Persamaan matematik yang paling elegan. Menyelesaikan persamaan dengan pecahan

Persamaan matematik bukan sahaja berguna - ia juga boleh menjadi cantik. Dan ramai saintis mengakui bahawa mereka sering menyukai formula tertentu bukan sahaja untuk fungsinya, tetapi juga untuk bentuknya, puisi khas tertentu. Terdapat persamaan yang diketahui di seluruh dunia, seperti E = mc^2. Yang lain tidak begitu meluas, tetapi keindahan persamaan itu tidak bergantung pada popularitinya.

Teori umum relativiti

Persamaan yang diterangkan di atas telah dirumuskan oleh Albert Einstein pada tahun 1915 sebagai sebahagian daripada teori relativiti amnya yang inovatif. Teori itu sebenarnya merevolusikan dunia sains. Sungguh mengagumkan bagaimana satu persamaan boleh menerangkan secara mutlak semua yang ada di sekeliling, termasuk ruang dan masa. Semua genius sebenar Einstein terkandung dalam dirinya. Ini adalah persamaan yang sangat elegan yang menerangkan secara ringkas bagaimana segala-galanya di sekeliling anda disambungkan - contohnya, bagaimana kehadiran Matahari dalam galaksi membengkokkan ruang dan masa supaya Bumi beredar mengelilinginya.

Model standard

Model Standard ialah satu lagi teori fizik yang paling penting; ia menerangkan semua zarah asas yang membentuk alam semesta. Terdapat pelbagai persamaan yang boleh menggambarkan teori ini, tetapi persamaan yang paling kerap digunakan ialah persamaan Lagrange, seorang ahli matematik dan astronomi Perancis abad ke-18. Dia berjaya menerangkan secara mutlak semua zarah dan daya yang bertindak ke atasnya, kecuali graviti. Ini juga termasuk boson Higgs yang baru ditemui. Ia serasi sepenuhnya dengan mekanik kuantum dan relativiti am.

Analisis matematik

Walaupun dua persamaan pertama menerangkan aspek khusus alam semesta, persamaan ini boleh digunakan dalam semua situasi yang mungkin. Teorem asas kalkulus membentuk asas kepada kaedah matematik yang dikenali sebagai kalkulus dan mengaitkan dua idea utamanya - konsep kamiran dan konsep terbitan. Analisis matematik berasal dari zaman purba, tetapi semua teori telah dibawa bersama oleh Isaac Newton pada abad ke-17 - dia menggunakannya untuk mengira dan menerangkan pergerakan planet mengelilingi Matahari.

Teorem Pythagoras

Teorem Pythagoras yang terkenal, yang semua pelajar sekolah belajar dalam pelajaran geometri, dinyatakan oleh persamaan lama yang baik yang diketahui oleh semua orang. Formula ini menerangkan bahawa dalam mana-mana segi tiga tegak, kuasa dua panjang hipotenus, yang paling panjang dari semua sisi (c), adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua dua sisi yang lain, kaki (a dan b). Hasilnya, persamaan kelihatan seperti ini: a^2 + b^2 = c^2. Teorem ini mengejutkan ramai ahli matematik dan fizik permulaan apabila mereka baru belajar di sekolah dan belum tahu apa yang dunia baru sediakan untuk mereka.

1 = 0.999999999….

Persamaan mudah ini menunjukkan bahawa nombor 0.999, dengan bilangan sembilan tak terhingga selepas titik perpuluhan, sebenarnya sama dengan satu. Persamaan ini luar biasa kerana ia sangat mudah, visual yang luar biasa, tetapi masih berjaya mengejutkan dan memukau ramai. Sesetengah orang tidak percaya bahawa ini sebenarnya benar. Lebih-lebih lagi, persamaan itu sendiri cantik - bahagian kirinya mewakili asas matematik yang paling mudah, dan bahagian kanan menyembunyikan rahsia dan misteri infiniti.

Teori relativiti khas

Albert Einstein membuat senarai sekali lagi, kali ini dengan teori relativiti khasnya, yang menerangkan bagaimana masa dan ruang bukanlah konsep mutlak, tetapi relatif kepada kelajuan penonton. Persamaan ini menunjukkan cara masa "berkembang", semakin perlahan semakin pantas bergerak. Sebenarnya, persamaan itu tidak begitu rumit, terbitan mudah, algebra linear. Walau bagaimanapun, apa yang diwakilinya ialah cara yang benar-benar baharu untuk melihat dunia.

Persamaan Euler

Formula mudah ini merangkumi pengetahuan asas tentang sifat sfera. Ia mengatakan bahawa jika anda memotong sfera dan mendapat muka, tepi dan bucu, maka jika anda mengambil F sebagai bilangan muka, E sebagai bilangan tepi, dan V sebagai bilangan bucu, maka anda akan sentiasa mendapat perkara yang sama : V - E + F = 2. Beginilah rupa persamaan ini. Perkara yang menakjubkan ialah tidak kira apa bentuk sfera yang anda ambil - sama ada tetrahedron, piramid, atau gabungan muka, tepi dan bucu yang lain, anda akan sentiasa mendapat hasil yang sama. Kombinatorik ini memberitahu orang tentang sesuatu yang asas tentang bentuk sfera.

Persamaan Euler-Lagrange dan teorem Noether

Konsep-konsep ini agak abstrak, tetapi sangat berkuasa. Perkara yang paling menarik ialah cara pemikiran baru tentang fizik ini mampu bertahan dalam beberapa revolusi dalam sains ini, seperti penemuan mekanik kuantum, teori relativiti dan sebagainya. Di sini L bermaksud persamaan Lagrange, yang merupakan ukuran tenaga dalam sistem fizikal. Dan menyelesaikan persamaan ini akan memberitahu anda bagaimana sistem tertentu akan berkembang dari semasa ke semasa. Satu variasi persamaan Lagrange ialah teorem Noether, yang merupakan asas kepada fizik dan peranan simetri. Intipati teorem ialah jika sistem anda simetri, maka undang-undang pemuliharaan yang sepadan terpakai. Malah, idea utama teorem ini ialah undang-undang fizik digunakan di mana-mana.

Persamaan kumpulan penormalan semula

Persamaan ini juga dipanggil persamaan Callan-Symanczyk selepas penciptanya. Ia adalah persamaan asas penting yang ditulis pada tahun 1970. Ia berfungsi untuk menunjukkan bagaimana jangkaan naif hancur dalam dunia kuantum. Persamaan ini juga mempunyai banyak aplikasi untuk menganggarkan jisim dan saiz proton dan neutron yang membentuk nukleus atom.

Persamaan permukaan minimum

Persamaan ini sangat mengira dan mengekodkan filem sabun cantik yang terbentuk pada wayar apabila ia dicelup dalam air sabun. Persamaan ini, bagaimanapun, sangat berbeza daripada persamaan linear biasa dari medan yang sama, contohnya, persamaan haba, pembentukan gelombang, dan sebagainya. Persamaan ini bukan linear; ia termasuk pengaruh daya luar dan hasil terbitan.

talian Euler

Ambil mana-mana segi tiga, lukis bulatan terkecil yang boleh termasuk segi tiga, dan cari pusatnya. Cari pusat jisim segi tiga - titik yang membolehkan segitiga itu mengimbangi, sebagai contoh, pada mata pensel jika ia boleh dipotong daripada kertas. Lukis tiga altitud segi tiga ini (garisan yang akan berserenjang dengan sisi segi tiga tempat ia dilukis) dan cari titik persilangannya. Intipati teorem adalah bahawa ketiga-tiga titik akan berada pada garis lurus yang sama, iaitu garis lurus Euler. Teorem mengandungi semua keindahan dan kuasa matematik, mendedahkan corak yang menakjubkan dalam perkara yang paling mudah.

Belakang Hadapan

Perhatian! Pratonton slaid adalah untuk tujuan maklumat sahaja dan mungkin tidak mewakili semua ciri pembentangan. Jika anda berminat dengan kerja ini, sila muat turun versi penuh.

Objektif pelajaran:

Pendidikan:

Ringkaskan pengetahuan tentang semua jenis persamaan, tekankan kepentingan semua kaedah yang digunakan dalam menyelesaikan persamaan.
Mempergiatkan kerja murid melalui pelbagai teknik dalam pelajaran.
Menguji kemahiran teori dan praktikal dalam menyelesaikan persamaan.
Fokus pada fakta bahawa satu persamaan boleh diselesaikan dalam beberapa cara

Pendidikan:

Meningkatkan minat pelajar terhadap mata pelajaran tersebut melalui penggunaan ICT.
Biasakan pelajar dengan bahan sejarah mengenai topik tersebut.
Perkembangan aktiviti mental dalam menentukan jenis persamaan dan kaedah untuk menyelesaikannya.

Pendidikan:

Menanamkan disiplin dalam bilik darjah.
Membangunkan keupayaan untuk melihat keindahan dalam diri sendiri, pada orang lain dan dalam dunia di sekeliling kita.

Jenis pelajaran:

Pelajaran generalisasi dan sistematisasi pengetahuan.

Jenis pelajaran:

digabungkan.

Bahan dan peralatan teknikal:

Komputer
Skrin
Projektor
Cakera dengan pembentangan topik

Kaedah dan teknik:

Menggunakan persembahan
Perbualan hadapan
Kerja lisan
Detik permainan
Bekerja secara berpasangan
Bekerja di papan
Bekerja dalam buku nota

Rancangan pengajaran:

Detik organisasi (1 minit)
Menyahkod topik pelajaran (3 minit)
Pernyataan tajuk dan tujuan pelajaran (1 minit)
Memanaskan badan secara teori (3 minit)
Lawatan bersejarah (3 minit)
Permainan "Buang lebihan" (2 minit)
Kerja kreatif (2 minit)
Tugasan "Cari ralat" (2 minit)
Menyelesaikan satu persamaan dalam beberapa cara (pada slaid) (3 minit)
Menyelesaikan satu persamaan dalam beberapa cara (di papan tulis) (24 minit)
Kerja bebas secara berpasangan diikuti penerangan (5 minit)
Kerja rumah individu (1 minit)
Refleksi rumusan pelajaran (1 minit)

Epigraf pelajaran:

"Anda hanya boleh belajar melalui keseronokan; untuk mencerna pengetahuan, anda perlu menyerapnya dengan selera makan."
A.Perancis

Ringkasan pelajaran

Bahagian organisasi

Saya menyemak kesediaan pelajar untuk pelajaran dan menandakan mereka yang tidak hadir dalam pelajaran. Guys, penulis Perancis abad ke-19 A. France pernah berkata, "Anda hanya boleh belajar melalui keseronokan untuk mencerna pengetahuan, anda perlu menyerapnya dengan selera makan." Jadi marilah kita ikuti nasihat penulis dalam pelajaran kita dan hadam ilmu dengan penuh selera, kerana ia akan berguna dalam kehidupan kita.

Menyahkod tajuk pelajaran

Untuk meneruskan tugas yang lebih kompleks, mari kita meregangkan otak kita dengan tugasan yang mudah. Topik pelajaran kami disulitkan; dengan menyelesaikan tugas lisan dan mencari jawapan kepada mereka, mengetahui bahawa setiap jawapan mempunyai surat sendiri, kami akan mendedahkan topik pelajaran. Slaid pembentangan 3

Menyampaikan tajuk dan tujuan pelajaran

Anda sendiri menamakan tajuk pelajaran hari ini

"Jenis persamaan dan kaedah untuk menyelesaikannya." Slaid pembentangan 4

Matlamat: Mengingat kembali dan membuat generalisasi semua jenis persamaan dan kaedah untuk menyelesaikannya. Selesaikan satu persamaan menggunakan semua kaedah. Slaid pembentangan 5 Baca penyataan Einstein Slaid pembentangan 5

Pemanasan teori

Slaid Pembentangan Soalan 7

Jawapan

Kesamaan yang mengandungi pembolehubah yang ditunjukkan oleh huruf.
Ini bermakna mencari semua akarnya, atau membuktikan bahawa tiada akar.
Nilai pembolehubah di mana persamaan menjadi benar.
Selepas definisi ini, baca puisi tentang persamaan slaid 12,13,14

Jawapan kepada 2 soalan terakhir Slaid pembentangan 9,10,11

Lawatan bersejarah

Maklumat sejarah tentang "Siapa yang mencipta persamaan dan bila" Slaid pembentangan 15

Bayangkan seorang ibu primitif bernama... namun, dia mungkin tidak mempunyai nama pun, memetik 12 epal dari sebatang pokok untuk diberikan kepada setiap 4 anaknya. Dia mungkin tidak tahu bagaimana mengira bukan sahaja kepada 12, tetapi juga kepada empat, dan pastinya tidak tahu bagaimana untuk membahagikan 12 dengan 4. Dan dia mungkin membahagikan epal seperti ini: mula-mula dia memberi setiap kanak-kanak sebiji epal, kemudian satu lagi epal. , kemudian seorang lagi dan kemudian saya melihat bahawa tidak ada lagi epal dan kanak-kanak gembira. Jika kita menulis tindakan ini dalam bahasa matematik moden, kita mendapat x4=12, iaitu, ibu saya menyelesaikan masalah mengarang persamaan. Nampaknya, adalah mustahil untuk menjawab soalan yang dikemukakan di atas. Masalah yang membawa kepada penyelesaian persamaan telah diselesaikan oleh orang yang menggunakan akal fikiran sejak mereka menjadi manusia. Malah 3-4 ribu tahun SM, orang Mesir dan Babylonia dapat menyelesaikan persamaan paling mudah, bentuk dan kaedah penyelesaiannya tidak serupa dengan yang moden. Orang Yunani mewarisi pengetahuan orang Mesir dan terus maju. Kejayaan terbesar dalam pembangunan doktrin persamaan dicapai oleh saintis Yunani Diophantus (abad III), tentang siapa mereka menulis:

Dia menyelesaikan banyak masalah.
Dia meramalkan bau dan hujan.
Sungguh menakjubkan ilmunya.

Ahli matematik Asia Tengah Muhammad al Khorezmi (abad ke-9) memberikan sumbangan besar dalam menyelesaikan persamaan. Bukunya yang terkenal al-Khawarizmi dikhaskan untuk menyelesaikan persamaan. Ia dipanggil "Kitab al-jabr wal-mukabala", iaitu "Kitab Pelengkap dan Pembangkang". Buku ini dikenali kepada orang Eropah, dan dari perkataan "al-jabr" dari tajuknya datang perkataan "algebra" - nama salah satu bahagian utama matematik. Selepas itu, ramai ahli matematik bekerja pada masalah persamaan. Peraturan am untuk menyelesaikan persamaan kuadratik yang dikurangkan kepada bentuk x2+in=0 telah dirumuskan oleh ahli matematik Jerman Stiefel, yang hidup pada abad ke-15. Selepas karya ahli matematik Belanda Girard (abad ke-16), serta Descartes dan Newton, kaedah penyelesaian mengambil bentuk moden. Formula yang menyatakan pergantungan punca persamaan pada pekalinya telah diperkenalkan oleh Vieth. Francois Viet hidup pada abad ke-16. Beliau memberi sumbangan besar kepada kajian pelbagai masalah dalam matematik dan astronomi; khususnya, beliau memperkenalkan sebutan huruf untuk pekali persamaan. Sekarang mari kita berkenalan dengan episod menarik dari hidupnya. Viet mendapat kemasyhuran besar di bawah Raja Henry III, semasa Perang Perancis-Sepanyol. Penyiasat Sepanyol mencipta tulisan rahsia yang sangat kompleks, berkat orang Sepanyol berkorespondensi dengan musuh Henry III walaupun di Perancis sendiri.

Orang Perancis cuba mencari kunci kod itu dengan sia-sia, dan kemudian raja berpaling ke Vieta. Mereka mengatakan bahawa Viet menemui kunci kod dalam dua minggu kerja berterusan, selepas itu, tanpa diduga untuk Sepanyol, Perancis mula memenangi satu demi satu pertempuran. Yakin bahawa kod itu tidak dapat ditafsirkan, orang Sepanyol menuduh Viet mempunyai hubungan dengan syaitan dan menjatuhkan hukuman dibakar di kayu pancang. Nasib baik, dia tidak diekstradisi ke Inkuisisi dan turun dalam sejarah sebagai ahli matematik yang hebat.

Permainan "Buang lebihan"

Tujuan permainan orientasi dalam jenis persamaan.

Kami diberi tiga lajur persamaan, dalam setiap daripadanya, persamaan ditakrifkan mengikut beberapa kriteria, tetapi salah satu daripadanya adalah berlebihan tugas anda adalah untuk mencari dan mencirikannya. Slaid pembentangan 16

Kerja kreatif

Tujuan tugasan ini: Mendengar pemahaman ucapan matematik, mengorientasikan kanak-kanak dalam jenis persamaan.

Pada skrin anda melihat 9 persamaan. Setiap persamaan mempunyai nombor sendiri, saya akan menamakan jenis persamaan ini, dan anda mesti mencari persamaan jenis ini, dan letakkan hanya nombor di bawahnya yang muncul, hasilnya anda akan mendapat nombor 9 digit Slaid Persembahan 17

Persamaan kuadratik terkurang.
Persamaan rasional pecahan
Persamaan padu
Persamaan logaritma
Persamaan linear
Persamaan kuadratik tidak lengkap
Persamaan eksponen
Persamaan tidak rasional
Persamaan trigonometri

Tugasan "Cari ralat"

Seorang pelajar menyelesaikan persamaan, tetapi seluruh kelas ketawa, dia membuat kesilapan dalam setiap persamaan, tugas anda adalah untuk mencari dan membetulkannya. Slaid pembentangan 18

Menyelesaikan satu persamaan dalam beberapa cara

Sekarang mari kita selesaikan satu persamaan dalam semua cara yang mungkin, untuk menjimatkan masa dalam kelas, satu persamaan pada skrin. Sekarang anda akan menamakan jenis persamaan ini, dan menerangkan kaedah yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan ini

Menyelesaikan satu persamaan dalam beberapa cara (di papan tulis)

Kami melihat contoh, dan sekarang mari kita selesaikan persamaan di papan dalam setiap cara yang mungkin.

X-2 - persamaan tidak rasional

Mari kita kuasa duakan kedua-dua belah persamaan.

X 2 +2x+4x-1-4=0

Kami menyelesaikan persamaan ini di papan dalam 9 cara.

Kerja bebas secara berpasangan diikuti dengan penerangan di dewan

Dan sekarang anda akan bekerja secara berpasangan, saya memberikan persamaan ke meja anda, tugas anda adalah untuk menentukan jenis persamaan, senaraikan semua cara untuk menyelesaikan persamaan ini, selesaikan 1-2 dengan cara yang paling rasional untuk anda. (2 minit)

Tugas untuk bekerja secara berpasangan

Selesaikan persamaan

Selepas bekerja secara bebas secara berpasangan, seorang wakil pergi ke papan, membentangkan persamaannya, menyelesaikan dalam satu cara

Kerja rumah individu(boleh dibezakan)

Selesaikan persamaan

(tentukan jenis persamaan, selesaikan dalam semua cara pada helaian berasingan)

Ringkasan pelajaran refleksi.

Saya meringkaskan pelajaran, menarik perhatian kepada fakta bahawa satu persamaan boleh diselesaikan dalam banyak cara, memberi markah, membuat kesimpulan tentang siapa yang aktif dan siapa yang perlu lebih aktif. Saya membaca kenyataan Kalinin Slaid Pembentangan 28

Perhatikan dengan teliti matlamat yang telah kami tetapkan untuk pelajaran hari ini:

Apa yang anda fikir kami berjaya lakukan?
Apa yang tidak berjaya?
Apakah yang paling anda suka dan ingat?
Hari ini saya belajar sesuatu yang baru...
Pengetahuan saya berguna semasa pelajaran...
Ia adalah sukar bagi saya...
Saya suka pelajaran...

kesusasteraan.

Dorofeev G.V. "Koleksi tugas untuk menjalankan peperiksaan bertulis dalam matematik untuk kursus sekolah menengah" - M.: Bustard, 2006.
Garner Martin. Teka-teki matematik dan hiburan.
Ivlev B.M., Sahakyan S.M. Bahan didaktik mengenai algebra dan permulaan analisis untuk gred 10, gred 11. M.: Pencerahan. 2002.

Teks kerja disiarkan tanpa imej dan formula.
Versi penuh kerja tersedia dalam tab "Fail Kerja" dalam format PDF

PENGENALAN

"Persamaan adalah kunci emas yang membuka semua bijan matematik"

S. Koval

Pendidikan matematik yang diterima di sekolah adalah bahagian yang sangat penting dalam kehidupan seseorang moden. Hampir semua yang mengelilingi kita entah bagaimana berkaitan dengan matematik. Menyelesaikan banyak masalah praktikal datang kepada menyelesaikan persamaan pelbagai jenis.

Persamaan ialah topik yang paling luas bagi keseluruhan kursus algebra. Tahun persekolahan lepas, dalam pelajaran algebra, kami belajar tentang persamaan kuadratik. Persamaan kuadratik digunakan secara meluas dalam menyelesaikan pelbagai masalah, baik dalam matematik mahupun dalam fizik dan kimia.

Dalam kursus matematik sekolah, kaedah asas untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dipelajari. Walau bagaimanapun, terdapat teknik lain untuk menyelesaikan persamaan kuadratik, beberapa daripadanya membolehkan anda menyelesaikannya dengan cepat dan rasional.

Kami menjalankan tinjauan di kalangan 84 pelajar dalam gred 8-9 ke atas dua soalan:

Apakah kaedah menyelesaikan persamaan kuadratik yang anda tahu?

Yang manakah paling kerap anda gunakan?

Berdasarkan hasil tinjauan, keputusan berikut diperoleh:

Setelah menganalisis keputusan yang diperoleh, kami membuat kesimpulan bahawa kebanyakan pelajar menggunakan formula akar menggunakan diskriminasi semasa menyelesaikan persamaan kuadratik dan tidak cukup mengetahui cara menyelesaikan persamaan kuadratik.

Oleh itu, topik yang kami pilih adalah relevan.

Kami telah menetapkan sendiri sasaran: mengkaji cara penyelesaian persamaan kuadratik yang tidak konvensional, memperkenalkan pelajar dalam gred 8 dan 9 kepada pelbagai kaedah penyelesaian, membangunkan keupayaan untuk memilih cara yang rasional untuk menyelesaikan persamaan kuadratik.

Untuk mencapai matlamat ini, anda perlu menyelesaikan perkara berikut tugasan:

mengumpul maklumat tentang cara yang berbeza untuk menyelesaikan persamaan kuadratik,

kuasai penyelesaian yang ditemui,

cipta program untuk menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan formula untuk punca persamaan kuadratik dalam Excel,

membangunkan bahan didaktik untuk pelajaran atau aktiviti ekstrakurikuler mengenai kaedah bukan standard untuk menyelesaikan persamaan kuadratik,

menjalankan pelajaran "Cara luar biasa untuk menyelesaikan persamaan kuadratik" dengan pelajar dalam gred 8 - 9.

Objek kajian: persamaan kuadratik.

Subjek kajian: pelbagai cara untuk menyelesaikan persamaan kuadratik.

Kami percaya bahawa kepentingan praktikal kerja itu terletak pada kemungkinan menggunakan sekumpulan teknik dan kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dalam pelajaran matematik dan aktiviti ekstrakurikuler, serta membiasakan pelajar dalam gred 8-9 dengan bahan ini.

BAB 1. KAEDAH LUAR BIASA UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT

1. SIFAT-SIFAT KOEFISIEN (a,b,c)

Kaedah ini berdasarkan sifat pekali a,b,c:

Jika a+b+c=0, maka = 1, =

Contoh:

-6x 2 + 2x +4=0, maka = 1, = = .

Jika a - b+c=0, maka = -1, = -

Contoh:

2017x 2 + 2001х +16 =0, maka = -1, -.

1. PERGANTUNGAN KOEFISIEN (a,b,c)

Kebergantungan pekali berikut adalah sah: a,b,c:

Jika b=a 2 +1, c=a, maka x 1 =-a; x 2 = - .

Jika b=-(a 2 +1), a=c, maka x 1 =a; x 2 =.

Jika b=a 2 -1, c=-a, maka x 1 =-a; x 2 = .

Jika b=-(a 2 -1), -a=c, maka x 1 =a; x 2 = - .

Mari kita selesaikan persamaan berikut:

5x 2 + 26x + 5 = 0

x 1 = -5

x 2 = - 0,2.

13x 2 - 167x + 13 = 0

x 1 =13 x 2 =

14x 2 + 195x - 14 = 0

x 1 = - 14 x 2 =

10x 2 - 99x - 10 = 0

x 1 =10 x 2 =-0,1.

1. “PEMINDAHAN” NISBAH UTAMA

Pekali A didarab dengan istilah bebas, seolah-olah "dilemparkan" kepadanya, itulah sebabnya ia dipanggil kaedah "buang". Seterusnya, akar-akar ditemui menggunakan teorem Vieta. Akar yang ditemui dibahagikan dengan pekali yang dipindahkan sebelum ini, terima kasih kepada ini kita dapati punca persamaan.

Contoh:

2x 2 - 3x + 1 = 0.

Mari kita "buang" pekali 2 kepada sebutan bebas, dan sebagai hasilnya kita mendapat persamaan

di 2 - 3у + 2 = 0.

Mengikut teorem Vieta

di 1 = 2, x 1 = 2/2 , x 1 = 1,

di 2 = 1; x 2 = 1/2; x 2 = 0,5.

Jawapan: 0.5; 1.

1. KAEDAH PENYELESAIAN GRAFIK

Jika dalam persamaan a x 2 + bx + c= 0 gerakkan sebutan kedua dan ketiga ke sebelah kanan, kita dapat a x 2 = -bx-c .

Mari bina graf pergantungan di= kapak 2 dan di= -bx-c dalam satu sistem koordinat.

Graf pergantungan pertama ialah parabola yang melalui asalan. Graf pergantungan kedua adalah lurus.

Kes berikut adalah mungkin:

garis lurus dan parabola boleh bersilang pada dua titik, absis bagi titik persilangan ialah punca persamaan kuadratik;

garis lurus dan parabola boleh menyentuh (hanya satu titik biasa), i.e. persamaan mempunyai satu penyelesaian;

garis lurus dan parabola tidak mempunyai titik sepunya, i.e. persamaan kuadratik tidak mempunyai punca.

Mari kita selesaikan persamaan berikut:

1) x 2 + 2x - 3 = 0

x 2 = - 2x + 3

Dalam satu sistem koordinat, kita akan membina graf bagi fungsi y = x 2 dan graf bagi fungsi y = - 2x + 3. Dengan menandakan abscissas titik persilangan, kita mendapat jawapannya.

Jawapan: x 1 = - 3, x 2 = 1.

2) x 2 + 6x +9 = 0

x 2 = - 6x - 9

Dalam satu sistem koordinat, kita akan membina graf bagi fungsi y = x 2 dan graf bagi fungsi y = -6x - 9. Setelah menetapkan absis titik tangen, kita akan mendapat jawapannya.

Jawapan: x= - 3.

3) 2x 2 + 4x +7=0

2x 2 = - 4x - 7

Dalam satu sistem koordinat kita akan membina graf fungsi y = 2x 2 dan graf fungsi

Parabola y = 2x 2 dan garis lurus y = - 4x - 7 tidak mempunyai titik sepunya, oleh itu persamaan tidak mempunyai punca.

Jawapan: tiada akar.

1. MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT MENGGUNAKAN KOMPAS DAN BARI

Mari kita selesaikan persamaan aх 2 +bх+c=0:

Mari bina titik S(-b:2a,(a+c):2a) - pusat bulatan dan titik A(0,1).

Lukis bulatan jejari SA.

Absis bagi titik-titik persilangan dengan paksi Lembu ialah punca-punca persamaan asal.

Dalam kes ini, tiga kes mungkin:

1) Jejari bulatan lebih besar daripada ordinat pusat ( AS>SK, atau R>), bulatan bersilang dengan paksi Oh pada dua titik..B( X 1 ; 0) dan D(x 2 ;0), di mana X 1 Dan X 2 - punca persamaan kuadratik Oh 2 + bx + c = 0.

2) Jejari bulatan adalah sama dengan ordinat pusat ( AS = SВ, atau R=), bulatan menyentuh paksi Oh pada titik B( X 1 ; 0), di mana X 1 - punca persamaan kuadratik.

3) Jejari bulatan kurang daripada ordinat pusat ( AS< SВ , atau R< ), bulatan tidak mempunyai titik sepunya dengan paksi-x, dalam kes ini persamaan tidak mempunyai penyelesaian.

A) AS > SВ atau R>, b) AS = SВ atau R= V) AS< SВ, atau R< .

Dua penyelesaian X 1 Dan X 2 . Satu penyelesaian X 1.. Tidak mempunyai penyelesaian.

Contoh 1: 2x 2 - 8x + 6 = 0.

Penyelesaian:

Mari kita lukis bulatan jejari S.A. di mana A (0;1).

Jawapan: x 1 = 1, x 2 = 3.

Contoh 2: x 2 - 6x + 9 = 0.

Penyelesaian: Mari cari koordinat S: x=3, y=5.

Jawapan: x=3.

Contoh 3: x 2 + 4 x + 5 = 0.

Penyelesaian: Koordinat pusat bulatan: x= - 2 dan y = 3.

Jawapan: tiada akar

1. PENYELESAIAN MENGGUNAKAN NOMOGRAM

Nomogram (dari bahasa Yunani "nomos" - undang-undang dan gram), perwakilan grafik fungsi beberapa pembolehubah, yang membolehkan penggunaan operasi geometri mudah (contohnya, menggunakan pembaris) untuk mengkaji kebergantungan fungsi tanpa pengiraan. Sebagai contoh, selesaikan persamaan kuadratik tanpa menggunakan formula.

Ini adalah kaedah lama dan kini terlupa untuk menyelesaikan persamaan kuadratik, terletak di halaman 83 koleksi: Bradis V.M. "Jadual matematik empat digit." - M., “Drofa”, 2000. Jadual XXII. Nomogram untuk menyelesaikan persamaan z 2 + pz + q = 0(lihat Lampiran 1).

Nomogram ini membenarkan, tanpa menyelesaikan persamaan kuadratik, untuk menentukan punca-punca persamaan daripada pekalinya.

Skala curvilinear nomogram dibina mengikut formula: OB= , AB =

Percaya OS = p, ED = q, OE = a(semua dalam cm), daripada persamaan segi tiga SAN Dan CDF kita memperoleh perkadaran daripadanya, selepas penggantian dan penyederhanaan, persamaan z 2 + pz + q = 0 mengikuti, dan huruf z bermaksud tanda mana-mana titik pada skala lengkung.

Contoh 1: z 2 - 9z + 8 = 0.

Pada skala p kita dapati tanda -9, dan pada skala q tanda 8. Kami melukis garis lurus melalui tanda ini, yang bersilang dengan skala lengkung nomogram pada markah 1 dan 8. Oleh itu, punca persamaan ialah 1 dan 8.

Jawapan: 1; 8.

Persamaan inilah yang diselesaikan dalam jadual Bradis pada halaman 83 (lihat Lampiran 1).

Contoh 2: 2z 2 - 9z + 2 = 0.

Membahagikan pekali persamaan ini dengan 2, kita mendapat persamaan:

z 2 - 4.5z + 1 = 0. Nomogram memberikan akar z 1 = 4 Dan z 2 = 0,5.

Jawapan: 4; 0.5.

Contoh 3:x 2 - 25x + 66 = 0

Pekali p dan q berada di luar skala. Mari kita lakukan penggantian x = 5z, kita mendapat persamaan:

z 2 - 5z + 2.64 = 0,

yang kita selesaikan menggunakan nomogram.

Kami mendapat z 1 = 0,6 Dan z 2 = 4,4,

di mana x 1 = 5z 1 = 3,0 Dan x 2 = 5z 2 = 22,0.

Jawapan: 3; 22.

Contoh 4: z 2 + 5z - 6 = 0, 1 =1 , dan cari punca negatif dengan menolak punca positif daripada - p , mereka. z 2 = - p -1= - 5 - 1= -6.

Jawapan: 1; -6.

Contoh 5: z 2 - 2z - 8 = 0, nomogram memberikan punca z positif 1 =4, dan negatif adalah sama dengan z 2 = - p -4 =

= 2 - 4= -2.

Jawapan: 4; -2.

BAB 2. MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT DENGAN FORMULA AKAR MENGGUNAKAN EXCEL

Kami memutuskan untuk mencipta program untuk menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan Excel - program komputer yang digunakan secara meluas. Ia diperlukan untuk menjalankan pengiraan, menyusun jadual dan gambar rajah, dan mengira fungsi mudah dan kompleks. Ia adalah sebahagian daripada suite Microsoft Office.

Helaian Excel yang menunjukkan formula:

Helaian Excel yang menunjukkan contoh khusus untuk menyelesaikan persamaan kuadratik x 2 - 14x - 15 = 0:

BAB 3. PERBANDINGAN CARA BERBEZA UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT


Formula untuk punca persamaan kuadratik menggunakan diskriminasi D dan D1	Serbaguna, kerana boleh digunakan untuk menyelesaikan sepenuhnya semua persamaan kuadratik	Diskriminasi yang rumit tidak termasuk dalam jadual petak
Teorem Vieta	Penyelesaian pantas dalam kes tertentu dan menjimatkan masa	Jika diskriminasi bukan kuasa dua sempurna bagi integer. Bukan pekali integer b dan c.
Memilih segi empat sama lengkap	Dengan penjelmaan yang betul kepada kuasa dua binomial, kita memperoleh persamaan kuadratik bentuk tidak lengkap dan oleh itu mencari punca lebih cepat	Kesukaran mengasingkan segi empat sama lengkap dengan pekali pecahan persamaan
Kaedah pengelompokan	Boleh diselesaikan tanpa mengetahui formula	Ia tidak selalu mungkin untuk menguraikan istilah tengah kepada istilah yang sesuai untuk pengelompokan
Kaedah grafik	Tiada formula diperlukan. Anda boleh mengetahui bilangan punca persamaan dengan cepat	Penghampiran penyelesaian
Sifat pekali a,b,c	Kelajuan penyelesaian. Untuk persamaan dengan pekali yang besar	Hanya sesuai untuk beberapa persamaan
"Tetapkan semula" pekali utama	Penyelesaian cepat jika akarnya utuh	Sama seperti menggunakan teorem Vieta
Nomogram	Keterlihatan Apa yang diperlukan untuk menyelesaikan adalah nomogram	Anda tidak selalu mempunyai nomogram dengan anda. Ketidaktepatan penyelesaian
Mencari akar menggunakan kompas dan pembaris	Keterlihatan	Jika koordinat pusat ialah nombor bukan integer. Mencari punca persamaan dengan pekali yang besar

KESIMPULAN

“Ia selalunya lebih berguna bagi seseorang yang belajar algebra untuk menyelesaikan masalah yang sama dalam tiga cara berbeza daripada menyelesaikan tiga atau empat masalah berbeza. Dengan menyelesaikan satu masalah menggunakan kaedah yang berbeza, anda boleh menggunakan perbandingan untuk mengetahui yang mana satu lebih pendek dan lebih cekap. Beginilah pengalaman dibangunkan."

Walter Warwick Sawyer

Semasa kerja, kami mengumpul bahan dan mengkaji cara untuk menyelesaikan (mencari punca) persamaan kuadratik. Menyelesaikan persamaan menggunakan kaedah yang berbeza dibentangkan dalam Lampiran 2.

Mengkaji cara yang berbeza untuk menyelesaikan persamaan kuadratik, kami membuat kesimpulan bahawa bagi setiap persamaan kami boleh memilih pilihan yang paling berkesan dan rasional untuk mencari punca. Setiap penyelesaian adalah unik dan mudah dalam kes tertentu. Sesetengah kaedah penyelesaian membolehkan anda menjimatkan masa, yang penting apabila menyelesaikan tugasan pada OGE, yang lain membantu menyelesaikan persamaan dengan pekali yang sangat besar. Kami cuba membandingkan kaedah penyelesaian yang berbeza dengan menyusun jadual yang mencerminkan kebaikan dan keburukan setiap kaedah.

Kami telah membangunkan bahan edaran. Anda boleh berkenalan dengan bank tugas mengenai topik dalam Lampiran 3.

Menggunakan Microsoft Excel, kami telah menyusun hamparan yang membolehkan anda mengira punca-punca persamaan kuadratik secara automatik menggunakan formula punca.

Kami menjalankan pelajaran tentang cara luar biasa untuk menyelesaikan persamaan kuadratik untuk pelajar gred 9. Para pelajar sangat menyukai kaedah-kaedah tersebut; Hasil pelajaran adalah hasil kerja pelajar, di mana mereka membentangkan pelbagai pilihan untuk menyelesaikan persamaan kuadratik (lihat Lampiran 4).

Bahan kerja boleh digunakan oleh mereka yang suka matematik dan mereka yang ingin mengetahui lebih lanjut tentang matematik.

KESUSASTERAAN

Bradis V. M. "Jadual matematik empat digit untuk sekolah menengah", M.: Bustard, 2000.

Vilenkin N.Ya. “Algebra untuk gred 8”, M.: Prosveshchenie, 2000.

Galitsky M.L. "Pengumpulan masalah dalam algebra", M.: Prosveshchenie 2002.

Glazer G. I. "Sejarah matematik di sekolah", M.: Prosveshchenie, 1982.

Zvavich L.I. “Algebra gred 8”, M.: Mnemosyne, 2002.

Makarychev Yu.N. “Algebra gred 8”, M.: Prosveshchenie, 2015.

Pluzhnikov I. "10 cara untuk menyelesaikan persamaan kuadratik" // Matematik di sekolah. - 2000.- No. 40.

Presman A.A. "Menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan kompas dan pembaris" // M., Kvant, No. 4/72, p.34.

Savin A.P. "Kamus Ensiklopedia Ahli Matematik Muda",

M.: Pedagogi, 1989.

Sumber Internet:

http://revolution.allbest.ru/

LAMPIRAN 1

“KOLEKSI BRADIS V.M.”

LAMPIRAN 2

“SELESAIKAN PERSAMAAN DENGAN SEMUA CARA”

Persamaan asal:4x 2 +3x -1 = 0.

1. Formula untuk punca-punca persamaan kuadratik menggunakan diskriminasi D

4x 2 +3x -1 = 0

D= b 2 - 4ac = 9+16 = 25 > 0, => persamaan mempunyai dua punca

x 1,2 =

x 1 ==

x 2 ==-1

2. Teorem Vieta

4x 2 +3x -1 = 0, bahagikan persamaan dengan 4 supaya ia menjadi berkurang

X 2 +x -=0

X 1 = -1

X 2 =

3. Kaedah untuk memilih petak lengkap

4x 2 +3x -1 = 0

(4x 2 +2*2х *+)-1=0

(2x +) 2 -=0

(2x + -)(2x + +)=0,

(2x -)=0 (2x +2)=0

X 1 = x 2 = -1

4. Kaedah pengelompokan

4x 2 +3x -1 = 0

4x 2 +4x-1x-1=0

4x(x+1)-1(x+1)=0

(4x-1)(x+1)=0, produk =0 apabila salah satu faktor =0

(4x-1)=0 (x+1)=0

X 1 = x 2 = -1

5. Sifat pekali

4x 2 +3x -1 = 0

Jika a - b+c=0, maka = -1, = -

4-3-1=0, => = -1, =

6. Kaedah "membuang" pekali utama

4x 2 +3x -1 = 0

y 2 +3y - 4 = 0

Teorem Vieta:

y 1 = -4

y 2 = 1

Mari kita bahagikan punca yang ditemui dengan pekali utama dan dapatkan punca persamaan kita:

X 1 = -1

X 2 =

7. Kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan kompas dan pembaris

4x 2 +3x -1 = 0

Mari kita tentukan koordinat titik tengah bulatan menggunakan formula:

X 1 = -1

X 2 =

8. Penyelesaian grafik

4x 2 +3x -1 = 0

4x 2 = - 3x + 1

Dalam satu sistem koordinat kita akan membina graf bagi fungsi tersebut y = 4x 2 dan graf fungsi

y = - 3x+1. Setelah menetapkan abscissas titik persimpangan, kami mendapat jawapannya:

X 1 = -1

9. Menggunakan nomogram

4x 2 +3x -1 = 0, Bahagikan pekali persamaan 1/4, kita dapat persamaan

X 2 +x -= 0.

Nomogram memberikan punca positif = ,

dan kita mencari punca negatif dengan menolak punca positif daripada - p , mereka.

x 2 = - p -=- -= -1.

10. Menyelesaikan persamaan ini dalam EXCEL

LAMPIRAN 3

"BAHAN DIAKTIKAL UNTUK TOPIK

“MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT” »

10x 2 + 2017x + 2007 = 0 -1 -200.7

-10x 2 + 7x + 3 = 0 -1 0.3

354x 2 -52x -302 = 0 1 -

100x 2 -99x-1 = 0 1 -0.01

5x 2 + 9x + 4 = 0 -1 -0.8

2017x 2 + x -2016 = 0 -1

22x 2 +10x-12 = 0 -1

5432x 2 -3087x-2345 = 0 1 -

4x 2 + 2x -6s = 0 1 -1.5

55x 2 -44х -11= 0 1 -0.2

6x 2 - 7х - 3 = 0 - , 1.5

4x 2 -17x-15 = 0 -0.75, 5

4271x 2 -4272x + 1 = 0 1,

3x 2 +10x + 7 = 0 -1, - 2

5x 2 - 11x + 2 = 0 2, 0.2

2x 2 - 11x + 15 = 0 2.5, 3

4x 2 + 4x -3= 0 -1.5, 0.5

5x 2 -12x + 7 = 0 1.4, 1

2x 2 + 13x + 15 = 0 -1.5 -5

3x 2 -7x + 2 = 0 1/3 2

LAMPIRAN 4

"KERJA PELAJAR"

Dalam kursus matematik sekolah, seorang kanak-kanak mendengar istilah "persamaan" untuk kali pertama. Apa ini, mari kita cuba fikirkan bersama. Dalam artikel ini kita akan melihat jenis dan kaedah penyelesaian.

Matematik. Persamaan

Sebagai permulaan, kami mencadangkan anda memahami konsep itu sendiri, apakah itu? Seperti yang dikatakan oleh banyak buku teks matematik, persamaan ialah beberapa ungkapan yang mesti ada tanda yang sama. Ungkapan ini mengandungi huruf, yang dipanggil pembolehubah, yang nilainya mesti dijumpai.

Ini ialah atribut sistem yang mengubah nilainya. Contoh pembolehubah yang baik ialah:

suhu udara;
pertumbuhan kanak-kanak;
berat badan dan sebagainya.

Dalam matematik mereka dilambangkan dengan huruf, contohnya, x, a, b, c... Biasanya tugas matematik adalah seperti ini: cari nilai persamaan. Ini bermakna adalah perlu untuk mencari nilai pembolehubah ini.

Varieti

Persamaan (kami membincangkan apa itu dalam perenggan sebelumnya) boleh dalam bentuk berikut:

linear;
segi empat sama;
padu;
algebra;
transendental.

Untuk kenalan yang lebih terperinci dengan semua jenis, kami akan mempertimbangkan masing-masing secara berasingan.

Persamaan linear

Ini adalah spesies pertama yang diperkenalkan kepada pelajar sekolah. Mereka diselesaikan dengan cepat dan mudah. Jadi, apakah persamaan linear? Ini adalah ungkapan bentuk: ah=c. Ia tidak begitu jelas, jadi mari kita berikan beberapa contoh: 2x=26; 5x=40; 1.2x=6.

Mari kita lihat contoh persamaan. Untuk melakukan ini, kita perlu mengumpul semua data yang diketahui pada satu pihak, dan yang tidak diketahui di sebelah yang lain: x=26/2; x=40/5; x=6/1.2. Di sini peraturan asas matematik digunakan: a*c=e, daripada c=e/a ini; a=e/c. Untuk melengkapkan penyelesaian persamaan, kami melakukan satu tindakan (dalam kes kami, pembahagian) x = 13; x=8; x=5. Ini adalah contoh pendaraban, sekarang mari kita lihat penolakan dan penambahan: x+3=9; 10x-5=15. Kami memindahkan data yang diketahui dalam satu arah: x=9-3; x=20/10. Lakukan tindakan terakhir: x=6; x=2.

Varian persamaan linear juga mungkin, di mana lebih daripada satu pembolehubah digunakan: 2x-2y=4. Untuk menyelesaikannya, adalah perlu untuk menambah 2y pada setiap bahagian, kita mendapat 2x-2y+2y=4-2y, seperti yang kita perhatikan, di sebelah kiri tanda sama -2y dan +2y batal, meninggalkan kita dengan: 2x=4 -2у. Langkah terakhir ialah membahagikan setiap bahagian dengan dua, kita mendapat jawapan: x sama dengan dua tolak y.

Masalah dengan persamaan ditemui walaupun pada papirus Ahmes. Berikut ialah satu masalah: nombor dan bahagian keempatnya menambah hingga 15. Untuk menyelesaikannya, kita tulis persamaan berikut: x tambah satu perempat x sama dengan lima belas. Kami melihat contoh lain berdasarkan hasil penyelesaian, kami mendapat jawapan: x=12. Tetapi masalah ini boleh diselesaikan dengan cara lain, iaitu Mesir atau, seperti yang dipanggil secara berbeza, kaedah andaian. Papirus menggunakan penyelesaian berikut: ambil empat dan satu perempat daripadanya, iaitu satu. Secara keseluruhan mereka memberi lima, kini lima belas mesti dibahagikan dengan jumlah, kita mendapat tiga, langkah terakhir ialah mendarab tiga dengan empat. Kami mendapat jawapannya: 12. Mengapakah kita membahagi lima belas dengan lima dalam penyelesaian? Jadi kita mengetahui berapa kali lima belas, iaitu hasil yang perlu kita perolehi adalah kurang daripada lima. Masalah diselesaikan dengan cara ini pada Zaman Pertengahan; ia dikenali sebagai kaedah kedudukan palsu.

Persamaan kuadratik

Sebagai tambahan kepada contoh yang telah dibincangkan sebelum ini, terdapat yang lain. Yang mana sebenarnya? Persamaan kuadratik, apakah itu? Mereka kelihatan seperti ax 2 +bx+c=0. Untuk menyelesaikannya, anda perlu membiasakan diri dengan beberapa konsep dan peraturan.

Pertama, anda perlu mencari diskriminasi menggunakan formula: b 2 -4ac. Terdapat tiga kemungkinan hasil keputusan tersebut:

diskriminasi lebih besar daripada sifar;
kurang daripada sifar;
sama dengan sifar.

Dalam pilihan pertama, kita boleh mendapatkan jawapan daripada dua punca, yang ditemui mengikut formula: -b+-akar diskriminasi dibahagikan dengan dua kali ganda pekali pertama, iaitu, 2a.

Dalam kes kedua, persamaan tidak mempunyai punca. Dalam kes ketiga, punca didapati menggunakan formula: -b/2a.

Mari kita lihat contoh persamaan kuadratik untuk pengenalan yang lebih terperinci: tiga x kuasa dua tolak empat belas x tolak lima sama dengan sifar. Sebagai permulaan, seperti yang telah ditulis sebelum ini, kami sedang mencari diskriminasi, dalam kes kami ia adalah sama dengan 256. Perhatikan bahawa nombor yang terhasil adalah lebih besar daripada sifar, oleh itu, kita harus mendapatkan jawapan yang terdiri daripada dua punca. Kami menggantikan diskriminasi yang terhasil ke dalam formula untuk mencari punca. Hasilnya, kita mempunyai: x sama dengan lima dan tolak satu pertiga.

Kes khas dalam persamaan kuadratik

Ini adalah contoh di mana beberapa nilai adalah sifar (a, b atau c), dan mungkin lebih daripada satu.

Sebagai contoh, mari kita ambil persamaan berikut, yang merupakan kuadratik: dua x kuasa dua sama dengan sifar, di sini kita melihat bahawa b dan c adalah sama dengan sifar. Mari kita cuba menyelesaikannya, untuk melakukan ini kita bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan dua, kita ada: x 2 =0. Akibatnya, kita mendapat x=0.

Kes lain ialah 16x 2 -9=0. Di sini hanya b=0. Mari kita selesaikan persamaan, pindahkan pekali bebas ke sebelah kanan: 16x 2 = 9, sekarang kita bahagikan setiap bahagian dengan enam belas: x 2 = sembilan per enam belas. Oleh kerana kita mempunyai x kuasa dua, punca 9/16 boleh sama ada negatif atau positif. Kami menulis jawapan seperti berikut: x sama dengan tambah/tolak tiga perempat.

Satu lagi jawapan yang mungkin ialah persamaan itu tidak mempunyai punca sama sekali. Mari kita lihat contoh ini: 5x 2 +80=0, di sini b=0. Untuk menyelesaikannya, buang istilah bebas ke sebelah kanan, selepas tindakan ini kita dapat: 5x 2 = -80, sekarang kita bahagikan setiap bahagian dengan lima: x 2 = tolak enam belas. Jika kita kuasai sebarang nombor, kita tidak akan mendapat nilai negatif. Oleh itu, jawapan kami ialah: persamaan tidak mempunyai punca.

Pengembangan trinomial

Tugas persamaan kuadratik juga boleh berbunyi seperti ini: faktorkan trinomial kuadratik. Ini boleh dilakukan menggunakan formula berikut: a(x-x 1)(x-x 2). Untuk melakukan ini, seperti dalam versi tugas yang lain, adalah perlu untuk mencari diskriminasi.

Pertimbangkan contoh berikut: 3x 2 -14x-5, faktorkan trinomial. Kami mendapati diskriminasi menggunakan formula yang telah diketahui oleh kami; ia ternyata sama dengan 256. Kami segera ambil perhatian bahawa 256 adalah lebih besar daripada sifar, oleh itu, persamaan akan mempunyai dua punca. Kami mendapati mereka, seperti dalam perenggan sebelumnya, kami mempunyai: x = lima dan tolak satu pertiga. Mari kita gunakan formula untuk memfaktorkan trinomial: 3(x-5)(x+1/3). Dalam kurungan kedua kami mendapat tanda sama, kerana formula mengandungi tanda tolak, dan akarnya juga negatif, menggunakan pengetahuan asas matematik, dalam jumlah kami mempunyai tanda tambah. Untuk memudahkan, mari kita darab sebutan pertama dan ketiga bagi persamaan untuk menyingkirkan pecahan: (x-5)(x+1).

Persamaan dikurangkan kepada kuadratik

Dalam bahagian ini kita akan belajar bagaimana untuk menyelesaikan persamaan yang lebih kompleks. Mari kita mulakan segera dengan contoh:

(x 2 - 2x) 2 - 2(x 2 - 2x) - 3 = 0. Kita boleh perhatikan elemen berulang: (x 2 - 2x), untuk menyelesaikannya adalah mudah untuk kita menggantikannya dengan pembolehubah lain, dan kemudian selesaikan persamaan kuadratik biasa dengan segera Kami perhatikan bahawa dalam tugas sedemikian kami akan mendapat empat punca, ini tidak sepatutnya menakutkan anda. Kami menandakan pengulangan pembolehubah a. Kami mendapat: a 2 -2a-3=0. Langkah seterusnya ialah mencari diskriminasi persamaan baharu. Kami mendapat 16, cari dua punca: tolak satu dan tiga. Kami ingat bahawa kami membuat penggantian, gantikan nilai-nilai ini, sebagai hasilnya kami mempunyai persamaan: x 2 - 2x=-1; x 2 - 2x=3. Kami menyelesaikannya dalam jawapan pertama: x sama dengan satu, dalam kedua: x sama dengan tolak satu dan tiga. Kami menulis jawapan seperti berikut: tambah/tolak satu dan tiga. Sebagai peraturan, jawapan ditulis dalam susunan menaik.

Persamaan padu

Mari kita pertimbangkan pilihan lain yang mungkin. Kita akan bercakap tentang persamaan padu. Mereka kelihatan seperti: ax 3 + b x 2 + cx + d =0. Kami akan melihat contoh persamaan di bawah, tetapi pertama, sedikit teori. Mereka boleh mempunyai tiga punca, dan terdapat juga formula untuk mencari diskriminasi bagi persamaan padu.

Mari kita lihat contoh: 3x 3 +4x 2 +2x=0. Bagaimana untuk menyelesaikannya? Untuk melakukan ini, kita hanya meletakkan x daripada kurungan: x(3x 2 +4x+2)=0. Apa yang perlu kita lakukan ialah mengira punca-punca persamaan dalam kurungan. Diskriminasi persamaan kuadratik dalam kurungan adalah kurang daripada sifar, berdasarkan ini, ungkapan mempunyai punca: x=0.

Algebra. Persamaan

Mari kita beralih ke paparan seterusnya. Sekarang kita akan melihat secara ringkas persamaan algebra. Salah satu tugas adalah seperti berikut: faktor 3x 4 +2x 3 +8x 2 +2x+5. Cara yang paling mudah ialah pengelompokan berikut: (3x 4 +3x 2)+(2x 3 +2x)+(5x 2 +5). Perhatikan bahawa kami mewakili 8x 2 daripada ungkapan pertama sebagai hasil tambah 3x 2 dan 5x 2. Sekarang kita keluarkan dari setiap kurungan faktor sepunya 3x 2 (x2 + 1) + 2x (x 2 +1) + 5 (x 2 +1). Kami melihat bahawa kami mempunyai faktor sepunya: x kuasa dua tambah satu, kami mengeluarkannya daripada kurungan: (x 2 +1)(3x 2 +2x+5). Pengembangan selanjutnya tidak mungkin kerana kedua-dua persamaan mempunyai diskriminasi negatif.

Persamaan transendental

Kami cadangkan anda berurusan dengan jenis berikut. Ini adalah persamaan yang mengandungi fungsi transendental, iaitu logaritma, trigonometri atau eksponen. Contoh: 6sin 2 x+tgx-1=0, x+5lgx=3 dan seterusnya. Anda akan belajar bagaimana ia diselesaikan dalam kursus trigonometri.

Fungsi

Langkah terakhir ialah mempertimbangkan konsep persamaan fungsi. Tidak seperti pilihan sebelumnya, jenis ini tidak diselesaikan, tetapi graf dibina berdasarkannya. Untuk melakukan ini, adalah bernilai menganalisis persamaan dengan baik, mencari semua mata yang diperlukan untuk pembinaan, dan mengira mata minimum dan maksimum.

Dan lain-lain, adalah logik untuk membiasakan diri dengan persamaan jenis lain. Seterusnya dalam barisan ialah persamaan linear, kajian yang disasarkan bermula dalam pelajaran algebra dalam gred 7.

Adalah jelas bahawa pertama sekali kita perlu menerangkan apa itu persamaan linear, memberikan definisi persamaan linear, pekalinya, dan menunjukkan bentuk amnya. Kemudian anda boleh memikirkan berapa banyak penyelesaian persamaan linear bergantung pada nilai pekali, dan bagaimana punca ditemui. Ini akan membolehkan anda meneruskan untuk menyelesaikan contoh, dan dengan itu menyatukan teori yang dipelajari. Dalam artikel ini kita akan melakukan ini: kita akan membincangkan secara terperinci semua perkara teori dan praktikal yang berkaitan dengan persamaan linear dan penyelesaiannya.

Katakan segera bahawa di sini kita akan mempertimbangkan hanya persamaan linear dengan satu pembolehubah, dan dalam artikel berasingan kita akan mengkaji prinsip penyelesaian persamaan linear dengan dua pembolehubah.

Navigasi halaman.

Apakah persamaan linear?

Takrif persamaan linear diberikan dengan cara ia ditulis. Selain itu, dalam buku teks matematik dan algebra yang berbeza, rumusan definisi persamaan linear mempunyai beberapa perbezaan yang tidak menjejaskan intipati isu.

Sebagai contoh, dalam buku teks algebra untuk gred 7 oleh Yu N. Makarychev et al., persamaan linear ditakrifkan seperti berikut:

Definisi.

Persamaan bentuk a x=b, di mana x ialah pembolehubah, a dan b ialah beberapa nombor, dipanggil persamaan linear dengan satu pembolehubah.

Mari kita berikan contoh persamaan linear yang memenuhi definisi yang dinyatakan. Sebagai contoh, 5 x = 10 ialah persamaan linear dengan satu pembolehubah x, di sini pekali a ialah 5, dan nombor b ialah 10. Contoh lain: −2.3·y=0 juga merupakan persamaan linear, tetapi dengan pembolehubah y, di mana a=−2.3 dan b=0. Dan dalam persamaan linear x=−2 dan −x=3.33 a tidak hadir secara eksplisit dan masing-masing sama dengan 1 dan −1, manakala dalam persamaan pertama b=−2, dan dalam kedua - b=3.33.

Dan setahun sebelumnya, dalam buku teks matematik oleh N. Ya Vilenkin, persamaan linear dengan satu yang tidak diketahui, sebagai tambahan kepada persamaan bentuk a x = b, juga dianggap persamaan yang boleh dibawa ke bentuk ini dengan memindahkan istilah dari satu bahagian. persamaan kepada yang lain dengan tanda yang bertentangan, serta dengan mengurangkan istilah yang serupa. Menurut definisi ini, persamaan bentuk 5 x = 2 x + 6, dsb. juga linear.

Sebaliknya, dalam buku teks algebra untuk gred 7 oleh A. G. Mordkovich definisi berikut diberikan:

Definisi.

Persamaan linear dengan satu pembolehubah x ialah persamaan dalam bentuk a·x+b=0, di mana a dan b ialah beberapa nombor yang dipanggil pekali persamaan linear.

Sebagai contoh, persamaan linear jenis ini ialah 2 x−12=0, di sini pekali a ialah 2, dan b bersamaan dengan −12, dan 0.2 y+4.6=0 dengan pekali a=0.2 dan b =4.6. Tetapi pada masa yang sama, terdapat contoh persamaan linear yang mempunyai bentuk bukan a·x+b=0, tetapi a·x=b, contohnya, 3·x=12.

Marilah kita, supaya kita tidak mempunyai sebarang percanggahan pada masa hadapan, dengan persamaan linear dengan satu pembolehubah x dan pekali a dan b kita maksudkan persamaan bentuk a x + b = 0. Persamaan linear jenis ini nampaknya paling wajar, kerana persamaan linear adalah persamaan algebra ijazah pertama. Dan semua persamaan lain yang ditunjukkan di atas, serta persamaan yang, menggunakan transformasi setara, dikurangkan kepada bentuk a x + b = 0, kita akan panggil persamaan yang dikurangkan kepada persamaan linear. Dengan pendekatan ini, persamaan 2 x+6=0 ialah persamaan linear, dan 2 x=−6, 4+25 y=6+24 y, 4 (x+5)=12, dsb. - Ini adalah persamaan yang dikurangkan kepada persamaan linear.

Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan linear?

Kini tiba masanya untuk memikirkan bagaimana persamaan linear a·x+b=0 diselesaikan. Dalam erti kata lain, sudah tiba masanya untuk mengetahui sama ada persamaan linear mempunyai punca, dan jika ya, berapa banyak daripadanya dan cara mencarinya.

Kehadiran punca persamaan linear bergantung kepada nilai pekali a dan b. Dalam kes ini, persamaan linear a x+b=0 mempunyai

satu-satunya punca a≠0,
tidak mempunyai punca a=0 dan b≠0,
mempunyai banyak punca tak terhingga untuk a=0 dan b=0, dalam hal ini sebarang nombor adalah punca bagi persamaan linear.

Mari kita terangkan bagaimana keputusan ini diperolehi.

Kita tahu bahawa untuk menyelesaikan persamaan kita boleh beralih daripada persamaan asal kepada persamaan setara, iaitu, kepada persamaan dengan punca yang sama atau, seperti yang asal, tanpa punca. Untuk melakukan ini, anda boleh menggunakan transformasi setara berikut:

memindahkan sebutan dari satu sisi persamaan ke yang lain dengan tanda berlawanan,
serta mendarab atau membahagi kedua-dua belah persamaan dengan nombor bukan sifar yang sama.

Jadi, dalam persamaan linear dengan satu pembolehubah dalam bentuk a·x+b=0, kita boleh mengalihkan sebutan b dari sebelah kiri ke sebelah kanan dengan tanda yang bertentangan. Dalam kes ini, persamaan akan mengambil bentuk a·x=−b.

Dan kemudian ia menimbulkan persoalan untuk membahagikan kedua-dua belah persamaan dengan nombor a. Tetapi ada satu perkara: nombor a boleh sama dengan sifar, dalam hal ini pembahagian sedemikian adalah mustahil. Untuk menangani masalah ini, kami mula-mula akan menganggap bahawa nombor a adalah bukan sifar, dan kami akan mempertimbangkan kes makhluk bersamaan dengan sifar secara berasingan sedikit kemudian.

Jadi, apabila a tidak sama dengan sifar, maka kita boleh membahagikan kedua-dua belah persamaan a·x=−b dengan a, selepas itu ia akan ditukar kepada bentuk x=(−b):a, keputusan ini boleh ditulis menggunakan garis miring pecahan sebagai.

Oleh itu, untuk a≠0, persamaan linear a·x+b=0 adalah bersamaan dengan persamaan, dari mana puncanya kelihatan.

Adalah mudah untuk menunjukkan bahawa punca ini adalah unik, iaitu, persamaan linear tidak mempunyai punca lain. Ini membolehkan anda melakukan kaedah yang bertentangan.

Mari kita nyatakan punca sebagai x 1. Mari kita andaikan bahawa terdapat punca lain bagi persamaan linear, yang kita nyatakan sebagai x 2, dan x 2 ≠x 1, yang, disebabkan oleh menentukan nombor yang sama melalui perbezaan adalah bersamaan dengan keadaan x 1 −x 2 ≠0. Oleh kerana x 1 dan x 2 ialah punca-punca persamaan linear a·x+b=0, maka kesamaan berangka a·x 1 +b=0 dan a·x 2 +b=0 dipegang. Kita boleh menolak bahagian yang sepadan bagi kesamaan ini, yang sifat-sifat kesamaan berangka membenarkan kita lakukan, kita mempunyai a·x 1 +b−(a·x 2 +b)=0−0, dari mana a·(x 1 −x 2)+( b−b)=0 dan kemudian a·(x 1 −x 2)=0 . Tetapi kesamaan ini adalah mustahil, kerana kedua-dua a≠0 dan x 1 − x 2 ≠0. Jadi kita sampai kepada percanggahan, yang membuktikan keunikan punca persamaan linear a·x+b=0 untuk a≠0.

Jadi kami menyelesaikan persamaan linear a·x+b=0 untuk a≠0. Keputusan pertama yang diberikan pada permulaan perenggan ini adalah wajar. Tinggal dua lagi yang memenuhi syarat a=0.

Apabila a=0, persamaan linear a·x+b=0 mengambil bentuk 0·x+b=0. Daripada persamaan ini dan sifat mendarab nombor dengan sifar, tidak kira nombor yang kita ambil sebagai x, apabila ia digantikan ke dalam persamaan 0 x + b=0, kesamaan berangka b=0 akan diperolehi. Kesamaan ini adalah benar apabila b=0, dan dalam kes lain apabila b≠0 kesamaan ini adalah palsu.

Oleh itu, dengan a=0 dan b=0, sebarang nombor ialah punca bagi persamaan linear a·x+b=0, kerana di bawah keadaan ini, menggantikan sebarang nombor untuk x memberikan kesamaan berangka yang betul 0=0. Dan apabila a=0 dan b≠0, persamaan linear a·x+b=0 tidak mempunyai punca, kerana di bawah keadaan ini, menggantikan sebarang nombor untuk x membawa kepada kesamaan berangka yang salah b=0.

Justifikasi yang diberikan membolehkan kita merumuskan urutan tindakan yang membolehkan kita menyelesaikan sebarang persamaan linear. Jadi, algoritma untuk menyelesaikan persamaan linear ialah:

Pertama, dengan menulis persamaan linear, kita dapati nilai pekali a dan b.
Jika a=0 dan b=0, maka persamaan ini mempunyai banyak punca tak terhingga, iaitu, sebarang nombor ialah punca bagi persamaan linear ini.
Jika a bukan sifar, maka

pekali b dipindahkan ke sebelah kanan dengan tanda bertentangan, dan persamaan linear diubah kepada bentuk a·x=−b,
selepas itu kedua-dua belah persamaan yang terhasil dibahagikan dengan nombor bukan sifar a, yang memberikan punca yang dikehendaki bagi persamaan linear asal.

Algoritma bertulis adalah jawapan yang komprehensif kepada persoalan bagaimana menyelesaikan persamaan linear.

Sebagai kesimpulan perkara ini, adalah wajar dikatakan bahawa algoritma yang serupa digunakan untuk menyelesaikan persamaan bentuk a·x=b. Perbezaannya ialah apabila a≠0, kedua-dua belah persamaan segera dibahagikan dengan nombor ini di sini b sudah berada dalam bahagian persamaan yang diperlukan dan tidak perlu memindahkannya.

Untuk menyelesaikan persamaan bentuk a x = b, algoritma berikut digunakan:

Jika a=0 dan b=0, maka persamaan itu mempunyai banyak punca tak terhingga, iaitu sebarang nombor.
Jika a=0 dan b≠0, maka persamaan asal tidak mempunyai punca.
Jika a bukan sifar, maka kedua-dua belah persamaan dibahagikan dengan nombor bukan sifar a, yang daripadanya satu-satunya punca persamaan ditemui, sama dengan b/a.

Contoh penyelesaian persamaan linear

Mari kita teruskan untuk berlatih. Mari kita lihat bagaimana algoritma untuk menyelesaikan persamaan linear digunakan. Mari kita kemukakan penyelesaian kepada contoh tipikal yang sepadan dengan nilai berbeza bagi pekali persamaan linear.

Contoh.

Selesaikan persamaan linear 0·x−0=0.

Penyelesaian.

Dalam persamaan linear ini, a=0 dan b=−0 , yang sama dengan b=0 . Oleh itu, persamaan ini mempunyai banyak punca tak terhingga sebarang nombor adalah punca persamaan ini.

Jawapan:

x – sebarang nombor.

Contoh.

Adakah persamaan linear 0 x + 2.7 = 0 mempunyai penyelesaian?

Penyelesaian.

Dalam kes ini, pekali a adalah sama dengan sifar, dan pekali b persamaan linear ini adalah sama dengan 2.7, iaitu berbeza daripada sifar. Oleh itu, persamaan linear tidak mempunyai punca.