En lineær ligning i to variabler er enhver ligning som har følgende form: a*x + b*y =с. Her er x og y to variabler, a,b,c er noen tall.
Nedenfor er noen få eksempler på lineære ligninger.
1. 10*x + 25*y = 150;
Som ligninger med én ukjent, har også en lineær ligning med to variabler (ukjente) en løsning. For eksempel blir den lineære ligningen x-y=5, med x=8 og y=3 til riktig identitet 8-3=5. I dette tilfellet sies tallparet x=8 og y=3 å være en løsning på den lineære ligningen x-y=5. Du kan også si at et tallpar x=8 og y=3 tilfredsstiller den lineære ligningen x-y=5.
Løse en lineær ligning
Løsningen til den lineære likningen a*x + b*y = c er altså et hvilket som helst tallpar (x,y) som tilfredsstiller denne likningen, det vil si gjør likningen med variablene x og y til en korrekt numerisk likhet. Legg merke til hvordan tallparet x og y er skrevet her. Denne oppføringen er kortere og mer praktisk. Du trenger bare å huske at det første stedet i en slik post er verdien av variabelen x, og den andre er verdien til variabelen y.
Vær oppmerksom på at tallene x=11 og y=8, x=205 og y=200 x= 4,5 og y= -0,5 også tilfredsstiller den lineære ligningen x-y=5, og er derfor løsninger på denne lineære ligningen.
Løse en lineær ligning med to ukjente er ikke den eneste. Hver lineær ligning i to ukjente har uendelig mange forskjellige løsninger. Det vil si, det er det uendelig mange forskjellige to tall x og y som konverterer en lineær ligning til en sann identitet.
Hvis flere ligninger med to variabler har identiske løsninger, kalles slike ligninger ekvivalente ligninger. Det bør bemerkes at hvis ligninger med to ukjente ikke har løsninger, så anses de også som likeverdige.
Grunnleggende egenskaper til lineære ligninger med to ukjente
1. Alle leddene i ligningen kan overføres fra en del til en annen, men det er nødvendig å endre fortegn til det motsatte. Den resulterende ligningen vil være ekvivalent med den opprinnelige.
2. Begge sider av ligningen kan deles på et hvilket som helst tall som ikke er null. Som et resultat får vi en ligning tilsvarende den opprinnelige.
Å løse ligninger i heltall er et av de eldste matematiske problemene. Allerede i begynnelsen av det 2. årtusen f.Kr. e. Babylonerne visste hvordan de skulle løse systemer med slike ligninger med to variabler. Dette området av matematikk nådde sin største oppblomstring i antikkens Hellas. Vår hovedkilde er Diophantus sin aritmetikk, som inneholder ulike typer ligninger. I den forutser Diophantus (etter navnet på ligningene hans er Diophantine ligninger) en rekke metoder for å studere ligninger av 2. og 3. grad, som utviklet seg først på 1800-tallet.
De enkleste diofantiske ligningene er ax + y = 1 (ligning med to variabler, første grad) x2 + y2 = z2 (ligning med tre variabler, andre grad)
Algebraiske ligninger har blitt mest studert løsningen deres var et av de viktigste problemene i algebra på 1500- og 1600-tallet.
På begynnelsen av 1800-tallet undersøkte verkene til P. Fermat, L. Euler, K. Gauss en diofantisk ligning av formen: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, hvor a, b, c , d, e, f er tall; x, y ukjente variabler.
Dette er en 2. grads ligning med to ukjente.
K. Gauss utviklet en generell teori om kvadratiske former, som er grunnlaget for å løse visse typer ligninger med to variabler (diofantiske ligninger). Det er et stort antall spesifikke diofantiske ligninger som kan løses ved hjelp av elementære metoder. /p>
Teoretisk materiale.
I denne delen av arbeidet vil de grunnleggende matematiske begrepene bli beskrevet, begreper vil bli definert, og ekspansjonsteoremet vil bli formulert ved hjelp av metoden for ubestemte koeffisienter, som ble studert og vurdert ved løsning av likninger med to variabler.
Definisjon 1: Ligning av formen ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, hvor a, b, c, d, e, f er tall; x, y ukjente variabler kalles en andregradsligning med to variabler.
I et skolematematikkkurs studeres den andregradsligningen ax2 + bx + c = 0, hvor a, b, c av tallet x er en variabel, med én variabel. Det er mange måter å løse denne ligningen på:
1. Finne røtter ved hjelp av en diskriminant;
2. Finne røttene for partallskoeffisienten i (i henhold til D1=);
3. Finne røtter ved hjelp av Vietas teorem;
4. Finne røtter ved å isolere det perfekte kvadratet til et binomial.
Å løse en ligning betyr å finne alle dens røtter eller bevise at de ikke eksisterer.
Definisjon 2: Roten til en ligning er et tall som, når det erstattes i en ligning, danner en sann likhet.
Definisjon 3: Løsningen til en likning med to variabler kalles et tallpar (x, y) når den erstattes med likningen, blir den til en sann likhet.
Prosessen med å finne løsninger på en ligning består veldig ofte i å erstatte ligningen med en ekvivalent ligning, men en som er enklere å løse. Slike ligninger kalles ekvivalente.
Definisjon 4: To likninger sies å være ekvivalente hvis hver løsning av den ene likningen er en løsning av den andre likningen, og omvendt, og begge likningene betraktes i samme domene.
For å løse likninger med to variabler, bruk teoremet om dekomponering av likningen til en sum av komplette kvadrater (ved metoden med ubestemte koeffisienter).
For andreordens ligning ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1), skjer ekspansjonen a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2)
La oss formulere betingelsene under hvilke ekspansjon (2) finner sted for likning (1) av to variabler.
Teorem: Hvis koeffisientene a, b, c i ligning (1) tilfredsstiller betingelsene a0 og 4ab – c20, så bestemmes ekspansjon (2) på en unik måte.
Med andre ord, ligning (1) med to variabler kan reduseres til form (2) ved hjelp av metoden med ubestemte koeffisienter dersom betingelsene for teoremet er oppfylt.
La oss se på et eksempel på hvordan metoden med ubestemte koeffisienter implementeres.
METODE nr. 1. Løs ligningen ved å bruke metoden med ubestemte koeffisienter
2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.
1. La oss sjekke oppfyllelsen av betingelsene i teoremet, a=2, b=1, c=2, som betyr a=2,4av – c2= 4∙2∙1- 22= 40.
2. Betingelsene for teoremet er oppfylt de kan utvides i henhold til formel (2).
3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 +h, basert på betingelsene i teoremet, er begge deler av identiteten ekvivalente. La oss forenkle høyresiden av identiteten.
4. 2(x + py + q)2 + r(y +s)2 +h =
2(x2+ p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =
2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =
X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).
5. Vi setter likhetstegn mellom koeffisientene for identiske variabler med deres grader.
x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h
6. La oss få et ligningssystem, løse det og finne verdiene til koeffisientene.
7. Sett inn koeffisientene i (2), så vil ligningen ta formen
2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 +0
Dermed er den opprinnelige ligningen ekvivalent med ligningen
2(x + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 = 0 (3), er denne ligningen ekvivalent med et system med to lineære ligninger.
Svar: (-1; 1).
Hvis du legger merke til ekspansjonstypen (3), vil du legge merke til at den er identisk i formen med å isolere et komplett kvadrat fra en kvadratisk ligning med én variabel: ax2 + inx + c = a(x +)2 +.
La oss bruke denne teknikken når vi løser en ligning med to variabler. La oss løse, ved å velge et komplett kvadrat, en andregradsligning med to variabler som allerede er løst ved hjelp av teoremet.
METODE nr. 2: Løs ligningen 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.
Løsning: 1. La oss forestille oss 2x2 som summen av to ledd x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.
2. La oss gruppere begrepene på en slik måte at vi kan brette dem ved hjelp av formelen til en komplett firkant.
(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x +1) = 0.
3. Velg komplette ruter fra uttrykkene i parentes.
(x + y)2 + (x + 1)2 = 0.
4. Denne ligningen tilsvarer et system av lineære ligninger.
Svar: (-1;1).
Hvis du sammenligner resultatene, kan du se at likningen løst ved metode nr. 1 ved bruk av teoremet og metoden for ubestemte koeffisienter og likningen løst ved metode nr. 2 ved bruk av ekstraksjon av et komplett kvadrat har samme røtter.
Konklusjon: En andregradsligning med to variabler kan utvides til en kvadratsum på to måter:
➢ Den første metoden er metoden med ubestemte koeffisienter, som er basert på teoremet og ekspansjonen (2).
➢ Den andre måten er å bruke identitetstransformasjoner som lar deg velge sekvensielt komplette firkanter.
Selvfølgelig, når du løser problemer, er den andre metoden å foretrekke, siden den ikke krever å huske utvidelse (2) og betingelser.
Denne metoden kan også brukes for andregradsligninger med tre variabler. Å isolere et perfekt kvadrat i slike ligninger er mer arbeidskrevende. Jeg skal gjøre denne typen transformasjon neste år.
Det er interessant å merke seg at en funksjon som har formen: f(x,y) = ax2 + vxy + cy2 + dx + ey + f kalles en kvadratisk funksjon av to variable. Kvadratiske funksjoner spiller en viktig rolle i ulike grener av matematikk:
I matematisk programmering (kvadratisk programmering)
I lineær algebra og geometri (kvadratiske former)
I teorien om differensialligninger (redusere en andreordens lineær ligning til kanonisk form).
Når man løser disse forskjellige problemene, må man i hovedsak bruke prosedyren for å isolere et komplett kvadrat fra en kvadratisk ligning (en, to eller flere variabler).
Linjer hvis ligninger er beskrevet av en kvadratisk ligning av to variabler kalles andreordenskurver.
Dette er en sirkel, ellipse, hyperbel.
Når du konstruerer grafer av disse kurvene, brukes også metoden for sekvensiell isolering av et komplett kvadrat.
La oss se på hvordan metoden for sekvensielt valg av et komplett kvadrat fungerer ved å bruke spesifikke eksempler.
Praktisk del.
Løs ligninger ved å bruke metoden for sekvensielt å isolere et komplett kvadrat.
1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;
(x +1)2 + (x + y)2 = 0;
Svar:(-1;1).
2. x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;
(x + y)2 + (2y + 1)2 = 0;
Svar:(0,5; - 0,5).
3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2y + 1 = 0;
3x2 + 3y2 + y2 – 6xy – 2y +1 = 0;
3x2 +3y2 – 6xy + y2 –2y +1 = 0;
3(x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;
3(x2 - 2xy + y2)+(y2 - 2y + 1)=0;
3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;
Svar:(-1;1).
Løs ligninger:
1. 2x2 + 3y2 – 4xy + 6y +9 =0
(reduser til formen: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)
Svar: (-3; -3)
2. – 3x2 – 2y2 – 6xy –2y + 1=0
(reduser til formen: -3(x+y)2 + (y –1)2= 0)
Svar: (-1; 1)
3. x2 + 3y2+2xy + 28y +98 =0
(reduser til formen: (x+y)2 +2(y+7)2 =0)
Svar: (7; -7)
Konklusjon.
I dette vitenskapelige arbeidet ble likninger med to variabler av andre grad studert og metoder for å løse dem ble vurdert. Oppgaven er fullført, en kortere løsningsmetode er formulert og beskrevet, basert på å isolere et komplett kvadrat og erstatte ligningen med et ekvivalent system av ligninger, som et resultat har prosedyren for å finne røttene til en ligning med to variabler. blitt forenklet.
Et viktig poeng med arbeidet er at teknikken som vurderes brukes når man skal løse ulike matematiske problemer knyttet til en kvadratisk funksjon, konstruere andreordenskurver og finne den største (minste) verdien av uttrykk.
Teknikken med å dekomponere en andreordens ligning med to variabler til en sum av kvadrater har således de mest tallrike bruksområdene i matematikk.
Forfatterens tilnærming til dette emnet er ikke tilfeldig. Ligninger med to variabler møter man først i 7. klassekurset. En ligning med to variabler har et uendelig antall løsninger. Dette er tydelig demonstrert av grafen til en lineær funksjon, gitt som ax + by=c. I skolekurset studerer elevene systemer av to likninger med to variabler. Som et resultat faller en hel rekke problemer med begrensede forhold på koeffisienten til ligningen, samt metoder for å løse dem, ut av synsfeltet til læreren og derfor studenten.
Vi snakker om å løse en ligning med to ukjente i heltall eller naturlige tall.
På skolen studeres naturlige tall og heltall i 4-6 klassetrinn. Når de går ut av skolen, husker ikke alle elevene forskjellene mellom settene med disse tallene.
Imidlertid finnes et problem som "løs en ligning av formen ax + by=c i heltall" i økende grad på opptaksprøver til universiteter og i Unified State Examination-materiell.
Å løse usikre ligninger utvikler logisk tenkning, intelligens og oppmerksomhet til analyse.
Jeg foreslår å utvikle flere leksjoner om dette emnet. Jeg har ikke klare anbefalinger om tidspunktet for disse timene. Noen elementer kan også brukes i 7. klasse (for en sterk klasse). Disse timene kan legges til grunn og utvikle et lite valgfag om fagforberedende opplæring på 9. trinn. Og selvfølgelig kan dette materialet brukes i klasse 10-11 for å forberede seg til eksamen.
Hensikten med leksjonen:
- repetisjon og generalisering av kunnskap om emnet "Første og andre ordens ligninger"
- pleie kognitiv interesse for faget
- utvikle evnen til å analysere, gjøre generaliseringer, overføre kunnskap til en ny situasjon
Leksjon 1.
I løpet av timene.
1) Org. øyeblikk.
2) Oppdatering av grunnleggende kunnskap.
Definisjon. En lineær ligning i to variabler er en ligning av formen
mx + ny = k, hvor m, n, k er tall, x, y er variabler.
Eksempel: 5x+2y=10
Definisjon. En løsning på en ligning med to variabler er et par verdier av variabler som gjør ligningen til en ekte likhet.
Ligninger med to variabler som har samme løsninger kalles ekvivalente.
1. 5x+2y=12 (2)y = -2,5x+6
Denne ligningen kan ha et hvilket som helst antall løsninger. For å gjøre dette er det nok å ta en hvilken som helst x-verdi og finne den tilsvarende y-verdien.
La x = 2, y = -2,5 2+6 = 1
x = 4, y = -2,5 4+6 =- 4
Tallpar (2;1); (4;-4) – løsninger til ligning (1).
Denne ligningen har uendelig mange løsninger.
3) Historisk bakgrunn
Ubestemte (diofantiske) ligninger er ligninger som inneholder mer enn én variabel.
I det 3. århundre. AD – Diophantus av Alexandria skrev "Aritmetikk", der han utvidet settet med tall til rasjonelle og introduserte algebraisk symbolikk.
Diophantus vurderte også problemene med å løse ubestemte ligninger og han ga metoder for å løse ubestemte ligninger av andre og tredje grad.
4) Studere nytt materiale.
Definisjon: En førsteordens inhomogen diofantligning med to ukjente x, y er en ligning av formen mx + ny = k, hvor m, n, k, x, y Z k0
Uttalelse 1.
Hvis det frie leddet k i ligning (1) ikke er delelig med den største felles divisor (GCD) av tallene m og n, så har ligning (1) ingen heltallsløsninger.
Eksempel: 34x – 17y = 3.
GCD (34; 17) = 17, 3 er ikke jevnt delelig med 17, det er ingen løsning i heltall.
La k være delelig med gcd (m, n). Ved å dele alle koeffisientene kan vi sikre at m og n blir relativt prime.
Uttalelse 2.
Hvis m og n i ligning (1) er relativt primtall, så har denne ligningen minst én løsning.
Uttalelse 3.
Hvis koeffisientene m og n i ligning (1) er coprimtall, så har denne ligningen uendelig mange løsninger:
Hvor (; ) er en løsning til ligning (1), t Z
Definisjon. En førsteordens homogen diofantligning med to ukjente x, y er en ligning på formen mx + ny = 0, hvor (2)
Uttalelse 4.
Hvis m og n er coprimtall, så har enhver løsning til ligning (2) formen 
5) Lekser. Løs ligningen i hele tall:
- 9x – 18y = 5
- x + y= xy
- Flere barn plukket epler. Hver gutt samlet 21 kg, og jenta samlet 15 kg. Totalt samlet de inn 174 kg. Hvor mange gutter og hvor mange jenter plukket epler?
Kommentar. Denne leksjonen gir ikke eksempler på løsning av ligninger i heltall. Derfor løser barn lekser basert på påstand 1 og utvalg.
Leksjon 2.
1) Organisatorisk øyeblikk
2) Sjekke lekser
1) 9x – 18y = 5
5 er ikke delelig med 9; det er ingen løsninger i hele tall.
Ved å bruke valgmetoden kan du finne en løsning
Svar: (0;0), (2;2)
3) La oss lage en ligning:
La guttene være x, x Z, og jentene y, y Z, så kan vi lage ligningen 21x + 15y = 174
Mange elever som har skrevet en ligning, vil ikke være i stand til å løse den.
Svar: 4 gutter, 6 jenter.
3) Lære nytt materiale
Etter å ha møtt vanskeligheter med å fullføre lekser, ble elevene overbevist om behovet for å lære metodene deres for å løse usikre ligninger. La oss se på noen av dem.
I. Metode for å vurdere delingsrester.
Eksempel. Løs ligningen i heltall 3x – 4y = 1.
Venstre side av ligningen er delelig med 3, derfor må høyre side være delelig. La oss vurdere tre tilfeller.
Svar: hvor m Z.
Den beskrevne metoden er praktisk å bruke hvis tallene m og n ikke er små, men kan dekomponeres i enkle faktorer.
Eksempel: Løs ligninger i hele tall.
La y = 4n, så deles 16 - 7y = 16 – 7 4n = 16 – 28n = 4*(4-7n) på 4.
y = 4n+1, så er 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n ikke delelig med 4.
y = 4n+2, så er 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n ikke delelig med 4.
y = 4n+3, så er 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n ikke delelig med 4.
Derfor y = 4n, da
4x = 16 – 7 4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n
Svar: , hvor n Z.
II. Usikre ligninger av 2. grad
I dag i leksjonen skal vi bare berøre løsningen av andreordens diofantiske ligninger.
Og av alle typer ligninger vil vi vurdere tilfellet når vi kan bruke kvadratforskjellsformelen eller en annen metode for faktorisering.
Eksempel: Løs en ligning i hele tall.
13 er et primtall, så det kan bare faktoriseres på fire måter: 13 = 13 1 = 1 13 = (-1)(-13) = (-13)(-1)
La oss vurdere disse tilfellene
Svar: (7;-3), (7;3), (-7;3), (-7;-3).
4) Lekser.
Eksempler. Løs ligningen i hele tall:
(x - y)(x + y)=4
| 2x = 4 | 2x = 5 | 2x = 5 |
| x = 2 | x = 5/2 | x = 5/2 |
| y = 0 | passer ikke | passer ikke |
| 2x = -4 | passer ikke | passer ikke |
| x = -2 | ||
| y = 0 |
Svar: (-2;0), (2;0).
Svar: (-10;9), (-5;3), (-2;-3), (-1;-9), (1;9), (2;3), (5;-3) , (10;-9).
V) 
Svar: (2;-3), (-1;-1), (-4;0), (2;2), (-1;3), (-4;5).
Resultater. Hva vil det si å løse en likning i hele tall?
Hvilke metoder for å løse usikre ligninger kjenner du?
Applikasjon:
Øvelser for trening.
1) Løs i hele tall.
| a) 8x + 12y = 32 | x = 1 + 3n, y = 2 - 2n, n Z |
| b) 7x + 5y = 29 | x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z |
| c) 4x + 7y = 75 | x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z |
| d) 9x – 2y = 1 | x = 1 – 2 m, y = 4 + 9 m, m Z |
| e) 9x – 11y = 36 | x = 4 + 11n, y = 9n, n Z |
| e) 7x – 4y = 29 | x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z |
| g) 19x – 5y = 119 | x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, p Z |
| h) 28x – 40y = 60 | x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z |
2) Finn heltalls ikke-negative løsninger på ligningen.
På 7. trinns matematikkkurs møter vi for første gang ligninger med to variabler, men de studeres bare i sammenheng med ligningssystemer med to ukjente. Det er grunnen til at en hel rekke problemer der visse forhold er introdusert på koeffisientene til ligningen som begrenser dem faller ut av syne. I tillegg ignoreres også metoder for å løse problemer som "Løs en ligning i naturlige eller heltall", selv om problemer av denne typen finnes oftere og oftere i Unified State Examination-materiellet og i opptaksprøver.
Hvilken ligning kalles en ligning med to variabler?
Så, for eksempel, ligningene 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, eller xy = 12 er ligninger i to variabler.
Tenk på ligningen 2x – y = 1. Den blir sann når x = 2 og y = 3, så dette paret med variabelverdier er en løsning på den aktuelle ligningen.
Dermed er løsningen på enhver ligning med to variabler et sett med ordnede par (x; y), verdier av variablene som gjør denne ligningen til en sann numerisk likhet.
En ligning med to ukjente kan:
EN) har én løsning. For eksempel har ligningen x 2 + 5y 2 = 0 en unik løsning (0; 0);
b) har flere løsninger. For eksempel har (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 4 løsninger: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);
V) har ingen løsninger. For eksempel har likningen x 2 + y 2 + 1 = 0 ingen løsninger;
G) har uendelig mange løsninger. For eksempel, x + y = 3. Løsningene til denne ligningen vil være tall hvis sum er lik 3. Settet med løsninger til denne ligningen kan skrives på formen (k; 3 – k), der k er en hvilken som helst reell Antall.
Hovedmetodene for å løse likninger med to variabler er metoder basert på faktorisering av uttrykk, isolering av et komplett kvadrat, bruk av egenskapene til en kvadratisk ligning, begrensede uttrykk og estimeringsmetoder. Ligningen blir vanligvis transformert til en form som et system for å finne de ukjente kan hentes fra.
Faktorisering
Eksempel 1.
Løs ligningen: xy – 2 = 2x – y.
Løsning.
Vi grupperer begrepene for faktoriseringsformål:
(xy + y) – (2x + 2) = 0. Fra hver parentes tar vi ut en felles faktor:
y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
(x + 1)(y – 2) = 0. Vi har:
y = 2, x – et hvilket som helst reelt tall eller x = -1, y – et hvilket som helst reelt tall.
Dermed, svaret er alle parene av formen (x; 2), x € R og (-1; y), y € R.
Likhet mellom ikke-negative tall og null
Eksempel 2.
Løs ligningen: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).
Løsning.
Gruppering:
(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Nå kan hver brakett brettes ved å bruke kvadratisk forskjellsformel.
(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.
Summen av to ikke-negative uttrykk er null bare hvis 3x – 2 = 0 og 2y – 3 = 0.
Dette betyr x = 2/3 og y = 3/2.
Svar: (2/3; 3/2).
Estimeringsmetode
Eksempel 3.
Løs ligningen: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.
Løsning.
I hver parentes markerer vi en komplett firkant:
((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. La oss anslå 
betydningen av uttrykkene i parentes.
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 og (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, så er venstre side av ligningen alltid minst 2. Likhet er mulig hvis:
(x + 1) 2 + 1 = 1 og (y – 2) 2 + 2 = 2, som betyr x = -1, y = 2.
Svar: (-1; 2).
La oss bli kjent med en annen metode for å løse likninger med to variabler av andre grad. Denne metoden består i å behandle ligningen som kvadrat med hensyn til en variabel.
Eksempel 4.
Løs ligningen: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.
Løsning.
La oss løse ligningen som en andregradsligning for x. La oss finne diskriminanten:
D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Ligningen vil bare ha en løsning når D = 0, det vil si hvis y = 4. Vi erstatter verdien av y i den opprinnelige ligningen og finner at x = 3.
Svar: (3; 4).
Ofte i ligninger med to ukjente indikerer de restriksjoner på variabler.
Eksempel 5.
Løs ligningen i hele tall: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.
Løsning.
La oss omskrive likningen på formen x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Høyresiden av den resulterende likningen ved delt på 5 gir en rest av 2. Derfor er ikke x 2 delelig med 5. Men kvadratet av en tall som ikke er delelig med 5 gir en rest av 1 eller 4. Dermed er likhet umulig og det finnes ingen løsninger.
Svar: ingen røtter.
Eksempel 6.
Løs ligningen: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.
Løsning.
La oss fremheve de komplette rutene i hver parentes:
((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Venstre side av ligningen er alltid større enn eller lik 3. Likhet er mulig forutsatt |x| – 2 = 0 og y + 3 = 0. Dermed er x = ± 2, y = -3.
Svar: (2; -3) og (-2; -3).
Eksempel 7.
For hvert par negative heltall (x;y) som tilfredsstiller ligningen
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, beregn summen (x + y). Vennligst oppgi det minste beløpet i svaret.
Løsning.
La oss velge komplette firkanter:
(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;
(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Siden x og y er heltall, er kvadratene deres også heltall. Vi får summen av kvadratene av to heltall lik 37 hvis vi legger til 1 + 36. Derfor:
(x – y) 2 = 36 og (y + 2) 2 = 1 
(x – y) 2 = 1 og (y + 2) 2 = 36.
Ved å løse disse systemene og ta i betraktning at x og y er negative, finner vi løsninger: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).
Svar: -17.
Fortvil ikke hvis du har problemer med å løse likninger med to ukjente. Med litt øvelse kan du håndtere enhver ligning.
Har du fortsatt spørsmål? Vet du ikke hvordan du løser ligninger i to variabler?
Registrer deg for å få hjelp fra en veileder.
Den første leksjonen er gratis!
nettside, ved kopiering av materiale helt eller delvis, kreves det en lenke til kilden.
Likestilling f(x; y) = 0 representerer en ligning med to variabler. Løsningen på en slik ligning er et par variabelverdier som gjør ligningen med to variabler til en ekte likhet.
Hvis vi har en likning med to variabler, må vi tradisjonelt sette x på førsteplass og y på andreplass.
Tenk på likningen x – 3y = 10. Par (10; 0), (16; 2), (-2; -4) er løsninger på ligningen under vurdering, mens par (1; 5) ikke er en løsning.
For å finne andre par med løsninger til denne ligningen, er det nødvendig å uttrykke en variabel i form av en annen - for eksempel x i form av y. Som et resultat får vi ligningen
x = 10 + 3y. La oss beregne verdiene til x ved å velge vilkårlige verdier av y.
Hvis y = 7, så er x = 10 + 3 ∙ 7 = 10 + 21 = 31.
Hvis y = -2, så er x = 10 + 3 ∙ (-2) = 10 – 6 = 4.
Dermed er parene (31; 7), (4; -2) også løsninger på den gitte ligningen.
Hvis likninger med to variabler har samme røtter, kalles slike likninger ekvivalente.
For likninger med to variabler er teoremer om ekvivalente transformasjoner av likninger gyldige.
Tenk på grafen til en ligning med to variabler.
La en ligning med to variable f(x; y) = 0 gis. Alle dens løsninger kan representeres av punkter på koordinatplanet, og få et bestemt sett med punkter på planet. Dette settet med punkter på planet kalles grafen til ligningen f(x; y) = 0.
Dermed er grafen til ligningen y – x 2 = 0 parabelen y = x 2; grafen til ligningen y – x = 0 er en rett linje; grafen til ligningen y – 3 = 0 er en rett linje parallelt med x-aksen osv.
En likning av formen ax + by = c, hvor x og y er variabler og a, b og c er tall, kalles lineær; tallene a, b kalles koeffisienter av variablene, c er frileddet.
Grafen til den lineære ligningen ax + by = c er:
La oss plotte ligningen 2x – 3y = -6.
1. Fordi ingen av koeffisientene til variablene er null, da vil grafen til denne ligningen være en rett linje.
2. For å konstruere en rett linje, må vi kjenne til minst to av punktene. Bytt inn x-verdiene i ligningene og få y-verdiene og omvendt:
hvis x = 0, så er y = 2; (0 ∙ x – 3y = -6);
hvis y = 0, så er x = -3; (2x – 3 ∙ 0 = -6). 
Så vi fikk to punkter på grafen: (0; 2) og (-3; 0).
3. La oss tegne en rett linje gjennom de oppnådde punktene og få en graf av ligningen
2x – 3y = -6.
Hvis den lineære ligningen ax + by = c har formen 0 ∙ x + 0 ∙ y = c, må vi vurdere to tilfeller:
1. c = 0. I dette tilfellet tilfredsstiller et hvilket som helst par (x; y) ligningen, og derfor er grafen til ligningen hele koordinatplanet;
2. c ≠ 0. I dette tilfellet har ligningen ingen løsning, noe som betyr at grafen ikke inneholder et enkelt punkt.
blog.site, når du kopierer materiale helt eller delvis, kreves en lenke til originalkilden.