គុណនៃអំណាចឧទាហរណ៍។ មេរៀន "គុណ និងការបែងចែកអំណាច"

មេរៀនលើប្រធានបទ៖ "ច្បាប់នៃការគុណ និងការបែងចែកអំណាចដែលមាននិទស្សន្តដូចគ្នា និងផ្សេងគ្នា។ ឧទាហរណ៍"

សម្ភារៈបន្ថែម
អ្នកប្រើប្រាស់ជាទីគោរព កុំភ្លេចទុកមតិយោបល់ ការពិនិត្យ បំណងប្រាថ្នា។ សម្ភារៈទាំងអស់ត្រូវបានត្រួតពិនិត្យដោយកម្មវិធីប្រឆាំងមេរោគ។

ជំនួយការបង្រៀន និងឧបករណ៍ក្លែងធ្វើនៅក្នុងហាងអ៊ីនធឺណេតអាំងតេក្រាលសម្រាប់ថ្នាក់ទី 7
សៀវភៅណែនាំសម្រាប់សៀវភៅសិក្សា Yu.N. សៀវភៅណែនាំ Makarycheva សម្រាប់សៀវភៅសិក្សាដោយ A.G. Mordkovich

គោលបំណងនៃមេរៀន៖ រៀនធ្វើប្រតិបត្តិការដោយអំណាចនៃលេខ។

ដំបូងយើងចងចាំគំនិតនៃ "អំណាចនៃលេខ" ។ កន្សោមនៃទម្រង់ $\underbrace(a * a * \ldots * a )_(n)$ អាចត្រូវបានតំណាងជា $a^n$ ។

ការសន្ទនាក៏ពិតដែរ៖ $a^n= \underbrace(a * a * \ldots * a )_(n)$ ។

សមភាពនេះត្រូវបានគេហៅថា "ការកត់ត្រាសញ្ញាបត្រជាផលិតផល" ។ វានឹងជួយយើងកំណត់ពីរបៀបគុណ និងបែងចែកអំណាច។
ចងចាំ៖
ក – មូលដ្ឋានដឺក្រេ.
ន – និទស្សន្ត.
ប្រសិនបើ n=1ដែលមានន័យថាលេខ កយកម្តងហើយតាមនោះ៖ $a^n=1$។
ប្រសិនបើ n=0បន្ទាប់មក $a^0=1$។

យើង​អាច​ដឹង​ថា​ហេតុ​អ្វី​បាន​ជា​វា​កើត​ឡើង​នៅ​ពេល​ដែល​យើង​ស្គាល់​ច្បាប់​នៃ​ការ​គុណ​និង​ការ​ចែក​អំណាច។

ក្បួនគុណ

ក) ប្រសិនបើអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នាត្រូវបានគុណ។
ដើម្បីទទួលបាន $a^n* a^m$ យើងសរសេរដឺក្រេជាផលិតផល៖ $\underbrace(a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a ) _(ម)$។
តួលេខបង្ហាញថាលេខ កបានយក n+mដងបន្ទាប់មក $a^n * a^m = a^(n + m)$ ។

ឧទាហរណ៍។
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

ទ្រព្យសម្បត្តិនេះងាយស្រួលប្រើដើម្បីសម្រួលការងារនៅពេលដំឡើងលេខទៅថាមពលខ្ពស់។
ឧទាហរណ៍។
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

ខ) ប្រសិនបើអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានផ្សេងគ្នា ប៉ុន្តែនិទស្សន្តដូចគ្នាត្រូវបានគុណ។
ដើម្បីទទួលបាន $a^n*b^n$ យើងសរសេរដឺក្រេជាផលិតផល៖ $\underbrace(a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(ម)$។
ប្រសិនបើយើងប្តូរកត្តា និងរាប់គូលទ្ធផល យើងទទួលបាន៖ $\underbrace((a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$ ។

ដូច្នេះ $a^n * b^n= (a * b)^n$ ។

ឧទាហរណ៍។
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

វិធាននៃការបែងចែក

ក) មូលដ្ឋាននៃសញ្ញាបត្រគឺដូចគ្នា សូចនាករគឺខុសគ្នា។
ពិចារណាការបែងចែកអំណាចជាមួយនិទស្សន្តធំជាង ដោយបែងចែកអំណាចជាមួយនិទស្សន្តតូចជាង។

ដូច្នេះ យើងត្រូវការ $\frac(a^n)(a^m)$, កន្លែងណា n>m.

តោះសរសេរដឺក្រេជាប្រភាគ៖

$\frac(\underbrace(a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace(a * a * \ldots * a )_(m))$។

ដើម្បីភាពងាយស្រួល យើងសរសេរការបែងចែកជាប្រភាគសាមញ្ញ។

ឥឡូវនេះសូមកាត់បន្ថយប្រភាគ។

វាប្រែថា $\underbrace(a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$ ។
មានន័យថា $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

ទ្រព្យសម្បត្តិនេះនឹងជួយពន្យល់ពីស្ថានភាពជាមួយនឹងការបង្កើនលេខទៅសូន្យថាមពល។ ចូរសន្មតថា n=mបន្ទាប់មក $a^0=a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n)=1$។

ឧទាហរណ៍។
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$ ។

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$ ។

ខ) មូលដ្ឋាននៃសញ្ញាបត្រគឺខុសគ្នា សូចនាករគឺដូចគ្នា។
ឧបមាថាយើងត្រូវការ $\frac(a^n)(b^n)$ ។ ចូរយើងសរសេរអំណាចនៃលេខជាប្រភាគ៖

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$ ។

ដើម្បីភាពងាយស្រួល ចូរយើងស្រមៃមើល។

ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃប្រភាគ យើងបំបែកចុះ ប្រភាគធំចំពោះផលិតផលតូចៗយើងទទួលបាន។
$\underbrace(\frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$ ។
ដូច្នោះ៖ $\frac(a^n)(b^n)=(\frac(a)(b))^n$ ។

ឧទាហរណ៍។
$\frac(4^3)(2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$ ។

នៅក្នុងមេរៀនវីដេអូចុងក្រោយ យើងបានរៀនថាកម្រិតនៃមូលដ្ឋានជាក់លាក់មួយគឺជាកន្សោមដែលតំណាងឱ្យផលិតផលនៃមូលដ្ឋានដោយខ្លួនវាផ្ទាល់ ដោយយកក្នុងបរិមាណស្មើនឹងនិទស្សន្ត។ ឥឡូវនេះ ចូរយើងសិក្សាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិ និងប្រតិបត្តិការសំខាន់ៗមួយចំនួននៃអំណាច។

ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងគុណពីរ កម្រិតខុសគ្នាជាមួយនឹងមូលដ្ឋានដូចគ្នា៖

សូមបង្ហាញការងារនេះទាំងស្រុង៖

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

ដោយបានគណនាតម្លៃនៃកន្សោមនេះ យើងទទួលបានលេខ 32។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ដូចដែលអាចមើលឃើញពីឧទាហរណ៍ដូចគ្នា 32 អាចត្រូវបានតំណាងជាផលិតផលនៃមូលដ្ឋានដូចគ្នា (ពីរ) យក 5 ដង។ ហើយជាការពិតប្រសិនបើអ្នករាប់វា នោះ៖

ដូច្នេះយើងអាចសន្និដ្ឋានដោយទំនុកចិត្តថា:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

ច្បាប់នេះដំណើរការដោយជោគជ័យសម្រាប់សូចនាករ និងហេតុផលណាមួយ។ ទ្រព្យសម្បត្តិនៃការគុណអំណាចនេះកើតឡើងពីច្បាប់ដែលអត្ថន័យនៃកន្សោមត្រូវបានរក្សាទុកកំឡុងពេលបំប្លែងនៅក្នុងផលិតផលមួយ។ សម្រាប់មូលដ្ឋានណាមួយ ផលគុណនៃកន្សោមពីរ (a)x និង (a)y គឺស្មើនឹង a(x + y)។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត នៅពេលដែលកន្សោមណាមួយដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នាត្រូវបានផលិត លទ្ធផល monomial មានកម្រិតសរុបដែលបង្កើតឡើងដោយការបន្ថែមដឺក្រេនៃកន្សោមទីមួយ និងទីពីរ។

ច្បាប់​ដែល​បាន​បង្ហាញ​ក៏​ដំណើរការ​ល្អ​ដែរ​នៅ​ពេល​គុណ​កន្សោម​ជាច្រើន។ លក្ខខណ្ឌចម្បងគឺថាមនុស្សគ្រប់រូបមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា។ ឧទាហរណ៍:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

អ្នក​មិន​អាច​បន្ថែម​សញ្ញាបត្រ ឬ​សូម្បី​តែ​ធ្វើ​ការ​សិក្សា​អំពី​ថាមពល​អ្វី​ទាំង​អស់។ កិច្ចសហប្រតិបត្តិការជាមួយនឹងធាតុពីរនៃកន្សោម ប្រសិនបើមូលដ្ឋានរបស់ពួកគេខុសគ្នា។
ដូចដែលវីដេអូរបស់យើងបង្ហាញ ដោយសារភាពស្រដៀងគ្នានៃដំណើរការគុណ និងការបែងចែក ច្បាប់សម្រាប់ការបន្ថែមថាមពលនៅក្នុងផលិតផលមួយត្រូវបានផ្ទេរយ៉ាងល្អឥតខ្ចោះទៅកាន់នីតិវិធីនៃការបែងចែក។ ពិចារណាឧទាហរណ៍នេះ៖

ចូរ​យើង​អនុវត្ត​ការ​បំប្លែង​ពាក្យ​ដោយ​ពាក្យ​នៃ​កន្សោម​ទៅ​ជា ទិដ្ឋភាពពេញលេញនិងកាត់បន្ថយធាតុដូចគ្នានៅក្នុងភាគលាភ និងផ្នែកចែក៖

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

លទ្ធផលចុងក្រោយនៃឧទាហរណ៍នេះមិនគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ទេព្រោះនៅក្នុងដំណើរការនៃការដោះស្រាយវាច្បាស់ណាស់ថាតម្លៃនៃកន្សោមគឺស្មើនឹងការ៉េនៃពីរ។ ហើយវាគឺជាពីរដែលត្រូវបានទទួលដោយការដកដឺក្រេនៃកន្សោមទីពីរពីដឺក្រេនៃទីមួយ។

ដើម្បី​កំណត់​កម្រិត​នៃ​ភាគលាភ​ត្រូវ​ដក​កម្រិត​នៃ​ផ្នែក​ចែក​ចេញ​ពី​កម្រិត​នៃ​ភាគលាភ។ ច្បាប់ធ្វើការជាមួយនឹងមូលដ្ឋានដូចគ្នាសម្រាប់តម្លៃរបស់វាទាំងអស់ និងសម្រាប់អំណាចធម្មជាតិទាំងអស់។ នៅក្នុងទម្រង់នៃការអរូបីយើងមាន៖

(a) x / (a) y = (a) x − y

ពីច្បាប់នៃការបែងចែកមូលដ្ឋានដូចគ្នាបេះបិទជាមួយនឹងដឺក្រេ និយមន័យសម្រាប់សូន្យដឺក្រេដូចខាងក្រោម។ ជាក់ស្តែង កន្សោមខាងក្រោមមើលទៅដូចជា៖

(a) x / (a) x = (a) (x − x) = (a) 0

ម៉្យាងវិញទៀត បើយើងបែងចែកច្រើនជាង នៅក្នុងវិធីដែលមើលឃើញបន្ទាប់មកយើងទទួលបាន៖

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

នៅពេលកាត់បន្ថយធាតុដែលមើលឃើញទាំងអស់នៃប្រភាគ កន្សោម 1/1 តែងតែទទួលបាន ពោលគឺមួយ។ ដូច្នេះ គេទទួលយកជាទូទៅថា មូលដ្ឋានណាមួយដែលបានលើកឡើងទៅសូន្យអំណាចគឺស្មើនឹងមួយ៖

ដោយមិនគិតពីតម្លៃនៃ ក.

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វាមិនទំនងទាល់តែសោះ ប្រសិនបើ 0 (ជាមួយនឹងគុណណាមួយនៅតែផ្តល់ឱ្យ 0) គឺដូចម្ដេច ស្មើនឹងមួយ។ដូច្នេះ កន្សោមនៃទម្រង់ (0) 0 (សូន្យទៅសូន្យអំណាច) មិនសមហេតុផលទេ ហើយលក្ខខណ្ឌមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅរូបមន្ត (a) 0 = 1: "ប្រសិនបើ a មិនស្មើនឹង 0 ។"

តោះដោះស្រាយលំហាត់។ ចូរយើងស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោម៖

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

ដោយសារមូលដ្ឋានគឺដូចគ្នានៅគ្រប់ទីកន្លែង និងស្មើនឹង 34 តម្លៃចុងក្រោយនឹងមានមូលដ្ឋានដូចគ្នាជាមួយនឹងដឺក្រេ (យោងទៅតាមច្បាប់ខាងលើ)៖

ក្នុង​ន័យ​ផ្សេងទៀត:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

ចម្លើយ៖ កន្សោមគឺស្មើនឹងមួយ។

គ្នា។ ប្រតិបត្តិការនព្វន្ធពេល​ខ្លះ​វា​ក្លាយ​ជា​ការ​លំបាក​ពេក​ក្នុង​ការ​សរសេរ​ចុះ ហើយ​ពួក​គេ​ព្យាយាម​ធ្វើ​ឱ្យ​វា​សាមញ្ញ​។ នេះធ្លាប់ជាករណីជាមួយប្រតិបត្តិការបន្ថែម។ មនុស្សត្រូវការដើម្បីអនុវត្តការបន្ថែមម្តងហើយម្តងទៀតនៃប្រភេទដូចគ្នាឧទាហរណ៍ដើម្បីគណនាតម្លៃនៃកំរាលព្រំ Persian មួយរយដែលការចំណាយគឺ 3 កាក់មាសសម្រាប់គ្នា។ 3+3+3+…+3=300។ ដោយសារលក្ខណៈពិបាករបស់វា វាត្រូវបានគេសម្រេចចិត្តកាត់ចំណាំទៅជា 3 * 100 = 300។ តាមពិត សញ្ញា "បីដងមួយរយ" មានន័យថាអ្នកត្រូវយកមួយ មួយរយបីហើយបន្ថែមវាជាមួយគ្នា។ មេគុណចាប់បាន និងទទួលបានប្រជាប្រិយភាពជាទូទៅ។ ប៉ុន្តែពិភពលោកមិននៅស្ងៀមទេ ហើយនៅក្នុងយុគសម័យកណ្តាល តម្រូវការបានកើតឡើងដើម្បីអនុវត្តការគុណម្តងហើយម្តងទៀតនៃប្រភេទដូចគ្នា។ ខ្ញុំចាំបាននូវពាក្យប្រឌិតរបស់ឥណ្ឌាចាស់មួយអំពីឥសីម្នាក់ដែលសុំគ្រាប់ស្រូវសាលីក្នុងបរិមាណខាងក្រោមជារង្វាន់សម្រាប់ការងារដែលបានធ្វើ៖ សម្រាប់ការ៉េទីមួយនៃក្តារអុក គាត់បានសុំគ្រាប់ធញ្ញជាតិមួយ សម្រាប់ទីពីរ - ពីរ សម្រាប់ទីបី - បួន។ សម្រាប់ទីប្រាំ - ប្រាំបី ហើយដូច្នេះនៅលើ។ នេះជារបៀបដែលមេគុណដំបូងនៃអំណាចបានបង្ហាញខ្លួន ពីព្រោះចំនួនគ្រាប់ធញ្ញជាតិគឺស្មើនឹងពីរទៅនឹងថាមពលនៃចំនួនក្រឡា។ ឧទាហរណ៍ នៅលើក្រឡាចុងក្រោយនឹងមាន 2*2*2*...*2 = 2^63 គ្រាប់ធញ្ញជាតិ ដែលស្មើនឹងលេខ 18 តួអក្សរដែលតាមពិតគឺជាអត្ថន័យនៃពាក្យប្រឌិត។

ប្រតិបត្តិការនៃនិទស្សន្តចាប់បានយ៉ាងឆាប់រហ័ស ហើយតម្រូវការដើម្បីអនុវត្តការបូក ដក ការបែងចែក និងគុណនៃអំណាចក៏កើតឡើងយ៉ាងឆាប់រហ័ស។ ក្រោយមកទៀតគឺមានតម្លៃពិចារណាលម្អិតបន្ថែមទៀត។ រូបមន្តសម្រាប់បន្ថែមថាមពលគឺសាមញ្ញ និងងាយស្រួលក្នុងការចងចាំ។ លើសពីនេះទៀតវាងាយស្រួលណាស់ក្នុងការយល់ថាតើពួកគេមកពីណាប្រសិនបើប្រតិបត្តិការថាមពលត្រូវបានជំនួសដោយការគុណ។ ប៉ុន្តែជាដំបូងអ្នកត្រូវយល់ពីវាក្យស័ព្ទមូលដ្ឋានមួយចំនួន។ កន្សោម a ^ b (អាន "a ដល់អំណាចនៃ b") មានន័យថាចំនួន a គួរតែត្រូវបានគុណដោយខ្លួនវា b ដងដោយ "a" ត្រូវបានគេហៅថាមូលដ្ឋាននៃអំណាចនិង "b" និទស្សន្តនៃអំណាច។ ប្រសិនបើមូលដ្ឋាននៃដឺក្រេគឺដូចគ្នា នោះរូបមន្តត្រូវបានយកមកយ៉ាងសាមញ្ញ។ ឧទាហរណ៍ជាក់លាក់៖ ស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោម 2^3 * 2^4 ។ ដើម្បីដឹងពីអ្វីដែលគួរកើតឡើង អ្នកគួរតែស្វែងរកចម្លើយនៅលើកុំព្យូទ័រមុនពេលចាប់ផ្តើមដំណោះស្រាយ។ ពិន្ទុ កន្សោមនេះ។នៅក្នុងម៉ាស៊ីនគិតលេខតាមអ៊ីនធឺណិតណាមួយ ម៉ាស៊ីនស្វែងរក ដោយវាយ “គុណអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានផ្សេងគ្នា និងដូចគ្នា” ឬកញ្ចប់គណិតវិទ្យា លទ្ធផលនឹងមាន 128 ។ ឥឡូវសូមសរសេរកន្សោមនេះ៖ 2^3 = 2*2*2 និង 2 ^4 = 2*2*2*2។ វាប្រែថា 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) ។ វាប្រែថាផលិតផលនៃអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នាគឺស្មើនឹងមូលដ្ឋានដែលបានលើកឡើងទៅជាអំណាចស្មើនឹងផលបូកនៃអំណាចទាំងពីរពីមុន។

អ្នក​ប្រហែល​ជា​គិត​ថា​នេះ​ជា​ឧបទ្ទវហេតុ ប៉ុន្តែ​ទេ៖ ឧទាហរណ៍​ផ្សេង​ទៀត​អាច​បញ្ជាក់​បាន​តែ​ច្បាប់​នេះ​ប៉ុណ្ណោះ។ ដូច្នេះនៅក្នុង ទិដ្ឋភាពទូទៅរូបមន្តមើលទៅដូច តាមវិធីខាងក្រោម៖ a^n * a^m = a^(n+m) ។ វាក៏មានច្បាប់មួយដែលថាលេខណាមួយទៅសូន្យអំណាចគឺស្មើនឹងមួយ។ នៅទីនេះយើងគួរចងចាំក្បួននៃអំណាចអវិជ្ជមាន: a^(-n) = 1 / a^n ។ នោះគឺប្រសិនបើ 2^3 = 8 បន្ទាប់មក 2^(-3) = 1/8 ។ ដោយប្រើច្បាប់នេះ អ្នកអាចបញ្ជាក់សុពលភាពនៃសមភាព a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^( n) , a^ (n) អាចត្រូវបានកាត់បន្ថយ និងមួយនៅសល់។ ពីនេះមក ក្បួនគឺមកពី quotient នៃអំណាចជាមួយ នៅលើមូលដ្ឋានដូចគ្នា។គឺស្មើនឹងមូលដ្ឋាននេះដល់ដឺក្រេស្មើនឹងកូតានៃភាគលាភ និងផ្នែកចែក៖ a^n: a^m = a^(n-m) ។ ឧទាហរណ៍៖ សម្រួលកន្សោម 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) ។ ការគុណគឺជាប្រតិបត្តិការផ្លាស់ប្តូរ ដូច្នេះដំបូងអ្នកត្រូវតែបន្ថែមនិទស្សន្តគុណ៖ 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 =2. បន្ទាប់អ្នកត្រូវដោះស្រាយការបែងចែកដោយអំណាចអវិជ្ជមាន។ វាចាំបាច់ក្នុងការដកនិទស្សន្តនៃផ្នែកចែកចេញពីនិទស្សន្តនៃភាគលាភ៖ 2^1:2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. វាប្រែថាប្រតិបត្តិការនៃការបែងចែកដោយអវិជ្ជមានដឺក្រេគឺដូចគ្នាបេះបិទទៅនឹងប្រតិបត្តិការនៃគុណដោយនិទស្សន្តវិជ្ជមានស្រដៀងគ្នា។ ដូច្នេះចម្លើយចុងក្រោយគឺ 8 ។

មានឧទាហរណ៍ដែលការគុណនៃអំណាចដែលមិនមែនជា Canonical កើតឡើង។ ការ​គុណ​អំណាច​ជាមួយ​នឹង​មូលដ្ឋាន​ផ្សេងៗ​ច្រើន​តែ​ពិបាក​ជាង ហើយ​ពេល​ខ្លះ​ក៏​មិន​អាច​ទៅ​រួច​ដែរ។ មានឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃភាពខុសគ្នា បច្ចេកទេសដែលអាចធ្វើបាន. ឧទាហរណ៍៖ សម្រួលកន្សោម 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729។ ជាក់ស្តែង មានគុណនៃអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានផ្សេងៗគ្នា។ ប៉ុន្តែ​គួរ​កត់​សម្គាល់​ថា មូលដ្ឋាន​ទាំង​អស់​មាន​អំណាច​ខុសៗ​គ្នា​នៃ​បី។ 9 = 3^2.1 = 3^4.3 = 3^5.9 = 3^6 ។ ដោយប្រើច្បាប់ (a^n) ^m = a^(n*m) អ្នកគួរតែសរសេរកន្សោមឡើងវិញក្នុងទម្រង់ងាយស្រួលជាង៖ 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * (3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12-10+6) = 3^(11) ។ ចម្លើយ៖ ៣^១១។ ក្នុងករណីណា ហេតុផលផ្សេងៗលើ សូចនាករស្មើគ្នាច្បាប់ដំណើរការ៖ a^n * b^n = (a*b) ^n ។ ឧទាហរណ៍ 3^3 * 7^3 = 21^3 ។ បើមិនដូច្នោះទេ នៅពេលដែលមូលដ្ឋាន និងនិទស្សន្តខុសគ្នា ការគុណពេញលេញមិនអាចអនុវត្តបានទេ។ ពេលខ្លះអ្នកអាចសម្រួលផ្នែកខ្លះ ឬងាកទៅរកជំនួយពីបច្ចេកវិទ្យាកុំព្យូទ័រ។

ការបូកនិងដកនៃអំណាច

វាច្បាស់ណាស់ថាលេខដែលមានថាមពលអាចត្រូវបានបន្ថែមដូចជាបរិមាណផ្សេងទៀត។ ដោយបន្ថែមពួកវាម្តងមួយៗជាមួយនឹងសញ្ញារបស់ពួកគេ។.

ដូច្នេះផលបូកនៃ a 3 និង b 2 គឺ a 3 + b 2 ។
ផលបូកនៃ a 3 - b n និង h 5 -d 4 គឺ a 3 - b n + h 5 - d 4 ។

ហាងឆេង ដឺក្រេស្មើគ្នាអថេរដូចគ្នាអាចត្រូវបានបន្ថែមឬដក។

ដូច្នេះផលបូកនៃ 2a 2 និង 3a 2 គឺស្មើនឹង 5a 2 ។

វាក៏ច្បាស់ដែរថា ប្រសិនបើអ្នកយកការ៉េពីរ a ឬបីការ៉េ a ឬប្រាំការ៉េ a ។

ប៉ុន្តែសញ្ញាបត្រ អថេរផ្សេងៗនិង កម្រិតផ្សេងៗ អថេរដូចគ្នាត្រូវតែត្រូវបានផ្សំដោយបន្ថែមពួកវាជាមួយនឹងសញ្ញារបស់ពួកគេ។

ដូច្នេះផលបូកនៃ 2 និង 3 គឺជាផលបូកនៃ 2 + a 3 ។

វាច្បាស់ណាស់ថាការេនៃ a និងគូបនៃ a គឺមិនស្មើនឹងពីរដងនៃការ៉េនៃ a ប៉ុន្តែទៅពីរដងនៃគូបនៃ a ។

ផលបូកនៃ 3 b n និង 3a 5 b 6 គឺ a 3 b n + 3a 5 b 6 ។

ដកអំណាចត្រូវបានអនុវត្តតាមរបៀបដូចគ្នានឹងការបន្ថែម លើកលែងតែសញ្ញានៃអនុសញ្ញាត្រូវតែផ្លាស់ប្តូរទៅតាមនោះ។

ឬ៖
2a 4 − (−6a 4) = 8a ៤
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

អំណាចគុណ

លេខដែលមានអំណាចអាចត្រូវបានគុណដូចជាបរិមាណផ្សេងទៀតដោយសរសេរពួកវាមួយបន្ទាប់ពីផ្សេងទៀតដោយមានឬគ្មានសញ្ញាគុណរវាងពួកវា។

ដូច្នេះលទ្ធផលនៃគុណ 3 គុណនឹង b 2 គឺជា 3 b 2 ឬ aaabb ។

ឬ៖
x −3 ⋅ a m = a m x −3
3a 6 y 2 ⋅ (−2x) = −6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

លទ្ធផលនៅក្នុង ឧទាហរណ៍ចុងក្រោយអាចត្រូវបានបញ្ជាដោយបន្ថែមអថេរដូចគ្នាបេះបិទ។
កន្សោមនឹងយកទម្រង់៖ a 5 b 5 y 3 ។

ដោយការប្រៀបធៀបលេខជាច្រើន (អថេរ) ជាមួយនឹងអំណាច យើងអាចឃើញថា ប្រសិនបើចំនួនទាំងពីរត្រូវបានគុណ នោះលទ្ធផលគឺជាចំនួន (អថេរ) ដែលមានថាមពលស្មើនឹង ចំនួនទឹកប្រាក់ដឺក្រេនៃលក្ខខណ្ឌ។

ដូច្នេះ a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 ។

នៅទីនេះ 5 គឺជាអំណាចនៃលទ្ធផលគុណដែលស្មើនឹង 2 + 3 ដែលជាផលបូកនៃអំណាចនៃលក្ខខណ្ឌ។

ដូច្នេះ a n .a m = a m + n ។

សម្រាប់ n មួយ a ត្រូវបានយកជាកត្តាជាច្រើនដងដូចជាអំណាចនៃ n;

ហើយ m ត្រូវបានយកជាកត្តាជាច្រើនដងដែលដឺក្រេ m គឺស្មើនឹង;

នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល, អំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នាអាចត្រូវបានគុណដោយបន្ថែមនិទស្សន្តនៃអំណាច។

ដូច្នេះ a 2 .a 6 = a 2 + 6 = a 8 ។ និង x 3 .x 2 .x = x 3 + 2 + 1 = x 6 ។

ឬ៖
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n + 1

គុណ (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x − y)។
ចម្លើយ៖ x 4 − y 4 ។
គុណ (x 3 + x − 5) ⋅ (2x 3 + x + 1) ។

ច្បាប់នេះក៏ពិតសម្រាប់លេខដែលមាននិទស្សន្ត អវិជ្ជមាន.

1. ដូច្នេះ a -2 .a -3 = a -5 . នេះអាចសរសេរជា (1/aa)។(1/aaa) = 1/aaaaa។

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

ប្រសិនបើ a + b ត្រូវបានគុណនឹង a - b នោះលទ្ធផលនឹងជា 2 - b 2៖ នោះគឺជា

លទ្ធផលនៃការគុណផលបូកឬភាពខុសគ្នានៃចំនួនពីរ ស្មើនឹងផលបូកឬភាពខុសគ្នានៃការ៉េរបស់ពួកគេ។

ប្រសិនបើអ្នកគុណផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃចំនួនពីរដែលបានលើកឡើង ការ៉េលទ្ធផលនឹងស្មើនឹងផលបូក ឬភាពខុសគ្នានៃលេខទាំងនេះនៅក្នុង ទីបួនដឺក្រេ។

ដូចេនះ (a − y).(a + y) = a 2 − y 2 ។
(a 2 − y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 − y 4 ។
(a 4 − y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 − y 8 ។

ការបែងចែកដឺក្រេ

លេខដែលមានអំណាចអាចត្រូវបានបែងចែកដូចជាលេខផ្សេងទៀត ដោយដកពីភាគលាភ ឬដោយដាក់វាជាទម្រង់ប្រភាគ។

ដូច្នេះ a 3 b 2 ចែកនឹង b 2 គឺស្មើនឹង a 3 ។

ការសរសេរ 5 ចែកនឹង 3 មើលទៅដូចជា $\frac $ ប៉ុន្តែនេះគឺស្មើនឹង 2 ។ នៅក្នុងស៊េរីនៃលេខ
a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4 ។
លេខណាមួយអាចត្រូវបានបែងចែកដោយលេខផ្សេងទៀត ហើយនិទស្សន្តនឹងស្មើនឹង ភាពខុសគ្នាសូចនាករនៃលេខដែលអាចបែងចែកបាន។

នៅពេលបែងចែកដឺក្រេជាមួយមូលដ្ឋានដូចគ្នា និទស្សន្តរបស់ពួកគេត្រូវបានដក។.

ដូច្នេះ y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 ។ នោះគឺ $\frac = y$ ។

ហើយ n + 1: a = a n + 1-1 = a n ។ នោះគឺ $\frac = a^n$ ។

ឬ៖
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

ច្បាប់ក៏ជាការពិតសម្រាប់លេខជាមួយ អវិជ្ជមានតម្លៃនៃដឺក្រេ។
លទ្ធផលនៃការបែងចែក a -5 ដោយ a -3 គឺ a -2 ។
ផងដែរ $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $ ។

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ឬ $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

វាចាំបាច់ក្នុងការធ្វើមេគុណ និងការបែងចែកអំណាចឱ្យបានល្អ ព្រោះប្រតិបត្តិការបែបនេះត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងពិជគណិត។

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ជាមួយប្រភាគដែលមានលេខដែលមានអំណាច

1. បន្ថយនិទស្សន្តដោយ $\frac $ ចម្លើយ៖ $\frac $ ។

2. បន្ថយនិទស្សន្តដោយ $\frac$ ។ ចម្លើយ៖ $\frac$ ឬ 2x ។

3. កាត់បន្ថយនិទស្សន្ត a 2/a 3 និង a -3 /a -4 ហើយនាំទៅ កត្តា​កំណត់​រួម.
a 2 .a -4 គឺ a -2 ជាភាគយកទីមួយ។
a 3 .a −3 គឺ a 0 = 1 ជាភាគយកទីពីរ។
a 3 .a -4 គឺ a -1 ដែលជាភាគយកទូទៅ។
បន្ទាប់ពីការធ្វើឱ្យសាមញ្ញ៖ a -2 /a -1 និង 1/a -1 ។

4. កាត់បន្ថយនិទស្សន្ត 2a 4/5a 3 និង 2/a 4 ហើយនាំយកទៅភាគបែងរួម។
ចម្លើយ៖ 2a 3/5a 7 និង 5a 5/5a 7 ឬ 2a 3/5a 2 និង 5/5a 2 ។

5. គុណ (a 3 + b)/b 4 ដោយ (a − b)/3 ។

6. គុណ (a 5 + 1)/x 2 ដោយ (b 2 − 1)/(x + a)។

7. គុណ b 4 /a -2 ដោយ h -3 /x និង a n / y -3 ។

8. ចែក 4 / y 3 ដោយ 3 / y 2 ។ ចម្លើយ៖ a/y ។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រ

យើងរំលឹកអ្នកថានៅក្នុងមេរៀននេះយើងនឹងយល់ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេជាមួយ នៅក្នុងប្រភេទនិងសូន្យ។ ដឺក្រេជាមួយ សូចនាករសមហេតុផលហើយលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ពួកគេនឹងត្រូវបានពិភាក្សានៅក្នុងមេរៀនសម្រាប់ថ្នាក់ទី 8 ។

សញ្ញាបត្រដែលមានសូចនាករធម្មជាតិមានច្រើន។ លក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកធ្វើឱ្យការគណនាសាមញ្ញក្នុងឧទាហរណ៍ដោយអំណាច។

ទ្រព្យសម្បត្តិលេខ 1
ផលិតផលនៃអំណាច

នៅពេលគុណនឹងអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា មូលដ្ឋាននៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរ ហើយនិទស្សន្តនៃអំណាចត្រូវបានបន្ថែម។

a m · a n = a m + n ដែល “a” ជាលេខណាមួយ ហើយ “m”, “n” គឺជាលេខធម្មជាតិណាមួយ។

ទ្រព្យសម្បត្តិនេះ។ដឺក្រេក៏អនុវត្តចំពោះ ផលិតផលបីនិងសញ្ញាបត្រច្រើនទៀត។

• សម្រួលការបញ្ចេញមតិ។
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• បង្ហាញវាជាសញ្ញាប័ត្រ។
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• បង្ហាញវាជាសញ្ញាប័ត្រ។
  (0.8) 3 · (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

សូមចំណាំថានៅក្នុង ទ្រព្យសម្បត្តិដែលបានបញ្ជាក់យើង​និយាយ​តែ​អំពី​ការ​គុណ​អំណាច​ដោយ​មាន​មូលដ្ឋាន​ដូចគ្នា។. វាមិនអនុវត្តចំពោះការបន្ថែមរបស់ពួកគេទេ។

អ្នកមិនអាចជំនួសផលបូក (3 3 + 3 2) ជាមួយ 3 5 បានទេ។ នេះអាចយល់បានប្រសិនបើ
គណនា (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 និង 3 5 = 243

ទ្រព្យសម្បត្តិលេខ 2
សញ្ញាបត្រផ្នែក

នៅពេលបែងចែកអំណាចជាមួយមូលដ្ឋានដូចគ្នា មូលដ្ឋាននៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរ ហើយនិទស្សន្តនៃការបែងចែកត្រូវបានដកចេញពីនិទស្សន្តនៃភាគលាភ។

• សរសេរកូតាជាថាមពល
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
• គណនា។

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយសមីការ។ យើងប្រើទ្រព្យសម្បត្តិនៃអំណាចកូតា។
3 8: t = 3 ៤

ចម្លើយ៖ t = 3 4 = 81

ដោយប្រើលក្ខណសម្បត្តិលេខ 1 និងលេខ 2 អ្នកអាចធ្វើឱ្យកន្សោមសាមញ្ញ និងអនុវត្តការគណនាបានយ៉ាងងាយស្រួល។

ឧទាហរណ៍។ សម្រួលការបញ្ចេញមតិ។
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

ឧទាហរណ៍។ ស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោមដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃនិទស្សន្ត។

2 11 − 5 = 2 6 = 64

សូមចំណាំថានៅក្នុង Property 2 យើងគ្រាន់តែនិយាយអំពីការបែងចែកអំណាចជាមួយនឹងមូលដ្ឋានតែមួយប៉ុណ្ណោះ។

អ្នកមិនអាចជំនួសភាពខុសគ្នា (4 3 −4 2) ជាមួយ 4 1 ។ នេះអាចយល់បានប្រសិនបើអ្នកគណនា (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 និង 4 1 = 4

ទ្រព្យសម្បត្តិលេខ 3
ការបង្កើនកម្រិតមួយទៅជាអំណាច

នៅពេលបង្កើនដឺក្រេទៅជាថាមពល មូលដ្ឋាននៃដឺក្រេនៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរ ហើយនិទស្សន្តត្រូវបានគុណ។

(a n) m = a n · m ដែល “a” ជាលេខណាមួយ ហើយ “m”, “n” គឺជាលេខធម្មជាតិណាមួយ។

យើងរំលឹកអ្នកថា កូតាអាចត្រូវបានតំណាងជាប្រភាគ។ ដូច្នេះ យើង​នឹង​លើក​យក​ប្រភាគ​មួយ​ទៅ​អានុភាព​លម្អិត​នៅ​ទំព័រ​បន្ទាប់។

វិធីបង្កើនអំណាច

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីគុណអំណាច? តើអំណាចមួយណាអាចគុណបាន ហើយមួយណាមិនអាច? តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីគុណលេខដោយថាមពល?

នៅក្នុងពិជគណិត អ្នកអាចរកឃើញផលិតផលនៃអំណាចនៅក្នុងករណីពីរ៖

1) ប្រសិនបើដឺក្រេមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា;

2) ប្រសិនបើដឺក្រេមានសូចនាករដូចគ្នា។

នៅពេលគុណអំណាចជាមួយមូលដ្ឋានដូចគ្នា មូលដ្ឋានត្រូវតែទុកនៅដដែល ហើយនិទស្សន្តត្រូវបន្ថែម៖

នៅពេលគុណនឹងអំណាច សូចនាករដូចគ្នា។ សូចនាករទូទៅអាចត្រូវបានយកចេញពីតង្កៀប៖

សូមក្រឡេកមើលរបៀបគុណអំណាចដោយប្រើឧទាហរណ៍ជាក់លាក់។

ឯកតា​មិន​ត្រូវ​បាន​សរសេរ​នៅ​ក្នុង​និទស្សន្ត​ទេ ប៉ុន្តែ​នៅ​ពេល​គុណ​នឹង​អំណាច គេ​គិត​ដល់​៖

នៅពេលគុណ វាអាចមានអំណាចណាមួយ។ គួរចងចាំថា អ្នកមិនចាំបាច់សរសេរសញ្ញាគុណមុនអក្សរទេ៖

នៅក្នុងកន្សោម និទស្សន្តត្រូវបានធ្វើជាមុនសិន។

ប្រសិនបើអ្នកត្រូវការគុណលេខដោយថាមពល អ្នកគួរតែអនុវត្តនិទស្សន្តជាមុនសិន ហើយមានតែគុណនឹង៖

គុណអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា។

វីដេអូបង្រៀននេះអាចរកបានដោយការជាវ

មាន​ការ​ជាវ​ហើយ​ឬ​នៅ? ចូលមក

នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងនឹងសិក្សាពីការគុណនៃអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូច។ ជាដំបូង ចូរយើងរំលឹកនិយមន័យនៃសញ្ញាបត្រ និងបង្កើតទ្រឹស្តីបទស្តីពីសុពលភាពនៃសមភាព . បន្ទាប់មកយើងនឹងផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃកម្មវិធីរបស់វាលើលេខជាក់លាក់ និងបញ្ជាក់វា។ យើងក៏នឹងអនុវត្តទ្រឹស្តីបទដើម្បីដោះស្រាយផងដែរ។ កិច្ចការផ្សេងៗ.

ប្រធានបទ៖ ថាមពលជាមួយនិទស្សន្តធម្មជាតិ និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។

មេរៀន៖ គុណអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា (រូបមន្ត)

1. និយមន័យជាមូលដ្ឋាន

និយមន័យជាមូលដ្ឋាន៖

ន- និទស្សន្ត,

— នអំណាចនៃលេខមួយ។

២.សេចក្តីថ្លែងការណ៍ទ្រឹស្តីបទ ១

ទ្រឹស្តីបទ ១.សម្រាប់លេខណាមួយ។ កនិងធម្មជាតិណាមួយ។ ននិង kសមភាពគឺពិត៖

នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត: ប្រសិនបើ ក- លេខណាមួយ; ននិង kលេខធម្មជាតិ បន្ទាប់មក៖

ដូចនេះ ក្បួនទី១៖

3. ភារកិច្ចពន្យល់

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ករណីពិសេសបានបញ្ជាក់ពីភាពត្រឹមត្រូវនៃទ្រឹស្តីបទលេខ 1 ។ ចូរយើងបង្ហាញវានៅក្នុង ករណីទូទៅនោះគឺសម្រាប់ណាមួយ។ កនិងធម្មជាតិណាមួយ។ ននិង k

៤.ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទ ១

បានផ្តល់លេខ ក- ណាមួយ; លេខ ននិង k –ធម្មជាតិ។ បញ្ជាក់៖

ភស្តុតាងគឺផ្អែកលើនិយមន័យនៃសញ្ញាបត្រ។

5. ការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ 1

ឧទាហរណ៍ 1៖គិតថាវាជាសញ្ញាប័ត្រ។

ដើម្បីដោះស្រាយឧទាហរណ៍ខាងក្រោម យើងនឹងប្រើទ្រឹស្តីបទទី១។

និង)

6. ទ្រឹស្តីបទទូទៅ ១

ភាពទូទៅដែលប្រើនៅទីនេះ៖

7. ការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ដោយប្រើទូទៅនៃទ្រឹស្តីបទ 1

៨.ការដោះស្រាយបញ្ហាផ្សេងៗដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ ១

ឧទាហរណ៍ 2៖គណនា (អ្នកអាចប្រើតារាងនៃអំណាចមូលដ្ឋាន) ។

ក) (យោងតាមតារាង)

ខ)

ឧទាហរណ៍ 3៖សរសេរវាជាថាមពលជាមួយមូលដ្ឋាន 2 ។

ក)

ឧទាហរណ៍ទី ៤៖កំណត់សញ្ញានៃលេខ៖

, ក -អវិជ្ជមាន ចាប់តាំងពីនិទស្សន្តនៅ -13 គឺសេស។

ឧទាហរណ៍ 5៖ជំនួស (·) ដោយអំណាចនៃលេខដែលមានមូលដ្ឋាន r:

យើងមាន, នោះគឺ។

9. សង្ខេប

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. និងផ្សេងៗទៀត។ ពិជគណិតទី 7 ។ M. : ការត្រាស់ដឹង។ ឆ្នាំ ២០១០

1. ជំនួយការសាលា (ប្រភព)។

1. បង្ហាញជាអំណាច៖

A B C D E)

3. សរសេរជាថាមពលដែលមានមូលដ្ឋាន 2:

4. កំណត់សញ្ញានៃលេខ:

ក)

5. ជំនួស (·) ដោយអំណាចនៃលេខដែលមានមូលដ្ឋានមួយ។ r:

a) r 4 · (·) = r 15; b) (·) · r 5 = r ៦

គុណនិងការបែងចែកអំណាចដែលមាននិទស្សន្តដូចគ្នា។

នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងនឹងសិក្សាពីគុណនៃអំណាចដែលមាននិទស្សន្តស្មើគ្នា។ ជាដំបូង ចូរយើងរំលឹកឡើងវិញនូវនិយមន័យ និងទ្រឹស្តីបទជាមូលដ្ឋានអំពីការគុណ និងបែងចែកអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា និងការបង្កើនអំណាចទៅជាអំណាច។ បន្ទាប់មកយើងបង្កើត និងបង្ហាញទ្រឹស្តីបទស្តីពីគុណ និងការបែងចែកអំណាចដែលមាននិទស្សន្តដូចគ្នា។ ហើយបន្ទាប់មកដោយមានជំនួយពីពួកគេយើងដោះស្រាយស៊េរី ភារកិច្ចធម្មតា។.

ការរំលឹកអំពីនិយមន័យ និងទ្រឹស្តីបទជាមូលដ្ឋាន

នៅទីនេះ ក- មូលដ្ឋាននៃសញ្ញាបត្រ,

— នអំណាចនៃលេខមួយ។

ទ្រឹស្តីបទ ១.សម្រាប់លេខណាមួយ។ កនិងធម្មជាតិណាមួយ។ ននិង kសមភាពគឺពិត៖

នៅពេលគុណអំណាចជាមួយមូលដ្ឋានដូចគ្នា និទស្សន្តត្រូវបានបន្ថែម មូលដ្ឋាននៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរ។

ទ្រឹស្តីបទ ២.សម្រាប់លេខណាមួយ។ កនិងធម្មជាតិណាមួយ។ ននិង k,បែបនោះ។ ន > kសមភាពគឺពិត៖

នៅពេលបែងចែកដឺក្រេជាមួយមូលដ្ឋានដូចគ្នា និទស្សន្តត្រូវបានដក ប៉ុន្តែមូលដ្ឋាននៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរ។

ទ្រឹស្តីបទ ៣.សម្រាប់លេខណាមួយ។ កនិងធម្មជាតិណាមួយ។ ននិង kសមភាពគឺពិត៖

ទ្រឹស្ដីទាំងអស់ដែលបានរាយបញ្ជីគឺនិយាយអំពីអំណាចដែលមានដូចគ្នា។ ហេតុផលនៅក្នុងមេរៀននេះ យើងនឹងមើលដឺក្រេដោយដូចគ្នា។ សូចនាករ.

ឧទាហរណ៍​សម្រាប់​គុណ​អំណាច​ជាមួយ​និទស្សន្ត​ដូចគ្នា។

ពិចារណាឧទាហរណ៍ខាងក្រោម៖

ចូរយើងសរសេរកន្សោមសម្រាប់កំណត់សញ្ញាបត្រ។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ពីឧទាហរណ៍វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញ ប៉ុន្តែនេះនៅតែត្រូវបញ្ជាក់។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតទ្រឹស្តីបទ ហើយបញ្ជាក់វានៅក្នុងករណីទូទៅ នោះគឺសម្រាប់ណាមួយ។ កនិង ខនិងធម្មជាតិណាមួយ។ ន.

ការបង្កើត និងភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទ ៤

សម្រាប់លេខណាមួយ។ កនិង ខនិងធម្មជាតិណាមួយ។ នសមភាពគឺពិត៖

ភស្តុតាងទ្រឹស្តីបទ ៤ .

តាមនិយមន័យនៃសញ្ញាបត្រ៖

ដូច្នេះ​យើង​បាន​បញ្ជាក់​ថា​ .

ដើម្បីគុណអំណាចជាមួយនិទស្សន្តដូចគ្នា វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការគុណគោល ហើយទុកនិទស្សន្តមិនផ្លាស់ប្តូរ។

ការបង្កើត និងភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទ ៥

ចូរយើងបង្កើតទ្រឹស្តីបទសម្រាប់បែងចែកអំណាចជាមួយនិទស្សន្តដូចគ្នា។

សម្រាប់លេខណាមួយ។ កនិង ខ () និងធម្មជាតិណាមួយ។ នសមភាពគឺពិត៖

ភស្តុតាងទ្រឹស្តីបទ ៥ .

ចូរយើងសរសេរនិយមន័យនៃសញ្ញាបត្រ៖

សេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃទ្រឹស្តីបទនៅក្នុងពាក្យ

ដូច្នេះ យើង​បាន​បញ្ជាក់​ថា​។

ដើម្បីបែងចែកអំណាចដែលមាននិទស្សន្តដូចគ្នាទៅគ្នាទៅវិញទៅមក វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបែងចែកមូលដ្ឋានមួយដោយមួយទៀត ហើយទុកនិទស្សន្តមិនផ្លាស់ប្តូរ។

ការដោះស្រាយបញ្ហាធម្មតាដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ ៤

ឧទាហរណ៍ 1៖បង្ហាញជាផលិតផលនៃអំណាច។

ដើម្បីដោះស្រាយឧទាហរណ៍ខាងក្រោម យើងនឹងប្រើទ្រឹស្តីបទ ៤។

ដើម្បីដោះស្រាយឧទាហរណ៍ខាងក្រោម សូមរំលឹករូបមន្ត៖

ទ្រឹស្តីបទទូទៅ ៤

ទូទៅនៃទ្រឹស្តីបទ ៤៖

ការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទទូទៅ ៤

បន្តដោះស្រាយបញ្ហាធម្មតា។

ឧទាហរណ៍ 2៖សរសេរវាជាថាមពលនៃផលិតផល។

ឧទាហរណ៍ 3៖សរសេរវាជាថាមពលជាមួយនិទស្សន្ត 2 ។

ឧទាហរណ៍នៃការគណនា

ឧទាហរណ៍ទី ៤៖គណនាតាមវិធីសមហេតុផលបំផុត។

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. ពិជគណិត 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. និងផ្សេងៗទៀត។​ ពិជគណិត 7.M. ២០០៦

2. ជំនួយការសាលា (ប្រភព)។

1. បង្ហាញជាផលិតផលនៃអំណាច៖

ក) ; ខ) ; វី); ជី);

2. សរសេរជាថាមពលនៃផលិតផល៖

3. សរសេរជាថាមពលជាមួយនិទស្សន្ត 2៖

4. គណនាតាមវិធីសមហេតុផលបំផុត។

មេរៀនគណិតវិទ្យា លើប្រធានបទ "គុណ និងការបែងចែកអំណាច"

ផ្នែក៖គណិតវិទ្យា

គោលដៅគរុកោសល្យ:

សិស្សនឹងរៀនបែងចែករវាងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃគុណ និងការបែងចែកអំណាចជាមួយនិទស្សន្តធម្មជាតិ។ អនុវត្តលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះនៅក្នុងករណីនៃមូលដ្ឋានដូចគ្នា;

សិស្សនឹងមានឱកាសអាចអនុវត្តការបំប្លែងដឺក្រេជាមួយនឹងមូលដ្ឋានផ្សេងៗគ្នា និងអាចអនុវត្តការបំប្លែងក្នុងកិច្ចការរួមបញ្ចូលគ្នា។

ភារកិច្ច:

រៀបចំការងាររបស់សិស្សដោយធ្វើឡើងវិញនូវសម្ភារៈដែលបានសិក្សាពីមុន។

ធានាកម្រិតនៃការបន្តពូជដោយការអនុវត្តប្រភេទផ្សេងៗនៃលំហាត់;

រៀបចំការត្រួតពិនិត្យលើការវាយតម្លៃខ្លួនឯងរបស់សិស្សតាមរយៈការសាកល្បង។

ឯកតាសកម្មភាពនៃការបង្រៀន៖ការកំណត់សញ្ញាបត្រជាមួយនឹងសូចនាករធម្មជាតិ; សមាសធាតុសញ្ញាបត្រ; និយមន័យឯកជន; ច្បាប់រួមបញ្ចូលគ្នាគុណ។

I. រៀបចំការបង្ហាញពីភាពស្ទាត់ជំនាញរបស់សិស្សអំពីចំណេះដឹងដែលមានស្រាប់។ (ជំហានទី 1)

ក) ការធ្វើបច្ចុប្បន្នភាពចំណេះដឹង៖

2) បង្កើតនិយមន័យនៃសញ្ញាប័ត្រជាមួយនិទស្សន្តធម្មជាតិ។

a n = a a a a … a (n ដង)

b k = b b b a… b (k ដង) បញ្ជាក់ចម្លើយ។

II. ការរៀបចំការវាយតម្លៃដោយខ្លួនឯងនៃកម្រិតជំនាញរបស់សិស្សនៅក្នុងបទពិសោធន៍បច្ចុប្បន្ន។ (ជំហានទី 2)

ការ​ធ្វើ​តេ​ស្ត​ដោយ​ខ្លួន: ( ការងារបុគ្គលនៅក្នុងកំណែពីរ។ )

ក១) បង្ហាញផលិតផល 7 7 7 7 x x x ជាថាមពល៖

A2) តំណាងអំណាច (-3) 3 x 2 ជាផលិតផល

ក៣) គណនា៖ −2 3 2 + 4 5 3

ខ្ញុំជ្រើសរើសចំនួនកិច្ចការក្នុងការធ្វើតេស្តស្របតាមការរៀបចំកម្រិតថ្នាក់។

ខ្ញុំផ្តល់ឱ្យអ្នកនូវគន្លឹះនៃការធ្វើតេស្តសម្រាប់ការធ្វើតេស្តដោយខ្លួនឯង។ លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ៖ ឆ្លងកាត់ - មិនឆ្លងកាត់។

III. កិច្ចការអប់រំ និងការអនុវត្ត (ជំហានទី 3) + ជំហានទី 4 (សិស្សខ្លួនឯងនឹងបង្កើតលក្ខណៈសម្បត្តិ)

គណនា៖ 2 2 2 3 = ? 3 3 3 2 3 = ?

សាមញ្ញ៖ a 2 a 20 = ? b 30 b 10 b 15 = ?

ខណៈពេលដែលកំពុងដោះស្រាយបញ្ហា 1) និង 2) សិស្សស្នើដំណោះស្រាយ ហើយខ្ញុំក្នុងនាមជាគ្រូបង្រៀន រៀបចំថ្នាក់ដើម្បីស្វែងរកវិធីធ្វើឱ្យសាមញ្ញអំណាចនៅពេលគុណនឹងមូលដ្ឋានដូចគ្នា។

គ្រូ៖ មក​រក​វិធី​សម្រួល​អំណាច​ពេល​គុណ​នឹង​មូលដ្ឋាន​ដូចគ្នា។

ធាតុមួយលេចឡើងនៅលើចង្កោម៖

ប្រធានបទនៃមេរៀនត្រូវបានរៀបចំឡើង។ គុណនៃអំណាច។

គ្រូ៖ បង្កើតច្បាប់សម្រាប់បែងចែកអំណាចដោយមូលដ្ឋានដូចគ្នា។

ហេតុផល៖ តើ​សកម្មភាព​អ្វី​ត្រូវ​ប្រើ​ដើម្បី​ពិនិត្យ​មើល​ការបែងចែក? a 5: a 3 = ? នោះ a 2 a 3 = a 5

ខ្ញុំត្រលប់ទៅដ្យាក្រាម - ចង្កោមមួយហើយបន្ថែមទៅធាតុ - .. នៅពេលបែងចែកយើងដកនិងបន្ថែមប្រធានបទនៃមេរៀន។ ... និងការបែងចែកសញ្ញាបត្រ។

IV. ការប្រាស្រ័យទាក់ទងជាមួយសិស្សនូវដែនកំណត់នៃចំណេះដឹង (ជាអប្បបរមា និងអតិបរមា)។

គ្រូ៖ ភារកិច្ចអប្បបរមាសម្រាប់មេរៀនថ្ងៃនេះ គឺរៀនអនុវត្តលក្ខណៈសម្បត្តិនៃគុណ និងការបែងចែកអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា ហើយភារកិច្ចអតិបរមាគឺត្រូវអនុវត្តគុណ និងចែកជាមួយគ្នា។

យើងសរសេរនៅលើក្តារ ៖ a m a n = a m + n ; a m: a n = a m-n

V. ការរៀបចំការសិក្សាសម្ភារៈថ្មី។ (ជំហានទី 5)

ក) យោងតាមសៀវភៅសិក្សា៖ លេខ 403 (a, c, e) ភារកិច្ចដែលមានពាក្យខុសៗគ្នា

លេខ 404 (a, d, f) ការងារឯករាជ្យបន្ទាប់មកខ្ញុំរៀបចំការត្រួតពិនិត្យទៅវិញទៅមក ហើយផ្តល់សោ

ខ) តើសមភាពតម្លៃណាដែល m មានសុពលភាព? a 16 a m = a 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14

កិច្ចការ៖ បង្ហាញឧទាហរណ៍ស្រដៀងគ្នាសម្រាប់ការបែងចែក។

គ) លេខ ៤១៧ (ក) លេខ ៤១៨ (ក) អន្ទាក់សម្រាប់សិស្ស: x 3 x n = x 3n; 3 4 3 2 = 9 6 ; a 16: a 8 = a 2 ។

VI. សង្ខេបនូវអ្វីដែលបានរៀន ធ្វើកិច្ចការរោគវិនិច្ឆ័យ (ដែលលើកទឹកចិត្តសិស្ស មិនមែនគ្រូឱ្យសិក្សាប្រធានបទនេះ) (ជំហានទី 6)

ការងាររោគវិនិច្ឆ័យ។

សាកល្បង(ដាក់សោ ផ្នែកខាងក្រោយតេស្ត) ។

ជម្រើសកិច្ចការ៖ តំណាងឱ្យកូតា x ១៥ ជាថាមពល៖ x ៣; តំណាងជាថាមពលនៃផលិតផល (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; តើ m មួយណាជាសមភាព a 16 a m = a 32 ត្រឹមត្រូវ? រកតម្លៃនៃកន្សោម h 0: h 2 នៅ h = 0.2; គណនាតម្លៃនៃកន្សោម (5 2 5 0): 5 2 .

សង្ខេបមេរៀន។ ការឆ្លុះបញ្ចាំង។ខ្ញុំបែងចែកថ្នាក់ជាពីរក្រុម។

ស្វែងរកអាគុយម៉ង់នៅក្នុងក្រុម I: ដើម្បីស្គាល់លក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រ និងក្រុម II - អាគុយម៉ង់ដែលនឹងនិយាយថាអ្នកអាចធ្វើបានដោយគ្មានលក្ខណៈសម្បត្តិ។ យើងស្តាប់ចម្លើយទាំងអស់ ហើយធ្វើការសន្និដ្ឋាន។ នៅក្នុងមេរៀនជាបន្តបន្ទាប់ អ្នកអាចផ្តល់ទិន្នន័យស្ថិតិ ហើយហៅតារាងថា "វាហួសពីការជឿ!"

មនុស្សជាមធ្យមញ៉ាំត្រសក់ ៣២ ១០ ២ គីឡូក្រាមក្នុងជីវិតរបស់ពួកគេ។

សត្វ​ស្វា​នេះ​មាន​សមត្ថភាព​ហោះ​ហើរ​មិន​ឈប់​ក្នុង​រយៈ​ចម្ងាយ ៣.២ ១០ ២ គីឡូម៉ែត្រ។

នៅពេលដែលកញ្ចក់បែក ស្នាមប្រេះរីករាលដាលក្នុងល្បឿនប្រហែល 5 10 3 គីឡូម៉ែត្រក្នុងមួយម៉ោង។

កង្កែបមួយក្បាលស៊ីមូសជាង 3 តោនក្នុងមួយជីវិត។ ដោយប្រើសញ្ញាប័ត្រសរសេរជាគីឡូក្រាម។

ត្រីដែលរីកធំជាងគេត្រូវបានគេចាត់ទុកថាជាត្រីសមុទ្រ - ព្រះច័ន្ទ (Mola mola) ដែលពងរហូតដល់ 300,000,000 ដែលមានអង្កត់ផ្ចិតប្រហែល 1.3 មីលីម៉ែត្រក្នុងមួយពង។ សរសេរលេខនេះដោយប្រើថាមពល។

VII. កិច្ចការ​ផ្ទះ។

ឯកសារយោងប្រវត្តិសាស្ត្រ។ លេខ​អ្វី​ដែល​គេ​ហៅ​ថា​លេខ Fermat។

ទំ.១៩. លេខ 403 លេខ 408 លេខ 417

សៀវភៅដែលប្រើរួច៖

សៀវភៅសិក្សា "ពិជគណិត-៧" អ្នកនិពន្ធ Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk et al ។

សម្ភារៈ Didactic សម្រាប់ថ្នាក់ទី 7, L.V. Kuznetsova, L.I. Zvavich, S.B. ស៊ូវ៉ូវ។

សព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា។

ទស្សនាវដ្តី "Quant" ។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រ, ទម្រង់, ភស្តុតាង, ឧទាហរណ៍។

បន្ទាប់ពីអំណាចនៃចំនួនត្រូវបានកំណត់ វាជាឡូជីខលក្នុងការនិយាយអំពី លក្ខណៈសម្បត្តិសញ្ញាបត្រ. នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងផ្តល់លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃថាមពលនៃចំនួនមួយ ខណៈពេលដែលប៉ះលើនិទស្សន្តដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់។ នៅទីនេះយើងនឹងផ្តល់នូវភស្តុតាងនៃលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់នៃដឺក្រេ ហើយក៏បង្ហាញពីរបៀបដែលលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះត្រូវបានប្រើនៅពេលដោះស្រាយឧទាហរណ៍។

ការរុករកទំព័រ។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តធម្មជាតិ

តាមនិយមន័យនៃអំណាចដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិ អំណាច a n គឺជាផលគុណនៃកត្តា n ដែលនីមួយៗស្មើនឹង a ។ ផ្អែកលើនិយមន័យនេះ និងការប្រើប្រាស់ផងដែរ។ គុណលក្ខណៈនៃចំនួនពិតយើងអាចទទួលបាន និងបង្ហាញអំពីភាពត្រឹមត្រូវដូចខាងក្រោម លក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តធម្មជាតិ:

ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃដឺក្រេ a m ·a n = a m + n, ទូទៅរបស់វា a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 + n 2 + ... + n k;

ទ្រព្យសម្បត្តិនៃអំណាចកូតាដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា a m:a n =a m−n ;

ទ្រព្យសម្បត្តិនៃកម្រិតនៃផលិតផល (a·b) n =a n·b n, ផ្នែកបន្ថែមរបស់វា (a 1·a 2·…·a k) n =a 1 n·a 2 n·…·a k n ;

ទ្រព្យសម្បត្តិនៃកូតាទៅកម្រិតធម្មជាតិ (a:b) n =a n:b n ;

ការបង្កើនកម្រិតទៅជាថាមពល (a m) n = a m·n, ទូទៅរបស់វា (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;

ការប្រៀបធៀបសញ្ញាបត្រជាមួយសូន្យ៖

• ប្រសិនបើ a> 0 បន្ទាប់មក n> 0 សម្រាប់ចំនួនធម្មជាតិណាមួយ n;
• ប្រសិនបើ a = 0 បន្ទាប់មក a n = 0;
• ប្រសិនបើ 2·m>0 ប្រសិនបើ 2·m−1 n ;
• ប្រសិនបើ m និង n គឺជាលេខធម្មជាតិដូចជា m>n បន្ទាប់មកសម្រាប់ 0m n ហើយសម្រាប់ a>0 វិសមភាព a m>a n គឺពិត។

ចូរយើងកត់សំគាល់ភ្លាមៗថាសមភាពសរសេរទាំងអស់គឺ ដូចគ្នាបេះបិទតាមលក្ខខណ្ឌដែលបានបញ្ជាក់ ទាំងផ្នែកខាងស្តាំ និងផ្នែកខាងឆ្វេងរបស់ពួកគេអាចផ្លាស់ប្តូរបាន។ ឧទាហរណ៍ ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃប្រភាគ a m ·a n = a m + n ជាមួយ ការបញ្ចេញមតិសាមញ្ញជាញឹកញាប់ត្រូវបានគេប្រើក្នុងទម្រង់ m + n = a m ·a n ។

ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលពួកវានីមួយៗដោយលំអិត។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងទ្រព្យសម្បត្តិនៃផលិតផលនៃអំណាចពីរដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នាដែលត្រូវបានគេហៅថា ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃសញ្ញាបត្រ៖ សម្រាប់ចំនួនពិតណាមួយ a និងលេខធម្មជាតិណាមួយ m និង n សមភាព a m ·a n = a m+n គឺពិត។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបញ្ជាក់ពីទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃសញ្ញាបត្រ។ តាមនិយមន័យនៃអំណាចដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិ ផលិតផលនៃអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នាបេះបិទនៃទម្រង់ m ·a n អាចត្រូវបានសរសេរជាផលិតផល . ដោយសារលក្ខណៈសម្បត្តិនៃគុណ កន្សោមលទ្ធផលអាចត្រូវបានសរសេរជា ហើយផលិតផលនេះគឺជាថាមពលនៃលេខ a ដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិ m+n នោះគឺ m+n ។ នេះបញ្ចប់ភស្តុតាង។

ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍មួយដែលបញ្ជាក់ពីទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃសញ្ញាបត្រ។ ចូរយកដឺក្រេដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា 2 និងអំណាចធម្មជាតិ 2 និង 3 ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃដឺក្រេយើងអាចសរសេរសមភាព 2 2 · 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 ។ ចូរយើងពិនិត្យមើលសុពលភាពរបស់វាដោយគណនាតម្លៃនៃកន្សោម 2 2 · 2 3 និង 2 5 ។ អនុវត្តនិទស្សន្ត យើងមាន 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 និង 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32 ចាប់តាំងពីយើងទទួលបានតម្លៃស្មើគ្នា នោះសមភាព 2 2 ·2 3 = 2 5 គឺត្រឹមត្រូវ ហើយវាបញ្ជាក់ពីលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់នៃសញ្ញាបត្រ។

ទ្រព្យសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃសញ្ញាប័ត្រដែលផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃគុណអាចត្រូវបានគេទូទៅទៅជាផលគុណនៃបីនិង ច្រើនទៀតដឺក្រេដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា និងសូចនាករធម្មជាតិ។ ដូច្នេះសម្រាប់លេខណាមួយ k នៃលេខធម្មជាតិ n 1 , n 2 , …, n k សមភាព a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 + n 2 +… + n k គឺពិត។

ឧទាហរណ៍ (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

យើងអាចបន្តទៅទ្រព្យសម្បត្តិបន្ទាប់នៃអំណាចជាមួយនឹងនិទស្សន្តធម្មជាតិ - ទ្រព្យសម្បត្តិនៃអំណាចកូតាដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា។៖ សម្រាប់ចំនួនពិតដែលមិនមែនជាសូន្យ a និងលេខធម្មជាតិតាមអំពើចិត្ត m និង n ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ m>n នោះសមភាព a m:a n = a m−n គឺពិត។

មុននឹងផ្តល់ភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិនេះ ចូរយើងពិភាក្សាអំពីអត្ថន័យ លក្ខខណ្ឌបន្ថែមនៅក្នុងពាក្យ។ លក្ខខណ្ឌ a≠0 គឺចាំបាច់ដើម្បីជៀសវាងការបែងចែកដោយសូន្យចាប់តាំងពី 0 n = 0 ហើយនៅពេលដែលយើងស្គាល់ការបែងចែក យើងបានយល់ព្រមថាយើងមិនអាចបែងចែកដោយសូន្យបានទេ។ លក្ខខណ្ឌ m>n ត្រូវបានណែនាំ ដើម្បីកុំឱ្យយើងហួសពីនិទស្សន្តធម្មជាតិ។ ជាការពិតសម្រាប់ m>n និទស្សន្ត m−n គឺជាលេខធម្មជាតិ ក្នុង បើមិនដូច្នេះទេវានឹងក្លាយជាសូន្យ (ដែលកើតឡើងនៅពេល m−n) ឬលេខអវិជ្ជមាន (ដែលកើតឡើងនៅពេល m−n ·a n =a (m−n)+n =a m។ ពីសមភាពលទ្ធផល a m−n ·a n =a m ហើយពីការភ្ជាប់គុណនឹងការបែងចែក វាធ្វើតាមថា m−n គឺជាកូតានៃអំណាច a m និង a n នេះបង្ហាញពីទ្រព្យសម្បត្តិនៃ quotients នៃអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា។

ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍មួយ។ ចូរយកពីរដឺក្រេដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា π និងនិទស្សន្តធម្មជាតិ 5 និង 2 ភាពស្មើគ្នា π 5:π 2 = π 5 − 3 = π 3 ត្រូវគ្នាទៅនឹងទ្រព្យសម្បត្តិដែលបានពិចារណានៃដឺក្រេ។

ឥឡូវនេះសូមពិចារណា ទ្រព្យសម្បត្តិថាមពលផលិតផល: សញ្ញាបត្រធម្មជាតិផលិតផល n នៃចំនួនពិតទាំងពីរ a និង b គឺស្មើនឹងផលគុណនៃអំណាច a n និង b n នោះគឺ (a·b) n = a n · b n ។

ជាការពិតណាស់ តាមនិយមន័យនៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិ យើងមាន . បំណែកចុងក្រោយដោយផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃគុណអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជា ដែលស្មើនឹង a n · b n ។

នេះជាឧទាហរណ៍៖ .

ទ្រព្យសម្បត្តិនេះពង្រីកដល់អំណាចនៃផលិតផលនៃបីនិង ច្រើនទៀតមេគុណ។ នោះគឺជាទ្រព្យសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រធម្មជាតិ n នៃផលិតផលនៃកត្តា k ត្រូវបានសរសេរជា (a 1·a 2·…·a k) n =a 1 n·a 2 n·…·a k n ។

សម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់យើងនឹងបង្ហាញទ្រព្យសម្បត្តិនេះជាមួយនឹងឧទាហរណ៍មួយ។ សម្រាប់ផលិតផលនៃកត្តាបីដល់អំណាចនៃ 7 យើងមាន .

ទ្រព្យសម្បត្តិខាងក្រោមគឺ ទ្រព្យសម្បត្តិនៃកូតានៅក្នុងប្រភេទ៖ កូតានៃចំនួនពិត a និង b, b≠0 ទៅនឹងថាមពលធម្មជាតិ n គឺស្មើនឹង quotient នៃអំណាច a n និង b n នោះគឺ (a:b) n =a n:b n ។

ភស្តុតាងអាចត្រូវបានអនុវត្តដោយប្រើទ្រព្យសម្បត្តិមុន។ ដូច្នេះ (a:b) n·b n =((a:b)·b) n =a n ហើយពីសមភាព (a:b) n·b n =a n វាដូចខាងក្រោមថា (a:b) n គឺជាកូតានៃ ការបែងចែក a n នៅលើ bn ។

ចូរយើងសរសេរទ្រព្យសម្បត្តិនេះដោយប្រើលេខជាក់លាក់ជាឧទាហរណ៍៖ .

ឥឡូវនេះ ចូរយើងបញ្ចេញសំឡេង ទ្រព្យសម្បត្តិនៃការបង្កើនអំណាចទៅជាអំណាចមួយ។៖ សម្រាប់ចំនួនពិតណាមួយ a និងលេខធម្មជាតិណាមួយ m និង n អំណាចនៃ m ទៅអំណាចនៃ n គឺស្មើនឹងអំណាចនៃចំនួន a ជាមួយនិទស្សន្ត m·n នោះគឺ (a m) n = a m·n ។

ឧទាហរណ៍ (5 2) 3 = 5 2·3 =5 6 ។

ភ័ស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិពីអំណាចទៅសញ្ញាបត្រគឺជាខ្សែសង្វាក់នៃសមភាពដូចខាងក្រោមៈ .

ទ្រព្យ​ដែល​គេ​ពិចារណា​អាច​ពង្រីក​ពី​មួយ​កម្រិត​ទៅ​មួយ​ដឺក្រេ ។ល។ ឧទាហរណ៍ សម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ p, q, r និង s, សមភាព . ដើម្បីឱ្យកាន់តែច្បាស់ អនុញ្ញាតឱ្យយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍ជាមួយ លេខជាក់លាក់: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

វានៅតែមានដើម្បីរស់នៅលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការប្រៀបធៀបដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តធម្មជាតិ។

ចូរចាប់ផ្តើមដោយការបង្ហាញពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការប្រៀបធៀបសូន្យ និងថាមពលជាមួយនឹងនិទស្សន្តធម្មជាតិ។

ជាដំបូង សូមបញ្ជាក់ថា a > 0 សម្រាប់ a > 0 ។

ផលិតផលពីរ លេខវិជ្ជមានគឺជាចំនួនវិជ្ជមាន ដូចខាងក្រោមពីនិយមន័យនៃគុណ។ ការពិតនេះ និងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃគុណបង្ហាញថា លទ្ធផលនៃការគុណចំនួនលេខវិជ្ជមានណាមួយក៏នឹងជាចំនួនវិជ្ជមានផងដែរ។ ហើយអំណាចនៃចំនួន a ដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិ n តាមនិយមន័យគឺជាផលគុណនៃកត្តា n ដែលនីមួយៗស្មើនឹង a ។ អាគុយម៉ង់ទាំងនេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងអះអាងថាសម្រាប់មូលដ្ឋានវិជ្ជមានណាមួយ ដឺក្រេ a n គឺជាចំនួនវិជ្ជមាន។ ដោយសារទ្រព្យសម្បត្តិដែលបានបញ្ជាក់ 3 5>0, (0.00201) 2>0 និង .

វាច្បាស់ណាស់ថាសម្រាប់លេខធម្មជាតិណាដែលមាន a=0 ដឺក្រេនៃ n គឺសូន្យ។ ជាការពិតណាស់ 0 n = 0·0·…·0=0 ។ ឧទាហរណ៍ 0 3 = 0 និង 0 762 = 0 ។

តោះបន្តទៅ ហេតុផលអវិជ្ជមានដឺក្រេ។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយករណី នៅពេលដែលនិទស្សន្តគឺជាលេខគូ ចូរសម្គាល់វាជា 2·m ដែល m គឺជាលេខធម្មជាតិ។ បន្ទាប់មក . យោងតាមច្បាប់សម្រាប់គុណលេខអវិជ្ជមាន ផលិតផលនីមួយៗនៃទម្រង់ a·a គឺស្មើនឹងផលគុណនៃតម្លៃដាច់ខាតនៃលេខ a និង a ដែលមានន័យថាវាជាចំនួនវិជ្ជមាន។ ដូច្នេះផលិតផលក៏នឹងមានភាពវិជ្ជមានផងដែរ។ និងសញ្ញាបត្រ 2·m ។ ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍៖ (−6) 4>0 , (−2,2) 12>0 និង .

ចុងក្រោយនៅពេលដែលមូលដ្ឋាន a ជាចំនួនអវិជ្ជមាន ហើយនិទស្សន្តគឺ លេខសេស 2 m-1 បន្ទាប់មក . ផលិតផលទាំងអស់ a·a គឺជាលេខវិជ្ជមាន ផលិតផលនៃចំនួនវិជ្ជមានទាំងនេះក៏វិជ្ជមានផងដែរ ហើយការគុណរបស់វាដោយចំនួនអវិជ្ជមានដែលនៅសល់ លទ្ធផលជាលេខអវិជ្ជមាន។ ដោយសារតែទ្រព្យសម្បត្តិនេះ (−5) 3 17 n n គឺជាផលគុណនៃផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃ n វិសមភាពពិត a លក្ខណៈសម្បត្តិនៃវិសមភាព វិសមភាពដែលអាចបង្ហាញបាននៃទម្រង់ a n n ក៏ជាការពិតដែរ។ ឧទាហរណ៍ ដោយសារទ្រព្យសម្បត្តិនេះ វិសមភាព 3 7 7 និង .

វានៅសល់ដើម្បីបញ្ជាក់ចុងក្រោយ លក្ខណៈសម្បត្តិដែលបានរាយបញ្ជីដឺក្រេជាមួយសូចនាករធម្មជាតិ។ ចូរយើងបង្កើតវា។ នៃអំណាចពីរដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិ និងមូលដ្ឋានវិជ្ជមានដូចគ្នាបេះបិទតិចជាងមួយ និទស្សន្តដែលតូចជាងគឺធំជាង។ ហើយនៃអំណាចពីរដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិ និងមូលដ្ឋានដូចគ្នាបេះបិទធំជាងមួយ និទស្សន្តដែលធំជាងគឺធំជាង។ ចូរយើងបន្តទៅភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិនេះ។

ចូរយើងបញ្ជាក់ថាសម្រាប់ m>n និង 0m n ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងសរសេរភាពខុសគ្នា a m − a n ហើយប្រៀបធៀបវាជាមួយសូន្យ។ ភាពខុសគ្នាដែលបានកត់ត្រា បន្ទាប់ពីយក n ចេញពីតង្កៀប នឹងមានទម្រង់ a n ·(a m−n−1) ។ ផលិតផលលទ្ធផលគឺអវិជ្ជមានដែលជាផលិតផលនៃចំនួនវិជ្ជមាន a n និង លេខអវិជ្ជមាន a m−n −1 (a n គឺវិជ្ជមានជាថាមពលធម្មជាតិនៃចំនួនវិជ្ជមាន ហើយភាពខុសគ្នា m−n −1 គឺអវិជ្ជមានចាប់តាំងពី m−n>0 ដោយសារលក្ខខណ្ឌដំបូង m>n ដែលមានន័យថានៅ 0m− n គឺតិចជាងមួយ) ។ ដូច្នេះ a m −a n m n ដែលជាអ្វីដែលចាំបាច់ត្រូវបញ្ជាក់។ ជាឧទាហរណ៍សូមផ្តល់ឱ្យ វិសមភាពពិត.

វានៅសល់ដើម្បីបញ្ជាក់ផ្នែកទីពីរនៃទ្រព្យសម្បត្តិ។ ចូរយើងបញ្ជាក់ថា សម្រាប់ m>n និង a>1 a m>a n គឺជាការពិត។ ភាពខុសគ្នា a m −a n បន្ទាប់ពីយក n ចេញពីតង្កៀបបង្កើតជា n ·(a m−n −1) ។ ផលិតផលនេះគឺវិជ្ជមាន ចាប់តាំងពីសម្រាប់ a> 1 ដឺក្រេ a n គឺជាចំនួនវិជ្ជមាន ហើយភាពខុសគ្នា m−n −1 គឺជាចំនួនវិជ្ជមាន ចាប់តាំងពី m−n> 0 ដោយសារតែ លក្ខខណ្ឌដំបូងនិងសម្រាប់ a> 1 ដឺក្រេ m-n លើស​ពី​មួយ. ដូច្នេះ a m −a n > 0 និង a m > a n ដែលជាអ្វីដែលចាំបាច់ត្រូវបញ្ជាក់។ ទ្រព្យសម្បត្តិនេះត្រូវបានបង្ហាញដោយវិសមភាព 3 7 > 3 2 ។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអំណាចដែលមាននិទស្សន្តចំនួនគត់

ដោយសារចំនួនគត់វិជ្ជមានគឺជាលេខធម្មជាតិ ដូច្នេះលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់នៃអំណាចដែលមានចំនួនគត់ សូចនាករវិជ្ជមានស្របគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដជាមួយនឹងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអំណាចជាមួយនឹងនិទស្សន្តធម្មជាតិដែលបានរាយបញ្ជី និងបង្ហាញឱ្យឃើញនៅក្នុង កថាខណ្ឌមុន។.

សញ្ញាប័ត្រជាមួយចំនួនគត់ សូចនាករអវិជ្ជមានក៏ដូចជាសញ្ញាបត្រដែលមាននិទស្សន្តសូន្យ យើងបានកំណត់តាមរបៀបដែលលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់នៃដឺក្រេដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិ បង្ហាញដោយសមភាពនៅតែមានសុពលភាព។ ដូច្នេះ លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់នេះមានសុពលភាពសម្រាប់ទាំងនិទស្សន្តសូន្យ និងនិទស្សន្តអវិជ្ជមាន ខណៈពេលដែលជាការពិត មូលដ្ឋាននៃអំណាចគឺខុសគ្នាពីសូន្យ។

ដូច្នេះ សម្រាប់ចំនួនពិត និងមិនមែនសូន្យណាមួយ a និង b ក៏ដូចជាចំនួនគត់ m និង n ខាងក្រោមគឺពិត៖ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអំណាចជាមួយចំនួនគត់និទស្សន្ត:

• a m ·a n = a m + n ;
• a m:a n =a m−n;
• (a·b) n =a n·b n ;
• (a:b) n =a n:b n ;
• (a m) n = a m · n ;
• ប្រសិនបើ n គឺជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន នោះ a និង b គឺជាចំនួនវិជ្ជមាន និង a n n និង a −n > b −n ;
• ប្រសិនបើ m និង n ជាចំនួនគត់ ហើយ m>n បន្ទាប់មកសម្រាប់ 0m n និងសម្រាប់ a>1 វិសមភាព a m>a n កាន់។

នៅពេល a = 0 អំណាច a m និង a n យល់បានតែនៅពេលដែលទាំងពីរ m និង n គឺជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន នោះគឺជាលេខធម្មជាតិ។ ដូច្នេះលក្ខណសម្បត្តិដែលទើបតែសរសេរក៏មានសុពលភាពសម្រាប់ករណីដែល a=0 និងលេខ m និង n ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន។

ការបញ្ជាក់ពីលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះនីមួយៗមិនពិបាកទេ ដើម្បីធ្វើវា វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការប្រើនិយមន័យនៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិ និងចំនួនគត់ ក៏ដូចជាលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសកម្មភាព។ ចំនួនពិត. ជាឧទាហរណ៍ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថា ទ្រព្យសម្បត្តិពីថាមពលទៅថាមពលមានសម្រាប់ទាំងចំនួនគត់វិជ្ជមាន និងចំនួនគត់មិនវិជ្ជមាន។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងត្រូវបង្ហាញថាប្រសិនបើ p ជាសូន្យឬ លេខធម្មជាតិហើយ q ជាលេខសូន្យ ឬជាលេខធម្មជាតិ បន្ទាប់មកសមភាព (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p)·q, (a p) −q =a p·(−q) និង ( a −p) −q =a (−p)·(−q) ។ តោះ​ធ្វើ​វា។

សម្រាប់ p និង q វិជ្ជមាន សមភាព (a p) q =a p·q ត្រូវបានបញ្ជាក់នៅក្នុងកថាខណ្ឌមុន។ ប្រសិនបើ p = 0 នោះយើងមាន (a 0) q = 1 q = 1 និង a 0·q =a 0 = 1, wherece (a 0) q =a 0·q ។ ដូចគ្នានេះដែរ ប្រសិនបើ q=0 បន្ទាប់មក (a p) 0 =1 និង a p·0 =a 0 =1, wherece (a p) 0 =a p·0 ។ ប្រសិនបើទាំងពីរ p=0 និង q=0 បន្ទាប់មក (a 0) 0 =1 0 =1 និង a 0·0 =a 0 =1, whence (a 0) 0 = a 0·0 ។

ឥឡូវនេះយើងបង្ហាញថា (a −p) q =a (−p)·q ។ តាមនិយមន័យនៃអំណាចដែលមាននិទស្សន្តចំនួនគត់អវិជ្ជមាន បន្ទាប់មក . ដោយទ្រព្យសម្បត្តិនៃ quotients ទៅអំណាចដែលយើងមាន . ចាប់តាំងពី 1 ទំ = 1 · 1 · ... · 1 = 1 និងបន្ទាប់មក . កន្សោមចុងក្រោយតាមនិយមន័យ គឺជាអំណាចនៃទម្រង់ a −(p·q) ដែលដោយសារក្បួនគុណអាចសរសេរជា (−p)·q ។

ដូចគ្នានេះដែរ .

និង .

ដោយប្រើគោលការណ៍ដូចគ្នា អ្នកអាចបញ្ជាក់លក្ខណៈសម្បត្តិផ្សេងទៀតទាំងអស់នៃសញ្ញាប័ត្រជាមួយនិទស្សន្តចំនួនគត់ ដែលសរសេរក្នុងទម្រង់សមភាព។

នៅចុងបញ្ចប់នៃលក្ខណៈសម្បត្តិដែលបានកត់ត្រា វាមានតម្លៃនៅលើភស្តុតាងនៃវិសមភាព a −n > b −n ដែលមានសុពលភាពសម្រាប់ចំនួនគត់អវិជ្ជមាន −n និងវិជ្ជមានណាមួយ a និង b ដែលលក្ខខណ្ឌ a ពេញចិត្ត។ . ចូរយើងសរសេរចុះ និងបំប្លែងភាពខុសគ្នារវាងផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃវិសមភាពនេះ៖ . ដោយលក្ខខណ្ឌ ក n n ដូច្នេះ b n −a n > 0 ។ ផលិតផល a n · b n ក៏ជាផលវិជ្ជមានផងដែរ ព្រោះជាផលិតផលនៃលេខវិជ្ជមាន a n និង b n ។ បន្ទាប់មកប្រភាគលទ្ធផលគឺវិជ្ជមានដែលជាកូតានៃចំនួនវិជ្ជមាន b n −a n និង a n · b n ។ ដូច្នេះតើ a −n > b −n មកពីណា ដែលជាអ្វីដែលចាំបាច់ត្រូវបញ្ជាក់។

ទ្រព្យសម្បត្តិចុងក្រោយនៃអំណាចដែលមាននិទស្សន្តចំនួនគត់ត្រូវបានបង្ហាញតាមរបៀបដូចគ្នានឹងទ្រព្យសម្បត្តិស្រដៀងគ្នានៃអំណាចដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិ។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអំណាចដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផល

យើងកំណត់ដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តប្រភាគដោយពង្រីកលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តចំនួនគត់ទៅវា។ ម្យ៉ាងវិញទៀត អំណាចដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគមានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចគ្នាទៅនឹងអំណាចដែលមាននិទស្សន្តចំនួនគត់។ ពោលគឺ៖

1. ទ្រព្យសម្បត្តិនៃផលិតផលនៃអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា។ សម្រាប់ a> 0 ហើយប្រសិនបើ និង បន្ទាប់មកសម្រាប់ a≥0;
2. ទ្រព្យសម្បត្តិនៃអំណាចកូតាដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា។ សម្រាប់ a>0;
3. ទ្រព្យសម្បត្តិនៃផលិតផលនៅក្នុង អំណាចប្រភាគ សម្រាប់ a> 0 និង b> 0 ហើយប្រសិនបើ និង បន្ទាប់មកសម្រាប់ a≥0 និង (ឬ) b≥0;
4. ទ្រព្យសម្បត្តិនៃប្រភាគទៅជាអំណាចប្រភាគ សម្រាប់ a>0 និង b>0 ហើយប្រសិនបើ , បន្ទាប់មកសម្រាប់ a≥0 និង b>0;
5. ទ្រព្យសម្បត្តិពីកម្រិតទៅសញ្ញាបត្រ សម្រាប់ a> 0 ហើយប្រសិនបើ និង បន្ទាប់មកសម្រាប់ a≥0;
6. ទ្រព្យសម្បត្តិនៃការប្រៀបធៀបអំណាចជាមួយនឹងនិទស្សន្តសមហេតុផលស្មើគ្នា៖ សម្រាប់ចំនួនវិជ្ជមានណាមួយ a និង b, a 0 វិសមភាព a p p គឺពិត ហើយសម្រាប់ p p > b p ;
7. ទ្រព្យសម្បត្តិនៃការប្រៀបធៀបដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តនិទស្សន្ត និង ស្មើគ្នា៖ សម្រាប់លេខសមហេតុផល p និង q, p>q សម្រាប់ 0p q និងសម្រាប់ a>0 – វិសមភាព a p>a q ។

ភស្តុតាងនៃលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តប្រភាគគឺផ្អែកលើនិយមន័យនៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគ លើលក្ខណៈសម្បត្តិ ឫសនព្វន្ធ nth degree និងលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេដែលមាននិទស្សន្តចំនួនគត់។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងផ្តល់ភស្តុតាង។

តាមនិយមន័យនៃអំណាចដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគ និងបន្ទាប់មក . លក្ខណៈសម្បត្តិនៃឫសនព្វន្ធអនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរសមភាពដូចខាងក្រោម។ លើសពីនេះ ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាប័ត្រជាមួយនិទស្សន្តចំនួនគត់ យើងទទួលបាន ពីនោះតាមនិយមន័យនៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគ យើងមាន ហើយសូចនាករនៃសញ្ញាបត្រដែលទទួលបានអាចត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរដូចខាងក្រោម: . នេះបញ្ចប់ភស្តុតាង។

ទ្រព្យសម្បត្តិទីពីរនៃអំណាចដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគត្រូវបានបង្ហាញតាមរបៀបស្រដៀងគ្នាទាំងស្រុង៖


សមភាពដែលនៅសល់ត្រូវបានបង្ហាញដោយប្រើគោលការណ៍ស្រដៀងគ្នា៖


ចូរបន្តទៅការបញ្ជាក់ទ្រព្យសម្បត្តិបន្ទាប់។ ចូរយើងបញ្ជាក់ថា សម្រាប់វិជ្ជមានណាមួយ a និង b, a 0 វិសមភាព a p p គឺពិត ហើយសម្រាប់ p p > b p ។ ចូរសរសេរលេខសនិទាន p ជា m/n ដែល m ជាចំនួនគត់ ហើយ n ជាលេខធម្មជាតិ។ លក្ខខណ្ឌ p 0 ក្នុងករណីនេះនឹងស្មើនឹងលក្ខខណ្ឌ m 0 រៀងគ្នា។ សម្រាប់ m> 0 និង am m ។ ពីវិសមភាពនេះ ដោយទ្រព្យសម្បត្តិនៃឫស យើងមាន ហើយដោយសារ a និង b គឺជាលេខវិជ្ជមាន បន្ទាប់មក ដោយផ្អែកលើនិយមន័យនៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគ វិសមភាពលទ្ធផលអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដូចជា a p p ។

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ សម្រាប់ m m > b m , មកពីណា , a p > b p ។

វានៅសល់ដើម្បីបញ្ជាក់ចុងក្រោយនៃលក្ខណៈសម្បត្តិដែលបានរាយបញ្ជី។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថាសម្រាប់លេខសមហេតុផល p និង q, p>q សម្រាប់ 0p q និងសម្រាប់ a> 0 – វិសមភាព a p > a q ។ យើងតែងតែអាចរកឃើញភាគបែងរួម លេខសមហេតុផល p និង q អនុញ្ញាតឱ្យយើងទទួលបានប្រភាគធម្មតា ហើយ m 1 និង m 2 គឺជាចំនួនគត់ ហើយ n គឺជាលេខធម្មជាតិ។ ក្នុង​ករណី​នេះ លក្ខខណ្ឌ p>q នឹង​ត្រូវ​គ្នា​នឹង​លក្ខខណ្ឌ m 1 > m 2 ដែល​អនុវត្ត​តាម​ច្បាប់​ប្រៀបធៀប ប្រភាគធម្មតា។ជាមួយ ភាគបែងដូចគ្នា។. បន្ទាប់មកដោយទ្រព្យសម្បត្តិនៃការប្រៀបធៀបដឺក្រេជាមួយនឹងមូលដ្ឋានដូចគ្នា និងនិទស្សន្តធម្មជាតិសម្រាប់ 0m 1 m 2 និងសម្រាប់ a>1 វិសមភាព a m 1 > a m 2 ។ វិសមភាពទាំងនេះនៅក្នុងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃឫសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញស្របតាម និង . ហើយនិយមន័យនៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផលអនុញ្ញាតឱ្យយើងបន្តទៅវិសមភាព ហើយតាមនោះ។ ពីទីនេះយើងទាញសេចក្តីសន្និដ្ឋានចុងក្រោយ៖ សម្រាប់ p>q និង 0p q និងសម្រាប់ a>0 – វិសមភាព a p>a q ។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអំណាចដែលមាននិទស្សន្តមិនសមហេតុផល

ពីរបៀបដែលសញ្ញាបត្រគត្រូវបានកំណត់ សូចនាករមិនសមហេតុផលយើងអាចសន្និដ្ឋានបានថា វាមានលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់នៃអំណាចជាមួយនឹងនិទស្សន្តនិទស្សន្ត។ ដូច្នេះសម្រាប់ a> 0 , b> 0 និង លេខមិនសមហេតុផល p និង q មានដូចខាងក្រោម លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអំណាចជាមួយនិទស្សន្តមិនសមហេតុផល:

1. a p ·a q = a p + q ;
2. a p:a q =a p−q;
3. (a·b) p =a p ·b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q = a p ·q ;
6. សម្រាប់លេខវិជ្ជមានណាមួយ a និង b, a 0 វិសមភាព a p p គឺពិត ហើយសម្រាប់ p p > b p ;
7. សម្រាប់លេខមិនសមហេតុផល p និង q, p>q សម្រាប់ 0p q និងសម្រាប់ a>0 – វិសមភាព a p>a q ។

ពីនេះយើងអាចសន្និដ្ឋានថាអំណាចដែលមាននិទស្សន្តពិតប្រាកដណាមួយ p និង q សម្រាប់ a> 0 មានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចគ្នា។

• ពិជគណិត - ថ្នាក់ទី១០។ មេរៀនសមីការត្រីកោណមាត្រ មេរៀន និងបទបង្ហាញលើប្រធានបទ៖ "ការដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រដ៏សាមញ្ញបំផុត" សម្ភារៈបន្ថែម សូមគោរព អ្នកប្រើប្រាស់ កុំភ្លេចទុកមតិយោបល់ ពិនិត្យ និងផ្តល់យោបល់! សម្ភារៈទាំងអស់ […]
• ការប្រកួតប្រជែងត្រូវបានបើកសម្រាប់មុខតំណែង "អ្នកលក់ - អ្នកប្រឹក្សា"៖ ទំនួលខុសត្រូវ៖ ការលក់ ទូរ​សព្ទ​ដៃនិងគ្រឿងបន្លាស់សម្រាប់សេវាកម្មទំនាក់ទំនងចល័តសម្រាប់អតិថិជន Beeline, Tele2, MTS ការតភ្ជាប់នៃផែនការពន្ធ និងសេវាកម្ម Beeline និង Tele2, MTS ប្រឹក្សា […]
• រូបមន្ត Parallelepiped A parallelepiped គឺជាពហុកោណដែលមានមុខ 6 ដែលនីមួយៗជាប៉ារ៉ាឡែល។ គូប​មួយ​គឺ​ជា​ប៉ារ៉ាឡែល​ពី​មុខ​នីមួយៗ​ដែល​ជា​ចតុកោណ។ Parallelepiped ណាមួយត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយ 3 […]
• អក្ខរាវិរុទ្ធ N និង NN នៅក្នុងផ្នែកផ្សេងគ្នានៃសុន្ទរកថា S.G. ZELINSKAYA DIDACTIC MATERIAL លំហាត់ទ្រឹស្តី 1. តើ nn ត្រូវបានសរសេរនៅក្នុងគុណនាមនៅពេលណា? 2. ដាក់ឈ្មោះករណីលើកលែងចំពោះច្បាប់ទាំងនេះ។ 3. របៀបបែងចែក គុណនាមពាក្យសំដីជាមួយបច្ច័យ -n- ពីការចូលរួមជាមួយ […]
• អធិការកិច្ចនៃ GOSTEKHNADZOR នៃតំបន់ BRYANSK បង្កាន់ដៃសម្រាប់ការបង់ប្រាក់កាតព្វកិច្ចរដ្ឋ (ទាញយក-12.2 kb) ពាក្យស្នើសុំចុះឈ្មោះសម្រាប់បុគ្គល (ទាញយក-12 kb) ពាក្យស្នើសុំចុះបញ្ជីសម្រាប់នីតិបុគ្គល (ទាញយក-11.4 kb) 1. នៅពេលចុះឈ្មោះរថយន្តថ្មី : 1.application 2.passport […]
• សង្គមសម្រាប់ការការពារសិទ្ធិអ្នកប្រើប្រាស់ Astana ដើម្បីទទួលបានកូដ PIN ដើម្បីចូលប្រើ ឯកសារនេះ។នៅលើគេហទំព័ររបស់យើង សូមផ្ញើសារ SMS ជាមួយនឹងអក្សរ Zan ទៅកាន់លេខ អតិថិជនរបស់ប្រតិបត្តិករ GSM (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) ដោយផ្ញើសារទៅកាន់លេខ […]
• អនុម័តច្បាប់ស្តីពីទ្រព្យសម្បត្តិគ្រួសារ ទទួលយក ច្បាប់សហព័ន្ធលើការបែងចែកដោយឥតគិតថ្លៃដល់ប្រជាពលរដ្ឋគ្រប់រូបដែលប្រាថ្នា សហព័ន្ធរុស្ស៊ីឬគ្រួសារប្រជាពលរដ្ឋដែលមានដីសម្រាប់អភិវឌ្ឍន៍លើវា។ អចលនទ្រព្យគ្រួសារនៅលើ តាមលក្ខខណ្ឌ: 1. ដីឡូតិ៍ត្រូវបានបែងចែកសម្រាប់ […]
• Pivoev V.M. ទស្សនវិជ្ជា និងវិធីសាស្រ្តនៃវិទ្យាសាស្ត្រ៖ ការបង្រៀនសម្រាប់ថ្នាក់អនុបណ្ឌិត និងនិស្សិតបញ្ចប់ការសិក្សា Petrozavodsk: PetrSU Publishing House, 2013. - 320 pp. ISBN 978-5-821-1647-0 PDF 3 mb សៀវភៅសិក្សាត្រូវបានបម្រុងទុកសម្រាប់និស្សិតជាន់ខ្ពស់ ថ្នាក់អនុបណ្ឌិត និងនិស្សិតបញ្ចប់ការសិក្សាផ្នែកសង្គម និង […]