ಮಾಧ್ಯಮಿಕ ಶಾಲಾ ಗಣಿತ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳು

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆ

ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ

ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಲಹೆಗಾರ:

ಪುರಸಭೆಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆ

ಪೆರ್ವೊಮೈಸ್ಕಯಾ ಮಾಧ್ಯಮಿಕ ಶಾಲೆ

ಜೊತೆಗೆ. ಕಿಚ್ಮೆಂಗ್ಸ್ಕಿ ಟೌನ್

ಸೇಂಟ್ ಜರೆಚ್ನಾಯಾ 38

ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ಕೆಲಸವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಮೀಸಲಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಸ್ತುತತೆ: ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿನ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಇದರೊಂದಿಗೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ತಾರತಮ್ಯ. ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಅಂತಹ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಹಾರವು ಬಹಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಮಹತ್ವ:ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳುಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದು.

ವಸ್ತು ಪ್ರದೇಶ: ಗಣಿತ. ಸಂಶೋಧನೆಯ ವಸ್ತು: ಬೀಜಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯೆಗಳು. ಸಂಶೋಧನೆಯ ವಿಷಯ- ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಸಮಸ್ಯೆ: ಗಣಿತದ ಕೋರ್ಸ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಲಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮಾಧ್ಯಮಿಕ ಶಾಲೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಕಾರ್ಯಯೋಜನೆಗಳುಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ. ಕಲ್ಪನೆ:ಮಾಧ್ಯಮಿಕ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನೀವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಗುರಿ:ಮಾಧ್ಯಮಿಕ ಶಾಲೆಯ 10 ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಗಣಿತವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು. ಕಾರ್ಯಗಳು: 1. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿ 2. 10 ನೇ ತರಗತಿಯ ಗಣಿತ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. 3. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿ ಮತ್ತು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರಗಳಿಗಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳುಸಾಕಷ್ಟು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದಂತೆ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವುದು ಸಹಜ, ಇದು ಸಂಖ್ಯೆ..gif" width="10" height="65 src="> ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ವಿಸ್ತರಣೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ.

https://pandia.ru/text/78/027/images/image005_18.gif" width="10" height="62">.gif" width="97" height="28 src=">

ಸಾಮಾನ್ಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಅಂತಹ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಲು ನೀವು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ

1572 ರಲ್ಲಿ, ಇಟಾಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಆರ್. ಬೊಂಬೆಲ್ಲಿ ಅವರ ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಯಿತು, ಅದರಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗೆ ಮೊದಲ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಯಿತು, ಅವುಗಳಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯುವವರೆಗೆ ಘನ ಬೇರುಗಳು. "ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು" ಎಂಬ ಹೆಸರನ್ನು 1637 ರಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು. ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಮತ್ತು ತತ್ವಜ್ಞಾನಿ ಆರ್. ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್, ಮತ್ತು 1777 ರಲ್ಲಿ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಗಣಿತಜ್ಞರು VIIIಶತಮಾನ X..gif" width="58" height="19"> 10 ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಗಣಿತವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಳಕೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ. ಸಂಖ್ಯೆ x, ಅದರ ವರ್ಗವು –1 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ , . ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ " href="/text/category/8_klass/" rel = "bookmark">8ನೇ ತರಗತಿ.- M.: ಶಿಕ್ಷಣ, 1994.-P.134-139.

2. ವಿಶ್ವಕೋಶ ನಿಘಂಟುಯುವ ಗಣಿತಜ್ಞ / ಕಾಂಪ್. ಇ-68. - ಎಂ.: ಶಿಕ್ಷಣಶಾಸ್ತ್ರ, 19 ಸಿ

ಪ್ರಕಟಣೆಯ ಪಠ್ಯ ಭಾಗ

ವಿಷಯ
ಪರಿಚಯ ………………………………………………………………..3 ಅಧ್ಯಾಯ I. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಇತಿಹಾಸದಿಂದ ……………………………… …………………………………………. 4 ಅಧ್ಯಾಯ II. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಧಾನದ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳು………………………………………… 6 ಅಧ್ಯಾಯ III. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನದ ರೇಖಾಗಣಿತ ………………………………12 ಅಧ್ಯಾಯ IV. ಪರಿಹಾರ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳುಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿವಿಧ ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್‌ಗಳು …………………………………………………………………… 20 ತೀರ್ಮಾನ ……………………………… ……………………………………………….24 ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ………………………………………………………………..25

ಪರಿಚಯ
ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಅದರ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ತಿಳಿದಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ, ಚಲನೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಹೋಲಿಕೆಗಳು, ಹಾಗೆಯೇ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಿಕಲ್ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ, ವಿವಿಧ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಮತ್ತು ದೈಹಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು. ಪ್ಲಾನಿಮೆಟ್ರಿಯಲ್ಲಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿಧಾನವು ರೆಡಿಮೇಡ್ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೇರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಮೂಲಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಇದು ಈ ವಿಧಾನದ ಸರಳತೆಯಾಗಿದೆ ಸಮನ್ವಯ ವಿಧಾನಗಳು, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ರೂಪಾಂತರಗಳ ವಿಧಾನದಿಂದ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಗಣನೀಯ ಬುದ್ಧಿವಂತಿಕೆ ಮತ್ತು ಸುದೀರ್ಘ ಹುಡುಕಾಟಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಹಲವಾರು ಸಹಸ್ರಮಾನಗಳಿಂದ, ತ್ರಿಕೋನವು ರೇಖಾಗಣಿತದ ಸಂಕೇತವಾಗಿದೆ. ತ್ರಿಕೋನವು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಪರಮಾಣು ಎಂದು ಸಹ ನೀವು ಹೇಳಬಹುದು. ಯಾವುದೇ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನವು ಅದರ ಘಟಕಗಳ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಬರುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಕೋನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವಾಗ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಧಾನವು ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡೋಣ ಶಾಲೆಯ ಕೋರ್ಸ್ಪ್ಲಾನಿಮೆಟ್ರಿ, ಹಾಗೆಯೇ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಸಿ -4 ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು. 2

ಅಧ್ಯಾಯ I. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಇತಿಹಾಸದಿಂದ,,
ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ, ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಕೃತಿ “ಗ್ರೇಟ್ ಆರ್ಟ್, ಅಥವಾ ಎಬೌಟ್” ನಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗಿದೆ ಬೀಜಗಣಿತ ನಿಯಮಗಳು»ಕಾರ್ಡಾನೊ (1545), ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಔಪಚಾರಿಕ ಪರಿಹಾರದ ಭಾಗವಾಗಿ 10 ಮತ್ತು ಗುಣಿಸಿದಾಗ 40 ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಾಗಿ, ಅವರು ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆದರು ಮತ್ತು ಅದರ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರು: 5 + √ - 15 ಮತ್ತು 5 - √ - 15 . ನಿರ್ಧಾರದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ, ಅವರು ಬರೆದಿದ್ದಾರೆ: “ಇವು ಅತ್ಯಂತ ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಮಾಣಗಳುನಿಷ್ಪ್ರಯೋಜಕ, ಆದರೂ ಬಹಳ ಬುದ್ಧಿವಂತ" ಮತ್ತು "ಅಂಕಗಣಿತದ ಪರಿಗಣನೆಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತವೆ, ಅದು ನಿಷ್ಪ್ರಯೋಜಕವಾಗಿರುವಷ್ಟು ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾದ ಮಿತಿಯನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ." ಒಂದು ಘನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆ, ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಲಾಗದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ (ಬಹುಪದಿಯ ನೈಜ ಬೇರುಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದಾಗ ಘನ ಬೇರುಗಳುಕಾಲ್ಪನಿಕ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ), ಮೊದಲು ಬೊಂಬೆಲ್ಲಿ (1572) ವಿವರಿಸಿದರು. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಅವರು ಮೊದಲಿಗರಾಗಿದ್ದರು, ಆದರೆ ಇನ್ನೂ ಅವುಗಳನ್ನು ಅನುಪಯುಕ್ತ ಮತ್ತು ಕುತಂತ್ರದ "ಆವಿಷ್ಕಾರ" ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಎ + ಬಿ √ - 1 ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು, ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಘನ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ರಲ್ಲಿ "ಕಾಲ್ಪನಿಕ" ಎಂದು ಕರೆಯಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿತು XVI-XVII ಶತಮಾನಗಳುಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್‌ನ ಪ್ರಚೋದನೆಯಿಂದ, ಅವರನ್ನು ಹಾಗೆ ಕರೆದರು, ಅವರ ನೈಜತೆಯನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಇತರ ಅನೇಕ ಪ್ರಮುಖರಿಗೆ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು XVIIಶತಮಾನಗಳಿಂದ, ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಸ್ವರೂಪ ಮತ್ತು ಹಕ್ಕು ಬಹಳ ಅನುಮಾನಾಸ್ಪದವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅವರು ಅನುಮಾನಾಸ್ಪದವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದರು. ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಮತ್ತು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಕೂಡ. ಇದರ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಗಣಿತಜ್ಞರು ಧೈರ್ಯದಿಂದ ಅರ್ಜಿ ಸಲ್ಲಿಸಿದರು ಔಪಚಾರಿಕ ವಿಧಾನಗಳುನೈಜ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಬೀಜಗಣಿತಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದವುಗಳು, ಮಧ್ಯಂತರ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದವುಗಳಿಂದಲೂ ಸರಿಯಾದ ನೈಜ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡವು, ಮತ್ತು ಇದು ಆತ್ಮವಿಶ್ವಾಸವನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲಿಲ್ಲ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಥವಾ ನೈಜ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆಯೇ ಅಥವಾ ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು ಇತರ ಕೆಲವು ಹೊಸ ಪ್ರಕಾರದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಆವಿಷ್ಕಾರಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು ಎಂಬುದು ದೀರ್ಘಕಾಲದವರೆಗೆ ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿತ್ತು. ಪದವಿ n ನಿಂದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆ ನೀಡಿದ ಸಂಖ್ಯೆಮೊಯಿವ್ರೆ (1707) ಮತ್ತು ಕೋಟ್ಸ್ (1722) ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಯೂಲರ್ (1777, ಪ್ರಕಟಿತ 1794) ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಪದದ ಮೊದಲ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರು. ಕಲ್ಪನೆ - ಕಾಲ್ಪನಿಕ. ಅವರು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಸೇರಿದಂತೆ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಡೊಮೇನ್‌ಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಎಂಬ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಯೂಲರ್ 1751 ರಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದನು. ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ (1747) ಅದೇ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬಂದರು, ಆದರೆ ಈ ಸತ್ಯದ ಮೊದಲ ಕಠಿಣ ಪುರಾವೆಯು ಗೌಸ್ (1799) ಗೆ ಸೇರಿದೆ. 1831 ರಲ್ಲಿ "ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಕೆಗೆ ತಂದವರು ಗೌಸ್, ಆದಾಗ್ಯೂ ಈ ಪದವನ್ನು ಈ ಹಿಂದೆ 1803 ರಲ್ಲಿ ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಲಾಜರೆ ಕಾರ್ನೋಟ್ ಅವರು ಅದೇ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಬಳಸಿದ್ದರು. 3
ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ (ಪ್ರಮಾಣಿತ) ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ (1837) ನಿರ್ಮಿಸಿದರು; ಇದು ಅವರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿತು. ಬಹಳ ಹಿಂದೆಯೇ, 1685 ರಲ್ಲಿ, "ಬೀಜಗಣಿತ" ಎಂಬ ತನ್ನ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ, ವಾಲಿಸ್ (ಇಂಗ್ಲೆಂಡ್) ಅದನ್ನು ತೋರಿಸಿದರು. ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣನೈಜ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ಅದು ಗಮನಕ್ಕೆ ಬರಲಿಲ್ಲ. ಮುಂದಿನ ಬಾರಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ವೆಸೆಲ್ (1799) ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡವು. ಆಧುನಿಕ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ "ಅರ್ಗಾಂಡ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು 1806 ಮತ್ತು 1814 ರಲ್ಲಿ J. R. ಅರ್ಗಾಂಡ್ ಅವರ ಕೆಲಸದ ಪ್ರಕಟಣೆಯ ನಂತರ ಬಳಕೆಗೆ ಬಂದಿತು, ಇದು ವೆಸೆಲ್ನ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿತು. "ಮಾಡ್ಯುಲಸ್", "ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್" ಮತ್ತು "ಸಂಯೋಜಕ ಸಂಖ್ಯೆ" ಪದಗಳನ್ನು ಕೌಚಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಶುದ್ಧ ಮರಣದಂಡನೆಗೆ ಸಹ ಸೂಕ್ತವೆಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಯಿತು. ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳುಸಮತಲದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆ, ಇದು ವೆಕ್ಟರ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಬಹಳವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸಿತು. 4

ಅಧ್ಯಾಯ II. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ ವಿಧಾನದ ಮೂಲಗಳು
[ 1 ]
,
[2], [3] [4] ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಆಯತಾಕಾರದ ಒಂದು ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಸಮತಲದ ಮೇಲಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ z = x+iy (i 2 = -1) ಸಮತಲದ M ಬಿಂದುದೊಂದಿಗೆ x, y (Fig. 1) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರಬಹುದು: z = x + iy ↔M (x, y ) ↔M (z) . ನಂತರ ಸಂಖ್ಯೆ z ಅನ್ನು M ಬಿಂದುವಿನ ಸಂಕೀರ್ಣ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲದ ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ಸಮತಲವನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಮತಲ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂಲ O ಅನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಮತಲದ ಆರಂಭಿಕ ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವಾಗ = 0 ಸಂಖ್ಯೆ z ನಿಜವಾಗಿದೆ. ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು x- ಅಕ್ಷದ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಇದನ್ನು ನಿಜವಾದ ಅಕ್ಷ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. x=0 ನಲ್ಲಿ, z ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕವಾಗಿದೆ: z=iy. ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು y-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಇದನ್ನು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅಕ್ಷ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಶೂನ್ಯವು ನಿಜವಾದ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. O ಸಮತಲದ ಆರಂಭದಿಂದ M(z) ಬಿಂದುವಿಗೆ ಇರುವ ಅಂತರವನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ z ನ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು |z| ಅಥವಾ ಆರ್: | z | = ಆರ್ = | OM | = √ x 2 + y 2 x ಆಕ್ಸಿಸ್‌ನೊಂದಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ ⃗ OM ನಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಓರಿಯೆಂಟೆಡ್ ಕೋನವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ sin φ = y r, cos φ = x r 5
ಎಲ್ಲಿಂದ x = r cos φ, y = r sin φ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ z = r (cos φ + sin φ). ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಈ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು z ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ
ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ

ಚೆಸ್ಕೋ
ರೂಪ. ಮೂಲ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು z=x+iy ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ
ಬೀಜಗಣಿತ
ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೂಪ. ನಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕೋನ  ಅನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು arg z ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: φ = arg z ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ z = x + iy ನೀಡಿದರೆ, ನಂತರ ಸಂಖ್ಯೆ ´ z = x - iy ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜಕ
(ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ
ಸಂಯೋಗ
) ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ z. ನಂತರ, ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯೆ z ಸಹ ´ z ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. M(z) ಮತ್ತು M 1 (´ z) ಬಿಂದುಗಳು x ಅಕ್ಷದ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿವೆ z = z z ಇದು y = 0 ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ. ಎಂದು ಅರ್ಥ
ಸಮಾನವಾದ ಸಂಖ್ಯೆ

ಅದರ ಸಂಯೋಗಕ್ಕೆ ನಿಜ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ.
ಸಂಕೀರ್ಣ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗಿನ ಅಂಕಗಳು z ಮತ್ತು -z ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದು O ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ z ಮತ್ತು − ´z ಗಳು y-ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಸಮಾನತೆ z = ´ z ನಿಂದ ಇದು x = 0 ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, z =− ´ z ಸ್ಥಿತಿಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಮಾನದಂಡವಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ z ಗೆ, ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ | z | = | z | =¿− z ∨¿∨−´ z ∨¿ .
ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನ
ಎರಡು ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ: z + ´ z = 2 z, z ´ z = x 2 + y 2 =¿ z 2 ∨¿. ಸಂಕೀರ್ಣ 6 ರ ಮೊತ್ತ, ಉತ್ಪನ್ನ ಅಥವಾ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಖ್ಯೆ
ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ, ನೀಡಿರುವ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಯೋಗವಾಗುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ, ಉತ್ಪನ್ನ ಅಥವಾ ಅಂಶಗಳಾಗಿವೆ: ´ z 1 + z 2 = ´ z 1 + ´ z 2 ; z 1 z 2 = z 1 z 2 ; ´ z 1: z 2 = ´ z 1: ´ z 2 ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗಾಗಿ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. a ಮತ್ತು b ಕ್ರಮವಾಗಿ A ಮತ್ತು B ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, c = a + b ಎಂಬುದು ಪಾಯಿಂಟ್ C ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ⃗ OC = ⃗ OA + ⃗ OB (Fig. 3). ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ d = a - b ಒಂದು ಬಿಂದು D ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಅಂದರೆ ⃗ OD = ⃗ OA - ⃗ OB . A ಮತ್ತು B ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು | ⃗BA | = | ⃗ OD | =¿ a − b ∨¿: ¿ AB ∨¿∨ a - b ∨¿ (1) ರಿಂದ ¿ z ∨ 2 = z ´ z , ನಂತರ ¿ AB ∨ 2 =(a - b) (´ a). (2)
ಸಮೀಕರಣ
z´ z = r 2
ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ವೃತ್ತವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ

ತ್ರಿಜ್ಯದ ಬಗ್ಗೆ

ಆರ್.
ಸಂಬಂಧ AC CB = λ, (λ ≠ − 1) ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ C ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ ಈ ವಿಭಾಗ AB, ಈ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: λ = c - a b - c, λ = ´ λ, ಅಲ್ಲಿಂದ c = a + λb 1 + λ (3) λ = 1 ಕ್ಕೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ C ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಾಗಿದೆ AB ವಿಭಾಗದ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ. ನಂತರ: c = 1 2 (a + b) (4) ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, | a b | = | ಅ || ಬಿ | , ಮತ್ತು 7
ಸಮಾನಾಂತರತೆ ಮತ್ತು ಲಂಬಸಾಲು ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳ ಕೋಲಿನಿಯರಿಟಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ A(a) ಮತ್ತು B(b) ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ. ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ⃗ OA ಮತ್ತು ⃗ OB ಗಳು arg a = arg b ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಸಹ-ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ arg a – arg b=arg a b =0 (ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸುವಾಗ, ಭಾಜಕದ ವಾದವನ್ನು ವಾದದಿಂದ ಕಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಲಾಭಾಂಶ). arg a - arg b= arg a b = ± π ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ಸಹ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. 0, π, - π ವಾದಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನಿಜ.
O, A, B ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಕೋಲಿನಿಯರಿಟಿ ಮಾನದಂಡ:
A(a) ಮತ್ತು B(b) ಬಿಂದುಗಳು O ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದುವಿನೊಂದಿಗೆ ಕೊಲಿನಿಯರ್ ಆಗಬೇಕಾದರೆ, a b ಎಂಬ ಅಂಶವು ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ, ಅಂದರೆ a b = ´ a ´ b ಅಥವಾ a ´ b = ´ a b (6) ಈಗ A(a), B(b), C(c), D(d) ಅಂಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ⃗ BA ಮತ್ತು ⃗ DC ಕೋಲಿಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಅಲ್ಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು a-bಮತ್ತು с-d, ಆರಂಭದ O ಯೊಂದಿಗೆ ಕೊಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿದೆ. ಗಮನಿಸಿ: 1. (6) ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ⃗ AB ∨¿ ⃗ CD↔ (a - b) (´ c - ´ d) =(´ a − ´ b ) (ಸಿ - ಡಿ) ; (8) 2. ಅಂಕಗಳು A, B, C, D ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತ z ´ z = 1 ಗೆ ಸೇರಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ´ a = 1 a; ´ ಬಿ = 1 ಬಿ; ´ c = 1 c; ´ d = 1 d ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ಥಿತಿ (8) ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: ⃗ AB ∨¿ ⃗ CD↔ ab = cd ; (9) 3. A, B, C ಬಿಂದುಗಳ ಕೋಲಿನಿಯರಿಟಿಯು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ⃗AB ಮತ್ತು ⃗AC ಯಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. (8) ಬಳಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: (a - b) (´ a - ´ c) =(´ a - ´ b) (a - c) (10) ಇದು A, B, C ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಸೇರಿರುವ ಮಾನದಂಡವಾಗಿದೆ ಅದೇ ನೇರ ರೇಖೆಗೆ. ಇದನ್ನು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು a (´ b -´ c) + b (´ c -´ a) + c (´ a - ´ b) = 0 (11) 8
ಅಂಕಗಳು A ಮತ್ತು B ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತ z ´ z = 1 ಗೆ ಸೇರಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ´ a = 1 a; ´ b = 1 b ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಬಂಧಗಳು (10) ಮತ್ತು (11) ((a-b) ಮೂಲಕ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕಡಿಮೆಯಾದ ನಂತರ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: c + ab ´ c = a + b (12) ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳು A ಮತ್ತು B ಅನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ ನಾವು C ಅನ್ನು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು z ಎಂದು ಮರುವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ ನಂತರ ಪಡೆದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಬಂಧಗಳು (10), (11), (12) ಸರಳ ರೇಖೆಯ AB: (´ a - ´ b) z + (b - a) ´ z + a ´ b - b ´ a = 0 , (10a) z + ab ´ z = a + b (12a) ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ನೇರ OA ´ z = ´ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. a z ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ OA ⊥ OB↔ a b = − ´ a ´ b ಅಥವಾ OA ⊥ OB↔a ´ b + ´ a b = 0 (13) AB ಮತ್ತು CD ವಿಭಾಗಗಳ ಲಂಬತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. - b) (´ c - ´ d) + (´ a - ´ b) (c - d) = 0 (14) ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, A, B, C, D ಅಂಕಗಳು z ´ z = 1 ಎಂಬ ಘಟಕ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸೇರಿದಾಗ , ನಂತರ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು (14) ಸರಳೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ: ab + cd = 0 (15) ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಹಕಗಳು ⃗ OA ಮತ್ತು ⃗ OB ಸಂಕೀರ್ಣ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ A ಮತ್ತು B ಬಿಂದುಗಳ a ಮತ್ತು b. a=x 1 +iy 1 , b=x 2 +iy 2 . ನಂತರ a b + a b=(x 1 +iy 1)(x 2 -iy 2)+(x 1 -iy 1)(x 2 +iy 2)=2(x 1 x 2 +y 1 y 2)= 2 ⃗ OA∙⃗OB. ಆದ್ದರಿಂದ, ⃗ OA ∙ ⃗ OB = 1 2 (a b + ab) (16) 9
ಈಗ ಅವುಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ A(a), B(b), C(c), D(d) ನಾಲ್ಕು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಅಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ. ನಂತರ 2 ⃗ AB ∙ ⃗ CB = 1 2 (a-b)(c - d)+(a - b)(c-d) (17) ಕೋನಗಳು ∠ (AB ,CD) ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲು ನಾವು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳೋಣ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಆಧಾರಿತ ಕೋನ ವೆಕ್ಟರ್ ⃗ ಅನ್ನು AB ಗೆ ತಿರುಗಿಸಬೇಕು ಇದರಿಂದ ಅದು ವೆಕ್ಟರ್ ⃗ CD ಯೊಂದಿಗೆ ಸಹ-ನಿರ್ದೇಶನವಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ, cos ∠ (AB, CD)= (d - c) (´ b - ´ a) +(´ d -´ c)(b - a) 2 | d - c || b - a | (18) sin ∠ (AB ,CD)= (d - c) (´ b -´ a) +(´ d -´ c)(b - a) 2 i | d - c || b - a | (19) ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸೆಕೆಂಟ್‌ಗಳ ಛೇದನ ಬಿಂದುಗಳು A, B, C ಮತ್ತು D ಅಂಕಗಳು z z z = 1 ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ ಛೇದನ ಬಿಂದುವಿನ ಸಂಕೀರ್ಣ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು ´ z = (a + b) ಸೂತ್ರದಿಂದ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ - (c + d) ab - cd (20) AB CD ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ z= 1 2 (a+b+c+d) (21) ವೃತ್ತ 10 ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ಛೇದನ ಬಿಂದು
ಅದರ A(a) ಮತ್ತು B(b) ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ z ´ z =1 ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ಸಂಕೀರ್ಣ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ z= 2ab a + b (22) ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ M(m) ಬಿಂದುವಿನ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ AB ನೇರ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ, A(a) ಮತ್ತು B(b) ಅನ್ನು ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ A ಮತ್ತು B ಯುನಿಟ್ ವಲಯಕ್ಕೆ ಸೇರಿದಾಗ z= 1 2 (a + b + m - cb m) .
ಅಧ್ಯಾಯ III.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನ ಜ್ಯಾಮಿತಿ
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ, ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಅದರ ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೂರು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ತ್ರಿಕೋನದ ಕೇಂದ್ರ ಮತ್ತು ಆರ್ಥೋಸೆಂಟರ್. [2 ] ತ್ರಿಕೋನ ABC ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಬಿಂದು O ಯ ಕೇಂದ್ರಾಕೃತಿಯ G (ಮಧ್ಯದ ಛೇದನ ಬಿಂದು) ಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ: ⃗ OG = 1 3 (⃗ OA + ⃗ OB + ⃗ OC). ಆದ್ದರಿಂದ, ಸೆಂಟ್ರಾಯ್ಡ್ G ಯ ಸಂಕೀರ್ಣ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ g ಅನ್ನು g = 1 3 (a + b + c) (23) ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, a, b, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ABC ಯ ಆರ್ಥೋಸೆಂಟರ್ H ನ ಸಂಕೀರ್ಣ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ನಾವು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ. ಅದರ ಶೃಂಗಗಳ ಸಿ. AH, BH, CH ರೇಖೆಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ A1, B1, C1 ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನದ ವೃತ್ತವನ್ನು ಛೇದಿಸಲಿ. ಈ ವೃತ್ತವು z ´ z =1 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ, ನಂತರ (15) ಪ್ರಕಾರ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: a 1 = - bc a , b 1 = - ca b , c 1 = - ab c ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ (20) h = (a + a 1 ) -(b + b 1) a a 1 - bb 1 = ab + bc + ca abc = 1 a + 1 b + 1 c 11
h=a+b+c ಎಲ್ಲಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ. (24) ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ತ್ರಿಕೋನದ ಶೃಂಗಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರನೇ ಎತ್ತರವು ಮೊದಲ ಎರಡು ಸಮಾನ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ [2,1] ತ್ರಿಕೋನಗಳು ABC ಮತ್ತು A 1 B 1 C 1 ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಆಧಾರಿತ (ಮೊದಲ ರೀತಿಯ ಹೋಲಿಕೆ), B 1 =kAB, A 1 B 1 =kAC ಮತ್ತು ಕೋನಗಳು B 1 A 1 C 1 ಮತ್ತು BAC ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ (ಕೋನಗಳು ಆಧಾರಿತವಾಗಿವೆ). ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ಈ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು: |a 1 -b 1 |=k|a−b|, |a 1 −c 1 |=k|a−c|,arg c 1 - a 1 b 1 − a 1 = arg c - a b - a . ಎರಡು ಸಮಾನತೆಗಳು 1 − a 1 c - a = b 1 - a 1 b - a = σ , (25) ಅಲ್ಲಿ σ ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ, |σ|=k-ಸಾಮ್ಯತೆಯ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. σ ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ, c 1 - a 1 c - a = ´ c 1 - ´ a 1 ´ c - ´ a , ಅಲ್ಲಿ AC║A 1 C 1. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ABC ಮತ್ತು A 1 B 1 C 1 ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಹೋಮೋಥೆಟಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಸಂಬಂಧ (25) ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಆದ್ದರಿಂದ ABC ಮತ್ತು A 1 B 1 C 1 ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಒಂದೇ ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿ ಆಧಾರಿತವಾಗಿವೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ರೂಪವನ್ನು ನೀಡಬಹುದು ab 1 +bc 1 +ca 1 =ba 1 +cb 1 +ac 1 (25a) ಸಮಾನ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಇದ್ದರೆ | σ | = 1, ನಂತರ ABC ಮತ್ತು A 1 B 1 C 1 ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಸಂಬಂಧ (25) ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಕೇತವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧ (26) ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಆಧಾರಿತ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಕೇತವಾಗಿದೆ. ನಿಯಮಿತ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ನಿಮಗೆ ಒಂದು ಆಧಾರಿತ ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ ತ್ರಿಕೋನ ABCಆಧಾರಿತ ತ್ರಿಕೋನ BCA ಅನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ, ನಂತರ ತ್ರಿಕೋನ ABC ನಿಯಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. 12
ಆದ್ದರಿಂದ, (25) ರಿಂದ ನಾವು ತ್ರಿಕೋನ ABC ನಿಯಮಿತ (a-b) 2 +(b−c) 2 +(c−a) 2 =0 (27) ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. (ಲೇಖಕರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ) ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಆಧಾರಿತ ತ್ರಿಕೋನ ABC ಯ S ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: S = 1 2 | ಎಬಿ || AC | sin ∠ (AB , AC)= 1 4i ((c - a) (´ b - ´ a) - (b - a) (´ c - ´ a)) = − 1 4i (a (´ b - ´ c) + b (´ c - ´ a) + c (´ a - ´ b)) ಅಥವಾ S = i 4 (a (´ b - ´ c) + b (´ c - ´ a) + c (´ a − ´ b )) (28) ವೇಳೆ ತ್ರಿಕೋನ ABC z ´ z = 1 ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಸೂತ್ರವನ್ನು (28) ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: S = i 4 (a - b)(b - c)(c - a) abc (29) a ನ ಮಧ್ಯರೇಖೆಯ ಪ್ರಮೇಯ ತ್ರಿಕೋನ (ಲೇಖಕರಿಂದ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ)
ಪ್ರಮೇಯ
. ಮಧ್ಯಮ ಸಾಲುತ್ರಿಕೋನವು ತಳಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಅರ್ಧಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪುರಾವೆ. M ಮತ್ತು N ಬಿಂದುಗಳು AB ಮತ್ತು BC ಬದಿಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳಾಗಿರಲಿ, ನಂತರ m = b 2 ; n = b + c 2 z 2 =z ´ z, ನಂತರ MN 2 =(m-n)(´ m - n)=(b 2 - b + c 2)(´ b 2 – ´ b + ´ c 2)= b ´ b 4 - b´ b + b´ c 4 - b ´ b + ´ b c 4 + b ´ b + b ´ c + ´ b c + c ´ c 4 = c ´ c 4 13
4MN 2 =c ´ c, AC 2 =(c-0)(c-0)=c ´ c, ಆದ್ದರಿಂದ 4MN 2 = AC 2 ಅಥವಾ 2MN=AC ವಾಹಕಗಳ MN ಮತ್ತು AC ಯ ಸ್ಥಿತಿ (8) ಸಹ ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿದೆ , ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ MN ║AC. ಥೇಲ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯ (ಲೇಖಕರಿಂದ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ)
ಪ್ರಮೇಯ
. ಕೋನದ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿದರೆ, ಕೋನದ ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಅವು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಕತ್ತರಿಸುತ್ತವೆ. ಪುರಾವೆ ನಾವು c=kb ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ BD||CE ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು (b-d)(´ c - 2 ´ d ¿= (´ b - ´ d) (c - 2d) ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವುದು ಮತ್ತು ತರುವುದು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳು, ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ b ´ c - 2 b ´ d - ´ c d = ´ b c - 2 ´ b d - c ´ d c ಅನ್ನು kb ನೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ´ c ಅನ್ನು k ´ b ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ನಾವು bk ´ b -2b ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ´ b = ´ b kb-2 ´ b d-kb ´ d . ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ತರುವುದು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಂದು ಬದಿಗೆ ಸರಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು 2b ´ d + dk ´ b - 2 ´ b d - kb ´ d =0 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಕಮತ್ತು ನಾವು 2(b´ d - ´ b d ¿+ k (´ b d - b ´ d) = 0 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ k=2, ಅಂದರೆ c=2b. ಹಾಗೆಯೇ, f=3b, ಇತ್ಯಾದಿ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ ( ಲೇಖಕರಿಂದ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ) ಬಿ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ಚೌಕ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಚದರ ಕಾಲುಗಳು 14
ಪುರಾವೆ. ಬಿ ಮತ್ತು ಸಿ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು BC=|b-c|=b, BC 2 =b ´ b ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ರಿಂದ |z| 2 = z ´ z , ನಂತರ AC 2 =(a-c)(c ´ a - ´ ¿ ¿=(a - 0) (´ a - 0)=a ´ a. AB 2 =(a-b)(´ a - ´ b) ¿= a − a ´ b - ´ a b+b ´ b ಒಂದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ, ಅಂದರೆ b= ´ b , ನಂತರ -a ´ b =− ab , Oy ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ a, ಅಂದರೆ - ´ ab = ab ಸರಳ ರೇಖೆ (ಲೇಖಕರಿಂದ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ) ತ್ರಿಕೋನದ ಆರ್ಥೋಸೆಂಟರ್, ಸೆಂಟ್ರಾಯ್ಡ್ ಮತ್ತು ಸುತ್ತಳತೆ ಒಂದೇ ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿದೆ (ಈ ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ಯೂಲರ್ ನೇರ ರೇಖೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ), ಮತ್ತು OG = 1/2GH 15 ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.
ಪುರಾವೆ: ಪಾಯಿಂಟ್ ಜಿ(ಜಿ) ಎಬಿಸಿ ತ್ರಿಕೋನದ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುವಾಗಿದೆ, ಹೆಚ್(ಎಚ್) ಆರ್ಥೋಸೆಂಟರ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಓ(ಒ) ತ್ರಿಕೋನದ ಸುತ್ತುವರಿದ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ. ಈ ಬಿಂದುಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಬೇಕಾದರೆ, ಸಮಾನತೆ (10) ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಬೇಕು: (g-о)(´ g - ´ h ¿ -(´ g - ´ o ¿ (g - h) =0 ನಾವು ಪಾಯಿಂಟ್ O ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಮೂಲ, ನಂತರ g(´ g - ´ h ¿ - ´ g (g - h) =g 2 -g ´ h −¿ (g 2 - h ´ g ¿ =-g ´ h + h ´ g (30) ದಿ ಆರ್ಥೋಸೆಂಟರ್‌ನ ಸಂಕೀರ್ಣ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ (24) h=a+b+c, (30a) ಮತ್ತು ಸೆಂಟ್ರಾಯ್ಡ್ (23) g = 1 3 (a + b + c) (30c) ಗೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ 30), ನಾವು 1 3 (a+b +c)(´ a + b + c)-(a+b+c)(´ a + b + c 1 3 ¿))=0 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೇಂದ್ರಬಿಂದು, ಆರ್ಥೋಸೆಂಟರ್ ಮತ್ತು ವೃತ್ತಗಳು ಒಂದೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿವೆ OG=g= 1 3 (a+b+c) GH=h-g=a+b+c- 1 3 (a. +b+c)= 2 3 (a+b+c) ನಾವು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಅದು OG= 1 2 GH ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
ಯೂಲರ್ ವೃತ್ತ (ಒಂಬತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ ವೃತ್ತ). ಲೇಖಕರಿಂದ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ ಎಬಿಸಿ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಅದನ್ನು ಒಪ್ಪೋಣ | OA | = | OB | = | OC | =1, ಅಂದರೆ. ತ್ರಿಕೋನದ ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳು ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತ z ´ z = 1 ಗೆ ಸೇರಿವೆ (ಒಂದು ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವು ಮೂಲವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯವು ಉದ್ದದ ಘಟಕವಾಗಿದೆ). ಆಧಾರಗಳು ಮೂರು ಎತ್ತರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ತ್ರಿಕೋನ, ಅದರ ಮೂರು ಬದಿಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಅದರ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಆರ್ಥೋಸೆಂಟರ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಮೂರು ಭಾಗಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳು ಒಂದೇ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಕೇಂದ್ರವು OH ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಾಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ H, ನೆನಪಿರಲಿ, ತ್ರಿಕೋನ ABC ಯ ಆರ್ಥೋಸೆಂಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಅಂತಹ ವೃತ್ತವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ
ಯೂಲರ್ ವೃತ್ತ
. K, L ಮತ್ತು M ಬಿಂದುಗಳು ಎಬಿಸಿ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳಾಗಿರಲಿ, Q, N, P ಬಿಂದುಗಳು ಅದರ ಎತ್ತರದ ನೆಲೆಗಳು, F, E, D ಬಿಂದುಗಳು ಅದರ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಆರ್ಥೋಸೆಂಟರ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಮೂರು ವಿಭಾಗಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳಾಗಿರಲಿ. ಅಂಕಗಳು D, E, F, K, L, M, N, P, Q ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಕೀರ್ಣ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಿ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ: k = a + b 2 , l = b + c 2 ; m = a + c 2 ,o 1 = h 2 = a + b + c 2 d = 2a + b + c 2 ; ಇ = 2 ಸಿ + ಎ + ಬಿ 2; f = 2 b + a + c 2 n = 1 2 (a + b + c - ab c) , q = 1 2 (a + c + b - ac b) , p = 1 2 (c + b + a - cb a) O 1 K = | o 1 − k | = | c 2 | ,O 1 L = | o 1 - l | = | a 2 | , O 1 M = | o 1 - ಮೀ | = | b 2 | O 1 D = | o 1 - d | = | a 2 | ,O 1 E = | o 1 - ಇ | = | c 2 | ,O 1 F = | o 1 - f | = | b 2 | O 1 N= | o 1 - n | = 1 2 | ಎಬಿ ಸಿ | = 1 2 | ಅ || ಬಿ | | ಸಿ | , O 1 Q= 1 2 | ಅ || ಸಿ | | ಬಿ | , O 1 F= 1 2 | ಬಿ || ಸಿ | | ಒಂದು | . 17
ಏಕೆಂದರೆ ತ್ರಿಕೋನ ABC ಅನ್ನು z ´ z = 1 ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾಗಿದೆ, ನಂತರ | ಒಂದು | = | ಬಿ | = | ಸಿ | = 1,→ | a 2 | = | b 2 | = | c 2 | = 1 2 | ಅ || ಬಿ | | ಸಿ | = 1 2 | ಅ || ಸಿ | | ಬಿ | = 1 2 | ಬಿ || ಸಿ | | ಒಂದು | = 1 2 ಆದ್ದರಿಂದ, ಡಿ, ಇ, ಎಫ್, ಕೆ, ಎಲ್, ಎಂ, ಎನ್, ಕ್ಯೂ, ಎಫ್ ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದೇ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸೇರಿರುತ್ತವೆ ಗೌಸ್ ಪ್ರಮೇಯ ಎಬಿಸಿ ತ್ರಿಕೋನದ BC, CA, AB ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ರೇಖೆಯು ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಅಂಕಗಳು A 1, B 1 , C 1, ನಂತರ AA 1, BB 1, СС 1 ವಿಭಾಗಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್. (11) ಅನ್ನು ಬಳಸಿ, AB 1 C, CA 1 B, BC 1 A, A 1 B 1 C 1: 0,) b - a (c) a - c () c ಬಿಂದುಗಳ ತ್ರಿವಳಿಗಳ ಕೋಲಿನಿಯರಿಟಿಗೆ ನಾವು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ - ಬಿ (ಎ 0,) ಸಿ - ಬಿ ಎ () ಬಿ - ಎ () ಎ - ಸಿ ಬಿ (0,) ಎ - ಸಿ ಬಿ () ಸಿ - ಬಿ () ಬಿ - ಎ ಸಿ (0,) ಬಿ - ಎ (ಸಿ) ಎ - ಸಿ () c - b a (1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1                 b c ಆಗಿದ್ದರೆ, a b, 1 ನ ಮಧ್ಯ ಬಿಂದು AA 1, BB 1, CC 1 ವಿಭಾಗಗಳು, ನಂತರ ನಾವು 0) () () (      n m p m p n p n m (32) ರಿಂದ), (2 1), (2 1), (2 1) ಎಂದು ತೋರಿಸಬೇಕು 1 1 1 c c p b b n a m       ನಂತರ ಸಾಬೀತಾಗುತ್ತಿರುವ ಸಮಾನತೆ (31) ಇದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ: 0))(())(())((1 1 1 1 1 1 1 1 1          b b a c c a c c b c b b a ಅಥವಾ ಗುಣಾಕಾರದ ನಂತರ: 0) () () () () () () () () () () () () (1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1         a with b a c b a c a c b a with b a c b a c b c b a c b a c b a c (33) ಈಗ ಅದನ್ನು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ (33) 33) ಸಮಾನತೆಯ ಅವಧಿಯ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (31).

ಅಧ್ಯಾಯ IV.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು USE ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಒಲಂಪಿಯಾಡ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು.
ಸಮಸ್ಯೆ 1. ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆ -2012, P-4 ಲಂಬ ಕೋನ C ಯೊಂದಿಗೆ ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನ ABC ಯ ಮಧ್ಯದ AD ಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ, E ಬಿಂದುವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಶೃಂಗ A ನಿಂದ ದೂರದಲ್ಲಿ 4 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ತ್ರಿಕೋನ BCE ಆಗಿದ್ದರೆ BC=6, AC= 4. ಮೊದಲ ಪರಿಹಾರ. ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ AD=5. ನಂತರ ED=1 ಕಿರಣ AD ಮೇಲೆ E ಪಾಯಿಂಟ್ ಇರಲಿ. ಮಧ್ಯದ ADಯು AE ಗಿಂತ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ E ತ್ರಿಕೋನ ABC ಒಳಗೆ ಇರುತ್ತದೆ (Fig. 1) ನಾವು EF ನಿಂದ ಲೈನ್ BC ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ EF ಅನ್ನು ಬಿಡಿ ಮತ್ತು DEF ಮತ್ತು DAC ಯ ಸಮಾನವಾದ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಈ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಹೋಲಿಕೆಯಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: EF = AC ∙ ED AD = 4 5 19
ಆದ್ದರಿಂದ, S BCE = 1 2 ∙ 6 ∙ 4 5 = 2.4. ಈಗ E ಮತ್ತು D (Fig. 2) ನಡುವಿನ ಸುಳ್ಳನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ED=9 ಮತ್ತು EF = AC ∙ ED AD = 36 5 . ನಂತರ S BCE = 1 2 ∙ 6 ∙ 36 5 = 21.6. ಉತ್ತರ: 2.4; 21.6. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು. ಕೇಸ್ I: ಪಾಯಿಂಟ್ E ಕಿರಣ AD ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ. D ಎಂಬುದು CB ಯ ಮಧ್ಯಭಾಗವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ CD=3. ಮತ್ತು CA=4 ರಿಂದ, AD=5, ಅಂದರೆ DE=1 ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ C ಅನ್ನು ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದುವಾಗಿ ಮತ್ತು CA ಮತ್ತು CB ರೇಖೆಗಳನ್ನು ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅಕ್ಷಗಳಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ನಂತರ A(4), C(0), B(6i), D(3i), E(e). A, E ಮತ್ತು D ಅಂಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ನಂತರ e - 4 3i - e = 4 ಅಂದರೆ e= 12i + 4 5 . ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ (25) S CBE =│ ´ i 4 (e6 ´ i +6i(− ´ e)│= e e - ´ ¿ 6 i 2 4 ¿ ¿ =2.4 ಪ್ರಕರಣ II: ಪಾಯಿಂಟ್ A ಬಿಂದು D ಮತ್ತು E ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ , ನಂತರ 4 - e 3i - 4 = 4 5 , ಅಂದರೆ e= 36 - 12 i 5 S CBE = | 3 i 2 2 (36 - 12 i 5 - 36 - 12i 5. 4 ಗೆ.) | ಮೊದಲ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಹಲವಾರು ಊಹೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಅದು ತಕ್ಷಣವೇ ಕಾಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಾಕಷ್ಟು ತಾರ್ಕಿಕ ಕ್ರಿಯೆಯ ನಂತರ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಸಿದ್ಧರಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಪರಿಹಾರವು ತಕ್ಷಣವೇ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎರಡನೆಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸಿದ್ಧ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ತಿಳಿಯದೆ, ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಧಾನವು ಅದರ ಸಾಧಕ-ಬಾಧಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ .
ಕಾರ್ಯ 2 (MIOO, 2011):
"ಪಾಯಿಂಟ್ M AB ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ. AB ವ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ, ಪಾಯಿಂಟ್ C ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಕ್ರಮವಾಗಿ 20, 14 ಮತ್ತು 15 ರ ಅಂತರದಲ್ಲಿ A, M ಮತ್ತು B ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ದೂರವಿದೆ. ತ್ರಿಕೋನ BMC ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹುಡುಕಿ." 20
ಪರಿಹಾರ: AB ವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಸವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ ∆ ABC ಆಯತಾಕಾರದದ್ದಾಗಿದೆ, ∠ C = 90 ° ನಾವು C ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಶೂನ್ಯ ಬಿಂದುವಿಮಾನ, ನಂತರ A(20i), B(15), M(z). CM=14 ರಿಂದ, ಸಮಾನತೆ z ´ z = 196 ನಿಜವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಪಾಯಿಂಟ್ M ∈ ಬಿಂದು C ಮತ್ತು r=14 ನಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತ. AB ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಈ ವೃತ್ತದ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: AB (10a) ಸಾಲಿನ ಸಮೀಕರಣ: 20 i (15 -´ z) + 15 (´ z + 20 i) + z (- 20 i - 15) = 0 ಬದಲಿಗೆ ´ z 196 z ನೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (4 i - 3) ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ನಾವು z ಗಾಗಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: 25 z 2 + 120 i (4 i - 3) z + 196 (4 i - 3) 2 = 0 z 1,2 = 2 (3 - 4 i) (6 i± √ 13) 5 ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ (28), ನಾವು ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ∆ MBC: S = i 4 (z (´ b - ´ c) + b (´ c − ´ z) + c (´ z - ´ b)) ಅಲ್ಲಿ c = 0, ´ c = 0, b = 15, ´ b = 15, ´ z = 196 ∗ 5 2 (3 - 4 i) (6 i ± √ 13) ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿದೆ ಸಮಾನ ರೂಪಾಂತರಗಳು, ನಾವು S = 54 ± 12 √ 13 sq ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಘಟಕಗಳು ಉತ್ತರ. 54 ± 12 √ 13 ಚದರ. ಘಟಕಗಳು ನೀವು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದರೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿಧಾನಗಳು, ನಂತರ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ: 1 ನೇ - ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂ ಎ ಮತ್ತು ಡಿ ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ; 2 ನೇ - D ಮತ್ತು B. 21 ರ ನಡುವೆ

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ವೃತ್ತ ಮತ್ತು ರೇಖೆಯ ಛೇದನದ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಿಂದಾಗಿ ಪರಿಹಾರದ ದ್ವಿತ್ವವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸನ್ನಿವೇಶವು ಸಾಮಾನ್ಯ ತಪ್ಪನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.
ಸಮಸ್ಯೆ 3
ABC ತ್ರಿಕೋನದ AA 1, BB 1 ಮತ್ತು CC 1 ಮಧ್ಯಭಾಗಗಳು M ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. ಇದು AB=6MC 1 ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ತ್ರಿಕೋನ ABC ಬಲ ತ್ರಿಕೋನ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ. ಪರಿಹಾರ: C ಸಮತಲದ ಶೂನ್ಯ ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು A ಬಿಂದುವಿಗೆ ನಿಜವಾದ ಘಟಕವನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಿ. ಸಮಸ್ಯೆಯು ನಂತರ b ಎಂಬುದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. AB 2 = (b - 1) (´ b - 1) . M ಎಂಬುದು ಸೆಂಟ್ರಾಯ್ಡ್, ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ 1 3 b + 1 3 MC 1 2 = (1 3 b + 1 3 - 1 2 b - 1 2)(1 3 ´ b + 1 3 - 1 2 ´ b - 1 2) = 1 3 b (b + 1) (´ b + 1) AB=6MC 1 ರಿಂದ, ನಂತರ (b - 1) (´ b - 1) = (b + 1) (´ b + 1) . ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಡೆಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು b =- ´ b ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ b ಎಂಬುದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ, ಅಂದರೆ C ಕೋನವು ಸರಳ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ.
ಕಾರ್ಯ 4.
22
ಪಾಯಿಂಟ್ O ಸುತ್ತ 90° ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, AB ವಿಭಾಗವು A "B" ವಿಭಾಗವಾಗಿ ಮಾರ್ಪಟ್ಟಿತು. OAB ತ್ರಿಕೋನದ ಮಧ್ಯದ OM "B" ಸಾಲಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ. ಪರಿಹಾರ: ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು O, A, B ಕ್ರಮವಾಗಿ 0.1, b ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ A " ಮತ್ತು B " ಅಂಕಗಳು a" = i ಮತ್ತು b" = bi ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು AB ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯದ M ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ m = 1 2 (1 + bi). ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: a " - b m - 0 = i - b 1 2 (1 + bi) = 2 i (i - b) i - b = 2i ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕವಾಗಿದೆ. ಲಂಬತೆಯ ಮಾನದಂಡದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ (ಎ - ಬಿ ಸಿ - ಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಎಬಿ ಮತ್ತು ಸಿಡಿ ವಿಭಾಗಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ), ಓಎಮ್ ಮತ್ತು ಎ 'ಬಿ ರೇಖೆಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ.
ಸಮಸ್ಯೆ 5
. 23
ತ್ರಿಕೋನದ ಎತ್ತರದ ತಳದಿಂದ, ಈ ಎತ್ತರಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗದ ಎರಡು ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಲಂಬಗಳನ್ನು ಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಲಂಬಗಳ ತಳದ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು ತ್ರಿಕೋನದ ಎತ್ತರದ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ. ಪರಿಹಾರ: ABC ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ನೀಡೋಣ ಮತ್ತು ಅದರ ಸುತ್ತಲೂ ಸುತ್ತುವರಿದಿರುವ ವೃತ್ತವು z ´ z = 1 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. CD ತ್ರಿಕೋನದ ಎತ್ತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ d = 1 2 (a + b + c - ab c) ಬಿಂದುವಿನಿಂದ AC ಮತ್ತು BC ಗೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಇಳಿಯುವ ಲಂಬಗಳ M ಮತ್ತು N ನೆಲೆಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ m = 1 2 (a + c + d - ac ´ d 2) n = 1 2 (b + c + d - bc ´ d 2) ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: m - n = 1 2 (a - b + c ´ d ( b - a)) = 1 2 ( a - b) (1 − c ´ d) = (a - b) (a - c) (b - c) 4 ab ರಿಂದ | ಒಂದು | = | ಬಿ | = 1, ನಂತರ | m - n | = | (a - b) × (b - c) (c - a) | 4. ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ a, b, c, i.e ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ. ದೂರ MN ತ್ರಿಕೋನದ ಎತ್ತರದ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.
ತೀರ್ಮಾನ
24
"ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ! ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಎಲ್ಲಾ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ವಾಸ್ತವದ ಸಂಗತಿಯೆಂದರೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬೀಜಗಣಿತವು ಇನ್ನೊಂದು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ವಿಧಾನಪ್ಲಾನಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತ್ರ ನಾವು ಮಾತನಾಡಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಅನ್ವಯಿಸದೆಯೇ ನಾವು ಈ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಧಾನದ ಪ್ರಯೋಜನಗಳ ಬಗ್ಗೆ ವಿವಾದಗಳು ಅರ್ಥಹೀನವಾಗಿವೆ” [2]. ವಿಧಾನದ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಆಕ್ರಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು
ಮುಖ್ಯ ಅನಾನುಕೂಲತೆ
ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ
ಘನತೆ
, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ನಿಮಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳುಪ್ರಾಥಮಿಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಿದ್ಧ ಸೂತ್ರಗಳ ಪ್ರಕಾರ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಪ್ಲಾನಿಮೆಟ್ರಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ನಾನು ನಂಬುತ್ತೇನೆ ಈ ವಿಧಾನಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿದೆ.
ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ
1. ಮಾರ್ಕುಶೆವಿಚ್ A.I ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಸ್ - ಎಂ.: ಸ್ಟೇಟ್ ಪಬ್ಲಿಷಿಂಗ್ ಹೌಸ್ ಆಫ್ ಟೆಕ್ನಿಕಲ್ ಅಂಡ್ ಥಿಯರೆಟಿಕಲ್ ಲಿಟರೇಚರ್, 1954. - 52 ಪು. 25
2. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪೊನರಿನ್ ಯಾ P. ಬೀಜಗಣಿತ: ಶಾಲೆಗಳ ಗಣಿತ ತರಗತಿಗಳ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು, ಶಿಕ್ಷಕರು ಮತ್ತು ಶಿಕ್ಷಣ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯಗಳ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಪುಸ್ತಕ - M.: MTsNMO, 2004. - 160 ಪು. 3. ಶ್ವೆಟ್ಸೊವ್ ಡಿ. ಸಿಮ್ಸನ್ನ ಸಾಲಿನಿಂದ ಡ್ರೋಜ್-ಫಾರ್ನಿ ಪ್ರಮೇಯ, ಕ್ವಾಂಟ್. - ಸಂಖ್ಯೆ 6, 2009. – ಪು. 44-48 4. ಯಗ್ಲೋಮ್ I. ಎಂ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ರೂಪಾಂತರಗಳು. ರೇಖೀಯ ಮತ್ತು ವೃತ್ತಾಕಾರದ ರೂಪಾಂತರಗಳು. - ಸ್ಟೇಟ್ ಪಬ್ಲಿಷಿಂಗ್ ಹೌಸ್ ಆಫ್ ಟೆಕ್ನಿಕಲ್ ಅಂಡ್ ಥಿಯರೆಟಿಕಲ್ ಲಿಟರೇಚರ್, 1956. – 612 ಪು. 5. ಯಗ್ಲೋಮ್ I.M. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ - M.: Fizmatgiz, 1963. - 192 p. 6. ಮೊರ್ಕೊವಿಚ್ ಎ.ಜಿ. ಮತ್ತು ಇತರರು, ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು 10 ನೇ ತರಗತಿಯ ಪ್ರಾರಂಭ. 2 ಗಂಟೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗ 1. ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ (ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಮಟ್ಟ) - M.: Mnemosyne, 2012. - 343 p. 7. ಆಂಡ್ರೊನೊವ್ I.K. ನೈಜ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣಿತ - ಎಂ.: ಪ್ರೊಸ್ವೆಶ್ಚೆನಿ, 1975. - 158 ಪು. 26

ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್

ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳುಪ್ರಾಥಮಿಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿ

ನ್ಯೂಟನ್ರ ಪ್ರಮೇಯ.
ವೃತ್ತದ ಸುತ್ತ ಸುತ್ತುವರಿದ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ, ಕರ್ಣಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳು ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ಕೊಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. 27
ಪುರಾವೆ. ನಾವು ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಮೂಲವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಅದರ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ಹೊಂದಿಸಿ. ಈ ಚತುರ್ಭುಜ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳ ಸಂಪರ್ಕದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಾವು A o B o C o D o ಮೂಲಕ A, B, C, D (ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ) ಸೂಚಿಸೋಣ (ಚಿತ್ರ 4). M ಮತ್ತು N ಕ್ರಮವಾಗಿ A o C o ಮತ್ತು B o D o ಕರ್ಣಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ, z = 2ab a + b ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ, ಅಂಕಗಳು A o , B o , C o , D o ಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ: , 2 , 2 , 2 , 2 0 0 0 0 d c cd d c b bc c b a ab b d a ad a         ಇಲ್ಲಿ a, b, c, d ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು A, B, C, D. ಆದ್ದರಿಂದ.) (2 1 ,) (2 1 0 0 0 d c cd b a ab d b n c b bc d a ad c a m                ಲೆಕ್ಕ.) (cd ಎ)   ರಿಂದ, 1 , 1 b b a a   , 1 , 1 d d c c   ನಂತರ ನೇರವಾಗಿ n m n m  (6) ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ O, M, N ಅಂಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ.
ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ಪ್ರಮೇಯ

.
ಕೆತ್ತಲಾದ ಷಡ್ಭುಜಾಕೃತಿಯ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿವೆ. 28
ಪುರಾವೆ. ಷಡ್ಭುಜ ABCDEF ಮತ್ತು P FA CD N EF BC M DE AB   ) () (,) () (,) () (   (ಚಿತ್ರ 6) ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಿ (ಚಿತ್ರ 6). ನಾವು ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗವನ್ನು ಸಮತಲದ ಶೂನ್ಯ ಬಿಂದುವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು ಅದರ ತ್ರಿಜ್ಯವು (17) ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ,) (,) (,) (fa cd a f d c p ef bc f e c b n. de ab e db a m        ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ)      ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿ .))(())((fa cd ef bc bc ab fa ef de cd fc p n           ಸಂಖ್ಯೆಗಳು f e dc b a 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , ನಂತರ ಮೌಖಿಕ ಪರಿಶೀಲನೆಯು ಅದರ ಸಂಯೋಗದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಅಂದರೆ M, N, P ಅಂಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್.
ಮೊಂಗೆ ಪ್ರಮೇಯ.
ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ, ಬದಿಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು. ಪ್ರತಿ ಕರ್ಣವು ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, ಇತರ ಕರ್ಣವು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಚಕ್ರೀಯ ಚತುರ್ಭುಜದ ಮೊಂಗೆ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪುರಾವೆ. ಚತುರ್ಭುಜ ABCD ಯ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾದ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳು ಸುತ್ತುವರಿದ ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ, ಅದನ್ನು ನಾವು ಆರಂಭಿಕ ಹಂತವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. [AB] ಗೆ ಲಂಬ ದ್ವಿಭಾಜಕದ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದು M(z) ಗೆ b a b a z   ) (2 1 ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ. 29
ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, z=0 ಗೆ ಇದು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ) (2) (b a b a   . (AB) ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಅಡ್ಡ CD ಯ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದು N(z) ಗೆ, ಸಂಖ್ಯೆ b a d c z   ) (2 1 ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಆದರೆ z=) (2 1 d c b a    ಇದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ) (2 b a b a   ಅಂದರೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಕೀರ್ಣ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪಾಯಿಂಟ್ E) ( 2 1 d c b a    ಸೂಚಿಸಿದ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ a, b, c, d ಅಕ್ಷರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ, ಇತರ ಐದು ರೇಖೆಗಳು ಪಾಯಿಂಟ್ E. 30 ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ

ನಾವು ಸಂಪರ್ಕಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿರುತ್ತೇವೆ, ಯಾಂತ್ರಿಕ ಸೂತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಅಲ್ಲ.
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಮ್ಮ ಸಂಖ್ಯಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪೂರಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ, ಶೂನ್ಯ, ಭಾಗಶಃ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆಯೇ.
ಸಾರವನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ನಾವು ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಒಣ ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಮತ್ತು ನಮ್ಮದು ರಹಸ್ಯ ಆಯುಧ: ಸಾದೃಶ್ಯದ ಮೂಲಕ ಕಲಿಕೆ. ಅವರ ಪೂರ್ವಜರು, ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಆರಂಭಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಿಮಗಾಗಿ ಸ್ವಲ್ಪ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿ ಇಲ್ಲಿದೆ:

ಸದ್ಯಕ್ಕೆ, ಈ ಟೇಬಲ್ ಸ್ವಲ್ಪ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದು ಇರಲಿ. ಲೇಖನದ ಅಂತ್ಯದ ವೇಳೆಗೆ ಎಲ್ಲವೂ ಸರಿಯಾಗಿ ಬರುತ್ತದೆ.

ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಏನೆಂದು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳೋಣ

ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಷ್ಟು ಸುಲಭವಲ್ಲ. ನೀವು 18 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಯುರೋಪಿಯನ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಎಂದು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ನೀವು 3 ಮತ್ತು 4 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೀರಿ ಮತ್ತು ನೀವು 4 - 3 = 1 ಅನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು. ಇದು ಸರಳವಾಗಿದೆ.

ಆದರೆ 3-4 ಎಂದರೇನು? ನಿಖರವಾಗಿ ಇದರ ಅರ್ಥವೇನು? 3 ರಿಂದ 4 ಹಸುಗಳನ್ನು ನೀವು ಹೇಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು? ನೀವು ಏನನ್ನೂ ಕಡಿಮೆ ಹೇಗೆ ಹೊಂದಬಹುದು?

ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಸಂಬದ್ಧವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅದು "ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೇಲೆ ನೆರಳು ಹಾಕುತ್ತದೆ" (ಫ್ರಾನ್ಸಿಸ್ ಮಾಸೆರೆಸ್, 1759). ಇಂದು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತರ್ಕಬದ್ಧವಲ್ಲದ ಮತ್ತು ಸಹಾಯಕವಲ್ಲದ ಎಂದು ಯೋಚಿಸುವುದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಸಂಬದ್ಧವಾಗಿದೆ. ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮೂಲ ಗಣಿತವನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸಿದರೆ ನಿಮ್ಮ ಶಿಕ್ಷಕರನ್ನು ಕೇಳಿ.

ಏನಾಯಿತು? ಉಪಯುಕ್ತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದ್ದೇವೆ. ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸಲು ಅಥವಾ ಅನುಭವಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಕೆಲವು ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವಲ್ಲಿ ಅವು ಉತ್ತಮವಾಗಿವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸಾಲದಂತಹವು). ಇದು ತುಂಬಾ ಉಪಯುಕ್ತವಾದ ಉಪಾಯ.

"ನಾನು ನಿಮಗೆ 30 ಋಣಿಯಾಗಿದ್ದೇನೆ" ಎಂದು ಹೇಳುವ ಬದಲು ಮತ್ತು ನಾನು ಕಪ್ಪು ಅಥವಾ ಕಪ್ಪು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿರುವುದನ್ನು ನೋಡಲು ಪದಗಳನ್ನು ಓದುವ ಬದಲು, ನಾನು "-30" ಎಂದು ಬರೆದು ಅದರ ಅರ್ಥವನ್ನು ತಿಳಿಯಬಹುದು. ನಾನು ಹಣವನ್ನು ಸಂಪಾದಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ನನ್ನ ಸಾಲಗಳನ್ನು (-30 + 100 = 70) ತೀರಿಸಿದರೆ, ನಾನು ಈ ವಹಿವಾಟನ್ನು ಕೆಲವು ಅಕ್ಷರಗಳಲ್ಲಿ ಸುಲಭವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ನನಗೆ +70 ಉಳಿದಿದೆ.

ಪ್ಲಸ್ ಮತ್ತು ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಸೆರೆಹಿಡಿಯುತ್ತವೆ - ಪ್ರತಿ ವಹಿವಾಟಿನ ನಂತರ ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಾಕ್ಯದ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಗಣಿತವು ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಹೆಚ್ಚು ಸೊಗಸಾಗಿದೆ. ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು "ಸ್ಪಷ್ಟ" ಎಂದು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗುತ್ತದೆ - ಅವುಗಳು ಉಪಯುಕ್ತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದವು ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಅವು ದೃಢವಾಗಿ ಸ್ಥಾಪಿತವಾಗುವವರೆಗೆ ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ. ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಯಾರಾದರೂ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಾರವನ್ನು ಇನ್ನೂ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳದಿದ್ದರೆ, ಈಗ ನೀವು ಅವರಿಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತೀರಿ.

ಆದರೆ ನಾವು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಾರದು ಮಾನವ ಸಂಕಟ: ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪ್ರಜ್ಞೆಯಲ್ಲಿ ನಿಜವಾದ ಬದಲಾವಣೆಯಾಗಿದೆ. ಇ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದ ಮೇಧಾವಿ ಯೂಲರ್ ಕೂಡ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಾವು ಇಂದಿನಂತೆ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲಿಲ್ಲ. ಅವುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ "ಅರ್ಥಹೀನ" ಫಲಿತಾಂಶಗಳಾಗಿ ನೋಡಲಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಗಣಿತಜ್ಞರನ್ನು ಸಹ ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸುವಂತಹ ವಿಚಾರಗಳನ್ನು ಮಕ್ಕಳು ಶಾಂತವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುವುದು ವಿಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ.

ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಮೂದಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ

ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ಕಥೆ. ನಾವು ದಿನವಿಡೀ ಈ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು:

ಉತ್ತರಗಳು 3 ಮತ್ತು -3 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಕೆಲವು ಸ್ಮಾರ್ಟ್ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಇಲ್ಲಿ ಮೈನಸ್ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ಊಹಿಸೋಣ:

ಚೆನ್ನಾಗಿ. ಇದೇ ಮೊದಲ ಸಲ ನೋಡಿದಾಗ ಜನರಲ್ಲಿ ಮೂಡುವ ಪ್ರಶ್ನೆ. ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ನೀವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಬಯಸುವಿರಾ? ಇದು ಯೋಚಿಸಲಾಗದು! (ಐತಿಹಾಸಿಕವಾಗಿ ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಇದ್ದವು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು, ಆದರೆ ಹಿಂದಿನ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳಿಗೆ ಮುಜುಗರವಾಗದಂತೆ ಕೆಲವು ಮುಖವಿಲ್ಲದ ಬುದ್ಧಿವಂತ ವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ನನಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ).

ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆ, ಶೂನ್ಯ ಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (ಪುನರಾವರ್ತಿತವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು) ದಿನದಲ್ಲಿ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡುವಂತೆ ಇದು ಹುಚ್ಚನಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ "ನೈಜ" ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ, ಸರಿ?

ಇಲ್ಲ ಅದು ನಿಜವಲ್ಲ. "ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು" ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವವು ಇತರ ಯಾವುದೇ (ಅಥವಾ ಅಸಹಜವಾದ)ಂತೆಯೇ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ: ಅವು ಜಗತ್ತನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ. -1, 0.3 ಮತ್ತು 0 "ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ" ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸುವ ಅದೇ ಉತ್ಸಾಹದಲ್ಲಿ, ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆ i ಇದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅಲ್ಲಿ:

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, -1 ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನೀವು i ಅನ್ನು ಸ್ವತಃ ಗುಣಿಸಿ. ಈಗ ಏನಾಗುತ್ತಿದೆ?

ಒಳ್ಳೆಯದು, ಮೊದಲಿಗೆ ನಮಗೆ ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ತಲೆನೋವು ಇದೆ. ಆದರೆ "ನಾನು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನಟಿಸೋಣ" ಎಂಬ ಆಟವನ್ನು ಆಡುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಗಣಿತವನ್ನು ಸರಳ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸೊಗಸಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಸುಲಭವಾಗಿ ವಿವರಿಸಬಹುದಾದ ಹೊಸ ಸಂಪರ್ಕಗಳು ಗೋಚರಿಸುತ್ತವೆ.

ಆ ಹಳೆಯ ಮುಂಗೋಪದ ಗಣಿತಜ್ಞರು -1 ರ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ನಂಬದಂತೆಯೇ ನೀವು i ಅನ್ನು ನಂಬುವುದಿಲ್ಲ. ಮೆದುಳನ್ನು ಕೊಳವೆಯೊಳಗೆ ತಿರುಗಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಹೊಸ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಗ್ರಹಿಸಲು ಕಷ್ಟ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅರ್ಥವು ಅದ್ಭುತವಾದ ಯೂಲರ್ಗೆ ಸಹ ತಕ್ಷಣವೇ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನಮಗೆ ತೋರಿಸಿದಂತೆ, ವಿಚಿತ್ರವಾದ ಹೊಸ ಆಲೋಚನೆಗಳು ಅತ್ಯಂತ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಬಹುದು.

"ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು" ಎಂಬ ಪದವು ನನಗೆ ಇಷ್ಟವಾಗುವುದಿಲ್ಲ - ಇದು ನನ್ನ ಭಾವನೆಗಳನ್ನು ಅಪರಾಧ ಮಾಡಲು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಎಂದು ಭಾಸವಾಗುತ್ತದೆ. i ಸಂಖ್ಯೆಯು ಇತರರಂತೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ "ಕಾಲ್ಪನಿಕ" ಎಂಬ ಅಡ್ಡಹೆಸರು ಅದಕ್ಕೆ ಅಂಟಿಕೊಂಡಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಹ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

ಋಣಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ದೃಶ್ಯ ತಿಳುವಳಿಕೆ

x^2 = 9 ಸಮೀಕರಣವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಇದನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತದೆ:

x ನ ಯಾವ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, 1 ಅನ್ನು 9 ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ?

ಎರಡು ಉತ್ತರಗಳಿವೆ: "x = 3" ಮತ್ತು "x = -3". ಅಂದರೆ, ನೀವು 3 ಬಾರಿ "ಸ್ಕೇಲ್" ಮಾಡಬಹುದು ಅಥವಾ "3 ರಿಂದ ಸ್ಕೇಲ್ ಮತ್ತು ಫ್ಲಿಪ್" ಮಾಡಬಹುದು (ಫಲಿತಾಂಶದ ರಿವರ್ಸ್ ಅಥವಾ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಋಣಾತ್ಮಕ ಒಂದರಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು).

ಈಗ ನಾವು x^2 = -1 ಸಮೀಕರಣದ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸೋಣ, ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

x ನ ಯಾವ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, 1 ಅನ್ನು -1 ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ? ಹಾಂ.

ನಾವು ಎರಡು ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಏಕೆಂದರೆ ಫಲಿತಾಂಶವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ನಾವು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಫಲಿತಾಂಶವು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಏನು ... ತಿರುಗುವಿಕೆ! ಇದು ಅಸಾಮಾನ್ಯವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ನಾವು x ಅನ್ನು “90 ಡಿಗ್ರಿ ತಿರುಗುವಿಕೆ” ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ನಂತರ x ಅನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು 180 ಡಿಗ್ರಿ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಸಮನ್ವಯ ಅಕ್ಷ, ಮತ್ತು 1 -1 ಆಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ!

ಅದ್ಭುತ! ಮತ್ತು ನಾವು ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಯೋಚಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಎರಡು ಕ್ರಾಂತಿಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು 1 ರಿಂದ -1 ವರೆಗೆ ಹೋಗಿ. ಇದು "ಋಣಾತ್ಮಕ" ತಿರುಗುವಿಕೆ ಅಥವಾ -i ನಿಂದ ಗುಣಾಕಾರ:

ನಾವು -i ನಿಂದ ಎರಡು ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ಮೊದಲ ಗುಣಾಕಾರದಲ್ಲಿ ನಾವು 1 ರಿಂದ -i ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ -1 ರಿಂದ -i. ಆದ್ದರಿಂದ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಎರಡು ಇವೆ ವರ್ಗಮೂಲಗಳು-1: ನಾನು ಮತ್ತು -i.

ಇದು ಬಹಳ ತಂಪಾಗಿದೆ! ನಾವು ಪರಿಹಾರದಂತಹದನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಆದರೆ ಇದರ ಅರ್ಥವೇನು?

ನಾನು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಳೆಯಲು "ಹೊಸ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಆಯಾಮ" ಆಗಿದೆ
i (ಅಥವಾ -i) ಅನ್ನು ತಿರುಗಿಸಿದಾಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು "ಆಗುತ್ತವೆ"
i ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ 90 ಡಿಗ್ರಿ ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ತಿರುಗುತ್ತದೆ
-i ನಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು 90 ಡಿಗ್ರಿ ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ತಿರುಗುವುದು.
ಎರಡೂ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಾರಿ ತಿರುಗುವಿಕೆಯು -1 ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ: ಇದು ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ "ಸಾಮಾನ್ಯ" ಆಯಾಮಕ್ಕೆ (x-ಆಕ್ಸಿಸ್) ಹಿಂತಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ.

ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 2 ಆಯಾಮಗಳಾಗಿವೆ. ಹೌದು, ಅದನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಕಷ್ಟ, ಆದರೆ ಪ್ರಾಚೀನ ರೋಮನ್ನರು ಅದನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಲು ಕಷ್ಟವಾಗುತ್ತಿತ್ತು. ದಶಮಾಂಶಗಳುಅಥವಾ ದೀರ್ಘ ವಿಭಜನೆ. (1 ಮತ್ತು 2 ರ ನಡುವೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಇರುವುದು ಹೇಗೆ?). ಯಾರಿಗಾದರೂ ವಿಚಿತ್ರವಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ ಹೊಸ ದಾರಿಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಯೋಚಿಸಿ.

ನಾವು "ಎರಡು ಕ್ರಿಯೆಗಳಲ್ಲಿ 1 ಅನ್ನು -1 ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ಹೇಗೆ?" ಮತ್ತು ಉತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರು: 1 90 ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ತಿರುಗಿಸಿ. ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ವಿಚಿತ್ರವಾದ, ಹೊಸ ರೀತಿಯ ಚಿಂತನೆ. ಆದರೆ ತುಂಬಾ ಉಪಯುಕ್ತ. (ಅಂದಹಾಗೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಈ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ನಾನು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದ ದಶಕಗಳ ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು).

ಅಲ್ಲದೆ, ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ಕ್ರಾಂತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಮರೆಯಬೇಡಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಫಲಿತಾಂಶ- ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಮಾನವ ಸಮಾವೇಶವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲವೂ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು.

ಸೆಟ್‌ಗಳಿಗಾಗಿ ಹುಡುಕಿ

ವಿವರಗಳಿಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಆಳವಾಗಿ ಹೋಗೋಣ. ನೀವು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು (-1 ನಂತಹ) ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ನೀವು ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ:

1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1

-1 ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ಕೇವಲ ಚಿಹ್ನೆ, ನೀವು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು "+" ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಅಥವಾ "-" ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. ನೀವು ಪಡೆಯುವ ಸಂಖ್ಯೆ x ಗಾಗಿ:

x, -x, x, -x, x, -x...

ಇದು ತುಂಬಾ ಉಪಯುಕ್ತವಾದ ಉಪಾಯ. "x" ಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಳ್ಳೆಯ ಮತ್ತು ಕೆಟ್ಟ ವಾರಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಅದನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ ಒಳ್ಳೆಯ ವಾರಕೆಟ್ಟದ್ದನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ; ಇದು ಒಳ್ಳೆಯ ವಾರ; 47 ನೇ ವಾರ ಹೇಗಿರುತ್ತದೆ?

X ಎಂದರೆ ಅದು ಕೆಟ್ಟ ವಾರವಾಗಲಿದೆ. ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಹೇಗೆ "ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ" ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡಿ - ನಾವು ಎಣಿಸುವ ಬದಲು (-1)^47 ಅನ್ನು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ನಮೂದಿಸಬಹುದು ("ವಾರ 1 ಒಳ್ಳೆಯದು, ವಾರ 2 ಕೆಟ್ಟದು... ವಾರ 3 ಒಳ್ಳೆಯದು..."). ನಿರಂತರವಾಗಿ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿರುವ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಪೂರ್ಣವಾಗಿ ರೂಪಿಸಬಹುದು.

ಸರಿ, ನಾವು i ನಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಿದರೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ?

ತುಂಬಾ ತಮಾಷೆಯಾಗಿದೆ, ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಸ್ವಲ್ಪ ಸರಳಗೊಳಿಸೋಣ:

ಅದೇ ವಿಷಯವನ್ನು ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:

ನಾವು ಪ್ರತಿ 4 ನೇ ತಿರುವು ಚಕ್ರವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅದು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ, ಸರಿ? ಎಡಕ್ಕೆ 4 ತಿರುವುಗಳು ತಿರುಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಯಾವುದೇ ಮಗು ನಿಮಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಈಗ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ವಿರಾಮ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ (i, i^2) ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ನೋಡಿ:

X, Y, -X, -Y, X, Y, -X, -Y...

ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಗೆ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಕನ್ನಡಿ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು "X" ಮತ್ತು "Y" ಎಂಬ ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳ ನಡುವೆ ತಿರುಗುವ ಯಾವುದನ್ನಾದರೂ ಮಾದರಿ ಮಾಡಬಹುದು. ಅಥವಾ ಆವರ್ತಕ, ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಅವಲಂಬನೆಯೊಂದಿಗೆ ಏನಾದರೂ - ನಿಮ್ಮ ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಏನಾದರೂ ಇದೆಯೇ?

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು

ಪರಿಗಣಿಸಲು ಇನ್ನೂ ಒಂದು ವಿವರವಿದೆ: ಸಂಖ್ಯೆಯು "ನೈಜ" ಮತ್ತು "ಕಾಲ್ಪನಿಕ" ಎರಡೂ ಆಗಬಹುದೇ?

ಅದರಲ್ಲಿ ಸಂಶಯವೂ ಬೇಡ. ನಾವು ನಿಖರವಾಗಿ 90 ಡಿಗ್ರಿ ತಿರುಗಬೇಕು ಎಂದು ಯಾರು ಹೇಳಿದರು? ನಾವು ಒಂದು ಪಾದವನ್ನು "ನೈಜ" ಆಯಾಮದ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು "ಕಾಲ್ಪನಿಕ" ಆಯಾಮದ ಮೇಲೆ ನಿಂತರೆ, ಅದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ನಾವು 45 ಡಿಗ್ರಿ ಮಾರ್ಕ್‌ನಲ್ಲಿದ್ದೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯು "1 + i" ಆಗಿದೆ. ಇದು ಹಾಟ್ ಡಾಗ್‌ನಂತೆ, ಅಲ್ಲಿ ಕೆಚಪ್ ಮತ್ತು ಸಾಸಿವೆ ಎರಡೂ ಇರುತ್ತದೆ - ನೀವು ಒಂದನ್ನು ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಆರಿಸಬೇಕೆಂದು ಯಾರು ಹೇಳಿದರು?

ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ನಾವು ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳ ಯಾವುದೇ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲದರಿಂದ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು. ಕೋನವು "ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನ" ಆಗುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯು ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅಲಂಕಾರಿಕ ಹೆಸರು. ಅವುಗಳನ್ನು "a + bi" ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ:

a - ನಿಜವಾದ ಭಾಗ
ಬಿ - ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗ

ಕೆಟ್ಟದ್ದಲ್ಲ. ಆದರೆ ಒಂದೇ ಒಂದು ಉಳಿದಿದೆ ಕೊನೆಯ ಪ್ರಶ್ನೆ: ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಷ್ಟು "ದೊಡ್ಡದು"? ನಾವು ನಿಜವಾದ ಭಾಗವನ್ನು ಅಥವಾ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಅಳೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ದೊಡ್ಡ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಒಂದು ಹೆಜ್ಜೆ ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಇಡೋಣ. ಗಾತ್ರ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಶೂನ್ಯದಿಂದ ದೂರ:

ಹುಡುಕಲು ಇದು ಇನ್ನೊಂದು ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯ. ಆದರೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ 90 ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡೂ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಅಳೆಯುವುದು ಹೇಗೆ?

ಆಕಾಶದಲ್ಲಿರುವ ಹಕ್ಕಿಯೋ... ಅಥವಾ ವಿಮಾನವೋ... ನೆರವಿಗೆ ಬರುತ್ತಿದೆ ಪೈಥಾಗರಸ್!

ಪ್ರಮೇಯವು 2000 ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ ಆವಿಷ್ಕರಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಾದಲ್ಲೆಲ್ಲಾ ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಪುಟಿಯುತ್ತದೆ. ಹೌದು, ನಾವು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಶೂನ್ಯದಿಂದ ದೂರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಳೆಯುವುದು "ಕೇವಲ - ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುವುದು" ಅಷ್ಟು ಸರಳವಲ್ಲವಾದರೂ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ತುಂಬಾ ಉಪಯುಕ್ತ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳು. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ನಿಜವಾದ ಉದಾಹರಣೆ: ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳು

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಲು ಕಾಲೇಜು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದವರೆಗೆ ನಾವು ಕಾಯುವುದಿಲ್ಲ. ನಾವು ಇದನ್ನು ಇಂದು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ಬಹಳಷ್ಟು ಹೇಳಬಹುದು, ಆದರೆ ಇದೀಗ ನೀವು ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು:

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಅದರ ಕೋನದಿಂದ ತಿರುಗುತ್ತದೆ

ಅದು ಹೇಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೋಡೋಣ. ನಾನು ದೋಣಿಯಲ್ಲಿದ್ದೇನೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿ, ಉತ್ತರಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿ 4 ಘಟಕಗಳಿಗೆ ಪೂರ್ವಕ್ಕೆ 3 ಘಟಕಗಳ ಹಾದಿಯಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತಿದ್ದೇನೆ. ನಾನು ನನ್ನ ಕೋರ್ಸ್ ಅನ್ನು 45 ಡಿಗ್ರಿ ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ. ನನ್ನ ಹೊಸ ಕೋರ್ಸ್ ಏನಾಗಿರುತ್ತದೆ?

ಯಾರಾದರೂ ಹೇಳಬಹುದು “ಇದು ಸುಲಭ! ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಗೂಗಲ್ ಮಾಡಿ... ತದನಂತರ..." ನನ್ನ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ನಾನು ಮುರಿದಿದ್ದೇನೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ...

ಮೇಲೆ ಹೋಗೋಣ ಸರಳ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ: ನಾವು 3 + 4i ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿದ್ದೇವೆ (ಕೋನವು ಯಾವುದಾದರೂ ವಿಷಯವಲ್ಲ, ನಾವು ಈಗ ಕಾಳಜಿ ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ) ಮತ್ತು ನಾವು 45 ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ತಿರುಗಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ. ಸರಿ, 45 ಡಿಗ್ರಿ 1 + i (ಆದರ್ಶ ಕರ್ಣ) ಆಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ನಮ್ಮ ದರವನ್ನು ಗುಣಿಸಬಹುದು!

ಸಾರಾಂಶ ಇಲ್ಲಿದೆ:

ಆರಂಭಿಕ ಶಿರೋನಾಮೆ: 3 ಘಟಕಗಳು ಪೂರ್ವ, 4 ಘಟಕಗಳು ಉತ್ತರ = 3 + 4i
ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ 45 ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ತಿರುಗಿಸಿ = 1 + i ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ

ಗುಣಿಸಿದಾಗ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನಮ್ಮ ಹೊಸ ಹೆಗ್ಗುರುತು- ಪಶ್ಚಿಮಕ್ಕೆ 1 ಘಟಕ (-1 ಪೂರ್ವಕ್ಕೆ) ಮತ್ತು ಉತ್ತರಕ್ಕೆ 7 ಘಟಕಗಳು, ನೀವು ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸಬಹುದು.

ಆದರೆ! ನಾವು ಯಾವುದೇ ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್‌ಗಳಿಲ್ಲದೆ 10 ಸೆಕೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ನಾವು ಯಾವ ಕ್ವಾಡ್ರಾಂಟ್‌ನಲ್ಲಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದರ ಟ್ರ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸಸ್ ಇರಲಿಲ್ಲ. ಇದು ಸರಳ ಅಂಕಗಣಿತ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಸ್ವಲ್ಪ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿತ್ತು. ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ತಿರುಗುವಿಕೆಗೆ ಉತ್ತಮವಾಗಿವೆ!

ಇದಲ್ಲದೆ, ಅಂತಹ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಫಲಿತಾಂಶವು ತುಂಬಾ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಕೋನ (ಅಟಾನ್(7/-1) = 98.13 ಬದಲಿಗೆ ಕೋರ್ಸ್ (-1, 7) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಎರಡನೇ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದು ತಕ್ಷಣವೇ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಖರವಾಗಿ, ಸೂಚಿಸಿದ ಕೋನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಸೆಳೆಯಲು ಮತ್ತು ಅನುಸರಿಸಲು ನೀವು ಯೋಜಿಸಿದ್ದೀರಿ ಕೈಯಲ್ಲಿ ಪ್ರೋಟ್ರಾಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಿರುವಿರಾ?

ಇಲ್ಲ, ನೀವು ಕೋನವನ್ನು ಕೊಸೈನ್ ಮತ್ತು ಸೈನ್ ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೀರಿ (-0.14 ಮತ್ತು 0.99), ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂದಾಜು ಅನುಪಾತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ (ಸುಮಾರು 1 ರಿಂದ 7) ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಸ್ಕೆಚ್ ಮಾಡಿ. ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನಿಸ್ಸಂದೇಹವಾಗಿ ಗೆಲ್ಲುತ್ತವೆ - ನಿಖರವಾಗಿ, ಮಿಂಚಿನ ವೇಗ ಮತ್ತು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಇಲ್ಲದೆ!

ನೀವು ನನ್ನಂತೆಯೇ ಇದ್ದರೆ, ಈ ಆವಿಷ್ಕಾರವನ್ನು ನೀವು ಮನಮುಟ್ಟುವಂತೆ ಕಾಣುತ್ತೀರಿ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಗಣಿತವು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಪ್ರಚೋದಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾನು ಹೆದರುತ್ತೇನೆ. ಕ್ಷಮಿಸಿ!

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸುಲಭಗೊಳಿಸುತ್ತವೆ (cos(a + b) ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಂತೆ). ಇದು ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಘೋಷಣೆಯಾಗಿದೆ; ಮುಂದಿನ ಲೇಖನಗಳಲ್ಲಿ ನಾನು ನಿಮಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೆನುವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತೇನೆ.

ಸಾಹಿತ್ಯದ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತತೆ: ಕೆಲವರು ಈ ರೀತಿ ಯೋಚಿಸುತ್ತಾರೆ: "ಹೇ, ಉತ್ತರ/ಪೂರ್ವ ಕೋರ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿಲ್ಲ ಸರಳ ಕೋನಹಡಗಿನ ಮಾರ್ಗಕ್ಕಾಗಿ!

ಅದು ನಿಜವೆ? ಸರಿ, ನಿಮ್ಮದನ್ನು ನೋಡಿ ಬಲಗೈ. ನಿಮ್ಮ ಕಿರುಬೆರಳಿನ ಬುಡ ಮತ್ತು ತುದಿಯ ನಡುವಿನ ಕೋನ ಯಾವುದು ತೋರು ಬೆರಳು? ನಿಮ್ಮ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಶುಭವಾಗಲಿ.

ಅಥವಾ ನೀವು ಸರಳವಾಗಿ ಉತ್ತರಿಸಬಹುದು, "ಸರಿ, ತುದಿ X ಇಂಚುಗಳು ಬಲಕ್ಕೆ ಮತ್ತು Y ಇಂಚುಗಳು ಮೇಲಕ್ಕೆ," ಮತ್ತು ನೀವು ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಏನಾದರೂ ಮಾಡಬಹುದು.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಹತ್ತಿರವಾಗುತ್ತಿವೆಯೇ?

ನಾವು ಸುಂಟರಗಾಳಿಯಂತಹ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ನನ್ನ ಮೂಲಭೂತ ಆವಿಷ್ಕಾರಗಳ ಮೂಲಕ ಹೋದೆವು. ಮೊದಲ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನೋಡಿ, ಅದು ಈಗ ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಬೇಕು.

ಈ ಸುಂದರವಾದ, ಅದ್ಭುತವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಅನ್ವೇಷಿಸಲು ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಿನವುಗಳಿವೆ, ಆದರೆ ನನ್ನ ಮೆದುಳು ಈಗಾಗಲೇ ದಣಿದಿದೆ. ನನ್ನ ಗುರಿ ಸರಳವಾಗಿತ್ತು:

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು "ಹುಚ್ಚು" ಎಂದು ಮಾತ್ರ ನೋಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ಮನವರಿಕೆ ಮಾಡಿ, ಆದರೆ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಅವು ತುಂಬಾ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಬಹುದು (ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆಯೇ)
ತಿರುಗುವಿಕೆಯಂತಹ ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಹೇಗೆ ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸಿ.

ನಾನು ಈ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ಅತಿಯಾದ ಕಾಳಜಿ ತೋರುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಅದಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಿದೆ. ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನನಗೆ ವರ್ಷಗಳ ಗೀಳು - ತಿಳುವಳಿಕೆಯ ಕೊರತೆ ನನ್ನನ್ನು ಕೆರಳಿಸಿತು.

ಆದರೆ ಕತ್ತಲೆಯಲ್ಲಿ ಮುಳುಗುವುದಕ್ಕಿಂತ ಮೇಣದಬತ್ತಿಯನ್ನು ಬೆಳಗಿಸುವುದು ಉತ್ತಮ: ಇವು ನನ್ನ ಆಲೋಚನೆಗಳು ಮತ್ತು ನನ್ನ ಓದುಗರ ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಬೆಳಕು ಬೆಳಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನನಗೆ ಖಾತ್ರಿಯಿದೆ.

ಉಪಸಂಹಾರ: ಆದರೆ ಅವರು ಇನ್ನೂ ಬಹಳ ವಿಲಕ್ಷಣರಾಗಿದ್ದಾರೆ!

ಅವರು ಇನ್ನೂ ನನಗೆ ವಿಚಿತ್ರವಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ನನಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ನಾನು ಶೂನ್ಯ ಚಿಂತನೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದ ಮೊದಲ ವ್ಯಕ್ತಿಯಂತೆ ಯೋಚಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಿದ್ದೇನೆ.

ಶೂನ್ಯವು ಅಂತಹ ವಿಚಿತ್ರ ಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ, "ಏನಾದರೂ" "ಏನೂ ಇಲ್ಲ" ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಪ್ರಾಚೀನ ರೋಮ್. ಇದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆಯೇ - ಇದು ಹೊಸ ಚಿಂತನೆಯ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಶೂನ್ಯ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆರಡೂ ಗಣಿತವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತವೆ. ಹೊಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಂತಹ ವಿಚಿತ್ರವಾದ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ನಾವು ಎಂದಿಗೂ ಪರಿಚಯಿಸದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಇನ್ನೂ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ನಮ್ಮ ಬೆರಳುಗಳ ಮೇಲೆ ಎಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ನಾನು ಈ ಸಾದೃಶ್ಯವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತೇನೆ ಏಕೆಂದರೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು "ಸಾಮಾನ್ಯವಲ್ಲ" ಎಂದು ಯೋಚಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ. ನಾವೀನ್ಯತೆಗೆ ತೆರೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ: ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ, 21 ನೇ ಶತಮಾನದವರೆಗೆ ಯಾರಾದರೂ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ನಂಬಲಿಲ್ಲ ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ಜನರು ತಮಾಷೆ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ.

ಅಕ್ಟೋಬರ್ 23, 2015