Załóżmy, że Achilles biegnie dziesięć razy szybciej niż żółw i jest o tysiąc kroków za nim. W czasie, jaki potrzebuje Achilles na pokonanie tej odległości, żółw wykona sto kroków w tym samym kierunku. Kiedy Achilles przebiegnie sto kroków, żółw czołga się przez kolejne dziesięć kroków i tak dalej. Proces ten będzie trwał w nieskończoność, Achilles nigdy nie dogoni żółwia.
To rozumowanie stało się logicznym szokiem dla wszystkich kolejnych pokoleń. Arystoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Wszyscy oni w ten czy inny sposób rozważali aporię Zenona. Wstrząs był tak silny, że „ ... dyskusje trwają do dziś, w środowisku naukowym nie udało się jeszcze dojść do wspólnej opinii co do istoty paradoksów ... w badaniu tego zagadnienia zaangażowano analizę matematyczną, teorię mnogości, nowe podejścia fizyczne i filozoficzne ; żaden z nich nie stał się ogólnie przyjętym rozwiązaniem problemu...„[Wikipedia, „Aporia Zenona”. Każdy rozumie, że daje się oszukać, ale nikt nie rozumie, na czym to oszustwo polega.
Z matematycznego punktu widzenia Zenon w swoich aporiach wyraźnie pokazał przejście od ilości do. To przejście oznacza zastosowanie, a nie trwałe. O ile rozumiem, aparat matematyczny do stosowania zmiennych jednostek miary albo nie został jeszcze opracowany, albo nie został zastosowany do aporii Zenona. Stosowanie naszej zwykłej logiki prowadzi nas w pułapkę. My, ze względu na bezwładność myślenia, do wartości odwrotności stosujemy stałe jednostki czasu. Z fizycznego punktu widzenia wygląda to na spowolnienie czasu, aż do całkowitego zatrzymania się w momencie, gdy Achilles dogoni żółwia. Jeśli czas się zatrzyma, Achilles nie będzie już w stanie przegonić żółwia.
Jeśli odwrócimy naszą zwykłą logikę, wszystko ułoży się na swoim miejscu. Achilles biegnie ze stałą prędkością. Każdy kolejny odcinek jego ścieżki jest dziesięć razy krótszy od poprzedniego. W związku z tym czas poświęcony na jego pokonanie jest dziesięć razy krótszy niż poprzedni. Jeśli zastosujemy w tej sytuacji koncepcję „nieskończoności”, wówczas słuszne będzie stwierdzenie: „Achilles nieskończenie szybko dogoni żółwia”.
Jak uniknąć tej logicznej pułapki? Pozostań w stałych jednostkach czasu i nie przełączaj się na jednostki odwrotne. W języku Zenona wygląda to tak:
W czasie, jaki zajmie Achillesowi przebiegnięcie tysiąca kroków, żółw wykona sto kroków w tym samym kierunku. W następnym odstępie czasowym, równym pierwszemu, Achilles przebiegnie kolejne tysiąc kroków, a żółw przeczołga się sto kroków. Teraz Achilles jest osiemset kroków przed żółwiem.
Podejście to adekwatnie opisuje rzeczywistość, bez żadnych logicznych paradoksów. Ale to nie jest pełne rozwiązanie problemu. Stwierdzenie Einsteina o nieodpartej prędkości światła jest bardzo podobne do aporii Zenona „Achilles i żółw”. Musimy jeszcze przestudiować, przemyśleć i rozwiązać ten problem. A rozwiązania należy szukać nie w nieskończenie dużych liczbach, ale w jednostkach miary.
Kolejna interesująca aporia Zenona opowiada o lecącej strzałce:
Lecąca strzała jest nieruchoma, ponieważ w każdej chwili jest w spoczynku, a ponieważ jest w spoczynku w każdej chwili, jest zawsze w spoczynku.
W tej aporii paradoks logiczny zostaje przezwyciężony w bardzo prosty sposób - wystarczy wyjaśnić, że w każdym momencie lecąca strzała znajduje się w spoczynku w różnych punktach przestrzeni, co w rzeczywistości jest ruchem. Należy tutaj zwrócić uwagę na jeszcze jedną kwestię. Na podstawie jednego zdjęcia samochodu na drodze nie da się określić ani faktu jego ruchu, ani odległości do niego. Aby ustalić, czy samochód się porusza, potrzebne są dwa zdjęcia wykonane z tego samego punktu w różnych momentach w czasie, ale nie można określić odległości od nich. Aby określić odległość do samochodu, potrzebujesz dwóch zdjęć zrobionych z różnych punktów przestrzeni w tym samym momencie, ale na ich podstawie nie można określić faktu ruchu (oczywiście nadal potrzebujesz dodatkowych danych do obliczeń, trygonometria ci pomoże ). To na co chcę zwrócić szczególną uwagę to fakt, że dwa punkty w czasie i dwa punkty w przestrzeni to różne rzeczy, których nie należy mylić, gdyż dają odmienne możliwości badawcze.
środa, 4 lipca 2018 r
Różnice między zestawem a zestawem wielokrotnym są bardzo dobrze opisane w Wikipedii. Zobaczmy.
Jak widać „w zestawie nie mogą być dwa identyczne elementy”, ale jeśli w zestawie znajdują się identyczne elementy, taki zbiór nazywa się „multizbiorem”. Rozsądne istoty nigdy nie zrozumieją tak absurdalnej logiki. To jest poziom gadających papug i tresowanych małp, które nie mają inteligencji od słowa „całkowicie”. Matematycy zachowują się jak zwykli trenerzy, wmawiając nam swoje absurdalne pomysły.
Dawno, dawno temu inżynierowie, którzy zbudowali most, pływali łodzią pod mostem podczas testowania mostu. Jeśli most się zawali, przeciętny inżynier zginął pod gruzami swojego dzieła. Jeśli most wytrzymał obciążenie, utalentowany inżynier zbudował inne mosty.
Bez względu na to, jak matematycy ukrywają się za zwrotem „pamiętaj, jestem w domu” lub raczej „matematyka bada pojęcia abstrakcyjne”, istnieje jedna pępowina, która nierozerwalnie łączy ich z rzeczywistością. Ta pępowina to pieniądze. Zastosujmy matematyczną teorię mnogości do samych matematyków.
Bardzo dobrze uczyliśmy się matematyki, a teraz siedzimy przy kasie i wypłacamy pensje. Tak więc matematyk przychodzi do nas po swoje pieniądze. Odliczamy mu całą kwotę i układamy ją na naszym stole w różnych stosach, do których wkładamy banknoty o tym samym nominale. Następnie bierzemy po jednym rachunku z każdego stosu i dajemy matematykowi jego „matematyczny zestaw wynagrodzeń”. Wyjaśnijmy matematykowi, że resztę rachunków otrzyma dopiero wtedy, gdy udowodni, że zbiór bez identycznych elementów nie jest równy zbiorowi z identycznymi elementami. Tutaj zaczyna się zabawa.
Przede wszystkim sprawdzi się logika posłów: „Można to zastosować do innych, ale nie do mnie!” Wtedy zaczną nas uspokajać, że banknoty o tym samym nominale mają różne numery banknotów, a co za tym idzie, nie można ich uważać za te same elementy. OK, policzmy pensje w monetach - na monetach nie ma cyfr. Tutaj matematyk zacznie gorączkowo przypominać sobie fizykę: różne monety mają różną ilość brudu, struktura kryształu i układ atomów jest dla każdej monety unikalna...
I teraz mam najciekawsze pytanie: gdzie jest granica, za którą elementy multizbioru zamieniają się w elementy zbioru i odwrotnie? Taka linia nie istnieje – o wszystkim decydują szamani, nauka nawet nie jest bliska kłamstwa.
Popatrz tutaj. Wybieramy stadiony piłkarskie o tej samej powierzchni boiska. Pola pól są takie same - co oznacza, że mamy multizbiór. Ale jeśli spojrzymy na nazwy tych samych stadionów, otrzymamy wiele, ponieważ nazwy są różne. Jak widać, ten sam zbiór elementów jest jednocześnie zbiorem i multizbiorem. Który jest poprawny? I tu matematyk-szaman-sostrzysta wyciąga z rękawa asa atutowego i zaczyna nam opowiadać albo o zestawie, albo o wielokrotności. W każdym razie przekona nas, że ma rację.
Aby zrozumieć, jak współcześni szamani operują teorią mnogości, wiążąc ją z rzeczywistością, wystarczy odpowiedzieć na jedno pytanie: czym różnią się elementy jednego zbioru od elementów innego zbioru? Pokażę ci, bez żadnego „wyobrażalnego jako pojedyncza całość” lub „niewyobrażalnego jako pojedyncza całość”.
Niedziela, 18 marca 2018 r
Suma cyfr liczby to taniec szamanów z tamburynem, który nie ma nic wspólnego z matematyką. Tak, na lekcjach matematyki uczy się nas znajdować sumę cyfr liczby i posługiwać się nią, ale po to są szamani, aby uczyć swoich potomków swoich umiejętności i mądrości, w przeciwnym razie szamani po prostu wymrą.
Czy potrzebujesz dowodu? Otwórz Wikipedię i spróbuj znaleźć stronę „Suma cyfr liczby”. Ona nie istnieje. W matematyce nie ma wzoru, za pomocą którego można by znaleźć sumę cyfr dowolnej liczby. Przecież liczby to symbole graficzne, za pomocą których piszemy liczby, a w języku matematyki zadanie brzmi tak: „Znajdź sumę symboli graficznych reprezentujących dowolną liczbę”. Matematycy nie potrafią rozwiązać tego problemu, ale szamani mogą to zrobić z łatwością.
Zastanówmy się, co i jak zrobić, aby znaleźć sumę cyfr danej liczby. I tak otrzymamy liczbę 12345. Co należy zrobić, aby znaleźć sumę cyfr tej liczby? Rozważmy wszystkie kroki w kolejności.
1. Zapisz numer na kartce papieru. Co my zrobiliśmy? Przekonwertowaliśmy liczbę na graficzny symbol liczbowy. To nie jest operacja matematyczna.
2. Jeden powstały obraz wycinamy na kilka obrazków zawierających indywidualne liczby. Cięcie obrazu nie jest operacją matematyczną.
3. Zamień poszczególne symbole graficzne na liczby. To nie jest operacja matematyczna.
4. Dodaj powstałe liczby. Teraz to jest matematyka.
Suma cyfr liczby 12345 wynosi 15. Są to „kursy krojenia i szycia”, prowadzone przez szamanów, z których korzystają matematycy. Ale to nie wszystko.
Z matematycznego punktu widzenia nie ma znaczenia, w jakim systemie liczbowym zapiszemy liczbę. Zatem w różnych systemach liczbowych suma cyfr tej samej liczby będzie inna. W matematyce system liczbowy jest oznaczony jako indeks dolny po prawej stronie liczby. Przy dużej liczbie 12345, nie chcę oszukiwać głowy, rozważmy liczbę 26 z artykułu o. Zapiszmy tę liczbę w systemie binarnym, ósemkowym, dziesiętnym i szesnastkowym. Nie będziemy patrzeć na każdy krok pod mikroskopem, już to zrobiliśmy. Spójrzmy na wynik.
Jak widać, w różnych systemach liczbowych suma cyfr tej samej liczby jest inna. Wynik ten nie ma nic wspólnego z matematyką. To tak, jakby wyznaczając pole prostokąta w metrach i centymetrach, otrzymałbyś zupełnie inne wyniki.
Zero wygląda tak samo we wszystkich systemach liczbowych i nie ma sumy cyfr. To kolejny argument przemawiający za tym, że. Pytanie do matematyków: jak w matematyce oznacza się coś, co nie jest liczbą? Co, dla matematyków nie istnieje nic poza liczbami? Mogę na to pozwolić szamanom, ale nie naukowcom. Rzeczywistość to nie tylko liczby.
Uzyskany wynik należy uznać za dowód, że systemy liczbowe są jednostkami miary liczb. W końcu nie możemy porównywać liczb o różnych jednostkach miary. Jeśli te same działania z różnymi jednostkami miary tej samej wielkości prowadzą do różnych wyników po ich porównaniu, to nie ma to nic wspólnego z matematyką.
Czym jest prawdziwa matematyka? Dzieje się tak wtedy, gdy wynik operacji matematycznej nie zależy od wielkości liczby, użytej jednostki miary i tego, kto wykonuje tę czynność.
Oh! Czy to nie jest damska toaleta?
- Młoda kobieta! To laboratorium do badania niedefilicznej świętości dusz podczas ich wznoszenia się do nieba! Aureola na górze i strzałka w górę. Jaka inna toaleta?
Kobieta... Aureola na górze i strzałka w dół oznaczają mężczyznę.
Jeśli takie dzieło sztuki projektowej przelatuje Ci przed oczami kilka razy dziennie,
Nic więc dziwnego, że nagle w swoim samochodzie znajdujesz dziwną ikonę:
Osobiście staram się widzieć minus cztery stopnie u osoby robiącej kupę (jeden obrazek) (kompozycja kilku obrazków: znak minus, cyfra cztery, oznaczenie stopni). I nie sądzę, że ta dziewczyna jest głupia, która nie zna fizyki. Ma po prostu silny stereotyp postrzegania obrazów graficznych. A matematycy uczą nas tego cały czas. Oto przykład.
1A nie oznacza „minus cztery stopnie” ani „jeden a”. To jest „kupujący człowiek” lub liczba „dwadzieścia sześć” w zapisie szesnastkowym. Osoby, które stale pracują w tym systemie liczbowym, automatycznie postrzegają cyfrę i literę jako jeden symbol graficzny.
Kolejność działań - Matematyka klasa 3 (Moro)
Krótki opis:
W życiu stale wykonujesz różne czynności: wstajesz, myjesz twarz, ćwiczysz, jesz śniadanie, idziesz do szkoły. Czy sądzicie, że można zmienić tę procedurę? Na przykład zjedz śniadanie, a następnie umyj twarz. Prawdopodobnie możliwe. Zjedzenie śniadania, jeśli nie jesteś umyty, może nie być zbyt wygodne, ale z tego powodu nic złego się nie stanie. Czy w matematyce można zmieniać kolejność działań według własnego uznania? Nie, matematyka jest nauką ścisłą, więc nawet najmniejsze zmiany w procedurze doprowadzą do tego, że odpowiedź wyrażenia liczbowego stanie się niepoprawna. W drugiej klasie zapoznałeś się już z niektórymi regulaminami. Zapewne pamiętasz, że kolejność wykonywania działań jest określona w nawiasach. Pokazują, jakie działania należy wykonać w pierwszej kolejności. Jakie inne zasady postępowania istnieją? Czy kolejność operacji jest inna w wyrażeniach z nawiasami i bez nawiasów? Odpowiedzi na te pytania znajdziesz w podręczniku matematyki dla klasy trzeciej, studiując temat „Kolejność działań”. Zdecydowanie musisz poćwiczyć stosowanie poznanych zasad, a jeśli to konieczne, znaleźć i poprawić błędy w ustalaniu kolejności działań w wyrażeniach liczbowych. Pamiętaj, że porządek jest ważny w każdym biznesie, ale w matematyce jest on szczególnie ważny! 
Obliczając przykłady, należy postępować zgodnie z określoną procedurą. Korzystając z poniższych zasad, ustalimy kolejność wykonywania czynności i do czego służą nawiasy.
Jeśli w wyrażeniu nie ma nawiasów, to:
Rozważmy procedura w poniższym przykładzie.
Przypominamy Ci to kolejność działań w matematyce ułożone od lewej do prawej (od początku do końca przykładu).
Obliczając wartość wyrażenia, możesz zapisać je na dwa sposoby.
Pierwszy sposób
- Każda akcja jest rejestrowana osobno z własnym numerem pod przykładem.
- Po zakończeniu ostatniej akcji odpowiedź jest koniecznie zapisywana w oryginalnym przykładzie.
- Druga metoda nazywa się nagrywaniem łańcuchowym. Wszystkie obliczenia przeprowadzane są w dokładnie tej samej kolejności, ale wyniki są zapisywane bezpośrednio po znaku równości.
- Najpierw wykonujemy wszystkie czynności zawarte w nawiasach
- Następnie podnosimy do potęgi wszystkie nawiasy i liczby tworzące potęgę, od lewej do prawej (od początku do końca przykładu).
- Pozostałe kroki wykonujemy jak zwykle
- czynności wykonywane są w kolejności od lewej do prawej,
- Ponadto najpierw wykonywane jest mnożenie i dzielenie, a następnie dodawanie i odejmowanie.
- Jeśli w przykładzie nie ma nawiasów, wszystkie czynności wykonujemy po kolei, od lewej do prawej.
- Jeśli przykład zawiera nawiasy, następnie najpierw wykonujemy czynności w nawiasach, a dopiero potem wszystkie pozostałe czynności, zaczynając od lewej do prawej.
- Jeśli w przykładzie nie ma nawiasów, najpierw wykonaj w kolejności operacje mnożenia i dzielenia, od lewej do prawej. Następnie - operacje dodawania i odejmowania w kolejności od lewej do prawej.
- Jeśli przykład zawiera nawiasy, następnie najpierw wykonujemy działania w nawiasach, następnie mnożenie i dzielenie, a następnie dodawanie i odejmowanie zaczynając od lewej do prawej.
- Wykonując to zadanie, najpierw znajdujemy wartość wyrażenia ujętego w nawiasy.
- Powinieneś zacząć od mnożenia, a potem dodawania.
- Po rozwiązaniu wyrażenia w nawiasach przystępujemy do działań poza nimi.
- Zgodnie z regulaminem kolejnym krokiem jest mnożenie.
- Ostatnim krokiem będzie odejmowanie.
- Cechy rozliczania dotacji Państwo stara się wspierać małe i średnie przedsiębiorstwa. Wsparcie takie wyraża się najczęściej w formie dotacji – bezpłatnych wpłat ze strony […]
- Skarga na pediatrę Skarga na pediatrę jest dokumentem urzędowym ustalającym wymagania pacjenta i opisującym istotę tych wymagań. Zgodnie z art. 4 ustawy federalnej „W sprawie procedury rozpatrywania [...]
- Wniosek o zmniejszenie wielkości roszczenia Jednym z rodzajów wyjaśnienia roszczenia jest wniosek o zmniejszenie wielkości roszczenia. Gdy powód błędnie określił wartość roszczenia. Albo pozwany częściowo spełnił [...]
- Czarny rynek dolarów w Kijowie Aukcja walutowa umożliwiająca zakup dolarów w Kijowie Uwaga: administracja nie ponosi odpowiedzialności za treść ogłoszeń zamieszczanych na aukcji walutowej. Zasady publikowania reklam na giełdach walutowych […]
Obliczając wyniki działań z liczbami dwucyfrowymi i/lub trzycyfrowymi, pamiętaj o wyszczególnieniu obliczeń w kolumnie.
Drugi sposób
Jeżeli wyrażenie zawiera nawiasy, to w pierwszej kolejności wykonywane są akcje w nawiasach.
Wewnątrz samych nawiasów kolejność działań jest taka sama, jak w wyrażeniach bez nawiasów.
Jeżeli w nawiasach znajduje się więcej nawiasów, w pierwszej kolejności wykonywane są działania wewnątrz nawiasów zagnieżdżonych (wewnętrznych).
Procedura i potęgowanie
Jeżeli przykład zawiera w nawiasach wyrażenie liczbowe lub dosłowne, które należy podnieść do potęgi, wówczas:
Procedura wykonywania czynności, zasady, przykłady.
Wyrażenia numeryczne, alfabetyczne i wyrażenia ze zmiennymi w zapisie mogą zawierać znaki różnych operacji arytmetycznych. Podczas przekształcania wyrażeń i obliczania wartości wyrażeń działania są wykonywane w określonej kolejności, innymi słowy, należy przestrzegać kolejność działań.
W tym artykule dowiemy się, które działania należy wykonać jako pierwsze, a które po nich. Zacznijmy od najprostszych przypadków, gdy wyrażenie zawiera tylko liczby lub zmienne połączone znakami plus, minus, mnożenia i dzielenia. Następnie wyjaśnimy, jaką kolejność działań należy zachować w wyrażeniach w nawiasach. Na koniec przyjrzyjmy się kolejności wykonywania czynności w wyrażeniach zawierających potęgi, pierwiastki i inne funkcje.
Nawigacja strony.
Najpierw mnożenie i dzielenie, potem dodawanie i odejmowanie
Szkoła podaje co następuje reguła określająca kolejność wykonywania akcji w wyrażeniach bez nawiasów:
Podana zasada jest postrzegana całkiem naturalnie. Wykonywanie czynności w kolejności od lewej do prawej wynika z faktu, że zwyczajowo prowadzimy zapisy od lewej do prawej. A fakt, że mnożenie i dzielenie są wykonywane przed dodawaniem i odejmowaniem, tłumaczy się znaczeniem, jakie niosą ze sobą te działania.
Przyjrzyjmy się kilku przykładom zastosowania tej zasady. Na przykład weźmiemy najprostsze wyrażenia liczbowe, aby nie rozpraszać się obliczeniami, ale skupić się szczególnie na kolejności działań.
Wykonaj kroki 7-3+6.
Oryginalne wyrażenie nie zawiera nawiasów ani mnożenia ani dzielenia. Dlatego wszystkie czynności powinniśmy wykonywać w kolejności od lewej do prawej, czyli najpierw od 7 odejmujemy 3, otrzymamy 4, po czym do otrzymanej różnicy 4 dodamy 6, otrzymamy 10.
W skrócie rozwiązanie można zapisać w następujący sposób: 7−3+6=4+6=10.
Wskaż kolejność działań w wyrażeniu 6:2·8:3.
Aby odpowiedzieć na pytanie, przejdźmy do reguły wskazującej kolejność wykonywania akcji w wyrażeniach bez nawiasów. Oryginalne wyrażenie zawiera jedynie operacje mnożenia i dzielenia i zgodnie z regułą należy je wykonywać w kolejności od lewej do prawej.
Najpierw dzielimy 6 przez 2, mnożymy ten iloraz przez 8 i na koniec dzielimy wynik przez 3.
Oblicz wartość wyrażenia 17−5·6:3−2+4:2.
Najpierw ustalmy, w jakiej kolejności należy wykonać czynności z oryginalnego wyrażenia. Zawiera zarówno mnożenie, jak i dzielenie oraz dodawanie i odejmowanie. Najpierw od lewej do prawej musisz wykonać mnożenie i dzielenie. Więc mnożymy 5 przez 6, otrzymujemy 30, dzielimy tę liczbę przez 3, otrzymujemy 10. Teraz dzielimy 4 przez 2 i otrzymujemy 2. Podstawiamy znalezioną wartość 10 do pierwotnego wyrażenia zamiast 5·6:3 i zamiast 4:2 – wartość 2 mamy 17−5·6:3−2+4:2=17−10−2 +2.
Powstałe wyrażenie nie zawiera już mnożenia i dzielenia, więc pozostaje wykonać pozostałe czynności w kolejności od lewej do prawej: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .
Na początek, aby nie pomylić kolejności wykonywania czynności przy obliczaniu wartości wyrażenia, wygodnie jest umieścić liczby nad znakami akcji odpowiadającymi kolejności ich wykonywania. W poprzednim przykładzie wyglądałoby to tak: 
.
Podczas pracy z wyrażeniami literowymi należy zachować tę samą kolejność działań – najpierw mnożenie i dzielenie, następnie dodawanie i odejmowanie.
Działania pierwszego i drugiego etapu
W niektórych podręcznikach matematyki istnieje podział operacji arytmetycznych na operacje pierwszego i drugiego etapu. Rozwiążmy to.
Działania pierwszego etapu wywoływane jest dodawanie i odejmowanie oraz mnożenie i dzielenie działania drugiego etapu.
W tych warunkach reguła z poprzedniego akapitu, która określa kolejność wykonywania działań, zostanie zapisana w następujący sposób: jeśli wyrażenie nie zawiera nawiasów, to w kolejności od lewej do prawej działania drugiego etapu (mnożenie i dzielenie) są wykonywane w pierwszej kolejności, następnie czynności pierwszego etapu (dodawanie i odejmowanie).
Kolejność działań arytmetycznych w wyrażeniach w nawiasach
Wyrażenia często zawierają nawiasy wskazujące kolejność wykonywania czynności. W tym przypadku reguła określająca kolejność wykonywania akcji w wyrażeniach w nawiasach, formułuje się następująco: najpierw wykonuje się czynności w nawiasach, wykonuje się także mnożenie i dzielenie w kolejności od lewej do prawej, następnie dodawanie i odejmowanie.
Zatem wyrażenia w nawiasach są uważane za składniki pierwotnego wyrażenia i zachowują znaną nam już kolejność działań. Dla większej przejrzystości spójrzmy na rozwiązania przykładów.
Wykonaj poniższe kroki 5+(7−2·3)·(6−4):2.
Wyrażenie zawiera nawiasy, więc najpierw wykonajmy działania zawarte w wyrażeniach zawartych w tych nawiasach. Zacznijmy od wyrażenia 7−2·3. Należy w nim najpierw wykonać mnożenie, a dopiero potem odejmowanie, mamy 7−2·3=7−6=1. Przejdźmy do drugiego wyrażenia w nawiasach 6-4. Jest tu tylko jedna akcja - odejmowanie, wykonujemy ją 6-4 = 2.
Otrzymane wartości podstawiamy do pierwotnego wyrażenia: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2. W otrzymanym wyrażeniu najpierw wykonujemy mnożenie i dzielenie od lewej do prawej, a następnie odejmowanie i otrzymujemy 5+1·2:2=5+2:2=5+1=6. W tym momencie wszystkie działania są zakończone, trzymaliśmy się następującej kolejności ich realizacji: 5+(7−2·3)·(6−4):2.
Zapiszmy krótkie rozwiązanie: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2=5+1=6.
Zdarza się, że wyrażenie zawiera nawiasy w nawiasach. Nie ma się czego bać, wystarczy konsekwentnie stosować podaną zasadę wykonywania działań w wyrażeniach w nawiasach. Pokażmy rozwiązanie przykładu.
Wykonaj działania zawarte w wyrażeniu 4+(3+1+4·(2+3)) .
Jest to wyrażenie w nawiasach, co oznacza, że wykonanie akcji musi rozpocząć się od wyrażenia w nawiasach, czyli od 3+1+4·(2+3) . To wyrażenie zawiera również nawiasy, dlatego najpierw należy wykonać w nich czynności. Zróbmy tak: 2+3=5. Podstawiając znalezioną wartość, otrzymujemy 3+1+4,5. W tym wyrażeniu najpierw wykonujemy mnożenie, potem dodawanie, mamy 3+1+4·5=3+1+20=24. Wartość początkowa po podstawieniu tej wartości przyjmuje postać 4+24 i pozostaje tylko dokończyć działania: 4+24=28.
Ogólnie rzecz biorąc, jeśli wyrażenie zawiera nawiasy w nawiasach, często wygodnie jest wykonywać czynności, zaczynając od nawiasów wewnętrznych i przechodząc do nawiasów zewnętrznych.
Załóżmy na przykład, że musimy wykonać działania określone w wyrażeniu (4+(4+(4−6:2))−1)−1. Najpierw wykonujemy działania w nawiasach wewnętrznych, ponieważ 4−6:2=4−3=1, następnie pierwotne wyrażenie przyjmie postać (4+(4+1)−1)−1. Ponownie wykonujemy akcję w nawiasach wewnętrznych, ponieważ 4+1=5, dochodzimy do następującego wyrażenia (4+5−1)−1. Ponownie wykonujemy działania w nawiasach: 4+5−1=8 i dochodzimy do różnicy 8−1, która równa się 7.
Kolejność działań w wyrażeniach z pierwiastkami, potęgami, logarytmami i innymi funkcjami
Jeśli wyrażenie zawiera potęgi, pierwiastki, logarytmy, sinus, cosinus, tangens i cotangens, a także inne funkcje, wówczas ich wartości są obliczane przed wykonaniem innych działań, a zasady z poprzednich akapitów określające kolejność działań są również brane pod uwagę. Innymi słowy, wymienione rzeczy, z grubsza, można uznać za ujęte w nawiasy i wiemy, że czynności w nawiasach są wykonywane jako pierwsze.
Spójrzmy na rozwiązania przykładów.
Wykonaj czynności opisane w wyrażeniu (3+1)·2+6 2:3−7.
To wyrażenie zawiera potęgę 6 2, jego wartość należy obliczyć przed wykonaniem innych działań. Dokonujemy zatem potęgowania: 6 2 =36. Podstawimy tę wartość do pierwotnego wyrażenia, przybierze ono postać (3+1)·2+36:3−7.
Wtedy wszystko jest jasne: wykonujemy czynności w nawiasach, po czym pozostaje nam wyrażenie bez nawiasów, w którym w kolejności od lewej do prawej najpierw wykonujemy mnożenie i dzielenie, a następnie dodawanie i odejmowanie. Mamy (3+1)·2+36:3−7=4·2+36:3−7= 8+12−7=13.
Inne, w tym bardziej złożone przykłady wykonywania działań w wyrażeniach z pierwiastkami, potęgami itp., Możesz zobaczyć w artykule Obliczanie wartości wyrażeń.
smartstudents.ru
Gry online, symulatory, prezentacje, lekcje, encyklopedie, artykuły
Nawigacja po wpisach
Przykłady w nawiasach, lekcja z symulatorami.
W tym artykule przyjrzymy się trzem przykładom:
1. Przykłady z nawiasami (czynności dodawania i odejmowania)
2. Przykłady z nawiasami (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie)
3. Przykłady z dużą ilością akcji
1 Przykłady z nawiasami (dodawanie i odejmowanie)
Spójrzmy na trzy przykłady. W każdym z nich kolejność działań oznaczona jest czerwonymi cyframi:
Widzimy, że kolejność działań w każdym przykładzie będzie inna, chociaż liczby i znaki są takie same. Dzieje się tak, ponieważ w drugim i trzecim przykładzie znajdują się nawiasy.
*Ta zasada dotyczy przykładów bez mnożenia i dzielenia. W drugiej części tego artykułu przyjrzymy się regułom dotyczącym przykładów z nawiasami obejmujących operacje mnożenia i dzielenia.
Aby uniknąć nieporozumień w przykładzie z nawiasami, możesz przekształcić go w zwykły przykład bez nawiasów. Aby to zrobić, wpisz uzyskany wynik w nawiasach nad nawiasami, następnie przepisz cały przykład, wpisując ten wynik zamiast nawiasów, a następnie wykonaj wszystkie czynności w kolejności od lewej do prawej:
W prostych przykładach możesz wykonać wszystkie te operacje w swoim umyśle. Najważniejsze jest, aby najpierw wykonać akcję w nawiasach i zapamiętać wynik, a następnie policzyć w kolejności, od lewej do prawej.
A teraz - symulatory!
1) Przykłady w nawiasach do 20. Symulator online.
2) Przykłady w nawiasach do 100. Symulator online.
3) Przykłady w nawiasach. Symulator nr 2
4) Wstaw brakującą liczbę – przykłady w nawiasach. Aparatura treningowa
2 Przykłady z nawiasami (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie)
Spójrzmy teraz na przykłady, w których oprócz dodawania i odejmowania występuje mnożenie i dzielenie.
Przyjrzyjmy się najpierw przykładom bez nawiasów:
Jest jeden trik, dzięki któremu nie pomylisz się przy rozwiązywaniu przykładów kolejności działań. Jeśli nie ma nawiasów, to wykonujemy operacje mnożenia i dzielenia, a następnie przepisujemy przykład, zapisując uzyskane wyniki zamiast tych działań. Następnie wykonujemy dodawanie i odejmowanie w następującej kolejności:
Jeśli przykład zawiera nawiasy, najpierw musisz się ich pozbyć: przepisz przykład, zapisując uzyskany w nich wynik zamiast nawiasów. Następnie musisz w myślach zaznaczyć części przykładu oddzielone znakami „+” i „-” i policzyć każdą część osobno. Następnie wykonaj dodawanie i odejmowanie w podanej kolejności:
3 przykłady z dużą ilością akcji
Jeśli w przykładzie jest wiele akcji, wygodniej będzie nie ustalać kolejności działań w całym przykładzie, ale wybrać bloki i rozwiązać każdy blok osobno. Aby to zrobić, znajdujemy wolne znaki „+” i „–” (wolne oznaczają nie w nawiasach, pokazane na rysunku strzałkami).
Znaki te podzielą nasz przykład na bloki:
Wykonując czynności w każdym bloku, nie zapomnij o procedurze podanej powyżej w artykule. Po rozwiązaniu każdego bloku wykonujemy po kolei operacje dodawania i odejmowania.
Teraz skonsolidujmy rozwiązanie z przykładami w kolejności działań na symulatorach!
1. Przykłady z nawiasami w liczbach do 100, dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Trener internetowy.
2. Symulator matematyczny dla klas 2 - 3 „Ułóż kolejność działań (wyrażenia literowe)”.
3. Kolejność działań (ustalamy kolejność i rozwiązujemy przykłady)
Postępowanie z matematyki w klasie 4
Szkoła podstawowa dobiega końca, a już niedługo dziecko wkroczy w zaawansowany świat matematyki. Ale już w tym okresie student staje w obliczu trudności nauki. Podczas wykonywania prostego zadania dziecko gubi się i gubi, co ostatecznie prowadzi do negatywnej oceny wykonanej pracy. Aby uniknąć takich problemów, rozwiązując przykłady, musisz umieć poruszać się w kolejności, w jakiej musisz rozwiązać przykład. Po nieprawidłowym rozłożeniu działań dziecko nie wykonuje poprawnie zadania. W artykule przedstawiono podstawowe zasady rozwiązywania przykładów zawierających cały zakres obliczeń matematycznych, łącznie z nawiasami. Postępowanie z matematyki, zasady i przykłady dla klasy 4.
Przed wykonaniem zadania poproś dziecko, aby ponumerowało czynności, które będzie wykonywało. Jeśli masz jakieś trudności, proszę o pomoc.
Kilka zasad, których należy przestrzegać przy rozwiązywaniu przykładów bez nawiasów:
Jeśli zadanie wymaga serii operacji, należy najpierw wykonać dzielenie lub mnożenie, a następnie dodawanie. Wszystkie czynności są wykonywane w miarę postępu pisania listu. W przeciwnym razie wynik decyzji nie będzie prawidłowy.
Jeśli w przykładzie trzeba wykonać dodawanie i odejmowanie, robimy to w kolejności od lewej do prawej.
27-5+15=37 (Rozwiązując przykład kierujemy się zasadą. Najpierw wykonujemy odejmowanie, potem dodawanie).
Naucz swoje dziecko, aby zawsze planowało i numerowało wykonywane czynności.
Odpowiedzi do każdego rozwiązanego działania są zapisane nad przykładem. Dzięki temu dziecku będzie znacznie łatwiej poruszać się po poszczególnych czynnościach.
Rozważmy inną opcję, w której konieczne jest rozdzielenie działań w kolejności:
Jak widać przy rozwiązywaniu obowiązuje zasada: najpierw szukamy produktu, potem szukamy różnicy.
Są to proste przykłady, które wymagają dokładnego rozważenia przy ich rozwiązywaniu. Wiele dzieci jest oszołomionych, gdy widzą zadanie zawierające nie tylko mnożenie i dzielenie, ale także nawiasy. Uczeń nie znający procedury wykonania czynności ma pytania, które uniemożliwiają mu wykonanie zadania.
Jak stwierdzono w regule, najpierw znajdujemy iloczyn lub iloraz, a następnie wszystko inne. Ale są nawiasy! Co zrobić w tym przypadku?
Rozwiązywanie przykładów za pomocą nawiasów
Spójrzmy na konkretny przykład:
Jak widać na przykładzie wizualnym, wszystkie akcje są ponumerowane. Aby wzmocnić temat, poproś dziecko, aby samodzielnie rozwiązało kilka przykładów:
Kolejność obliczania wartości wyrażenia została już ustalona. Dziecko będzie musiało jedynie bezpośrednio wykonać tę decyzję.
Skomplikujmy zadanie. Pozwól dziecku samodzielnie odnaleźć znaczenie wyrażeń.
7*3-5*4+(20-19) 14+2*3-(13-9)
17+2*5+(28-2) 5*3+15-(2-1*2)
24-3*2-(56-4*3) 14+12-3*(21-7)
Naucz swoje dziecko rozwiązywania wszystkich zadań w formie roboczej. W takim przypadku uczeń będzie miał możliwość skorygowania błędnej decyzji lub plam. W skoroszycie nie można wprowadzać poprawek. Wykonując zadania samodzielnie, dzieci dostrzegają swoje błędy.
Rodzice z kolei powinni zwracać uwagę na błędy, pomagać dziecku je zrozumieć i poprawić. Nie należy przeciążać mózgu ucznia dużą ilością zadań. Takimi działaniami zniechęcisz dziecko do wiedzy. We wszystkim powinno być poczucie proporcji.
Zrób sobie przerwę. Dziecko powinno być rozproszone i odpocząć od zajęć. Najważniejszą rzeczą do zapamiętania jest to, że nie każdy ma umysł matematyczny. Być może Twoje dziecko wyrośnie na sławnego filozofa.
detskoerazvitie.info
Lekcja matematyki klasa 2. Kolejność działań w wyrażeniach w nawiasach.
Pospiesz się, aby skorzystać ze zniżek do 50% na kursy Infourok
Cel: 1.
2.
3. Utrwalić wiedzę z zakresu tabliczki mnożenia i dzielenia przez 2 – 6, pojęcia dzielnika oraz
4. Naucz się pracować w parach, aby rozwijać umiejętności komunikacyjne.
Sprzęt * : + — (), materiał geometryczny.
Raz, dwa - głowa do góry.
Trzy, cztery ramiona szersze.
Pięć, sześć - wszyscy siadają.
Siedem, osiem – odrzućmy lenistwo.
Ale najpierw musisz dowiedzieć się, jak się nazywa. Aby to zrobić, musisz wykonać kilka zadań:
6 + 6 + 6 … 6 * 4 6 * 4 + 6… 6 * 5 – 6 14 dm 5 cm… 4 dm 5 cm
Dopóki pamiętaliśmy kolejność działań w wyrażeniach, z zamkiem działy się cuda. Byliśmy tuż przy bramie, a teraz jesteśmy na korytarzu. Spójrz, drzwi. A na nim jest zamek. Otworzymy to?
1. Odejmij iloraz 8 i 2 od liczby 20.
2. Podziel różnicę między 20 a 8 przez 2.
— Czym różnią się wyniki?
- Kto może podać temat naszej lekcji?
(na matach do masażu)
Wzdłuż ścieżki, wzdłuż ścieżki
Galopujemy na prawej nodze,
Skaczemy na lewej nodze.
Biegnijmy ścieżką,
Nasze przypuszczenie było całkowicie prawidłowe7
Gdzie najpierw wykonywane są czynności, jeśli w wyrażeniu znajdują się nawiasy?
Spójrz na „żywe przykłady” przed nami. Ożywmy je.
* : + — ().
m – do* (a + d) + x
k: b + (a – c) * t
6. Pracujcie w parach.
Aby je rozwiązać, potrzebujesz materiału geometrycznego.
Uczniowie wykonują zadania w parach. Po zakończeniu sprawdź pracę par przy tablicy.
Czego nowego się nauczyłeś?
8. Praca domowa.
Temat: Kolejność działań w wyrażeniach w nawiasach.
Cel: 1. Wyprowadź regułę kolejności działań w wyrażeniach w nawiasach zawierających wszystko
4 operacje arytmetyczne,
2. Wykształcenie umiejętności praktycznego stosowania zasad,
4. Naucz się pracować w parach, aby rozwijać umiejętności komunikacyjne.
Sprzęt: podręcznik, zeszyty, karty ze znakami akcji * : + — (), materiał geometryczny.
1 .Ćwiczenia fizyczne.
Dziewięć, dziesięć - usiądź cicho.
2. Aktualizacja podstawowej wiedzy.
Dziś wyruszamy w kolejną podróż po Krainie Wiedzy, mieście matematyki. Musimy odwiedzić jeden pałac. Jakoś zapomniałem jak się nazywa. Ale nie martwmy się, sam możesz mi powiedzieć, jak się nazywa. Podczas gdy się martwiłem, zbliżyliśmy się do bram pałacu. Wejdziemy?
1. Porównaj wyrażenia:
2. Rozszyfrować słowo.
3. Opis problemu. Odkrycie czegoś nowego.
Jak więc nazywa się pałac?
A kiedy w matematyce mówimy o porządku?
Co już wiesz o kolejności działań w wyrażeniach?
— Co ciekawe, jesteśmy proszeni o zapisanie i rozwiązanie wyrażeń (nauczyciel czyta wyrażenia, uczniowie zapisują je i rozwiązują).
20 – 8: 2
(20 – 8) : 2
Dobrze zrobiony. Co jest interesującego w tych wyrażeniach?
Przyjrzyj się wyrażeniom i ich wynikom.
— Co jest powszechne w pisaniu wyrażeń?
— Jak myślisz, dlaczego wyniki były różne, skoro liczby były takie same?
Kto odważyłby się sformułować regułę wykonywania działań w wyrażeniach w nawiasach?
Poprawność tej odpowiedzi możemy sprawdzić w innym pomieszczeniu. Chodźmy tam.
4. Ćwiczenia fizyczne.
I tą samą ścieżką
Dotrzemy do góry.
Zatrzymywać się. Odpocznijmy trochę
I znów pójdziemy pieszo.
5. Podstawowa konsolidacja tego, czego się nauczyliśmy.
Oto jesteśmy.
Aby sprawdzić poprawność naszego założenia, musimy rozwiązać jeszcze dwa wyrażenia.
6 * (33 – 25) 54: (6 + 3) 25 – 5 * (9 – 5) : 2
Aby sprawdzić poprawność założenia, otwórzmy podręczniki na stronie 33 i zapoznajmy się z regułą.
Jak należy wykonać czynności po rozwiązaniu w nawiasach?
Na tablicy zapisano wyrażenia literowe oraz znajdują się karty ze znakami akcji. * : + — (). Dzieci pojedynczo podchodzą do tablicy, biorą kartę z akcją, którą należy wykonać w pierwszej kolejności, następnie wychodzi drugi uczeń i bierze kartę z drugą akcją itd.
za + (a – b)
a * (b + c): D – T
M – C * ( A + D ) + X
k : B + ( A – C ) * T
(a–b) : t+d
6. Pracujcie w parach. Autonomiczna organizacja non-profit Bureau of Forensic Expertise Forensic Expertise. Egzamin pozasądowy Recenzja egzaminu. Ocena Autonomiczna organizacja non-profit „Bureau of Forensic Expertise” w Moskwie jest ośrodkiem […]
A dzielenie liczb następuje poprzez działania drugiego etapu.
Kolejność działań przy znajdowaniu wartości wyrażeń określają następujące zasady:
1. Jeżeli w wyrażeniu nie ma nawiasów i zawiera ono czynności tylko jednego etapu, to wykonywane są one w kolejności od lewej do prawej.
2. Jeżeli wyrażenie zawiera działania pierwszego i drugiego etapu i nie ma w nim nawiasów, wówczas najpierw wykonywane są działania drugiego etapu, a następnie działania pierwszego etapu.
3. Jeżeli w wyrażeniu znajdują się nawiasy, to najpierw wykonaj czynności w nawiasach (uwzględniając zasady 1 i 2).
Przykład 1. Znajdźmy wartość wyrażenia
a) x + 20 = 37;
b) y + 37 = 20;
c) a - 37 = 20;
d) 20 - m = 37;
e) 37 - s = 20;
e) 20 + k = 0.
636. Jakie liczby naturalne, odbierając, można otrzymać 12? Ile par takich liczb? Odpowiedz na te same pytania dotyczące mnożenia i dzielenia.
637. Podano trzy liczby: pierwsza to liczba trzycyfrowa, druga to iloraz liczby sześciocyfrowej podzielonej przez dziesięć, a trzecia to 5921. Czy można wskazać największą i najmniejszą z tych liczb?
638. Uprość wyrażenie:
a) 2a + 612 + 1a + 324;
b) 12у + 29у + 781 + 219;
639. Rozwiąż równanie:
a) 8x - 7x + 10 = 12;
b) 13 lat + 15 lat - 24 = 60;
c) Z - 2z + 15 = 32;
d) 6t + 5t - 33 = 0;
e) (x + 59): 42 = 86;
e) 528: k - 24 = 64;
g) p: 38 - 76 = 38;
h) 43m- 215 = 473;
i) 89n + 68 = 9057;
j) 5905 - 21 v = 316;
k) 34s - 68 = 68;
m) 54b - 28 = 26.
640. Gospodarstwo hodowlane zapewnia przyrost masy ciała o 750 g na zwierzę dziennie. Jaki zysk uzyskuje kompleks w ciągu 30 dni dla 800 zwierząt?
641. W dwóch dużych i pięciu małych puszkach znajduje się 130 litrów mleka. Ile mleka zmieści się w małej puszce, jeśli jej pojemność jest czterokrotnie mniejsza niż pojemność większej?
642. Pies zauważył swojego właściciela w odległości 450 m od niego i pobiegł w jego stronę z prędkością 15 m/s. Jaka będzie odległość właściciela od psa w ciągu 4 s; po 10 s; w t?
643. Rozwiąż zadanie korzystając z równania:
1) Michaił ma 2 razy więcej orzechów niż Mikołaj, a Petya 3 razy więcej niż Mikołaj. Ile orzechów ma każda osoba, jeśli każdy ma 72 orzechy?
2) Trzy dziewczyny zebrały na brzegu 35 muszli. Galia znalazła 4 razy więcej niż Masza, a Lena 2 razy więcej niż Masza. Ile muszli znalazła każda dziewczyna?
644. Napisz program obliczający wyrażenie
8217 + 2138 (6906 - 6841) : 5 - 7064.
Zapisz ten program w formie diagramu. Znajdź znaczenie wyrażenia.
645. Napisz wyrażenie, korzystając z następującego programu obliczeniowego:
1. Pomnóż 271 przez 49.
2. Podziel 1001 przez 13.
3. Pomnóż wynik polecenia 2 przez 24.
4. Dodaj wyniki poleceń 1 i 3.
Znajdź znaczenie tego wyrażenia.
646. Zapisz wyrażenie zgodnie ze schematem (ryc. 60). Napisz program, który go obliczy i znajdzie jego wartość.
647. Rozwiąż równanie:
a) Zx + bx + 96 = 1568;
b) 357z – 1492 – 1843 – 11 469;
c) 2 lata + 7 lat + 78 = 1581;
d) 256 m – 147 m – 1871 – 63 747;
e) 88 880: 110 + x = 809;
f) 6871 + p: 121 = 7000;
g) 3810 + 1206: y = 3877;
h) k + 12 705: 121 = 105.
648. Znajdź iloraz:
a) 1989680:187; c) 9 018 009:1001;
b) 572 163: 709; d) 533 368 000: 83 600.
649. Statek motorowy płynął po jeziorze przez 3 godziny z prędkością 23 km/h, a następnie po rzece przez 4 godziny. Ile kilometrów przepłynął statek w ciągu tych 7 godzin, jeśli płynął po rzece 3 km/h szybciej niż po jeziorze?
650. Teraz odległość między psem a kotem wynosi 30 m. Po ilu sekundach pies dogoni kota, jeśli prędkość psa wynosi 10 m/s, a kota 7 m/s?
651. Znajdź w tabeli (ryc. 61) wszystkie liczby w kolejności od 2 do 50. Warto wykonać to ćwiczenie kilka razy; Możesz konkurować z przyjacielem: kto szybciej znajdzie wszystkie liczby?
N.Ya. VILENKIN, V. I. ZHOKHOV, A. S. CHESNOKOV, S. I. SHVARTSBURD, Matematyka klasa 5, Podręcznik dla instytucji kształcenia ogólnego
Scenariusze lekcji matematyki dla klasy 5 do pobrania, podręczniki i książki za darmo, opracowanie lekcji matematyki online
Treść lekcji notatki z lekcji ramka wspomagająca prezentację lekcji metody przyspieszania technologie interaktywne Ćwiczyć zadania i ćwiczenia autotest warsztaty, szkolenia, case'y, zadania prace domowe dyskusja pytania retoryczne pytania uczniów Ilustracje pliki audio, wideo i multimedia fotografie, obrazy, grafiki, tabele, diagramy, humor, anegdoty, dowcipy, komiksy, przypowieści, powiedzenia, krzyżówki, cytaty Dodatki streszczenia artykuły sztuczki dla ciekawskich szopki podręczniki podstawowy i dodatkowy słownik terminów inne Udoskonalanie podręczników i lekcjipoprawianie błędów w podręczniku aktualizacja fragmentu podręcznika, elementy innowacji na lekcji, wymiana przestarzałej wiedzy na nową Tylko dla nauczycieli doskonałe lekcje plan kalendarza na rok, zalecenia metodyczne, program dyskusji Zintegrowane Lekcje