Jak podzielić odcinek za pomocą kompasu. Podręcznik edukacyjno-metodyczny „Techniki wykonywania konstrukcji geometrycznych” do wykonywania prac graficznych

Kontury wszystkich obrazów tworzą różne linie. Główne linie to linia prosta, okrąg i seria krzywych. Podczas rysowania konturów obrazów stosuje się konstrukcje geometryczne i koniugacje.

Studiując dyscyplinę ” geometria opisowa i grafiki inżynierskiej” studenci muszą poznać zasady i kolejność wykonywania konstrukcji geometrycznych i połączeń.

Pod tym względem Najlepszym sposobem nabycie umiejętności konstrukcyjnych to zadania polegające na rysowaniu konturów skomplikowanych części.

Zanim zaczniesz zadanie kontrolne, musisz nauczyć się techniki konstrukcje geometryczne i podłączenia zgodnie z instrukcją metodyczną.

1. Podział odcinków i kątów

1.1. Dzielenie odcinka na pół

Podziel za ten segment AB na pół.

Z końców odcinka AB, podobnie jak ze środków, rysujemy łuki okręgów o promieniu R, których rozmiar powinien być nieco większy niż połowa odcinka AB (ryc. 1). Łuki te przetną się w punktach M i N, znajdźmy punkt C, w którym przecinają się proste AB i MN. Punkt C podzieli odcinek AB na dwie równe części.

Notatka. Wszystkie niezbędne konstrukcje należy i można wykonywać wyłącznie przy pomocy kompasu i linijki (bez podziałów).

1.2. Dzielenie odcinka na n równych części

Dzielić dany segment przez n równe części.

Z końca odcinka – punktu A, narysujemy półprosty pomocniczy pod dowolnym kątem α (rys. 2 a) Na tej półprostej ułożymy 4 równe odcinki o dowolnej długości (rys. 2b). Koniec ostatniego, czwartego odcinka (punkt 4) łączymy z punktem B. Następnie ze wszystkich poprzednich punktów 1...3 rysujemy odcinki równoległe do odcinka B4 aż do przecięcia się z odcinkiem AB w punktach 1", 2 „, 3”. Uzyskane w ten sposób punkty podzieliły segment na równe cztery segmenty

1.3. Dzielenie kąta na pół

Dzielić określony kąt TY na pół.

Z wierzchołka kąta A dowolny promień narysuj łuk, aż przetnie się z bokami kąta w punktach B i C (ryc. 3 a). Następnie z punktów B i C rysujemy dwa łuki o promieniu więcej niż połowa odległość BC, do ich przecięcia w punkcie D (ryc. 3 b). Łącząc punkty A i D linią prostą uzyskujemy dwusieczną kąta, która dzieli dany kąt na pół (ryc. 3 c)

a) b) c)

2. Dzielenie koła na równe części i konstruowanie wielokątów foremnych

2.1. Dzielenie koła na trzy równe części

Od końca średnicy, na przykład punktu A (ryc. 4), narysuj łuk o promieniu R, równy promieniowi dane koło. Uzyskuje się pierwszy i drugi podział - punkty 1 i 2. Trzeci podział, punkt 3, znajduje się na przeciwległym końcu tej samej średnicy. Łącząc punkty 1,2,3 cięciwami, otrzymasz regularny trójkąt wpisany.

2.2. Dzielenie koła na sześć równych części

Z końców dowolnej średnicy, np. AB (rys. 5), opisano łuki o promieniu R. Punkty A, 1,3,B,4,2 dzielą okrąg na sześć równych części. Łącząc je cięciwami uzyskujemy regularny sześciokąt wpisany.

Notatka. Łuków pomocniczych nie należy rysować w całości, wystarczy wykonać nacięcia na okręgu.

2.3. Dzielenie koła na pięć równych części

Narysowano dwie wzajemnie prostopadłe średnice AB i CD (rys. 6). Promień OS w punkcie O 1 jest podzielony na pół.
Od punktu O1, począwszy od środka, narysuj łuk o promieniu O1A, aż przetnie się on ze średnicą CD w punkcie E.
Odcinek AE jest równy bokowi foremnego pięciokąta wpisanego, a odcinek OE jest równy bokowi foremnego dziesięciokąta wpisanego.
Przyjmując punkt A za środek, łuk o promieniu R1 = AE wyznacza na okręgu punkty 1 i 4. Z punktów 1 i 4, podobnie jak ze środków, łuki o tym samym promieniu R1 wyznaczają punkty 3 i 2. Punkty A, 1, 2, 3, 4 podziel okrąg na pięć równych części.

2.4. Dzielenie koła na siedem równych części

Na przykład z końca średnicy punkt A narysuj łuk o promieniu R równym promieniowi okręgu (ryc. 7). Cięciwa CD jest równa bokowi foremnego trójkąta wpisanego. Połowa cięciwy CD jest w wystarczającym przybliżeniu równa bokowi foremnego siedmiokąta wpisanego, tj. dzieli okrąg na siedem równych części.

Ryż. 7

Literatura

Bogolubow S.K. Grafika inżynierska: Podręcznik dla szkół średnich specjalistycznych. – wyd. 3, wyd. I dodatkowe - M.: Inżynieria Mechaniczna, 2006. – s. 392: il.
Kuprikov M.Yu. Grafika inżynierska: podręcznik dla szkół średnich - M.: Drop, 2010 - 495 s.: il.
Fedorenko V.A., Shoshin A.I. Podręcznik rysunku technicznego L.: Inżynieria mechaniczna. 1976. 336 s.

Porozumiewawczy; że trójkąty są równe po obu stronach i kąt między nimi, możemy za pomocą kompasu i linijki podzielić ten odcinek na dwie równe części.

Jeśli na przykład chcesz podzielić segment na pół A B(ryc. 69), a następnie umieść czubek kompasu w punktach A I B i Opisują wokół siebie, jakby w pobliżu środków, dwa przecinające się łuki o jednakowym promieniu (ryc. 70). Ich punkty przecięcia Z I D połączone linią prostą, która AB w połowie: JSC= OB.

Aby upewnić się, że segmenty JSC I OB muszą być równe, połącz kropki C I D z końcówkami A I W segment (ryc. 71). Otrzymasz dwa trójkąty ACD I BCD, których trzy boki są odpowiednio równe: AC= Słońce; OGŁOSZENIE = BD; PŁYTA CD - wspólny, tj. należy do obu trójkątów. Oznacza to całkowitą równość wskazane trójkąty, a zatem równość wszystkich kątów. Nawiasem mówiąc, kąty są równe ACD I BCD. Teraz porównujemy trójkąty ASO I VSO, widzimy, że mają stronę system operacyjny – ogólny, AC = CB i kąt między nimi ASO = ug. VSO. Trójkąty są równe wzdłuż dwóch boków i kąta między nimi; dlatego boki są równe JSC I OB, czyli punkt O jest środek AB.

Jak zbudować trójkąt z boku i dwóch kątów

Na koniec rozważmy problem, którego rozwiązanie prowadzi do zbudowania trójkąta z boku i dwóch kątów:

Po drugiej stronie rzeki (ryc. 72) widoczny jest kamień milowy A. Wymagane jest, bez przekraczania rzeki, sprawdzenie odległości od kamienia milowego W na tym brzegu.

Zróbmy to. Zmierzmy od punktu W dowolną odległość w linii prostej Słońce i na jego końcach W I Z Zmierzmy kąty 1 i 2 (ryc. 73). Jeśli teraz zmierzymy odległość w dogodnym miejscu DE, równy Słońce i zbuduj kąty na jego końcach A I B(rysunek 74), równe kątom 1 i 2, to w miejscu przecięcia ich boków otrzymujemy trzeci wierzchołek F trójkąt OBR.Łatwo sprawdzić, że trójkąt OBR równy trójkątowi ABC; rzeczywiście, jeśli wyobrazimy sobie, że trójkąt OBR nałożony na ABC więc ta strona DE pokrywało się z jego równym bokiem Słońce, następnie ug. A będzie pokrywać się z kątem 1, kątem B - z kątem 2 i bokiem DF pójdzie na stronę VA i bok E.F. od strony SA. Ponieważ dwie linie mogą przecinać się tylko w jednym punkcie, to wierzchołek F powinien pokrywać się z górą A. A więc odległość DF równe wymaganej odległości VA.

Jak widzimy, problem ma tylko jedno rozwiązanie. Ogólnie rzecz biorąc, używając boku i dwóch kątów przylegających do tego boku, można zbudować tylko jeden trójkąt; Nie może być innych trójkątów o tym samym boku i tych samych dwóch kątach sąsiadujących z nim w tych samych miejscach. Wszystkie trójkąty, które mają jeden identyczny bok i dwa ten sam kąt, sąsiadujące z nim w tych samych miejscach, można doprowadzić do całkowitego zbiegu okoliczności poprzez superpozycję. Oznacza to, że jest to znak, za pomocą którego można ustalić całkowitą równość trójkątów.

Wraz z wcześniej ustalonymi znakami równości trójkątów znamy teraz trzy następujące:

Trójkąty:

z trzech stron;

po obu stronach i w narożniku pomiędzy nimi;

z boku i z dwóch stron.

Dla zachowania zwięzłości te trzy przypadki równości trójkątów będziemy dalej oznaczać w następujący sposób:

z trzech stron: SSS;

z dwóch stron i kąt między nimi: SUS;

wzdłuż boku i w dwóch rogach: USU.

Aplikacje

14. Aby poznać odległość do punktu A po drugiej stronie rzeki od punktu W na tym brzegu (ryc. 5) zmierz jakąś linię w linii prostej słońce, wtedy w punkcie W skonstruuj kąt równy ABC, z drugiej strony Słońce, i w punkcie Z- w ten sam sposób kąt równy ŚREDNICA Odległość punktowa D przecięcie boków obu stron kątów do punktu W równe wymaganej odległości AB. Dlaczego?

Rozwiązanie: Trójkąty ABC I BDC równe po jednej stronie ( Słońce) i dwa kąty (ang. DCB= ug. ŚREDNICA; ug. DBC= ug. ABC.) Stąd, AB= WD, jak leżące boki równe trójkąty pod równymi kątami.

Równoległoboki

Od trójkątów przechodzimy do czworokątów, czyli figur ograniczonych 4 bokami. Przykładem czworoboku jest kwadrat - czworokąt, którego wszystkie boki są równe i wszystkie kąty są proste (ryc. 76). Innym rodzajem czworokąta, również często spotykanym, jest prostokąt:

Tak nazywa się dowolny czworokąt z 4 kątami prostymi (ryc. 77 i 78). Kwadrat jest również prostokątem, ale z równe strony.

Osobliwością prostokąta (i kwadratu) jest to, że obie pary jego przeciwnych boków są równoległe. W prostokącie ABCD, na przykład (ryc. 78), AB równoległy DC,A OGŁOSZENIE równoległy Słońce. Wynika to z faktu, że jedno i drugie przeciwne strony prostopadłe do tej samej prostej i wiemy, że dwie prostopadłe do jednej prostej są do siebie równoległe (§ 16).

Inną właściwością każdego prostokąta jest to, że jego przeciwne boki są sobie równe. Można to sprawdzić podłączając przeciwne wierzchołki prostokąt z linią prostą, czyli narysuj w nim przekątną. Złączony A Z Z(Rysunek 79) otrzymujemy dwa trójkąty ABC I ADC.Łatwo pokazać, że te trójkąty są sobie równe: bok klimatyzacja –łącznie, ug. 1 = kąt 2, ponieważ są to kąty poprzeczne z równoległymi AB I płyta CD z tego samego powodu kąty 3 i 4 są równe.Po tej samej stronie i dwóch kątach, trójkąty ABC I ACD równy; stąd ta strona AB= bok DC, i bok OGŁOSZENIE= bok Słońce.

Takie czworokąty, które podobnie jak prostokąty, przeciwne strony Równoległości nazywane są równoległobokami. Pieprzyć to. 80 pokazuje przykład równoległoboku: AB równoległy DC, A OGŁOSZENIE równoległy PNE. Cholera.80

Prostokąt to jeden z równoległoboków, czyli taki, w którym wszystkie kąty są proste. Łatwo sprawdzić, że każdy równoległobok ma następujące właściwości:

KĄTY PRZECIWNE RÓWNOLEGŁE GRAMATYKA RÓWNA; Przeciwne strony

P a r l e l o g r a m a v y s.

Aby to sprawdzić, narysujmy równoległobok ABCD(ryc. 81) prosto ВD(przekątna) i porównaj trójkąty ABD I VDC. Te trójkąty są równe (przypadek USU): BD – wspólna strona; ug. 1 = kąt 2, róg 3 = kąt 4 (dlaczego?). Z tego wynikają wymienione wcześniej właściwości.

Równoległobok mający cztery równe boki nazywa się rombem.

Powtórz pytania

Jaki kształt nazywa się kwadratem? Prostokąt? – Co nazywa się przekątną? – Jaką figurę nazywa się równoległobokiem? Diament? – Wskaż właściwości kątów i boków dowolnego równoległoboku. – Który prostokąt nazywa się kwadratem? – Który równoległobok nazywa się prostokątem? – Jakie są podobieństwa i różnice między kwadratem a rombem.

Aplikacje

15. Kwadrat rysuje się w ten sposób: odkładając jeden bok, narysuj do niego prostopadłe na końcach, nałóż na nie te same długości i połącz końce linią prostą (Rysunek 82). Jak możesz być pewien, że czwarty bok narysowanego czworokąta jest równy pozostałym trzem i że wszystkie jego kąty są kątami prostymi?

Rozwiązanie Jeśli formacja została przeprowadzona w taki sposób, że z boku AB w punktach A I W narysowano piony, na których ułożono: AC = AB I D= AB, to pozostaje udowodnić, że kąty Z I D prosto i co płyta CD równa się AB. Aby to zrobić, narysujmy (ryc. 83) przekątną OGŁOSZENIE. Uch. CHAM = ADB jako odpowiadające (dla których równoległe?); AC= D.B., a zatem trójkąty CHAM I ZŁY równy (na podstawie ZUS). Z tego wnioskujemy płyta CD = AB i ug. C = prosty kąt W. Jak udowodnić, że czwarty kąt CDB czy to też jest proste?

16. Jak narysować prostokąt? Dlaczego narysowaną figurę można nazwać prostokątem? (Pokaż, że wszystkie kąty narysowanej figury są proste).

Rozwiązanie jest podobne do rozwiązania poprzedniego problemu.

17. Udowodnij, że obie przekątne prostokąta są równe.

Rozwiązanie (ryc. 84) wynika z równości trójkątów ABC I ABD(oparte na ZUS).

18. Udowodnij, że przekątne równoległoboku przecinają się na pół.

Rozwiązanie: Porównywanie (ryc. 85) trójkątów AVO I DCO, upewniamy się, że są one równe (na podstawie USU). Stąd JSC= system operacyjny, 0 V= OD.

19. Długość wspólnej prostopadłej między dwiema równoległymi liniami nazywana jest odległością między nimi. Udowodnić, że odległość między równoleżnikami jest wszędzie taka sama.

Wskazanie: Jaką figurę tworzymy? równoległe linie z dwiema prostopadłymi pomiędzy nimi?

IV. POMIAR POWIERZCHNI

Miary kwadratowe. Paleta

Na liczbach często konieczne jest zmierzenie nie tylko długości linii i kątów między nimi, ale także wielkości obszaru, który pokrywają - czyli ich powierzchni. W jakich jednostkach mierzy się powierzchnię? Za miarę długości przyjmuje się pewną długość (metr, centymetr), a za miarę kątów przyjmuje się pewien kąt (1°); jako miarę powierzchni przyjmuje się pewien obszar, a mianowicie obszar kwadratu o boku 1 metra, 1 cm itp. Taki kwadrat nazywa się „metrem kwadratowym”, „ centymetr kwadratowy"itd. Zmierzyć powierzchnię oznacza dowiedzieć się, ile jest w niej kwadratowych jednostek miary.

Jeśli mierzona powierzchnia nie jest duża (mieści się na kartce papieru), można ją zmierzyć w następujący sposób. Przezroczysty papier jest cięty na centymetrowe kwadraty i umieszczany na mierzonej figurze. Wtedy nie jest trudno bezpośrednio obliczyć, ile centymetry kwadratowe zawarte w granicach figury. W takim przypadku niekompletne kwadraty w pobliżu granicy są brane (na oko) za pół kwadratu, ćwierć kwadratu itp. Lub mentalnie łączą je kilka na raz w całe kwadraty. Tak udekorowane przezroczysty papier zwana paletą. Metodę tę często stosuje się do pomiaru powierzchni nieregularnych obszarów na planie.

Ale nie zawsze jest możliwe i wygodne nałożenie siatki kwadratów na zmierzoną figurę. Nie jest możliwe na przykład zmierzenie powierzchni podłogi lub działka. W takich przypadkach zamiast pomiar bezpośredni powierzchni, uciekają się do nieprzyjemnej rzeczy, która polega na mierzeniu jedynie długości niektórych figur liniowych i wykonywaniu obliczeń na otrzymanych liczbach pewne działania. Później pokażemy, jak to się robi.

Powtórz pytania

Jakie miary stosuje się do określenia obszaru figur? – Co to jest paleta i jak się jej używa?

Pole prostokąta

Załóżmy, że musisz określić obszar jakiegoś prostokąta, na przykład ABDC(rysunek 86). Mierzone za pomocą jednostki liniowej, np. metr, długość tej sekcji. Załóżmy, że metr jest ułożony 5 razy na długość. Podzielmy obszar na poprzeczne paski o szerokości jednego metra, jak pokazano na ryc. 87. Takich pasków będzie oczywiście 5. Następnie zmierzmy szerokość obszaru za pomocą metra; niech będzie równe 3 metry. Podzielimy obszar na podłużne paski o szerokości 1 metra, jak pokazano na ryc. 88; będzie ich oczywiście 3. Każdy z pięciu poprzecznych pasów zostanie pocięty na 3 metry kwadratowe, a cała działka zostanie podzielona na 5 x 3 = 15 kwadratów o boku 1 metra: dowiedzieliśmy się, że działka zawiera 15 metrów kwadratowych. metrów. Ale tę samą liczbę 15 moglibyśmy otrzymać bez wykreślania obszaru, ale tylko poprzez pomnożenie jego długości przez szerokość. A więc, żeby dowiedzieć się, ile metry kwadratowe w prostokącie musisz zmierzyć jego długość, szerokość i pomnożyć obie liczby.

W rozpatrywanym przypadku jednostka długości – metr – została umieszczona po obu stronach prostokąta całkowitą liczbę razy. Szczegółowe podręczniki matematyki dowodzą, że ustalona obecnie reguła jest prawdziwa również wtedy, gdy boki prostokąta nie zawierają całkowitej liczby jednostek długości. We wszystkich przypadkach:

Powierzchnia prostokątna

iloczyn długości i szerokości,

lub, jak mówią, w geometrii – jej

„podstawa” na „wysokość”.

Jeżeli długość podstawy prostokąta jest oznaczona literą A, a długość wysokości to litera B, potem jego obszar S równy

S = a? B,

lub po prostu S = ok, ponieważ znak mnożenia nie jest umieszczony pomiędzy literami.

Łatwo zrozumieć, że aby określić pole kwadratu, należy pomnożyć długość jego boku, to znaczy „podnieść go o kwadrat”. Innymi słowy:

Pole kwadratu jest równe bokowi kwadratu. Jeżeli długość boku kwadratu A, potem jego obszar S równy

S= A? A = A 2.

Wiedząc o tym, możliwe jest ustalenie relacji między różnymi jednostki kwadratowe. Na przykład metr kwadratowy zawiera decymetry kwadratowe 10 x 10, czyli 100, i centymetry kwadratowe 100 x 100, czyli 10 000, ponieważ centymetr liniowy jest umieszczony z boku decymetr kwadratowy 10 razy, a metr kwadratowy to 100 razy.

Do pomiaru działki stosuje się specjalną miarę - hektar zawierający 10 000 metrów kwadratowych. Kwadratowa działka o boku 100 metrów ma powierzchnię 1 hektara; prostokątna działka o podstawie 200 metrów i wysokości 150 metrów ma powierzchnię 200 x 150, czyli 30 000 metrów kwadratowych. m lub 3 hektary. Pomiarom poddawane są duże obszary, takie jak powiaty i powiaty

KILOMETRÓW KWADRATOWYCH.

Skrócone oznaczenie miar kwadratowych to:

kwadrat metr………………………………. kw. m lub m2

kwadrat decymetr…………………………. kw. dm lub dm2

kwadrat centymetr ………………………… kwadratowy cm lub cm2

kwadrat milimetr……………………….. kwadratowy mm lub mm2

hektar………………………………….. ha

Powtórz pytania

Jak oblicza się pole prostokąta? Kwadrat? – Ile mkw. cm na kwadrat M? Ile mkw. mm w kw. M? – Co to jest hektar? – Ile hektarów ma kwadrat? km? Do czego służy skrót miary kwadratowe?

Aplikacje

20. Wymagane jest pomalowanie wnętrza pomieszczenia pokazanego na rysunku. 6. Wymiary podano w metrach. Ile materiałów i siła robocza, jeśli wiadomo, że do pomalowania jednego kwadratu. metry podłóg drewnianych z szpachlą i gałęziami na uprzednio pomalowanej powierzchni, dla dwóch osób (zgodnie z Pilnym Regulaminem):

Malyarov………………………………….. 0,044

Oleje suszące, kilogramy………………….… 0,18

Jasna ochra, kg…………………………… 0;099

Szpachlówki, kg…………………………………0,00225

Pumeks, kg………………………………….. 0,0009.

Rozwiązanie: Czy powierzchnia podłogi wynosi 8? 12 = 96 m2 M.

Zużycie materiałów i robocizny jest następujące

Malyarov...... 0,044? 96 = 4,2

Oleje suszące......0,18? 96 = 17 kg

Ochra...... 0,099? 96 – 9,9 kg

Szpachlówki....... 0,00225? 96 = 0,22 kg

Pumeks.........0,0009? 96 = 0,09 kg.

21. Złóż oświadczenie o zużyciu robocizny i materiałów do tapetowania poprzedniego pokoju. zadania. Aby pokryć ściany prostą tapetą z krawędziami, wymagane jest (zgodnie z lokalnymi przepisami) na m2. metr:

Malarze lub tapicerzy……………………… 0,044

Tapety (szerokość 44 cm) sztuki………………… 0,264

Krawężnik (wg obliczeń)

Skrobia w gramach……………………………. 90.

Rozwiązanie – według próbki określonej w poprzednie zadanie. Zauważamy to tylko przy obliczaniu wymagana ilość W praktyce otwory ścienne nie są odejmowane od powierzchni tapety (ponieważ podczas montażu figurek w sąsiednich panelach część tapety zostaje utracona).

Pole trójkąta

Zastanówmy się najpierw, jak obliczane jest pole trójkąta prostokątnego. Załóżmy, że musimy określić obszar trójkąta ABC(ryc. 89), w którym kąt W- prosty. Poprowadzimy Cię przez szczyty A I Z linie proste równoległe do przeciwległych boków. Otrzymujemy (ryc. 90) prostokąt ABCD(dlaczego ta figura jest prostokątem?), która jest podzielona przez przekątną AC na dwa równe trójkąty (dlaczego?). Pole tego prostokąta wynosi aha; pole naszego trójkąta to połowa pola prostokąta, czyli równa 1/2 aha. Zatem obszar każdego trójkąt prostokątny równy połowie iloczynu jego boków tworzących kąt prosty.

Załóżmy, że teraz musisz określić obszar ukośnego (tj. Nie prostokątnego) trójkąta - na przykład. ABC(rysunek 91). Rysujemy prostopadłą przez jeden z jej wierzchołków na przeciwną stronę; taka prostopadła nazywana jest wysokością tego trójkąta, a bok, do którego jest narysowana, jest podstawą trójkąta. Oznaczmy wysokość przez H, a segmenty, na które dzieli podstawę, to P I Q. Pole trójkąta prostokątnego ABD, jak już wiemy, wynosi 1/2 tel; kwadrat VDC = 1/2 qh. Kwadrat S trójkąt ABC równa sumie tych obszarów: S= 1/2 tel + 1/2 qh = 1/2 H (R+ Q). Ale R+ q = a; stąd S = 1/2 ach.

Tego rozumowania nie można bezpośrednio zastosować do trójkąta z kąt rozwarty(ryc. 92), ponieważ prostopadła płyta CD nie styka się z podstawą AB i jego kontynuacja. W tym przypadku musimy myśleć inaczej. Oznaczmy segment OGŁOSZENIE Poprzez p, BD- Poprzez, Q, więc podstawa A trójkąt jest równy P – Q. Pole naszego trójkąta ABC jest równa różnicy pól dwóch trójkątów ADC – BDC = 1/2 tel – 1/2 qh = 1/2 H (P – Q) = 1/2 ach.

Zatem we wszystkich przypadkach powierzchnia trójkąta jest równa połowie iloczynu dowolnej z jego podstaw i odpowiedniej wysokości.

Wynika z tego, że trójkąty o równych podstawach i wysokościach mają równe pola lub, jak mówią,

równa się.

Liczby równej wielkości to zazwyczaj te, które je mają równe obszary, przynajmniej same liczby nie były równe (to znaczy nie pokrywały się po nałożeniu).

Powtórz pytania

Jak nazywa się wysokość trójkąta? Podstawa trójkąta? – Ile wysokości można narysować w jednym trójkącie? – Narysuj trójkąt o kącie rozwartym i narysuj w nim wszystkie wysokości. – Jak oblicza się pole trójkąta? Jak wyrazić tę regułę we wzorze? – Jakie figury nazywa się równą wielkością?

Aplikacje

22. Ogród warzywny ma kształt trójkąta o podstawie 13,4 m i wysokości 37,2 m... Ile nasion (wagowo) potrzeba do posadzenia w nim kapusty, jeśli na metr kwadratowy? m to 0,5 grama nasion?

Rozwiązanie: Czy powierzchnia ogrodu warzywnego wynosi 13,4? 37,2 = 498 m2 M.

Będziesz potrzebować 250 g nasion.

23. Równoległobok jest podzielony przekątnymi na 4 trójkątne części. Który ma ich najwięcej Duża powierzchnia?

Rozwiązanie Wszystkie 4 trójkąty są równej wielkości, ponieważ mają równe podstawy i wysokości.

Obszar równoległoboku

Zasadę obliczania powierzchni równoległoboku ustala się bardzo prosto, dzieląc ją przez przekątną na dwa trójkąty. Na przykład obszar równoległoboku ABCD(ryc. 93) jest równy dwukrotności powierzchni każdego z dwóch równych trójkątów, na które jest podzielony przez przekątną AC. Zaznaczanie podstawy trójkąta ADC Poprzez A i wysokość H, otrzymujemy obszar S równoległobok

Prostopadły H nazywa się „wysokością równoległoboku” i bokiem A, do którego jest narysowany - „podstawa równoległoboku”. Dlatego obecnie ustaloną regułę można sformułować w następujący sposób:

Pole równoległoboku jest równe iloczynowi dowolnej nowej wysokości.

Powtórz pytania

Jaka jest podstawa i wysokość równoległoboku? Jak oblicza się pole równoległoboku? – Wyraź tę regułę we wzorze. – Ile razy pole równoległoboku jest większe od pola trójkąta o tej samej podstawie i wysokości? - Na równe wysokości i podstawy, która figura ma największe pole: prostokąt czy równoległobok?

Aplikacja

24. Kwadrat o boku 12,4 cm ma wielkość równą równoległobokowi o wysokości 8,8 cm. Znajdź podstawę równoległoboku.

Rozwiązanie Pole tego kwadratu, a zatem równoległobok, wynosi 12,42 = 154 metry kwadratowe. cm Wymagana podstawa to 154: 8,8 = 18 cm.

Powierzchnia trapezu

Oprócz równoległoboków rozważmy inny rodzaj czworokątów - mianowicie te, które mają tylko jedną parę równoległych boków (ryc. 94). Takie figury nazywane są trapezami. Boki równoległe trapezoidy nazywane są jego podstawami, a nierównoległe - bokami.

Gówno. 94 Cholera. 95

Ustalmy regułę obliczania pola trapezu. Załóżmy, że musimy obliczyć pole trapezu ABCD(ryc. 95), którego długość podstaw A I B. Narysujmy przekątną klimatyzacja, który przecina trapez na dwa trójkąty ACD I ABC. Wiemy to

obszar ACD = 1/2 ach

obszar ABC = 1/2 bh.

obszar ABCD= 1/2 ach+ 1/2 bh= 1/2 (A+ B) H.

Od odległości H między podstawami trapezu nazywa się jego wysokość, wówczas zasadę obliczania pola trapezu można określić w następujący sposób:

Pole trapezu jest równe połowie sumy pomnożonej przez iw tobie przez około t w.

Powtórz pytania

Jaki kształt nazywa się trapezem? Jakie są podstawy trapezu, jego boki i wysokość? – Jak oblicza się pole trapezu?

Aplikacje

25. Odcinek ulicy ma kształt trapezu o podstawach 180 mi 170 m i wysokości 8,5 m. Ile drewnianych klocków potrzeba do jego ułożenia, jeśli na m2? m jest 48 warcabów?

Rozwiązanie Powierzchnia działki wynosi 8,5 H = (180 + 170)/ 2 = 1490 m2. m. Liczba warcabów = 72 000.

26. Połać dachowa ma kształt trapezu, którego podstawy mają długość 23,6 m i 19,8 m, a wysokość 8,2 m. Ile materiału i robocizny będzie potrzebne do jego pokrycia, jeśli na m2? wymagane:

Blachy żelazne...... 1.23

Gwoździe dekarskie kg.... 0,032

Oleje suszące kg.......0,036

Dekarze...... 0,45.

Rozwiązanie: Czy powierzchnia nachylenia jest równa 8,2? (23,6 + 19,8)/ 2 = 178 m2 m. Pozostaje pomnożyć wszystkie liczby na tablecie przez 178.

Porozumiewawczy; że trójkąty są równe po obu stronach i kąt między nimi, możemy za pomocą kompasu i linijki podzielić ten odcinek na dwie równe części.

Aby upewnić się, że segmenty JSC I OB muszą być równe, połącz kropki C I D z końcówkami A I W segment (ryc. 71). Otrzymasz dwa trójkąty ACD I BCD, których trzy boki są odpowiednio równe: AC= Słońce; OGŁOSZENIE= BD; PŁYTA CD - wspólny, tj. należy do obu trójkątów. Oznacza to całkowitą równość tych trójkątów, a zatem równość wszystkich kątów. Nawiasem mówiąc, kąty są równe ACD I BCD. Teraz porównujemy trójkąty ASO I VSO, widzimy, że mają stronę system operacyjny – ogólny, AC= CB i kąt między nimi ASO = ug. VSO. Trójkąty są równe wzdłuż dwóch boków i kąta między nimi; dlatego boki są równe JSC I OB, czyli punkt O jest środek AB.

§ 22. Jak zbudować trójkąt z boku i dwóch kątów

Na koniec rozważmy problem, którego rozwiązanie prowadzi do zbudowania trójkąta z boku i dwóch kątów:

Po drugiej stronie rzeki (ryc. 72) widoczny jest kamień milowy A. Wymagane jest, bez przekraczania rzeki, sprawdzenie odległości od kamienia milowego W na tym brzegu.

Zróbmy to. Zmierzmy od punktu W dowolną odległość w linii prostej Słońce i na jego końcach W I Z Zmierzmy kąty 1 i 2 (ryc. 73). Jeśli teraz zmierzymy odległość w dogodnym miejscu DE, równy Słońce i zbuduj kąty na jego końcach A I B(Rys. 74), równy kątom 1 i 2, wówczas w miejscu przecięcia ich boków otrzymujemy trzeci wierzchołek F trójkąt OBR.Łatwo sprawdzić, że trójkąt OBR równy trójkątowi ABC; rzeczywiście, jeśli wyobrazimy sobie, że trójkąt OBR nałożony na ABC więc ta strona DE pokrywało się z jego równym bokiem Słońce, następnie ug. A będzie pokrywać się z kątem 1, kątem B - z kątem 2 i bokiem DF pójdzie na stronę VA i bok E.F. od strony SA. Ponieważ dwie linie mogą przecinać się tylko w jednym punkcie, to wierzchołek F powinien pokrywać się z górą A. A więc odległość DF równe wymaganej odległości VA.

Jak widzimy, problem ma tylko jedno rozwiązanie. Ogólnie rzecz biorąc, używając boku i dwóch kątów przylegających do tego boku, można zbudować tylko jeden trójkąt; Nie może być innych trójkątów o tym samym boku i tych samych dwóch kątach sąsiadujących z nim w tych samych miejscach. Wszystkie trójkąty, które mają jeden identyczny bok i dwa identyczne kąty sąsiadujące z nim w tych samych miejscach, można doprowadzić do całkowitego zbieżności poprzez superpozycję. Oznacza to, że jest to znak, za pomocą którego można ustalić całkowitą równość trójkątów.

Wraz z wcześniej ustalonymi znakami równości trójkątów znamy teraz trzy następujące:

Trójkąty:

z trzech stron;

po obu stronach i w narożniku pomiędzy nimi;

z boku i z dwóch stron.

Dla zachowania zwięzłości te trzy przypadki równości trójkątów będziemy dalej oznaczać w następujący sposób:

z trzech stron: SSS;

z dwóch stron i kąt między nimi: SUS;

wzdłuż boku i w dwóch rogach: USU.

Aplikacje

Rozwiązanie: Trójkąty ABC I BDC równe po jednej stronie ( Słońce) i dwa kąty (ang. DCB= ug. ŚREDNICA; ug. DBC= ug. ABC.) Stąd, AB= WD, jako boki leżące w równych trójkątach pod równymi kątami.

§ 23. Równoległoboki

Tak nazywa się dowolny czworokąt z 4 kątami prostymi (ryc. 77 i 78). Kwadrat to także prostokąt, ale o równych bokach.

Osobliwością prostokąta (i kwadratu) jest to, że obie pary jego przeciwnych boków są równoległe. W prostokącie ABCD, na przykład (ryc. 78), AB równoległy DC,A OGŁOSZENIE równoległy Słońce. Wynika to z faktu, że oba przeciwległe boki są prostopadłe do tej samej prostej i wiemy, że dwie prostopadłe do jednej prostej są do siebie równoległe (§ 16).

Inną właściwością każdego prostokąta jest to, że jego przeciwne boki są sobie równe. Możesz to sprawdzić, łącząc przeciwne wierzchołki prostokąta linią prostą, to znaczy narysuj w nim przekątną. Złączony A Z Z(Rysunek 79) otrzymujemy dwa trójkąty ABC I ADC.Łatwo pokazać, że te trójkąty są sobie równe: bok klimatyzacja –łącznie, ug. 1 = kąt 2, ponieważ są to kąty poprzeczne z równoległymi AB I płyta CD z tego samego powodu kąty 3 i 4 są równe.Po tej samej stronie i dwóch kątach, trójkąty ABC I ACD równy; stąd ta strona AB= bok DC, i bok OGŁOSZENIE= bok Słońce.

Takie czworokąty, w których, podobnie jak prostokąty, przeciwne boki są równoległe, nazywane są równoległobokami. Pieprzyć to. 80 pokazuje przykład równoległoboku: AB równoległy DC, A OGŁOSZENIE równoległy PNE. Cholera.80

Prostokąt to jeden z równoległoboków, czyli taki, w którym wszystkie kąty są proste. Łatwo sprawdzić, że każdy równoległobok ma następujące właściwości:

KĄTY PRZECIWNE RÓWNOLEGŁE GRAMATYKA RÓWNA; Przeciwne strony

P a r l e l o g r a m a v y s.

Aby to sprawdzić, narysujmy równoległobok ABCD(ryc. 81) prosto ВD(przekątna) i porównaj trójkąty ABD I VDC. Te trójkąty są równe (przypadek USU): BD– strona wspólna; ug. 1 = kąt 2, róg 3 = kąt 4 (dlaczego?). Z tego wynikają wymienione wcześniej właściwości.

Równoległobok mający cztery równe boki nazywa się rombem.

Powtórz pytania

Znajomość podstawowych konstrukcji geometrycznych pozwala poprawnie i szybko rysować, dobierając dla każdego przypadku najbardziej racjonalne techniki.

2.1. Dzielenie odcinka na równe części

Możesz podzielić segment na pół za pomocą kompasu, konstruując środkową prostopadłą (ryc. 18, a). Aby to zrobić, weź promień równy ponad połowie długości odcinka i narysuj okrągłe łuki od jego końców po obu stronach, aż się przetną. Rysujemy środkową prostopadle przez punkty przecięcia łuków.

Aby podzielić na dowolną liczbę równych części, używamy twierdzenia Fa

rusztowanie: jeśli po jednej stronie kąta ułożone są równe segmenty, a przez ich końce poprowadzono równoległe linie proste, wówczas równe segmenty zostaną ułożone również po drugiej stronie kąta (ryc. 18, b). W ramach pro-

narysuj promień pomocniczy AC pod dowolnym kątem do odcinka AB, na który odkładamy odcinek o dowolnej długości tyle razy, ile części należy podzielić ten odcinek. Łączymy koniec ostatniego odcinka z punktem B i rysujemy proste linie równoległe do BC przez końce pozostałych odcinków.

2.2. Dzielenie koła na dowolna liczba równe części

Do konstruowania wielokątów foremnych niezbędna jest umiejętność dzielenia koła na równe części. Rozważmy najpierw konkretne techniki dzielenia koła.

Podział na trzy części (ryc. 19)

Umieszczamy nogę kompasu na jednym z końców wzajemnie prostopadłych średnic okręgu. Używając rozwiązania kompasu równego promieniowi koła, wykonujemy na nim nacięcia po obu stronach tego końca średnicy. Otrzymujemy dwa wierzchołki zwykły trójkąt. Trzeci wierzchołek jest przeciwległym końcem średnicy.

Podział na cztery części (ryc. 20)

Dwie wzajemnie prostopadłe średnice dzielą okrąg na cztery równe części. Jeżeli przez środek okręgu poprowadzono linie proste pod kątem 45ᵒ do osi, to one również podzielą okrąg na cztery równe części. Boki wpisanego kwadratu będą równoległe do osi okręgu. Razem te dwa kwadraty podzieliły okrąg na osiem równych części.

Podzielony na pięć części (ryc. 21)

● 1 ). Używając otworu kompasu równego promieniowi, wykonujemy nacięcie na okręgu. Dostajemy punkt 2.

● Z punktu 2 obniżamy prostopadłą do średnicy, od której końca wykonano karb. Dostajemy punkt 3.

● Umieszczamy nogę kompasu w punkcie 3. Weźmy promień równa odległości od punktu 3 do końca średnicy pionowej (punkt 4) i narysuj łuk, aż przetnie się ze średnicą poziomą. Dostajemy punkt 5.

● Połącz punkty 4 i 5. Akord 4–5 będzie stanowił 1/5 okręgu.

● Długość cięciwy mierzymy za pomocą kompasu 4–5 i zacznij odkładać go od jednego z końców średnicy (w zależności od tego, jak pięciokąt powinien być zorientowany względem osi). Średnica, od końca której zaczynamy układać odcinek, będzie osią symetrii figury.

Zaleca się ułożenie kawałków po obu stronach jednocześnie. Pozostały segment powinien być prostopadle do osi symetria. Jeśli jego długość nie jest równa długości pozostałych odcinków, oznacza to, że konstrukcja została wykonana niedokładnie lub źle zmierzono pas 4–5. Należy dostosować długość odcinka i ponownie powtórzyć dzielenie koła.

Podział na sześć części (ryc. 22)

Używając otworu kompasu równego promieniowi koła, wykonujemy od nich nacięcia z obu końców o tej samej średnicy w obu kierunkach. Otrzymujemy cztery wierzchołki zwykły sześciokąt. Pozostałe dwa wierzchołki to końce średnicy, z której wykonane są szeryfy.

Podział na siedem części (ryc. 23)

● Umieszczamy nogę kompasu na jednym z końców średnicy (pkt 1 ). Używając rozwiązania kompasu równego promieniowi okręgu, wykonujemy na nim wycięcie. Dostajemy punkt 2.

● Z punktu 2 obniżamy prostopadłą do średnicy, od której końca wykonano karb. Dostajemy punkt 3. Odcinek 2–3 stanowi 1/7 okręgu.

● Długość odcinka mierzymy suwmiarką 2–3 i kolejno odłóż go na bok od obu końców średnicy po obu stronach jednocześnie. Ostatni segment powinien być prostopadły do średnicy, od której końca rozpoczęto układanie segmentów. Ta średnica będzie symetrią wpisanego siedmioboku.

Podział na dziesięć części (ryc. 24)

● Podziel okrąg na 5 części, jak pokazano na ryc. 21. Otrzymujemy regularny pięciokąt.

● Z każdego wierzchołka pięciokąta obniżamy prostopadłe do przeciwnych stron. Wszystkie przejdą przez środek okręgu i podzielą bok oraz łuk leżący naprzeciw niego na pół. Otrzymujemy jeszcze 5 wierzchołków.

Podział na dwanaście części (ryc. 25)

Używając otworu kompasu równego promieniowi okręgu, wykonujemy nacięcia na końcach obu średnic po obu ich stronach.

Istnieje również ogólna technika dzielenia koła na dowolną liczbę części. Rozważmy to na przykładzie konstrukcji sześciokąta foremnego (ryc. 27).

● Rysujemy dwie wzajemnie prostopadłe średnice (poziomą i pionową).

● Dzielimy średnicę, z której chcemy utworzyć oś symetrii figury, na tyle części, na ile potrzebujemy podzielić okrąg. Na ryc. Średnica 27 AB jest podzielony na 9 części. Wynikowe punkty podziału numerujemy.

● Umieszczamy nogę kompasu w punkcie A i promień, równa średnicy okrąg, narysuj łuk, aż przetnie się z kontynuacją średnicy pionowej. Dostajemy punkt C.

● Łączymy punkt C przez jeden z punktami podziału średnicy i kontynuujemy aż do przecięcia się z przeciwległym łukiem okręgu w punktach I, II, III, IV. Jeśli jeden z wierzchołków nonagonu powinien być punktem A, to przeciągnij promienie przez wszystkie parzyste podziały średnicy (ryc. 27, a). Jeżeli punkt B stanie się jednym z wierzchołków, wówczas promienie należy przeciągnąć przez wszystkie nieparzyste podziały średnicy (ryc. 27, b).

● Zbudowane punkty wyświetlamy symetrycznie względem średnicy poziomej. Otrzymujemy pozostałe wierzchołki figury.

2.2.1. Zadanie nr 4. Dzielenie koła

Cel: poznanie technik dzielenia koła na równe części.

Na formacie A3 w pierwszym rzędzie losuj regularne wielokąty(trzy-, cztero-, pięcio-, sześcio-, siedmiokątne i dziewięciokątne) wpisane w okręgi o średnicy 60 mm. Okręgi jako linie pomocnicze powinny być cienkie. Obrysuj wielokąty grubymi liniami.