Co oznacza dwusieczna trójkąta? Jeżeli odległości są równe, to punkt leży na dwusiecznej

Dwusieczna trójkąta jest powszechnym pojęciem geometrycznym, które nie sprawia większych trudności w nauce. Mając wiedzę o jego właściwościach, można bez większych trudności rozwiązać wiele problemów. Co to jest dwusieczna? Postaramy się zapoznać czytelnika ze wszystkimi tajemnicami tej linii matematycznej.

W kontakcie z

Istota koncepcji

Nazwa koncepcji pochodzi od użycia słów w języku łacińskim, których znaczenie to „bi” – dwa, „sectio” – ciąć. Wskazują konkretnie znaczenie geometryczne koncepcje - rozbijanie przestrzeni pomiędzy promieniami na dwie równe części.

Dwusieczna trójkąta to odcinek wychodzący z wierzchołka figury, a drugi koniec umieszczony na przeciwległej stronie, dzielący przestrzeń na dwie identyczne części.

Wielu nauczycieli na szybko zapamiętywanie skojarzeniowe studenci pojęcia matematyczne używają odmiennej terminologii, co znajduje odzwierciedlenie w wierszach lub skojarzeniach. Oczywiście korzystanie z tej definicji jest zalecane w przypadku starszych dzieci.

Jak ta linia jest oznaczona? Opieramy się tutaj na zasadach wyznaczania odcinków lub półprostych. Jeśli mówimy o o oznaczeniu dwusiecznej kąta figury trójkątnej, zwykle jest ona zapisywana jako odcinek, którego końce są wierzchołek i punkt przecięcia z naprzeciwko wierzchołka strona. Co więcej, początek zapisu jest zapisywany dokładnie od wierzchołka.

Uwaga! Ile dwusiecznych ma trójkąt? Odpowiedź jest oczywista: tyle, ile jest wierzchołków – trzy.

Nieruchomości

Oprócz definicji w podręcznik szkolny nie można znaleźć wielu właściwości tego koncepcja geometryczna. Pierwszą właściwością dwusiecznej trójkąta, z którą zapoznają się dzieci w wieku szkolnym, jest wpisany środek, a drugą, bezpośrednio z nim związaną, jest proporcjonalność odcinków. Konkluzja jest następująca:

  1. Bez względu na linię podziału, są na niej punkty, które są w tej samej odległości od boków, które tworzą przestrzeń pomiędzy promieniami.
  2. Aby zmieścić okrąg w figurze trójkątnej, należy określić punkt, w którym te odcinki się przetną. To jest to środek koła.
  3. Znajdują się części boku trójkątnej figury geometrycznej, na które dzieli ją linia podziału V zależność proporcjonalna od boków tworzących kąt.

Postaramy się wprowadzić pozostałe funkcje do systemu i zaprezentować dodatkowe fakty, co pomoże Ci lepiej zrozumieć zalety tej geometrycznej koncepcji.

Długość

Jednym z rodzajów problemów sprawiających trudności uczniom w wieku szkolnym jest znalezienie długości dwusiecznej kąta trójkąta. Pierwsza opcja, która zawiera jej długość, zawiera następujące dane:

  • ilość przestrzeni pomiędzy promieniami, z wierzchołka, z którego wyłania się dany odcinek;
  • długości boków tworzących ten kąt.

Rozwiązać problem zastosowana formuła, którego znaczenie polega na znalezieniu stosunku iloczynu wartości boków tworzących kąt, powiększonego 2 razy, o cosinus jego połowy do sumy boków.

Spójrzmy na konkretny przykład. Załóżmy, że mamy figurę ABC, w której odcinek jest narysowany z kąta A i przecina bok BC w punkcie K. Wartość A oznaczamy jako Y. Na tej podstawie AK = (2*AB*AC*cos(Y /2))/(AB+ AC).

Druga wersja zadania, w której wyznaczana jest długość dwusiecznej trójkąta, zawiera następujące dane:

  • Znaczenie wszystkich stron figury jest znane.

Początkowo rozwiązując problem tego typu określić półobwód. Aby to zrobić, musisz dodać wartości wszystkich stron i podzielić na pół: p=(AB+BC+AC)/2. Następnie stosujemy wzór obliczeniowy, który posłużył do określenia długości tego segmentu V poprzednie zadanie. Konieczne jest jedynie dokonanie pewnych zmian w istocie formuły zgodnie z nowymi parametrami. Konieczne jest zatem znalezienie stosunku podwójnego pierwiastka drugiej potęgi iloczynu długości boków przylegających do wierzchołka przez półobwód i różnicę między półobwodem a długością przeciwną do sumy boków tworzących kąt. Oznacza to, że AK = (2٦AB*AC*p*(p-BC))/(AB+AC).

Uwaga! Aby ułatwić opanowanie materiału, można sięgnąć do dostępnych w Internecie komiksów opowiadających o „przygodach” tej linii.

Dziś będzie bardzo łatwa lekcja. Rozważymy tylko jeden obiekt - dwusieczną kąta - i udowodnimy jego najważniejszą właściwość, która będzie nam bardzo przydatna w przyszłości.

Po prostu się nie relaksuj: czasami studenci, którzy chcą zdobyć wysoki wynik na tym samym egzaminie OGE lub Unified State Exam na pierwszej lekcji nie potrafią nawet dokładnie sformułować definicji dwusiecznej.

I zamiast naprawdę to robić ciekawe zadania, tracimy czas na takie proste rzeczy. Więc czytaj, oglądaj i adoptuj. :)

Najpierw trochę dziwne pytanie: Co to jest kąt? Zgadza się: kąt to po prostu dwa promienie wychodzące z tego samego punktu. Na przykład:


Przykłady kątów: ostry, rozwarty i prosty

Jak widać na zdjęciu, kąty mogą być ostre, rozwarte, proste - to teraz nie ma znaczenia. Często dla wygody na każdym promieniu zaznaczany jest dodatkowy punkt i mówi się, że przed nami jest kąt $AOB$ (zapisywany jako $\kąt AOB$).

Kapitan Oczywistość zdaje się sugerować, że oprócz promieni $OA$ i $OB$ zawsze można narysować kilka dodatkowych promieni z punktu $O$. Ale wśród nich będzie jeden wyjątkowy - nazywa się go dwusieczną.

Definicja. Dwusieczna kąta to promień wychodzący z wierzchołka tego kąta i przecinający ten kąt na pół.

Dla powyższych kątów dwusieczne będą wyglądać następująco:


Przykłady dwusiecznych kątów ostrych, rozwartych i prostych

Ponieważ na prawdziwych rysunkach nie zawsze jest oczywiste, że określony promień (w naszym przypadku jest to promień $OM$) dzieli pierwotny kąt na dwa równe, w geometrii zwyczajowo oznacza się równe kąty tą samą liczbą łuków ( na naszym rysunku jest to 1 łuk dla kąta ostrego, dwa dla kąta rozwartego i trzy dla kąta prostego).

OK, ustaliliśmy definicję. Teraz musisz zrozumieć, jakie właściwości ma dwusieczna.

Główna właściwość dwusiecznej kąta

W rzeczywistości dwusieczna ma wiele właściwości. I na pewno przyjrzymy się im na następnej lekcji. Ale jest jedna sztuczka, którą musisz teraz zrozumieć:

Twierdzenie. Dwusieczna kąta to umiejscowienie punkty w równej odległości od boków dany kąt.

W tłumaczeniu z matematyki na język rosyjski oznacza to dwa fakty na raz:

  1. Dowolny punkt leżący na dwusiecznej pewnego kąta znajduje się w tej samej odległości od boków tego kąta.
  2. I odwrotnie: jeśli punkt leży w tej samej odległości od boków danego kąta, to z pewnością leży na dwusiecznej tego kąta.

Zanim udowodnimy te twierdzenia, wyjaśnijmy jeden punkt: jak dokładnie nazywa się odległość od punktu do boku kąta? Tutaj pomoże nam stare, dobre określenie odległości punktu od linii:

Definicja. Odległość punktu od prostej to długość prostopadłej poprowadzonej z danego punktu do tej prostej.

Rozważmy na przykład prostą $l$ i punkt $A$, który nie leży na tej prostej. Narysujmy prostopadłą do $AH$, gdzie $H\in l$. Wtedy długość tej prostopadłej będzie odległością od punktu $A$ do prostej $l$.

Reprezentacja graficzna odległość punktu od linii

Ponieważ kąt to po prostu dwa promienie, a każdy promień jest odcinkiem linii prostej, łatwo jest określić odległość od punktu do boków kąta. To tylko dwie prostopadłe:


Określ odległość punktu od boków kąta

To wszystko! Teraz wiemy, czym jest odległość i czym jest dwusieczna. Dlatego możemy udowodnić główną własność.

Zgodnie z obietnicą podzielimy dowód na dwie części:

1. Odległości punktu na dwusiecznej od boków kąta są takie same

Rozważmy dowolny kąt z wierzchołkiem $O$ i dwusieczną $OM$:

Udowodnijmy, że ten właśnie punkt $M$ znajduje się w tej samej odległości od boków kąta.

Dowód. Narysujmy prostopadłe od punktu $M$ do boków kąta. Nazwijmy je $M((H)_(1))$ i $M((H)_(2))$:

Narysuj prostopadłe do boków kąta

Otrzymaliśmy dwa trójkąty prostokątne: $\vartriangle OM((H)_(1))$ i $\vartriangle OM((H)_(2))$. Mają wspólną przeciwprostokątną $OM$ i równe kąty:

  1. $\kąt MO((H)_(1))=\kąt MO((H)_(2))$ według warunku (ponieważ $OM$ jest dwusieczną);
  2. $\angle M((H)_(1))O=\angle M((H)_(2))O=90()^\circ $ według konstrukcji;
  3. $\angle OM((H)_(1))=\angle OM((H)_(2))=90()^\circ -\angle MO((H)_(1))$, ponieważ suma ostre rogi trójkąt prostokątny zawsze wynosi 90 stopni.

W związku z tym trójkąty mają równe boki i dwa sąsiednie kąty (patrz znaki równości trójkątów). Dlatego w szczególności $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, tj. odległości od punktu $O$ do boków kąta są rzeczywiście równe. CO BYŁO DO OKAZANIA.:)

2. Jeżeli odległości są równe, to punkt leży na dwusiecznej

Teraz sytuacja odwrotna. Niech będzie dany kąt $O$ i punkt $M$ w równej odległości od boków tego kąta:

Udowodnijmy, że promień $OM$ jest dwusieczną, tj. $\kąt MO((H)_(1))=\kąt MO((H)_(2))$.

Dowód. Najpierw narysujmy ten właśnie promień $OM$, inaczej nie będzie czego udowadniać:

Przeprowadzono wiązkę $OM$ do narożnika

Ponownie otrzymujemy dwa trójkąty prostokątne: $\vartriangle OM((H)_(1))$ i $\vartriangle OM((H)_(2))$. Oczywiście są one równe, ponieważ:

  1. Przeciwprostokątna $OM$ - ogólne;
  2. Nogi $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ według warunku (w końcu punkt $M$ jest w równej odległości od boków kąta);
  3. Pozostałe nogi są również równe, ponieważ według twierdzenia Pitagorasa $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

Dlatego trójkąty $\vartriangle OM((H)_(1))$ i $\vartriangle OM((H)_(2))$ mają trzy boki. W szczególności ich kąty są równe: $\kąt MO((H)_(1))=\kąt MO((H)_(2))$. A to oznacza po prostu, że $OM$ jest dwusieczną.

Na zakończenie dowodu zaznaczamy powstałe równe kąty czerwonymi łukami:

Dwusieczna dzieli kąt $\kąt ((H)_(1))O((H)_(2))$ na dwie równe części

Jak widać nic skomplikowanego. Udowodniliśmy, że dwusieczna kąta to zbiór punktów w jednakowej odległości od boków tego kąta. :)

Skoro już mniej więcej ustaliliśmy terminologię, czas przejść do konkretów nowy poziom. W następnej lekcji przyjrzymy się więcej złożone właściwości dwusieczne i naucz się ich używać do rozwiązywania rzeczywistych problemów.

Jaka jest dwusieczna kąta w trójkącie? Odpowiadając na to pytanie, z ust niektórych osób wychodzi słynny szczur biegający po kątach i dzielący róg na pół.” Jeśli odpowiedź miałaby być „humoryczna”, to być może jest ona poprawna. punkt naukowy Z perspektywy odpowiedź na to pytanie powinna brzmieć mniej więcej tak: zaczynając od wierzchołka kąta i dzieląc go na dwie równe części. W geometrii figura ta jest również postrzegana jako odcinek dwusiecznej przed jej przecięciem z przeciwny bok trójkąta. To nie jest błędna opinia. Ale co jeszcze wiadomo o dwusiecznej kąta, poza jego definicją?

Jak każde geometryczne miejsce punktów, ma ono swoje własne cechy. Pierwszy z nich nie jest raczej nawet znakiem, ale twierdzeniem, które można krótko wyrazić w następujący sposób: „Jeśli przeciwną stronę podzielimy na dwie części dwusieczną, wówczas ich stosunek będzie odpowiadał stosunkowi boki dużego trójkąta.”

Druga jego właściwość: punkt przecięcia dwusiecznych wszystkich kątów nazywany jest środkiem.

Trzeci znak: dwusieczne jednego wewnętrznego i dwóch zewnętrznych kątów trójkąta przecinają się w środku jednego z trzech wpisanych okręgów.

Czwarta właściwość dwusiecznej kąta w trójkącie polega na tym, że jeśli każdy z nich jest równy, to drugi jest równoramienny.

Obowiązuje również piąty znak Trójkąt równoramienny i jest główną wskazówką do rozpoznawania go na rysunku za pomocą dwusiecznych, a mianowicie: w trójkącie równoramiennym służy jednocześnie jako mediana i wysokość.

Dwusieczną kąta można skonstruować za pomocą kompasu i linijki:

Reguła szósta głosi, że nie da się zbudować trójkąta korzystając z tego ostatniego jedynie z istniejących dwusiecznych, tak jak nie da się w ten sposób skonstruować podwojenia sześcianu, kwadratury koła i trisekcji kąta. Ściśle mówiąc, są to wszystkie właściwości dwusiecznej kąta trójkąta.

Jeśli uważnie przeczytałeś poprzedni akapit, być może zainteresowało Cię jedno zdanie. „Co to jest trisekcja kąta?” – pewnie zapytasz. Trisektor jest trochę podobny do dwusiecznej, ale jeśli narysujesz tę drugą, kąt zostanie podzielony na dwie równe części, a podczas konstruowania trisekcji zostanie podzielony na trzy. Naturalnie, dwusieczna kąta jest łatwiejsza do zapamiętania, ponieważ w szkole nie uczy się trisekcji. Ale dla ścisłości o tym też opowiem.

Trójsektora, jak już mówiłem, nie da się zbudować jedynie za pomocą kompasu i linijki, ale można go stworzyć, korzystając z reguł Fujity i niektórych krzywych: ślimaki Pascala, czworokąty, muszle Nicomedesa, sekcje stożkowe,

Problemy z trisekcją kąta można po prostu rozwiązać za pomocą Nevsis.

W geometrii istnieje twierdzenie o trójsektorach kątów. Nazywa się to twierdzeniem Morleya. Twierdzi, że punkty przecięcia trójsektorów każdego kąta znajdującego się w środku będą wierzchołkami

Mały czarny trójkąt wewnątrz dużego zawsze będzie równoboczny. Twierdzenie to odkrył brytyjski naukowiec Frank Morley w 1904 roku.

Oto, ile możesz się dowiedzieć o dzieleniu kąta: Trójsieczna i dwusieczna kąta zawsze wymagają szczegółowych wyjaśnień. Ale tutaj podano wiele definicji, których jeszcze nie ujawniłem: ślimak Pascala, muszla Nicomedesa itp. Spokojnie, można by o nich napisać jeszcze wiele.

Sorokina Vika

Podano dowody własności dwusiecznej trójkąta i rozważono zastosowanie teorii do rozwiązywania problemów

Pobierać:

Zapowiedź:

Komitet Edukacji Administracji Saratowa, Rejon Oktiabrski Autonomia Miejska instytucja edukacyjna Liceum nr 3 im. A.S. Puszkin.

Miejskie naukowo-praktyczne

konferencja

"Pierwsze kroki"

Temat: Dwusieczna i jej własności.

Pracę wykonał: uczeń klasy VIII

Wiktoria SorokinaOpiekun naukowy: Nauczyciel matematyki najwyższej kategoriiPopowa Nina Fiodorowna.

Saratów 2011

  1. Strona tytułowa…………………………………………………...1
  2. Spis treści…………………………………………………2
  3. Wprowadzenie i cele…………………………………………………... ..3
  4. Uwzględnienie właściwości dwusiecznej
  • Trzecie miejsce punktów………………………………….3
  • Twierdzenie 1………………………………………………………...4
  • Twierdzenie 2………………………………………………………4
  • Główna właściwość dwusiecznej trójkąta:
  1. Twierdzenie 3……………………………………………………………...4
  2. Zadanie 1…………………………………………………………… ….7
  3. Zadanie 2…………………………………………………………….8
  4. Zadanie 3.………………………………………………………….....9
  5. Zadanie 4.………………………………………………………….9-10
  • Twierdzenie 4……………………………………………………10-11
  • Wzory na znalezienie dwusiecznej:
  1. Twierdzenie 5……………………………………………………….11
  2. Twierdzenie 6…………………………………………………………….11
  3. Twierdzenie 7………………………………………………………….12
  4. Zadanie 5………………………………………………………...12-13
  • Twierdzenie 8……………………………………………………….13
  • Zadanie 6………………………………………………………...….14
  • Zadanie 7……………………………………………………………14-15
  • Wyznaczanie kierunków kardynalnych za pomocą dwusiecznej……………15
  1. Zakończenie i zakończenie…………………………………………………..15
  2. Lista referencji…………………………………..16

Dwusieczna

Na lekcji geometrii, studiując temat podobne trójkąty, napotkałem problem dotyczący twierdzenia o relacji dwusiecznej do przeciwnych stron. Wydawałoby się, że w temacie dwusiecznej może być coś interesującego, ale ten temat mnie zainteresował i chciałem go głębiej przestudiować. W końcu dwusieczna jest w nią bardzo bogata niesamowite właściwości, pomagając rozwiązać różne problemy.

Rozważając ten temat, zauważysz, że podręczniki geometrii niewiele mówią o właściwościach dwusiecznej, ale na egzaminach, znając je, możesz rozwiązywać problemy znacznie łatwiej i szybciej. Dodatkowo za zdanie Egzaminu Państwowego i Jednolitego Egzaminu Państwowego współczesnych studentów musisz sam to przestudiować Dodatkowe materiały Do program nauczania. Dlatego zdecydowałem się bardziej szczegółowo przestudiować temat dwusiecznej.

Dwusieczna (od łacińskiego bi- „podwójny” i sectio „przecięcie”) kąta to półprosta mająca początek w wierzchołku kąta, dzieląca kąt na dwie równe części. Dwusieczna kąta (wraz z jego przedłużeniem) to zbiór punktów w jednakowej odległości od boków kąta (lub ich przedłużeń)

Trzecie miejsce punktów

Rysunek F to miejsce punktów (zbiór punktów) posiadające pewną właściwość A, jeżeli spełnione są dwa warunki:

  1. z faktu, że punkt należy do figury F, wynika z tego, że ma własność A;
  2. z faktu, że punkt spełnia własność A, wynika z tego, że należy do figury F.

Pierwszym zbiorem punktów rozpatrywanym w geometrii jest okrąg, tj. zbiór punktów w jednakowej odległości od jednego stałego punktu. Druga to prostopadła dwusieczna odcinka, tj. zbiór punktów w jednakowej odległości od końca odcinka. I wreszcie trzecia - dwusieczna - miejsce geometryczne punktów w równej odległości od boków kąta

Twierdzenie 1:

Punkty dwusieczne są jednakowo oddalone od boków on jest narożnikiem.

Dowód:

Niech R - punkt dwusiecznej A. Odejdźmy od tematuProstopadłe P Samochód kempingowy i Komputer PC po bokach narożnika. Wtedy VAR = SAR przez przeciwprostokątną i kąt ostry. Zatem PB = PC

Twierdzenie 2:

Jeżeli punkt P jest jednakowo oddalony od boków kąta A, to leży na dwusiecznej.

Dowód: PB = PC => VAR = CAP => BAP= CAP => AR jest dwusieczną.

Wśród głównych fakty geometryczne należy przypisać twierdzeniu, że dwusieczna dzieli stronę przeciwną w stosunku do stron przeciwnych. Fakt ten pozostawał w cieniu przez długi czas, ale wszędzie są problemy, które znacznie łatwiej rozwiązać, jeśli znasz ten i inne fakty dotyczące dwusiecznej. Zainteresowałem się tym i postanowiłem bliżej zbadać tę właściwość dwusiecznej.

Główna właściwość dwusiecznej kąta trójkąta

Twierdzenie 3. Dwusieczna dzieli przeciwny bok trójkąta w stosunku do sąsiednich boków.

Dowód 1:

Biorąc pod uwagę: AL - dwusieczna trójkąta ABC

Udowodnić:

Dowód: Niech F będzie punkt przecięcia linii glin i linię przechodzącą przez ten punkt W równolegle do strony AC.

Wtedy BFA = FAC = BAF. Dlatego też B.A.F. równoramienne i AB = BF. Z podobieństwa trójkątów Mamy ALC i FLB

stosunek

Gdzie

Dowód 2

Niech F będzie punktem przeciętym przez prostą AL i prostą przechodzącą przez punkt C, równoległą do podstawy AB. Następnie możesz powtórzyć rozumowanie.

Dowód 3

Niech K i M będą podstawami prostopadłych opuszczonych na linię AL z punktów B i C odpowiednio. Trójkąty ABL i ACL są podobne pod dwoma kątami. Dlatego
. I z podobieństwa BKL i CML mamy

Stąd

Dowód 4

Skorzystajmy z metody obszaru. Obliczmy pola trójkątów ABL i ACL dwie drogi.

Stąd.

Dowód 5

Niech α= TY,φ= BLA. Z twierdzenia o sinusach w trójkącie ABL

Oraz w trójkącie ACL.

Ponieważ ,

Następnie dzieląc obie strony równości na odpowiednie części drugiej, otrzymujemy.

Problem 1


Dany: W trójkąt ABC, VC – dwusieczna, BC=2, KS=1,

Rozwiązanie:

Problem 2

Dany:

Znajdź dwusieczne kątów ostrych trójkąta prostokątnego o nogach 24 i 18

Rozwiązanie:

Niech bok AC = 18, bok BC = 24,

JESTEM. - dwusieczna trójkąta.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa znajdujemy,

że AB = 30.

Od tego czasu

W podobny sposób znajdźmy drugą dwusieczną.

Odpowiedź:

Problem 3

W trójkącie prostokątnym ABC z kątem prostym B dwusieczna kąta A przecina bok PNE.

W punkcie D. Wiadomo, że BD = 4, DC = 6.

Znajdź obszar trójkąta ADC

Rozwiązanie:

Z własności dwusiecznej trójkąta

Oznaczmy AB = 2 x, AC = 3 x. Według twierdzenia

Pitagoras BC 2 + AB 2 = AC 2 lub 100 + 4 x 2 = 9 x 2

Stąd to znajdujemy x = Wtedy AB = , S ABC=

Stąd,

Problem 4

Dany:

W trójkącie równoramiennym ABC strona AB równa się 10, podstawa AC wynosi 12.

Dwusieczne kątów A i C przecinają się w jednym punkcie D. Znajdź BD.

Rozwiązanie:

Ponieważ dwusieczne trójkąta przecinają się w

Jeden punkt, wówczas BD jest dwusieczną B. Kontynuujmy BD do skrzyżowania z AC w punkcie M. Wtedy M jest środkiem AC, BM AC. Dlatego

Od płyty - dwusieczna trójkąta W takim razie BMC

Stąd,.

Odpowiedź:

Twierdzenie 4. Trzy dwusieczne trójkąta przecinają się w jednym punkcie.

Rzeczywiście, rozważmy najpierw punkt P przecięcia dwóch dwusiecznych, na przykład AK 1 i WK 2 . Punkt ten jest jednakowo oddalony od boków AB i AC, gdyż leży na dwusiecznejA i jest równie odległy od boków AB i BC, jak należący do dwusiecznejB. Oznacza to, że jest on jednakowo oddalony od boków AC i BC i tym samym należy do trzeciej dwusiecznej SC 3 , czyli w punkcie P wszystkie trzy dwusieczne przecinają się.


Wzory na znalezienie dwusiecznej
Twierdzenie 5: (pierwszy wzór na dwusieczną): Jeżeli w trójkącie ABC odcinek AL jest dwusieczną A, następnie AL² = AB·AC - LB·LC.

Dowód: Niech M będzie punktem przecięcia prostej AL z okręgiem opisanym na trójkącie ABC (rys. 41). Kąt BAM równy kątowi MAC według stanu. Kąty BMA i BCA są przystające jako kąty wpisane oparte na tej samej cięciwie. Oznacza to, że trójkąty BAM i LAC są podobne pod dwoma kątami. Dlatego AL: AC = AB: AM. Oznacza to AL · AM = AB · AC AL · (AL + LM) = AB · AC AL² = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. co było do okazania

Twierdzenie 6: . (drugi wzór na dwusieczną): W trójkącie ABC o bokach AB=a, AC=b iA równy 2α i dwusieczna l, równość zachodzi:
l = (2ab / (a+b)) cosα.

Dowód : Niech będzie ABC dany trójkąt, AL jest jego dwusieczną, a=AB, b=AC, l=AL. Następnie S ABC = S ALB + S ALC . Zatem ab sin2α = a l sinα + b l sinα 2ab sinα cosα = (a + b) l sinα l = 2 (ab / (a+b)) cosα. Twierdzenie zostało udowodnione.

Twierdzenie 7: Jeśli a, b są bokami trójkąta, Y jest kątem między nimi,jest dwusieczną tego kąta. Następnie.

Wśród licznych przedmiotów w szkole średniej jest jeden taki jak „geometria”. Tradycyjnie uważa się, że twórcami tej systematycznej nauki są Grecy. Dziś geometrię grecką nazywa się elementarną, ponieważ to ona rozpoczęła badanie najprostszych form: płaszczyzn, linii prostych i trójkątów. Skupimy naszą uwagę na tym ostatnim, a raczej na dwusiecznej tej figury. Dla tych, którzy już zapomnieli, dwusieczna trójkąta to odcinek dwusiecznej jednego z kątów trójkąta, który dzieli go na pół i łączy wierzchołek z punktem znajdującym się na przeciwna strona.

Dwusieczna trójkąta ma wiele właściwości, które musisz znać przy rozwiązywaniu niektórych problemów:

  • Dwusieczna kąta to zbiór punktów oddzielonych od siebie równe odległości od stron sąsiadujących z narożnikiem.
  • Dwusieczna w trójkącie dzieli bok leżący naprzeciw kąta na odcinki proporcjonalne do sąsiednich boków. Na przykład, biorąc pod uwagę trójkąt MKB, w którym z kąta K wychodzi dwusieczna, łącząca wierzchołek tego kąta z punktem A po przeciwnej stronie MB. Po przeanalizowaniu ta nieruchomość i nasz trójkąt, mamy MA/AB=MK/KB.
  • Punkt, w którym przecinają się dwusieczne wszystkich trzech kątów trójkąta, jest środkiem okręgu wpisanego w ten sam trójkąt.
  • Podstawa dwusiecznych jednej zewnętrznej i dwóch narożniki wewnętrzne leżą na tej samej prostej, pod warunkiem, że dwusieczna narożnik zewnętrzny nie jest równoległa do przeciwnej strony trójkąta.
  • Jeśli dwie dwusieczne jednej, to to

Należy zauważyć, że jeśli dane są trzy dwusieczne, to zbudowanie z nich trójkąta, nawet przy pomocy kompasu, jest niemożliwe.

Bardzo często przy rozwiązywaniu problemów dwusieczna trójkąta jest nieznana, ale konieczne jest określenie jego długości. Aby rozwiązać ten problem, musisz znać kąt podzielony przez dwusieczną i boki sąsiadujące z tym kątem. W tym przypadku wymaganą długość definiuje się jako stosunek dwukrotności iloczynu boków przylegających do narożnika i cosinusa kąta podzielonego na pół do sumy boków przylegających do narożnika. Na przykład biorąc pod uwagę ten sam trójkąt MKB. Dwusieczna wychodzi z kąta K i przecina się przeciwna strona MV w punkcie A. Kąt, pod którym wyłania się dwusieczna, będzie oznaczony przez y. Zapiszmy teraz wszystko słownie w formie wzoru: KA = (2*MK*KB*cos y/2) / (MK+KB).

Jeżeli wartość kąta, z którego wyłania się dwusieczna trójkąta, jest nieznana, ale znane są wszystkie jego boki, to do obliczenia długości dwusiecznej użyjemy dodatkowej zmiennej, którą nazwiemy półobwodem i oznaczymy przez litera P: P=1/2*(MK+KB+MB). Następnie dokonamy pewnych zmian w poprzednim wzorze, za pomocą którego określono długość dwusiecznej, a mianowicie w liczniku ułamka wstawimy podwójny iloczyn długości boków sąsiadujących z narożnikiem przez półobwód oraz iloraz, w którym długość trzeciego boku odejmuje się od półobwodu. Mianownik pozostawiamy bez zmian. W formie wzoru będzie to wyglądało następująco: KA=2*√(MK*KB*P*(P-MB)) / (MK+KB).

Dwusieczna trójkąta równoramiennego wraz z właściwości ogólne ma kilka swoich. Pamiętajmy, jaki to rodzaj trójkąta. Taki trójkąt ma dwa równe boki i równe kąty przylegające do podstawy. Wynika z tego, że dwusieczne, które schodzą do boki trójkąt równoramienny, sobie równy. Ponadto dwusieczna obniżona do podstawy jest zarówno wysokością, jak i medianą.