Omnibus nr 9-10 2007.
Morska dusza świateł drogowych.
Tradycja to tajemnicza rzecz. Najpierw uważnie się go obserwuje, starając się zachować wszystkie niuanse, doprowadza do przesądu, potem nagle odkrywają, że nie spełnia pokładanych w nim oczekiwań, nie odpowiada logice, nie ma uzasadnienie naukowe- i zrywają z tradycją, a potem ze smutkiem zauważają, że wraz z jej utratą odeszło coś pięknego i potrzebnego. . .
Jeszcze całkiem niedawno istniała tradycja nadawania trasom tramwajowym nie tylko oznaczenia cyfrowego, ale także kolorowego – po obu stronach numeru trasy, przed i za wagonem, zapalano sygnalizację świetlną. Ulice, na których poruszał się ruch tramwajowy, wyróżniały się szczególną, odświętną elegancją, kierowcy, pasażerowie, pracownicy torów, dyspozytorzy i zwrotnicy poruszali się po torze tramwajowym przy pomocy świateł kierunkowych, a wielu nie wyobrażało sobie tramwaju bez kolorowych świateł. Moskiewski system świateł drogowych został zbudowany w oparciu o unikalną zgodność liczb i kolorów. „1” jest zawsze czerwone, „2” jest zielone, „5” jest oliwkowe, „7” jest niebieskie i tak dalej. Ale w Leningradzie światła „przemówiły”. inny język,
a czytanie ich „w Moskwie” najczęściej prowadziło do bzdur, ponieważ nie było 10 świateł, jak w Moskwie, ale tylko pięć. Były dobrze zróżnicowane, a ich zestawienia zawsze wyglądały bardzo pięknie. Jednak z pięciu świateł możliwych jest 25 różnych kombinacji dwóch, podczas gdy trasy w Petersburgu-Leningradzie ostatecznie osiągnęły około 70, więc znaki trasy można było powtórzyć. Na przykład dwa białe - 9, 43; czerwony i żółty - 1, 51, 64; niebieski i czerwony - 33, 52, 54; dwie czerwone - 5, 36, 39, 45, 47. I tylko trasa N 20 została oznaczona tak samo przez systemy moskiewski i petersburski: zielony i biały.
Zdarzyło się, że w Petersburgu zmieniły się światła na trasie. Jeżeli zdarzało się, że po zmianie jednej z tras działała na dość długim odcinku z inną trasą o tych samych kolorach, to trzeba było zmienić kompozycję świateł dla jednej z tych tras.
Trasa nr 4 prowadziła z Wyspy Dekabristowa do Cmentarza Wołkowskiego i była oznaczona dwoma żółtymi (pomarańczowymi) światłami. Następnie trasę zamknięto i otwarto pod tym samym numerem w innym miejscu z innymi światłami: niebieskim + niebieskim, gdyż dzieliła odcinek z tramwajem 35 (dwa żółte).
Trasa N 43 początkowo posiadała światła: czerwone + białe. Po dociągnięciu do portu w 1985 roku zmieniono oświetlenie: białe + białe, gdyż trasa zaczęła dzielić odcinek z tramwajem N 28 (czerwony + biały). Trasę 3 oznaczono kolorami zielonymi i białymi. Kiedy w 2007 roku przywrócono światła, kombinację zastąpiono żółtą i zieloną. W tym samym czasie na kilku innych trasach zmieniły się kombinacje: 48 (było: biały + biały, obecnie: niebieski + niebieski); 61 (było: biały + biały, teraz: biały + żółty) itd.
Petersburgski system świateł trasowych, tak prosty w wyglądzie i tak skomplikowany, kojarzy się z tradycją przede wszystkim europejskich miast tramwajowych. I tak już w 1907 roku list do gazety „Novoe Vremya” zawierał prośbę „zwykłych ludzi Wyspa Wasiljewskiego„wprowadzić kolorowe światła w tramwajach, „jak za granicą, zwłaszcza we Frankfurcie nad Menem”. Obecnie pozostałości dawnych systemów zachowały się w postaci kolorowego oświetlenia ukośnego na znakach tras tramwajowych w Amsterdamie. Tradycja ta z kolei prawdopodobnie wznosi się do świateł nawigacja morska. Dlaczego akurat nad morze, a nie, powiedzmy, na kolej? Tak, ponieważ światła drogowe, podobnie jak latarnie morskie, nikomu niczego nie zabraniają ani nie zmuszają, a po prostu pomagają odnaleźć drogę w ciemności.
Morskie światła nawigacyjne rozszyfrowane są w specjalnych księgach morskich – kierunkach morskich. Światła drogowe są także opisane w przewodnikach miejskich. Pierwszym z nich był „Mobilny przewodnik po tramwajach petersburskich”, wydany przez wydawnictwo E.I. Marka (1910).
Kompozycja kolorów stosowanych w światłach szlakowych w Petersburgu (biały, czerwony, pomarańczowy lub żółty, zielony, niebieski) niewiele różni się od kolorów świateł morskich (biały, czerwony, pomarańczowy, zielony, niebieski, fioletowy).
Jeśli przyjrzysz się uważnie, możesz znaleźć inne podobieństwa, ale o wiele ważniejsze jest zrozumienie, dlaczego tak luźny system świateł drogowych, wymagający ciągłego dostosowywania, zakorzenił się w ostrożnym Petersburgu. Odpowiedź jest prosta: w końcu Petersburg to miasto nadmorskie i tyle na równi Charakteryzuje się zarówno surowością form architektonicznych, jak i frywolnością karnawału, a co za tym idzie pogodną kolorystyką świateł drogowych.
W 2007 roku doszło do tradycji nowa runda. W wagonach zainstalowano już światła drogowe LED. Będą świecić nie tylko o zmierzchu, ale także w świetle dziennym.
Orenburg 250 300 200 300 600 Zamówienie 600 500 200 100 c1 = 250; c2 = 200; с3 = 150. b) Tabela 22 Oddziały Moskwa St. Petersburg Twer Tuła Wielkość zakupów Dostawca Gdańsk 200 300 250 150 550 Krasnodar 300 400 300 250 650 Orenburg 150 250 200 200 800 Zamówienie 450 700 3 00 300 c1 = 200; c2 = 100; c3 = 150. c) Tabela 23 Oddziały Moskwa St. Petersburg Twer Tuła Wielkość zakupów Dostawca Gdańsk 200 300 250 150 650 Krasnodar 250 400 300 250 750 Orenburg 150 250 200 200 600 Zamówienie 500 750 4 00 300 c1 = 200; c2 = 100; c3 = 150. Zadanie 2. Cztery sklepy „Liga-plus”, „Umka”, „Gurman” i „Uley” sprzedają produkty mleczne dostarczane przez trzy mleczarnie. Pierwszy zakład ma umowę ze sklepem marki Gurman na stałe dostawy swoich produktów. Taryfy za dostawę produktów mlecznych oraz wielkość dostawy stałej (w kartonach) podane są w tabelach opcjonalnie. Znajdź optymalny plan dostaw produktów mlecznych. a) Tabela 24 Sklep „Liga-plus” „Smakosz” „Umka” „Ul” Wolumen zakupów Zakład 1 5 8 6 10 700 200 2 9 6 7 5 800 3 6 7 5 8 500 800 400 600 200 b) Tabela 25 Sklep „Liga-plus” „Gourmand” „Umka” „Ul” Wolumen zakupów Zakład 1 5 10 7 400 300 5 2 6 8 5 8 600 3 7 9 6 4 900 500 700 200 500 DO SEKCJI „KOMBINATORIKA” Zadanie 3 Tabela 26 Opcja Zadanie nr I a) Komisja składa się z przewodniczącego, jego zastępcy i kolejnych pięciu osób. Na ile sposobów członkowie komisji mogą podzielić się między sobą obowiązkami? b) Mistrzostwa, w których bierze udział 16 drużyn, rozgrywane są w dwóch rundach (tj. każda drużyna spotyka się dwukrotnie z każdą inną drużyną). Ustal, ile spotkań powinno się odbyć. c) Na szachownicy ustawia się dwie wieże w różnych kolorach, tak aby każda mogła pokonać drugą. Ile jest takich lokalizacji? II a) Na ile sposobów można wybrać trzech funkcjonariuszy pełniących służbę z grupy 20 osób? b) Zamek otwiera się tylko po wybraniu określonego trzycyfrowego numeru. Próba polega na wybraniu losowo trzech cyfr z pięciu podanych. Liczbę udało się odgadnąć dopiero w ostatniej ze wszystkich możliwych prób. Ile prób poprzedziło tę udaną? c) Kolejność występów ośmiu uczestników konkursu ustalana jest w drodze losowania. Ile różnych wyników losowania jest możliwych? III a) Ile różnych kombinacji dźwięków można zastosować na dziesięciu wybranych klawiszach fortepianu, jeśli każda kombinacja dźwięków może zawierać od trzech do dziesięciu dźwięków? b) Z grupy 15 osób wybiera się czterech uczestników sztafety 800 + 400 + 200 + 100. Na ile sposobów można ustawić zawodników według etapów sztafety? c) Półka na książki mieści 30 tomów. Na ile sposobów można je ułożyć tak, aby tom pierwszy i drugi nie stały obok siebie? IV a) W wazonie znajduje się 10 czerwonych i 5 różowych goździków. Na ile sposobów możesz wybrać pięć goździków tego samego koloru z wazonu? b) W zawodach pływackich bierze udział pięcioosobowa drużyna, w której uczestniczy 20 innych zawodników. Na ile sposobów można rozdzielić miejsca zajmowane przez członków tej drużyny? c) Metro zatrzymuje się na 16 przystankach, na których wysiadają wszyscy pasażerowie. Na ile sposobów można rozmieścić 100 pasażerów, którzy wsiedli do pociągu na ostatnim przystanku pomiędzy tymi przystankami? Kontynuacja tabeli. 26 Opcja V a) Liczby trasy tramwajowe czasami wskazywane przez dwa kolorowe światła. Ile różnych tras można oznaczyć, używając ośmiu kolorów świateł? b) Na ile sposobów można ustawić na szachownicy dwie wieże tak, aby jedna nie mogła zbić drugiej? (Jedna wieża może wziąć drugą, jeśli znajduje się na tym samym poziomie lub pionie szachownicy). c) Ile liczby trzycyfrowe podzielna przez 3 może składać się z liczb 0, 1, 2, 3, 4, 5, jeśli każda liczba nie może zawierać identyczne liczby? DO ROZDZIAŁU „TEORIA PRAWDOPODOBNOŚCI”: Zadanie 4 Tabela 27 Opcja zadania a) Klasyczny i definicja statystyczna prawdopodobieństwa I Dwa rzucone kostka do gry. Znajdź prawdopodobieństwo, że suma punktów na wyrzuconych bokach będzie parzysta, a na boku jednej z kostek pojawi się szóstka. II Podczas transportu pudełka zawierającego 21 części standardowych i 10 niestandardowych, jedna część została zgubiona, oraz nie wiadomo który. Część wymontowana losowo (po transporcie pudełka) okazała się standardowa. Znajdź prawdopodobieństwo, że zagubiono: a) część wzorcową; b) część niestandardowa III Kostka, której wszystkie krawędzie są pomalowane, jest cięta na tysiąc kostek tej samej wielkości, które następnie są dokładnie mieszane. Znajdź prawdopodobieństwo, że losowo wylosowany sześcian ma: a) jedną kolorową ściankę; b) dwie malowane krawędzie; c) trzy kolorowe twarze IV W kopercie, wśród 100 fotografii, znajduje się jedna poszukiwana. Z koperty losujemy 10 kart. Znajdź prawdopodobieństwo, że wśród nich znajdzie się ten, którego szukasz. V W pudełku znajduje się pięć identycznych części, trzy z nich są pomalowane. Losowo usunięto dwa elementy. Znajdź prawdopodobieństwo, że wśród dwóch wydobytych produktów znajdzie się: a) jeden produkt malowany; b) dwa produkty malowane; c) przynajmniej jeden malowany produkt b) Twierdzenia o dodawaniu i mnożeniu prawdopodobieństw I 15 podręczników jest losowo ułożonych na półce bibliotecznej, 5 z nich jest oprawionych. Bibliotekarz wybiera losowo trzy podręczniki. Znajdź prawdopodobieństwo, że co najmniej jeden z zabranych podręczników będzie oprawiony.Kontynuacja tabeli. 27 Opcja zadania II W pudełku znajduje się 10 części, z czego 4 są pomalowane. Asembler wziął losowo 3 części. Znajdź prawdopodobieństwo, że co najmniej jedna z pobranych części jest pomalowana. III Aby zasygnalizować wypadek, instaluje się dwa niezależnie działające alarmy. Prawdopodobieństwo, że podczas wypadku włączy się pierwszy alarm, wynosi 0,95, a prawdopodobieństwo, że włączy się drugi alarm podczas wypadku, wynosi 0,9. Znajdź prawdopodobieństwo, że podczas wypadku włączy się tylko jeden alarm IV Dwóch strzelców strzela do celu. Prawdopodobieństwo trafienia w cel pierwszym strzałem dla pierwszego strzelca wynosi 0,7, a dla drugiego - 0,8. Znajdź prawdopodobieństwo, że podczas pierwszej salwy tylko jeden ze strzelców trafi w tarczę V. Z partii sprzedawca wybiera produkty najwyższej jakości. Prawdopodobieństwo, żeże losowo pobrany produkt będzie najwyższej klasy, wynosi 0,8. Znajdź prawdopodobieństwo, że spośród trzech skontrolowanych produktów tylko dwa będą najwyższej klasy. c) Prawdopodobieństwo wystąpienia co najmniej jednego zdarzenia I B obwód elektryczny trzy elementy są połączone szeregowo i działają niezależnie od siebie. Prawdopodobieństwa uszkodzenia odpowiednio pierwszego, drugiego i trzeciego elementu wynoszą p1 = 0,1; p2 = 0,15; p3 = 0,2, znajdź prawdopodobieństwo, że w obwodzie II nie będzie prądu. Urządzenie zawiera dwa niezależnie działające elementy. Prawdopodobieństwo uszkodzenia elementów wynosi odpowiednio 0,05 i 0,08. Znajdź prawdopodobieństwo awarii urządzenia, jeśli wystarczy, że ulegnie awarii przynajmniej jeden element III Aby zniszczyć most, wystarczy zostać trafionym jedną bombą lotniczą. Znajdź prawdopodobieństwo, że most ulegnie zniszczeniu, jeśli zrzucą na niego cztery bomby, których prawdopodobieństwa są odpowiednio równe: 0,3; 0,4; 0,6; 07 IV Prawdopodobieństwo, że co najmniej jeden strzelec trafi w cel trzema strzałami wynosi 0,875. Znajdź prawdopodobieństwo trafienia jednym strzałem V Prawdopodobieństwo udana realizacjaćwiczeń dla każdego z dwóch zawodników wynosi 0,5. Zawodnicy wykonują ćwiczenie po kolei, każdy wykonując dwie próby. Pierwsza osoba, która wykona ćwiczenie, otrzymuje nagrodę. Znajdź prawdopodobieństwo, że sportowcy otrzymają nagrodę. d) Wzór pełne prawdopodobieństwo Wpadłem do urny zawierającej dwie kule biała kula, po czym losowo losujemy jedną kulę. Znajdź prawdopodobieństwo, że wydobyta kula będzie biała, jeśli wszystkie możliwe założenia dotyczące początkowego składu kulek (ze względu na kolor) są jednakowo możliwe. 27 Koniec zakładki Opcja Zadania II W piramidzie znajduje się pięć karabinów, z czego trzy są wyposażone celownik optyczny . Prawdopodobieństwo, że strzelec trafi w cel podczas strzelania z karabinu z celownikiem optycznym, wynosi 0,95, dla karabinu bez celownika optycznego prawdopodobieństwo to wynosi 0,7. Znajdź prawdopodobieństwo trafienia, jeśli strzelec odda jeden strzał z losowo wybranego karabinu III Pierwsza urna zawiera 10 kul, w tym 8 białych, druga urna zawiera 20 kul, z czego 4 białe. Z każdej urny losowano jedną kulę, a następnie z tych dwóch kul losowano jedną kulę. Znajdź prawdopodobieństwo, że wylosowano kulę białą. IV W każdej z trzech urn znajduje się 6 kul czarnych i 4 kule białe. Z pierwszej urny losujemy jedną kulę i umieszczamy ją w drugiej urnie, po czym z drugiej urny losujemy jedną kulę i umieszczamy ją w trzeciej urnie. Znajdź prawdopodobieństwo, że losowo wylosowana kula z trzeciej urny okaże się biała. V W pudełku znajduje się 12 części wyprodukowanych w zakładzie 1, 20 części wyprodukowanych w zakładzie 2 i 18 części wyprodukowanych w zakładzie 3. Prawdopodobieństwo, że część wyprodukowana w zakładzie 1 roślina 1 doskonałej jakości, równa 0,9; dla części wyprodukowanych w fabrykach 2 i 3 prawdopodobieństwa te wynoszą odpowiednio 0,6 i 0,9. Znajdź prawdopodobieństwo, że losowo wyodrębniona część będzie doskonałej jakości e) Podstawowe wzory teorii prawdopodobieństwa I W piramidzie znajduje się 10 karabinów, z czego 4 są wyposażone w celownik optyczny. Prawdopodobieństwo, że strzelec trafi w cel podczas strzelania z karabinu z celownikiem teleskopowym, wynosi 0,95; dla karabinu bez celownika optycznego prawdopodobieństwo to wynosi 0,8. Strzelec trafił w cel z losowo wybranego karabinu. Co jest bardziej prawdopodobne: strzelec strzelał z karabinu z celownikiem optycznym czy bez? II Do szpitala specjalistycznego trafia średnio 50% pacjentów z chorobą A, 30% z chorobą B, 20% z chorobą C. Prawdopodobieństwo całkowitego wyleczenia choroby A wynosi 0,7; dla chorób B i C prawdopodobieństwa te wynoszą odpowiednio 0,8 i 0,9. Pacjent przyjęty do szpitala został wypisany jako zdrowy. Znajdź prawdopodobieństwo, że pacjent ten cierpiał na chorobę A. III. Dwóch równych sobie przeciwników gra w szachy. Co jest bardziej prawdopodobne: a) wygrać jeden mecz z dwóch lub dwa mecze z czterech; b) wygrać co najmniej dwa mecze z czterech lub co najmniej trzy mecze z pięciu? Nikt nie bierze pod uwagę akt IV. W rodzinie jest pięcioro dzieci. Znajdź prawdopodobieństwo, że wśród tych dzieci: a) dwóch chłopców; b) nie więcej niż dwóch chłopców; c) więcej niż dwóch chłopców; d) nie mniej niż dwóch i nie więcej niż trzech chłopców. Prawdopodobieństwo urodzenia chłopca wynosi 0,51 V. Rzucamy pięć razy monetą. Znajdź prawdopodobieństwo, że wypadnie reszka: a) mniej niż dwa razy; b) co najmniej dwukrotnie Zadanie 5 Tabela 28 Opcja Zadanie a) Dyskretne zmienne losowe, charakterystyka numeryczna dyskretnych zmiennych losowych I 1.1 Dyskretna zmienna losowa X jest dana przez prawo dystrybucji X 0,1 0,3 0,6 0,8 P 0,2 0 ,1 0,4 0,3 Skonstruuj rozkład wielokąt. 1.2 Podręcznik ukazał się w nakładzie 100 000 egzemplarzy. Prawdopodobieństwo, że podręcznik jest źle oprawiony, wynosi 0,0001. Znajdź prawdopodobieństwo, że w nakładzie znajdzie się pięć wadliwych książek. 1.3 Dla dyskretnej zmiennej losowej X z punktu 1.1. znajdź: a) matematyczne oczekiwanie i wariancję; b) inicjał chwile pierwsze, drugie i trzecie zamówienie; c) momenty centralne pierwszego, drugiego, trzeciego i czwartego rzędu. 1.4 Korzystając z nierówności Czebyszewa, oszacuj dla dyskretnej zmiennej losowej X z podrozdziału 1.1 prawdopodobieństwo, że │ X – M(X) │< 0,2
II 1.1 Дискретная случайная величина X задана законом распределения
X 0,10 0,15 0,20 0,25
P 0,1 0,3 0,2 0,4
Построить многоугольник распределения.
1.2 Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо
один от другого. Вероятность отказа любого элемента в момент вре-
мени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут
ровно три элемента.
1.3 Для дискретной случайной величины X из п. 1.1 найти: а) мате-
матическое ожидание и дисперсию; б) początkowe chwile zamówienie pierwsze, drugie i trzecie; c) momenty centralne pierwszego, drugiego, trzeciego i czwartego rzędu. 1.4. Korzystając z nierówności Czebyszewa, oszacuj dla dyskretnej zmiennej losowej X z rozdziału 1.1 prawdopodobieństwo, że │ X – M(X) │< 0,7
III 1.1 Дискретная случайная величина X задана законом распределения
X 0,2 0,4 0,5 0,6
P 0,3 0,1 0,2 0,4
Построить многоугольник распределения.
1.2 Станок штампует детали. Вероятность того, что изготовленная
деталь окажется бракованной, равна 0,01. Найти вероятность того, что
среди отобранных 200 деталей окажется ровно 4 бракованных.
1.3 Для дискретной случайной величины X из п. 1.1. найти: а) мате-
матическое ожидание и дисперсию; б) начальные моменты первого,
второго и третьего порядков; в) центральные моменты первого, второ-
го, третьего и четвертого порядков.
1.4 Используя неравенство Чебышева, оценить для дискретной слу-
чайной величины X из п. 1.1 вероятность того, что │ X – M(X) │< 0,5
Продолжение табл. 28
Вариант Задание
IV 1.1 Дискретная случайная величина X задана законом распределения
X 0,2 0,6 0,9 1,2
P 0,3 0,1 0,2 0,4
Построить многоугольник распределения.
1.2 Завод направил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения
изделия в пути равна 0,002. Найти вероятности того, что в пути будет
повреждено изделий: а) ровно 3; б) менее трех; в) более трех; г) хотя
бы одно.
1.3 Для дискретной случайной величины X из п. 1.1 найти: а) мате-
матическое ожидание и дисперсию; б) начальные моменты первого,
второго и третьего порядков; в) центральные моменты первого, второ-
го, третьего и четвертого порядков.
1.4. Используя неравенство Чебышева, оценить для дискретной слу-
чайной величины X из п. 1.1 вероятность того, что │ X – M(X) │< 0,6
V 1.1 Дискретная случайная величина X задана законом распределения
X 0,3 0,4 0,7 0,10
P 0,4 0,1 0,2 0,3
Построить многоугольник распределения.
1.2 Магазин получил 1000 бутылок woda mineralna. Prawdopodobieństwo, że butelka zostanie rozbita, wynosi 0,003. Znajdź prawdopodobieństwo, że do sklepu trafią stłuczone butelki: a) dokładnie 2; b) mniej niż dwa; c) więcej niż dwa; d) co najmniej jeden. 1.3 Dla dyskretnej zmiennej losowej X z punktu 1.1 znajdź: a) matematyczne oczekiwanie i wariancję; b) momenty początkowe pierwszego, drugiego i trzeciego rzędu; c) momenty centralne pierwszego, drugiego, trzeciego i czwartego rzędu. 1.4 Korzystając z nierówności Czebyszewa, oszacuj dyskretną zmienną losową X z punktu 1.1. prawdopodobieństwo, że │ X – M(X) │< 0,1
б) Непрерывные случайные величины, числовые характеристики непрерыв-
ных случайных величин, распределения непрерывной случайной величины.
I 1.1 Дана функция распределения непрерывной случайной величины X
0, x ≤ 0;
F(X)= sin x, 0 < x ≤ Π /2;
1, x >Π/2. Znajdź gęstość rozkładu f(x). 1.2 Losowa wartość X jest określone przez gęstość rozkładu f(x) = 2x na przedziale (0; 1); poza tym przedziałem f(x) = 0. Znajdź matematyczne oczekiwanie i wariancję wartości X. 1.3 Zmienna losowa X jest określona przez gęstość rozkładu f(x) = 0,5x w przedziale (0; 2), poza tym przedział f(x) = 0. Znajdź momenty początkowe i środkowe pierwszego, drugiego, trzeciego i czwartego rzędu. 1.4 Znajdź rozrzut i odchylenie standardowe zmiennej losowej X, rozłożone równomiernie w przedziale (2; 8) Ciąg dalszy tabeli. 28 Opcja Zadanie II 1.1 Biorąc pod uwagę dystrybuantę ciągłej zmiennej losowej X 0, x ≤ 0; F(X) = grzech 2x, 0< x ≤ Π /4;
1, x >Π/4. Znajdź gęstość rozkładu f(x). 1.2 Zmienna losowa X jest określona przez gęstość rozkładu f(x) = (1/2)x na przedziale (0; 2); poza tym przedziałem f(x) = 0. Znajdź matematyczne oczekiwanie i wariancję wartości X. 1.3 Zmienna losowa X jest dana przez gęstość rozkładu f(x) = 2x w przedziale (0; 1), poza tym przedziałem f(x) = 0 Znajdź momenty początkowe i środkowe pierwszego, drugiego, trzeciego i czwartego rzędu. 1.4 Zmienne losowe X i Y są niezależne i mają rozkład jednostajny: X w przedziale (a, b), Y w przedziale (c, d). Znajdź matematyczne oczekiwanie i wariancję iloczynu XY III 1.1 Biorąc pod uwagę dystrybuantę ciągłej zmiennej losowej X 0, x≤0; F(X) = cos 2x, 0
Wcześniej numery tramwajów oznaczały dwie kolorowe latarnie. Ile różnych tras można oznaczyć za pomocą ośmiu świateł? różne kolory?
Odpowiedzi:
wzór będzie następujący: 8²=64 64 różne trasy.
Podobne pytania
- Pomyśl o budynkach architektonicznych i rzeźbach renesansu, które mają coś wspólnego z renesansową katedrą i posągiem Verrocchio. Zapisz ich nazwy.
- Wstaw zamiast spacji numer seryjny odpowiednie słowa z proponowanej listy. Słowa podano na liście w pojedynczy, V mianownik. UWAGA: na liście jest więcej słów niż luk w tekście! Klasyfikacja rozróżniająca personel ____ partii w zależności od podstaw i warunków nabycia członkostwa ____ stała się powszechna w _____. Te pierwsze wyróżniają się tym, że tworzą się wokół grupy politycznej ___, a podstawą ich struktury jest komitet działaczy. Partie kadrowe powstają zwykle „od góry” na bazie różnych ___ frakcji i stowarzyszeń biurokracji partyjnej. Strony takie zazwyczaj aktywują swoją działalność jedynie na okres ___. Inne partie to organizacje scentralizowane i zdyscyplinowane. Bardzo ważne podkreślają ___ jedność członków partii. Partie takie powstają najczęściej „od dołu”, na bazie ruchów związkowych i innych ___ ruchów, odzwierciedlających interesy różnych grup społecznych. grupy 1) Socjologia 10) wybory 2) publiczne 11) norma 3 czynnik 12) partia 4) wyborcza 13) parlamentarna 5) narodowa 14) konsensus 6) społeczeństwo 15) ideologiczna 7) masa 16) system 8) impeachment 17) przywódca 9) politologia
- Nr 1 Rozwiąż: 28/5*4 Nr 2 Na osi współrzędnych zaznaczono liczbę a _______o____|___|___|___________> a -1 0 1 1) a; a -1;\frac(1)(a) 2) a;\frac(1)(a);a-1 3) a-1;\frac(1)(a);a 4)a-1; a;\frac(1)(a)
- czy liczba 2008*2011*2012*2014+1 jest idealnym kwadratem?
- W nowo wybudowanym budynku znajduje się 300 mieszkań. Pierwszego dnia zajętych było 120 mieszkań, drugiego – jedna trzecia pozostałych. Ile mieszkań pozostało do wynajęcia?
- Tolik pomnożył liczbę pięciocyfrową przez sumę jej cyfr. Następnie Tolik pomnożył wynik przez sumę swoich liczb (wyniku). Co zaskakujące, znów okazało się, że jest to liczba pięciocyfrowa. Jaką liczbę Tolik pomnożył po raz pierwszy? (Znajdź wszystkie możliwe odpowiedzi.)
Problemy kombinatoryki
| Nazwa parametru | Oznaczający |
| Temat artykułu: | Problemy kombinatoryki |
| Rubryka (kategoria tematyczna) | Matematyka |
1. Plan jednego dnia obejmuje 5 lekcji. Określ liczbę takich harmonogramów przy wyborze spośród jedenastu dyscyplin.
Odpowiedź: 55 440.
2. Komisja składa się z przewodniczącego, zastępcy i pięciu innych osób. Na ile sposobów członkowie komisji mogą podzielić między sobą obowiązki?
Odpowiedź: 42.
3. Na ile sposobów można wybrać trzech funkcjonariuszy pełniących służbę z grupy 20 osób?
Odpowiedź: 1 140.
4. Ile różnych kombinacji dźwięków można zagrać na dziesięciu wybranych klawiszach fortepianu, jeśli każda kombinacja dźwięków może zawierać od trzech do dziesięciu dźwięków?
Odpowiedź: 968.
5. W wazonie znajduje się 10 czerwonych i 5 różowych goździków. Na ile sposobów możesz wybrać pięć goździków tego samego koloru z wazonu?
Odpowiedź: 253.
6. Numery tras tramwajowych są czasami oznaczone dwoma kolorowymi światłami. Ile różnych tras można oznaczyć, używając ośmiu kolorów latarni?
Odpowiedź: 64.
7. Mistrzostwa, w których bierze udział 16 drużyn, rozgrywane są w dwóch rundach (tzn. każda drużyna gra dwa razy z każdą inną drużyną). Ustal, ile spotkań powinno się odbyć.
Odpowiedź: 240.
8.
Zamek otwiera się tylko po wybraniu określonego trzycyfrowego numeru.
Opublikowano na ref.rf
Próba polega na wybraniu losowo trzech cyfr z pięciu podanych.
Opublikowano na ref.rf
Liczbę udało się odgadnąć dopiero w ostatniej ze wszystkich możliwych prób. Ile prób poprzedziło tę udaną?
Odpowiedź: 124.
9. Z grupy 15 osób wybieranych jest czterech uczestników sztafety 800+400+200+100. Na ile sposobów można ustawić zawodników według etapów sztafety?
Odpowiedź: 32 760.
10. Pięcioosobowa drużyna rywalizuje w zawodach pływackich z 20 innymi sportowcami. Na ile sposobów można rozdzielić miejsca zajmowane przez członków tej drużyny?
Odpowiedź: 25!/20!.
11. Na ile sposobów można ustawić na szachownicy dwie wieże tak, aby jedna nie mogła zbić drugiej? (Jedna wieża może wziąć drugą, jeśli znajduje się na tej samej poziomej lub pionowej linii szachownicy.)
Odpowiedź: 3 126.
12. Na szachownicy ustawia się dwie wieże w różnych kolorach, tak aby każda mogła zbić drugą. Ile jest takich lokalizacji?
Odpowiedź: 896.
13. Kolejność występów ośmiu uczestników konkursu ustalana jest w drodze losowania. Ile różnych wyników losowania jest możliwych?
Odpowiedź brzmi ˸ 8!.
14. Trzydzieści osób dzieli się na trzy grupy po 10 osób każda. Ile powinno być różne kompozycje grupy?
Odpowiedź˸ 30!/(10!).
15. Ile liczb czterocyfrowych podzielnych przez 5 można utworzyć z cyfr 0, 1, 3, 5, 7, jeśli każda liczba nie może zawierać tych samych cyfr?
Odpowiedź: 42.
16. Ile różnych świecących pierścieni można utworzyć, umieszczając 10 różnokolorowych żarówek wokół koła (pierścienie uważa się za takie same, jeśli kolory są w tej samej kolejności)?
Odpowiedź brzmi: ˸ 9!.
17. Regał pomieści 30 woluminów. Na ile sposobów można je ułożyć tak, aby tom pierwszy i drugi nie stały obok siebie?
18. Czterech strzelców musi trafić osiem celów (po dwa dla każdego). Na ile sposobów mogą rozdzielić cele między siebie?
Problemy kombinatoryki - pojęcie i rodzaje. Klasyfikacja i cechy kategorii „Problemy kombinatoryki” 2015, 2017-2018.
zbiorem wektorów (b n ) istnieje bijekcja (udowodnij to!). Stąd,
C n m (n) jest równe liczbie wektorów b n. „Długość wektora”b n jest równa liczbie 0 i 1 lub m + +n–
1. Liczba wektorów jest równa liczbie sposobów, na jakie można umieścić m jednostek w m +n 1 miejscach i będzie to C n m + m- 1 .
Przykład 9. W cukierni jest 7 rodzajów ciast. Kupujący bierze 4
ciastka. Na ile sposobów może to zrobić? (Zakłada się, że
ciasta każdego typu 4). | ||||||
Liczba sposobów będzie wynosić C 4 | 210. |
|||||
7+ 4- 1 | 4! 6! 1 2 3 4 |
|||||
Przykład 10. Niech V = (a,b,c). Wielkość próby m = 2. Wymień permutacje, rozmieszczenia, kombinacje, rozmieszczenia z powtórzeniami, kombinacje z powtórzeniami.
1. Permutacje: ( abc , bac , bca , acb , cab , cba ).P 3 =3!=6.
2. Miejsca docelowe: ((ab), (bc), (ac), (ba), (cb), (ca)).A 3 2 1 3 ! ! 6.
3. Kombinacje: ((ab), (ac), (bc)).C 2 | ||||||||||
1! 2! | ||||||||||
4. Rozmieszczenia z powtórzeniami: ((ab), (bc), (ac), (ba), (cb), (ca), (aa), (bb), |
||||||||||
(cc)). | (3)= 32 | |||||||||
Kombinacje | z powtórzeniami: | ((ab ), | (bc), (ca), (aa), (bb), (cc)). |
|||||||
C2(3)C2 | ||||||||||
3+ 2- 1 | ||||||||||
1.2. Problemy kombinatoryki
1. Plan jednego dnia obejmuje 5 lekcji. Określ liczbę takich harmonogramów przy wyborze spośród jedenastu dyscyplin.
Odpowiedź: 55 440.
2. Komisja składa się z przewodniczącego, jego zastępcy i kolejnych pięciu osób.
Na ile sposobów członkowie komisji mogą podzielić między sobą obowiązki?
3. Na ile sposobów możesz wybrać trzech oficerów dyżurnych z grupy 20 osób
Odpowiedź: 1140.
4. Ile różnych kombinacji dźwiękowych można zagrać na dziesięciu wybranych klawiszach fortepianu, jeśli w każdej kombinacji dźwiękowej może znajdować się od trzech do dziesięciu dźwięków?
Odpowiedź: 968.
5. W wazonie znajduje się 10 czerwonych i 5 różowych goździków. Na ile sposobów możesz wybrać pięć goździków tego samego koloru z wazonu?
Odpowiedź: 253.
6. Numery tras tramwajowych są czasami oznaczone dwoma kolorowymi światłami. Ile różnych tras można oznaczyć, używając ośmiu kolorów latarni?
7. Mistrzostwa, w których bierze udział 16 drużyn, rozgrywane są w dwóch rundach (tj.
każda drużyna gra z każdą inną drużyną dwa razy). Ustal, ile spotkań powinno się odbyć.
Odpowiedź: 240.
8. Zamek otwiera się tylko po wybraniu określonego trzycyfrowego numeru. Próba polega na wybraniu losowo trzech cyfr z pięciu podanych. Liczbę udało się odgadnąć dopiero w ostatniej ze wszystkich możliwych prób. Ile prób poprzedziło tę udaną?
Odpowiedź: 124.
9. Z grupy 15 osób wybieranych jest czterech uczestników sztafety
800+400+200+100. Na ile sposobów można ustawić zawodników według etapów sztafety?
Odpowiedź: 32 760.
10. W zawodach pływackich bierze udział pięcioosobowa drużyna,
w których bierze udział kolejnych 20 sportowców. Na ile sposobów można rozdzielić miejsca zajmowane przez członków tej drużyny?
Odpowiedź: 25!/20!.
11. Na ile sposobów można ustawić na szachownicy dwie wieże tak, aby jedna nie mogła zbić drugiej? (Jedna wieża może pokonać drugą,
jeśli jest na tej samej poziomej lub pionowej szachownicy.)
Odpowiedź: 3126.
12. Na szachownicy ustawia się dwie wieże w różnych kolorach, tak aby każda mogła pokonać drugą. Ile jest takich lokalizacji?
Odpowiedź: 896.
13. Kolejność występów ośmiu uczestników konkursu ustalana jest w drodze losowania. Ile różnych wyników losowania jest możliwych?
14. Trzydzieści osób dzieli się na trzy grupy po 10 osób każda.
Ile może być różnych kompozycji grupowych?
Odpowiedź: 30!/(10!) 3.
15. Ile liczb czterocyfrowych podzielnych przez 5 można utworzyć z cyfr 0, 1, 3, 5, 7, jeśli każda liczba nie może zawierać tych samych cyfr?
16. Ile różnych świecących pierścieni można utworzyć, umieszczając 10 różnokolorowych żarówek wokół koła (pierścienie uważa się za takie same, jeśli kolory są w tej samej kolejności)?
17. Półka na książki mieści 30 tomów. Na ile sposobów można je ułożyć tak, aby tom pierwszy i drugi nie stały obok siebie?
Odpowiedź: 30! 2 29!.
18. Czterech strzelców musi trafić osiem celów (po dwa dla każdego). Na ile sposobów mogą rozdzielić cele między siebie?
Odpowiedź: 2520.
19. Z grupy 12 osób codziennie przez 6 dni wybierane są dwie osoby pełniące dyżur. Określ ilość różne listy na służbie, jeśli każda osoba pełni służbę raz.
Odpowiedź: 12!/(2!) 6.
20. Ile liczb czterocyfrowych składających się z cyfr 0, 1, 2, 3, 4, 5 zawiera cyfrę 3 (cyfry nie powtarzają się w liczbach)?
Odpowiedź: 204.
21. Dziesięć grup uczy się w dziesięciu kolejnych klasach. Ile jest możliwości planowania zajęć, w których grupy nr 1 i nr 2 znajdowałyby się w sąsiadujących ze sobą salach lekcyjnych?
Odpowiedź: 2 9!.
22. W turnieju bierze udział 16 szachistów. Określ liczbę różnych schematów pierwszej rundy (harmonogramy uważa się za różne, jeśli uczestnicy przynajmniej jednej gry różnią się; kolor pionków i numer planszy nie są brane pod uwagę).
Odpowiedź: 2 027 025.
23. Sześć pudełek różne materiały dostarczone na pięć pięter placu budowy. Na ile sposobów można rozmieścić materiały pomiędzy piętrami? W ilu wariantach dostarczana jest na piąte piętro? jakiś materiał?
Odpowiedź: 56; 6 45.
24. Dwóch listonoszy musi dostarczyć 10 listów pod 10 adresów. Ile
w jaki sposób mogą rozpowszechniać pracę? Odpowiedź: 210.
25. Metro zatrzymuje się na 16 przystankach, na których wysiadają wszyscy pasażerowie. Na ile sposobów można rozmieścić 100 pasażerów wsiadających do pociągu na ostatnim przystanku pomiędzy tymi przystankami?
Odpowiedź: 16100.
26. Ile liczb trzycyfrowych podzielnych przez 3 można utworzyć z cyfr 0, 1, 2, 3, 4, 5, jeśli każda liczba nie może zawierać tych samych cyfr?
27. Zgromadzenie liczące 80 osób wybiera przewodniczącego, sekretarza i trzech członków komisji rewizyjnej. Na ile sposobów można to zrobić?
Odpowiedź: 80!(3! 75!).
28. Z 10 tenisistek i 6 tenisistek tworzone są 4 gry mieszane. Na ile sposobów można to zrobić?
Odpowiedź: 10!/48.
29. Trzy pojazdy nr 1, 2, 3 mają dostarczać towar do sześciu sklepów. Na ile sposobów można wykorzystać maszyny, jeżeli nośność każdej z nich pozwala na zabranie towaru do wszystkich sklepów na raz i jeżeli dwie maszyny
V ten sam sklep nie jest wysyłany? Ile wariantów trasy jest możliwych, jeśli zdecydujesz się skorzystać wyłącznie z samochodu nr 1?
Odpowiedź: 3 6 6!.
30. Czterech chłopców i dwie dziewczynki wybierają sekcję sportową. Do sekcji hokeja i boksu przyjmowani są wyłącznie chłopcy; rytmiczna gimnastyka- tylko dziewczęta, a w sekcji narciarsko-łyżwiarskiej - zarówno chłopcy, jak i dziewczęta. Na ile sposobów można rozdzielić tych sześć osób pomiędzy sekcje?
Odpowiedź: 2304.
31. Z laboratorium, które zatrudnia 20 osób, w podróż służbową musi udać się 5 pracowników. Ile różnych kompozycji tej grupy może być?
jeżeli kierownik laboratorium, jego zastępca i Główny inżynier Czy nie powinni wyjechać w tym samym czasie?
Odpowiedź: 15 368.
32. W klubie fortepianowym uczy się 10 osób; słowo artystyczne–15, w kręgu wokalnym – 12, w kręgu fotograficznym – 20 osób.
Na ile sposobów można utworzyć zespół składający się z czterech czytelników, trzech pianistów, pięciu śpiewaków i jednego fotografa?
Odpowiedź: 15!10/7!
33. Czterem graczom rozdano dwadzieścia osiem kostek domina. Ile różnych dystrybucji jest możliwych?
Odpowiedź: 28!/(74 .!}
34. Z grupy 15 osób należy wybrać brygadzistę i 4 członków zespołu. Na ile sposobów można to zrobić?
Odpowiedź: 15 015.
35. Pięciu uczniów należy podzielić na trzy równoległe klasy.
Na ile sposobów można to zrobić? Odpowiedź: 35.
36. Winda zatrzymuje się na 10 piętrach. Na ile sposobów można rozmieścić 8 pasażerów windy pomiędzy tymi przystankami?
Odpowiedź: 108.
Na ile sposobów można podzielić materiał między autorów, jeśli dwie osoby napiszą po trzy rozdziały, cztery osoby napiszą po dwa rozdziały, a dwie osoby napiszą po jednym rozdziale?
Odpowiedź: 16!/(26 32 ).
38. W turnieju szachowym uczestniczy 8 szachistów III klasy, 6 –
drugiej i 2 pierwszej klasy. Określ liczbę takich kompozycji pierwszej rundy, aby szachiści tej samej kategorii spotkali się ze sobą (kolor figur nie jest brany pod uwagę).
Odpowiedź: 420.
39. Z liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 powstają wszelkiego rodzaju liczby pięciocyfrowe: takie, które nie zawierają identycznych cyfr. Określ liczbę liczb w
które mają jednocześnie liczby 2, 4 i 5.
Odpowiedź: 1800.
40. W dwóch workach należy umieścić siedem jabłek i dwie pomarańcze, tak aby w każdym worku znajdowała się co najmniej jedna pomarańcza i aby liczba owoców w nich była jednakowa. Na ile sposobów można to zrobić?
Odpowiedź: 105.
41. Litery alfabetu Morse'a składają się z symboli (kropek i kresek). Ile liter możesz narysować, jeśli chcesz, aby każda litera zawierała nie więcej niż pięć znaków?
42. Numer przyczepy pojazdu składa się z dwóch liter i czterech cyfr.
Ile różnych liczb można ułożyć z 30 liter i 10 cyfr?
Odpowiedź: 9 106.
43. Ogrodnik musi w ciągu trzech dni zasadzić 10 drzew. Na ile sposobów może rozłożyć swoją pracę na dni, jeśli sadzi co najmniej jedno drzewo dziennie?
44. Z wazonu zawierającego 10 czerwonych i 4 różowe goździki wybierz jeden czerwony i dwa różowe kwiaty. Na ile sposobów można to zrobić?
45. Dwunastu uczniów otrzymało dwie wersje testu.
Na ile sposobów uczniowie mogą usiąść w dwóch rzędach, tak aby ci, którzy siedzą obok siebie, nie mieli takich samych możliwości, ale ci, którzy siedzą obok siebie, mieli tę samą możliwość?
Odpowiedź: 2(6!)2.
46. Każdy z dziesięciu radiooperatorów w punkcie A stara się nawiązać kontakt z każdym z dwudziestu radiooperatorów w punkcie B. Jak najwięcej różne opcje takie połączenie?
Odpowiedź: 2200.
47. Sześć skrzynek z różnymi materiałami dostarcza się na osiem pięter placu budowy. Na ile sposobów można rozmieścić materiały pomiędzy piętrami? W
W ilu wariantach na ósme piętro zostaną dostarczone nie więcej niż dwa materiały?
Odpowiedź: 86; 86 –13 75 .
48. Na ile sposobów można ustawić dwóch graczy w jednej linii? drużyny piłkarskie aby dwóch zawodników tej samej drużyny nie stało obok siebie?
Odpowiedź: 2(11!)2.
49. Na półce znajdują się książki z matematyki i logiki – łącznie 20 książek.
Pokaż co największa liczba opcje na zestaw zawierający 5 książek z matematyki i 5 książek z logiki są możliwe w przypadku, gdy liczba książek na półce z każdego przedmiotu wynosi 10.
Odpowiedź: C 5 10–x C 5 10+x(C 5 10) 2.
50 . Winda przewożąca 9 pasażerów może zatrzymać się na dziesięciu piętrach. Pasażerowie wysiadają w grupach dwuosobowych, trzy- i czteroosobowych.
Na ile sposobów może się to zdarzyć?
Odpowiedź: 10!/4.
51. „Wczesnym rankiem uśmiechnięty Igor rzucił się boso na ryby”.
Ile różnych sensownych zdań można ułożyć, używając części słów tego zdania, ale bez zmiany ich kolejności?
52. W meczu szachowym pomiędzy dwoma zespołami złożonymi z 8 osób uczestnicy partii oraz kolor pionków każdego uczestnika są ustalane w drodze losowania. Jaka jest liczba różnych wyników losowania?
10 6 .
Odpowiedź: 28 8!.
53. A i B oraz 8 innych osób stoją w kolejce. Na ile sposobów można ustawić ludzi w kolejce, tak aby A i B oddzielały od siebie trzy osoby?
Odpowiedź: 6 8! 2!.
54. Ile liczb czterocyfrowych można utworzyć z liczb 0, 1, 2, 3, 4, 5,
jeżeli a) liczby się nie powtarzają; b) liczby mogą się powtarzać; c) stosuje się wyłącznie liczby nieparzyste i można je powtarzać; d) powinno się tylko okazać liczby nieparzyste i liczby mogą się powtarzać.
Odpowiedź: a) 5 5 4 3=300; b) 5 6 = 1080; c) 34; d) 5 6 6 3 = 540.
55. W klasie uczy się 10 przedmiotów. Na ile sposobów możesz ułożyć plan zajęć na poniedziałek, jeśli w poniedziałek jest 6 lekcji i wszystkie są inne?
56. Na jednej prostej znajduje się m punktów i n punktów na prostej do niej równoległej.
Ile trójkątów mających wierzchołki w tych punktach można uzyskać?
Odpowiedź: mC n 2 nC m 2 .
57. Ile jest liczb pięciocyfrowych, które czyta się tak samo od prawej do lewej i od lewej do prawej, na przykład 67876.
Odpowiedź: 9 10 10 = 900.
58. Ile różnych dzielników (wliczając 1 i samą liczbę) ma ta liczba?
35 54 ?
59. W macierzy prostokątnej A = (a ij )m wierszy i n kolumn. Każdy n n = 2n –1.
61. Ile jest liczb czterocyfrowych, w których każda kolejna cyfra jest większa od poprzedniej?
Odpowiedź: C 9 4 = 126.
62. Ile jest liczb czterocyfrowych, w których każda kolejna cyfra jest mniejsza od poprzedniej?
Odpowiedź: C 10 4 = 210.
63. W grze jest p białych i q czarnych kul. Na ile sposobów można je ułożyć w rzędzie, aby nie było 2
czy w pobliżu nie było czarnych kul (q p + 1)?
Odpowiedź: C q.p 1
64. Jest p różnych ksiąg w czerwonych oprawach i q różnych ksiąg w niebieskich oprawach (q p + 1).
Na ile sposobów można je ułożyć w rzędzie, tak aby żadne dwie książki w niebieskich oprawach nie stały obok siebie?
Odpowiedź: C q p! Q! .s. 1
65. Na ile sposobów można uporządkować liczby (1, 2, ...n) tak, aby liczby 1, 2, 3 znajdowały się obok siebie w kolejności rosnącej?
Odpowiedź: (n – 2)!.
66. Na posiedzeniu musi brać udział 4 mówców: A, B, C i D oraz B nie mogą przemawiać przed A.
Na ile sposobów można ustalić ich kolejność?
Odpowiedź: 12 = 3! + 2 2 +2.
67. Na ile sposobów można podzielić m +n +s obiektów na 3 grupy, tak aby jedna grupa zawierała m obiektów, druga -n, a trzecia -s.
Odpowiedź: (m + n + s)!.
68. Ile całkowitych nieujemnych rozwiązań ma równanie x 1 +x 2 + ... +x m =n?
Odpowiedź: C n .n m 1
69. Znajdź liczbę wektorów = (1 2 ...n), których współrzędne spełniają warunki:
1) i (0, 1);
2) i (0, 1, ...k – 1); 3)i (0, 1, ...k i – 1);
4) ja (0, 1) i1 +2 + ... +n =r.
Odpowiedź: 1) 2n ; 2) k n ; 3)k 1 k 2 ...k n ; 4)
70. Jaka jest liczba macierzy (a ij), gdzie a ij (0,1) i w których znajduje się m wierszy i n kolumn? 1) sznurki mogą
powtarzać; 2) ciągi są różne parami.
Odpowiedź: 1) 2m n ; 2) .