Материјалната точка се движи. Физичко значење на дериватот

Физичко значењедериват. Единствениот државен испит по математика опфаќа група задачи за решавање за кои е потребно познавање и разбирање на физичкото значење на дериватот. Конкретно, има проблеми каде што е даден законот за движење на одредена точка (објект), изразена со равенкатаи треба да ја пронајдете неговата брзина во одреден момент во времето на движење, или времето после кое предметот ќе добие одредена дадена брзина.Задачите се многу едноставни, тие можат да се решат во една акција. Значи:

Нека биде даден законот за движење материјална точка x(t) заедно координатна оска, каде што x е координатата на подвижната точка, t е време.

Брзината во одреден момент во времето е извод на координатата во однос на времето. Ова е она што механичка смисладериват.

Исто така, забрзувањето е дериват на брзината во однос на времето:

Така, физичкото значење на дериватот е брзина. Ова може да биде брзината на движење, брзината на промена на процесот (на пример, растот на бактериите), брзината на извршената работа (и така натаму, применети проблемиеден куп).

Покрај тоа, треба да ја знаете табелата за изводи (треба да ја знаете исто како и табелата за множење) и правилата за диференцијација. Поточно, за решавање на наведените проблеми, неопходно е познавање на првите шест деривати (види табела):

Ајде да ги разгледаме задачите:

x (t) = t 2 – 7t – 20

каде x t е времето во секунди измерено од почетокот на движењето. Најдете ја неговата брзина (во метри во секунда) во време t = 5 s.

Физичкото значење на дериватот е брзина (брзина на движење, брзина на промена на процес, брзина на работа итн.)

Да го најдеме законот за промена на брзината: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

На t = 5 имаме:

Одговор: 3

Одлучете сами:

Материјалната точка се движи праволиниски според законот x (t) = 6t 2 – 48t + 17, каде x- растојание од референтната точка во метри, т- време во секунди мерено од почетокот на движењето. Најдете ја неговата брзина (во метри во секунда) во време t = 9 s.

Материјалната точка се движи праволиниски според законот x (t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, каде xт- време во секунди мерено од почетокот на движењето. Најдете ја неговата брзина (во метри во секунда) во време t = 6 s.

Материјалната точка се движи праволиниско според законот

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

Каде x- растојание од референтната точка во метри,т- време во секунди мерено од почетокот на движењето. Најдете ја неговата брзина (во метри во секунда) во време t = 3 s.

Материјалната точка се движи праволиниско според законот

x(t) = (1/6)t 2 + 5t + 28

каде што x е растојанието од референтната точка во метри, t е времето во секунди, мерено од почетокот на движењето. Во кој момент од времето (во секунди) неговата брзина била еднаква на 6 m/s?

Ајде да го најдеме законот за промена на брзината:

Со цел да се открие во кој момент од времетотбрзината беше 3 m/s, потребно е да се реши равенката:

Одговор: 3

Одлучете сами:

Материјалната точка се движи праволиниски според законот x (t) = t 2 – 13t + 23, каде што x- растојание од референтната точка во метри, т- време во секунди мерено од почетокот на движењето. Во кој момент од времето (во секунди) неговата брзина била еднаква на 3 m/s?

Материјалната точка се движи праволиниско според законот

x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3

Каде x- растојание од референтната точка во метри, т- време во секунди мерено од почетокот на движењето. Во кој момент од времето (во секунди) неговата брзина била еднаква на 2 m/s?

Би сакал да забележам дека не треба да се фокусирате само на овој тип на задачи на Единствениот државен испит. Тие можат сосема неочекувано да воведат проблеми кои се спротивни од оние што се претставени. Кога ќе се даде законот за промена на брзината и прашањето ќе биде за наоѓање на законот за движење.

Совет: во овој случај, треба да го пронајдете интегралот на функцијата за брзина (ова е исто така проблем во еден чекор). Ако треба да го пронајдете поминатото растојание во одреден момент во времето, треба да го замените времето во добиената равенка и да го пресметате растојанието. Сепак, ние исто така ќе ги анализираме ваквите проблеми, не пропуштајте!Ти посакувам успех!

Со почит, Александар Крутицких.

P.S: Би ви бил благодарен ако ми кажете за страницата на социјалните мрежи.

Точката се движи праволиниски според законот S = t 4 + 2t (S -во метри, т-во секунди). Најдете го неговото просечно забрзување во интервалот помеѓу моментите t 1 = 5 s, t 2 = 7 s, како и неговото вистинско забрзување во моментот т 3 = 6 с.

Решение.

1. Најдете ја брзината на точката како извод на патеката S во однос на времето т,тие.

2. Заменувајќи ги наместо t неговите вредности t 1 = 5 s и t 2 = 7 s, ги наоѓаме брзините:

V 1 = 4 5 3 + 2 = 502 m/s; V 2 = 4 7 3 + 2 = 1374 m/s.

3. Определете го зголемувањето на брзината ΔV за времето Δt = 7 - 5 =2 s:

ΔV = V 2 - V 1= 1374 - 502 = 872 m/s.

4. Така, просечното забрзување на точката ќе биде еднакво на

5. За да ја одредиме вистинската вредност на забрзувањето на точката, го земаме изводот на брзината во однос на времето:

6. Замена наместо тоа твредност t 3 = 6 s, добиваме забрзување во овој момент во времето

a av =12-6 3 =432 m/s 2 .

Кривилинеарно движење.На кривилинеарно движењебрзината на точката се менува по големина и насока.

Ајде да замислиме точка М,кои за време Δt движејќи се по некои кривилинеарна траекторија, преместена на позиција М 1(сл. 6).

Вектор за зголемување (промена) на брзина ΔV ќе

За за да го пронајдете векторот ΔV, поместете го векторот V 1 до точката Ми конструирај триаголник за брзина. Да го одредиме векторот на просечното забрзување:

Вектор средае паралелна со векторот ΔV, бидејќи векторот се дели со скаларна количинанасоката на векторот не се менува. Вистинскиот вектор на забрзување е граница до која односот на векторот на брзината со соодветниот временски интервал Δt се стреми кон нула, т.е.

Оваа граница се нарекува векторски извод.

Така, вистинското забрзување на точка за време на криволинеарното движење е еднакво на векторскиот дериват во однос на брзината.

Од Сл. 6 јасно е дека векторот на забрзување при криволиниско движење секогаш е насочен кон вдлабнатината на траекторијата.

За погодност на пресметките, забрзувањето се распаѓа на две компоненти на траекторијата на движење: по тангента, наречена тангенцијално (тангенцијално) забрзување А, и долж нормалата, наречена нормално забрзување a n (сл. 7).

Во овој случај, вкупното забрзување ќе биде еднакво на

Тангенцијалното забрзување се совпаѓа во насока со брзината на точката или е спротивно од неа. Ја карактеризира промената на брзината и соодветно се одредува со формулата

Нормалното забрзување е нормално на правецот на брзината на точката и нумеричка вредностсе одредува со формулата

каде р - радиус на искривување на траекторијата во точката што се разгледува.

Бидејќи тангенцијалните и нормалното забрзување се меѓусебно нормални, затоа вредноста на вкупното забрзување се одредува со формулата

и неговата насока

Ако , тогаш векторите за тангенцијално забрзување и брзина се насочени во една насока и движењето ќе се забрза.

Ако , тогаш векторот на тангенцијално забрзување е насочен на страна, спротивно на векторотбрзина и движењето ќе биде бавно.

Вектор нормално забрзувањесекогаш насочен кон центарот на кривината, поради што се нарекува центрипетален.

− Наставник Думбаџе В.А.
од училиштето 162 од областа Киров во Санкт Петербург.

Нашата група VKontakte
Мобилни апликации:

(Каде x т- време во секунди мерено од почетокот на движењето). Најдете ја неговата брзина (во m/s) во моментот на времето т= 9 с.

На т= 9 s имаме:

Зошто го изоставуваме бројот 17 од првобитната равенка?

најдете го изводот на оригиналната функција.

во изводот нема број 17

Зошто да се најде изводот?

Брзината е извод на координати во однос на времето.

Проблемот бара од вас да ја пронајдете брзината

x- растојание од референтната точка во метри, т- време во секунди мерено од почетокот на движењето). Најдете ја неговата брзина во (m/s) во моментот на времето т= 6 с.

Ајде да го најдеме законот за промена на брзината:

(6)=3/2*36-6*6+2=54-38=16, а не 20

запомнете ја постапката

Од кога е подобро собирањето од одземањето?

Множењето има предност пред собирањето и одземањето. Запомнете ги детските училишен пример: 2 + 2 · 2. Дозволете ми да ве потсетам дека овде излегува не 8, како што мислат некои, туку 6.

Не го разбравте одговорот на гостинот.

1,5*36 — 6*6 + 2 = 54 — 36 + 2 = 18 + 2 = 20.

Значи се е точно, направете ја математиката сами.

2) множење/делење (зависи од редоследот во равенката; прво се решава она што е прво);

3) собирање/одземање (слично зависи од редоследот во примерот).

Множење = делење, собирање = одземање =>

Не 54 - (36+2), туку 54-36+2 = 54+2-36 = 20

Прво, за вас - Сергеј Баткович. Второ, дали разбра што сакаш да кажеш и кому? Не те разбрав.

Материјалната точка се движи праволиниски според законот (каде што x е растојанието од референтната точка во метри, t е времето во секунди измерено од почетокот на движењето). Најдете ја неговата брзина во (m/s) во време s.

Да го најдеме законот за промена на брзината: m/s. Кога имаме:

Час на тема: „Правила на диференцијација“, 11 одделение

Секции:Математика

Тип на лекција: генерализација и систематизација на знаењето.

Цели на лекцијата:

едукативни:
- генерализира и систематизира материјалот на тема наоѓање на дериватот;
- да се консолидираат правилата за диференцијација;
- да им го открие на студентите политехничкото и применетото значење на темата;
развивање:
- врши контрола врз стекнувањето знаења и вештини;
- развивање и подобрување на способноста за примена на знаењето во променета ситуација;
- развиваат култура на говор и способност за донесување заклучоци и генерализирање;
едукативни:
- развивање на когнитивниот процес;
- Да се всади кај учениците точност во дизајнот и одлучноста.

Опрема:

надземен проектор, екран;
картички;
компјутери;
маса;
диференцирани задачи во вид на мултимедијални презентации.

I. Проверка на домашната задача.

1. Слушајте ги извештаите на учениците за примери за употреба на деривати.

2. Размислете за примери за употреба на деривати во физиката, хемијата, инженерството и другите области предложени од студентите.

II. Ажурирање на знаењето.

Наставник:

Дефинирајте го изводот на функцијата.
Која операција се нарекува диференцијација?
Кои правила за диференцијација се користат при пресметување на изводот? (Посакуваните студенти се поканети да дојдат на одборот).
- дериват на збирот;
- дериват на делото;
- дериват кој содржи константен фактор;
- дериват на количник;
- дериват на сложена функција;
Наведете примери на применети проблеми кои водат до концептот на извод.

Голем број посебни проблеми од различни области на науката.

Задача бр. 1.Телото се движи права линија според законот x(t). Запишете ја формулата за наоѓање на брзината и забрзувањето на телото во времето t.

Задача бр. 2.Радиусот на кругот R варира според законот R = 4 + 2t 2. Одреди ја брзината со која се менува неговата површина Вмомент t = 2 s. Радиусот на кругот се мери во сантиметри. Одговор: 603 cm 2 /s.

Задача бр.3.Материјална точка со маса од 5 kg се движи праволиниски според законот

S(t) = 2t+ , каде С- растојание во метри, т– време во секунди. Најдете ја силата што дејствува на точката во моментот t = 4 с.

Одговор:Н.

Задача бр.4.Замаецот, кој се држи за сопирачката, се врти позади т спод агол од 3t - 0,1t 2 (rad). Најдете:

а) аголна брзина на вртење на замаецот во моментот t = 7 Со;
б) во кој момент ќе застане замаецот.

Одговор:а) 2,86; б) 150 с.

Примерите за користење на деривати може да вклучуваат и проблеми со наоѓање: специфичен топлински капацитетсупстанции дадено тело, линеарна густина и кинетичка енергија на телото итн.

III. Извршување на диференцирани задачи.

Оние кои сакаат да ги завршат задачите на ниво „А“ седнуваат на компјутер и пополнуваат тест со програмиран одговор. ( Апликација. )

1. Најдете ја вредноста на изводот на функцијата во точката x 0 = 3.

2. Најдете ја вредноста на изводот на функцијата y = xe x во точката x 0 = 1.

1) 2e;
2) д;
3) 1 + e;
4) 2 + д.

3. Решете ја равенката f / (x) = 0 ако f (x) = (3x 2 + 1)(3x 2 – 1).

1) ;
2) 2;
3) ;
4) 0.

4. Пресметај f/(1) ако f(x) = (x 2 + 1)(x 3 – x).

5. Најдете ја вредноста на изводот на функцијата f(t) = (t4 – 3)(t2 + 2) во точката t0 = 1.

6. Точката се движи праволиниско според законот: S(t) = t 3 – 3t 2. Изберете формула која ја одредува брзината на движење на оваа точка во времето t.

1) t 2 – 2t;
2) 3t 2 – 3t;
3) 3t 2 – 6t;
4) t 3 + 6t.

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Примена на деривати во физиката, технологијата, биологијата, животот

Презентација за лекцијата

Внимание! Прегледите на слајдовите се само за информативни цели и може да не ги претставуваат сите карактеристики на презентацијата. Ако си заинтересиран оваа работа, ве молиме преземете ја целосната верзија.

Тип на лекција:интегриран.

Целта на лекцијата:проучи некои аспекти од примената на дериватите во различни областифизика, хемија, биологија.

Задачи:проширување на хоризонтите и когнитивна активностстуденти, развој логично размислувањеи способност да го применат своето знаење.

Техничка поддршка: интерактивна табла; компјутер и диск.

I. Организациски момент

II. Поставување цел на лекцијата

– Би сакал да одржам лекција под мотото на Алексеј Николаевич Крилов, советски математичар и бродоградител: „Теоријата без пракса е мртва или бескорисна, практиката без теорија е невозможна или штетна“.

– Да ги разгледаме основните концепти и да одговориме на прашањата:

– Кажи ми ја основната дефиниција за дериват?
– Што знаете за изводот (својства, теореми)?
– Дали знаете некои примери на проблеми со користење на деривати во физиката, математиката и биологијата?

Разгледување на основната дефиниција за дериват и неговото образложение (одговор на првото прашање):

Дериват – еден од основните поими на математиката. Способноста да се решаваат проблеми со користење на деривати бара добро познавање теоретски материјал, способност за спроведување на истражување во различни ситуации.

Затоа, денес на лекцијата ќе го консолидираме и систематизираме стекнатото знаење, ќе ја разгледаме и вреднуваме работата на секоја група и, користејќи го примерот на некои проблеми, ќе покажеме како да решаваме други проблеми користејќи го изводот и нестандардни задачикористејќи деривати.

III. Објаснување на нов материјал

1. Моменталната моќност е дериват на работата во однос на времето:

W = lim ΔA/Δt ΔA -промена на работното место.

2. Ако некое тело ротира околу оска, тогаш аголот на ротација е функција на времето т
Потоа аголна брзинае еднакво на:

W = lim Δφ/Δt = φ׳(t) Δ т → 0

3. Јачината на струјата е дериват Ι = lim Δg/Δt = g′,Каде е– позитивен електричен полнеж пренесен низ пресекот на проводникот со текот на времето Δt.

4. Нека ΔQ– количината на топлина потребна за промена на температурата во Δtвреме, тогаш lim ΔQ/Δt = Q′ = C –специфична топлина.

5. Проблем за брзината на хемиската реакција

m(t) – m(t0) –количина на супстанција која реагира со текот на времето t0пред т

V= lim Δm/Δt = m Δt → 0

6. Нека m е маса радиоактивна супстанција. Стапка на радиоактивно распаѓање: V = lim Δm/Δt = m׳(t) Δt→0

Во диференцирана форма, законот за радиоактивно распаѓање има форма: dN/dt = – λN,Каде Н– број на јадра кои немаат време на распаѓање т.

Интегрирајќи го овој израз, добиваме: dN/N = – λdt ∫dN/N = – λ∫dt lnN = – λt + c, c = constна t = 0број на радиоактивни јадра N = N0, од тука имаме: ln N0 = конст,оттука

n N = – λt + ln N0.

Потенцирајќи го овој израз добиваме:

– законот за радиоактивно распаѓање, каде N0– број на јадра во исто време t0 = 0, N– број на јадра кои не се распаднале со текот на времето т.

7. Според Њутновата равенка за пренос на топлина, брзината на протокот на топлина dQ/dtе директно пропорционална на површината на прозорецот S и температурната разлика ΔT помеѓу внатрешното и надворешното стакло и обратно пропорционална на неговата дебелина d:

dQ/dt =A S/d ΔT

8. Феноменот на дифузија е процес на воспоставување на рамнотежна дистрибуција

Во фази на концентрација. Дифузијата оди на страна, израмнувајќи ги концентрациите.

m = D Δc/Δx c –концентрација
m = D c x x -координира, Д -коефициент на дифузија

9. Се знаеше дека и електричното поле возбудува електрични полнежи, или магнетно поле кое има единствен извор - електрична струја. Џејмс Кларк Максвел воведе еден амандман на законите на електромагнетизмот откриени пред него: магнетно поле се појавува и кога се менува електрично поле. Еден навидум мал амандман имаше огромни последици: сосема нов физички објект – електромагнетен бран. Максвел мајсторски, за разлика од Фарадеј, кој мислеше дека неговото постоење е можно, ја изведе равенката за електричното поле:

∂E/∂x = M∂B/Mo ∂t Mo = const t

Промената на електричното поле предизвикува појава магнетно полево која било точка во вселената, со други зборови, брзината на промена на електричното поле ја одредува големината на магнетното поле. Под големиот електричен шок– поголемо магнетно поле.

IV. Консолидација на наученото

– Јас и ти го проучувавме дериватот и неговите својства. Би сакал да читам филозофска изјаваГилберт: „Секој човек има одреден поглед. Кога овој хоризонт се стеснува на бесконечно мало, тој се претвора во точка. Тогаш лицето вели дека ова е негово гледиште“.
Ајде да се обидеме да го измериме гледиштето за примената на дериватот!

заплетот на „Лист“(употреба на дериват во биологија, физика, живот)

Сметајте го падот како нерамномерно движењезависни од времето.

Значи: S = S(t) V = S′(t) = x′(t), a = V′(t) = S″(t)

(Теоретско истражување: механичко значење на дериват).

1. Решавање на проблем

Решете ги проблемите сами.

2. F = ma F = mV′ F = mS″

Дозволете ни да го запишеме Законот II на Портон и земајќи го предвид механичкото значење на дериватот, го препишуваме во форма: F = mV′ F = mS″

Заплетот на „Волци, гофери“

Да се вратиме на равенките: Размислете за диференцијалните равенки на експоненцијален раст и намалување: F = ma F = mV' F = mS"
Решавање на многу физички проблеми, техничка биологијаИ општествени наукисе сведуваат на проблемот со наоѓање функции f"(x) = kf(x),задоволувајќи ја диференцијалната равенка, каде k = конст .

Човечка формула

Едно лице е толку пати поголемо од атом колку што е помало од ѕвезда:

Го следи тоа
Ова е формулата што го одредува местото на човекот во универзумот. Во согласност со него, големината на една личност ја претставува просечната пропорционалност на ѕвезда и атом.

Би сакал да ја завршам лекцијата со зборовите на Лобачевски: „Нема ниту една област на математика, колку и да е апстрактна, која еден ден нема да биде применлива за феномените на реалниот свет“.

В. Решение на броеви од збирката:

Независно решавање проблеми на табла, колективна анализа на решенија за проблеми:

№ 1 Најдете ја брзината на движење на материјална точка на крајот од 3-та секунда, ако движењето на точката е дадено со равенката s = t^2 –11t + 30.

№ 2 Точката се движи праволиниски според законот s = 6t – t^2. Во кој момент ќе биде неговата брзина еднаква на нула?

№ 3 Две тела се движат праволиниски: едното според законот s = t^3 – t^2 – 27t, другото според законот s = t^2 + 1. Определи го моментот кога брзините на овие тела ќе испаднат еднакви .

№ 4 За автомобил кој се движи со брзина од 30 m/s, растојанието на сопирање се одредува со формулата s(t) = 30t-16t^2, каде што s(t) е растојанието во метри, t е времето на сопирање во секунди. . Колку време е потребно за сопирање додека автомобилот целосно да застане? Кои растојанието ќе одиавтомобилот од почетокот на сопирањето додека не запре целосно?

№5 Тело тешко 8 kg се движи праволиниско според законот s = 2t^2+ 3t – 1. Најдете ја кинетичката енергија на телото (mv^2/2) 3 секунди по почетокот на движењето.

Решение: Ајде да ја најдеме брзинатадвижења на телото во секое време:
V = ds / dt = 4t + 3
Да ја пресметаме брзината на телото во времето t = 3:
V t=3 = 4 * 3 + 3=15 (m/s).
Дозволете ни да ја одредиме кинетичката енергија на телото во време t = 3:
mv2/2 = 8 – 15^2 /2 = 900 (J).

№6 Најдете ја кинетичката енергија на телото 4 секунди по почетокот на движењето, ако неговата маса е 25 kg, а законот за движење има форма s = 3t^2- 1.

№7 Тело чија маса е 30 kg се движи праволиниско според законот s = 4t^2 + t. Докажете дека движењето на телото настанува под дејство на постојана сила.
Решение: Имаме s’ = 8t + 1, s” = 8. Затоа, a(t) = 8 (m/s^2), т.е., со овој закон на движење, телото се движи со постојано забрзување 8 m/s^2. Понатаму, бидејќи масата на телото е константна (30 kg), тогаш, според вториот закон на Њутн, силата што дејствува на него F = ma = 30 * 8 = 240 (H) е исто така константна вредност.

№8 Тело тешко 3 kg се движи праволиниско според законот s(t) = t^3 – 3t^2 + 2. Најдете ја силата што дејствува на телото во времето t = 4s.

№9 Материјална точка се движи според законот s = 2t^3 – 6t^2 + 4t. Најдете го неговото забрзување на крајот од 3-та секунда.

VI. Примена на дериватот во математиката:

Дериватот во математиката покажува нумерички изразстепенот на промена на количина која се наоѓа во иста точка под влијание на различни услови.

Дериватната формула датира од 15 век. Големиот италијански математичар Тартаљи, разгледувајќи го и развивајќи го прашањето колку опсегот на летот на проектил зависи од наклонот на пиштолот, го применува во своите дела.

Дериватната формула често се наоѓа во делата познати математичари 17 век. Ја користеле Њутн и Лајбниц.

Познатиот научник Галилео Галилеј посветува цел трактат за улогата на дериватите во математиката. Тогаш дериватот и различните презентации со неговата примена почнаа да се наоѓаат во делата на Декарт, францускиот математичар Робервал и Англичанецот Грегори. Голем придонес во проучувањето на дериватот дадоа такви умови како L'Hopital, Bernoulli, Langrange и други.

1. Нацртајте график и испитајте ја функцијата:

Решение за овој проблем:

Момент на релаксација

VII. Примена на дериватот во физиката:

При проучување на одредени процеси и појави, често се јавува задача да се одреди брзината на овие процеси. Неговото решение води до концептот на дериват, кој е главниот концепт диференцијална пресметка.

Методот на диференцијално пресметување е создаден во 17 и 18 век. Имињата на двајца големи математичари - I. Newton и G.V. - се поврзани со појавата на овој метод. Лајбниц.

Њутн дошол до откривање на диференцијалната пресметка кога решавал проблеми за брзината на движење на материјална точка во овој моментвреме (моментална брзина).

Во физиката, дериватот се користи главно за пресметување на најголемите или најниски вредностибило какви количини.

№1 Потенцијална енергија Уполето на честичка во која има друга, точно иста честичка има форма: U = a/r 2 – б/р, Каде аИ б- позитивни константи, р- растојание помеѓу честичките. Најдете: а) вредност r0што одговара на положбата на рамнотежа на честичката; б) дознајте дали оваа ситуација е стабилна; V) Fmaxвредноста на силата на привлекување; г) прикажува примероци на графиконизависности U(r)И F(r).

Решение за овој проблем: Да се утврди r0што одговара на рамнотежната положба на честичката што ја проучуваме f = U(r)до крајност.

Користење на врската помеѓу потенцијална енергијаполиња

УИ Ф, Потоа F = – dU/dr, добиваме F = – dU/dr = – (2a/r3+ b/r2) = 0; при што r = r0; 2a/r3 = b/r2 => r0 = 2a/b; Одржливи или нестабилна рамнотежаодредуваме со знакот на вториот дериват:
d2U/dr02= dF/dr0 = – 6a/r02 + 2b/r03 = – 6a/(2a/b)4 + 2b/(2a/b)3 = (– b4/8a3) 2 = FM / (M + µt ) 2

Размислете за случајот кога песок се истура од наполнета платформа.
Промена на моментумот за краток временски период:
Δ p = (M – µ(t + Δ т))(u+ Δ у) +Δ µtu – (M – µt)u = FΔ т
Поим Δ µtuе импулсот на количината на песок што се излеа од платформата за време Δ т.Потоа:
Δ стр = МΔ u – µtΔ ти - Δ µtΔ u = FΔ т
Поделете со Δ ти преминете на границата Δ т → 0
(M – µt)du/dt = F
Или a1= du/dt= F/(M – µt)

Одговор: a = FM / (M + µt) 2, a1= F/(M – µt)

VIII. Самостојна работа:

Најдете деривати на функции:

Правата y = 2x е тангента на функцијата: y = x 3 + 5x 2 + 9x + 3. Најдете ја апсцисата на точката на тангенција.

IX. Сумирајќи ја лекцијата:

– На кои прашања беше посветена лекцијата?
– Што научивте на лекцијата?
– Кои теоретски факти беа сумирани на часот?
– Кои задачи се сметаа за најтешки? Зошто?

Библиографија:

Амелкин В.В., Садовски А.П. Математички моделии диференцијални равенки. – Минск: Факултетот, 1982. – 272 стр.
Амелкин В.В.Диференцијални равенки во апликации. М.: Наука. Главна редакција на физичко-математичката литература, 1987. – 160 стр.
Еругин Н.П.Книга за читање општ курс диференцијални равенки. – Минск: Наука и технологија, 1979. – 744 стр.
.Списание „Потенцијал“ ноември 2007 година бр.11
„Алгебра и принципи на анализа“ 11 одделение С.М. Николски, М.К. Потапов и други.
„Алгебра и математичка анализа“ Н.Ја. Виленкин и сор.
„Математика“ В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловеичик, 1991 година

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Физичко значење на дериватот. Задачи!

Физичко значење на дериватот. Единствениот државен испит по математика опфаќа група задачи за решавање за кои е потребно знаење и разбирање на физичкото значење на дериватот. Конкретно, има проблеми каде што е даден законот за движење на одредена точка (објект), изразен со равенка, и се бара да се најде неговата брзина во одреден момент во времето на движење, или времето по кое предметот ќе добие одредена дадена брзина. Задачите се многу едноставни, тие можат да се решат во една акција. Значи:

Нека е даден законот за движење на материјалната точка x (t) долж координатната оска, каде x е координатата на подвижната точка, t е време.

Брзината во одреден момент во времето е извод на координатата во однос на времето. Ова е механичкото значење на дериватот.

Исто така, забрзувањето е дериват на брзината во однос на времето:

Така, физичкото значење на дериватот е брзина. Ова може да биде брзината на движење, брзината на промена на процесот (на пример, растот на бактериите), брзината на работа (и така натаму, има многу применети проблеми).

x (t) = t 2 – 7t – 20

каде што x е растојанието од референтната точка во метри, t е времето во секунди, мерено од почетокот на движењето. Најдете ја неговата брзина (во метри во секунда) во време t = 5 s.

Физичкото значење на дериватот е брзина (брзина на движење, брзина на промена на процес, брзина на работа итн.)

Да го најдеме законот за промена на брзината: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

Материјалната точка се движи праволиниски според законот x (t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, каде x- растојание од референтната точка во метри, т- време во секунди мерено од почетокот на движењето. Најдете ја неговата брзина (во метри во секунда) во време t = 6 s.

Материјалната точка се движи праволиниско според законот

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

Каде x- растојание од референтната точка во метри, т- време во секунди мерено од почетокот на движењето. Најдете ја неговата брзина (во метри во секунда) во време t = 3 s.

Материјалната точка се движи праволиниско според законот

x(t) = (1/6)t 2 + 5t + 28

Ајде да го најдеме законот за промена на брзината:

Со цел да се открие во кој момент од времето тбрзината беше 3 m/s, потребно е да се реши равенката:

Материјалната точка се движи праволиниско според законот

x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3

matematikalegko.ru

Алгебра и почетоци математичка анализа, 11 одделение (С. М. Николски, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин) 2009 г.

страна бр.094.

Тетратка:

OCR верзија на страницата од учебникот (текст на страницата лоцирана погоре):

Како што следува од проблемите разгледани на почетокот на овој став, следните изјави се вистинити:

1. Доколку на директно движењепатеката s што ја минува точка е функција од времето t, т.е. s = f(t), тогаш брзината на точката е изводот на патеката во однос на времето, т.е. v(t) =

Овој факт го изразува механичкото значење на дериватот.

2. Ако во точката x 0 е нацртана тангента на графикот на функцијата y = f (jc), тогаш бројот f"(xo) е тангента на аголот a помеѓу оваа тангента и позитивната насока на оската Ox , т.е. /"(x 0) =

Тга. Овој агол се нарекува тангентен агол.

Овој факт изразува геометриско значењедериват.

ПРИМЕР 3. Да ја најдеме тангентата на аголот на наклонот на тангентата на графикот на функцијата y = 0,5jc 2 - 2x + 4 во точката со апсциса x = 0.

Да го најдеме изводот на функцијата f(x) = 0,5jc 2 - 2x + 4 во која било точка x, користејќи еднаквост (2):

0,5 2 x - 2 = jc - 2.

Да ја пресметаме вредноста на овој извод во точката x = 0:

Затоа tga = -2. X графикот на функцијата y = /(jc) и тангентата на нејзиниот график во точката со апсциса jc = 0 се прикажани на слика 95.

4.1 Нека точката се движи праволиниско според законот s = t 2. Најдете:

а) временско зголемување D£ во временскиот интервал од t x = 1 до £ 2 - 2;

б) зголемување на патеката Како во текот на временскиот период од t x = 1 до t 2 = 2;

V) просечна брзинаво временскиот интервал од t x = 1 до t 2 = 2.

4.2 Во задачата 4.1 најдете:

б) просечна брзина во временскиот интервал од t до t + At;

V) моментална брзинаво времето t;

г) моментална брзина во време t = 1.

4.3 Нека точката се движи праволиниско според законот:

1) s = 3t + 5; 2) s = t 2 - bt.

а) зголемување на патеката Како во текот на временскиот период од t до t + At;

Тетратка:Алгебра и почеток на математичка анализа. 11 одделение: воспитно. за општо образование институции: основни и профил. нивоа / [С. М. Николски, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин]. - 8-ми изд. - М.: Образование, 2009. - 464 стр.: ill.