Berapakah isipadu prisma segi tiga? Isipadu prisma lurus

Isipadu prisma. Penyelesaian masalah

Geometri adalah cara yang paling berkuasa untuk mengasah kemampuan mental kita dan membolehkan kita berfikir dan menaakul dengan betul.

G. Galileo

Objektif pelajaran:

• mengajar menyelesaikan masalah mengira isipadu prisma, meringkaskan dan sistematik maklumat yang pelajar ada tentang prisma dan unsur-unsurnya, membangunkan keupayaan untuk menyelesaikan masalah yang semakin kompleks;
• membangun pemikiran logik, kebolehan bekerja secara bebas, kemahiran mengawal dan mengawal diri, kebolehan bercakap dan mendengar;
• membangunkan tabiat pekerjaan yang berterusan dalam beberapa aktiviti yang berguna, memupuk responsif, kerja keras, dan ketepatan.

Jenis pelajaran: pelajaran mengaplikasikan pengetahuan, kemahiran dan kebolehan.

Peralatan: kad kawalan, projektor media, persembahan “Pelajaran. Isipadu Prisma”, komputer.

Kemajuan pelajaran

• Rusuk sisi prisma (Rajah 2).
• Permukaan sisi prisma (Rajah 2, Rajah 5).
• Ketinggian prisma (Rajah 3, Rajah 4).
• Prisma lurus (Rajah 2,3,4).
• Prisma condong(Rajah 5).
• Prisma yang betul(Rajah 2, Rajah 3).
• Bahagian pepenjuru prisma (Rajah 2).
• Diagonal prisma (Rajah 2).
• Bahagian serenjang prisma (pi3, rajah4).
• Luas permukaan sisi prisma.
• Segi empat permukaan penuh prisma.
• Isipadu prisma.

1. SEMAK KERJA RUMAH (8 min)

Bertukar buku nota, semak penyelesaian pada slaid dan tandakannya (tanda 10 jika masalah telah disusun)

Buat masalah berdasarkan gambar dan selesaikan. Pelajar itu mempertahankan masalah yang telah dia susun di papan. Rajah 6 dan Rajah 7.





Bab 2,§3
Masalah.2. Panjang semua tepi prisma segi tiga sekata adalah sama antara satu sama lain. Kira isipadu prisma itu jika luas permukaannya ialah cm 2 (Rajah 8)




Bab 2,§3
Masalah 5. Tapak prisma tegak ABCA 1B 1C1 ialah segi tiga tegak ABC (sudut ABC=90°), AB=4cm. Hitung isipadu prisma itu jika jejari bulatan itu dihadkan segi tiga ABC, ialah 2.5 cm, dan tinggi prisma itu ialah 10 cm. (Rajah 9).




Bab2,§3
Masalah 29. Panjang sisi tapak adalah sekata prisma segi empat sama dengan 3 cm. Diagonal prisma membentuk sudut 30° dengan satah muka sisi. Kira isipadu prisma itu (Rajah 10).




2. Kerjasama guru dengan kelas (2-3 min.).

Tujuan: merumuskan pemanasan teori (pelajar memberi markah antara satu sama lain), mengkaji cara untuk menyelesaikan masalah mengenai sesuatu topik.

3. MINIT FIZIKAL (3 min)
4. PENYELESAIAN MASALAH (10 min)

hidup pada peringkat ini Guru mengatur kerja hadapan mengenai kaedah berulang untuk menyelesaikan masalah planimetrik dan formula planimetrik.

Kelas dibahagikan kepada dua kumpulan, beberapa menyelesaikan masalah, yang lain bekerja di komputer. Kemudian mereka berubah.

Pelajar diminta menyelesaikan semua No 8 (secara lisan), No 9 (secara lisan). Kemudian mereka membahagikan kepada kumpulan dan meneruskan untuk menyelesaikan masalah No. 14, No. 30, No. 32. Bab 2, §3, muka surat 66-67 Masalah 8. Semua tepi adalah betul




prisma segi tiga
adalah sama antara satu sama lain. Cari isipadu prisma jika luas keratan rentas satah yang melalui tepi tapak bawah dan tengah sisi tapak atas adalah sama dengan cm (Gamb. 11). Bab 2,§3, muka surat 66-67 Masalah 9. Tapak prisma lurus ialah segi empat sama, dan ia rusuk sisi dua kali




prisma segi tiga
lebih banyak sisi alasan. Kira isipadu prisma jika jejari bulatan yang diterangkan berhampiran keratan prisma dengan satah yang melalui sisi tapak dan tengah tepi sisi bertentangan adalah sama dengan cm (Rajah 12) Masalah 14 Tapak prisma lurus ialah rombus, salah satu pepenjurunya adalah sama dengan sisinya. Kira perimeter bahagian dengan satah yang melaluinya pepenjuru besar




prisma segi tiga
tapak bawah, jika isipadu prisma adalah sama dan semua muka sebelah




prisma segi tiga
segi empat sama (Rajah 13). Masalah 30




ABCA 1 B 1 C 1 ialah prisma segi tiga sekata, semua tepinya adalah sama antara satu sama lain, titiknya ialah tengah tepi BB 1. Kira jejari bulatan yang ditulis dalam bahagian prisma oleh satah AOS, jika isipadu prisma itu sama dengan (Rajah 14). Masalah 32.Dalam prisma segi empat sekata, jumlah luas tapak adalah sama dengan luas permukaan sisi. Kira isipadu prisma jika diameter bulatan yang diterangkan berhampiran keratan rentas prisma itu dengan satah yang melalui dua bucu tapak bawah dan bucu bertentangan tapak atas ialah 6 cm (Rajah 15).

5. Semasa menyelesaikan masalah, pelajar membandingkan jawapan mereka dengan yang ditunjukkan oleh guru. Ini adalah contoh penyelesaian kepada masalah dengan ulasan terperinci... Kerja individu

guru dengan pelajar “kuat” (10 min.).

1) 152) 45 3) 104) 125) 18

Kerja bebas

pelajar menjalankan ujian di komputer

1. Sisi tapak prisma segi tiga sekata adalah sama dengan , dan tingginya ialah 5. Cari isipadu prisma itu.

2. Pilih pernyataan yang betul. 1) Isipadu prisma tegak yang tapaknya ialah segi tiga tegak adalah sama dengan hasil darab luas tapak dan tingginya. 2) Isipadu prisma segi tiga sekata dikira dengan formula V = 0.25a 2 h - dengan a ialah sisi tapak, h ialah ketinggian prisma itu.

4) Isipadu prisma segi empat sekata sekata dikira dengan formula V = a 2 h-di mana a ialah sisi tapak, h ialah ketinggian prisma itu.

5) Isipadu betul prisma heksagon dikira dengan formula V = 1.5a 2 h, dengan a ialah sisi tapak, h ialah ketinggian prisma.

3. Sisi tapak prisma segi tiga sekata adalah sama dengan . Melalui sisi tapak bawah dan puncak bertentangan

1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125

Sebuah satah dilukis dari tapak atas, yang melepasi pada sudut 45° ke tapak. Cari isipadu prisma itu.

4. Tapak prisma tegak ialah rombus, sisinya ialah 13, dan salah satu pepenjuru ialah 24.

Cari isipadu prisma itu jika pepenjuru muka sisi ialah 14.

Berapakah isipadu prisma dan cara mencarinya

Isipadu prisma ialah hasil darab luas tapaknya dan tingginya.

Walau bagaimanapun, kita tahu bahawa di dasar prisma boleh terdapat segitiga, segi empat sama atau beberapa polyhedron lain.

Oleh itu, untuk mencari isipadu prisma, anda hanya perlu mengira luas tapak prisma, dan kemudian darabkan kawasan ini dengan ketinggiannya.

Iaitu, jika terdapat segi tiga di dasar prisma, maka pertama sekali anda perlu mencari luas segitiga itu. Jika tapak prisma ialah segi empat sama atau poligon lain, maka pertama sekali anda perlu mencari luas segi empat sama atau poligon lain.

Perlu diingat bahawa ketinggian prisma adalah serenjang yang ditarik ke tapak prisma.

Apa itu prisma Sekarang mari kita ingat definisi prisma. Prisma ialah poligon yang mempunyai dua muka (tapak) di dalamnya

satah selari

, dan semua tepi yang terletak di luar muka ini adalah selari.

Secara ringkasnya:

Prisma ialah sebarang rajah geometri yang mempunyai dua tapak yang sama dan muka rata.

Nama prisma bergantung kepada bentuk tapaknya. Apabila tapak prisma ialah segi tiga, maka prisma tersebut dipanggil segi tiga. Prisma polihedral ialah rajah geometri yang tapaknya ialah polihedron. Juga, prisma ialah sejenis silinder.

Apakah jenis prisma yang terdapat?

Jika kita melihat gambar di atas, kita akan melihat bahawa prisma adalah lurus, sekata dan serong.
Bersenam
1. Prisma yang manakah dipanggil betul?
2. Mengapakah ia dipanggil begitu?
3. Apakah nama prisma yang tapaknya ialah poligon sekata?
4. Berapakah ketinggian rajah ini? 5. Apakah prisma yang tepinya tidak berserenjang dipanggil?.
6. Takrifkan tre
prisma karbon

Apakah unsur-unsur yang terdiri daripada prisma?

Prisma terdiri daripada unsur-unsur seperti tapak bawah dan atas, muka sisi, tepi dan bucu.

Kedua-dua tapak prisma terletak pada satah dan selari antara satu sama lain.
Muka sisi piramid ialah segi empat selari.
Permukaan sisi piramid ialah jumlah muka sisi.
Aspek umum muka sisi tidak lebih daripada tepi sisi rajah tertentu.
Ketinggian piramid ialah segmen yang menghubungkan satah tapak dan berserenjang dengannya.

Sifat prisma

Rajah geometri, seperti prisma, mempunyai beberapa sifat. Mari kita lihat lebih dekat sifat-sifat ini:

Pertama, tapak prisma dipanggil poligon yang sama;
Kedua, muka sisi prisma dibentangkan dalam bentuk segi empat selari;
Ketiga, ini angka geometri tepinya selari dan sama;
Keempat, jumlah luas permukaan prisma itu ialah:

Sekarang mari kita lihat teorem yang menyediakan formula yang digunakan untuk mengira luas permukaan sisi dan bukti.

Pernahkah anda terfikir tentang perkara ini fakta menarik bahawa prisma boleh bukan sahaja badan geometri, tetapi juga objek lain di sekeliling kita. Malah kepingan salji biasa, bergantung pada rejim suhu boleh bertukar menjadi prisma ais, mengambil bentuk angka heksagon.

Tetapi kristal kalsit mempunyai ini satu fenomena yang unik, bagaimana untuk memecahkan kepada serpihan dan mengambil bentuk selari. Dan apa yang paling menakjubkan ialah tidak kira betapa kecilnya kristal kalsit dihancurkan, hasilnya sentiasa sama: ia bertukar menjadi parallelepiped kecil.

Ternyata prisma telah mendapat populariti bukan sahaja dalam matematik, menunjukkan badan geometrinya, tetapi juga dalam bidang seni, kerana ia adalah asas lukisan yang dicipta oleh artis hebat seperti P. Picasso, Braque, Griss dan lain-lain.

Isipadu prisma lurus sama dengan produk kawasan asas kepada ketinggian.

Bukti:

Pertama, kami membuktikan teorem untuk prisma lurus segi tiga (Rajah 1), dan kemudian untuk prisma lurus arbitrari (Rajah 1).

nasi. 1. Prisma lurus segi tiga

nasi. 2. Prisma sewenang-wenangnya

Pertimbangkan sebuah prisma segi tiga lurus ABCA 1 B 1 C 1 dengan isipadu V dan tinggi h. Mari kita lukis ketinggian segi tiga ABC (segmen ВD dalam Rajah 1) yang membahagikan segi tiga ini kepada dua segi tiga (sekurang-kurangnya satu ketinggian segi tiga memenuhi syarat ini). Satah BB 1 D membahagikan prisma ini kepada dua prisma, yang tapaknya ialah segi tiga tepat ABD dan BDC. Oleh itu, isipadu V 1 dan V 2 prisma ini masing-masing adalah sama: dan .

Mengikut sifat isipadu, V = V 1 + V 2.

Oleh itu:

Mari kita buktikan teorem bagi prisma lurus sembarangan dengan ketinggian h dan luas tapak S.

Prisma sedemikian boleh dibahagikan kepada prisma segi tiga lurus dengan ketinggian h. Sebagai contoh, rajah (lihat Rajah 2) menunjukkan prisma pentagonal cembung, yang dibahagikan kepada tiga prisma segi tiga lurus. Mari kita ungkapkan isipadu setiap prisma segi tiga menggunakan formula dan tambahkan isipadu ini. Kurungan pengganda biasa h, kita memperoleh dalam kurungan hasil tambah luas tapak prisma segi tiga, iaitu luas S tapak prisma asal. Oleh itu, isipadu prisma asal adalah sama dengan hasil darab .

Tugasan 1. Cari isipadu prisma lurus ABCA 1 B 1 C 1 jika: sudut BAC = 120°, AB = 5 cm, AC = 3 cm dan luas terbesar sisi menghadap S gr = 35 cm 2.

nasi. 3. Ilustrasi untuk masalah

Penyelesaian: kerana semua muka sisi adalah segi empat tepat dengan ketinggian yang sama, kawasan terbesar akan menjadi tempat pinggir terpanjang prisma berada di tapak: segi tiga ABC(lihat Rajah 3).

Sisi terbesar bagi segitiga terletak bertentangan dengan sudut terbesar - . Bermaksud, . Pertimbangkan segi tiga ABC. Mengikut teorem kosinus:

Mengetahui ketinggian prisma, kita dapati isipadunya. Luas tapak akan sama dengan separuh hasil darab kedua-dua belah dan sinus sudut di antara mereka.

Tugasan 2. Cari isipadu prisma lurus ABCA 1 B 1 C 1 jika: sudut AB 1 C = 60°, AB 1 = 3 cm, CB 1 = 2 cm dan ialah garis lurus.

nasi. 4. Ilustrasi untuk masalah

Penyelesaian (lihat Rajah 4):

Mari kita pertimbangkan. Mengikut teorem kosinus:

Biarkan BB 1 =h, kemudian ; . Mari kita tulis teorem Pythagoras untuk segitiga ABC:

Mengetahui ketinggian h, kita dapati sisi segitiga ABC, yang kita nyatakan dalam langkah 3: Kami mendapati ketinggian prisma dan sisi segi tiga di tapak. Mari cari isipadu prisma itu:

Tugasan 3. Cari isipadu prisma n-gonal sekata dengan setiap tepi sama dengan a, jika n=6.

nasi. 5. Ilustrasi untuk masalah

Penyelesaian: Isipadu prisma adalah sama dengan hasil darab luas tapak dan tinggi. Ketinggian mengikut keadaan adalah sama dengan a, yang bermaksud kita tidak perlu melukis lukisan spatial. Mari kita lukis tapak prisma (lihat Rajah 5).

Luas heksagon adalah sama dengan enam kawasan segi tiga AOB. Segitiga AOB ialah sama sisi,

Mari cari isipadu prisma itu:

Tugasan 4. Tapak prisma lurus ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ialah sebuah segi empat selari. Melalui sisi tapak DC=a, dan sisi bertentangan tapak yang satu lagi, satu bahagian dilukis yang membuat sudut β dengan satah tapak. Luas keratan rentas ialah Q. Cari isipadu prisma ini.

nasi. 6. Ilustrasi untuk masalah

Mari bina bahagian dan sudut β (lihat Rajah 6). Untuk melakukan ini, lukis ketinggian BL dalam segi empat selari. Kemudian segmen B 1 L akan berserenjang dengan CD dengan teorem tiga serenjang. Oleh itu, sudut β sama dengan sudut. . Mari kita pertimbangkan - segi empat tepat, kerana segmen BB 1 berserenjang dengan satah pangkalan.

Mari cari isipadu prisma menggunakan formula:

Jawapan:

Tugasan 5. Dalam prisma segi tiga sekata ABCA 1 B 1 C 1, melalui sisi tapak bawah dan bucu bertentangan tapak atas, satu keratan dilukis yang membentuk sudut 60° dengan satah tapak. Cari isipadu prisma itu jika sisi tapak AB=a.

nasi. 7. Ilustrasi untuk masalah

Mari kita lukis bahagian dan sudut antara bahagian dan tapak (lihat Rajah 7). Untuk melakukan ini, lukis ketinggian AK berserenjang dengan BC. Kemudian, dengan teorem tiga serenjang, segmen A 1 K juga berserenjang dengan BC. Justeru, . Mari kita pertimbangkan - sama sisi, yang bermaksud . Untuk mencari isipadu kita memerlukan ketinggian prisma. Oleh itu, mari kita pertimbangkan.

.

Sekarang mari kita cari isipadu prisma:

Rujukan

1. Geometri: buku teks. untuk gred 10-11. Untuk institusi pendidikan: asas dan tahap profil/L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev dan lain-lain - M.: "Prosveshchenie", 2008.
2. Masalah geometri. Manual untuk pelajar gred 7-11. institusi pendidikan /B. G. Ziv, V. M. Mailer - M.: "Pencerahan", 2003-2008.
3. Geometri. Tugas dan latihan untuk lukisan siap. 10-11 darjah /E. M. Rabinovich - Kharkov: "Gimnasium", 2003. - M.: "Ilexa", 2003.
4. Geometri. 10 darjah Berdikari dan ujian. /A. I. Ershova, V. V. Goloborodko - M.: "Ilexa", 2008.
5. Matematik. Peperiksaan Negeri Bersatu - 2011. Tugas latihan bertema./V. V. Kochagin, M. N. Kochagina - M.: "Eksmo", 2011.
6. Matematik. Peperiksaan Negeri Bersepadu - 2009 /F. F. Lysenko - Rostov-on-Don: "Legion", 2008.

1. Shkolo.ru ().
2. Mathem.h1.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru ().

Kerja rumah

1. P. 65. No 663, 664. Buku teks untuk gred 10-11, L.S. Atanasyan et al., ed ke-18. - M.: Pendidikan, 2009.