\(\blacktriangleright\) Vinkelen mellom en linje og et plan er vinkelen mellom linjen og dens projeksjon på dette planet (dvs. det er vinkelen \(0\leqslant \alpha\leqslant 90^\circ\)).
\(\blacktriangleright\) For å finne vinkelen mellom linjen \(a\) og planet \(\phi\) (\(a\cap\phi=B\)), trenger du:
Trinn 1: fra et punkt \(A\in a\) tegn en perpendikulær \(AO\) til planet \(\phi\) (\(O\) er bunnen av perpendikulæren);
Trinn 2: så er \(BO\) projeksjonen av den skråstilte \(AB\) på planet \(\phi\) ;
Trinn 3: Da er vinkelen mellom den rette linjen \(a\) og planet \(\phi\) lik \(\vinkel ABO\) .
Oppgave 1 #2850
Oppgavenivå: Vanskeligere enn Unified State-eksamenen
Den rette linjen \(l\) skjærer planet \(\alpha\) . På den rette linjen \(l\) er segmentet \(AB=25\) markert, og det er kjent at projeksjonen av dette segmentet på planet \(\alpha\) er lik \(24\) . Finn sinusen til vinkelen mellom den rette linjen \(l\) og planet \(\alpha\)
La oss se på bildet:
La \(A_1B_1=24\) være projeksjonen av \(AB\) på planet \(\alpha\), som betyr \(AA_1\perp \alpha\) , \(BB_1\perp \alpha\) . Siden to linjer vinkelrett på planet ligger i samme plan, vil \(A_1ABB_1\) – rektangulær trapes. La oss gjøre \(AH\perp BB_1\) . Deretter \(AH=A_1B_1=24\) . Derfor, ved Pythagoras teorem \ Vi bemerker også at vinkelen mellom en linje og et plan er vinkelen mellom linjen og dens projeksjon på planet, derfor er den ønskede vinkelen vinkelen mellom \(AB\) og \(A_1B_1 \) . Siden \(AH\parallell A_1B_1\) , så er vinkelen mellom \(AB\) og \(A_1B_1\) lik vinkelen mellom \(AB\) og \(AH\) .
Deretter \[\sin\angle BAH=\dfrac(BH)(AB)=\dfrac7(25)=0.28.\]
Svar: 0,28
Oppgave 2 #2851
Oppgavenivå: Vanskeligere enn Unified State-eksamenen
\(ABC\) – vanlig trekant med siden \(3\) , er \(O\) et punkt som ligger utenfor trekantens plan, og \(OA=OB=OC=2\sqrt3\) . Finn vinkelen som dannes av de rette linjene \(OA, OB, OC\) med planet til trekanten. Gi svaret i grader.
La oss tegne en vinkelrett \(OH\) på planet til trekanten.
La oss vurdere \(\triangle OAH, \triangle OBH, \triangle OCH\). De er rektangulære og like i ben og hypotenus. Derfor, \(AH=BH=CH\) . Dette betyr at \(H\) er et punkt som ligger i samme avstand fra hjørnene i trekanten \(ABC\) . Følgelig er \(H\) sentrum av sirkelen som er omskrevet rundt den. Siden \(\trekant ABC\) er riktig, så er \(H\) skjæringspunktet mellom medianer (de er også høyder og halveringslinjer).
Siden vinkelen mellom en linje og et plan er vinkelen mellom linjen og dens projeksjon på dette planet, og \(AH\) er projeksjonen av \(AO\) på planet til trekanten, så er vinkelen mellom \( AO\) og planet til trekanten er lik \( \angle OAH\) .
La \(AA_1\) være medianen i \(\triangel ABC\) , derfor, \
Siden medianene er delt med skjæringspunktet i forholdet \(2:1\) , tellende fra toppunktet, så \ Deretter fra den rektangulære \(\trekanten OAH\) : \[\cos OAH=\dfrac(AH)(AO)=\dfrac12\quad\Rightarrow\quad \angle OAH=60^\circ.\]
Legg merke til at fra likheten til trekanter \(OAH, OBH, OCH\) følger det at \(\angle OAH=\angle OBH=\angle OCH=60^\circ\).
Svar: 60
Oppgave 3 #2852
Oppgavenivå: Vanskeligere enn Unified State-eksamenen
Den rette linjen \(l\) er vinkelrett på planet \(\pi\) . Linjen \(p\) ligger ikke i planet \(\pi\) og er ikke parallell med det, og den er heller ikke parallell med linjen \(l\). Finn summen av vinklene mellom linjene \(p\) og \(l\) og mellom linjen \(p\) og planet \(\pi\) . Gi svaret i grader.
Det følger av betingelsen at den rette linjen \(p\) skjærer planet \(\pi\) . La \(p\cap l=O\) , \(l\cap \pi=L\) , \(p\cap\pi=P\) .
Da er \(\angle POL\) vinkelen mellom linjene \(p\) og \(l\) .
Siden vinkelen mellom en linje og et plan er vinkelen mellom en linje og dens projeksjon på dette planet, så er \(\angle OPL\) vinkelen mellom \(p\) og \(\pi\) . Merk at \(\triangle OPL\) er rektangulær med \(\angle L=90^\circ\) . Siden summen av spisse vinkler høyre trekant er lik \(90^\circ\) , da \(\angle POL+\angle OPL=90^\circ\).
Kommentar.
Hvis linjen \(p\) ikke skjærer linjen \(l\), så trekker vi en linje \(p"\parallell p\) som skjærer \(l\). Deretter vinkelen mellom linjen \(p\ ) og \(l\ ) vil være lik vinkelen mellom \(p"\) og \(l\) . Tilsvarende vil vinkelen mellom \(p\) og \(\pi\) være lik vinkelen mellom \(p"\) og \(\pi\). Og for den rette linjen \(p"\) forrige løsning er allerede riktig.
Svar: 90
Oppgave 4 #2905
Oppgavenivå: Vanskeligere enn Unified State-eksamenen
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – kubikk. Punktet \(N\) er midtpunktet på kanten \(BB_1\) , og punktet \(M\) er midtpunktet til segmentet \(BD\) . Finn \(\mathrm(tg)^2\, \alpha\) , hvor \(\alpha\) er vinkelen mellom linjen som inneholder \(MN\) og planet \((A_1B_1C_1D_1)\) . Gi svaret i grader.
\(NM\) – midtlinje i trekanten \(DBB_1\) , så er \(NM \parallell B_1D\) og \(\alpha\) lik vinkelen mellom \(B_1D\) og planet \((A_1B_1C_1D_1)\) .
Siden \(DD_1\) er vinkelrett på planet \(A_1B_1C_1D_1\) , så er \(B_1D_1\) projeksjonen av \(B_1D\) på planet \((A_1B_1C_1D_1)\) og vinkelen mellom \(B_1D\ ) og planet \( (A_1B_1C_1D_1)\) er vinkelen mellom \(B_1D\) og \(B_1D_1\) .
La kanten på kuben være \(x\), deretter ved Pythagoras teorem \ I trekanten \(B_1D_1D\) er tangenten til vinkelen mellom \(B_1D\) og \(B_1D_1\) lik \(\mathrm(tg)\,\angle DB_1D_1=\dfrac(DD_1)(B_1D_1) = \dfrac(1)(\sqrt(2))=\mathrm(tg)\,\alpha\), hvor \(\mathrm(tg)^2\, \alpha = \dfrac(1)(2)\).
Svar: 0,5
Oppgave 5 #2906
Oppgavenivå: Vanskeligere enn Unified State-eksamenen
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – kubikk. Punktet \(N\) er midten av kanten \(BB_1\) , og punktet \(M\) deler segmentet \(BD\) i forholdet \(1:2\) , regnet fra toppunktet \(B\) . Finn \(9\mathrm(ctg)^2\, \alpha\) , der \(\alpha\) er vinkelen mellom linjen som inneholder \(MN\) og planet \((ABC)\) . Gi svaret i grader.
Siden \(NB\) er en del av \(BB_1\) , og \(BB_1\perp (ABC)\) , så er \(NB\perp (ABC)\) det samme. Derfor er \(BM\) projeksjonen av \(NM\) på planet \((ABC)\) . Dette betyr at vinkelen \(\alpha\) er lik \(\angle NMB\) .
La kanten på kuben være lik \(x\) . Deretter \(NB=0,5x\) . Ved Pythagoras teorem \(BD=\sqrt(x^2+x^2)=\sqrt2x\) . Siden av betingelsen \(BM:MD=1:2\) , deretter \(BM=\frac13BD\) , derfor \(BM=\frac(\sqrt2)3x\) .
Så fra den rektangulære \(\triangle NBM\) : \[\mathrm(ctg)\,\alpha=\mathrm(ctg)\,\angle NMB=\dfrac(BM)(NB)=\dfrac(2\sqrt2)3 \quad\Rightarrow\quad 9\mathrm( ctg)^2\,\alpha=8.\]
Svar: 8
Oppgave 6 #2907
Oppgavenivå: Vanskeligere enn Unified State-eksamenen
Hva er \(\mathrm(ctg^2)\,\alpha\) lik hvis \(\alpha\) er helningsvinkelen til kubens diagonal til en av flatene?
Den ønskede vinkelen vil falle sammen med vinkelen mellom diagonalen til kuben og diagonalen til noen av dens flater, fordi V i dette tilfellet diagonalen til kuben vil være skråstilt, diagonalen til ansiktet vil være projeksjonen av denne skrånende flaten på planet. Dermed vil den ønskede vinkelen være lik for eksempel vinkelen \(C_1AC\) . Hvis vi betegner kanten av kuben som \(x\), da \(AC=\sqrt(x^2+x^2)=\sqrt2 x\), deretter kvadratet av cotangensen for ønsket vinkel: \[\mathrm(ctg^2)\,\alpha =(AC:CC_1)^2= (\sqrt2 x:x)^2 = 2.\]
Svar: 2
Oppgave 7 #2849
Oppgavenivå: Vanskeligere enn Unified State-eksamenen
\(\vinkel BAH=\vinkel CAH=30^\sirkel\) .
I følge Pythagoras teorem \
Derfor, \[\cos 30^\circ=\dfrac(AB)(AH)\quad\Høyrepil\quad AH=\dfrac(AB)(\cos 30^\circ)=2.\] Siden \(OH\perp (ABC)\), så er \(OH\) vinkelrett på en hvilken som helst rett linje fra dette planet, noe som betyr at \(\triangle OAH\) er rektangulær. Deretter \[\cos \angle OAH=\dfrac(AH)(AO)=\dfrac25=0.4.\]
Svar: 0,4
Det vil være nyttig for elever på videregående skole som forbereder seg til Unified State Exam i matematikk å lære å takle oppgaver fra seksjonen "Geometri in Space", der de trenger å finne vinkelen mellom en rett linje og et plan. Tidligere erfaring viser det lignende oppgaver forårsake visse vanskeligheter for nyutdannede. Samtidig vet du grunnleggende teori og forstå hvordan man finner vinkelen mellom en rett linje og et plan, bør elever på videregående skole med et hvilket som helst treningsnivå forstå. Bare i dette tilfellet kan de regne med å få anstendige poengsummer.
Hovednyanser
Som andre stereometriske Unified State Examination oppgaver, oppgaver der du trenger å finne vinkler og avstander mellom rette linjer og plan kan løses ved to metoder: geometrisk og algebraisk. Studentene kan velge det alternativet som passer best for dem. I følge geometrisk metode, må finnes på en rett linje passende punkt, senk en perpendikulær fra den ned på planet og konstruer en projeksjon. Etter dette vil kandidaten bare måtte bruke det grunnleggende teoretisk kunnskap og løse det planimetriske problemet med å beregne vinkelen. Algebraisk metode innebærer innføring av et koordinatsystem for å finne ønsket mengde. Det er nødvendig å bestemme koordinatene til to punkter på en rett linje, komponere ligningen til planet riktig og løse den.
Effektiv forberedelse med Shkolkovo
For å gjøre timene enkle og jevne vanskelige oppgaver ikke forårsaket noen vanskeligheter, velg vår utdanningsportal. Her er alt nødvendig materiale for vellykket gjennomføring sertifiseringsprøve. Den rette grunnleggende informasjon finner du i delen "Teoretisk informasjon". Og for å øve på å fullføre oppgaver, gå bare til "Katalogen" på vår matematiske portal. Denne delen inneholder et stort utvalg øvelser varierende grader vanskeligheter. Nye oppgaver vises jevnlig i katalogen.
Utfør oppgaver for å finne vinkelen mellom en rett linje og et plan eller på, Russiske skolebarn kan på nettet, mens du er i Moskva eller en annen by. Hvis studenten ønsker det, kan enhver øvelse lagres i "Favoritter". Dette lar deg raskt finne det om nødvendig og diskutere fremdriften til løsningen med læreren.
Artikkelen begynner med definisjonen av vinkelen mellom en rett linje og et plan. Denne artikkelen vil vise deg hvordan du finner vinkelen mellom en rett linje og et plan ved hjelp av koordinatmetoden. Løsningene på eksempler og problemer vil bli diskutert i detalj.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Først er det nødvendig å gjenta konseptet med en rett linje i rommet og konseptet med et plan. For å bestemme vinkelen mellom en rett linje og et plan, flere hjelpedefinisjoner. La oss se på disse definisjonene i detalj.
Definisjon 1
En rett linje og et plan krysser hverandre i tilfelle når de har en felles poeng, det vil si at det er skjæringspunktet mellom en rett linje og et plan.
En rett linje som skjærer et plan kan være vinkelrett på planet.
Definisjon 2
En rett linje er vinkelrett på et plan når den er vinkelrett på en hvilken som helst linje i dette planet.
Definisjon 3
Projeksjon av punkt M på et planγ er selve punktet hvis det ligger i bak gitt fly, eller er skjæringspunktet mellom planet og linjen, vinkelrett på planetγ som går gjennom punktet M, forutsatt at den ikke tilhører planet γ.
Definisjon 4
Projeksjon av linje a på et planγ er settet med projeksjoner av alle punkter på en gitt linje på planet.
Fra dette får vi at projeksjonen av en rett linje vinkelrett på planet γ har et skjæringspunkt. Vi finner at projeksjonen av linje a er en linje som tilhører planet γ og går gjennom skjæringspunktet mellom linje a og planet. La oss se på figuren nedenfor.
På dette øyeblikket vi har alt nødvendig informasjon og data for å formulere definisjonen av vinkelen mellom en rett linje og et plan
Definisjon 5
Vinkelen mellom en rett linje og et plan vinkelen mellom denne rette linjen og dens projeksjon på dette planet kalles, og den rette linjen er ikke vinkelrett på den.
Definisjonen av vinkel gitt ovenfor bidrar til å komme til konklusjonen at vinkelen mellom en linje og et plan er vinkelen mellom to kryssende linjer, det vil si en gitt linje sammen med dens projeksjon på planet. Dette betyr at vinkelen mellom dem alltid vil være spiss. La oss ta en titt på bildet nedenfor.
Vinkelen mellom en rett linje og et plan anses å være rett, det vil si lik 90 grader, men vinkelen mellom parallelle rette linjer er ikke definert. Det er tilfeller der verdien er lik null.
Problemer der det er nødvendig å finne vinkelen mellom en rett linje og et plan har mange variasjoner i løsning. Selve løsningsforløpet avhenger av tilgjengelige data om tilstanden. Hyppige følgesvenner til løsningen er tegn på likhet eller likhet mellom figurer, cosinus, sinus, tangens av vinkler. Å finne vinkelen er mulig ved å bruke koordinatmetoden. La oss se på det mer detaljert.
Hvis i tredimensjonalt rom introdusert rektangulært system koordinater O x y z, så er en linje a spesifisert i den, som skjærer planet γ i punktet M, og den er ikke vinkelrett på planet. Det er nødvendig å finne vinkelen α som ligger mellom en gitt rett linje og planet.
Først må du bruke definisjonen av vinkelen mellom en rett linje og et plan ved å bruke koordinatmetoden. Da får vi følgende.
I koordinatsystemet O x y z er det spesifisert en rett linje a, som tilsvarer ligningene til den rette linjen i rommet og retningsvektoren til den rette linjen i rommet γ tilsvarer likningen til planet og normalen vektoren til flyet. Da er a → = (a x , a y , a z) retningsvektoren til den gitte rette linjen a, og n → (n x , n y , n z) er normalvektoren for planet γ. Hvis vi forestiller oss at vi har koordinatene til retningsvektoren til linjen a og normalvektoren til planet γ, så er ligningene deres kjent, det vil si at de er spesifisert av betingelse, så er det mulig å bestemme vektorene a → og n → basert på ligningen.
For å beregne vinkelen, er det nødvendig å transformere formelen for å oppnå verdien av denne vinkelen ved å bruke de eksisterende koordinatene til retningsvektoren til den rette linjen og normalvektoren.
Det er nødvendig å plotte vektorene a → og n →, med utgangspunkt i skjæringspunktet mellom den rette linjen a med planet γ. Det er 4 alternativer for plasseringen av disse vektorene i forhold til gitte linjer og plan. Se på bildet nedenfor, som viser alle 4 variantene.
Herfra får vi at vinkelen mellom vektorene a → og n → er betegnet a → , n → ^ og er spiss, så kompletteres den ønskede vinkelen α som ligger mellom den rette linjen og planet, det vil si at vi får et uttrykk av formen a → , n → ^ = 90 ° - α. Når, etter betingelse, a →, n → ^ > 90 °, så har vi a →, n → ^ = 90 ° + α.
Herfra har vi at kosinusene like vinkler er like, så skrives de siste likhetene i form av et system
cos a → , n → ^ = cos 90 ° - α , a → , n → ^< 90 ° cos a → , n → ^ = cos 90 ° + α , a → , n → ^ >90°
Du må bruke reduksjonsformler for å forenkle uttrykk. Da får vi likestillingene type cos a → , n → ^ = sin α , a → , n → ^< 90 ° cos a → , n → ^ = - s i n α , a → , n → ^ >90°
Etter å ha utført transformasjonene, overtar systemet se syndα = cos a → , n → ^ , a → , n → ^< 90 ° sin α = - cos a → , n → ^ , a → , n → ^ >90 ° ⇔ sin α = cos a → , n → ^ , a → , n → ^ > 0 sin α = - cos a → , n → ^ , a → , n → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n → ^
Herfra får vi at sinusen til vinkelen mellom den rette linjen og planet lik modul cosinus av vinkelen mellom retningsvektoren til den rette linjen og normalvektoren til det gitte planet.
Avsnittet om å finne vinkelen dannet av to vektorer avslørte at denne vinkelen tar verdien prikkprodukt vektorer og produktet av disse lengdene. Prosessen med å beregne sinusen til vinkelen oppnådd ved skjæringen av en rett linje og et plan utføres i henhold til formelen
sin α = cos a → , n → ^ = a → , n → ^ a → n → = a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2
Dette betyr at formelen for å beregne vinkelen mellom en rett linje og et plan med koordinatene til retningsvektoren til den rette linjen og normalvektoren til planet etter transformasjon er av formen
α = a r c sin a → , n → ^ a → n → = a r c sin a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2
Å finne cosinus med en kjent sinus er tillatt ved å bruke grunnleggende trigonometrisk identitet. Skjæringspunktet mellom en rett linje og et plan dannes skarpt hjørne. Dette antyder at verdien vil være positivt tall, og dens beregning er gjort fra cos formlerα = 1 - sin α.
La oss løse flere lignende eksempler for å sikre materialet.
Eksempel 1
Finn vinkelen, sinus, cosinus til vinkelen som dannes av den rette linjen x 3 = y + 1 - 2 = z - 11 6 og planet 2 x + z - 1 = 0.
Løsning
For å få koordinatene til retningsvektoren, er det nødvendig å vurdere kanoniske ligninger rett i rommet. Da får vi at a → = (3, - 2, 6) er retningsvektoren til den rette linjen x 3 = y + 1 - 2 = z - 11 6.
For å finne koordinatene til normalvektoren er det nødvendig å vurdere generell ligning fly, siden deres tilstedeværelse bestemmes av koeffisientene som er tilgjengelig foran variabler i ligningen. Da finner vi at for planet 2 x + z - 1 = 0 har normalvektoren formen n → = (2, 0, 1).
Det er nødvendig å fortsette med å beregne sinusen til vinkelen mellom den rette linjen og planet. For å gjøre dette er det nødvendig å erstatte koordinatene til vektorene a → og b → inn gitt formel. Vi får et uttrykk for formen
sin α = cos a → , n → ^ = a → , n → ^ a → n → = a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2 = = 2 2 + (- 2 ) 0 + 6 1 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 2 2 + 0 2 + 1 2 = 12 7 5
Herfra finner vi verdien av cosinus og verdien av selve vinkelen. Vi får:
cos α = 1 - sin α = 1 - 12 7 5 2 = 101 7 5
Svar: sin α = 12 7 5, cos α = 101 7 5, α = a r c cos 101 7 5 = a r c sin 12 7 5.
Eksempel 2
Det er en pyramide bygget ved å bruke verdiene til vektorene A B → = 1, 0, 2, A C → = (- 1, 3, 0), A D → = 4, 1, 1. Finn vinkelen mellom rett linje A D og planet A B C.
Løsning
For å beregne ønsket vinkel er det nødvendig å ha koordinatene til retningsvektoren til den rette linjen og normalvektoren til planet. for en rett linje A D har retningsvektoren koordinater A D → = 4, 1, 1.
Normalvektor n → , flyet A B C er vinkelrett på vektoren A B → og A C → . Dette innebærer at normalvektoren til planet A B C kan vurderes vektor produkt vektorene A B → og A C → . Vi beregner dette ved hjelp av formelen og får:
n → = A B → × A C → = i → j → k → 1 0 2 - 1 3 0 = - 6 · i → - 2 · j → + 3 · k → ⇔ n → = (- 6 , - 2 , 3 )
Det er nødvendig å erstatte koordinatene til vektorene for å beregne ønsket vinkel, dannet av krysset rett og plan. vi får et uttrykk for formen:
α = a r c sin A D → , n → ^ A D → · n → = a r c sin 4 · - 6 + 1 · - 2 + 1 · 3 4 2 + 1 2 + 1 2 · - 6 2 + - 2 2 + 3 2 = a r c sin 23 21 2
Svar: a r c sin 23 21 2 .
Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter
Vinkelen a mellom rett linje l og plan 6 kan bestemmes gjennom tilleggsvinkelen p mellom en gitt rett linje l og en vinkelrett n på et gitt plan trukket fra et hvilket som helst punkt på den rette linjen (fig. 144). Vinkel P utfyller ønsket vinkel a til 90°. Etter å ha bestemt den sanne verdien av vinkelen P ved å rotere plannivået til vinkelen dannet av den rette linjen l og perpendikulæren og rundt den rette linjen, gjenstår det å komplementere den til rett vinkel. Denne tilleggsvinkelen vil gi den sanne verdien av vinkelen a mellom rett linje l og plan 0.
27. Bestemme vinkelen mellom to plan.
Sann verdi dihedral vinkel- mellom to plan Q og l. - kan bestemmes enten ved å erstatte projeksjonsplanet for å transformere kanten av en dihedral vinkel til en projisert linje (oppgave 1 og 2), eller hvis kanten ikke er spesifisert, som vinkelen mellom to perpendikulære n1 og n2 trukket til disse planene fra et vilkårlig punkt M i rom B-planet til disse perpendikulærene ved punkt M får vi to planvinkler a og P, som er henholdsvis lik de lineære vinklene til to tilstøtende hjørner(dihedral) dannet av planene q og l. Etter å ha bestemt den sanne verdien av vinklene mellom perpendikulær n1 og n2 ved å rotere rundt den rette linjen på nivået, bestemmer vi dermed lineær vinkel dihedral vinkel dannet av q- og l-planene.
Buede linjer. Spesielle punkter med buede linjer.
På kompleks tegning av en kurve er dens spesielle punkter, som inkluderer bøyningspunkter, returpunkter, brudd og knutepunkter, også spesielle punkter på projeksjonen. Dette forklares av enkeltstående punkter kurver er knyttet til tangenter på disse punktene.
Hvis kurveplanet inntar en fremspringende posisjon (fig. EN), så har en projeksjon av denne kurven formen av en rett linje.
For en romlig kurve er alle projeksjonene buede linjer (fig. b).
For å bestemme ut fra tegningen hvilken kurve som er gitt (plan eller romlig), er det nødvendig å finne ut om alle punktene på kurven tilhører samme plan. Spesifisert i fig. b kurven er romlig, siden punktet D kurven tilhører ikke planet definert av tre andre punkter A, B Og E denne kurven.
Sirkel - en plan kurve av andre orden, hvis ortogonale projeksjon kan være en sirkel og en ellipse
En sylindrisk spirallinje (helix) er en romlig kurve som representerer banen til et punkt som utfører en spiralformet bevegelse. 
29. Flate og romlige buede linjer.
Se spørsmål 28
30. Kompleks overflatetegning. Grunnleggende bestemmelser.
En overflate er et sett med sekvensielle posisjoner av linjer som beveger seg i rommet. Denne linjen kan være rett eller buet og kalles generatrise overflater. Hvis generatrisen er en kurve, kan den ha en konstant eller variabel visning. Generatrisen beveger seg med guider, som representerer linjer i en annen retning enn generatorene. Retningslinjene setter bevegelsesloven for generatorene. Når du flytter generatrisen langs føringene, a ramme overflate (fig. 84), som er et sett av flere suksessive posisjoner av generatrisene og føringene. Undersøker rammen, kan man være overbevist om at generatorene l og guider T kan byttes, men overflaten forblir den samme.
Enhver overflate kan oppnås på forskjellige måter.
Avhengig av formen på generatrisen kan alle overflater deles inn i hersket, som har en generativ rett linje, og ikke-styrt, som har en formende buet linje.
Utvikbare overflater inkluderer overflatene til alle polyedre, sylindriske, koniske og torso-overflater. Alle andre overflater kan ikke utvikles. Ikke-styrte overflater kan ha en generatrise med konstant form (omdreiningsflater og rørformede flater) og en generatrise med variabel form (kanal- og rammeflater).
En overflate i en kompleks tegning er spesifisert ved projeksjoner av den geometriske delen av dens determinant, som indikerer metoden for å konstruere dens bestanddeler. I en tegning av en overflate, for ethvert punkt i rommet, er spørsmålet om den tilhører en gitt overflate entydig løst. Grafisk spesifisering av elementene i overflatedeterminanten sikrer reversibiliteten til tegningen, men gjør den ikke visuell. For klarhetens skyld tyr de til å konstruere projeksjoner av en ganske tett ramme av generatriser og til å konstruere konturlinjer av overflaten (fig. 86). Når du projiserer overflate Q på projeksjonsplanet, berører de projiserte strålene denne overflaten ved punkter som danner en bestemt linje på den l, som kalles kontur linje. Projeksjonen av konturlinjen kalles essay overflater. I en kompleks tegning har enhver overflate: P 1 - horisontal omriss, på P 2 - frontal omriss, på P 3 - profilomriss av overflaten. Skissen inkluderer, i tillegg til projeksjoner av konturlinjen, også projeksjoner av snittlinjene.
Konseptet med projeksjon av en figur på et plan
For å introdusere konseptet med en vinkel mellom en linje og et plan, må du først forstå et slikt konsept som projeksjon av en vilkårlig figur på et plan.
Definisjon 1
La oss få et vilkårlig poeng $A$. Punkt $A_1$ kalles projeksjonen av punktet $A$ på planet $\alpha $ hvis det er bunnen av en perpendikulær tegnet fra punkt $A$ til planet $\alpha $ (fig. 1).
Figur 1. Projeksjon av et punkt på et plan
Definisjon 2
La oss få et vilkårlig tall $F$. Figuren $F_1$ kalles projeksjonen av figuren $F$ på planet $\alpha $, sammensatt av projeksjonene av alle punktene i figuren $F$ på planet $\alpha $ (fig. 2).
Figur 2. Projeksjon av en figur på et plan
Teorem 1
En projeksjon som ikke er vinkelrett på planet til en rett linje, er en rett linje.
Bevis.
La oss få et plan $\alpha $ og en rett linje $d$ som skjærer det, ikke vinkelrett på det. La oss velge et punkt $M$ på linjen $d$ og tegne dets projeksjon $H$ på planet $\alpha $. Gjennom den rette linjen $(MH)$ tegner vi planet $\beta $. Selvfølgelig vil dette planet være vinkelrett på $\alpha $-planet. La dem krysse langs rett linje $m$. La oss vurdere vilkårlig poeng$M_1$ av linjen $d$ og trekk gjennom den linjen $(M_1H_1$) parallelt med linjen $(MH)$ (fig. 3).
Figur 3.
Siden planet $\beta $ er vinkelrett på planet $\alpha $, er $M_1H_1$ vinkelrett på den rette linjen $m$, det vil si at punktet $H_1$ er projeksjonen av punktet $M_1$ på flyet $\alpha $. På grunn av vilkårligheten i valget av punkt $M_1$, projiseres alle punktene på linjen $d$ på linjen $m$.
Resonnerer på lignende måte. I omvendt rekkefølge, vil vi få at hvert punkt på linjen $m$ er en projeksjon av et punkt på linjen $d$.
Dette betyr at linje $d$ projiseres på linje $m$.
Teoremet er bevist.
Konseptet med vinkelen mellom en rett linje og et plan
Definisjon 3
Vinkelen mellom en rett linje som skjærer et plan og dens projeksjon på dette planet kalles vinkelen mellom den rette linjen og planet (fig. 4).
Figur 4. Vinkel mellom en rett linje og et plan
La oss gjøre noen notater her.
Merknad 1
Hvis linjen er vinkelrett på planet. Da er vinkelen mellom den rette linjen og planet $90^\circ$.
Notat 2
Hvis linjen er parallell eller ligger i et plan. Da er vinkelen mellom den rette linjen og planet $0^\circ$.
Eksempler på problemer
Eksempel 1
La oss få et parallellogram $ABCD$ og et punkt $M$ som ikke ligger i parallellogrammets plan. Bevis at trekanter $AMB$ og $MBC$ er rettvinklede hvis punktet $B$ er projeksjonen av punktet $M$ på parallellogramplanet.
Bevis.
La oss skildre problemtilstanden i figuren (fig. 5).
Figur 5.
Siden punkt $B$ er projeksjonen av punktet $M$ på planet $(ABC)$, så er den rette linjen $(MB)$ vinkelrett på planet $(ABC)$. Ved bemerkning 1 finner vi at vinkelen mellom den rette linjen $(MB)$ og planet $(ABC)$ er lik $90^\circ$. Derfor
\[\angle MBC=MBA=(90)^0\]
Dette betyr at trekantene $AMB$ og $MBC$ er rette trekanter.
Eksempel 2
Gitt et fly $\alpha $. Et segment tegnes i en vinkel $\varphi $ til dette planet, hvis begynnelse ligger i dette planet. Projiseringen av dette segmentet er halvparten av størrelsen på selve segmentet. Finn verdien av $\varphi$.
Løsning.
Tenk på figur 6.
Figur 6.
Etter betingelse har vi
Siden trekanten $BCD$ er rettvinklet, da, etter definisjonen av cosinus
\ \[\varphi =arccos\frac(1)(2)=(60)^0\]