apa dah jadi pemfaktoran? Ini adalah satu cara untuk menukar contoh yang menyusahkan dan kompleks kepada contoh yang mudah dan comel.) Teknik yang sangat berkuasa! Ditemui pada setiap langkah dan masuk matematik asas, dan yang tertinggi.
Transformasi sedemikian dalam bahasa matematik dipanggil transformasi ungkapan yang sama. Bagi mereka yang tidak tahu, sila lihat pautan. Terdapat sangat sedikit, mudah dan berguna.) Maksud mana-mana transformasi identiti ialah rakaman ungkapan dalam bentuk lain sambil mengekalkan intipatinya.
Maknanya pemfaktoran sangat mudah dan jelas. Dari namanya sendiri. Anda mungkin terlupa (atau tidak tahu) apa itu pengganda, tetapi anda boleh mengetahui bahawa perkataan ini berasal daripada perkataan "darab"?) Pemfaktoran bermaksud: mewakili ungkapan dalam bentuk mendarab sesuatu dengan sesuatu. Semoga matematik dan bahasa Rusia memaafkan saya...) Itu sahaja.
Sebagai contoh, anda perlu mengembangkan nombor 12. Anda boleh menulis dengan selamat:
Jadi kami membentangkan nombor 12 sebagai pendaraban 3 dengan 4. Sila ambil perhatian bahawa nombor di sebelah kanan (3 dan 4) adalah berbeza sama sekali daripada di sebelah kiri (1 dan 2). Tetapi kami faham dengan baik bahawa 12 dan 3 4 satu dan sama. Intipati nombor 12 daripada transformasi tidak berubah.
Adakah mungkin untuk mengurai 12 secara berbeza? dengan mudah!
12=3·4=2·6=3·2·2=0.5·24=........
Pilihan penguraian tidak berkesudahan.
Memfaktorkan nombor adalah perkara yang berguna. Ia banyak membantu, contohnya, apabila bekerja dengan akar. Tetapi pemfaktoran ungkapan algebra bukan sahaja berguna, tetapi juga perlu! Sebagai contoh sahaja:
Permudahkan:
Mereka yang tidak tahu cara memfaktorkan ekspresi berehat di luar. Mereka yang tahu caranya - mudahkan dan dapatkan:
Kesannya sangat menakjubkan, bukan?) By the way, penyelesaiannya agak mudah. Anda akan lihat sendiri di bawah. Atau, sebagai contoh, tugas ini:
Selesaikan persamaan:
x 5 - x 4 = 0
Ia diputuskan dalam fikiran, dengan cara itu. Menggunakan pemfaktoran. Kami akan menyelesaikan contoh ini di bawah. Jawapan: x 1 = 0; x 2 = 1.
Atau, perkara yang sama, tetapi untuk yang lebih tua):
Selesaikan persamaan:
Dalam contoh ini saya tunjukkan tujuan utama pemfaktoran: memudahkan ungkapan pecahan dan menyelesaikan beberapa jenis persamaan. Saya cadangkan anda ingat peraturan biasa:
Jika ada sesuatu yang menakutkan di hadapan kita ungkapan pecahan, anda boleh cuba memfaktorkan pengangka dan penyebut. Selalunya pecahan dikurangkan dan dipermudahkan.
Jika kita mempunyai persamaan di hadapan kita, di mana di sebelah kanan terdapat sifar, dan di sebelah kiri - saya tidak faham apa, kita boleh cuba memfaktorkan bahagian kiri. Kadang-kadang ia membantu).
Kaedah asas pemfaktoran.
Inilah mereka, kaedah yang paling popular:
4. Peluasan trinomial kuadratik.
Kaedah-kaedah ini mesti diingat. Tepat dalam susunan itu. Contoh kompleks disemak untuk segala-galanya cara yang mungkin penguraian. Dan lebih baik menyemak mengikut urutan supaya tidak keliru... Jadi mari kita mulakan mengikut urutan.)
1. Mengambil faktor sepunya daripada kurungan.
Mudah dan cara yang boleh dipercayai. Tiada yang buruk datang dari dia! Ia berlaku sama ada baik atau tidak sama sekali.) Itulah sebabnya dia didahulukan. Mari kita fikirkan.
Semua orang tahu (saya percaya!) peraturannya:
a(b+c) = ab+ac
Atau, lebih umum:
a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....
Semua kesamaan berfungsi dari kiri ke kanan dan sebaliknya, dari kanan ke kiri. Anda boleh menulis:
ab+ac = a(b+c)
ab+ac+ad+.... = a(b+c+d+.....)
Itulah gunanya mengambil faktor sepunya daripada kurungan.
Di sebelah kiri A - pengganda biasa untuk semua syarat. Digandakan dengan segala yang ada). Di sebelah kanan adalah yang paling banyak A sudah terletak di luar kurungan.
Aplikasi Praktikal Mari kita lihat kaedah menggunakan contoh. Pada mulanya pilihannya mudah, malah primitif.) Tetapi pada pilihan ini saya akan perhatikan ( hijau) Sangat perkara penting untuk sebarang pemfaktoran.
Faktorkan:
ah+9x
yang mana umum adakah pengganda muncul dalam kedua-dua istilah? X, sudah tentu! Kami akan meletakkannya daripada kurungan. Jom buat ini. Kami segera menulis X di luar kurungan:
ax+9x=x(
Dan dalam kurungan kita menulis hasil pembahagian setiap penggal pada X ini. mengikut urutan:
Itu sahaja. Sudah tentu, tidak perlu menerangkannya secara terperinci, ini dilakukan dalam fikiran. Tetapi dinasihatkan untuk memahami apa itu). Kami merakam dalam ingatan:
Kami menulis faktor sepunya di luar kurungan. Dalam kurungan kita menulis hasil pembahagian semua istilah dengan faktor sepunya ini. mengikut tertib.
Jadi kami telah meluaskan ungkapan ah+9x oleh pengganda. Menjadikannya kepada darab x dengan (a+9). Saya perhatikan bahawa dalam ungkapan asal terdapat juga pendaraban, walaupun dua: a·x dan 9·x. Tetapi ia tidak difaktorkan! Kerana sebagai tambahan kepada pendaraban, ungkapan ini juga mengandungi penambahan, tanda "+"! Dan dalam ekspresi x(a+9) Tiada apa-apa selain pendaraban!
Macam mana!? - Saya mendengar suara marah orang ramai - Dan dalam kurungan!?)
Ya, terdapat penambahan di dalam kurungan. Tetapi muslihatnya ialah sementara kurungan tidak dibuka, kami menganggapnya seperti satu huruf. Dan kami melakukan semua tindakan dengan tanda kurung sepenuhnya, seperti dengan satu huruf. Dalam pengertian ini, dalam ungkapan x(a+9) Tiada apa-apa kecuali pendaraban. Ini adalah titik keseluruhan pemfaktoran.
Ngomong-ngomong, adakah mungkin untuk menyemak sama ada kami melakukan semuanya dengan betul? dengan mudah! Ia cukup untuk mendarabkan kembali perkara yang anda keluarkan (x) dengan tanda kurung dan melihat sama ada ia berkesan asal ungkapan? Jika ia berfungsi, semuanya hebat!)
x(a+9)=ax+9x
Ia berjaya.)
Tiada masalah dalam contoh primitif ini. Tetapi jika terdapat beberapa istilah, dan juga dengan tanda yang berbeza... Pendek kata, setiap pelajar ketiga mengacau). Oleh itu:
Jika perlu, semak pemfaktoran dengan pendaraban songsang.
Faktorkan:
3ax+9x
Kami sedang mencari faktor yang sama. Nah, semuanya jelas dengan X, ia boleh dikeluarkan. Adakah ada lagi umum faktor? Ya! Ini adalah tiga. Anda boleh menulis ungkapan seperti ini:
3ax+3 3x
Di sini segera jelas bahawa faktor biasa akan menjadi 3x. Di sini kami mengeluarkannya:
3ax+3 3x=3x(a+3)
Sebarkan.
Apa yang berlaku jika anda mengeluarkannya hanya x? Tiada yang istimewa:
3ax+9x=x(3a+9)
Ini juga akan menjadi pemfaktoran. Tetapi dalam proses yang menarik ini, adalah kebiasaan untuk meletakkan segala-galanya kepada had sementara ada peluang. Di sini dalam kurungan terdapat peluang untuk mengeluarkan tiga. Ia akan menjadi:
3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)
Perkara yang sama, hanya dengan satu tindakan yang tidak perlu.) Ingat:
Apabila mengambil faktor sepunya daripada kurungan, kami cuba keluarkan maksimum faktor sepunya.
Bolehkah kita meneruskan keseronokan?)
Faktorkan ungkapan:
3akh+9х-8а-24
Apa yang akan kami bawa? Tiga, X? Tidak... Anda tidak boleh. Saya ingatkan anda hanya boleh keluarkan umum pengganda iaitu dalam semua istilah ungkapan. Sebab itu dia umum. Tiada pengganda sedemikian di sini... Apa, anda tidak perlu mengembangkannya!? Ya, kami sangat gembira... Temui:
2. Pengelompokan.
Sebenarnya, sukar untuk menamakan kumpulan itu secara bebas pemfaktoran. Ia lebih kepada cara untuk keluar contoh kompleks.) Kita perlu mengumpulkan syarat supaya semuanya berjalan lancar. Ini hanya boleh ditunjukkan melalui contoh. Jadi, kita mempunyai ungkapan:
3akh+9х-8а-24
Jelas bahawa beberapa surat biasa dan nombornya ada. Tetapi... Umum tiada pengganda dalam semua segi. Janganlah kita berputus asa dan pecahkan ekspresi menjadi kepingan. Pengelompokan. Supaya setiap bahagian mempunyai faktor yang sama, ada sesuatu yang perlu diambil. Bagaimana kita memecahkannya? Ya, kami hanya meletakkan kurungan.
Izinkan saya mengingatkan anda bahawa kurungan boleh diletakkan di mana-mana dan mengikut kehendak anda. Hanya intipati contoh tidak berubah. Sebagai contoh, anda boleh melakukan ini:
3akh+9х-8а-24=(3ах+9х)-(8а+24)
Sila beri perhatian kepada kurungan kedua! Mereka didahului oleh tanda tolak, dan 8a Dan 24 bertukar positif! Jika, untuk menyemak, kami membuka kurungan kembali, tanda-tanda akan berubah, dan kami dapat asal ungkapan. Itu. intipati ungkapan daripada kurungan tidak berubah.
Tetapi jika anda hanya memasukkan kurungan tanpa mengambil kira perubahan tanda, sebagai contoh, seperti ini:
3akh+9х-8а-24=(3ax+9x) -(8a-24 )
ia akan menjadi satu kesilapan. Di sebelah kanan - sudah lain ungkapan. Buka kurungan dan semuanya akan kelihatan. Anda tidak perlu membuat keputusan lebih lanjut, ya...)
Tetapi mari kita kembali kepada pemfaktoran. Mari lihat kurungan pertama (3ax+9x) dan kami fikir, adakah apa-apa yang boleh kami keluarkan? Nah, kami menyelesaikan contoh di atas, kami boleh mengambilnya 3x:
(3ax+9x)=3x(a+3)
Mari kita kaji kurungan kedua, kita boleh menambah lapan di sana:
(8a+24)=8(a+3)
Seluruh ungkapan kami ialah:
(3ax+9x)-(8a+24)=3x(a+3)-8(a+3)
Difaktorkan? Tidak. Hasil penguraian sepatutnya hanya pendaraban tetapi dengan kami tanda tolak merosakkan segala-galanya. Tetapi... Kedua-dua istilah mempunyai faktor yang sama! ini (a+3). Bukan tanpa alasan saya mengatakan bahawa keseluruhan kurungan adalah, seolah-olah, satu huruf. Ini bermakna kurungan ini boleh dikeluarkan daripada kurungan. Ya, itulah bunyinya.)
Kami melakukan seperti yang diterangkan di atas. Kami menulis faktor biasa (a+3), dalam kurungan kedua kita tulis hasil pembahagian istilah dengan (a+3):
3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)
Semua! Tiada apa-apa di sebelah kanan kecuali pendaraban! Ini bermakna pemfaktoran telah berjaya diselesaikan!) Ini dia:
3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)
Mari kita ulangi secara ringkas intipati kumpulan itu.
Jika ungkapan itu tidak umum pengganda untuk semua orang istilah, kita pecahkan ungkapan kepada kurungan supaya di dalam kurungan itu faktor sepunya adalah. Kami mengeluarkannya dan lihat apa yang berlaku. Jika anda bernasib baik, dan kekal sepenuhnya dalam kurungan ungkapan yang sama, kami mengeluarkan kurungan ini daripada kurungan.
Saya akan menambah bahawa pengumpulan adalah proses kreatif). Ia tidak selalu berjaya pada kali pertama. Tidak mengapa. Kadang-kadang anda perlu menukar istilah dan mempertimbangkan pilihan yang berbeza kumpulan sehingga yang berjaya ditemui. Perkara utama di sini adalah tidak berputus asa!)
Contoh.
Sekarang, setelah memperkaya diri anda dengan pengetahuan, anda boleh menyelesaikan contoh yang rumit.) Pada permulaan pelajaran terdapat tiga daripada ini...
Permudahkan:
Pada dasarnya, kami telah menyelesaikan contoh ini. Tanpa kita sedari.) Saya mengingatkan anda: jika kita diberi pecahan yang dahsyat, kita cuba memfaktorkan pengangka dan penyebut. Pilihan pemudahan lain cuma tidak.
Nah, penyebut di sini tidak dikembangkan, tetapi pengangka... Kami telah mengembangkan pengangka semasa pelajaran! seperti ini:
3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)
Kami menulis hasil pengembangan ke dalam pengangka pecahan:
Mengikut peraturan pecahan pengurangan (sifat utama pecahan), kita boleh membahagikan (pada masa yang sama!) pengangka dan penyebut dengan nombor atau ungkapan yang sama. Pecahan daripada ini tidak berubah. Jadi kita bahagikan pengangka dan penyebut dengan ungkapan (3x-8). Dan di sana sini kita akan mendapat satu. Keputusan akhir pemudahan:
Saya ingin menekankan terutamanya: mengurangkan pecahan adalah mungkin jika dan hanya jika dalam pengangka dan penyebut, sebagai tambahan kepada mendarab ungkapan tiada apa-apa. Itulah sebabnya transformasi jumlah (perbezaan) menjadi pendaraban sangat penting untuk dipermudahkan. Sudah tentu, jika ungkapan berbeza, maka tiada apa yang akan dikurangkan. Ia akan berlaku. Tetapi pemfaktoran memberi peluang. Peluang tanpa penguraian ini sememangnya tidak ada.
Contoh dengan persamaan:
Selesaikan persamaan:
x 5 - x 4 = 0
Kami mengambil faktor biasa x 4 daripada kurungan. Kami mendapat:
x 4 (x-1)=0
Kami menyedari bahawa hasil darab faktor adalah sama dengan sifar kemudian dan hanya kemudian, apabila mana-mana daripada mereka sama dengan sifar. Jika ragu-ragu, cari saya beberapa nombor bukan sifar yang, apabila didarab, akan memberikan sifar.) Jadi kita tulis, pertama faktor pertama:
Dengan kesaksamaan sedemikian, faktor kedua tidak membimbangkan kita. Sesiapa sahaja boleh, tetapi pada akhirnya ia akan tetap sifar. Apakah nombor kepada kuasa keempat yang diberikan oleh sifar? Hanya sifar! Dan tidak ada yang lain... Oleh itu:
Kami mengetahui faktor pertama dan mendapati satu punca. Mari kita lihat faktor kedua. Sekarang kita tidak mengambil berat tentang faktor pertama lagi.):
Di sini kami menemui penyelesaian: x 1 = 0; x 2 = 1. Mana-mana punca ini sesuai dengan persamaan kami.
Nota yang sangat penting. Sila ambil perhatian bahawa kami telah menyelesaikan persamaan sekeping demi sekeping! Setiap faktor adalah sama dengan sifar, tanpa mengira faktor lain. Dengan cara ini, jika dalam persamaan sedemikian tidak ada dua faktor, seperti kita, tetapi tiga, lima, seberapa banyak yang anda suka, kami akan menyelesaikannya. betul-betul sama. Sekeping demi sekeping. Contohnya:
(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0
Sesiapa yang membuka kurungan dan mendarab semuanya akan tersekat pada persamaan ini selama-lamanya.) Pelajar yang betul akan segera melihat bahawa tiada apa-apa di sebelah kiri kecuali pendaraban, dan sifar di sebelah kanan. Dan dia akan mula (dalam fikirannya!) untuk menyamakan semua kurungan untuk menjadi sifar. Dan dia akan menerima (dalam 10 saat!) keputusan yang betul: x 1 = 1; x 2 = -5; x 3 = 3; x 4 = -2.
Hebat, kan?) Ini penyelesaian yang elegan mungkin jika sebelah kiri persamaan difaktorkan. Mendapat petunjuk?)
Nah, satu contoh terakhir, untuk yang lebih tua):
Selesaikan persamaan:
Ia agak serupa dengan yang sebelumnya, bukankah anda fikir?) Sudah tentu. Sudah tiba masanya untuk mengingati bahawa dalam algebra gred ketujuh, sinus, logaritma dan apa-apa lagi boleh disembunyikan di bawah huruf! Pemfaktoran berfungsi sepanjang matematik.
Kami mengambil faktor biasa lg 4 x daripada kurungan. Kami mendapat:
log 4 x=0
Ini adalah satu akar. Mari kita lihat faktor kedua.
Inilah jawapan akhir: x 1 = 1; x 2 = 10.
Saya harap anda telah menyedari kuasa pemfaktoran dalam memudahkan pecahan dan menyelesaikan persamaan.)
Dalam pelajaran ini kita belajar tentang pemfaktoran dan pengelompokan sepunya. Ia kekal untuk memahami formula untuk pendaraban singkatan dan trinomial kuadratik.
Jika anda suka laman web ini...
By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)
Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Mari belajar - dengan minat!)
Anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.
Pelajaran ini akan merangkumi pelbagai cara memfaktorkan penyebut dalam penambahan dan penolakan pecahan algebra. Malah, kita akan mengimbas kembali kaedah-kaedah yang telah dikaji sebelum ini. Ini termasuk mengeluarkan faktor sepunya daripada kurungan, mengelompokkan istilah, menggunakan formula pendaraban yang disingkatkan, serta menyerlahkan persegi penuh. Semua kaedah ini digunakan semasa menambah dan menolak pecahan algebra dengan penyebut yang berbeza. Sebagai sebahagian daripada pelajaran, kami akan mengingati semua peraturan di atas, dan juga menganalisis contoh penerapan peraturan ini.
Ingat bahawa pecahan algebra ialah ungkapan di mana polinomial. Dan anda boleh dan harus boleh memfaktorkan polinomial. Katakan kita perlu menambah atau menolak dua pecahan algebra: .
Apakah algoritma tindakan kita?
1. Kurangkan atau permudahkan setiap pecahan.
2. Cari penyebut sepunya terkecil bagi dua pecahan.
Operasi ini memerlukan polinomial pemfaktoran.
Mari kita lihat beberapa contoh pecahan pengurangan (memudahkan).
Contoh 1. Permudahkan: .
Penyelesaian:
Perkara pertama yang perlu anda cuba lakukan apabila mengurangkan ialah mengambil faktor sepunya daripada kurungan.
Dalam kes kami, kedua-dua pengangka dan penyebut mempunyai faktor yang boleh dikeluarkan daripada kurungan.
.
Kemudian kita kurangkan faktor sepunya pengangka dan penyebut. Kami mendapat:
Pada masa yang sama, kami mengambil kira bahawa penyebut pecahan itu tidak boleh sama dengan . Iaitu: 
.
Jawapan:.
Contoh 2. Permudahkan: .
Penyelesaian:
Menggunakan skema penyelesaian untuk contoh sebelumnya, kami akan cuba mengambil faktor sepunya daripada kurungan. Ini tidak boleh dilakukan dalam pengangka, tetapi dalam penyebut ia boleh dikeluarkan dari kurungan.
Jika anda tidak dapat mengetahui faktor umum, anda perlu mencuba menggunakan formula pendaraban yang disingkatkan. Sesungguhnya, pengangka mengandungi kuasa dua lengkap perbezaan. Kami mendapat:
.
Kami melihat kurungan yang serupa dalam pengangka dan penyebut.
Walau bagaimanapun, mereka berbeza dalam tanda.
Untuk melakukan ini, kami menggunakan kesamaan: . Dari sini kita dapat: . Kami mendapat:
Jawapan:.
Sekarang mari kita pertimbangkan satu contoh di mana kita perlu memudahkan perbezaan dua pecahan.
Contoh 3. Permudahkan: .
Penyelesaian:
Oleh kerana penyebut pecahan pertama ialah perbezaan kubus, kita akan menggunakan formula pendaraban yang disingkatkan. Kami mendapat:
Jawapan:.
Mari kita ingat: apakah polinomial? ialah hasil tambah bagi monomial. Monomial ialah hasil darab kuasa pembolehubah dan nombor.
Sekarang kita menyenaraikan dan menganalisis contoh pemfaktoran polinomial.
Kaedah 1. Mengambil faktor sepunya daripada kurungan.
Contoh 4. Faktorkan: .
Contoh 5. Faktorkan: .
DALAM contoh terakhir faktor sepunya ialah binomial.
Kaedah 2. Pengelompokan.
Contoh 6. Faktorkan: .
Penyelesaian:
Tidak mungkin untuk mengeluarkan faktor sepunya daripada kurungan dalam contoh ini. Dalam kes ini, anda perlu cuba mengelompokkan istilah yang mempunyai faktor sepunya.
Dalam contoh ini, mudah untuk mengumpulkan monomial yang mengandungi dan . Kami mendapat: . Kami melihat bahawa ungkapan dalam kurungan hampir sama dengan tanda. Kami mendapat: .
Jawapan:.
Kaedah 3. Rumus pendaraban singkatan.
Kami menyenaraikan formula asas untuk pendaraban singkatan:
1. - perbezaan segi empat sama;
2. - kuasa dua jumlah (perbezaan);
3. - perbezaan kiub (ungkapan dalam kurungan kedua dipanggil kuasa dua tidak lengkap jumlah);
Jumlah kubus (ungkapan dalam kurungan kedua dipanggil kuasa dua tidak lengkap perbezaan).
Anda bukan sahaja perlu mengingati formula ini, tetapi juga boleh mencari dan menerapkannya dalam masalah sebenar.
Contoh 7. Faktorkan: .
Contoh 8. Faktorkan: .
Penyelesaian:
Di sini formula untuk kuasa dua perbezaan mencadangkan dirinya. Walau bagaimanapun, persoalan timbul: bagaimana untuk menggunakan formula ini. Cara paling mudah ialah memilih petak dan kemudian mencari produk berganda. DALAM dalam contoh ini: . Iaitu, dalam peranan. Kami mendapat: .
Jawapan:.
Jangan lupa bahawa dalam bentuk tulen Kaedah ini jarang digunakan. Kaedah gabungan digunakan lebih kerap.
Kaedah 4. Memilih petak lengkap.
Mari kita pertimbangkan permohonan itu kaedah ini pada contoh tertentu.
Contoh 9. Faktorkan: .
Penyelesaian:
Pemilihan segi empat sama lengkap biasanya berlaku menggunakan dua sebutan pertama. Sesungguhnya, kita sudah mempunyai segi empat sama yang pertama. Ini bermakna sebutan kedua mestilah hasil darab bagi ungkapan pertama dan kedua. Iaitu: 
. Ini bermakna jika peranan daripada rumus perbezaan kuasa dua ialah , maka peranan itu hendaklah . Untuk menggunakan formula ini kita tidak mempunyai cukup. Jika ada sesuatu yang hilang, maka anda boleh menambah ungkapan ini dan menolaknya supaya tidak mengubah nilai ungkapan. Kami mendapatnya.
yang paling banyak kaedah yang berkesan penguraian pecahan rasional wajar yang terdiri daripada polinomial kepada yang mudah. Dipertimbangkan contoh tipikal pengembangan pecahan.
Marilah kita mempunyai pecahan rasional yang wajar bagi polinomial dalam pembolehubah x:
,
di mana Р m (x) dan Qn (x)- polinomial darjah m dan n, masing-masing, m< n
.
Мы считаем, что нам известно разложение многочлена Q n (x) dengan pengganda:
Qn (x) = s (x-a) n a (x-b) n b ... (x 2 +ex+f) n e (x 2 +gx+k) n g ....
Lihat butiran lanjut: Kaedah pemfaktoran polinomial >>>
Contoh pemfaktoran polinomial >>>
Pandangan umum tentang penguraian pecahan rasional ke dalam bentuk termudahnya
Bentuk umum penguraian pecahan rasional ke dalam bentuk termudah adalah seperti berikut:
.
Di sini A i, B i, E i, ... - nombor nyata(pekali tidak pasti) untuk ditentukan.
Sebagai contoh,
.
Contoh lain:
.
Kaedah untuk menguraikan pecahan rasional kepada yang lebih mudah
Mula-mula kita tulis pengembangan dengan pekali yang tidak ditentukan dalam bentuk umum. . Kemudian kita menyingkirkan penyebut pecahan dengan mendarab persamaan dengan penyebut pecahan asal Q n. Hasilnya, kita memperoleh persamaan yang mengandungi kedua-dua polinomial kiri dan kanan dalam pembolehubah x..
1)
Persamaan ini mesti dipegang untuk semua nilai x.
2)
Seterusnya, terdapat tiga kaedah utama untuk menentukan
3)
pekali tidak pasti
Anda boleh menetapkan nilai khusus kepada pembolehubah x. Dengan menyatakan beberapa nilai sedemikian, kita memperoleh sistem persamaan dari mana kita boleh menentukan pekali yang tidak diketahui A i, B i, .... Oleh kerana persamaan yang terhasil mengandungi polinomial di sebelah kiri dan di sebelah kanan, adalah mungkin untuk menyamakan pekali pada kuasa yang sama bagi pembolehubah x..
Daripada sistem yang terhasil, pekali yang tidak ditentukan boleh ditentukan.
Anda boleh membezakan persamaan dan memberikan nilai tertentu kepada pembolehubah x. Dalam amalan, adalah mudah untuk menggabungkan kaedah ini. Mari kita lihat kegunaannya contoh khusus
Contoh
1.
Letakkan yang betul pecahan rasional kepada yang paling mudah.
(1.1)
,
Penyelesaian
2.
Pasang pandangan umum penguraian.
(1.2)
.
3.
di mana A, B, C, D, E ialah pekali yang akan ditentukan. (1.2)
Mari kita hapuskan penyebut pecahan. Untuk melakukan ini, darabkan persamaan dengan penyebut pecahan asal 1
(x-1) 3 (x-2)(x-3) - 1 = 0
.
.
Akibatnya, kita mendapat persamaan:
di mana A, B, C, D, E ialah pekali yang akan ditentukan. (1.2)
Mari kita hapuskan penyebut pecahan. Untuk melakukan ini, darabkan persamaan dengan penyebut pecahan asal 2
(x-1) 3 (x-2)(x-3) - 2 = 0
.
.
Akibatnya, kita mendapat persamaan:
Jom ganti masuk 3
(x-1) 3 (x-2)(x-3) - 3 = 0
.
.
Akibatnya, kita mendapat persamaan:
4.
x =
. (1.2)
Kemudian x
.
Kekal (1.2)
Dari sini. Mari kita gantikan x =.
Ia kekal untuk menentukan dua pekali: B dan C. (1.2)
Ini boleh dilakukan dalam tiga cara. 1
1) Gantikan ke dalam formula dua nilai khusus pembolehubah x. Dan Hasilnya, kita memperoleh satu sistem dua persamaan daripada mana pekali B dan C boleh ditentukan. 2) Buka kurungan dan samakan pekali pada kuasa x yang sama.
3) Bezakan persamaan 1
.
dan berikan kepada pembolehubah x nilai tertentu Dalam kes kami, adalah mudah untuk menggunakan kaedah ketiga. Mari kita ambil terbitan bagi sisi kiri dan kanan persamaan
.
dan gantikan x = 1
.
Pada masa yang sama, kami perhatikan bahawa istilah yang mengandungi faktor (1.2)
(x-1) 2 1
:
;
;
;
(x-1) 3;
berikan sifar kerana, sebagai contoh,, pada x = 3
.
Dalam kerja-kerja seperti 3 . (1.2) Ia kekal untuk mencari pekali C. 4 .
Memandangkan semasa pembezaan pertama kami membuang beberapa istilah, tidak mungkin untuk membezakan kali kedua. Oleh itu, kami akan menggunakan kaedah kedua. Oleh kerana kita perlu mendapatkan satu persamaan, kita tidak perlu mencari semua sebutan pengembangan persamaan (1.2)
:
(1.2)
.
dalam kuasa x. 4
.
.
Kami memilih istilah pengembangan yang paling ringan - x Mari kita tulis persamaan semula,
Buka kurungan dan tinggalkan hanya terma dalam borang x.
Dari sini (1.2)
Mari kita hapuskan penyebut pecahan. Untuk melakukan ini, darabkan persamaan dengan penyebut pecahan asal 0
:
0 = C + D + E;
;
C = - D - E = 6 - 3/2 = 9/2
Jom buat pemeriksaan. Untuk melakukan ini, kami mentakrifkan C dengan cara pertama. Jom ganti masuk
0 = 6 A - 6 B+ 6 C + 3 D + 2 E
. Semuanya betul. (1.2) Jawab 1 Penentuan pekali untuk kuasa tertinggi 1/(x-a) 2 Dalam contoh sebelumnya, kami segera menentukan pekali pecahan , , , dengan memberikan, dalam persamaan 3 , pembolehubah x nilai x = , x = dan x = . Dalam lebih
kes am
,
, anda sentiasa boleh menentukan pekali pada
ijazah senior
.
pecahan bentuk. Iaitu, jika pecahan asal kelihatan seperti: maka pekali pada adalah sama dengan . Oleh itu, perluasan kuasa bermula dengan istilah .
.
Oleh itu, dalam contoh sebelumnya kita boleh segera mencari pengembangan dalam bentuk:
Dalam beberapa
kes mudah
.
Contoh
1.
, anda boleh segera menentukan pekali pengembangan. Sebagai contoh,
.
Contoh dengan punca kompleks penyebut
2.
Sekarang mari kita lihat contoh di mana penyebut mempunyai akar kompleks.
(2.1)
.
3.
Katakan anda perlu menguraikan pecahan kepada bentuk termudahnya: 2 + 1 = 0
Kami menetapkan bentuk umum penguraian: Di sini A, B, C, D, E ialah pekali yang tidak ditentukan (nombor nyata) yang perlu ditentukan. Mari kita hapuskan penyebut pecahan. Untuk melakukan ini, darabkan persamaan dengan penyebut pecahan asal: 2 = -1
Perhatikan bahawa persamaan x (2.1)
mempunyai 2 + 1
akar kompleks 0
x = i, dengan i ialah unit kompleks, i
;
.
.
Jom ganti masuk 1
, x = i. 1
.
Kemudian istilah yang mengandungi faktor x
memberi. -1
Hasilnya kami mendapat: -1 = 1 - 1 = 0
.
Membandingkan sisi kiri dan kanan, kami memperoleh sistem persamaan: 0
. -1
.
4.
-A+B=- 1 = 0
, A + B = - -1
Perhatikan bahawa persamaan x (2.1)
Mari kita tambahkan persamaan: -1
:
;
2B = -2, B = 1/2
.
5.
, A = -B (2.1)
Jadi, kami mendapati dua pekali: A = (2.1)
Mari kita hapuskan penyebut pecahan. Untuk melakukan ini, darabkan persamaan dengan penyebut pecahan asal 0
:
Perhatikan bahawa x +,
pada x =.
6.
di mana A, B, C, D, E ialah pekali yang akan ditentukan. (2.1)
Mari kita hapuskan penyebut pecahan. Untuk melakukan ini, darabkan persamaan dengan penyebut pecahan asal 1
:
, x =;
2 = 4 E;
, E = -1/2
.
Seterusnya, ia adalah mudah untuk menggantikan dalam
dua nilai pembolehubah x dan dapatkan dua persamaan dari mana C dan D boleh ditentukan.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Pecahan dibezakan:
- A x - a ;
- A(x - a)n;
- M x + N x 2 + p x + q ;
- M x + N (x 2 + p x + q) n .
A, M, N, a, p, q daripadanya ialah nombor, dan pendiskriminasi pecahan 3 dan 4 adalah kurang daripada sifar, iaitu ungkapan tidak mempunyai punca.
Dengan memudahkan ungkapan, fungsi pengiraan dilakukan dengan lebih pantas. Prestasi pecahan rasional sebagai hasil tambah pecahan mudah yang serupa. Untuk melakukan ini, siri Laurent digunakan untuk berkembang menjadi siri kuasa atau untuk mencari kamiran.
Sebagai contoh, jika anda perlu mengambil kamiran daripada fungsi rasional pecahan daripada bentuk ∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x . Selepas itu adalah perlu untuk menguraikan kamiran dan menjadi pecahan mudah. Semua ini kepada pembentukan kamiran mudah. Kami dapat itu
∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = ∫ 2 + 2 x - 3 x + 2 x 2 + 1 d x = = ∫ 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = = 2 x + 3 ln x - 3 2 ∫ d (x 2 + 1) x 2 + 1 - 2 ∫ d x x 2 + 1 = = 2 x + 3 ln x - 3 2 ln x 2 + 1 - 2 a r c tan (x) + C
Contoh 1
Uraikan pecahan bentuk - 2 x + 3 x 3 + x.
Penyelesaian
Apabila darjah pengangka polinomial kurang ijazah polinomial dalam penyebut, penguraian kepada pecahan mudah berlaku. Jika tidak, pembahagian digunakan untuk mengasingkan keseluruhan bahagian, selepas itu fungsi pecahan-rasional diuraikan.
Mari kita gunakan pembahagian mengikut sudut. Kami dapat itu
Ia berikutan bahawa pecahan akan mengambil bentuk
2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x
Ini bermakna pengembangan sedemikian akan membawa kepada keputusan yang sama dengan - 2 x + 3 x 3 + x.
Algoritma untuk kaedah pekali tidak pasti
Untuk melakukan penguraian dengan betul, anda mesti mematuhi beberapa perkara:
- Faktorkan. Anda boleh menggunakan kurungan, formula pendaraban yang disingkatkan dan pemilihan akar. Contoh sedia ada x 3 + x = x x 2 + 1 diambil daripada kurungan untuk kesederhanaan.
- Penguraian pecahan kepada pecahan mudah dengan pekali tidak ditentukan.
Mari lihat beberapa contoh:
Contoh 2
Apabila penyebut mempunyai ungkapan dalam bentuk (x - a) (x - b) (x - c) (x - d), bilangan faktor tidak penting, pecahan itu boleh diwakili sebagai pecahan jenis pertama. A x - a + B x - b + C x - c + D x - d, dengan a, b, c dan d ialah nombor, A, B, C dan D ialah pekali tak tertakrif.
Contoh 3
Apabila penyebut mempunyai ungkapan (x - a) 2 (x - b) 4 (x - c) 3, bilangan faktor juga tidak penting, dan pecahan itu sendiri mesti dikurangkan kepada jenis kedua atau pertama bentuk. :
A 2 x - a 2 + A 1 x - a + B 4 x - b 4 + B 3 x - b 3 + B 2 x - b 2 + B 1 x - b + + C 3 x - c 3 + C 2 x - c 2 + C 1 x - c
di mana a, b, c yang ada ialah nombor, dan A 1, A 2, B 1, B 2, B 3, B 4, C 1, C 2, C 3 adalah pekali tidak ditentukan. Apakah darjah polinomial, begitu juga bilangan sebutan yang kita ada.
Contoh 4
Apabila penyebutnya daripada jenis x 2 + p x + q x 2 + r x + s, maka kuantiti fungsi kuadratik tidak penting, dan pecahan itu berbentuk jenis ketiga P x + Q x 2 + p x + q + R x + S x 2 + r x + s, di mana p, q, r dan s yang sedia ada ialah nombor. , dan P, Q, R dan S – mengikut pekali tertentu.
Contoh 5
Apabila penyebut mempunyai bentuk x 2 + p x + q 4 x 2 + r x + s 2, bilangan faktor tidak penting, serta darjahnya, pecahan diwakili dalam bentuk jenis ketiga dan empat kali ganda bentuk
P 4 x + Q 4 (x 2 + p x + q) 4 + P 3 x + Q 3 (x 2 + p x + q) 3 + P 2 x + Q 2 (x 2 + p x + q) 2 + P 1 x + Q 1 x 2 + p x + q + + R 2 x + S 2 (x 2 + r x + s) 2 + R 1 x + S 1 x 2 + r x + s
di mana p, q, r dan s yang tersedia ialah nombor, dan P 1, P 2, P 3, P 4, R 1, R 2, S 1, S 2 adalah pekali tidak ditentukan.
Contoh 6
Apabila terdapat penyebut bagi bentuk (x - a) (x - b) 3 (x 2 + p x + q) (x 2 + r x + s) 2, maka pecahan tersebut hendaklah diwakili dalam bentuk jenis keempat.
A x - a + B 3 x - b 3 + B 2 x - b 2 + B 1 x - b + + P x + Q x 2 + p x + q + R 2 x + S 2 x 2 + r x + s 2 + R 1 x + S 1 x 2 + r x + s
Mari kita lihat contoh pecahan. Apabila pecahan dikembangkan menjadi hasil tambah jenis ketiga bentuk 2 x - 3 x 3 + x = 2 x - 3 x (x 2 + 1) = A x + B x + C x 2 + 1, di mana A , B dan C ialah pekali yang tidak ditentukan .
Mengurangkan hasil tambah pecahan mudah dengan kehadiran pekali tak tentu kepada penyebut biasa, kami menggunakan kaedah pengumpulan pada kuasa x yang sama dan mendapati bahawa
2 x - 3 x 3 + x = 2 x - 3 x (x 2 + 1) = A x + B x + C x 2 + 1 = = A (x 2 + 1) + (B x + C) x x ( x 2 + 1) = A x 2 + A + B x 2 + C x x (x 2 + 1) = = x 2 (A + B) + x C + A x (x 2 + 1)
Apabila x berbeza daripada 0, maka penyelesaiannya turun untuk menyamakan dua polinomial. Kami mendapat 2 x - 3 = x 2 (A + B) + x C + A. Polinomial dianggap sama apabila pekali pada darjah yang sama bertepatan.
- Menyamakan pekali dengan darjah yang sama X. Kami mendapati bahawa sistem persamaan linear dengan kehadiran pekali tertentu:
A + B = 0 C = 2 A = - 3 - Menyelesaikan sistem yang terhasil menggunakan sebarang kaedah untuk mencari pekali tidak pasti: A + B = 0 C = 2 A = - 3 ⇔ A = - 3 B = 3 C = 2
- Kami merekodkan respons:
2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 - 2 x - 3 x 3 + x = 2 - 2 x - 3 x (x 2 + 1) = = 2 - A x + B x + C x 2 + 1 = 2 - - 3 x + 3 x + 2 x 2 + 1 = 2 + 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1
Pemeriksaan berterusan mesti dilakukan. Ini menyumbang kepada fakta bahawa pengurangan kepada penyebut biasa berlaku
2 + 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1 = 2 x (x 2 + 1) - (3 x + 2) x x (x 2 + 1) = 2 x 3 + 3 x 3 + x
Kaedah pekali tak tentu dianggap sebagai kaedah penguraian pecahan kepada pecahan termudah lain.
Menggunakan kaedah nilai separa membantu mewakili faktor linear dengan cara ini:
x - a x - b x - c x - d .
Contoh 7
Uraikan pecahan 2 x 2 - x - 7 x 3 - 5 x 2 + 6 x.
Penyelesaian
Dengan syarat, kita mempunyai bahawa darjah polinomial pengangka adalah kurang daripada darjah polinomial penyebut, maka tidak perlu melakukan pembahagian. Ia adalah perlu untuk meneruskan ke pemfaktoran. Mula-mula anda perlu mengeluarkan x daripada kurungan. Kami dapat itu
x 3 - 5 x 2 + 6 x = x (x 2 - 5 x + 6)
Trinomial segi empat sama x 2 - 5 x + 6 mempunyai punca yang ditemui bukan oleh diskriminasi, tetapi oleh teorem Vieta. Kami mendapat:
x 1 + x 2 = 5 x 1 x 2 = 6 ⇔ x 1 = 3 x 2 = 2
Trinomial boleh ditulis sebagai x 2 - 5 x + 6 = (x - 3) (x - 2) .
Kemudian penyebutnya akan berubah: x 2 - 5 x 2 + 6 x = x (x 2 - 5 x + 6) = x (x - 3) (x - 2)
Mempunyai penyebut sedemikian, kita menguraikan pecahan itu kepada pecahan mudah dengan pekali yang tidak ditentukan. Ungkapan akan mengambil bentuk:
2 x 2 - x - 7 x 3 - 5 x 2 + 6 x = 2 x 2 - x - 7 x (x - 3) (x - 2) = A x + B x - 3 + C x - 2
Hasil yang diperoleh mesti dikurangkan kepada penyebut biasa. Kemudian kita dapat:
2 x 2 - x - 7 x 3 - 5 x 2 + 6 x = 2 x 2 - x - 7 x (x - 3) (x - 2) = A x + B x - 3 + C x - 2 = = A (x - 3) (x - 2) + B x (x - 2) + C x (x - 3) x (x - 3) (x - 2)
Selepas penyederhanaan kami sampai pada ketaksamaan borang
2 x 2 - x - 7 x (x - 3) (x - 2) = A (x - 3) (x - 2) + B x (x - 2) + C x (x - 3) x (x - 3) (x - 2) ⇒ ⇒ 2 x 2 - x - 7 = A (x - 3) (x - 2) + B x (x - 2) + C x (x - 3)
Sekarang kita beralih kepada mencari pekali yang tidak ditentukan. Adalah perlu untuk menggantikan nilai yang terhasil ke dalam kesamaan supaya penyebut menjadi sifar, iaitu nilai x = 0, x = 2 dan x = 3.
Jika x = 0, kita dapat:
2 0 2 - 0 - 7 = A (0 - 3) (0 - 2) + B 0 (0 - 2) + C 0 (0 - 3) - 7 = 6 A ⇒ A = - 7 6
Jika x = 2 maka
2 2 2 - 2 - 7 = A (2 - 3) (2 - 2) + B 2 (2 - 2) + C 2 (2 - 3) - 1 = - 2 C ⇒ C = 1 2
Jika x = 3 maka
2 3 2 - 3 - 7 = A (3 - 3) (3 - 2) + B 3 (3 - 2) + C 3 (3 - 3) 8 = 3 B ⇒ B = 8 3
Jawapan: 2 x 2 - x - 7 x 3 - 5 x 2 + 6 x = A x + B x - 3 + C x - 2 = - 7 6 1 x + 8 3 1 x - 3 + 1 2 1 x - 2
Kaedah pekali dan kaedah nilai separa berbeza hanya dalam cara mereka mendapati tidak diketahui. Kaedah ini boleh digabungkan untuk memudahkan ungkapan dengan cepat.
Contoh 8
Uraikan ungkapan x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3 kepada pecahan mudah.
Penyelesaian
Dengan syarat kita mempunyai bahawa darjah pengangka polinomial kurang daripada penyebut, yang bermaksud pencemaran akan berlaku
x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3 = A x - 1 + B x + 1 + C (x - 3) 3 + C (x - 3) 2 + C x - 3
Kami kurangkan kepada penyebut biasa. Kami ada itu
x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3 = A x - 1 + B x + 1 + C (x - 3) 3 + C (x - 3) 2 + C x - 3 = = A (x + 1) (x - 3) 3 + B (x - 1) (x - 3) 3 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3 + + C 3 (x - 1) (x + 1) + C 2 (x - 1) (x + 1) (x - 3) + C 1 (x - 1) (x + 1) (x - 3) ) 2 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3
Mari kita samakan pengangka dan dapatkannya
x 4 + 3 x 3 + 2 x + 11 = = A (x + 1) (x - 3) 3 + B (x - 1) (x - 3) 3 + + C 3 (x - 1) (x + 1) + C 2 (x - 1) (x + 1) (x - 3) + C 1 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 2
Daripada apa yang ditulis di atas, jelas bahawa sifar penyebutnya ialah x = 1, x = - 1 dan x = 3. Kemudian kami menggunakan kaedah penyelesaian separa. Untuk melakukan ini, mari kita gantikan nilai x. kita dapat itu jika x=1:
5 = - 16 A ⇒ A = 5 16
Jika x = - 1
15 = 128 B ⇒ B = - 15 128
157 = 8 C 3 ⇒ C 3 = 157 8
Oleh itu, kita perlu mencari nilai C 1 dan C 3.
Oleh itu, kita menggantikan nilai yang terhasil ke dalam pengangka, kemudian
x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 = = 5 16 (x + 1) (x - 3) 3 - 15 128 (x - 1) (x - 3) 3 + 157 8 (x - 1) (x + 1) + + C 2 (x - 1) (x + 1) (x - 3) + C 1 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 2
Mari kita buka kurungan untuk membawa istilah yang serupa dengan darjah yang sama. Marilah kita sampai pada ungkapan bentuk
x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 = x 4 25 128 + C 1 + x 3 - 85 64 + C 2 - 6 C 1 + + x 2 673 32 - 3 C 2 + 8 C 1 + x 405 64 - C 2 + 6 C 1 + 3 C 2 - 9 C 1 - 3997 128
Adalah perlu untuk menyamakan pekali yang sepadan dengan darjah yang sama, maka kita boleh mencari nilai yang dikehendaki C 1 dan C 3. Sekarang kita perlu menyelesaikan sistem:
25 128 + C 1 = 1 - 85 64 + C 2 - 6 C 1 = 3 673 32 - 3 C 2 + 8 C 1 = 0 405 64 - C 2 + 6 C 1 = 2 3 C 2 - 9 C 1 - 3997 128 = 11
Persamaan pertama memungkinkan untuk mencari C 1 = 103 128, dan C 2 kedua = 3 + 85 64 + 6 C 1 = 3 + 85 64 + 6 103 128 = 293 32.
Hasil daripada penyelesaian adalah penguraian pecahan yang dikehendaki ke dalam bentuk termudah:
x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3 = A x - 1 + B x + 1 + C 3 x - 3 3 + C 2 x - 3 2 + C 1 x - 3 = = 5 16 1 x - 1 - 15 128 1 x + 1 + 157 8 1 x - 3 3 + 293 32 1 x - 3 2 + 103 128 1 x - 3
Nota
Jika kaedah pekali tak tentu digunakan secara langsung, adalah perlu untuk menyelesaikan semua lima persamaan linear digabungkan ke dalam sistem. Kaedah ini memudahkan pencarian nilai pembolehubah dan penyelesaian selanjutnya dalam agregat. Kadangkala beberapa kaedah digunakan. Ini adalah perlu untuk memudahkan keseluruhan ungkapan dan mencari hasilnya dengan cepat.
Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter
Selalunya pengangka dan penyebut pecahan adalah ungkapan algebra, yang mesti difaktorkan dahulu, dan kemudian, setelah menemui yang serupa di antara mereka, bahagikan kedua-dua pengangka dan penyebut dengannya, iaitu, kurangkan pecahan. Seluruh bab dalam buku teks algebra gred 7 dikhaskan untuk tugas pemfaktoran polinomial. Pemfaktoran boleh dilakukan 3 cara, serta gabungan kaedah ini.
1. Aplikasi rumus pendaraban yang disingkatkan
Seperti yang diketahui, kepada darab polinomial dengan polinomial, anda perlu mendarab setiap sebutan satu polinomial dengan setiap sebutan polinomial yang lain dan menambah hasil darab yang terhasil. Terdapat sekurang-kurangnya 7 (tujuh) kes polinomial darab yang kerap berlaku yang termasuk dalam konsep. Sebagai contoh,
Jadual 1. Pemfaktoran dengan cara pertama
2. Mengambil faktor sepunya daripada kurungan
Kaedah ini adalah berdasarkan penggunaan hukum pendaraban taburan. Sebagai contoh,
Kami membahagikan setiap istilah bagi ungkapan asal dengan faktor yang kami keluarkan, dan kami mendapat ungkapan dalam kurungan (iaitu, hasil pembahagian apa yang kami keluarkan kekal dalam kurungan). Pertama sekali anda perlukan tentukan pengganda dengan betul, yang mesti dikeluarkan dari kurungan.
Faktor sepunya juga boleh menjadi polinomial dalam kurungan:
Apabila melakukan tugas "memfaktorkan", anda perlu berhati-hati dengan tanda-tanda apabila meletakkan jumlah faktor daripada kurungan. Untuk menukar tanda setiap istilah dalam kurungan (b - a), mari kita keluarkan faktor sepunya daripada kurungan -1 , dan setiap istilah dalam kurungan akan dibahagikan dengan -1: (b - a) = - (a - b) .
Jika ungkapan dalam kurungan adalah kuasa dua (atau kepada mana-mana kuasa genap), maka nombor di dalam kurungan boleh ditukar sepenuhnya secara bebas, kerana tolak yang dikeluarkan dari kurungan masih akan berubah menjadi tambah apabila didarabkan: (b - a) 2 = (a - b) 2, (b - a) 4 = (a - b) 4 dan seterusnya…
3. Kaedah pengelompokan
Kadangkala tidak semua istilah dalam ungkapan mempunyai faktor yang sama, tetapi hanya beberapa. Kemudian anda boleh mencuba istilah kumpulan dalam kurungan supaya satu faktor boleh diambil daripada setiap satu. Kaedah pengelompokan- ini ialah penyingkiran dua kali faktor biasa daripada kurungan.
4. Menggunakan beberapa kaedah sekaligus
Kadang-kadang anda perlu menggunakan bukan satu, tetapi beberapa kaedah pemfaktoran polinomial sekaligus.
Ini adalah ringkasan topik "Pemfaktoran". Pilih langkah seterusnya:
- Pergi ke ringkasan seterusnya: