Dlaczego stopień zerowy jest równy 1. Problemy do samodzielnego rozwiązania

Pierwszy poziom

Stopień i jego właściwości. Kompleksowy przewodnik (2019)

Dlaczego potrzebne są stopnie naukowe? Gdzie będą potrzebne? Dlaczego warto poświęcić czas na ich przestudiowanie?

Aby dowiedzieć się wszystkiego o stopniach, do czego służą i jak wykorzystać swoją wiedzę Życie codzienne przeczytaj ten artykuł.

I oczywiście znajomość stopni przybliży Cię do tego pomyślne Egzamin OGE czyli Unified State Exam i przyjęcie na uczelnię Twoich marzeń.

Chodźmy, chodźmy!)

Ważna uwaga! Jeśli zamiast formuł widzisz Gobbledygook, wyczyść pamięć podręczną. Aby to zrobić, naciśnij CTRL+F5 (w systemie Windows) lub Cmd+R (na komputerze Mac).

PIERWSZY POZIOM

Podnoszenie do potęgi jest takie samo działanie matematyczne jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie lub dzielenie.

Teraz wszystko wyjaśnię język ludzki bardzo proste przykłady. Bądź ostrożny. Przykłady są elementarne, ale wyjaśniają ważne rzeczy.

Zacznijmy od dodawania.

Nie ma tu nic do wyjaśniania. Wiesz już wszystko: jest nas ośmioro. Każdy ma dwie butelki coli. Ile jest tam coli? Zgadza się - 16 butelek.

Teraz mnożenie.

Ten sam przykład z colą można zapisać inaczej: . Matematycy to przebiegli i leniwi ludzie. Najpierw zauważają pewne wzorce, a następnie wymyślają sposób, aby je szybciej „policzyć”. W naszym przypadku zauważyli, że każda z ośmiu osób miała taką samą liczbę butelek coli i wymyślili technikę zwaną mnożeniem. Zgadzam się, jest to uważane za łatwiejsze i szybsze niż.


Aby więc liczyć szybciej, łatwiej i bez błędów, wystarczy pamiętać tabliczka mnożenia. Oczywiście wszystko można robić wolniej, trudniej i z błędami! Ale…

Oto tabliczka mnożenia. Powtarzać.

I jeszcze jeden, piękniejszy:

Jakie inne sprytne sztuczki z liczeniem wymyślają leniwi matematycy? Prawidłowy - podnoszenie liczby do potęgi.

Podnoszenie liczby do potęgi

Jeśli chcesz pomnożyć liczbę pięć razy, matematycy mówią, że musisz podnieść tę liczbę do potęgi piątej. Na przykład, . Matematycy pamiętają, że dwa do potęgi piątej to... A takie problemy rozwiązują w głowie – szybciej, łatwiej i bez błędów.

Wszystko, co musisz zrobić, to pamiętaj, co jest zaznaczone kolorem w tabeli potęg liczb. Uwierz mi, to znacznie ułatwi Ci życie.

Swoją drogą, dlaczego nazywa się to drugim stopniem? kwadrat liczby, a trzeci - sześcian? Co to znaczy? Bardzo dobre pytanie. Teraz będziesz mieć zarówno kwadraty, jak i sześciany.

Przykład z życia wzięty nr 1

Zacznijmy od kwadratu lub drugiej potęgi liczby.

Wyobraź sobie kwadratowy basen o wymiarach jeden metr na jeden metr. Basen jest na twojej daczy. Jest gorąco i bardzo chcę popływać. Ale... basen nie ma dna! Musisz przykryć dno basenu płytkami. Ile płytek potrzebujesz? Aby to ustalić, musisz znać dolny obszar basenu.

Możesz po prostu obliczyć, wskazując palcem, że dno basenu składa się z kostek metr po metrze. Jeśli masz płytki o wymiarach metr na metr, będziesz potrzebować kawałków. To proste... Tylko gdzie widziałeś takie płytki? Płytka najprawdopodobniej będzie miała wymiary cm na cm, a wtedy będziesz torturowany „liczeniem palcem”. Następnie musisz pomnożyć. Zatem po jednej stronie dna basenu ułożymy płytki (kawałki), a po drugiej także płytki. Pomnóż przez, a otrzymasz płytki ().

Czy zauważyłeś, że aby określić powierzchnię dna basenu, pomnożyliśmy tę samą liczbę przez siebie? Co to znaczy? Ponieważ mnożymy tę samą liczbę, możemy zastosować technikę „potęgowania”. (Oczywiście, gdy masz tylko dwie liczby, nadal musisz je pomnożyć lub podnieść do potęgi. Ale jeśli masz ich dużo, to podniesienie ich do potęgi jest znacznie łatwiejsze i jest też mniej błędów w obliczeniach W przypadku egzaminu Unified State Exam jest to bardzo ważne).
Zatem trzydzieści do potęgi drugiej będzie (). Albo możemy powiedzieć, że będzie to trzydzieści do kwadratu. Innymi słowy, drugą potęgę liczby zawsze można przedstawić w postaci kwadratu. I odwrotnie, jeśli widzisz kwadrat, ZAWSZE jest to druga potęga jakiejś liczby. Kwadrat jest obrazem drugiej potęgi liczby.

Przykład z życia wzięty nr 2

Oto zadanie dla Ciebie: policz, ile kwadratów jest na szachownicy, korzystając z kwadratu liczby... Po jednej stronie komórek i po drugiej. Aby obliczyć ich liczbę, należy pomnożyć osiem przez osiem lub... jeśli zauważysz, że szachownica to kwadrat z bokiem, to możesz podnieść do kwadratu osiem. Dostaniesz komórki. () Więc?

Przykład z życia wzięty nr 3

Teraz sześcian lub trzecia potęga liczby. Ten sam basen. Ale teraz musisz dowiedzieć się, ile wody trzeba będzie wlać do tego basenu. Musisz obliczyć objętość. (Nawiasem mówiąc, objętości i płyny są mierzone w metry sześcienne. Nieoczekiwane, prawda?) Narysuj basen: dno o wymiarach metr i głębokość metr i spróbuj policzyć, ile kostek o wymiarach metr na metr zmieści się w twoim basenie.

Wystarczy wskazać palcem i liczyć! Raz, dwa, trzy, cztery... dwadzieścia dwa, dwadzieścia trzy... Ile dostałeś? Niestracony? Czy trudno jest liczyć na palcu? Aby! Weź przykład z matematyków. Są leniwi, więc zauważyli, że aby obliczyć objętość basenu, trzeba pomnożyć przez siebie jego długość, szerokość i wysokość. W naszym przypadku objętość basenu będzie równa kostkom... Łatwiej, prawda?

A teraz wyobraźcie sobie, jak leniwi i przebiegli są matematycy, gdyby to także uprościli. Sprowadziliśmy wszystko do jednej akcji. Zauważyli, że długość, szerokość i wysokość są równe i że ta sama liczba jest mnożona przez samą siebie... Co to oznacza? Oznacza to, że możesz skorzystać z dyplomu. Zatem to, co kiedyś liczyłeś palcem, robią w jednej akcji: trzy kostki są równe. Jest napisane tak: .

Jedyne co pozostaje to pamiętaj o tabeli stopni. Chyba że jesteś równie leniwy i przebiegły jak matematycy. Jeśli lubisz ciężko pracować i popełniać błędy, możesz dalej liczyć palcem.

Cóż, aby w końcu przekonać Cię, że stopnie naukowe zostały wymyślone przez rezygnujących i przebiegłych ludzi, aby rozwiązać własne problemy życiowe, żeby nie sprawiać Ci problemów, oto jeszcze kilka przykładów z życia.

Przykład z życia wzięty nr 4

Masz milion rubli. Na początku każdego roku za każdy zarobiony milion zarabiasz kolejny milion. Oznacza to, że każdy milion, który masz, podwaja się na początku każdego roku. Ile pieniędzy będziesz mieć za lata? Jeśli teraz siedzisz i „liczysz palcem”, to znaczy, że jesteś bardzo ciężko pracujący człowiek i głupi. Ale najprawdopodobniej dasz odpowiedź za kilka sekund, ponieważ jesteś mądry! A więc w pierwszym roku - dwa pomnożone przez dwa... w drugim roku - co się stało, przez kolejne dwa, w trzecim roku... Przestań! Zauważyłeś, że liczba jest mnożona przez samą siebie razy. Zatem dwa do potęgi piątej to milion! A teraz wyobraź sobie, że masz konkurencję i ten, kto najszybciej policzy, zgarnie te miliony... Warto pamiętać o sile liczb, nie sądzisz?

Przykład z życia wzięty nr 5

Masz milion. Na początku każdego roku za każdy zarobiony milion zarabiasz dwa dodatkowe. Świetnie, prawda? Każdy milion jest potrójny. Ile pieniędzy będziesz mieć za rok? Policzmy. Pierwszy rok - pomnóż przez, potem wynik przez kolejny... To już jest nudne, bo już wszystko zrozumiałeś: trzy mnoży się przez siebie razy. Zatem do potęgi czwartej jest to milion. Musisz tylko pamiętać, że trzy do potęgi czwartej to lub.

Teraz już wiesz, że podnosząc liczbę do potęgi, znacznie ułatwisz sobie życie. Przyjrzyjmy się bliżej, co możesz zrobić dzięki stopniom i co musisz o nich wiedzieć.

Terminy i pojęcia... żeby się nie pomylić

Najpierw zdefiniujmy pojęcia. Co myślisz, co to jest wykładnik? To bardzo proste – jest to liczba znajdująca się „na górze” potęgi liczby. Nie naukowe, ale jasne i łatwe do zapamiętania...

A jednocześnie co taka podstawa stopnia? Jeszcze prościej - jest to liczba znajdująca się poniżej, u podstawy.

Oto rysunek na dokładkę.

Cóż, w ogólna perspektywa, żeby uogólnić i lepiej zapamiętać... Stopień o podstawie „ ” i wykładniku „ ” czyta się jako „w stopniu” i zapisuje się w następujący sposób:

Potęga liczby z wykładnikiem naturalnym

Prawdopodobnie już zgadłeś: ponieważ wykładnik jest liczbą naturalną. Tak, ale co to jest Liczba naturalna? Podstawowy! Liczby naturalne to liczby używane do liczenia przy wymienianiu obiektów: jeden, dwa, trzy... Kiedy liczymy przedmioty, nie mówimy: „minus pięć”, „minus sześć”, „minus siedem”. Nie mówimy też: „jedna trzecia” lub „przecinek zero”. To nie są liczby naturalne. Jak myślisz, jakie to liczby?

Liczby takie jak „minus pięć”, „minus sześć”, „minus siedem” odnoszą się do wszystkie liczby. Ogólnie rzecz biorąc, liczby całkowite obejmują wszystkie liczby naturalne, liczby przeciwne liczbom naturalnym (to znaczy wzięte ze znakiem minus) i liczbę. Zero jest łatwe do zrozumienia – wtedy, gdy nie ma nic. Co oznaczają liczby ujemne („minus”)? Ale zostały wymyślone przede wszystkim po to, aby wskazać długi: jeśli masz saldo na telefonie w rublach, oznacza to, że jesteś winien operatorowi ruble.

Wszystkie ułamki są liczby wymierne. Jak powstały, jak myślisz? Bardzo prosta. Kilka tysięcy lat temu nasi przodkowie odkryli, że im tego brakuje liczby naturalne do pomiaru długości, masy, powierzchni itp. I wymyślili liczby wymierne... Ciekawe, prawda?

Czy jest jeszcze coś? liczby niewymierne. Co to za liczby? Krótko mówiąc, jest to nieskończony ułamek dziesiętny. Na przykład, jeśli podzielisz obwód koła przez jego średnicę, otrzymasz liczbę niewymierną.

Streszczenie:

Zdefiniujmy pojęcie stopnia, którego wykładnikiem jest liczba naturalna (tzn. całkowita i dodatnia).

  1. Każda liczba do pierwszej potęgi jest równa sobie:
  2. Podniesienie liczby do kwadratu oznacza pomnożenie jej przez samą siebie:
  3. Poszerzyć liczbę do sześcianu oznacza pomnożyć ją przez samą siebie trzykrotnie:

Definicja. Podniesienie liczby do potęgi naturalnej oznacza pomnożenie liczby przez nią samą razy:
.

Właściwości stopni

Skąd wzięły się te nieruchomości? Pokażę ci teraz.

Zobaczmy: co to jest I ?

Priorytet A:

Ile jest w sumie mnożników?

To bardzo proste: dodaliśmy mnożniki do czynników i otrzymaliśmy mnożniki.

Ale z definicji jest to potęga liczby z wykładnikiem, czyli: , co należało udowodnić.

Przykład: Uprość wyrażenie.

Rozwiązanie:

Przykład: Uprość wyrażenie.

Rozwiązanie: Warto o tym pamiętać w naszej regule Koniecznie muszą być te same powody!
Dlatego łączymy moce z bazą, ale pozostaje to osobnym czynnikiem:

tylko dla iloczynu mocy!

W żadnym wypadku nie możesz tak pisać.

2. to wszystko potęga liczby

Podobnie jak w przypadku poprzedniej własności, przejdźmy do definicji stopnia:

Okazuje się, że wyrażenie jest mnożone przez siebie razy, czyli zgodnie z definicją jest to potęga liczby:

Zasadniczo można to nazwać „wyjęciem wskaźnika z nawiasów”. Ale nigdy nie możesz tego zrobić w sumie:

Przypomnijmy sobie skrócone wzory na mnożenie: ile razy chcieliśmy pisać?

Ale to w końcu nieprawda.

Moc o podstawie ujemnej

Do tego momentu omawialiśmy jedynie, jaki powinien być wykładnik.

Ale co powinno być podstawą?

W uprawnieniach naturalny wskaźnik może być podstawa Jakikolwiek numer. Rzeczywiście, możemy pomnożyć przez siebie dowolne liczby, niezależnie od tego, czy są one dodatnie, ujemne, czy nawet.

Zastanówmy się, które znaki („” lub „”) będą miały stopnie liczb dodatnich i ujemnych?

Na przykład, czy liczba jest dodatnia czy ujemna? A? ? W przypadku pierwszego wszystko jest jasne: niezależnie od tego, ile liczb dodatnich pomnożymy przez siebie, wynik będzie dodatni.

Ale te negatywne są trochę bardziej interesujące. Pamiętamy prostą zasadę z szóstej klasy: „minus za minus daje plus”. To znaczy, lub. Ale jeśli pomnożymy przez, to zadziała.

Ustal sam, jaki znak będą miały następujące wyrażenia:

1) 2) 3)
4) 5) 6)

Czy udało Ci się?

Oto odpowiedzi: Mam nadzieję, że w pierwszych czterech przykładach wszystko jest jasne? Po prostu patrzymy na podstawę i wykładnik i stosujemy odpowiednią regułę.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

W przykładzie 5) wszystko też nie jest tak straszne, jak się wydaje: w końcu nie ma znaczenia, jaka jest podstawa - stopień jest równy, co oznacza, że ​​​​wynik zawsze będzie dodatni.

No chyba, że ​​podstawa wynosi zero. Podstawa nie jest równa, prawda? Oczywiście, że nie, ponieważ (ponieważ).

Przykład 6) nie jest już takie proste!

6 przykładów do przećwiczenia

Analiza rozwiązania 6 przykładów

Jeśli zignorujemy potęgę ósmą, co tutaj zobaczymy? Przypomnijmy program dla klasy 7. Pamiętasz? To jest wzór na skrócone mnożenie, czyli różnicę kwadratów! Otrzymujemy:

Przyjrzyjmy się uważnie mianownikowi. Wygląda bardzo podobnie do jednego z czynników licznikowych, ale co jest nie tak? Kolejność terminów jest niewłaściwa. Gdyby zostały odwrócone, zasada mogłaby mieć zastosowanie.

Ale jak to zrobić? Okazuje się, że jest to bardzo proste: pomaga nam tutaj parzysty stopień mianownika.

W magiczny sposób terminy zmieniły miejsca. To „zjawisko” dotyczy w równym stopniu każdego wyrażenia: łatwo możemy zmienić znaki w nawiasach.

Ale ważne jest, aby pamiętać: wszystkie znaki zmieniają się w tym samym czasie!

Wróćmy do przykładu:

I znowu formuła:

Cały nazywamy liczby naturalne, ich przeciwieństwa (to znaczy wzięte ze znakiem „ ”) i liczbę.

cały Liczba dodatnia i nie różni się niczym od naturalnego, wtedy wszystko wygląda dokładnie tak, jak w poprzedniej sekcji.

Przyjrzyjmy się teraz nowym przypadkom. Zacznijmy od wskaźnika równego.

Każda liczba do potęgi zerowej jest równa jeden:

Jak zawsze zadajmy sobie pytanie: dlaczego tak jest?

Rozważmy pewien stopień z podstawą. Weźmy na przykład i pomnóżmy przez:

Więc pomnożyliśmy liczbę przez i otrzymaliśmy to samo, co było - . Przez jaką liczbę należy pomnożyć, aby nic się nie zmieniło? Zgadza się, dalej. Oznacza.

To samo możemy zrobić z dowolną liczbą:

Powtórzmy regułę:

Każda liczba do potęgi zerowej jest równa jeden.

Ale są wyjątki od wielu zasad. I tutaj też jest - to jest liczba (jako podstawa).

Z jednej strony musi być równy dowolnemu stopniowi - bez względu na to, ile pomnożysz zero przez samo, nadal otrzymasz zero, to jasne. Ale z drugiej strony, jak każda liczba do potęgi zerowej, musi być równa. Ile w tym prawdy? Matematycy postanowili się nie angażować i odmówili podniesienia do zera stopień zerowy. Oznacza to, że teraz nie możemy nie tylko podzielić przez zero, ale także podnieść go do potęgi zerowej.

Przejdźmy dalej. Oprócz liczb naturalnych i liczb, liczby całkowite obejmują również liczby ujemne. Aby zrozumieć, czym jest stopień ujemny, zróbmy jak w ostatni raz: pomnóż trochę normalny numer w tym samym stopniu negatywnym:

Stąd łatwo jest wyrazić, czego szukasz:

Rozszerzmy teraz otrzymaną regułę w dowolnym stopniu:

Sformułujmy więc regułę:

Liczba o potędze ujemnej jest odwrotnością tej samej liczby o potędze dodatniej. Ale w tym samym czasie Podstawa nie może mieć wartości null:(ponieważ nie można dzielić przez).

Podsumujmy:

I. Wyrażenie nie jest w tym przypadku zdefiniowane. Jeśli następnie.

II. Dowolna liczba do potęgi zerowej jest równa jeden: .

III. Numer, nie równy zeru, w stopniu ujemnym jest odwrotnością tej samej liczby w stopniu dodatnim: .

Zadania do samodzielnego rozwiązania:

No cóż, jak zwykle przykłady niezależna decyzja:

Analiza problemów w celu samodzielnego rozwiązania:

Wiem, wiem, liczby przerażają, ale na Unified State Exam trzeba być przygotowanym na wszystko! Rozwiąż te przykłady lub przeanalizuj ich rozwiązania, jeśli nie mogłeś ich rozwiązać, a na egzaminie nauczysz się łatwo sobie z nimi radzić!

Kontynuujmy poszerzanie zakresu liczb „odpowiednich” jako wykładnik.

Teraz rozważmy liczby wymierne. Jakie liczby nazywamy wymiernymi?

Odpowiedź: wszystko, co można przedstawić jako ułamek, gdzie i są liczbami całkowitymi, i.

Aby zrozumieć, co to jest „stopień ułamkowy”, rozważ ułamek:

Podnieśmy obie strony równania do potęgi:

Przypomnijmy sobie teraz zasadę dot „stopień do stopnia”:

Jaką liczbę należy podnieść do potęgi, aby otrzymać?

To sformułowanie jest definicją pierwiastka stopnia VII.

Przypomnę: pierwiastek z potęgi liczby () to liczba, która podniesiona do potęgi jest równa.

Oznacza to, że pierwiastkiem potęgi th jest odwrotna operacja podniesienia do potęgi: .

Okazało się, że. Oczywiście to szczególny przypadek można rozszerzyć: .

Teraz dodajemy licznik: co to jest? Odpowiedź jest łatwa do uzyskania, korzystając z reguły mocy do potęgi:

Ale czy podstawa może być dowolną liczbą? W końcu nie można wyodrębnić pierwiastka ze wszystkich liczb.

Nic!

Pamiętajmy o zasadzie: każda liczba podniesiona do potęgi parzystej jest liczbą dodatnią. Oznacza to, że nie da się wyodrębnić pierwiastków parzystych z liczb ujemnych!

Oznacza to, że takich liczb nie można podnieść do potęgi ułamkowej o parzystym mianowniku, to znaczy wyrażenie nie ma sensu.

A co z wyrażeniem?

Ale tutaj pojawia się problem.

Liczbę można przedstawić w postaci innych, redukowalnych ułamków, na przykład lub.

I okazuje się, że istnieje, ale nie istnieje, ale to tylko dwa różne wpisy ten sam numer.

Albo inny przykład: raz, potem możesz to zapisać. Jeśli jednak zapiszemy wskaźnik inaczej, znów wpadniemy w kłopoty: (czyli otrzymaliśmy zupełnie inny wynik!).

Aby uniknąć takich paradoksów, zastanawiamy się tylko dodatni wykładnik podstawowy z wykładnikiem ułamkowym.

Więc jeśli:

  • - Liczba naturalna;
  • - liczba całkowita;

Przykłady:

Wymierne wykładniki są bardzo przydatne do przekształcania wyrażeń z pierwiastkami, na przykład:

5 przykładów do przećwiczenia

Analiza 5 przykładów do szkolenia

Cóż, teraz najtrudniejsza część. Teraz się o tym przekonamy stopień z niewymiernym wykładnikiem.

Wszystkie zasady i właściwości stopni są tutaj dokładnie takie same, jak w przypadku stopnia z wymiernym wykładnikiem, z wyjątkiem

Przecież z definicji liczby niewymierne to liczby, których nie można przedstawić w postaci ułamka zwykłego, gdzie i są liczbami całkowitymi (tzn. wszystkie liczby niewymierne są liczbami rzeczywistymi z wyjątkiem wymiernych).

Badając stopnie z wykładnikami naturalnymi, całkowitymi i wymiernymi, za każdym razem tworzyliśmy pewien „obraz”, „analogię” lub opis w bardziej znanych terminach.

Na przykład stopień z wykładnikiem naturalnym to liczba pomnożona przez siebie kilka razy;

...liczbę do potęgi zerowej- jest to jakby liczba pomnożona raz przez siebie, to znaczy nie zaczęli jej jeszcze mnożyć, co oznacza, że ​​​​sama liczba jeszcze się nawet nie pojawiła - dlatego wynikiem jest tylko pewna „pusta liczba” , czyli liczba;

...stopień ujemnej liczby całkowitej- jakby coś się stało” proces odwrotny”, czyli liczba nie została pomnożona przez siebie, ale podzielona.

Nawiasem mówiąc, stopień naukowy z wskaźnik złożony, czyli wskaźnik nie jest nawet liczbą rzeczywistą.

Ale w szkole nie myślimy o takich trudnościach; będziesz miał okazję zrozumieć te nowe koncepcje w instytucie.

GDZIE JESTEŚMY NA PEWNO, ŻE DOJEDZIESZ! (jeśli nauczysz się rozwiązywać takie przykłady :))

Na przykład:

Zdecyduj sam:

Analiza rozwiązań:

1. Zacznijmy od zwykłej zasady podnoszenia potęgi do potęgi:

Teraz spójrz na wskaźnik. Czy on ci niczego nie przypomina? Przypomnijmy sobie wzór na skrócone mnożenie różnicy kwadratów:

W tym przypadku,

Okazało się, że:

Odpowiedź: .

2. Ułamki zwykłe w wykładnikach redukujemy do tej samej postaci: albo oba ułamki dziesiętne, albo oba zwykłe. Otrzymujemy na przykład:

Odpowiedź: 16

3. Nic specjalnego, używamy zwykłych właściwości stopni:

POZIOM ZAAWANSOWANY

Określenie stopnia

Stopień jest wyrażeniem postaci: , gdzie:

  • — podstawa stopnia;
  • - wykładnik.

Stopień ze wskaźnikiem naturalnym (n = 1, 2, 3,...)

Podniesienie liczby do potęgi naturalnej n oznacza pomnożenie liczby przez nią samą razy:

Stopień z wykładnikiem całkowitym (0, ±1, ±2,...)

Jeśli wykładnik jest Dodatnia liczba całkowita numer:

Budowa do stopnia zerowego:

Wyrażenie jest nieokreślone, ponieważ z jednej strony w dowolnym stopniu jest to, a z drugiej strony dowolna liczba do th stopnia jest tym.

Jeśli wykładnik jest ujemna liczba całkowita numer:

(ponieważ nie można dzielić przez).

Jeszcze raz o zerach: wyrażenie nie jest zdefiniowane w przypadku. Jeśli następnie.

Przykłady:

Potęga z wykładnikiem wymiernym

  • - Liczba naturalna;
  • - liczba całkowita;

Przykłady:

Właściwości stopni

Aby ułatwić rozwiązywanie problemów, spróbujmy zrozumieć: skąd wzięły się te właściwości? Udowodnijmy je.

Zobaczmy: co jest i?

Priorytet A:

Zatem po prawej stronie tego wyrażenia otrzymujemy następujący iloczyn:

Ale z definicji jest to potęga liczby z wykładnikiem, czyli:

co było do okazania

Przykład : Uprość wyrażenie.

Rozwiązanie : .

Przykład : Uprość wyrażenie.

Rozwiązanie : Ważne jest, aby pamiętać, że w naszej regule Koniecznie muszą być te same powody. Dlatego łączymy moce z bazą, ale pozostaje to osobnym czynnikiem:

Kolejna ważna uwaga: ta zasada - tylko dla iloczynu mocy!

W żadnym wypadku nie możesz tak pisać.

Podobnie jak w przypadku poprzedniej własności, przejdźmy do definicji stopnia:

Przegrupujmy tę pracę w następujący sposób:

Okazuje się, że wyrażenie jest mnożone przez siebie razy, czyli zgodnie z definicją jest to potęga liczby:

Zasadniczo można to nazwać „wyjęciem wskaźnika z nawiasów”. Ale nigdy nie możesz tego zrobić w całości: !

Przypomnijmy sobie skrócone wzory na mnożenie: ile razy chcieliśmy pisać? Ale to w końcu nieprawda.

Moc o podstawie ujemnej.

Do tego momentu omawialiśmy jedynie, jak to powinno wyglądać indeks stopni. Ale co powinno być podstawą? W uprawnieniach naturalny wskaźnik może być podstawa Jakikolwiek numer .

Rzeczywiście, możemy pomnożyć przez siebie dowolne liczby, niezależnie od tego, czy są one dodatnie, ujemne, czy nawet. Zastanówmy się, które znaki („” lub „”) będą miały stopnie liczb dodatnich i ujemnych?

Na przykład, czy liczba jest dodatnia czy ujemna? A? ?

W przypadku pierwszego wszystko jest jasne: niezależnie od tego, ile liczb dodatnich pomnożymy przez siebie, wynik będzie dodatni.

Ale te negatywne są trochę bardziej interesujące. Pamiętamy prostą zasadę z szóstej klasy: „minus za minus daje plus”. To znaczy, lub. Ale jeśli pomnożymy przez (), otrzymamy - .

I tak w nieskończoność: przy każdym kolejnym mnożeniu znak będzie się zmieniał. Możemy sformułować co następuje proste zasady:

  1. nawet stopień, - liczba pozytywny.
  2. Liczba ujemna, wbudowany dziwne stopień, - liczba negatywny.
  3. Liczba dodatnia w jakimkolwiek stopniu jest liczbą dodatnią.
  4. Zero do dowolnej potęgi jest równe zero.

Ustal sam, jaki znak będą miały następujące wyrażenia:

1. 2. 3.
4. 5. 6.

Czy udało Ci się? Oto odpowiedzi:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Mam nadzieję, że w pierwszych czterech przykładach wszystko jest jasne? Po prostu patrzymy na podstawę i wykładnik i stosujemy odpowiednią regułę.

W przykładzie 5) wszystko też nie jest tak straszne, jak się wydaje: w końcu nie ma znaczenia, jaka jest podstawa - stopień jest równy, co oznacza, że ​​​​wynik zawsze będzie dodatni. No chyba, że ​​podstawa wynosi zero. Podstawa nie jest równa, prawda? Oczywiście, że nie, ponieważ (ponieważ).

Przykład 6) nie jest już takie proste. Tutaj musisz dowiedzieć się, co jest mniejsze: lub? Jeśli o tym pamiętamy, staje się jasne, co oznacza, że ​​podstawa jest mniejsza od zera. Oznacza to, że stosujemy zasadę 2: wynik będzie ujemny.

I znowu używamy definicji stopnia:

Wszystko jest jak zwykle - zapisujemy definicję stopni i dzielimy je między sobą, dzielimy na pary i otrzymujemy:

Zanim to rozbierzesz ostatnia zasada, rozwiążmy kilka przykładów.

Oblicz wyrażenia:

Rozwiązania :

Jeśli zignorujemy potęgę ósmą, co tutaj zobaczymy? Przypomnijmy program dla klasy 7. Pamiętasz? To jest wzór na skrócone mnożenie, czyli różnicę kwadratów!

Otrzymujemy:

Przyjrzyjmy się uważnie mianownikowi. Wygląda bardzo podobnie do jednego z czynników licznikowych, ale co jest nie tak? Kolejność terminów jest niewłaściwa. Jeżeli zostałyby odwrócone, zastosowanie miałaby zasada 3. Ale jak? Okazuje się, że jest to bardzo proste: pomaga nam tutaj parzysty stopień mianownika.

Jeśli pomnożysz to przez, nic się nie zmieni, prawda? Ale teraz okazuje się, że jest tak:

W magiczny sposób terminy zmieniły miejsca. To „zjawisko” dotyczy w równym stopniu każdego wyrażenia: łatwo możemy zmienić znaki w nawiasach. Ale ważne jest, aby pamiętać: Wszystkie znaki zmieniają się w tym samym czasie! Nie da się tego zastąpić, zmieniając tylko jedną wadę, która nam się nie podoba!

Wróćmy do przykładu:

I znowu formuła:

A teraz ostatnia zasada:

Jak to udowodnimy? Oczywiście jak zwykle: rozwińmy pojęcie stopnia i uprośćmy je:

Cóż, teraz otwórzmy nawiasy. Ile jest razem liter? razy przez mnożniki – o czym ci to przypomina? To nic innego jak definicja operacji mnożenie: Były tam tylko mnożniki. Oznacza to, że z definicji jest to potęga liczby z wykładnikiem:

Przykład:

Stopień z irracjonalnym wykładnikiem

Oprócz informacji o stopniach dla poziomu średniego przeanalizujemy stopień z irracjonalnym wykładnikiem. Wszystkie zasady i właściwości stopni są tutaj dokładnie takie same, jak w przypadku stopnia z wymiernym wykładnikiem, z wyjątkiem - wszak z definicji liczby niewymierne to liczby, których nie można przedstawić w postaci ułamka, gdzie i są liczbami całkowitymi (czyli , liczby niewymierne są liczbami rzeczywistymi z wyjątkiem liczb wymiernych).

Badając stopnie z wykładnikami naturalnymi, całkowitymi i wymiernymi, za każdym razem tworzyliśmy pewien „obraz”, „analogię” lub opis w bardziej znanych terminach. Na przykład stopień z wykładnikiem naturalnym to liczba pomnożona przez siebie kilka razy; liczba do potęgi zerowej jest jakby liczbą pomnożoną raz przez siebie, to znaczy nie zaczęli jej jeszcze mnożyć, co oznacza, że ​​​​sama liczba jeszcze się nawet nie pojawiła - dlatego wynik jest tylko pewnym „pusta liczba”, czyli liczba; stopień z wykładnikiem całkowitym ujemnym - to tak, jakby nastąpił jakiś „proces odwrotny”, to znaczy liczba nie została pomnożona przez siebie, ale podzielona.

Niezwykle trudno jest wyobrazić sobie stopień z irracjonalnym wykładnikiem (tak jak trudno wyobrazić sobie przestrzeń 4-wymiarową). Jest raczej czysto obiekt matematyczny, który matematycy stworzyli, aby rozszerzyć pojęcie stopnia na całą przestrzeń liczb.

Nawiasem mówiąc, w nauce często stosuje się stopień ze złożonym wykładnikiem, to znaczy wykładnik nie jest nawet liczbą rzeczywistą. Ale w szkole nie myślimy o takich trudnościach; będziesz miał okazję zrozumieć te nowe koncepcje w instytucie.

Co więc zrobimy, jeśli zobaczymy irracjonalny wskaźnik stopni? Robimy wszystko, żeby się tego pozbyć! :)

Na przykład:

Zdecyduj sam:

1) 2) 3)

Odpowiedzi:

  1. Pamiętajmy o różnicy we wzorze kwadratów. Odpowiedź: .
  2. Sprowadzamy ułamki zwykłe do tej samej postaci: albo oba ułamki dziesiętne, albo oba zwykłe. Otrzymujemy np.: .
  3. Nic specjalnego, używamy zwykłych właściwości stopni:

PODSUMOWANIE ROZDZIAŁU I PODSTAWOWE WZORY

Stopień zwane wyrażeniem postaci: , gdzie:

Stopień z wykładnikiem całkowitym

stopień, którego wykładnikiem jest liczba naturalna (tj. liczba całkowita i dodatnia).

Potęga z wykładnikiem wymiernym

stopień, którego wykładnikiem są liczby ujemne i ułamkowe.

Stopień z irracjonalnym wykładnikiem

stopień, którego wykładnikiem jest nieskończony ułamek dziesiętny lub pierwiastek.

Właściwości stopni

Cechy stopni.

  • Liczba ujemna podniesiona do nawet stopień, - liczba pozytywny.
  • Liczba ujemna podniesiona do dziwne stopień, - liczba negatywny.
  • Liczba dodatnia w jakimkolwiek stopniu jest liczbą dodatnią.
  • Zero jest równe dowolnej potędze.
  • Każda liczba do potęgi zerowej jest równa.

TERAZ MASZ SŁOWO...

Jak podoba Ci się artykuł? Napisz poniżej w komentarzu, czy Ci się podobało, czy nie.

Opowiedz nam o swoich doświadczeniach z używaniem właściwości stopnia.

Być może masz pytania. Lub sugestie.

Napisz w komentarzach.

I powodzenia na egzaminach!

Istnieje zasada, że ​​każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi zerowej będzie równa jeden:
20 = 1; 1.50 = 1; 100000 = 1

Dlaczego jednak tak jest?

Gdy liczbę podnosi się do potęgi z wykładnikiem naturalnym, oznacza to, że jest ona mnożona przez samą siebie tyle razy, ile wynosi wykładnik:
43 = 4...

0 0

W algebrze powszechne jest podnoszenie do potęgi zerowej. Co to jest stopień 0? Które liczby można podnieść do potęgi zerowej, a które nie?

Definicja.

Dowolna liczba do potęgi zerowej, z wyjątkiem zera, jest równa jeden:

Zatem niezależnie od tego, jaką liczbę podniesiemy do potęgi 0, wynik będzie zawsze taki sam – jeden.

A 1 do potęgi 0 i 2 do potęgi 0 oraz dowolna inna liczba - całkowita, ułamkowa, dodatnia, ujemna, wymierna, niewymierna - podniesiona do potęgi zerowej daje jeden.

Jedynym wyjątkiem jest zero.

Zero do potęgi zerowej nie jest zdefiniowane, takie wyrażenie nie ma znaczenia.

Oznacza to, że każdą liczbę z wyjątkiem zera można podnieść do potęgi zerowej.

Jeśli upraszczając wyrażenie z potęgami, wynikiem jest liczba do potęgi zerowej, można ją zastąpić jedną:

Jeśli...

0 0

W program nauczania Wyrażenie $%0^0$% uważa się za niezdefiniowane.

Z punktu widzenia współczesna matematyka, wygodnie jest założyć, że $%0^0=1$%. Pomysł jest następujący. Niech będzie iloczyn liczb $%n$% postaci $%p_n=x_1x_2\ldots x_n$%. Dla wszystkich $%n\ge2$% równość $%p_n=x_1x_2\ldots x_n=(x_1x_2\ldots x_(n-1))x_n=p_(n-1)x_n$% jest zachowana. Wygodnie jest uznać tę równość za znaczącą także dla $%n=1$%, zakładając $%p_0=1$%. Logika jest następująca: obliczając produkty, najpierw bierzemy 1, a następnie mnożymy kolejno przez $%x_1$%, $%x_2$%, ..., $%x_n$%. Jest to algorytm używany do wyszukiwania produktów podczas pisania programów. Jeśli z jakiegoś powodu mnożenia nie nastąpiły, wówczas iloczyn pozostaje równy jeden.

Innymi słowy, wygodnie jest uznać takie pojęcie, jak „iloczyn 0 czynników”, za mające znaczenie, uznając je z definicji za równe 1. W tym przypadku możemy również mówić o „pustym produkcie”. Jeśli pomnożymy liczbę przez to...

0 0

Zero – to jest zero. Z grubsza mówiąc, każda potęga liczby jest iloczynem jedności i wykładnika razy tę liczbę. Powiedzmy, że dwa w trzeciej to 1*2*2*2, dwa w minus pierwszej to 1/2. A potem konieczne jest, aby podczas przejścia nie było dziury stopnie pozytywne na negatyw i odwrotnie.

x^n * x^(-n) = 1 = x^(n-n) = x^0

o to właśnie chodzi.

proste i jasne, dziękuję

x^0=(x^1)*(x^(-1))=(1/x)*(x/1)=1

Na przykład wystarczy mieć określone formuły, które są ważne pozytywne wskaźniki- na przykład x^n*x^m=x^(m+n) - były nadal ważne.
Swoją drogą to samo tyczy się definicji stopnia ujemnego, jak i wymiernego (czyli np. 5 do potęgi 3/4)

> i po co to w ogóle konieczne?
Na przykład w statystyce i teorii często gra się z zerowymi stopniami.

A negatywne moce przeszkadzają ci?
...

0 0

Kontynuujemy rozważanie właściwości stopni, weźmy na przykład 16:8 = 2. Ponieważ 16=24 i 8=23 zatem dzielenie można zapisać w formie wykładniczej jako 24:23=2, ale jeśli odejmiemy wykładniki, to 24:23=21. Zatem musimy przyznać, że 2 i 21 to to samo, zatem 21 = 2.

Ta sama zasada dotyczy każdego innego liczba wykładnicza, zatem regułę można sformułować w ogólnej postaci:

dowolna liczba podniesiona do pierwszej potęgi pozostaje niezmieniona

Ta konkluzja mogła Cię zdumieć. Nadal możesz w jakiś sposób zrozumieć znaczenie wyrażenia 21 = 2, chociaż wyrażenie „jedna liczba dwa pomnożona przez siebie” brzmi dość dziwnie. Ale wyrażenie 20 oznacza „ani jedną liczbę dwa,...

0 0

Definicje stopni:

1. stopień zerowy

Każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi zerowej równa się jeden. Zero do potęgi zerowej jest nieokreślone

2. stopień naturalny inny niż zero

Dowolna liczba x podniesiona do potęgi naturalnej n innej niż zero jest równa pomnożeniu n liczb x przez siebie

3.1 nawet root stopień naturalny, różny od zera

Pierwiastkiem parzystej potęgi naturalnej n, innej niż zero, dowolnej liczby dodatniej x jest liczba dodatnia y, która podniesiona do potęgi n daje pierwotną liczbę x

3,2 pierwiastek nieparzystego stopnia naturalnego

Pierwiastkiem nieparzystej potęgi naturalnej n dowolnej liczby x jest liczba y, która podniesiona do potęgi n daje pierwotną liczbę x

3.3 Pierwiastek dowolnej potęgi naturalnej jako potęga ułamkowa

Wyodrębnienie pierwiastka dowolnej potęgi naturalnej n, innej niż zero, z dowolnej liczby x jest równoznaczne z podniesieniem tej liczby x do potęgi ułamkowej 1/n

0 0

Witaj, drogi RUSSELU!

Przy wprowadzaniu pojęcia stopnia znajduje się zapis: „Wartość wyrażenia a^0 =1” ! To wchodzi w życie logiczna koncepcja stopni i nic więcej!
To godne pochwały, gdy młody człowiek próbuje dotrzeć do sedna sprawy! Ale są pewne rzeczy, które należy po prostu przyjąć za oczywistość!
Możesz konstruować nową matematykę tylko wtedy, gdy już się uczyłeś otwarte od wieków z powrotem!
Oczywiście, jeśli wykluczymy, że „nie jesteś z tego świata” i otrzymałeś znacznie więcej niż reszta z nas, grzeszników!

Uwaga: Anna Misheva podjęła próbę udowodnienia tego, czego nie da się udowodnić! Również godne pochwały!
Jest jednak jedno duże „ALE” – brakuje go w jej dowodzie istotny element: Przypadek dzielenia przez ZERO!

Przekonaj się, co może się wydarzyć: 0^1 / 0^1 = 0 / 0!!!

Ale NIE MOŻNA DZIELIĆ PRZEZ ZERA!

Prosimy o większą ostrożność!

Z masą wszystkiego najlepszego i szczęście w życiu osobistym...

0 0

Odpowiedzi:

Bez nazwy

jeśli weźmiemy pod uwagę, że a^x=e^x*ln(a), to okaże się, że 0^0=1 (granica, dla x->0)
choć odpowiedź „niepewność” również jest do przyjęcia

Zero w matematyce nie jest pustką, jest liczbą bardzo bliską „niczemu”, tak jak nieskończoność tylko na odwrót

Zanotować:
0^0 = 0^(a-a) = 0^a * 0^(-a) = 0^a / 0^a = 0 / 0
Okazuje się, że w tym przypadku dzielimy przez zero, a ta operacja na polu liczb rzeczywistych nie jest zdefiniowana.

6 lat temu

RPI.su to największa rosyjskojęzyczna baza pytań i odpowiedzi. Nasz projekt został wdrożony jako kontynuacja popularnego serwisu otvety.google.ru, który został zamknięty i usunięty 30 kwietnia 2015 roku. Postanowiliśmy wskrzesić użyteczną usługę Google Answers, aby każdy mógł publicznie znaleźć odpowiedź na swoje pytanie w społeczności internetowej.

Wszystkie pytania dodane do witryny Google Answers zostały skopiowane i zapisane tutaj. Stare nazwy użytkowników są również wyświetlane w takiej postaci, w jakiej istniały wcześniej. Aby móc zadawać pytania lub odpowiadać innym, wystarczy zarejestrować się ponownie.

Aby skontaktować się z nami w przypadku jakichkolwiek pytań O STRONĘ (reklama, współpraca, opinie na temat usługi), napisz na adres [e-mail chroniony]. Tylko wszystko ogólne problemy opublikować na stronie internetowej, nie otrzymają odpowiedzi pocztą.

Ile będzie wynosić zero, jeśli zostanie podniesione do potęgi zerowej?

Dlaczego liczba do potęgi 0 równa się 1? Obowiązuje zasada, że ​​każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi zerowej będzie równa jeden: 20 = 1; 1,50 = 1; 100000 = 1 Jednak dlaczego tak jest? Gdy liczbę podnosi się do potęgi z wykładnikiem naturalnym, oznacza to, że mnoży się ją przez samą siebie tyle razy, ile wynosi wykładnik: 43 = 4 × 4 × 4; 26 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 Gdy wykładnik jest równy 1, to podczas konstrukcji występuje tylko jeden czynnik (jeśli w ogóle można mówić o czynnikach), a zatem wynik konstrukcji równy podstawie stopnie: 181 = 18; (–3,4)1 = –3,4 Ale co w tym przypadku ze wskaźnikiem zerowym? Co się mnoży przez co? Spróbujmy pójść inną drogą. Wiadomo, że jeśli dwa stopnie mają te same podstawy, ale różne wskaźniki, wówczas podstawę można pozostawić bez zmian, a wykładniki można albo dodać do siebie (w przypadku pomnożenia potęg), albo wykładnik dzielnika można odjąć od wykładnika dzielnej (w przypadku podzielenia potęg) : 32 × 31 = 32+1 = 33 = 3 × 3 × 3 = 27 45 ÷ 43 = 45–3 = 42 = 4 × 4 = 16 A teraz rozważmy ten przykład: 82 ÷ 82 = 82–2 = 80 = ? A co jeśli nie skorzystamy z własności potęg z ta sama podstawa i wykonajmy obliczenia w kolejności, w jakiej się pojawiają: 82 ÷ 82 = 64 ÷ 64 = 1 Otrzymaliśmy więc cenną jednostkę. Zatem wykładnik zerowy wydaje się wskazywać, że liczba nie jest mnożona przez siebie, ale przez siebie dzielona. I stąd staje się jasne, dlaczego wyrażenie 00 nie ma sensu. W końcu nie można dzielić przez 0. Można rozumować inaczej. Jeśli na przykład następuje mnożenie potęg 52 × 50 = 52+0 = 52, to wynika z tego, że 52 zostało pomnożone przez 1. Zatem 50 = 1.

Z właściwości potęg: a^n / a^m = a^(n-m) jeśli n=m, wynikiem będzie jeden, z wyjątkiem oczywiście a=0, w tym przypadku (ponieważ zero do dowolnej potęgi będzie równe zero) dzielenie przez miałoby miejsce zero, więc 0^0 nie istnieje

Rachunkowość w różnych językach

Nazwy cyfr od 0 do 9 wzwyż popularne języki pokój.

Język 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
język angielski zero jeden dwa trzy cztery pięć sześć siedem osiem dziewięć
bułgarski zero jedna sprawa dwa trzy cztery zwierzak domowy Polak przygotowujemy się osie dewet
język węgierski nulla np ketto harom negacja ot kapelusz gorąco nyolc Kilenc
Holenderski zero een twe wysuszyć vier vijf ze zeven acht niegen
duński zero pl Do tre ogień kobieta seks syw Otte nie
hiszpański cero ONZ tak Tres cuatro cinco seis siete ocho nowy
Włoski zero ONZ należny tre quatro Cinque sei seta oto listopad
litewski nullis Wiedeń du próbuje keturi penki ðeði septyni aðtuoni devyni
Niemiecki zero ein zwei Drei vier fajnie sech sieben acht nowy
Rosyjski zero jeden dwa trzy cztery pięć sześć siedem osiem dziewięć
Polski zero jeden dwa trzy cztery pięć sze¶ć siedem osiem dziewięć
portugalski hm dois tres quatro cinco seis set oto listopad
Francuski zero nie podwójny trois ćwiartka cinq sześć wrzesień hut nowy
Czech nula jeden dva toi ètyøi dół ¹ zał sedm osm deìt
szwedzki nie i tak dalej telewizja tre fira kobieta seks sju atak nie
estoński zero uks kaks kolm Neli viis kuus seitse kaheksa heksa

Potęgi ujemne i zerowe liczby

Potęgi zerowe, ujemne i ułamkowe

Wskaźnik zerowy

Wyprostowany podany numer w pewnym stopniu oznacza powtórzenie tego przez współczynnik tyle razy, ile jednostek jest w wykładniku.

Zgodnie z tą definicją wyrażenie: A 0 nie ma sensu. Ale aby zasada dzielenia potęg tej samej liczby obowiązywała nawet w przypadku, gdy wykładnik dzielnika równy wskaźnikowi dywidendy wprowadzono definicję:

Potęga zerowa dowolnej liczby będzie równa jeden.

Wskaźnik negatywny

Wyrażenie jestem, samo w sobie nie ma żadnego znaczenia. Aby jednak zasada dzielenia potęg tej samej liczby obowiązywała nawet w przypadku, gdy wykładnik dzielnika jest większy od wykładnika dzielnej, wprowadzono definicję:

Przykład 1. Jeśli dana liczba składa się z 5 setek, 7 dziesiątek, 2 jednostek i 9 setnych, to można ją przedstawić w następujący sposób:

5 × 10 2 + 7 × 10 1 + 2 × 10 0 + 0 × 10 -1 + 9 × 10 -2 = 572,09

Przykład 2. Jeśli dana liczba składa się z dziesiątek, b jednostek, c dziesiątych i d tysięcznych, to można ją przedstawić w następujący sposób:

A× 10 1 + B× 10 0 + C× 10 -1 + D× 10 -3

Działania na potęgach o wykładnikach ujemnych

Przy mnożeniu potęg tej samej liczby wykładniki sumują się.

Dzieląc potęgi tej samej liczby, wykładnik dzielnika odejmuje się od wykładnika dzielnej.

Aby podnieść iloczyn do potęgi, wystarczy podnieść każdy czynnik z osobna do tej potęgi:

Aby podnieść ułamek do potęgi, wystarczy podnieść oba wyrazy ułamka oddzielnie do tej potęgi:

Kiedy potęgę podnosi się do innej potęgi, wykładniki są mnożone.


Wskaźnik ułamkowy

Jeśli k nie jest wielokrotnością N, to wyrażenie: nie ma sensu. Aby jednak reguła wyciągania pierwiastka stopnia miała miejsce dla dowolnej wartości wykładnika, wprowadzono definicję:

Dzięki wprowadzeniu nowego symbolu ekstrakcję pierwiastkową zawsze można zastąpić potęgowaniem.

Działania na potęgach o wykładnikach ułamkowych

Działania na potęgach z wykładnikami ułamkowymi wykonujemy według tych samych zasad, które obowiązują dla wykładników całkowitych.

Dowodząc tego twierdzenia, założymy najpierw, że wyrazy ułamków: i , służące jako wykładniki, są dodatnie.

W szczególnym przypadku N Lub Q może być równy jeden.

Przy mnożeniu potęg tej samej liczby dodawane są wykładniki ułamkowe:


Dzieląc potęgi tej samej liczby przez wykładniki ułamkowe, wykładnik dzielnika odejmuje się od wykładnika dywidendy:

Aby podnieść potęgę do innej potęgi w przypadku wykładników ułamkowych, wystarczy pomnożyć wykładniki:

Aby wyodrębnić korzeń z moc ułamkowa, wystarczy podzielić wykładnik przez wykładnik pierwiastkowy:

Zasady działania dotyczą nie tylko pozytywny wskaźniki ułamkowe, ale także do negatywny.

Istnieje zasada, że ​​każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi zerowej będzie równa jeden:
2 0 = 1; 1.5 0 = 1; 10 000 0 = 1
Dlaczego jednak tak jest?
Gdy liczbę podnosi się do potęgi z wykładnikiem naturalnym, oznacza to, że jest ona mnożona przez samą siebie tyle razy, ile wynosi wykładnik:
4 3 = 4×4×4; 2 6 = 2×2×2×2×2 x 2
Gdy wykładnik jest równy 1, to podczas konstrukcji występuje tylko jeden czynnik (jeśli w ogóle możemy tu mówić o czynnikach), a zatem wynik konstrukcji jest równy podstawie stopnia:
18 1 = 18;(-3.4)^1 = -3.4
Ale co w tym przypadku ze wskaźnikiem zerowym? Co się mnoży przez co?
Spróbujmy pójść inną drogą.

Dlaczego liczba do potęgi 0 równa się 1?

Wiadomo, że jeśli dwie potęgi mają te same podstawy, ale różne wykładniki, to podstawę można pozostawić taką samą, a wykładniki można albo dodać do siebie (w przypadku pomnożenia potęg), albo wykładnik dzielnika można od wykładnika dywidendy (jeżeli potęgi są podzielne):
3 2 ×3 1 = 3^(2+1) = 3 3 = 3×3×3 = 27
4 5 ÷ 4 3 = 4^(5−3) = 4 2 = 4×4 = 16
Spójrzmy teraz na ten przykład:
8 2 ÷ 8 2 = 8^(2−2) = 8 0 = ?
A co jeśli nie skorzystamy z własności potęg o tej samej podstawie i przeprowadzimy obliczenia w kolejności w jakiej występują:
8 2 ÷ 8 2 = 64 ÷ 64 = 1
Otrzymaliśmy więc upragnioną jednostkę. Zatem wykładnik zerowy wydaje się wskazywać, że liczba nie jest mnożona przez siebie, ale przez siebie dzielona.
I stąd staje się jasne, dlaczego wyrażenie 0 0 nie ma sensu. Nie możesz dzielić przez 0.

STOPIEŃ C WSKAŹNIK RACJONALNY,

FUNKCJA MOCY IV

§ 71. Potęgi o wykładnikach zerowych i ujemnych

W § 69 udowodniliśmy (patrz Twierdzenie 2), że dla t > str

(A =/= 0)

To całkiem naturalne, że chcemy rozszerzyć tę formułę na przypadek, gdy T < P . Ale potem numer t - str będzie albo ujemna, albo równa zeru. A. do tej pory rozmawialiśmy tylko o stopniach naukowych w naturze. Stoimy zatem przed koniecznością wprowadzenia stopni naukowych liczby rzeczywiste ze wskaźnikami zerowymi i ujemnymi.

Definicja 1. Jakikolwiek numer A , nierówny zero, do potęgi zerowej równej jeden, to jest, kiedy A =/= 0

A 0 = 1. (1)

Na przykład (-13,7) 0 = 1; π 0 = 1; (√2 ) 0 = 1. Liczba 0 nie ma stopnia zerowego, to znaczy wyrażenie 0 0 nie jest zdefiniowane.

Definicja 2. Jeśli A=/= 0 i P jest zatem liczbą naturalną

A - N = 1 /A N (2)

to jest potęga dowolnej liczby różnej od zera o ujemnym wykładniku całkowitym jest równa ułamkowi, którego licznik wynosi jeden, a mianownikiem jest potęga tej samej liczby a, ale z wykładnikiem przeciwnym do danej potęgi .

Na przykład,

Przyjmując te definicje, można udowodnić, że kiedy A =/= 0, formuła

prawdziwe dla dowolnych liczb naturalnych T I N i nie tylko dla t > str . Aby to udowodnić, wystarczy ograniczyć się do rozważenia dwóch przypadków: t = n I T< .п , od sprawy m > rz omówione już w § 69.

Pozwalać t = n ; Następnie . Oznacza, lewa strona równość (3) jest równa 1. Prawa strona w t = n staje się

A m - rz = A n - n = A 0 .

Ale z definicji A 0 = 1. Zatem prawa strona równości (3) jest również równa 1. Zatem, gdy t = n wzór (3) jest poprawny.

Załóżmy teraz, że T< п . Podziel licznik i mianownik ułamka przez A M , otrzymujemy:

Ponieważ n > t , To . Dlatego . Korzystając z definicji potęgi z wykładnikiem ujemnym, możemy napisać .

Więc kiedy , co należało udowodnić. Wzór (3) został teraz udowodniony dla dowolnych liczb naturalnych T I P .

Komentarz. Wykładniki ujemne umożliwiają zapisywanie ułamków zwykłych bez mianowników. Na przykład,

1 / 3 = 3 - 1 ; 2 / 5 = 2 5 - 1 ; w ogóle, A / B = a b - 1

Nie powinieneś jednak myśleć, że dzięki temu zapisowi ułamki zamieniają się w liczby całkowite. Na przykład 3 - 1 to ten sam ułamek co 1/3, 2 5 - 1 to ten sam ułamek co 2/5 itd.

Ćwiczenia

529. Oblicz:

530. Napisz ułamek zwykły bez mianowników:

1) 1 / 8 , 2) 1 / 625 ; 3) 10 / 17 ; 4) - 2 / 3

531. Dane miejsca dziesiętne zapisz jako wyrażenia całkowite, używając wskaźniki negatywne:

1) 0,01; 3) -0,00033; 5) -7,125;

2) 0,65; 4) -0,5; 6) 75,75.

3) - 33 10 - 5