ಸಮೀಕರಣ - ಅದು ಏನು? ಪದದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ, ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಪರಿಹಾರ, ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ಗಮನ!
ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಇವೆ
ವಿಶೇಷ ವಿಭಾಗ 555 ರಲ್ಲಿನ ವಸ್ತುಗಳು.
ತುಂಬಾ "ತುಂಬಾ ಅಲ್ಲ..." ಇರುವವರಿಗೆ
ಮತ್ತು "ತುಂಬಾ..." ಇರುವವರಿಗೆ)

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ಶಾಲಾ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಅತ್ಯಂತ ಕಷ್ಟಕರ ವಿಷಯವಲ್ಲ. ಆದರೆ ತರಬೇತಿ ಪಡೆದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯನ್ನು ಸಹ ಒಗಟು ಮಾಡುವಂತಹ ಕೆಲವು ತಂತ್ರಗಳಿವೆ. ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣವೇ?)

ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಕೊಡಲಿ + ಬಿ = 0 ಎಲ್ಲಿ a ಮತ್ತು b- ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

2x + 7 = 0. ಇಲ್ಲಿ a=2, b=7

0.1x - 2.3 = 0 ಇಲ್ಲಿ a=0.1, b=-2.3

12x + 1/2 = 0 ಇಲ್ಲಿ a=12, b=1/2

ಏನೂ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿಲ್ಲ, ಸರಿ? ವಿಶೇಷವಾಗಿ ನೀವು ಪದಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸದಿದ್ದರೆ: "ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು"... ಮತ್ತು ನೀವು ಗಮನಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಅಜಾಗರೂಕತೆಯಿಂದ ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸಿದರೆ?) ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ವೇಳೆ a=0, b=0(ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಾಧ್ಯವೇ?), ನಂತರ ನಾವು ತಮಾಷೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಆದರೆ ಅಷ್ಟೆ ಅಲ್ಲ! ಒಂದು ವೇಳೆ, ಹೇಳಿದರೆ, a=0,ಎ b=5,ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಗತಿಯಾಗಿದೆ:

ಇದು ಕಿರಿಕಿರಿಯುಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ವಿಶ್ವಾಸವನ್ನು ಕುಗ್ಗಿಸುತ್ತದೆ, ಹೌದು...) ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ. ಆದರೆ ಈ ವಿಚಿತ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ನೀವು X ಅನ್ನು ಸಹ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು! ಯಾವುದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಮತ್ತು, ಆಶ್ಚರ್ಯಕರವಾಗಿ, ಈ X ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ನಾವು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ.

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅದರ ನೋಟದಿಂದ ಗುರುತಿಸುವುದು ಹೇಗೆ? ಇದು ನೋಟವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ.) ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಕೇವಲ ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿದೆ ಕೊಡಲಿ + ಬಿ = 0 , ಆದರೆ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಮತ್ತು ಸರಳೀಕರಣಗಳ ಮೂಲಕ ಈ ರೂಪಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಮತ್ತು ಅದು ಇಳಿಯುತ್ತದೋ ಇಲ್ಲವೋ ಎಂದು ಯಾರಿಗೆ ಗೊತ್ತು?)

ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ನಾವು ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಪದವಿ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅಪರಿಚಿತರು ಮಾತ್ರ ಇರುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ ಅಜ್ಞಾತ , ಇದು ಮುಖ್ಯ! ಮತ್ತು ವಿಭಾಗದಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆ,ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಭಾಗ - ಅದು ಸ್ವಾಗತಾರ್ಹ! ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ಇದು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿವೆ, ಆದರೆ ಚೌಕ, ಘನ, ಇತ್ಯಾದಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ x ಗಳಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಛೇದಗಳಲ್ಲಿ x ಗಳಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ. ಸಂ x ನಿಂದ ವಿಭಾಗ. ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವಿದೆ

ರೇಖೀಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇಲ್ಲಿ X ಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಮೊದಲ ಪದವಿಯಲ್ಲಿವೆ, ಆದರೆ ಇವೆ x ನೊಂದಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೂಲಕ ವಿಭಾಗ. ಸರಳೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ, ನೀವು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ ಅಥವಾ ನಿಮಗೆ ಬೇಕಾದುದನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ನೀವು ಅದನ್ನು ಬಹುತೇಕ ಪರಿಹರಿಸುವವರೆಗೆ ಕೆಲವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದು ಅಸಾಧ್ಯವೆಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಅಸಮಾಧಾನ ತಂದಿದೆ. ಆದರೆ ನಿಯೋಜನೆಗಳಲ್ಲಿ, ನಿಯಮದಂತೆ, ಅವರು ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪದ ಬಗ್ಗೆ ಕೇಳುವುದಿಲ್ಲ, ಸರಿ? ಕಾರ್ಯಯೋಜನೆಯು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕೇಳುತ್ತದೆ ನಿರ್ಧರಿಸಿ.ಇದು ನನಗೆ ಸಂತೋಷವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.)

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು. ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಮೂಲಕ, ಈ ರೂಪಾಂತರಗಳು (ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು!) ಪರಿಹಾರಗಳ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ ಗಣಿತದ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳು.ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪರಿಹಾರ ಯಾವುದಾದರುಸಮೀಕರಣವು ಈ ರೂಪಾಂತರಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇದು (ಪರಿಹಾರ) ಈ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣ ಉತ್ತರದೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಲಿಂಕ್ ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸಲು ಇದು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ, ಸರಿ?) ಇದಲ್ಲದೆ, ಅಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳೂ ಇವೆ.

ಮೊದಲಿಗೆ, ಸರಳವಾದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಯಾವುದೇ ಕುಂದುಕೊರತೆಗಳಿಲ್ಲದೆ. ನಾವು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ.

x - 3 = 2 - 4x

ಇದು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. X ಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಮೊದಲ ಶಕ್ತಿಯಲ್ಲಿವೆ, X ನಿಂದ ಯಾವುದೇ ವಿಭಾಗವಿಲ್ಲ. ಆದರೆ, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು ಯಾವ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ನಮಗೆ ವಿಷಯವಲ್ಲ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಯೋಜನೆ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ X ಗಳೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಸಂಗ್ರಹಿಸಿ, ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ X (ಸಂಖ್ಯೆಗಳು) ಇಲ್ಲದೆ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಸಂಗ್ರಹಿಸಿ.

ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ನೀವು ವರ್ಗಾವಣೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ - 4x ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ, ಚಿಹ್ನೆಯ ಬದಲಾವಣೆಯೊಂದಿಗೆ, ಸಹಜವಾಗಿ, ಮತ್ತು - 3 - ಬಲಕ್ಕೆ. ಮೂಲಕ, ಇದು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೊದಲ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರ.ಆಶ್ಚರ್ಯ? ಇದರರ್ಥ ನೀವು ಲಿಂಕ್ ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸಲಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ವ್ಯರ್ಥವಾಯಿತು...) ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

x + 4x = 2 + 3

ಇದೇ ರೀತಿಯವುಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ, ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂತೋಷಕ್ಕಾಗಿ ನಮಗೆ ಏನು ಬೇಕು? ಹೌದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಶುದ್ಧ X ಇರುತ್ತದೆ! ಐದು ದಾರಿಯಲ್ಲಿದೆ. ಸಹಾಯದಿಂದ ಐವರನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುವುದು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಎರಡನೇ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರ.ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಸಿದ್ಧ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಒಂದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಉದಾಹರಣೆ, ಸಹಜವಾಗಿ. ಇದು ಬೆಚ್ಚಗಾಗಲು.) ನಾನು ಇಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಏಕೆ ನೆನಪಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದೇನೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ? ಸರಿ. ಕೊಂಬುಗಳಿಂದ ಗೂಳಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.) ಹೆಚ್ಚು ಘನವಾದದ್ದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮೀಕರಣ ಇಲ್ಲಿದೆ:

ನಾವು ಎಲ್ಲಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ? X ಗಳೊಂದಿಗೆ - ಎಡಕ್ಕೆ, X ಇಲ್ಲದೆ - ಬಲಕ್ಕೆ? ಹಾಗೆ ಆಗಿರಬಹುದು. ಉದ್ದದ ರಸ್ತೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸಣ್ಣ ಹೆಜ್ಜೆಗಳು. ಅಥವಾ ನೀವು ಅದನ್ನು ಈಗಿನಿಂದಲೇ ಮಾಡಬಹುದು, ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಯುತ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ. ಸಹಜವಾಗಿ, ನಿಮ್ಮ ಆರ್ಸೆನಲ್ನಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನೀವು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ.

ನಾನು ನಿಮಗೆ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಕೇಳುತ್ತೇನೆ: ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ನೀವು ಯಾವುದನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಇಷ್ಟಪಡುವುದಿಲ್ಲ?

100 ರಲ್ಲಿ 95 ಜನರು ಉತ್ತರಿಸುತ್ತಾರೆ: ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ! ಉತ್ತರ ಸರಿಯಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ತಕ್ಷಣ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ ಎರಡನೇ ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರ. ಛೇದವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಭಾಗವನ್ನು ನೀವು ಏನು ಗುಣಿಸಬೇಕು? ಅದು ಸರಿ, 3 ನಲ್ಲಿ. ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ? 4 ರಿಂದ. ಆದರೆ ಗಣಿತವು ನಮಗೆ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆ. ನಾವು ಹೇಗೆ ಹೊರಬರಬಹುದು? ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 12 ರಿಂದ ಗುಣಿಸೋಣ! ಆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ. ಆಗ ಮೂರು ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕು ಎರಡೂ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ನೀವು ಪ್ರತಿ ಭಾಗವನ್ನು ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮರೆಯಬೇಡಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ. ಮೊದಲ ಹಂತವು ಹೇಗೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಇಲ್ಲಿದೆ:

ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು:

ಸೂಚನೆ! ಸಂಖ್ಯಾಕಾರಕ (x+2)ನಾನು ಅದನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಹಾಕಿದ್ದೇನೆ! ಏಕೆಂದರೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಂಶವು ಗುಣಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ! ಈಗ ನೀವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು:

ಉಳಿದ ಆವರಣಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ:

ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲ, ಆದರೆ ಶುದ್ಧ ಸಂತೋಷ!) ಈಗ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಶಾಲೆಯಿಂದ ಕಾಗುಣಿತವನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ: X ನೊಂದಿಗೆ - ಎಡಕ್ಕೆ, X ಇಲ್ಲದೆ - ಬಲಕ್ಕೆ!ಮತ್ತು ಈ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ:

ಇದೇ ರೀತಿಯ ಕೆಲವು ಇಲ್ಲಿವೆ:

ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು 25 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, ಅಂದರೆ. ಎರಡನೇ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಮತ್ತೆ ಅನ್ವಯಿಸಿ:

ಅಷ್ಟೇ. ಉತ್ತರ: X=0,16

ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ: ಮೂಲ ಗೊಂದಲಮಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಉತ್ತಮ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರಲು, ನಾವು ಎರಡನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ (ಕೇವಲ ಎರಡು!) ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳು- ಚಿಹ್ನೆಯ ಬದಲಾವಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಎಡ-ಬಲಕ್ಕೆ ಅನುವಾದ ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಾಕಾರ-ವಿಭಾಗ. ಇದು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ! ನಾವು ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಯಾವುದಾದರು ಸಮೀಕರಣಗಳು! ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಯಾರಾದರೂ. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ನಾನು ಈ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸಾರ್ವಕಾಲಿಕ ಬೇಸರದಿಂದ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತೇನೆ.)

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ತತ್ವವು ಸರಳವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯುವವರೆಗೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿವೆ, ಪರಿಹಾರದ ತತ್ವದಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ.

ಆದರೆ... ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಆಶ್ಚರ್ಯಗಳು ಇವೆ, ಅವುಗಳು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಬಲವಾದ ಮೂರ್ಖತನಕ್ಕೆ ತಳ್ಳಬಹುದು ...) ಅದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಅಂತಹ ಎರಡು ಆಶ್ಚರ್ಯಗಳು ಮಾತ್ರ ಇರಬಹುದು. ಅವುಗಳನ್ನು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ.

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳು.

ಮೊದಲ ಆಶ್ಚರ್ಯ.

ನೀವು ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತೀರಿ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅಂತಹದ್ದೇನಾದರೂ:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

ಸ್ವಲ್ಪ ಬೇಸರದಿಂದ, ನಾವು ಅದನ್ನು X ನೊಂದಿಗೆ ಎಡಕ್ಕೆ, X ಇಲ್ಲದೆ - ಬಲಕ್ಕೆ ಸರಿಸುತ್ತೇವೆ ... ಚಿಹ್ನೆಯ ಬದಲಾವಣೆಯೊಂದಿಗೆ, ಎಲ್ಲವೂ ಪರಿಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ ... ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

2x-5x+3x=5-2-3

ನಾವು ಎಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಮತ್ತು... ಓಹ್!!! ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಸಮಾನತೆ ಸ್ವತಃ ಆಕ್ಷೇಪಾರ್ಹವಲ್ಲ. ಶೂನ್ಯ ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಶೂನ್ಯ. ಆದರೆ X ಕಾಣೆಯಾಗಿದೆ! ಮತ್ತು ನಾವು ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬೇಕು, x ಎಂದರೇನು?ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಪರಿಹಾರವು ಲೆಕ್ಕಕ್ಕೆ ಬರುವುದಿಲ್ಲ, ಸರಿ...) ಡೆಡ್ಲಾಕ್?

ಶಾಂತ! ಅಂತಹ ಅನುಮಾನಾಸ್ಪದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮಗಳು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಉಳಿಸುತ್ತವೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು? ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದರ ಅರ್ಥವೇನು? ಇದರರ್ಥ, x ನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಅದು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ, ನಮಗೆ ಸರಿಯಾದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಆದರೆ ನಮಗೆ ನಿಜವಾದ ಸಮಾನತೆ ಇದೆ ಈಗಾಗಲೇಸಂಭವಿಸಿದ! 0=0, ಎಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರ?! x ನಲ್ಲಿ ಇದು ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಉಳಿದಿದೆ. X ನ ಯಾವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಬಹುದು ಮೂಲಈ x ಗಳಿದ್ದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣ ಅವುಗಳನ್ನು ಇನ್ನೂ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಯೇ?ಬನ್ನಿ?)

ಹೌದು!!! X ಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಬಹುದು ಯಾವುದಾದರು!ನಿಮಗೆ ಯಾವುದು ಬೇಕು? ಕನಿಷ್ಠ 5, ಕನಿಷ್ಠ 0.05, ಕನಿಷ್ಠ -220. ಅವು ಇನ್ನೂ ಕುಗ್ಗುತ್ತವೆ. ನೀವು ನನ್ನನ್ನು ನಂಬದಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಅದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು.) X ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ ಮೂಲಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ. ಎಲ್ಲಾ ಸಮಯದಲ್ಲೂ ನೀವು ಶುದ್ಧ ಸತ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 ಮತ್ತು ಹೀಗೆ.

ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರ ಇಲ್ಲಿದೆ: x - ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಉತ್ತರವನ್ನು ವಿವಿಧ ಗಣಿತದ ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ಸಾರವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸರಿಯಾದ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಉತ್ತರವಾಗಿದೆ.

ಎರಡನೇ ಆಶ್ಚರ್ಯ.

ನಾವು ಅದೇ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸೋಣ. ಇದನ್ನೇ ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

ಅದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ, ನಾವು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾದದ್ದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಹೀಗೆ. ನಾವು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ವಿಚಿತ್ರ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಗಣಿತದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ನಮಗೆ ಸಿಕ್ಕಿತು ಸುಳ್ಳು ಸಮಾನತೆ.ಆದರೆ ಸರಳ ಪದಗಳಲ್ಲಿ, ಇದು ನಿಜವಲ್ಲ. ರೇವ್. ಆದರೆ ಅದೇನೇ ಇದ್ದರೂ, ಈ ಅಸಂಬದ್ಧತೆಯು ಸಮೀಕರಣದ ಸರಿಯಾದ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಉತ್ತಮ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ.)

ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಯೋಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ x ಗಳು ನಮಗೆ ಏನು ನೀಡುತ್ತದೆ ನಿಜಸಮಾನತೆ? ಹೌದು, ಯಾವುದೂ ಇಲ್ಲ! ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ X ಗಳು ಇಲ್ಲ. ನೀವು ಏನು ಹಾಕಿದರೂ, ಎಲ್ಲವೂ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಅಸಂಬದ್ಧತೆ ಮಾತ್ರ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ.)

ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರ ಇಲ್ಲಿದೆ: ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ.

ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಪೂರ್ಣ ಉತ್ತರವೂ ಆಗಿದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ಉತ್ತರಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ.

ಹೀಗೆ. ಈಗ, ಯಾವುದೇ (ಕೇವಲ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲ) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ X ನ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವುದು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ. ಇದು ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಚಿತ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ.)

ಈಗ ನಾವು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಮೋಸಗಳನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ.

ನೀವು ಈ ಸೈಟ್ ಅನ್ನು ಇಷ್ಟಪಟ್ಟರೆ...

ಅಂದಹಾಗೆ, ನಾನು ನಿಮಗಾಗಿ ಇನ್ನೂ ಒಂದೆರಡು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಸೈಟ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇನೆ.)

ನೀವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ತ್ವರಿತ ಪರಿಶೀಲನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರೀಕ್ಷೆ. ಕಲಿಯೋಣ - ಆಸಕ್ತಿಯಿಂದ!)

ನೀವು ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಸಮೀಕರಣವು ಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಸಮಾನತೆ ಮತ್ತು ಅಜ್ಞಾತವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಅದರಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಅಪರಿಚಿತರ ಯಾವುದೇ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಗುರುತಿಸುವಿಕೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ: ರೂಪದ ಸಂಬಂಧವು (x – 1)2 = (x – 1) (x – 1) x ನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಒಂದು ಅಜ್ಞಾತ x ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಮೀಕರಣವು x ನ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು x ನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅಲ್ಲ, ಗುರುತಿನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಂತರ x ನ ಆ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಬಹುದು ಸಮೀಕರಣವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. x ನ ಅಂತಹ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬೇರುಗಳು ಅಥವಾ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಖ್ಯೆ 5 ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ 2x + 7= 17.

ಸಮೀಕರಣ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಶಾಖೆಯಲ್ಲಿ, ಅಧ್ಯಯನದ ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು. ಶಾಲೆಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗಮನ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನದ ಇತಿಹಾಸವು ಹಲವು ಶತಮಾನಗಳ ಹಿಂದಿನದು. ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೆ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿದ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಗಣಿತಜ್ಞರು:

ಆರ್ಕಿಮಿಡಿಸ್ (c. 287–212 BC) ಒಬ್ಬ ಪುರಾತನ ಗ್ರೀಕ್ ವಿಜ್ಞಾನಿ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಮತ್ತು ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್. ಘನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ, ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಪಾತ್ರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದನು, ಅದನ್ನು ನಂತರ ತಾರತಮ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಯಿತು.

ಫ್ರಾಂಕೋಯಿಸ್ ವಿಯೆಟ್ 16 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ವಾಸಿಸುತ್ತಿದ್ದರು. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ವಿವಿಧ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಅವರು ಉತ್ತಮ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿದ್ದಾರೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಅವರು ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಅಕ್ಷರ ಪದನಾಮಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ನಡುವೆ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದರು.

ಲಿಯೊನ್ಹಾರ್ಡ್ ಯೂಲರ್ (1707 - 1783) - ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ, ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್, ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಮತ್ತು ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ. ಸೇಂಟ್ ನ ಲೇಖಕ ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ರೇಖಾಗಣಿತ, ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು, ಆಕಾಶ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ, ದೃಗ್ವಿಜ್ಞಾನ, ಬ್ಯಾಲಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್, ಹಡಗು ನಿರ್ಮಾಣ, ಸಂಗೀತ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ಮೇಲೆ 800 ಕೃತಿಗಳು. ಅವರು ವಿಜ್ಞಾನದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಮೇಲೆ ಗಮನಾರ್ಹ ಪ್ರಭಾವ ಬೀರಿದರು. ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೂಲಕ x ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು (ಯೂಲರ್‌ನ ಸೂತ್ರಗಳು) ಅವನು ಪಡೆದನು.

ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ಜೋಸೆಫ್ ಲೂಯಿಸ್ (1736 - 1813), ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಮತ್ತು ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್. ಅವರು ಬೀಜಗಣಿತದ (ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ (ಏಕವಚನ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನ) ಸಂಶೋಧನೆ ಸೇರಿದಂತೆ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಸಂಶೋಧನೆಗಳನ್ನು ನಡೆಸಿದ್ದಾರೆ.

ಜೆ.ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ಮತ್ತು ಎ.ವಾಂಡರ್ಮಾಂಡೆ ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞರು. 1771 ರಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು (ಬದಲಿ ವಿಧಾನ) ಮೊದಲು ಬಳಸಲಾಯಿತು.

ಗಾಸ್ ಕಾರ್ಲ್ ಫ್ರೆಡ್ರಿಕ್ (1777 -1855) - ಜರ್ಮನ್ ಗಣಿತಜ್ಞ. ಅವರು ವೃತ್ತವನ್ನು ವಿಭಜಿಸಲು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಬರೆದರು (ಅಂದರೆ, ಸಮೀಕರಣಗಳು xn - 1 = 0), ಇದು ಅನೇಕ ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಗಲೋಯಿಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಅವರು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ನಿರ್ಮಾಣದ ನಡುವೆ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದರು. ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕ್ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳ ನಂತರ ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ, ಅವರು ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಮಹತ್ವದ ಹೆಜ್ಜೆ ಇಟ್ಟರು, ಅವುಗಳೆಂದರೆ: ದಿಕ್ಸೂಚಿ ಮತ್ತು ಆಡಳಿತಗಾರನೊಂದಿಗೆ ನಿಯಮಿತ n-gon ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದಾದ n ನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅವರು ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ನಾನು ಸೇರಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೇನೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು, ಭಾಗಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಗುಣಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನಾನು ತೀರ್ಮಾನಿಸಿದೆ.

O. I. ಸೊಮೊವ್ - ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿವಿಧ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಪ್ರಮುಖ ಮತ್ತು ಹಲವಾರು ಕೃತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಪುಷ್ಟೀಕರಿಸಿದರು, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಉನ್ನತ ಪದವಿಗಳ ಕೆಲವು ಬೀಜಗಣಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ.

ಗಲೋಯಿಸ್ ಎವಾರಿಸ್ಟ್ (1811-1832) - ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞ. ಜೆ. ಲಾಗ್ರೇಂಜ್, ಎನ್. ಅಬೆಲ್ ಮತ್ತು ಇತರರು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರದ ಸಂಶೋಧನೆಯ ಮುಂದುವರಿಕೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅವರು ಬಂದ ವಿಚಾರಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದು ಅವರ ಮುಖ್ಯ ಅರ್ಹತೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ರಚಿಸಿದರು. ಅಜ್ಞಾತ ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಉನ್ನತ ಪದವಿಗಳು.

A. V. ಪೊಗೊರೆಲೋವ್ (1919 - 1981) - ಅವರ ಕೆಲಸವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ. ಅವರ ಕೃತಿಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೇಲೆ ಗಮನಾರ್ಹ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರಿತು.

ಪಿ. ರುಫಿನಿ - ಇಟಾಲಿಯನ್ ಗಣಿತಜ್ಞ. ಪದವಿ 5 ರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಅವರು ಹಲವಾರು ಕೃತಿಗಳನ್ನು ವಿನಿಯೋಗಿಸಿದರು, ಬದಲಿಗಳ ಗುಂಪಿನ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥಿತವಾಗಿ ಬಳಸಿದರು.

ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ದೀರ್ಘಕಾಲದವರೆಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಾರೆ ಎಂಬ ವಾಸ್ತವದ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಜನರು ಹೇಗೆ ಮತ್ತು ಯಾವಾಗ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಕೆಂದು ವಿಜ್ಞಾನಕ್ಕೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಜನರು ಮಾನವರಾದ ಸಮಯದಿಂದಲೂ ಸರಳವಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದಿದೆ. ಇನ್ನೊಂದು 3 - 4 ಸಾವಿರ ವರ್ಷಗಳ ಕ್ರಿ.ಪೂ. ಇ. ಈಜಿಪ್ಟಿನವರು ಮತ್ತು ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ನರು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ತಿಳಿದಿದ್ದರು. ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ನಿಯಮವು ಆಧುನಿಕ ಒಂದಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅವರು ಅಲ್ಲಿಗೆ ಹೇಗೆ ಬಂದರು ಎಂಬುದು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ.

ಪ್ರಾಚೀನ ಈಜಿಪ್ಟ್ ಮತ್ತು ಬ್ಯಾಬಿಲೋನ್‌ನಲ್ಲಿ, ಸುಳ್ಳು ಸ್ಥಾನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು. ಒಂದು ಅಜ್ಞಾತದೊಂದಿಗೆ ಮೊದಲ ಪದವಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ax + b = c ರೂಪಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಇದರಲ್ಲಿ a, b, c ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಕೊಡಲಿ = ಸಿ - ಬಿ,

b > c ಆಗಿದ್ದರೆ, c b ಎಂಬುದು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ. ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಈಜಿಪ್ಟಿನವರಿಗೆ ಮತ್ತು ನಂತರದ ಅನೇಕ ಜನರಿಗೆ ತಿಳಿದಿರಲಿಲ್ಲ (ಅವುಗಳನ್ನು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮಾನ ಹೆಜ್ಜೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾರಂಭಿಸಿದ್ದು ಹದಿನೇಳನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ). ಮೊದಲ ಪದವಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಈಗ ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ತಪ್ಪು ಸ್ಥಾನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಯಿತು. ಅಹ್ಮೆಸ್ ಪಪೈರಸ್ನಲ್ಲಿ, ಈ ವಿಧಾನದಿಂದ 15 ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈಜಿಪ್ಟಿನವರು ಅಜ್ಞಾತ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ವಿಶೇಷ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರು, ಇದನ್ನು ಇತ್ತೀಚಿನವರೆಗೂ "ಹೇಗೆ" ಎಂದು ಓದಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು "ರಾಶಿ" ("ರಾಶಿ" ಅಥವಾ "ಅಜ್ಞಾತ ಸಂಖ್ಯೆ" ಘಟಕಗಳು) ಎಂದು ಅನುವಾದಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈಗ ಅವರು ಸ್ವಲ್ಪ ಕಡಿಮೆ ತಪ್ಪಾಗಿ ಓದುತ್ತಾರೆ: "ಹೌದು." ಅಹ್ಮೆಸ್ ಬಳಸುವ ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಒಂದು ತಪ್ಪು ಸ್ಥಾನದ ವಿಧಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ax = b ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನವು ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯನ್ನು a ನಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಈಜಿಪ್ಟಿನವರು ಮತ್ತು ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ನರು ಬಳಸುತ್ತಿದ್ದರು. ವಿಭಿನ್ನ ಜನರು ಎರಡು ಸುಳ್ಳು ಸ್ಥಾನಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ಅರಬ್ಬರು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಯಾಂತ್ರಿಕಗೊಳಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಗ್ನಿಟ್ಸ್ಕಿಯ ಅಂಕಗಣಿತವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಯುರೋಪಿಯನ್ ಜನರ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಿಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಲಾದ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆದರು. ಮ್ಯಾಗ್ನಿಟ್ಸ್ಕಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು "ಸುಳ್ಳು ನಿಯಮ" ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ತನ್ನ ಪುಸ್ತಕದ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತಾನೆ:

ಈ ಭಾಗವು ತುಂಬಾ ಕುತಂತ್ರವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನೀವು ಅದರೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಹಾಕಬಹುದು. ಪೌರತ್ವದಲ್ಲಿ ಏನಿದೆ, ಆದರೆ ಆಕಾಶದಲ್ಲಿ ಉನ್ನತ ವಿಜ್ಞಾನಗಳನ್ನು ಸಹ ಸ್ವರ್ಗದ ಗೋಳದಲ್ಲಿ ಪಟ್ಟಿಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಬುದ್ಧಿವಂತರಿಗೆ ಅಗತ್ಯತೆಗಳಿವೆ.

ಮ್ಯಾಗ್ನಿಟ್ಸ್ಕಿಯ ಕವಿತೆಗಳ ವಿಷಯವನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಬಹುದು: ಅಂಕಗಣಿತದ ಈ ಭಾಗವು ತುಂಬಾ ಟ್ರಿಕಿ ಆಗಿದೆ. ಅದರ ಸಹಾಯದಿಂದ, ನೀವು ದೈನಂದಿನ ಅಭ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಿರುವದನ್ನು ಮಾತ್ರ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು, ಆದರೆ ಇದು "ಬುದ್ಧಿವಂತರನ್ನು" ಎದುರಿಸುವ "ಉನ್ನತ" ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಗ್ನಿಟ್ಸ್ಕಿ "ಸುಳ್ಳು ನಿಯಮ" ವನ್ನು ಅರಬ್ಬರು ನೀಡಿದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬಳಸುತ್ತಾರೆ, ಇದನ್ನು "ಎರಡು ದೋಷಗಳ ಅಂಕಗಣಿತ" ಅಥವಾ "ಮಾಪಕಗಳ ವಿಧಾನ" ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಪದ್ಯದಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಕಮಲದ ಸಮಸ್ಯೆ:

ಸ್ತಬ್ಧವಾದ ಸರೋವರದ ಮೇಲೆ, ನೀರಿನಿಂದ ಅರ್ಧ ಅಳತೆ, ಕಮಲದ ಬಣ್ಣವು ಗೋಚರಿಸಿತು. ಅವನು ಏಕಾಂಗಿಯಾಗಿ ಬೆಳೆದನು, ಮತ್ತು ಗಾಳಿ, ಅಲೆಯಂತೆ ಅವನನ್ನು ಬದಿಗೆ ಬಾಗಿಸಿ, ಮತ್ತು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ

ನೀರಿನ ಮೇಲೆ ಹೂವು. ಮೀನುಗಾರನ ಕಣ್ಣು ಅವನು ಬೆಳೆದ ಸ್ಥಳದಿಂದ ಎರಡು ಮೀಟರ್ ದೂರದಲ್ಲಿ ಅವನನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದನು. ಇಲ್ಲಿ ಸರೋವರದ ನೀರು ಎಷ್ಟು ಆಳವಾಗಿದೆ? ನಾನು ನಿಮಗೆ ಒಂದು ಪ್ರಶ್ನೆ ಕೇಳುತ್ತೇನೆ.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವಿಧಗಳು

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ: ax + b = 0, ಇಲ್ಲಿ a ಮತ್ತು b ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. a ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದೇ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ: x = - b: a (ax + b; ax = - b; x = - b: a.).

ಉದಾಹರಣೆಗೆ: ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: 4x + 12 = 0.

ಪರಿಹಾರ: a = 4, ಮತ್ತು b = 12 ರಿಂದ, ನಂತರ x = - 12: 4; x = - 3.

ಪರಿಶೀಲಿಸಿ: 4 (- 3) + 12 = 0; 0 = 0.

0 = 0 ರಿಂದ, ನಂತರ -3 ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ.

ಉತ್ತರ. x = -3

a ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು b ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಕ್ಸ್ + b = 0 ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

0 = 0. 0 0 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, 0x + 0 = 0 ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

a ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು b ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣದ ಕೊಡಲಿ + b = 0 ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

0 = 6. 0 6 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ನಂತರ 0x – 6 = 0 ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು.

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿರುವ ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ.

ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೊದಲು, ನೀವು ಅದರ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ: (a1x + b1y = c1, (a2x + b2y = c2.

a1 ಅನ್ನು a2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸದಿದ್ದರೆ b1 ಅನ್ನು b2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

a1 ಅನ್ನು a2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ b1 ಗೆ b2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ, ಆದರೆ c1 ಗೆ c2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

a1 ಅನ್ನು a2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ b1 ಗೆ b2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು c1 ಗೆ c2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅನಂತ ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಏಕಕಾಲಿಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸ್ಥಿರವಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸೆಟ್ ಅನಂತವಾಗಿದ್ದರೆ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

ಒಂದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅಸಂಗತ ಅಥವಾ ವಿರೋಧಾತ್ಮಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಹಲವಾರು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ:

1) ಆಯ್ಕೆ ವಿಧಾನ. ಇದು ಅತ್ಯಂತ ಸರಳವಾದ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಇದು ಎಣಿಕೆಯ ಮೂಲಕ ಅಜ್ಞಾತದ ಎಲ್ಲಾ ಮಾನ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

x = 1 ಎಂದು ಬಿಡಿ. ನಂತರ

4 = 6. 4 6 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ, x = 1 ತಪ್ಪಾಗಿದೆ ಎಂಬ ನಮ್ಮ ಊಹೆ.

x = 2 ಆಗಿರಲಿ.

6 = 6. 6 6 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, x = 2 ಸರಿಯಾಗಿದೆ ಎಂಬ ನಮ್ಮ ಊಹೆ.

ಉತ್ತರ: x = 2.

2) ಸರಳೀಕರಣ ವಿಧಾನ

ಈ ವಿಧಾನವು ಅಜ್ಞಾತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ತಿಳಿದಿರುವ ಪದಗಳನ್ನು ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಬಲಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುವುದು, ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ತರುವುದು ಮತ್ತು ಅಜ್ಞಾತದ ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸುವುದು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

5x - 4 = 11 + 2x;

5x - 2x = 11 + 4;

3x = 15; : (3) x = 5.

ಉತ್ತರ. x = 5.

3) ಗ್ರಾಫಿಕ್ ವಿಧಾನ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಲ್ಲಿ ಇದು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ y = 0, ಗ್ರಾಫ್ y-ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. x- ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಗ್ರಾಫ್ನ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವು ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

y = 7 ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ y = 2x + 3.

ಎರಡೂ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ:

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು

ಏಳನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ, ಅವರು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮೂರು ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ:

1) ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ.

ಈ ವಿಧಾನವು ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ನಂತರ ಒಂದು ಅಜ್ಞಾತದೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಅಜ್ಞಾತದ ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಅಜ್ಞಾತ ಮೌಲ್ಯವು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

5x - 2y - 2 = 1.

3x + y = 4; y = 4 - 3x.

ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸೋಣ:

5x – 2(4 – 3x) -2 = 1;

5x - 8 + 6x = 1 + 2;

11x = 11; : (11) x = 1.

ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು 3x + y = 4 ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸೋಣ.

3 1 + y = 4;

3 + y = 4; y = 4 - 3; y = 1.

ಪರೀಕ್ಷೆ.

/3 1 + 1 = 4,

\5 · 1 - 2 · 1 - 2 = 1;

ಉತ್ತರ: x = 1; y = 1.

2) ಸೇರ್ಪಡೆ ವಿಧಾನ.

ಈ ವಿಧಾನವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪದದಿಂದ ಪದವನ್ನು ಸೇರಿಸಿದಾಗ, ಒಂದು ಅಜ್ಞಾತದೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪಿಸಿದರೆ, ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಅಪರಿಚಿತರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಅಜ್ಞಾತದ ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಅಜ್ಞಾತ ಮೌಲ್ಯವು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

/3у – 2х = 5,

\5x – 3y = 4.

ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ.

3x = 9; : (3) x = 3.

ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು 3y – 2x = 5 ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸೋಣ.

3у - 2 3 = 5;

3у = 11; : (3) y = 11/3; y = 3 2/3.

ಆದ್ದರಿಂದ x = 3; y = 3 2/3.

ಪರೀಕ್ಷೆ.

/3 11/3 – 2 3 = 5,

\5 · 3 - 3 · 11/ 3 = 4;

ಉತ್ತರ. x = 3; y = 3 2/3

3) ಗ್ರಾಫಿಕ್ ವಿಧಾನ.

ಈ ವಿಧಾನವು ಒಂದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಸಮೀಕರಣದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಸಮೀಕರಣದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ವಿಲೀನಗೊಂಡರೆ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅನಂತ ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

18x + 3y - 1 = 8.

2x - y = 5; 18x + 3y - 1 = 8;

Y = 5 - 2x; 3y = 9 - 18x; : (3) y = 2x - 5. y = 3 - 6x.

ಅದೇ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ y = 2x - 5 ಮತ್ತು y = 3 - 6x ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ.

y = 2x - 5 ಮತ್ತು y = 3 - 6x ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಪಾಯಿಂಟ್ A (1; -3) ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವು x = 1 ಮತ್ತು y = -3 ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪರೀಕ್ಷೆ.

2 1 - (- 3) = 5,

18 1 + 3 (-3) - 1 = 8.

18 - 9 – 1 = 8;

ಉತ್ತರ. x = 1; y = -3.

ತೀರ್ಮಾನ

ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಆಧುನಿಕ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಾಧನವಾಗಿಯೂ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಅಗತ್ಯವೆಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಅನೇಕ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಮುಂದುವರೆಸಿದ್ದಾರೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣಗಳುನೀವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಸಮೀಕರಣವು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಪ್ರಮಾಣದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದನ್ನು ಅಜ್ಞಾತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. "ಆಂಡ್ರೆ ತನ್ನ ಕೈಚೀಲದಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾನೆ. ನೀವು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ನಂತರ 5 ಅನ್ನು ಕಳೆದರೆ, ನಿಮಗೆ 10 ಸಿಗುತ್ತದೆ. ಆಂಡ್ರೇ ಎಷ್ಟು ಹಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾನೆ? ಅಪರಿಚಿತ ಹಣದ ಮೊತ್ತವನ್ನು x ಎಂದು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ: 2x-5=10.

ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಲು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮಾರ್ಗಗಳು, ಮೊದಲು ನೀವು ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ಸಂಕೇತಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಿತರಾಗಬೇಕು. ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ವಿಭಿನ್ನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳಿವೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸುಲಭವಾದ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಮೊದಲ ಹಂತದ ಅಜ್ಞಾತ. ಶಾಲೆಯಿಂದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನೇಕ ಜನರು ತಿಳಿದಿದ್ದಾರೆ. ಉನ್ನತ ಗಣಿತದ ತಂತ್ರಗಳು ಉನ್ನತ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಅದರ ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಫಂಕ್ಷನ್ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವು ಸಹ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದು ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮ ಸಹಾಯವಾಗಿದೆ.

ವಿವರಣೆ. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಅಪರಿಚಿತ ಪ್ರಮಾಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಗಣಿತದ ಸಮಾನತೆಯಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ 2x+3y=0.

ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳು. ಲ್ಯಾಟಿನ್ ವರ್ಣಮಾಲೆಯ ಅಕ್ಷರಗಳು ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಪರಿಚಿತರು ಇದ್ದರೂ, ಕೆಳಗೆ ನಾವು ಒಂದು ಅಪರಿಚಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತ್ರ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ, ಅದನ್ನು ನಾವು x ನಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಸಮೀಕರಣದ ಪದವಿಅಜ್ಞಾತವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಗರಿಷ್ಠ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,
$3x^4+6x-1=0$ ಎಂಬುದು ನಾಲ್ಕನೇ ಪದವಿಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ, $x-4x^2+6x=8$ ಎಂಬುದು ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

ಅಜ್ಞಾತವನ್ನು ಗುಣಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಗುಣಾಂಕಗಳು. ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ನಾಲ್ಕನೇ ಶಕ್ತಿಗೆ ಅಜ್ಞಾತವು 3 ರ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ x ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿದಾಗ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು, ಅಥವಾ ಅದರ ಮೂಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 3 ಎಂಬುದು 2x+8=14 ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲ ಅಥವಾ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ 2*3+8=6+8=14.

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು. ನಾವು 2x+5=11 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ.

ನೀವು ಅದರೊಳಗೆ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯ x ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ x=2. x ಅನ್ನು 2 ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ ಮತ್ತು ಪಡೆಯಿರಿ: 2*2+5=4+5=9.

ಇಲ್ಲಿ ಏನೋ ತಪ್ಪಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು 11 ಅನ್ನು ಪಡೆಯಬೇಕು. ನಾವು x=3: 2*3+5=6+5=11 ಅನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ.

ಉತ್ತರ ಸರಿಯಾಗಿದೆ. ಅಜ್ಞಾತವು 3 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಆಗ ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ ಸಮಾನತೆ ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಾವು ಬಳಸಿದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಆಯ್ಕೆ ವಿಧಾನ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಇದು ಬಳಸಲು ಅನಾನುಕೂಲವಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಇದನ್ನು ಒಂದು ವಿಧಾನ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು, $x^4-5x^2+16=2365$ ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅದನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನಗಳು. "ಆಟದ ನಿಯಮಗಳು" ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತವೆ, ಅದು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಅಜ್ಞಾತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ನಮ್ಮ ಗುರಿಯಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಜ್ಞಾತವನ್ನು ಕೆಲವು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಸಮೀಕರಣದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಒಂದು ಭಾಗದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೊದಲ ನಿಯಮವೆಂದರೆ ...

1. ಸಮೀಕರಣದ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಒಂದು ಭಾಗದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವಾಗ, ಅದರ ಚಿಹ್ನೆಯು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ: ಜೊತೆಗೆ ಮೈನಸ್ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. 2x+5=11 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಎಡಭಾಗದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ 5 ಅನ್ನು ಸರಿಸೋಣ: 2x=11-5. ಸಮೀಕರಣವು 2x=6 ಆಗುತ್ತದೆ.

ಎರಡನೇ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ.
2. ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗದ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಭಾಗಿಸಬಹುದು. ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸೋಣ: $x=\frac62=3$. ಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಅಜ್ಞಾತ x ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ನಾವು ಸರಳವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ - ಒಂದು ಅಪರಿಚಿತ ಜೊತೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣ. ಈ ಪ್ರಕಾರದ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಮೇಲಾಗಿ, ಅವುಗಳನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಸರಳವಾದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು: ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆ. ಅಯ್ಯೋ, ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳು ತುಂಬಾ ಸರಳವಲ್ಲ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಅವರ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ಮಟ್ಟವು ಬಹಳ ಬೇಗನೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಯಾವುದೇ ಪ್ರೌಢಶಾಲಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಅಥವಾ ಉನ್ನತ ಪದವಿಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಪ್ರೌಢಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ವೀಡಿಯೊದಲ್ಲಿ ನಾವು ಒಂದೇ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಬಳಸಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ - ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಅವುಗಳನ್ನು ಸರಳ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ: ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದರೇನು ಮತ್ತು ಯಾವುದನ್ನು ಸರಳ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ?

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವು ಕೇವಲ ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಹಂತದವರೆಗೆ ಮಾತ್ರ ಇರುತ್ತದೆ.

ಸರಳವಾದ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದರೆ ನಿರ್ಮಾಣ:

ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಬಳಸಿ ಸರಳವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ:

1. ಆವರಣವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ, ಯಾವುದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ;
2. ವೇರಿಯಬಲ್ ಹೊಂದಿರುವ ಪದಗಳನ್ನು ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಒಂದು ಬದಿಗೆ ಮತ್ತು ವೇರಿಯಬಲ್ ಇಲ್ಲದ ಪದಗಳನ್ನು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಸರಿಸಿ;
3. ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲಕ್ಕೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ನೀಡಿ;
4. ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು $x$ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

ಸಹಜವಾಗಿ, ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಯಾವಾಗಲೂ ಸಹಾಯ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ. ಸತ್ಯವೆಂದರೆ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಈ ಎಲ್ಲಾ ಕುತಂತ್ರಗಳ ನಂತರ $x$ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗುಣಾಂಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಆಯ್ಕೆಗಳು ಸಾಧ್ಯ:

1. ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $0\cdot x=8$ ನಂತಹ ಏನಾದರೂ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿದಾಗ, ಅಂದರೆ. ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ, ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಬೇರೆ ಸಂಖ್ಯೆ. ಕೆಳಗಿನ ವೀಡಿಯೊದಲ್ಲಿ ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ಏಕೆ ಸಾಧ್ಯ ಎಂಬ ಹಲವಾರು ಕಾರಣಗಳನ್ನು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.
2. ಪರಿಹಾರವು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿರ್ಮಾಣ $0\cdot x=0$ ಗೆ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಿದಾಗ ಇದು ಸಾಧ್ಯವಾದಾಗ ಮಾತ್ರ. ನಾವು ಯಾವುದೇ $x$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿದರೂ, ಅದು ಇನ್ನೂ "ಶೂನ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮ" ಎಂದು ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸಾಕಷ್ಟು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಸರಿಯಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆ.

ನಿಜ ಜೀವನದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇದೆಲ್ಲವೂ ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಈಗ ನೋಡೋಣ.

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಇಂದು ನಾವು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಸರಳವಾದವುಗಳು ಮಾತ್ರ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಯಾವುದೇ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಮೊದಲ ಹಂತಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ ಹೋಗುತ್ತದೆ.

ಅಂತಹ ನಿರ್ಮಾಣಗಳನ್ನು ಸರಿಸುಮಾರು ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

1. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ನೀವು ಆವರಣಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಯಾವುದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ (ನಮ್ಮ ಕೊನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯಂತೆ);
2. ನಂತರ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸಂಯೋಜಿಸಿ
3. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ, ಅಂದರೆ. ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಗೊಂಡಿರುವ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ-ಅದು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಪದಗಳನ್ನು-ಒಂದು ಬದಿಗೆ ಸರಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದು ಇಲ್ಲದೆ ಉಳಿದಿರುವ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಗೆ ಸರಿಸಿ.

ನಂತರ, ನಿಯಮದಂತೆ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮಾನತೆಯ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯದನ್ನು ತರಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ನಂತರ "x" ನ ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಅಂತಿಮ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಇದು ಸುಂದರವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸರಳವಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಅನುಭವಿ ಪ್ರೌಢಶಾಲಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಸಹ ಸಾಕಷ್ಟು ಸರಳವಾದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಆಕ್ರಮಣಕಾರಿ ತಪ್ಪುಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು. ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವಾಗ ಅಥವಾ "ಪ್ಲಸಸ್" ಮತ್ತು "ಮೈನಸಸ್" ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ ದೋಷಗಳನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಅಥವಾ ಪರಿಹಾರವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ. ಇಂದಿನ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ಈ ಸೂಕ್ಷ್ಮತೆಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಆದರೆ ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಂತೆ ನಾವು ಸರಳವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಸರಳ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಯೋಜನೆ

ಮೊದಲಿಗೆ, ಸರಳವಾದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಂಪೂರ್ಣ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಬರೆಯೋಣ:

1. ಯಾವುದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ.
2. ನಾವು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ. ನಾವು "X" ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಂದು ಬದಿಗೆ ಮತ್ತು "X" ಗಳಿಲ್ಲದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಸರಿಸುತ್ತೇವೆ.
3. ನಾವು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.
4. ನಾವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ "x" ನ ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಸಹಜವಾಗಿ, ಈ ಯೋಜನೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ; ಅದರಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಸೂಕ್ಷ್ಮತೆಗಳು ಮತ್ತು ತಂತ್ರಗಳಿವೆ, ಮತ್ತು ಈಗ ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಸರಳ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ನೈಜ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 1

ಮೊದಲ ಹಂತವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಆದರೆ ಅವರು ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಈ ಹಂತವನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತೇವೆ. ಎರಡನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ: ನಾವು ವೈಯಕ್ತಿಕ ನಿಯಮಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತ್ರ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಅದನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:

ನಾವು ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಇದನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಇಲ್ಲಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ನಾಲ್ಕನೇ ಹಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತೇವೆ: ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

ಆದ್ದರಿಂದ ನಮಗೆ ಉತ್ತರ ಸಿಕ್ಕಿತು.

ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 2

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಆವರಣಗಳನ್ನು ನೋಡಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸೋಣ:

ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಎರಡೂ ನಾವು ಸರಿಸುಮಾರು ಒಂದೇ ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪ್ರಕಾರ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ. ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು:

ಇದೇ ರೀತಿಯ ಕೆಲವು ಇಲ್ಲಿವೆ:

ಇದು ಯಾವ ಬೇರುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ? ಉತ್ತರ: ಯಾವುದಕ್ಕೂ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು $x$ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.

ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 3

ಮೂರನೇ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವು ಹೆಚ್ಚು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ:

\[\ಎಡ(6-x \ಬಲ)+\ಎಡ(12+x \ಬಲ)-\ಎಡ(3-2x \ಬಲ)=15\]

ಇಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿವೆ, ಆದರೆ ಅವು ಯಾವುದರಿಂದ ಗುಣಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿಲ್ಲ, ಅವು ವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಂದ ಸರಳವಾಗಿ ಮುಂಚಿತವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಒಡೆಯೋಣ:

ನಮಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿರುವ ಎರಡನೇ ಹಂತವನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

ಗಣಿತವನ್ನು ಮಾಡೋಣ:

ನಾವು ಕೊನೆಯ ಹಂತವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ - ಎಲ್ಲವನ್ನೂ "x" ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ನೆನಪಿಡುವ ವಿಷಯಗಳು

ನಾವು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿದರೆ, ನಾನು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಹೇಳಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ:

• ನಾನು ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದಂತೆ, ಪ್ರತಿ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ - ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ;
• ಬೇರುಗಳಿದ್ದರೂ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ಇರಬಹುದು - ಅದರಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ತಪ್ಪಿಲ್ಲ.

ಸೊನ್ನೆಯು ಇತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ; ನೀವು ಅದರ ವಿರುದ್ಧ ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ತಾರತಮ್ಯ ಮಾಡಬಾರದು ಅಥವಾ ನೀವು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಪಡೆದರೆ, ನೀವು ಏನಾದರೂ ತಪ್ಪು ಮಾಡಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಾರದು.

ಮತ್ತೊಂದು ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳ ತೆರೆಯುವಿಕೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ: ಅವುಗಳ ಮುಂದೆ "ಮೈನಸ್" ಇದ್ದಾಗ, ನಾವು ಅದನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಆವರಣದಲ್ಲಿ ನಾವು ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ ವಿರುದ್ದ. ತದನಂತರ ನಾವು ಅದನ್ನು ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ತೆರೆಯಬಹುದು: ಮೇಲಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ನಾವು ನೋಡಿದ್ದನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಈ ಸರಳ ಸತ್ಯವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಪ್ರೌಢಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ಟುಪಿಡ್ ಮತ್ತು ನೋಯಿಸುವ ತಪ್ಪುಗಳನ್ನು ಮಾಡುವುದನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಅಂತಹ ಕೆಲಸಗಳನ್ನು ಲಘುವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಹೋಗೋಣ. ಈಗ ನಿರ್ಮಾಣಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವಾಗ ಚತುರ್ಭುಜ ಕಾರ್ಯವು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಹೇಗಾದರೂ, ನಾವು ಈ ಬಗ್ಗೆ ಭಯಪಡಬಾರದು, ಏಕೆಂದರೆ, ಲೇಖಕರ ಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತಿದ್ದರೆ, ರೂಪಾಂತರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಮೊನೊಮಿಯಲ್ಗಳು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ರದ್ದುಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವುದು ಮೊದಲ ಹಂತವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಬಹಳ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಮಾಡೋಣ:

ಈಗ ಗೌಪ್ಯತೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

ಇದೇ ರೀತಿಯ ಕೆಲವು ಇಲ್ಲಿವೆ:

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಇದನ್ನು ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

\[\ವರ್ಣ ಏನೂ\]

ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2

ನಾವು ಅದೇ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲ ಹಂತದ:

ವೇರಿಯೇಬಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಎಡಕ್ಕೆ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಸರಿಸೋಣ, ಮತ್ತು ಅದು ಇಲ್ಲದೆ - ಬಲಕ್ಕೆ:

ಇದೇ ರೀತಿಯ ಕೆಲವು ಇಲ್ಲಿವೆ:

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಈ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

\[\ವರ್ಣ ಏನೂ\],

ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ.

ಪರಿಹಾರದ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು

ಎರಡೂ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಬಳಸುವುದರಿಂದ, ಸರಳವಾದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಎಲ್ಲವೂ ಅಷ್ಟು ಸರಳವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಮಗೆ ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಮನವರಿಕೆಯಾಯಿತು: ಒಂದು ಅಥವಾ ಯಾವುದೂ ಇಲ್ಲ, ಅಥವಾ ಅನಂತವಾಗಿ ಹಲವು ಬೇರುಗಳು ಇರಬಹುದು. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಎರಡೂ ಸರಳವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಆದರೆ ನಾನು ನಿಮ್ಮ ಗಮನವನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಸಂಗತಿಗೆ ಸೆಳೆಯಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ: ಆವರಣದೊಂದಿಗೆ ಹೇಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮುಂದೆ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆ ಇದ್ದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ತೆರೆಯುವುದು. ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

ತೆರೆಯುವ ಮೊದಲು, ನೀವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ "X" ನಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ: ಗುಣಿಸುತ್ತದೆ ಪ್ರತಿ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಅವಧಿ. ಒಳಗೆ ಎರಡು ಪದಗಳಿವೆ - ಕ್ರಮವಾಗಿ, ಎರಡು ಪದಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಿಸಿದಾಗ.

ಮತ್ತು ಈ ತೋರಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ, ಆದರೆ ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಅಪಾಯಕಾರಿ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಪೂರ್ಣಗೊಂಡ ನಂತರವೇ, ಅದರ ನಂತರ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆ ಇದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ನೀವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಅನ್ನು ತೆರೆಯಬಹುದು. ಹೌದು, ಹೌದು: ಈಗ ಮಾತ್ರ, ರೂಪಾಂತರಗಳು ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಾಗ, ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳ ಮುಂದೆ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆ ಇದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ ಕೆಳಗಿನ ಎಲ್ಲವೂ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳು ಸ್ವತಃ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ, ಮುಂಭಾಗದ "ಮೈನಸ್" ಸಹ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಅದೇ ರೀತಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಸಣ್ಣ, ತೋರಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಲ್ಪ ಸಂಗತಿಗಳಿಗೆ ನಾನು ಗಮನ ಕೊಡುವುದು ಆಕಸ್ಮಿಕವಾಗಿ ಅಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಯಾವಾಗಲೂ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸರಳವಾದ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸಮರ್ಥವಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಅಸಮರ್ಥತೆಯು ಪ್ರೌಢಶಾಲಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ನನ್ನ ಬಳಿಗೆ ಬಂದು ಮತ್ತೆ ಅಂತಹ ಸರಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಲಿಯುತ್ತಾರೆ ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಹಜವಾಗಿ, ನೀವು ಈ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತತೆಯ ಹಂತಕ್ಕೆ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವ ದಿನ ಬರುತ್ತದೆ. ನೀವು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಪ್ರತಿ ಬಾರಿ ಹಲವಾರು ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ; ನೀವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಂದೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೀರಿ. ಆದರೆ ನೀವು ಕಲಿಯುತ್ತಿರುವಾಗ, ನೀವು ಪ್ರತಿ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಬರೆಯಬೇಕು.

ಇನ್ನಷ್ಟು ಸಂಕೀರ್ಣ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ನಾವು ಈಗ ಪರಿಹರಿಸಲು ಹೊರಟಿರುವುದು ಸರಳವಾದ ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅರ್ಥವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 1

\[\ಎಡ(7x+1 \ಬಲ)\ಎಡ(3x-1 \ಬಲ)-21((x)^(2))=3\]

ಮೊದಲ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸೋಣ:

ಸ್ವಲ್ಪ ಗೌಪ್ಯತೆಯನ್ನು ಮಾಡೋಣ:

ಇದೇ ರೀತಿಯ ಕೆಲವು ಇಲ್ಲಿವೆ:

ಕೊನೆಯ ಹಂತವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸೋಣ:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

ನಮ್ಮ ಅಂತಿಮ ಉತ್ತರ ಇಲ್ಲಿದೆ. ಮತ್ತು, ಪರಿಹರಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಚತುರ್ಭುಜ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬ ಅಂಶದ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಅವರು ಪರಸ್ಪರ ರದ್ದುಗೊಳಿಸಿದರು, ಇದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೇಖೀಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಚತುರ್ಭುಜವಲ್ಲ.

ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 2

\[\ಎಡ(1-4x \ಬಲ)\ಎಡ(1-3x \ಬಲ)=6x\ಎಡ(2x-1 \ಬಲ)\]

ಮೊದಲ ಹಂತವನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ನಿರ್ವಹಿಸೋಣ: ಮೊದಲ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ನಿಂದ ಪ್ರತಿ ಅಂಶವನ್ನು ಎರಡನೆಯಿಂದ ಪ್ರತಿ ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ. ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ ಒಟ್ಟು ನಾಲ್ಕು ಹೊಸ ಪದಗಳು ಇರಬೇಕು:

ಈಗ ಪ್ರತಿ ಪದದಲ್ಲಿ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ನಿರ್ವಹಿಸೋಣ:

"X" ನೊಂದಿಗೆ ಪದಗಳನ್ನು ಎಡಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲದಿದ್ದನ್ನು ಬಲಕ್ಕೆ ಸರಿಸೋಣ:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ:

ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನಾವು ಅಂತಿಮ ಉತ್ತರವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ಪರಿಹಾರದ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು

ಈ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಮುಖವಾದ ಟಿಪ್ಪಣಿ ಹೀಗಿದೆ: ನಾವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದ ತಕ್ಷಣ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಇದನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ: ನಾವು ಮೊದಲ ಪದದಿಂದ ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಎರಡನೆಯದು; ನಂತರ ನಾವು ಮೊದಲನೆಯದರಿಂದ ಎರಡನೇ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿ ಎರಡನೆಯದರಿಂದ ಪ್ರತಿ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ನಾಲ್ಕು ಅವಧಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.

ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೊತ್ತದ ಬಗ್ಗೆ

ಈ ಕೊನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ, ಬೀಜಗಣಿತ ಮೊತ್ತ ಏನೆಂದು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ನೆನಪಿಸಲು ನಾನು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ, $1-7$ ಮೂಲಕ ನಾವು ಸರಳವಾದ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತೇವೆ: ಒಂದರಿಂದ ಏಳು ಕಳೆಯಿರಿ. ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತೇವೆ: "ಒಂದು" ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ನಾವು ಇನ್ನೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ "ಮೈನಸ್ ಏಳು". ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೊತ್ತವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಹೇಗೆ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಎಲ್ಲಾ ರೂಪಾಂತರಗಳು, ಪ್ರತಿ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವಾಗ, ನೀವು ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆಯೇ ನಿರ್ಮಾಣಗಳನ್ನು ನೋಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದಾಗ, ಬಹುಪದಗಳು ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವಾಗ ನೀವು ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಾವು ಈಗ ನೋಡಿದ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಒಂದೆರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಾವು ನಮ್ಮ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಸ್ತರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಾವು ನಮ್ಮ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗೆ ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಹಂತವನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಮೊದಲು, ನಮ್ಮ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ:

1. ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ.
2. ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅಸ್ಥಿರ.
3. ಇದೇ ತರಹ ತರ.
4. ಅನುಪಾತದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

ಅಯ್ಯೋ, ಈ ಅದ್ಭುತ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿತ್ವಕ್ಕಾಗಿ, ನಮ್ಮ ಮುಂದೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ ಎಂದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ನಾವು ಕೆಳಗೆ ನೋಡುವ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಎರಡೂ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಎರಡರಲ್ಲೂ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದು? ಹೌದು, ಇದು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ! ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗೆ ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಹಂತವನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಮೊದಲ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೊದಲು ಮತ್ತು ನಂತರ ಎರಡೂ ಮಾಡಬಹುದು, ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುವುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ:

1. ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು.
2. ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ.
3. ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅಸ್ಥಿರ.
4. ಇದೇ ತರಹ ತರ.
5. ಅನುಪಾತದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

"ಭಿನ್ನಾಂಶಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು" ಇದರ ಅರ್ಥವೇನು? ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಹಂತದ ನಂತರ ಮತ್ತು ಮೊದಲು ಇದನ್ನು ಏಕೆ ಮಾಡಬಹುದು? ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಅವುಗಳ ಛೇದದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ. ಎಲ್ಲೆಡೆ ಛೇದವು ಕೇವಲ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿನ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ: ಎಲ್ಲವನ್ನೂ "ನಾಲ್ಕು" ಒಮ್ಮೆ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ನೀವು ಎರಡು ಆವರಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರಣ ನೀವು ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು "ನಾಲ್ಕು" ನಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು ಎಂದರ್ಥವಲ್ಲ. ಬರೆಯೋಣ:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

ಈಗ ವಿಸ್ತರಿಸೋಣ:

ನಾವು ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳ ಕಡಿತವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ:

\[-4x=-1\ಎಡ| :\ಎಡ (-4 \ಬಲ) \ಬಲ.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

ನಾವು ಅಂತಿಮ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

ಸಮಸ್ಯೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾನು ಇಂದು ನಿಮಗೆ ಹೇಳಲು ಬಯಸಿದ್ದು ಇಷ್ಟೇ.

ಮುಖ್ಯ ಅಂಶಗಳು

ಪ್ರಮುಖ ಸಂಶೋಧನೆಗಳೆಂದರೆ:

• ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ತಿಳಿಯಿರಿ.
• ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ.
• ನೀವು ಎಲ್ಲೋ ಚತುರ್ಭುಜ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಚಿಂತಿಸಬೇಡಿ; ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಮುಂದಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಅವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತವೆ.
• ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಮೂರು ವಿಧದ ಬೇರುಗಳಿವೆ, ಸರಳವಾದವುಗಳೂ ಸಹ: ಒಂದೇ ಮೂಲ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖೆಯು ಮೂಲವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ.

ಎಲ್ಲಾ ಗಣಿತವನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸರಳವಾದ, ಆದರೆ ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾದ ವಿಷಯವನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಈ ಪಾಠವು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ. ಏನಾದರೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಸೈಟ್‌ಗೆ ಹೋಗಿ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ಟ್ಯೂನ್ ಆಗಿರಿ, ಇನ್ನೂ ಅನೇಕ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ವಿಷಯಗಳು ನಿಮಗಾಗಿ ಕಾಯುತ್ತಿವೆ!

52. ಸಮೀಕರಣಗಳ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ಉದಾಹರಣೆಗಳು.
ಉದಾಹರಣೆ 1.

5/(x – 1) – 3/(x + 1) = 15/(x 2 – 1)

ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದವು x 2 – 1 ಆಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ x 2 – 1 = (x + 1)(x – 1). ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು x 2 – 1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸೋಣ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಅಥವಾ, ಕಡಿತದ ನಂತರ,

5(x + 1) – 3(x – 1) = 15

5x + 5 – 3x + 3 = 15

2x = 7 ಮತ್ತು x = 3½

ಇನ್ನೊಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:

5/(x-1) – 3/(x+1) = 4(x 2 – 1)

ಮೇಲಿನಂತೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

5(x + 1) – 3(x – 1) = 4
5x + 5 – 3x – 3 = 4 ಅಥವಾ 2x = 2 ಮತ್ತು x = 1.

ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ x ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ ನಮ್ಮ ಸಮಾನತೆಗಳು ಸಮರ್ಥಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆಯೇ ಎಂದು ನೋಡೋಣ.

ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಯಾವುದೇ ಸಂದೇಹಗಳಿಗೆ ಸ್ಥಳವಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ: ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸುವಂತಹ x ಗಾಗಿ ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.

ಎರಡನೇ ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

5/(1-1) – 3/2 = 15/(1-1) ಅಥವಾ 5/0 – 3/2 = 15/0

ಇಲ್ಲಿ ಅನುಮಾನಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ: ನಾವು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದು ಅಸಾಧ್ಯ. ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ಈ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಪರೋಕ್ಷವಾಗಿಯಾದರೂ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅರ್ಥವನ್ನು ನೀಡಲು ನಿರ್ವಹಿಸಿದರೆ, ಕಂಡುಕೊಂಡ ಪರಿಹಾರ x - 1 ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಅಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ, ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣವು ನೇರ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಛೇದಗಳಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತವನ್ನು ಹೇಗಾದರೂ ಸೇರಿಸಿದಾಗ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಸಂಭವಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಈ ಕೆಲವು ಛೇದಗಳು, ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಾಗ, ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ತಿರುಗುತ್ತವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2.

ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಅನುಪಾತದ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ತಕ್ಷಣ ನೋಡಬಹುದು: ಸಂಖ್ಯೆ x + 3 ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ x – 1 ರ ಅನುಪಾತವು 2x + 3 ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ 2x – 2 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸನ್ನಿವೇಶದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ, ಅನುಪಾತದ ಮುಖ್ಯ ಆಸ್ತಿಯಾದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಂದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮುಕ್ತಗೊಳಿಸಲು ಇಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಲು ನಿರ್ಧರಿಸಿ (ತೀವ್ರ ಪದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಮಧ್ಯಮ ಪದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ನಂತರ ಅವನು ಪಡೆಯುತ್ತಾನೆ:

(x + 3) (2x – 2) = (2x + 3) (x – 1)

2x 2 + 6x – 2x – 6 = 2x 2 + 3x – 2x – 3.

ಇಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣವು x 2 ನೊಂದಿಗೆ ಪದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ನಾವು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಭಯವನ್ನು ಹುಟ್ಟುಹಾಕಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಂದ 2x 2 ಅನ್ನು ಕಳೆಯಬಹುದು - ಇದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮುರಿಯುವುದಿಲ್ಲ; ನಂತರ x 2 ನೊಂದಿಗೆ ಪದಗಳು ನಾಶವಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

6x – 2x – 6 = 3x – 2x – 3

ಅಜ್ಞಾತ ಪದಗಳನ್ನು ಎಡಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ತಿಳಿದಿರುವ ಪದಗಳನ್ನು ಬಲಕ್ಕೆ ಸರಿಸೋಣ - ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

3x = 3 ಅಥವಾ x = 1

ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು

(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)

x (x = 1) ಗಾಗಿ ಕಂಡುಬರುವ ಮೌಲ್ಯವು ಪ್ರತಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಛೇದಗಳನ್ನು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವಂತೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ತಕ್ಷಣ ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ; ಶೂನ್ಯದಿಂದ ವಿಭಜನೆಯ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುವವರೆಗೆ ನಾವು ಅಂತಹ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ತ್ಯಜಿಸಬೇಕು.

ಅನುಪಾತದ ಆಸ್ತಿಯ ಅನ್ವಯವು ವಿಷಯವನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣಗೊಳಿಸಿದೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸರಳವಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು, ಅವುಗಳೆಂದರೆ 2(x – 1) - ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, 2x – 2 = 2 (x - 1), ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

2(x + 3) = 2x – 3 ಅಥವಾ 2x + 6 = 2x – 3 ಅಥವಾ 6 = –3,

ಅಸಾಧ್ಯವಾದದ್ದು.

ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಛೇದಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ತಿರುಗಿಸದ ನೇರ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಈ ಸನ್ನಿವೇಶವು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.
ಈಗ ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ:

(3x + 5)/(x – 1) = (2x + 18)/(2x – 2)

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸೋಣ (x – 1), ಅಂದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದದಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

6x + 10 = 2x + 18

ಕಂಡುಕೊಂಡ ಪರಿಹಾರವು ಛೇದವನ್ನು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವಂತೆ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ನೇರ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಅಥವಾ 11 = 11

ಯಾರಾದರೂ, ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು 2 (x – 1) ರಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಬದಲು, ಅನುಪಾತದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ, ಅವರು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ:

(3x + 5)(2x - 2) = (2x + 18)(x - 1) ಅಥವಾ
6x 2 + 4x – 10 = 2x 2 + 16x – 18.

ಇಲ್ಲಿ x 2 ರೊಂದಿಗಿನ ಪದಗಳು ನಾಶವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಎಲ್ಲಾ ಅಪರಿಚಿತ ಪದಗಳನ್ನು ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ತಿಳಿದಿರುವ ಪದಗಳನ್ನು ಬಲಕ್ಕೆ ಸರಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

4x 2 – 12x = –8

x 2 – 3x = –2

ಈಗ ನಾವು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ: 1) ನೀವು x = 2 ಮತ್ತು 2 ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು) ನೀವು x = 1 ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಎರಡೂ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ:

1) 2 2 – 3 2 = –2 ಮತ್ತು 2) 1 2 – 3 1 = –2

ನಾವು ಆರಂಭಿಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಂಡರೆ

(3x + 5) / (x – 1) = (2x + 18) / (2x – 2),

ಈಗ ನಾವು ಅದರ ಎರಡೂ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ: 1) x = 2 ನೇರ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ತಿರುಗಿಸದ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ, 2) x = 1 ಛೇದವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ತಿರುಗಿಸುವ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನೇರ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ 3.

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಛೇದಗಳನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

1) x 2 – 5x + 6 = x 2 – 3x – 2x + 6 = x (x – 3) – 2(x – 3) = (x – 3) (x – 2),

2) x 2 – x – 2 = x 2 – 2x + x – 2 = x (x – 2) + (x – 2) = (x – 2) (x + 1),

3) x 2 – 2x – 3 = x 2 – 3x + x – 3 = x (x – 3) + (x – 3) = (x – 3) (x + 1).

ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದವು (x – 3)(x – 2)(x + 1).

ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸೋಣ (ಮತ್ತು ನಾವು ಈಗ ಅದನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು:

ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದದಿಂದ (x – 3) (x – 2) (x + 1). ನಂತರ, ಪ್ರತಿ ಭಾಗವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿದ ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

3(x + 1) – 2(x – 3) = 2(x – 2) ಅಥವಾ
3x + 3 – 2x + 6 = 2x – 4.

ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

–x = –13 ಮತ್ತು x = 13.

ಈ ಪರಿಹಾರವು ನೇರ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: ಇದು ಯಾವುದೇ ಛೇದಗಳನ್ನು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವಂತೆ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ.

ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ:

ನಂತರ, ಮೇಲಿನಂತೆಯೇ ಮಾಡುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

3(x + 1) – 2(x – 3) = x – 2

3x + 3 – 2x + 6 = x – 2

3x – 2x – x = –3 – 6 – 2,

ನೀವು ಅದನ್ನು ಎಲ್ಲಿಂದ ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ?

ಅಸಾಧ್ಯವಾದದ್ದು. ನೇರ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅಸಾಧ್ಯವೆಂದು ಈ ಸನ್ನಿವೇಶವು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.