Równanie Bernoulliego jest jednym z najbardziej znanych nieliniowe równania różniczkowe pierwszego rzędu. Jest to napisane w formie

Gdzie A(X) I B(X) są funkcjami ciągłymi. Jeśli M= 0, wówczas równanie Bernoulliego staje się liniowym równaniem różniczkowym. W przypadku kiedy M= 1, równanie staje się równaniem rozłącznym. Ogólnie kiedy M≠ 0,1, równanie Bernoulliego sprowadza się do liniowego równania różniczkowego za pomocą podstawienia

Nowe równanie różniczkowe funkcji z(X) ma postać

i można je rozwiązać metodami opisanymi na stronie Liniowe równania różniczkowe pierwszego rzędu.

METODA BERNOULEGO.

Rozważane równanie można rozwiązać metodą Bernoulliego. Aby to zrobić, szukamy rozwiązania pierwotnego równania w postaci iloczynu dwóch funkcji: gdzie ty, w- funkcje z X. Różniczkowanie: Zastąp pierwotne równanie (1): (2) Jako w Weźmy dowolne niezerowe rozwiązanie równania: (3) Równanie (3) jest równaniem z rozłącznymi zmiennymi. Po znalezieniu konkretnego rozwiązania v = v(x), zamień go na (2). Ponieważ spełnia równanie (3), wyrażenie w nawiasach przyjmuje wartość zero. Otrzymujemy: Jest to również równanie rozłączne. Znajdujemy jego rozwiązanie ogólne, a wraz z nim rozwiązanie pierwotnego równania y = UV.

64. Równanie różnic całkowitych. Czynnik integrujący. Metody rozwiązania

Równanie różniczkowe pierwszego rzędu postaci

zwany równanie różnic całkowitych, jeśli jego lewa strona reprezentuje całkowitą różnicę jakiejś funkcji, tj.

Twierdzenie. Aby równanie (1) było równaniem w różniczkach całkowitych, konieczne i wystarczające jest, aby w jakiejś prosto powiązanej dziedzinie zmian zmiennych warunek był spełniony

Całka ogólna równania (1) ma postać lub

Przykład 1. Rozwiązać równanie różniczkowe.

Rozwiązanie. Sprawdźmy, czy to równanie jest całkowitym równaniem różniczkowym:

a więc to jest warunek (2) jest spełniony. Zatem to równanie jest równaniem różnic całkowitych i

dlatego gdzie jest nadal niezdefiniowaną funkcją.

Całkując, otrzymujemy . Pochodna cząstkowa znalezionej funkcji musi być równa, co daje skąd tak, że Zatem,.

Całka ogólna pierwotnego równania różniczkowego.

Całkując niektóre równania różniczkowe, wyrazy można pogrupować w taki sposób, aby uzyskać łatwo całkowalne kombinacje.

65. Różniczkowe równania liniowe zwyczajne wyższych rzędów: jednorodne i niejednorodne. Liniowy operator różniczkowy, jego własności (z dowodem).

Liniowy operator różniczkowy i jego własności. Zbiór funkcji mających na przedziale ( A , B ) nie mniej N pochodne, tworzy przestrzeń liniową. Weź pod uwagę operatora L N (y ), który wyświetla funkcję y (X ), mając pochodne, na funkcję mającą k - N pochodne.

Liniowe równania różniczkowe pierwszego rzędu
oraz równanie Bernoulliego

Liniowe równanie różniczkowe pierwszego rzędu to równanie liniowe względem nieznanej funkcji i jej pochodnej. To wygląda jak

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x),

gdzie p(x) i q(x) są funkcjami x, ciągłymi w obszarze, w którym równanie (1) wymaga całkowania.

Jeśli q(x)\equiv0 , to wywoływane jest równanie (1). liniowy jednorodny. Jest to równanie rozłączne i ma rozwiązanie ogólne

y=C\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right)\!,

Można znaleźć ogólne rozwiązanie równania niejednorodnego metoda zmiany dowolnej stałej, co polega na tym, że rozwiązania równania (1) szuka się w postaci

y=C(x)\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right), gdzie C(x) jest nową nieznaną funkcją x.

Przykład 1. Rozwiązać równanie y"+2xy=2xe^(-x^2).

Rozwiązanie. Zastosujmy metodę stałej zmienności. Rozważmy jednorodne równanie y"+2xy=0 odpowiadające temu niejednorodnemu równaniu. Jest to równanie ze zmiennymi rozdzielnymi. Jego ogólne rozwiązanie ma postać y=Ce^(-x^2) .

Szukamy ogólnego rozwiązania niejednorodnego równania w postaci y=C(x)e^(-x^2), gdzie C(x) jest nieznaną funkcją x. Podstawiając otrzymujemy C"(x)=2x, skąd C(x)=x^2+C. Zatem ogólnym rozwiązaniem równania niejednorodnego będzie y=(x^2+C)e^(-x^2), gdzie C jest stałą całkowania.

Komentarz. Może się okazać, że równanie różniczkowe jest liniowe w funkcji x w funkcji y. Normalna postać takiego równania to

\frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y).

Przykład 2. Rozwiązać równanie \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+\sin2y).

Rozwiązanie. To równanie jest liniowe, jeśli rozważymy x jako funkcję y:

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y).

Stosujemy metodę wariacji dowolnej stałej. Najpierw rozwiązujemy odpowiednie równanie jednorodne

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0,

które jest równaniem z rozdzielnymi zmiennymi. Jego ogólne rozwiązanie ma postać x=Ce^(\sin(y)),~C=\text(stała).

Szukamy ogólnego rozwiązania równania w postaci , gdzie C(y) jest nieznaną funkcją y. Podstawiając, otrzymujemy

C"(y)e^(\sin(y))=\sin2y Lub C"(y)=e^(-\sin(y))\sin2y.

Stąd mamy całkowanie przez części

\begin(aligned)C(y)&=\int(e^(-\sin(y))\sin2y)\,dy=2\int(e^(-\sin(y))\cos(y) \sin(y))\,dy=2\int\sin(y)\,d(-e^(-\sin(y)))=\\ &=-2\sin(y)\,e^ (-\sin(y))+2\int(e^(-\sin(y))\cos(y))\,dy=C-2(\sin(y)+1)e^(-\ sin(y)),\end(wyrównane)

C(y)=-2e^(-\sin(y))(1+\sin(y))+C.

Podstawiając to równanie do x=C(y)e^(\sin(y)), otrzymujemy ogólne rozwiązanie pierwotnego równania, a zatem i tego równania:

x=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y))

Oryginalne równanie można również zintegrować w następujący sposób. Wierzymy

y=u(x)v(x),

gdzie u(x) i v(x) są nieznanymi funkcjami x, z których jedną, na przykład v(x), można wybrać dowolnie.

Podstawiając y=u(x)v(x) do , po transformacji otrzymujemy

vu"+(pv+v")u=q(x).

Wyznaczając v(x) na podstawie warunku v"+pv=0, następnie znajdujemy z vu"+(pv+v")u=q(x) funkcja u(x) i w konsekwencji rozwiązanie równania y=uv \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x). Jako v(x) możemy przyjąć dowolne częste rozwiązanie równania v"+pv=0,~v\not\równoważnik0.

Przykład 3. Rozwiąż problem Cauchy'ego: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4.

Rozwiązanie. Poszukujemy ogólnego rozwiązania równania w postaci y=u(x)v(x) ; mamy y"=u"v+uv. Podstawiając wyrażenie y i y" do pierwotnego równania, otrzymamy

x(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1) Lub x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)

Funkcję v=v(x) znajdujemy z warunku x(x-1)v"+v=0. Biorąc dowolne rozwiązanie ostatniego równania, np. v=\frac(x)(x-1) i podstawiając go, otrzymujemy równanie u"=2x-1, z którego znajdujemy funkcję u(x)=x^2-x+C. Dlatego ogólne rozwiązanie równania x(x-1)y"+y=x^2(2x-1) będzie

y=uv=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1), Lub y=\frac(Cx)(x-1)+x^2.

Korzystając z warunku początkowego y|_(x=2)=4, otrzymujemy równanie na znalezienie C 4=\frac(2C)(2-1)+2^2, skąd C=0 ; więc rozwiązaniem postawionego problemu Cauchy'ego będzie funkcja y=x^2.

Przykład 4. Wiadomo, że istnieje związek pomiędzy prądem i a siłą elektromotoryczną E w obwodzie mającym rezystancję R i indukcyjność własną L E=Ri+L\frac(di)(dt), gdzie R i L są stałymi. Jeśli uznamy E za funkcję czasu t, otrzymamy liniowe niejednorodne równanie dla natężenia prądu i:

\frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E(t))(L).

Znajdź aktualną siłę i(t) dla przypadku, gdy E=E_0=\text(stała) i i(0)=I_0 .

Rozwiązanie. Mamy \frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E_0)(L),~i(0)=I_0. Ogólne rozwiązanie tego równania ma postać i(t)=\frac(E_0)(R)+Ce^(-(R/L)t). Korzystając z warunku początkowego (13), otrzymujemy z C=I_0-\frac(E_0)(R), więc pożądane rozwiązanie będzie

i(t)=\frac(E_0)(R)+\left(I_0-\frac(E_0)(R)\right)\!e^(-(R/L)t).

To pokazuje, że w chwili t\to+\infty natężenie prądu i(t) dąży do stałej wartości \frac(E_0)(R) .

Przykład 5. Podana jest rodzina C_\alfa krzywych całkowych liniowego niejednorodnego równania y"+p(x)y=q(x).

Pokaż, że styczne w odpowiednich punktach krzywych C_\alpha określonych równaniem liniowym przecinają się w jednym punkcie (rys. 13).

Rozwiązanie. Rozważmy styczną do dowolnej krzywej C_\alpha w punkcie M(x,y) Równanie stycznej w punkcie M(x,y) ma postać

\eta-q(x)(\xi-x)=y, gdzie \xi,\eta są bieżącymi współrzędnymi punktu stycznego.

Z definicji w odpowiednich punktach x jest stałe, a y jest zmienne. Biorąc dowolne dwie styczne do prostych C_\alpha w odpowiednich punktach, dla współrzędnych punktu S ich przecięcia otrzymujemy

\xi=x+\frac(1)(p(x)), \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x)).

To pokazuje, że wszystkie styczne do krzywych C_\alpha w odpowiednich punktach (x jest stałe) przecinają się w tym samym punkcie

S\!\left(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\right).

Eliminując argument x w systemie, otrzymujemy równanie miejsca punktów S\dwukropek f(\xi,\eta)=0.

Przykład 6. Znajdź rozwiązanie równania y"-y=\cos(x)-\sin(x), spełniając warunek: y jest ograniczone do y\to+\infty .

Rozwiązanie. Ogólne rozwiązanie tego równania to y=Ce^x+\sin(x) . Każde rozwiązanie równania otrzymanego z rozwiązania ogólnego dla C\ne0 będzie nieograniczone, ponieważ dla x\to+\infty funkcja \sin(x) jest ograniczona i e^x\to+\infty . Wynika z tego, że to równanie ma jednoznaczne rozwiązanie y=\sin(x) , ograniczone w x\to+\infty , które otrzymuje się z ogólnego rozwiązania w C=0 .

Równanie Bernoulliego

Równanie różniczkowe Bernoulliego wygląda jak

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^n, gdzie n\ne0;1 (dla n=0 i n=1 to równanie jest liniowe).

Korzystanie z zamiany zmiennych z=\frac(1)(y^(n-1)) Równanie Bernoulliego sprowadza się do równania liniowego i całkuje jako równanie liniowe.

Przykład 7. Rozwiąż równanie Bernoulliego y"-xy=-xy^3.

Rozwiązanie. Podziel obie strony równania przez y^3:

\frac(y")(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x

Dokonywanie zmiennej zmiany \frac(1)(y^2)=z\Rightarrow-\frac(2y")(y^3)=z", Gdzie \frac(y")(y^3)=-\frac(z")(2). Po podstawieniu ostatnie równanie zamienia się w równanie liniowe

-\frac(z")(2)-xz=-x lub z"+2xz=2x, którego ogólne rozwiązanie to z=1+Ce^(-x^2).

Stąd otrzymujemy całkę ogólną tego równania

\frac(1)(y^2)=1+Ce^(-x^2) Lub y^2(1+Ce^(-x^2))=1.

Komentarz. Równanie Bernoulliego można również całkować metodą wariacji stałej, np. równaniem liniowym, i stosując podstawienie y(x)=u(x)v(x).

Przykład 8. Rozwiąż równanie Bernoulliego xy"+y=y^2\ln(x). .

Rozwiązanie. Zastosujmy metodę wariacji dowolnej stałej. Ogólne rozwiązanie odpowiedniego równania jednorodnego xy"+y=0 ma postać y=\frac(C)(x). Ogólnego rozwiązania równania szukamy w postaci y=\frac(C(x)) (x) , gdzie C(x) - nowa nieznana funkcja.Podstawiając pierwotne równanie, otrzymamy

C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2).

Aby znaleźć funkcję C(x), otrzymujemy równanie ze zmiennymi rozłącznymi, z którego oddzielając zmienne i całkując, znajdujemy

\frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\Rightarrow~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+\ln(x)).

A więc ogólne rozwiązanie pierwotnego równania y=\frac(1)(1+Cx+\ln(x)).

Niektóre nieliniowe równania pierwszego rzędu można sprowadzić do równań liniowych lub równań Bernoulliego, korzystając z pomyślnie znalezionej zmiany zmiennych.

Przykład 9. Rozwiązać równanie y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0.

Rozwiązanie. Zapiszmy to równanie w postaci y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0..

Dzielenie obu stron równania przez 2\cos^2\frac(y)(2), otrzymujemy \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\nazwaoperatora(tg)\frac(y)(2)+x=0.

Wymiana \operatorname(tg)\frac(y)(2)=z\Rightarrow\frac(dz)(dx)=\frac(y")(\cos^2\dfrac(y)(2)) redukuje to równanie do liniowego \frac(dz)(dx)+z=-x, którego ogólne rozwiązanie to z=1-x+Ce^(-x) .

Zastępując z jego wyrażeniem w postaci y, otrzymujemy całkę ogólną tego równania \operatorname(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x).

W niektórych równaniach pożądana funkcja y(x) może znajdować się pod znakiem całki. W takich przypadkach czasami można sprowadzić to równanie do równania różniczkowego poprzez różniczkowanie.

Przykład 10. Rozwiązać równanie x\int\limits_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0.

Rozwiązanie. Różniczkując obie strony tego równania względem x, otrzymujemy

\int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (X) Lub \int\limits_(0)^(x)y(t)\,dx=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x^2y(x).

Różniczkując ponownie względem x, otrzymamy liniowe równanie jednorodne względem y(x)\dwukropek

y(x)=xy(x)+x^2y"(x)+2xy(x) Lub x^2y"(x)+(3x-1)y(x)=0.

Oddzielamy zmienne i całkujemy y=\frac(C)(x^3)e^(-1/x). Rozwiązanie to, jak można łatwo sprawdzić, spełnia pierwotne równanie.

Liniowe równanie różniczkowe pierwszego rzędu to równanie liniowe względem nieznanej funkcji i jej pochodnej. To wygląda jak

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x),

gdzie p(x) i q(x) są funkcjami x, ciągłymi w obszarze, w którym równanie (1) wymaga całkowania.

Jeśli q(x)\equiv0 , to wywoływane jest równanie (1). liniowy jednorodny. Jest to równanie rozłączne i ma rozwiązanie ogólne

Y=C\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right)\!,

Można znaleźć ogólne rozwiązanie równania niejednorodnego metoda zmiany dowolnej stałej, co polega na tym, że rozwiązania równania (1) szuka się w postaci

Y=C(x)\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right), gdzie C(x) jest nową nieznaną funkcją x.

Przykład 1. Rozwiąż równanie y"+2xy=2xe^(-x^2) .

Rozwiązanie. Zastosujmy metodę stałej zmienności. Rozważmy jednorodne równanie y"+2xy=0 odpowiadające temu niejednorodnemu równaniu. Jest to równanie z rozdzielnymi zmiennymi. Jego ogólne rozwiązanie ma postać y=Ce^(-x^2) .

Szukamy ogólnego rozwiązania niejednorodnego równania w postaci y=C(x)e^(-x^2), gdzie C(x) jest nieznaną funkcją x. Podstawiając otrzymujemy C"(x)=2x, skąd C(x)=x^2+C. Zatem ogólnym rozwiązaniem niejednorodnego równania będzie y=(x^2+C)e^(-x^ 2) , gdzie C - stała całkowania.

Komentarz. Może się okazać, że równanie różniczkowe jest liniowe w funkcji x w funkcji y. Normalna postać takiego równania to

\frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y).

Przykład 2. Rozwiązać równanie \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+\sin2y).

Rozwiązanie. To równanie jest liniowe, jeśli rozważymy x jako funkcję y:

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y).

Stosujemy metodę wariacji dowolnej stałej. Najpierw rozwiązujemy odpowiednie równanie jednorodne

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0,

które jest równaniem z rozdzielnymi zmiennymi. Jego ogólne rozwiązanie ma postać x=Ce^(\sin(y)),~C=\text(stała).

Szukamy ogólnego rozwiązania równania w postaci x=C(y)e^(\sin(y)), gdzie C(y) jest nieznaną funkcją y. Podstawiając, otrzymujemy

C"(y)e^(\sin(y))=\sin2y Lub C"(y)=e^(-\sin(y))\sin2y.

Stąd mamy całkowanie przez części

\begin(aligned)C(y)&=\int(e^(-\sin(y))\sin2y)\,dy=2\int(e^(-\sin(y))\cos(y) \sin(y))\,dy=2\int\sin(y)\,d(-e^(-\sin(y)))=\\ &=-2\sin(y)\,e^ (-\sin(y))+2\int(e^(-\sin(y))\cos(y))\,dy=C-2(\sin(y)+1)e^(-\ sin(y)),\end(wyrównane)

Więc,

C(y)=-2e^(-\sin(y))(1+\sin(y))+C.

Podstawiając to równanie do x=C(y)e^(\sin(y)) otrzymujemy ogólne rozwiązanie pierwotnego równania, a co za tym idzie tego równania:

X=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y))

Oryginalne równanie można również zintegrować w następujący sposób. Wierzymy

Y=u(x)v(x),

gdzie u(x) i v(x) są nieznanymi funkcjami x, z których jedną, na przykład v(x), można wybrać dowolnie.

Podstawiając y=u(x)v(x) do , po transformacji otrzymujemy

Vu"+(pv+v")u=q(x).

Wyznaczając v(x) z warunku v"+pv=0, z vu"+(pv+v")u=q(x) znajdujemy funkcję u(x) i w konsekwencji rozwiązanie y=uv równanie \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x). Jako v(x) możemy przyjąć dowolne częste rozwiązanie równania v"+pv=0,~v\not\równoważnik0.

Przykład 3. Rozwiąż problem Cauchy'ego: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4.

Rozwiązanie. Poszukujemy ogólnego rozwiązania równania w postaci y=u(x)v(x) ; mamy y"=u"v+uv. Podstawiając wyrażenie y i y" do pierwotnego równania, otrzymamy

X(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1) Lub x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)

Funkcję v=v(x) znajdujemy z warunku x(x-1)v"+v=0. Biorąc dowolne rozwiązanie ostatniego równania, np. v=\frac(x)(x-1) i podstawiając go, otrzymujemy równanie u"=2x-1, z którego znajdujemy funkcję u(x)=x^2-x+C. Dlatego ogólne rozwiązanie równania x(x-1)y"+y=x^2(2x-1) będzie

Y=uv=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1), Lub y=\frac(Cx)(x-1)+x^2.

Korzystając z warunku początkowego y|_(x=2)=4, otrzymujemy równanie na znalezienie C 4=\frac(2C)(2-1)+2^2, skąd C=0 ; więc rozwiązaniem postawionego problemu Cauchy'ego będzie funkcja y=x^2.

Przykład 4. Wiadomo, że istnieje związek pomiędzy prądem i a siłą elektromotoryczną E w obwodzie mającym rezystancję R i indukcyjność własną L E=Ri+L\frac(di)(dt), gdzie R i L są stałymi. Jeśli uznamy E za funkcję czasu t, otrzymamy liniowe niejednorodne równanie dla natężenia prądu i:

\frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E(t))(L).

Znajdź aktualną siłę i(t) dla przypadku, gdy E=E_0=\text(stała) i i(0)=I_0 .

Rozwiązanie. Mamy \frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E_0)(L),~i(0)=I_0. Ogólne rozwiązanie tego równania ma postać i(t)=\frac(E_0)(R)+Ce^(-(R/L)t). Korzystając z warunku początkowego (13), otrzymujemy z C=I_0-\frac(E_0)(R), więc pożądane rozwiązanie będzie

I(t)=\frac(E_0)(R)+\left(I_0-\frac(E_0)(R)\right)\!e^(-(R/L)t).

To pokazuje, że w chwili t\to+\infty natężenie prądu i(t) dąży do stałej wartości \frac(E_0)(R) .

Przykład 5. Podana jest rodzina C_\alfa krzywych całkowych liniowego niejednorodnego równania y"+p(x)y=q(x).

Pokaż, że styczne w odpowiednich punktach krzywych C_\alpha określonych równaniem liniowym przecinają się w jednym punkcie (rys. 13).

Rozwiązanie. Rozważmy styczną do dowolnej krzywej C_\alpha w punkcie M(x,y) Równanie stycznej w punkcie M(x,y) ma postać

\eta-q(x)(\xi-x)=y, gdzie \xi,\eta są bieżącymi współrzędnymi punktu stycznego.

Z definicji w odpowiednich punktach x jest stałe, a y jest zmienne. Biorąc dowolne dwie styczne do prostych C_\alpha w odpowiednich punktach, dla współrzędnych punktu S ich przecięcia otrzymujemy

\xi=x+\frac(1)(p(x)), \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x)).

To pokazuje, że wszystkie styczne do krzywych C_\alpha w odpowiednich punktach (x jest stałe) przecinają się w tym samym punkcie

S\!\left(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\right).

Eliminując argument x w systemie, otrzymujemy równanie miejsca punktów S\dwukropek f(\xi,\eta)=0.

Przykład 6. Znajdź rozwiązanie równania y"-y=\cos(x)-\sin(x), spełniając warunek: y jest ograniczone do y\to+\infty .

Rozwiązanie. Ogólne rozwiązanie tego równania to y=Ce^x+\sin(x) . Każde rozwiązanie równania otrzymanego z rozwiązania ogólnego dla C\ne0 będzie nieograniczone, ponieważ dla x\to+\infty funkcja \sin(x) jest ograniczona i e^x\to+\infty . Wynika z tego, że to równanie ma jednoznaczne rozwiązanie y=\sin(x) , ograniczone w x\to+\infty , które otrzymuje się z ogólnego rozwiązania w C=0 .

Równanie Bernoulliego

Równanie różniczkowe Bernoulliego wygląda jak

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^n, gdzie n\ne0;1 (dla n=0 i n=1 to równanie jest liniowe).

Korzystanie z zamiany zmiennych z=\frac(1)(y^(n-1)) Równanie Bernoulliego sprowadza się do równania liniowego i całkuje jako równanie liniowe.

Przykład 7. Rozwiąż równanie Bernoulliego y"-xy=-xy^3.

Rozwiązanie. Podziel obie strony równania przez y^3:

\frac(y")(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x

Dokonywanie zmiennej zmiany \frac(1)(y^2)=z\Rightarrow-\frac(2y")(y^3)=z", Gdzie \frac(y")(y^3)=-\frac(z")(2). Po podstawieniu ostatnie równanie zamienia się w równanie liniowe

-\frac(z")(2)-xz=-x lub z"+2xz=2x, którego ogólne rozwiązanie to z=1+Ce^(-x^2).

Stąd otrzymujemy całkę ogólną tego równania

\frac(1)(y^2)=1+Ce^(-x^2) Lub y^2(1+Ce^(-x^2))=1.

Komentarz. Równanie Bernoulliego można również całkować metodą wariacji stałej, np. równaniem liniowym, i stosując podstawienie y(x)=u(x)v(x).

Przykład 8. Rozwiąż równanie Bernoulliego xy"+y=y^2\ln(x). .

Rozwiązanie. Zastosujmy metodę wariacji dowolnej stałej. Ogólne rozwiązanie odpowiedniego równania jednorodnego xy"+y=0 ma postać y=\frac(C)(x). Ogólnego rozwiązania równania szukamy w postaci y=\frac(C(x)) (x) , gdzie C(x) - nowa nieznana funkcja.Podstawiając pierwotne równanie, otrzymamy

C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2).

Aby znaleźć funkcję C(x), otrzymujemy równanie ze zmiennymi rozłącznymi, z którego oddzielając zmienne i całkując, znajdujemy

\frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\Rightarrow~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+\ln(x)).

A więc ogólne rozwiązanie pierwotnego równania y=\frac(1)(1+Cx+\ln(x)).

Niektóre nieliniowe równania pierwszego rzędu można sprowadzić do równań liniowych lub równań Bernoulliego, korzystając z pomyślnie znalezionej zmiany zmiennych.

Przykład 9. Rozwiązać równanie y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0.

Rozwiązanie. Zapiszmy to równanie w postaci y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0..

Dzielenie obu stron równania przez 2\cos^2\frac(y)(2), otrzymujemy \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\nazwaoperatora(tg)\frac(y)(2)+x=0.

Wymiana \operatorname(tg)\frac(y)(2)=z\Rightarrow\frac(dz)(dx)=\frac(y")(\cos^2\dfrac(y)(2)) redukuje to równanie do liniowego \frac(dz)(dx)+z=-x, którego ogólne rozwiązanie to z=1-x+Ce^(-x) .

Zastępując z jego wyrażeniem w postaci y, otrzymujemy całkę ogólną tego równania \operatorname(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x).

W niektórych równaniach pożądana funkcja y(x) może znajdować się pod znakiem całki. W takich przypadkach czasami można sprowadzić to równanie do równania różniczkowego poprzez różniczkowanie.

Przykład 10. Rozwiązać równanie x\int\limits_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0.

Rozwiązanie. Różniczkując obie strony tego równania względem x, otrzymujemy

\int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (X) lub Źródło informacji

Charakterystyka równania Bernoulliego

Definicja 1

Równanie różniczkowe pierwszego rzędu mające postać standardową $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)\cdot y^(n)$, gdzie $P\left(x\right )$ i $Q\left(x\right)$ są funkcjami ciągłymi, a $n$ to pewna liczba, zwana równaniem różniczkowym Jacoba Bernoulliego.

W tym przypadku na liczbę $n$ nakładane są ograniczenia:

• $n\ne 0$, ponieważ przy $n = 0$ równanie różniczkowe jest liniowo niejednorodne i w tym przypadku nie jest potrzebna żadna inna specjalna metoda rozwiązywania;
• $n\ne 1$, ponieważ jeśli mamy je jako $n$, równanie różniczkowe jest równaniem liniowym jednorodnym, którego metoda rozwiązania jest również znana.

Ponadto trywialne rozwiązanie równania różniczkowego Bernoulliego $y=0$ nie jest szczegółowo rozważane.

Równania różniczkowego matematyka Jacoba Bernoulliego nie należy mylić z prawem Bernoulliego, nazwanym na cześć wuja jego siostrzeńca, znanego jako Daniel Bernoulli.

Notatka 1

Daniel Bernoulli jest fizykiem, najsłynniejszym wzorem, jaki odkrył, jest opis związku pomiędzy prędkością przepływu płynu a ciśnieniem. Prawo Bernoulliego ma również zastosowanie do laminarnych przepływów gazu. Jest powszechnie stosowany w hydraulice i dynamice płynów.

Rozwiązanie równania Bernoulliego poprzez redukcję do niejednorodności liniowej

Główną metodą rozwiązywania równania różniczkowego Bernoulliego jest sprowadzanie go poprzez przekształcenia do równania niejednorodnego liniowo. Transformacje te są następujące:

1. Mnożymy równanie przez liczbę $y^(-n) $ i otrzymujemy $y^(-n) \cdot y"+P\left(x\right)\cdot y^(1-n) =Q\left (x\ prawo)$.
2. Stosujemy podstawienie $z=y^(1-n) $ i różniczkujemy tę równość jako złożoną funkcję potęgową; otrzymujemy $z"=\left(1-n\right)\cdot y^(-n) \cdot y"$, skąd $\frac(z")(1-n) =y^(-n) \ cdot y"$.
3. Podstawiamy wartości $y^(1-n) $ i $y^(-n) \cdot y"$ do tego równania różniczkowego i otrzymujemy $\frac(z")(1-n) +P\left (x\right )\cdot z=Q\left(x\right)$ lub $z"+\left(1-n\right)\cdot P\left(x\right)\cdot z=\left(1 -n\prawo )\cdot Q\lewo(x\prawo)$.

Otrzymane równanie różniczkowe jest liniowo niejednorodne względem funkcji $z$, którą rozwiązujemy w następujący sposób:

1. Obliczamy całkę $I_(1) =\int \left(1-n\right)\cdot P\left(x\right)\cdot dx $, konkretne rozwiązanie zapisujemy w postaci $v\left(x\ prawo)=e ^(-I_(1) ) $, wykonujemy przekształcenia upraszczające i wybieramy najprostszą niezerową opcję dla $v\left(x\right)$.
2. Obliczamy całkę $I_(2) =\int \frac(\left(1-n\right)\cdot Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx $, po czym zapisujemy wyrażenie w postaci $u\left(x,C\right)=I_(2) +C$.
3. Ogólne rozwiązanie liniowego niejednorodnego równania różniczkowego zapisujemy w postaci $z=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$.
4. Wracamy do funkcji $y$, zastępując $z$ $y^(1-n)$ i w razie potrzeby przeprowadzamy przekształcenia upraszczające.

Przykład:

Znajdź ogólne rozwiązanie równania różniczkowego $\frac(dy)(dx) +\frac(y)(x) =y^(2) \cdot \left(4-x^(2) \right)$. Zapisz konkretne rozwiązanie, które spełnia warunek początkowy $y=1$ dla $x=1$.

W tym przypadku mamy równanie różniczkowe Bernoulliego przedstawione w postaci standardowej.

W tym przypadku $n=2$, $P\left(x\right)=\frac(1)(x) $, $Q\left(x\right)=4-x^(2) $.

Przedstawiamy to w formie dotyczącej zamiany $z$:

$z"+\left(1-2\right)\cdot \frac(1)(x) \cdot z=\left(1-2\right)\cdot \left(4-x^(2) \right )$ lub $z"-\frac(1)(x) \cdot z=-\left(4-x^(2) \right)$.

Otrzymane równanie różniczkowe jest liniowo niejednorodne względem funkcji $z$, którą rozwiązujemy metodą opisaną powyżej.

Obliczamy całkę $I_(1) =\int \left(1-n\right)\cdot P\left(x\right)\cdot dx $.

Mamy $I_(1) =\int \left(1-2\right)\cdot \frac(1)(x) \cdot dx =-\ln \left|x\right|$.

Konkretne rozwiązanie zapisujemy w postaci $v\left(x\right)=e^(-I_(1) ) $ i wykonujemy przekształcenia upraszczające: $v\left(x\right)=e^(\ln \left |x\ dobrze|)$; $\ln v\left(x\right)=\ln \left|x\right|$; $v\lewo(x\prawo)=\lewo|x\prawo|$.

Dla $v\left(x\right)$ wybieramy najprostszą niezerową opcję: $v\left(x\right)=x$.

Obliczamy całkę $I_(2) =\int \frac(\left(1-n\right)\cdot Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx $.

Wyrażenie zapisujemy w postaci $u\left(x,C\right)=I_(2) +C$, czyli $u\left(x,C\right)=\frac(x^(2) )(2) -4\cdot \ln \left|x\right|+C$.

Na koniec zapisujemy ogólne rozwiązanie liniowego niejednorodnego równania różniczkowego dla funkcji $z$ w postaci $z=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$, czyli $z=\frac(x^ (3) )(2) -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C\cdot x$.

Teraz wracamy do funkcji $y$, zastępując $z$ $y^(1-n)$:

$y^(1-2) =\frac(x^(3) )(2) -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C\cdot x$ lub $\frac(1) (y) =\frac(x^(3) )(2) -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C\cdot x$.

To jest ogólne rozwiązanie tego równania różniczkowego Bernoulliego zapisane w formie ukrytej.

Aby znaleźć konkretne rozwiązanie, używamy warunku początkowego $y=1$ dla $x=1$:

Dlatego częściowe rozwiązanie ma postać: $\frac(1)(y) =\frac(x^(3) )(2) -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+\frac (x)(2) $.

Rozwiązywanie równania różniczkowego Bernoulliego metodą podstawieniową

Drugim możliwym rozwiązaniem równania Bernoulliego jest metoda podstawienia.

Przykład:

Znajdź ogólne rozwiązanie równania różniczkowego $y"+\frac(y)(x) =y^(2) \cdot \left(4-x^(2) \right)$ metodą podstawienia.

Stosujemy podstawienie $y=u\cdot v$.

Po różniczkowaniu otrzymujemy:

Funkcję $v\left(x\right)$ znajdujemy z równania $v"+\frac(v)(x) =0$; w tym celu przesuwamy drugi wyraz na prawą stronę.

Otrzymujemy:

$\frac(dv)(dx) =-\frac(v)(x) $;

oddziel zmienne $\frac(dv)(v) =-\frac(dx)(x) $;

całkuj $\ln \left|v\right|=-\ln \left|x\right|$, skąd $v=\frac(1)(x) $.

Funkcję $u\left(x\right)$ wyznaczamy z równania $u"\cdot \frac(1)(x) =u^(2) \cdot \frac(1)(x^(2) ) \cdot \ left(4-x^(2) \right)$, który uwzględnia $v=\frac(1)(x) $ i $v"+\frac(v)(x) =0$.

Po prostych przekształceniach otrzymujemy: $u"=u^(2) \cdot \frac(1)(x) \cdot \left(4-x^(2) \right)$.

Rozdzielamy zmienne: $\frac(du)(u^(2) ) =\frac(1)(x) \cdot \left(4-x^(2) \right)\cdot dx$.

Całkujmy: $-\frac(1)(u) =4\cdot \ln \left|x\right|-\frac(x^(2) )(2) +C$ lub $\frac(1)( u ) =\frac(x^(2) )(2) -4\cdot \ln \left|x\right|+C$.

Wróćmy do starej zmiennej. Bierzemy pod uwagę, że $y=u\cdot v$ lub $y=u\cdot \frac(1)(x) $, skąd $u=x\cdot y$.

Otrzymujemy ogólne rozwiązanie tego równania różniczkowego: $\frac(1)(y) =\frac(x^(3) )(2) -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C \cdot x $.