń i sprowadzamy sprawę do najprostszego równania liniowego:

Odpowiedź: Na

Tutaj łatwo to sprawdzić, w tym celu należy podstawić wynikową wartość do pierwotnego wyznacznika i upewnić się, że , otwierając je ponownie.

Podsumowując, spójrzmy na jeszcze jedno typowe zadanie, która ma charakter bardziej algebraiczny i jest tradycyjnie uwzględniana w kursie algebry liniowej. Jest to tak powszechne, że zasługuje na własny temat:

Udowodnić, że 3 wektory stanowią podstawę przestrzeni trójwymiarowej
i znajdź na tej podstawie współrzędne czwartego wektora

Przykład 8

Podano wektory. Pokaż, że wektory tworzą bazę w przestrzeni trójwymiarowej i znajdź na tej podstawie współrzędne wektora.

Rozwiązanie: Najpierw zajmijmy się warunkiem. Warunkowo podano cztery wektory i, jak widać, mają one już w jakiejś bazie współrzędne. Nie interesuje nas, jaka jest ta podstawa. Czy jesteś zainteresowany? Następna rzecz: trzy wektory mogą równie dobrze stanowić nową bazę. A pierwszy etap całkowicie pokrywa się z rozwiązaniem z Przykładu 6, należy sprawdzić, czy wektory są rzeczywiście liniowo niezależne:

Obliczmy wyznacznik złożony ze współrzędnych wektorowych:

, co oznacza, że ​​wektory są liniowo niezależne i stanowią podstawę przestrzeni trójwymiarowej.

! Ważny : współrzędne wektora Koniecznie zanotować w kolumny wyznacznik, a nie w łańcuchach. W przeciwnym razie w dalszym algorytmie rozwiązania wystąpi zamieszanie.

Podstawa(starożytne greckie βασις, podstawa) - zbiór wektorów w przestrzeni wektorowej taki, że dowolny wektor w tej przestrzeni można jednoznacznie przedstawić jako liniową kombinację wektorów z tego zbioru - wektory bazowe

Bazą w przestrzeni Rn jest dowolny układ z N-liniowo niezależne wektory. Każdy wektor z R n nieuwzględniony w bazie można przedstawić jako liniową kombinację wektorów bazowych, tj. rozłożony na podstawie.
Niech będzie podstawą przestrzeni R n i . Następnie istnieją liczby λ 1, λ 2, …, λ n takie, że .
Współczynniki rozszerzalności λ 1, λ 2, ..., λ n nazywane są współrzędnymi wektora w bazie B. Jeśli podana jest baza, wówczas współczynniki wektora są wyznaczane jednoznacznie.

Komentarz. W każdym N-wymiarowa przestrzeń wektorowa, możesz wybrać nieskończoną liczbę różnych baz. W różnych bazach ten sam wektor ma różne współrzędne, ale jedyne w wybranej podstawie. Przykład. Rozwiń wektor do jego podstawy.
Rozwiązanie. . Podstawmy współrzędne wszystkich wektorów i wykonajmy na nich akcje:

Zrównując współrzędne otrzymujemy układ równań:

Rozwiążmy to: .
W ten sposób otrzymujemy rozkład: .
W bazie wektor ma współrzędne .

Koniec pracy -

Ten temat należy do działu:

Koncepcja wektora. Operacje liniowe na wektorach

Wektor to skierowany odcinek o określonej długości, to znaczy odcinek o określonej długości, który ma jeden ze swoich punktów ograniczających. Długość wektora nazywana jest jego modułem i jest oznaczana przez moduł wektora symbolu. Wektor jest nazywany zerem; jest oznaczony, jeśli jego początek i koniec pokrywają się; wektor zerowy nie ma określonego wektora.

Jeśli potrzebujesz dodatkowy materiał na ten temat lub nie znalazłeś tego, czego szukałeś, polecamy skorzystać z wyszukiwarki w naszej bazie dzieł:

Co zrobimy z otrzymanym materiałem:

Jeśli ten materiał był dla Ciebie przydatny, możesz zapisać go na swojej stronie w w sieciach społecznościowych:

Podstawa przestrzeni nazywają taki układ wektorów, w którym wszystkie inne wektory w przestrzeni można przedstawić jako liniową kombinację wektorów zawartych w bazie.
W praktyce wszystko to jest realizowane po prostu. Podstawę z reguły sprawdza się na płaszczyźnie lub w przestrzeni i w tym celu trzeba znaleźć wyznacznik macierzy drugiego, trzeciego rzędu złożonej ze współrzędnych wektorowych. Poniżej są schematycznie napisane warunki, w jakich wektory tworzą bazę

Do rozwiń wektor b do wektorów bazowych
e,e...,e[n] należy znaleźć współczynniki x, ..., x[n] dla których kombinacja liniowa wektorów e,e...,e[n] jest równa wektor B:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
Dla tego równanie wektorowe należy dokonać konwersji do systemu równania liniowe i znaleźć rozwiązania. Jest to również dość proste w wykonaniu.
Wywoływane są znalezione współczynniki x, ..., x[n]. współrzędne wektora b w bazie e,e...,e[n].
Przejdźmy do praktycznej strony tematu.

Rozkład wektora na wektory bazowe

Zadanie 1. Sprawdź, czy wektory a1, a2 tworzą bazę na płaszczyźnie

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Rozwiązanie: Tworzymy wyznacznik ze współrzędnych wektorów i obliczamy go

Wyznacznik nie jest zerem, stąd wektory są liniowo niezależne, co oznacza, że ​​tworzą bazę.

2) a1 (2;-3), a2 (5;-1)
Rozwiązanie: Obliczamy wyznacznik złożony z wektorów

Wyznacznik jest równy 13 (nierówny zero) - z tego wynika, że ​​wektory a1, a2 są bazą na płaszczyźnie.

---=================---

Przyjrzyjmy się typowym przykładom z programu MAUP w dyscyplinie „Matematyka wyższa”.

Zadanie 2. Pokaż, że wektory a1, a2, a3 tworzą podstawę trójwymiarowej przestrzeni wektorowej i rozwiń wektor b zgodnie z tą bazą (przy rozwiązywaniu układu liniowego równania algebraiczne zastosować metodę Cramera).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (-3; 1; 2).
Rozwiązanie: Rozważmy najpierw układ wektorów a1, a2, a3 i sprawdzimy wyznacznik macierzy A

zbudowane na niezerowych wektorach. Macierz zawiera jeden element zerowy, dlatego właściwsze jest obliczenie wyznacznika jako zestawienie w pierwszej kolumnie lub trzecim wierszu.

W wyniku obliczeń stwierdziliśmy zatem, że wyznacznik jest różny od zera wektory a1, a2, a3 są liniowo niezależne.
Z definicji wektory stanowią bazę w R3. Zapiszmy rozkład wektora b na podstawie

Wektory są równe, gdy odpowiadające im współrzędne są równe.
Dlatego z równania wektorowego otrzymujemy układ równań liniowych

Rozwiążmy SLAE Metoda Cramera. Aby to zrobić, zapisujemy układ równań w postaci

Główny wyznacznik SLAE jest zawsze równa wyznacznikowi złożonemu z wektorów bazowych

Dlatego w praktyce nie liczy się go dwa razy. Aby znaleźć wyznaczniki pomocnicze, w miejsce każdej kolumny wyznacznika głównego umieszczamy kolumnę wolnych terminów. Wyznaczniki oblicza się za pomocą reguły trójkąta



Podstawmy znalezione wyznaczniki do wzoru Cramera



Zatem rozwinięcie wektora b w bazie ma postać b=-4a1+3a2-a3. Współrzędne wektora b w bazie a1, a2, a3 będą wynosić (-4,3, 1).

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Rozwiązanie: Sprawdzamy wektory pod kątem bazy - ze współrzędnych wektorów tworzymy wyznacznik i obliczamy go

Wyznacznik nie jest zatem równy zero wektory tworzą bazę w przestrzeni. Pozostaje znaleźć harmonogram wektora b przez tę podstawę. Aby to zrobić, piszemy równanie wektorowe

i przekształcić do układu równań liniowych

Zapiszmy to równanie macierzowe

Następnie dla wzorów Cramera znajdujemy wyznaczniki pomocnicze



Stosujemy wzory Cramera



Zatem dany wektor b ma rozkład poprzez dwa wektory bazowe b=-2a1+5a3, a jego współrzędne w bazie są równe b(-2,0, 5).

W rachunku wektorowym i jego zastosowaniach bardzo ważne ma zadanie dekompozycji polegające na przedstawieniu danego wektora jako sumy kilku wektorów zwanych składowymi danego

wektor. Problem ten, który w zasadzie ma nieskończoną liczbę rozwiązań, zostaje całkowicie zdefiniowany, jeśli określimy pewne elementy wektorów składowych.

2. Przykłady rozkładu.

Rozważmy kilka bardzo częstych przypadków rozkładu.

1. Rozłóż dany wektor c na dwa wektory składowe, z których jeden, na przykład a, ma określoną wielkość i kierunek.

Problem sprowadza się do określenia różnicy pomiędzy dwoma wektorami. Rzeczywiście, jeśli wektory są składnikami wektora c, to równość musi być spełniona

Stąd wyznaczany jest drugi wektor składowy

2. Rozłóż dany wektor c na dwie składowe, z których jedna musi leżeć dany samolot a drugi musi leżeć na danej linii prostej a.

Aby wyznaczyć wektory składowych, przesuwamy wektor c tak, aby jego początek pokrywał się z punktem przecięcia danej prostej z płaszczyzną (punkt O - patrz rys. 18). Od końca wektora c (punkt C) rysujemy prostą do

przecięcia z płaszczyzną (B jest punktem przecięcia), a następnie z punktu C rysujemy prostą równoległą

Wektory i będą pożądane, tj. Naturalnie wskazane rozwinięcie jest możliwe, jeśli prosta a i płaszczyzna nie są równoległe.

3. Biorąc pod uwagę trzy współpłaszczyznowe wektory a, b i c, wektory te nie są współliniowe. Należy rozłożyć wektor c na wektory

Sprowadźmy wszystkie trzy dane wektory do jednego punktu O. Wtedy ze względu na współpłaszczyznowość będą one zlokalizowane w tej samej płaszczyźnie. NA dany wektor jak na przekątnej zbudujemy równoległobok, którego boki są równoległe do linii działania wektorów (ryc. 19). Taka konstrukcja jest zawsze możliwa (chyba że wektory są współliniowe) i unikalna. Z ryc. 19 to jasne