Nota. Bahan ini mengandungi teorem dan buktinya, serta beberapa masalah yang menggambarkan aplikasi teorem pada hasil tambah sudut poligon cembung menggunakan contoh praktikal.

Teorem hasil tambah sudut poligon cembung

.

Bukti.

Untuk membuktikan teorem pada jumlah sudut poligon cembung, kita menggunakan teorem yang telah terbukti bahawa jumlah sudut segitiga adalah sama dengan 180 darjah.

Biarkan A 1 A 2... A n ialah poligon cembung yang diberi, dan n > 3. Mari kita lukis semua pepenjuru poligon itu daripada bucu A 1. Mereka membahagikannya kepada n – 2 segi tiga: Δ A 1 A 2 A 3, Δ A 1 A 3 A 4, ... , Δ A 1 A n – 1 A n . Jumlah sudut poligon ialah hasil tambah sudut semua segi tiga ini. Jumlah sudut setiap segi tiga ialah 180°, dan bilangan segi tiga ialah (n – 2). Oleh itu, hasil tambah sudut bagi n-gon cembung A 1 A 2... A n adalah sama dengan 180° (n – 2).

Tugasan.

Poligon cembung mempunyai tiga sudut 80 darjah dan selebihnya 150 darjah. Berapakah bilangan sudut dalam poligon cembung?

Penyelesaian.

Teorem menyatakan: Untuk n-gon cembung, jumlah sudut ialah 180°(n-2) .

Jadi, untuk kes kami:

180(n-2)=3*80+x*150, di mana

3 sudut 80 darjah diberikan kepada kami mengikut keadaan masalah, dan bilangan sudut yang tinggal masih tidak diketahui oleh kami, jadi kami menandakan nombornya sebagai x.

Walau bagaimanapun, dari entri di sebelah kiri kami menentukan bilangan sudut poligon sebagai n, kerana daripada mereka kami mengetahui nilai tiga sudut dari keadaan masalah, jelas bahawa x = n-3.

Jadi persamaan akan kelihatan seperti ini:

180(n-2)=240+150(n-3)

Kami menyelesaikan persamaan yang terhasil

180n - 360 = 240 + 150n - 450

180n - 150n = 240 + 360 - 450

Jawapan: 5 puncak

Tugasan.

Berapakah bilangan bucu yang boleh ada pada poligon jika setiap sudut kurang daripada 120 darjah?

Penyelesaian.

Untuk menyelesaikan masalah ini, kami menggunakan teorem pada hasil tambah sudut poligon cembung.

Teorem menyatakan: Untuk n-gon cembung, jumlah semua sudut ialah 180°(n-2) .

Ini bermakna bahawa untuk kes kami adalah perlu untuk menganggarkan keadaan sempadan masalah terlebih dahulu. Iaitu, buat andaian bahawa setiap sudut adalah sama dengan 120 darjah. Kami mendapat:

180n - 360 = 120n

180n - 120n = 360 (kami akan mempertimbangkan ungkapan ini secara berasingan di bawah)

Berdasarkan persamaan yang terhasil, kita membuat kesimpulan: jika sudut kurang daripada 120 darjah, bilangan sudut poligon adalah kurang daripada enam.

Penjelasan:

Berdasarkan ungkapan 180n - 120n = 360, dengan syarat subtrahend sebelah kanan kurang daripada 120n, perbezaannya hendaklah lebih daripada 60n. Oleh itu, hasil bahagi akan sentiasa kurang daripada enam.

Jawapan: bilangan bucu poligon akan kurang daripada enam.

Tugasan

Dalam poligon, tiga sudut ialah 113 darjah setiap satu, dan selebihnya adalah sama dan ukuran darjahnya ialah integer. Cari bilangan bucu poligon itu.

Penyelesaian.

Untuk menyelesaikan masalah ini, kami menggunakan teorem pada jumlah sudut luar poligon cembung.

Teorem menyatakan: Untuk n-gon cembung, hasil tambah semua sudut luar ialah 360° .

Oleh itu,

3*(180-113)+(n-3)x=360

sebelah kanan ungkapan ialah jumlah sudut luar, di sebelah kiri jumlah tiga sudut diketahui mengikut keadaan, dan ukuran darjah selebihnya (nombor mereka, masing-masing, n-3, kerana tiga sudut diketahui) ditetapkan sebagai x.

159 diuraikan kepada hanya dua faktor 53 dan 3, dengan 53 ialah nombor perdana. Iaitu, tidak ada pasangan faktor lain.

Oleh itu, n-3 = 3, n=6, iaitu bilangan sudut poligon ialah enam.

Jawab: enam penjuru

Tugasan

Buktikan bahawa poligon cembung boleh mempunyai paling banyak tiga sudut lancip.

Penyelesaian

Seperti yang diketahui, jumlah sudut luar poligon cembung adalah sama dengan 360 0. Mari kita laksanakan pembuktian dengan percanggahan. Jika poligon cembung mempunyai sekurang-kurangnya empat sudut dalam akut, maka di antara sudut luarnya terdapat sekurang-kurangnya empat sudut tumpul, yang bermaksud bahawa jumlah semua sudut luar poligon adalah lebih besar daripada 4 * 90 0 = 360 0 . Kami mempunyai percanggahan. Kenyataan itu telah terbukti.

Dalam kursus asas geometri, terbukti bahawa jumlah sudut bagi n-gon cembung ialah 180° (n-2). Ternyata pernyataan ini juga benar untuk poligon bukan cembung.

Teorem 3. Hasil tambah sudut bagi n-gon arbitrari ialah 180° (n - 2).

Bukti. Mari bahagikan poligon kepada segi tiga dengan melukis pepenjuru (Rajah 11). Bilangan segi tiga tersebut ialah n-2, dan dalam setiap segi tiga jumlah sudut ialah 180°. Oleh kerana sudut segi tiga membentuk sudut poligon, jumlah sudut poligon ialah 180° (n - 2).

Sekarang mari kita pertimbangkan garis putus-putus tertutup yang sewenang-wenangnya, mungkin dengan persilangan diri A1A2…AnA1 (Gamb. 12, a). Kami akan memanggil garis putus bersilang sendiri seperti poligon bintang (Rajah 12, b-d).

Mari kita betulkan arah mengira sudut lawan jam. Perhatikan bahawa sudut yang dibentuk oleh garis poli tertutup bergantung pada arah di mana ia dilalui. Jika arah merentasi poligon diterbalikkan, maka sudut poligon akan menjadi sudut yang melengkapi sudut poligon asal sehingga 360°.

Jika M ialah poligon yang dibentuk oleh garis putus tertutup ringkas, boleh dilalui mengikut arah jam (Rajah 13, a), maka jumlah sudut poligon ini akan sama dengan 180° (n - 2). Jika garis putus berjalan dalam arah lawan jam (Rajah 13, b), maka jumlah sudut akan sama dengan 180° (n + 2).

Oleh itu, formula am untuk jumlah sudut poligon yang dibentuk oleh garis putus tertutup mudah mempunyai bentuk = 180° (n 2), di mana jumlah sudut, n ialah bilangan sudut poligon itu, “+” atau “-” diambil bergantung pada arah di mana garis putus itu dilalui.

Tugas kami adalah untuk mendapatkan formula untuk jumlah sudut poligon sewenang-wenang yang dibentuk oleh garis putus tertutup (mungkin bersilang sendiri). Untuk melakukan ini, kami memperkenalkan konsep darjah poligon.

Darjah poligon ialah bilangan pusingan yang dibuat oleh titik apabila melintasi sisinya secara berurutan sepenuhnya. Selain itu, pusingan yang dibuat dalam arah lawan jam dikira dengan tanda "+", dan pusingan yang dibuat mengikut arah jam dikira dengan tanda "-".

Jelaslah bahawa poligon yang dibentuk oleh poligaris tertutup ringkas mempunyai darjah +1 atau -1 bergantung pada arah lintasan. Darjah garis putus dalam Rajah 12a adalah bersamaan dengan dua. Darjah heptagon berbentuk bintang (Rajah 12, c, d) adalah sama dengan dua dan tiga, masing-masing.

Konsep darjah ditakrifkan dengan cara yang sama untuk lengkung tertutup dalam satah. Sebagai contoh, darjah lengkung yang ditunjukkan dalam Rajah 14 ialah dua.

Untuk mencari darjah poligon atau lengkung, anda boleh meneruskan seperti berikut. Mari kita anggap bahawa, bergerak di sepanjang lengkung (Rajah 15, a), kita, bermula dari beberapa tempat A1, membuat revolusi penuh dan berakhir di titik A1 yang sama. Mari kita keluarkan bahagian yang sepadan daripada lengkung dan teruskan bergerak sepanjang lengkung yang tinggal (Rajah 15,b). Jika, bermula dari beberapa tempat A2, kami sekali lagi membuat revolusi penuh dan memukul titik yang sama, kemudian kami memadam bahagian lengkung yang sepadan dan terus bergerak (Rajah 15, c). Dengan mengira bilangan bahagian terpencil dengan tanda "+" atau "-", bergantung pada arah laluannya, kami memperoleh tahap lengkung yang diperlukan.

Teorem 4. Untuk poligon sewenang-wenangnya, formulanya berlaku

180° (n +2m),

di mana jumlah sudut, n ialah bilangan sudut, m ialah darjah poligon.

Bukti. Biarkan poligon M mempunyai darjah m dan secara lazimnya digambarkan dalam Rajah 16. M1, ..., Mk ialah garis putus-putus tertutup mudah, yang melepasi sepanjang titik itu membuat pusingan penuh. A1, …, Ak ialah titik persilangan diri yang sepadan bagi garis putus, yang bukan bucunya. Mari kita nyatakan bilangan bucu poligon M yang termasuk dalam poligon M1, …, Mk dengan n1, …, nk, masing-masing. Oleh kerana, sebagai tambahan kepada bucu poligon M, bucu A1, ..., Ak ditambah kepada poligon ini, maka bilangan bucu poligon M1, ..., Mk akan sama dengan n1+1, . .., nk+1, masing-masing. Maka jumlah sudutnya akan sama dengan 180° (n1+12), ..., 180° (nk+12). Tambah atau tolak diambil bergantung pada arah melintasi garisan putus. Jumlah sudut poligon M0 yang tinggal daripada poligon M selepas mengalihkan poligon M1, ..., Mk adalah sama dengan 180° (n-n1- ...-nk+k2). Jumlah sudut poligon M0, M1, ..., Mk memberikan hasil tambah sudut poligon M dan pada setiap bucu A1, ..., Ak kita juga memperoleh 360°. Oleh itu, kita mempunyai persamaan

180° (n1+12)+…+180° (nk+12)+180° (n-n1- …-nk+k2)=+360°k.

180° (n2…2) = 180° (n+2m),

di mana m ialah darjah poligon M.

Sebagai contoh, pertimbangkan untuk mengira jumlah sudut bintang berbucu lima (Rajah 17, a). Darjah garis putus tertutup yang sepadan ialah -2. Oleh itu, jumlah sudut yang diperlukan ialah 180.

Jumlah sudut bagi Teorem n-gon. Jumlah sudut bagi n-gon cembung ialah 180 o (n-2). Bukti. Dari beberapa bucu n-gon cembung kita lukis semua pepenjurunya. Kemudian n-gon akan dibahagikan kepada n-2 segitiga. Dalam setiap segi tiga, jumlah sudut ialah 180°, dan sudut ini membentuk sudut n-gon. Oleh itu, jumlah sudut bagi n-gon ialah 180 o (n-2).

Cara kedua untuk membuktikan teorem. Jumlah sudut bagi n-gon cembung ialah 180 o (n-2). Bukti 2. Biarkan O ialah beberapa titik pedalaman bagi n-gon cembung A 1 ...A n. Mari kita sambungkannya ke bucu poligon ini. Kemudian n-gon akan dibahagikan kepada n segi tiga. Dalam setiap segi tiga, jumlah sudut ialah 180 darjah. Sudut ini membentuk sudut n-gon dan 360 darjah lagi. Oleh itu, jumlah sudut bagi n-gon ialah 180 o (n-2).

Latihan 3 Buktikan bahawa jumlah sudut luar bagi n-gon cembung adalah sama dengan 360°. Bukti. Sudut luar poligon cembung adalah sama dengan 180° tolak sudut dalam yang sepadan. Oleh itu, jumlah sudut luar bagi n-gon cembung adalah sama dengan 180 o n tolak hasil tambah sudut dalam. Oleh kerana jumlah sudut dalam bagi n-gon cembung adalah sama dengan 180 o (n-2), maka jumlah sudut luar akan sama dengan 180 o n o (n-2) = 360 o.

Latihan 4 Apakah sudut sekata: a) segi tiga; b) segi empat; c) pentagon; d) heksagon; e) oktagon; f) dekagon; g) dodekagon? Jawapan: a) 60 o; b) 90 o; e) 135 o; f) 144 o;

Latihan 12* Berapakah bilangan terbesar sudut lancip yang boleh dimiliki oleh n-gon cembung? Penyelesaian. Oleh kerana jumlah sudut luar poligon cembung adalah sama dengan 360 darjah, maka poligon cembung tidak boleh mempunyai lebih daripada tiga sudut tumpul, oleh itu, ia tidak boleh mempunyai lebih daripada tiga sudut akut dalaman. Jawab. 3.

Dalam darjah 8, semasa pelajaran geometri di sekolah, pelajar mula-mula diperkenalkan dengan konsep poligon cembung. Tidak lama lagi mereka akan mengetahui bahawa angka ini mempunyai harta yang sangat menarik. Tidak kira betapa kompleksnya, jumlah semua sudut dalaman dan luaran poligon cembung mengambil nilai yang ditentukan dengan ketat. Dalam artikel ini, seorang tutor matematik dan fizik bercakap tentang jumlah sudut poligon cembung yang sama.

Jumlah sudut pedalaman poligon cembung

Bagaimana untuk membuktikan formula ini?

Sebelum beralih kepada bukti pernyataan ini, mari kita ingat poligon yang dipanggil cembung. Poligon cembung ialah poligon yang terletak sepenuhnya pada satu sisi garisan yang mengandungi mana-mana sisinya. Sebagai contoh, yang ditunjukkan dalam rajah ini:

Jika poligon tidak memenuhi syarat yang ditentukan, maka ia dipanggil bukan cembung. Sebagai contoh, seperti ini:

Jumlah sudut pedalaman poligon cembung adalah sama dengan , di mana ialah bilangan sisi poligon itu.

Bukti fakta ini adalah berdasarkan teorem jumlah sudut dalam segitiga, yang diketahui oleh semua murid sekolah. Saya pasti bahawa teorem ini biasa kepada anda juga. Jumlah sudut pedalaman bagi sebuah segitiga ialah .

Ideanya ialah untuk membelah poligon cembung kepada beberapa segi tiga. Ini boleh dilakukan dengan cara yang berbeza. Bergantung pada kaedah yang kita pilih, bukti akan berbeza sedikit.

1. Bahagikan poligon cembung kepada segi tiga menggunakan semua pepenjuru yang mungkin dilukis dari beberapa bucu. Adalah mudah untuk memahami bahawa n-gon kami akan dibahagikan kepada segi tiga:

Selain itu, jumlah semua sudut semua segi tiga yang terhasil adalah sama dengan jumlah sudut n-gon kami. Lagipun, setiap sudut dalam segi tiga yang terhasil ialah sudut separa dalam poligon cembung kami. Iaitu, jumlah yang diperlukan adalah sama dengan .

2. Anda juga boleh memilih titik di dalam poligon cembung dan menyambungkannya ke semua bucu. Kemudian n-gon kami akan dibahagikan kepada segi tiga:

Selain itu, jumlah sudut poligon kami dalam kes ini akan sama dengan jumlah semua sudut semua segi tiga ini tolak sudut pusat, yang sama dengan . Iaitu, jumlah yang diperlukan sekali lagi sama dengan .

Jumlah sudut luar poligon cembung

Sekarang mari kita tanya soalan: "Apakah jumlah sudut luar poligon cembung?" Soalan ini boleh dijawab seperti berikut. Setiap sudut luaran bersebelahan dengan sudut dalaman yang sepadan. Oleh itu ia sama dengan:

Maka hasil tambah semua sudut luar adalah sama dengan . Iaitu, ia adalah sama.

Iaitu, hasil yang sangat lucu diperolehi. Jika kita memplot semua sudut luar mana-mana cembung n-gon secara berurutan satu demi satu, maka hasilnya akan tepat pada keseluruhan satah.

Fakta menarik ini boleh digambarkan seperti berikut. Mari kita kurangkan secara berkadar semua sisi beberapa poligon cembung sehingga ia bergabung menjadi satu titik. Selepas ini berlaku, semua sudut luaran akan diketepikan antara satu sama lain dan dengan itu memenuhi seluruh satah.

Fakta yang menarik, bukan? Dan terdapat banyak fakta sedemikian dalam geometri. Jadi belajar geometri, anak-anak sekolah yang dikasihi!

Bahan tentang jumlah sudut poligon cembung adalah sama dengan telah disediakan oleh Sergey Valerievich

Patah

Definisi

garis putus, atau ringkasnya, garis putus, ialah jujukan segmen terhingga supaya salah satu hujung segmen pertama berfungsi sebagai hujung segmen kedua, hujung satu lagi segmen kedua berfungsi sebagai hujung segmen ketiga, dsb. Dalam kes ini, segmen bersebelahan tidak terletak pada garis lurus yang sama. Segmen ini dipanggil pautan garis putus.

Jenis polyline

Garis putus dipanggil tertutup, jika permulaan segmen pertama bertepatan dengan penghujung segmen terakhir.

Garis yang putus boleh melintasi dirinya sendiri, menyentuh dirinya sendiri atau bertindih dengan dirinya sendiri. Sekiranya tidak ada singulariti sedemikian, maka garis putus itu dipanggil ringkas.

Poligon

Definisi

Garis putus-putus tertutup ringkas bersama-sama dengan bahagian satah yang dibatasi olehnya dipanggil poligon.

Komen

Pada setiap bucu poligon, sisinya menentukan sudut tertentu poligon. Ia boleh sama ada kurang berkembang atau lebih berkembang.

Harta benda

Setiap poligon mempunyai sudut kurang daripada $180^\circ$.

Bukti

Biarkan poligon $P$ diberikan.

Mari kita lukis beberapa garis lurus yang tidak bersilang. Kami akan mengalihkannya selari dengan poligon. Pada satu ketika, buat pertama kalinya kita akan memperoleh garis lurus $a$ yang mempunyai sekurang-kurangnya satu titik sepunya dengan poligon $P$. Poligon terletak pada satu sisi garis ini (beberapa titiknya terletak pada garis $a$).

Garis $a$ mengandungi sekurang-kurangnya satu bucu poligon. Dua sisinya, terletak pada satu sisi garisan $a$, menumpu di dalamnya (termasuk kes apabila salah satu daripadanya terletak pada garisan ini). Ini bermakna bahawa pada bucu ini sudutnya kurang daripada yang terbentang.

Definisi

Poligon itu dipanggil cembung, jika ia terletak pada satu sisi setiap baris yang mengandungi sisinya. Jika poligon bukan cembung, ia dipanggil tidak cembung.

Komen

Poligon cembung ialah persilangan separuh satah yang dibatasi oleh garisan yang mengandungi sisi poligon.

Sifat poligon cembung

Poligon cembung mempunyai semua sudut kurang daripada $180^\circ$.

Segmen garis yang menghubungkan mana-mana dua titik poligon cembung (khususnya, mana-mana pepenjurunya) terkandung dalam poligon ini.

Bukti

Jom buktikan harta pertama

Ambil mana-mana sudut $A$ poligon cembung $P$ dan sisinya $a$ datang daripada bucu $A$. Biarkan $l$ ialah garisan yang mengandungi sisi $a$. Oleh kerana poligon $P$ ialah cembung, ia terletak pada satu sisi garisan $l$. Akibatnya, sudut $A$ juga terletak pada satu sisi garisan ini. Ini bermakna sudut $A$ adalah kurang daripada sudut yang dibangunkan, iaitu kurang daripada $180^\circ$.

Mari kita buktikan harta kedua

Ambil mana-mana dua titik $A$ dan $B$ bagi poligon cembung $P$. Poligon $P$ ialah persilangan beberapa satah separuh. Segmen $AB$ terkandung dalam setiap separuh satah ini. Oleh itu, ia juga terkandung dalam poligon $P$.

Definisi

Diagonal poligon dipanggil segmen yang menghubungkan bucu bukan bersebelahan.

Teorem (tentang bilangan pepenjuru n-gon)

Bilangan pepenjuru bagi cembung $n$-gon dikira dengan formula $\dfrac(n(n-3))(2)$.

Bukti

Daripada setiap bucu n-gon adalah mungkin untuk melukis pepenjuru $n-3$ (anda tidak boleh melukis pepenjuru ke bucu jiran atau ke bucu ini sendiri). Jika kita mengira semua segmen yang mungkin sedemikian, maka akan ada $n\cdot(n-3)$ daripadanya, kerana terdapat $n$ bucu. Tetapi setiap pepenjuru akan dikira dua kali. Oleh itu, bilangan pepenjuru n-gon adalah sama dengan $\dfrac(n(n-3))(2)$.

Teorem (tentang jumlah sudut n-gon)

Jumlah sudut cembung $n$-gon ialah $180^\circ(n-2)$.

Bukti

Pertimbangkan $n$-gon $A_1A_2A_3\ldots A_n$.

Mari kita ambil titik $O$ sembarangan di dalam poligon ini.

Jumlah sudut semua segi tiga $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, \ldots, $A_(n-1)OA_n$ adalah bersamaan dengan $180^\circ\cdot n$.

Sebaliknya, jumlah ini ialah hasil tambah semua sudut dalaman poligon dan jumlah sudut $\sudut O=\sudut 1+\sudut 2+\sudut 3+\ldots=30^\circ$.

Maka jumlah sudut $n$-gon yang sedang dipertimbangkan adalah sama dengan $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Akibat

Jumlah sudut bagi $n$-gon bukan cembung ialah $180^\circ(n-2)$.

Bukti

Pertimbangkan poligon $A_1A_2\ldots A_n$, yang satu-satunya sudut $\sudut A_2$ bukan cembung, iaitu $\sudut A_2>180^\circ$.

Mari kita nyatakan jumlah hasil tangkapannya sebagai $S$.

Mari kita sambungkan titik $A_1A_3$ dan pertimbangkan poligon $A_1A_3\ldots A_n$.

Jumlah sudut poligon ini ialah:

$180^\circum\cdot(n-1-2)=S-\sudut A_2+\sudut 1+\sudut 2=S-\sudut A_2+180^\circ-\sudut A_1A_2A_3=S+180^\circ-( \sudut A_1A_2A_3+\sudut A_2)=S+180^\circ-360^\circ$.

Oleh itu, $S=180^\circ\cdot(n-1-2)+180^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Jika poligon asal mempunyai lebih daripada satu sudut bukan cembung, maka operasi yang diterangkan di atas boleh dilakukan dengan setiap sudut tersebut, yang akan membawa kepada pernyataan dibuktikan.

Teorem (pada jumlah sudut luar bagi n-gon cembung)

Jumlah sudut luar bagi cembung $n$-gon ialah $360^\circ$.

Bukti

Sudut luar pada bucu $A_1$ bersamaan dengan $180^\circ-\angle A_1$.

Jumlah semua sudut luar adalah sama dengan:

$\sum\limits_(n)(180^\circ-\sudut A_n)=n\cdot180^\circ - \sum\limits_(n)A_n=n\cdot180^\circ - 180^\circ\cdot(n -2)=360^\circ$.