តើលេខមួយណាដែលសញ្ញាវិសមភាពត្រឹមត្រូវ? វិធីទូទៅដើម្បីប្រៀបធៀបលេខ

យើងបានរៀនអំពីវិសមភាពនៅសាលា ដែលយើងប្រើវិសមភាពលេខ។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះយើងនឹងពិចារណាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃវិសមភាពលេខដែលគោលការណ៍នៃការធ្វើការជាមួយពួកគេត្រូវបានបង្កើតឡើង។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃវិសមភាពគឺស្រដៀងនឹងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃវិសមភាពលេខ។ លក្ខណៈសម្បត្តិ យុត្តិកម្មរបស់វានឹងត្រូវបានពិចារណា ហើយឧទាហរណ៍នឹងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។

Yandex.RTB R-A-339285-1

វិសមភាពលេខ៖ និយមន័យ, ឧទាហរណ៍

នៅពេលណែនាំអំពីគំនិតនៃវិសមភាព យើងមានថានិយមន័យរបស់ពួកគេត្រូវបានធ្វើឡើងតាមប្រភេទនៃកំណត់ត្រា។ មានកន្សោមពិជគណិតដែលមានសញ្ញា ≠,< , >, ≤ , ≥ . ចូរយើងផ្តល់និយមន័យ។

និយមន័យ ១

វិសមភាពលេខហៅថាវិសមភាពដែលភាគីទាំងពីរមានលេខ និងកន្សោមលេខ។

យើងពិចារណាពីវិសមភាពលេខនៅក្នុងសាលា បន្ទាប់ពីសិក្សាលេខធម្មជាតិ។ ប្រតិបត្តិការប្រៀបធៀបបែបនេះត្រូវបានសិក្សាជាជំហាន ៗ ។ ដើមដំបូងមើលទៅដូចជា 1< 5 , 5 + 7 >៣. បន្ទាប់ពីនោះច្បាប់ត្រូវបានបំពេញបន្ថែម ហើយវិសមភាពកាន់តែស្មុគស្មាញ នោះយើងទទួលបានវិសមភាពនៃទម្រង់ 5 2 3 > 5, 1 (2), ln 0 ។ ៧៣ – ១៧ ២< 0 .

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃវិសមភាពលេខ

ដើម្បីធ្វើការជាមួយវិសមភាពឱ្យបានត្រឹមត្រូវ អ្នកត្រូវតែប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃវិសមភាពលេខ។ ពួកគេមកពីគំនិតនៃវិសមភាព។ គោល​គំនិត​នេះ​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ដោយ​ប្រើ​សេចក្តី​ថ្លែង​ការណ៍​ដែល​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ថា​ជា “ច្រើន” ឬ “តិច”។

និយមន័យ ២

• លេខ a គឺធំជាង b នៅពេលដែលភាពខុសគ្នា a - b គឺជាចំនួនវិជ្ជមាន។
• លេខ a គឺតិចជាង b នៅពេលដែលភាពខុសគ្នា a - b គឺជាចំនួនអវិជ្ជមាន។
• លេខ a គឺស្មើនឹង b នៅពេលដែលភាពខុសគ្នា a - b គឺសូន្យ។

និយមន័យត្រូវបានប្រើនៅពេលដោះស្រាយវិសមភាពជាមួយទំនាក់ទំនង "តិចជាង ឬស្មើ" "ធំជាង ឬស្មើ"។ យើងទទួលបាននោះ។

និយមន័យ ៣

• a គឺធំជាង ឬស្មើ b នៅពេលដែល a - b ជាចំនួនមិនអវិជ្ជមាន។
• a គឺតិចជាង ឬស្មើ b នៅពេលដែល a - b ជាចំនួនមិនវិជ្ជមាន។

និយមន័យនឹងត្រូវបានប្រើដើម្បីបញ្ជាក់លក្ខណៈសម្បត្តិនៃវិសមភាពលេខ។

លក្ខណៈសម្បត្តិមូលដ្ឋាន

សូមក្រឡេកមើលវិសមភាពសំខាន់ៗចំនួន ៣ ។ ការប្រើប្រាស់សញ្ញា< и >លក្ខណៈនៃលក្ខណៈសម្បត្តិដូចខាងក្រោមៈ

និយមន័យ ៤

• ប្រឆាំងនឹងការឆ្លុះបញ្ចាំងដែលនិយាយថាចំនួនណាមួយ a ពីវិសមភាព a< a и a >a ត្រូវបានចាត់ទុកថាមិនត្រឹមត្រូវ។ វាត្រូវបានគេដឹងថាសម្រាប់សមភាពណាមួយ a − a = 0 ទទួលបាន ដូច្នេះយើងទទួលបាន a = a ។ ដូច្នេះ ក< a и a >a គឺ​មិន​ត្រឹម​ត្រូវ។ ឧទាហរណ៍ ៣< 3 и - 4 14 15 >- 4 14 15 មិនត្រឹមត្រូវ។
• asymmetry. នៅពេលដែលលេខ a និង b គឺដូចនោះ a< b , то b >a ហើយប្រសិនបើ a > b នោះ b< a . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a < b , тогда a − b является отрицательным числом. А b − a = − (a − b) положительное число, потому как число противоположно отрицательному числу a − b . Отсюда следует, что b >ក. ផ្នែកទីពីររបស់វាត្រូវបានបញ្ជាក់តាមរបៀបស្រដៀងគ្នា។

ឧទាហរណ៍ ១

ឧទហរណ៍ ផ្តល់អសមភាព ៥< 11 имеем, что 11 >5 ដែលមានន័យថាវិសមភាពលេខរបស់វា − 0, 27 > − 1, 3 នឹងត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជា − 1, 3< − 0 , 27 .

មុនពេលបន្តទៅអចលនទ្រព្យបន្ទាប់ សូមចំណាំថាដោយមានជំនួយពី asymmetry អ្នកអាចអានវិសមភាពពីស្តាំទៅឆ្វេង និងច្រាសមកវិញ។ តាមវិធីនេះ វិសមភាពលេខអាចត្រូវបានកែប្រែ និងផ្លាស់ប្តូរ។

និយមន័យ ៥

• អន្តរកាល. នៅពេលដែលលេខ a, b, c បំពេញលក្ខខណ្ឌ a< b и b < c , тогда a < c , и если a >b និង b > c បន្ទាប់មក a > c ។

ភស្តុតាង ១

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ដំបូងអាចបញ្ជាក់បាន។ លក្ខខណ្ឌ ក< b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать.

ផ្នែកទីពីរដែលមានទ្រព្យសម្បត្តិឆ្លងកាត់ត្រូវបានបង្ហាញតាមរបៀបស្រដៀងគ្នា។

ឧទាហរណ៍ ២

យើងពិចារណាលើទ្រព្យសម្បត្តិដែលបានវិភាគដោយប្រើឧទាហរណ៍នៃវិសមភាព − ១< 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 >1 8 និង 1 8 > 1 32 វាធ្វើតាមនោះ 1 2 > 1 32 ។

វិសមភាពជាលេខ ដែលត្រូវបានសរសេរដោយប្រើសញ្ញាវិសមភាពខ្សោយ មានទ្រព្យសម្បត្តិនៃការឆ្លុះបញ្ចាំង ព្រោះ a ≤ a និង ≥ a អាចមានករណីសមភាព a = a ។ ពួកគេត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយ asymmetry និងអន្តរកាល។

និយមន័យ ៦

វិសមភាពដែលមានសញ្ញា ≤ និង ≥ នៅក្នុងការសរសេររបស់វា មានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចខាងក្រោមៈ

• ការឆ្លុះបញ្ចាំង a ≥ a និង a ≤ a ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាវិសមភាពពិត។
• antisymmetry នៅពេលដែល a ≤ b បន្ទាប់មក b ≥ a ហើយប្រសិនបើ a ≥ b បន្ទាប់មក b ≤ a ។
• transitivity នៅពេលដែល a ≤ b និង b ≤ c បន្ទាប់មក a ≤ c ហើយប្រសិនបើ a ≥ b និង b ≥ c បន្ទាប់មក a ≥ c ។

ភស្តុតាងត្រូវបានអនុវត្តតាមរបៀបស្រដៀងគ្នា។

លក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗផ្សេងទៀតនៃវិសមភាពលេខ

ដើម្បីបំពេញបន្ថែមលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃវិសមភាព លទ្ធផលដែលមានសារៈសំខាន់ជាក់ស្តែងត្រូវបានប្រើប្រាស់។ គោលការណ៍នៃវិធីសាស្រ្តត្រូវបានប្រើដើម្បីប៉ាន់ប្រមាណតម្លៃនៃកន្សោមដែលគោលការណ៍នៃការដោះស្រាយវិសមភាពត្រូវបានផ្អែកលើ។

កថាខណ្ឌនេះបង្ហាញពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃវិសមភាពសម្រាប់សញ្ញាមួយនៃវិសមភាពដ៏តឹងរឹង។ ដូចគ្នានេះដែរត្រូវបានធ្វើសម្រាប់អ្នកដែលមិនតឹងរ៉ឹង។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយ បង្កើតវិសមភាព ប្រសិនបើ a< b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства:

• ប្រសិនបើ a > b បន្ទាប់មក a + c > b + c;
• ប្រសិនបើ a ≤ b បន្ទាប់មក a + c ≤ b + c;
• ប្រសិនបើ a ≥ b បន្ទាប់មក a + c ≥ b + c ។

សម្រាប់ការបង្ហាញដ៏ងាយស្រួល យើងផ្តល់សេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលត្រូវគ្នា ដែលត្រូវបានសរសេរចុះ ហើយភស្តុតាងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់ត្រូវបានបង្ហាញ។

និយមន័យ ៧

ការបន្ថែមឬគណនាលេខទៅភាគីទាំងពីរ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត នៅពេលដែល a និង b ត្រូវគ្នាទៅនឹងវិសមភាព a< b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c .

ភស្តុតាង ២

ដើម្បីបញ្ជាក់នេះ សមីការត្រូវតែបំពេញលក្ខខណ្ឌ a< b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа – с.

ឧទាហរណ៍ ៣

ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើយើងបង្កើនភាគីទាំងពីរនៃវិសមភាព 7 > 3 ដោយ 15 នោះយើងទទួលបាននោះ 7 + 15 > 3 + 15 ។ នេះស្មើនឹង 22 > 18 ។

និយមន័យ ៨

នៅពេលដែលភាគីទាំងពីរនៃវិសមភាពត្រូវបានគុណ ឬចែកដោយចំនួនដូចគ្នា c យើងទទួលបានវិសមភាពពិតប្រាកដមួយ។ ប្រសិនបើអ្នកយកលេខអវិជ្ជមាន សញ្ញានឹងប្តូរទៅផ្ទុយ។ បើមិនដូច្នេះទេ វាមើលទៅដូចនេះ៖ សម្រាប់ a និង b វិសមភាពកើតឡើងនៅពេលដែល a< b и c являются положительными числами, то a· c < b · c , а если v является отрицательным числом, тогда a · c >b·c

ភស្តុតាង ៣

នៅពេលមានករណី c> 0 វាចាំបាច់ក្នុងការបង្កើតភាពខុសគ្នារវាងផ្នែកខាងឆ្វេងនិងខាងស្តាំនៃវិសមភាព។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបានថា a · c − b · c = (a − b) · c ។ ពីលក្ខខណ្ឌ ក< b , то a − b < 0 , а c >0 បន្ទាប់មកផលិតផល (a − b) · c នឹងអវិជ្ជមាន។ វាធ្វើតាមថា a · c − b · c< 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом.

នៅពេលបង្ហាញ ការបែងចែកដោយចំនួនគត់អាចត្រូវបានជំនួសដោយការគុណដោយច្រាសនៃលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ នោះគឺ 1 គ។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍នៃទ្រព្យសម្បត្តិនៅលើលេខជាក់លាក់។

ឧទាហរណ៍ 4

ភាគីទាំងពីរនៃវិសមភាព 4 ត្រូវបានអនុញ្ញាត< 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 .

ឥឡូវនេះ ចូរយើងបង្កើតលទ្ធផលពីរខាងក្រោម ដែលត្រូវបានប្រើក្នុងការដោះស្រាយវិសមភាព៖

• កូរ៉ូឡារី ១. នៅពេលផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃផ្នែកនៃវិសមភាពលេខ សញ្ញានៃវិសមភាពខ្លួនវាផ្លាស់ប្តូរទៅផ្ទុយពី< b , как − a >- ខ។ នេះ​ធ្វើ​តាម​ក្បួន​គុណ​ទាំង​សងខាង​ដោយ - ១. វាអាចអនុវត្តបានសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរ។ ឧទាហរណ៍ - ៦< − 2 , то 6 > 2 .
• កូរ៉ូឡារី ២. នៅពេលជំនួសផ្នែកនៃវិសមភាពលេខជាមួយនឹងលេខផ្ទុយ សញ្ញារបស់វាក៏ផ្លាស់ប្តូរ ហើយវិសមភាពនៅតែជាការពិត។ ពីនេះយើងមានថា a និង b គឺជាលេខវិជ្ជមាន a< b , 1 a >1 ខ។

នៅពេលបែងចែកវិសមភាពភាគីទាំងពីរ ក< b разрешается на число a · b . Данное свойство используется при верном неравенстве 5 >3 2 យើងមាននោះ 15< 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a < b , неравенство 1 a >1 b អាច​នឹង​មិន​ត្រឹមត្រូវ។

ឧទាហរណ៍ 5

ឧទាហរណ៍៖ ២< 3 , однако, - 1 2 >13 គឺជាសមីការមិនត្រឹមត្រូវ។

ចំណុចទាំងអស់ត្រូវបានបង្រួបបង្រួមដោយការពិតដែលថាសកម្មភាពលើផ្នែកនៃវិសមភាពផ្តល់នូវវិសមភាពត្រឹមត្រូវនៅទិន្នផល។ ចូរយើងពិចារណាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិ ដែលដំបូងមានវិសមភាពលេខជាច្រើន ហើយលទ្ធផលរបស់វាត្រូវបានទទួលដោយការបន្ថែម ឬគុណផ្នែករបស់វា។

និយមន័យ ៩

នៅពេលដែលលេខ a, b, c, d មានសុពលភាពសម្រាប់វិសមភាព a< b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.

ភស្តុតាង ៤

ចូរបង្ហាញថា (a + c) − (b + d) គឺជាចំនួនអវិជ្ជមាន បន្ទាប់មកយើងទទួលបានថា a + c< b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a < b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.

ទ្រព្យសម្បត្តិនេះត្រូវបានប្រើសម្រាប់ការបន្ថែមតាមកាលកំណត់នៃវិសមភាពលេខបី បួន ឬច្រើន។ លេខ a 1 , a 2 , … , a n និង b 1 , b 2 , … , b n បំពេញវិសមភាព a 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод математической индукции, получив a 1 + a 2 + … + a n < b 1 + b 2 + … + b n .

ឧទាហរណ៍ ៦

ឧទាហរណ៍ ផ្តល់វិសមភាពលេខបីនៃសញ្ញាដូចគ្នា − 5< − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным.

និយមន័យ ១០

ការគុណតាមកាលកំណត់នៃភាគីទាំងសងខាងនាំមកនូវចំនួនវិជ្ជមាន។ នៅពេលដែល ក< b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым.

ភស្តុតាង ៥

ដើម្បីបញ្ជាក់រឿងនេះ យើងត្រូវការភាគីទាំងពីរនៃវិសមភាព ក< b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d .

ទ្រព្យសម្បត្តិនេះត្រូវបានចាត់ទុកថាមានសុពលភាពសម្រាប់ចំនួនលេខដែលភាគីទាំងពីរនៃវិសមភាពត្រូវតែគុណ។ បន្ទាប់មក a 1 , a 2 , … , a nនិង b 1, b 2, …, b nជាលេខវិជ្ជមាន ដែល a 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 · a 2 · … · a n< b 1 · b 2 · … · b n .

ចំណាំថានៅពេលសរសេរវិសមភាពមានលេខដែលមិនវិជ្ជមាន នោះការគុណតាមកាលកំណត់របស់ពួកគេនាំទៅរកវិសមភាពមិនត្រឹមត្រូវ។

ឧទាហរណ៍ ៧

ឧទាហរណ៍ វិសមភាព ១< 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством.

លទ្ធផល៖ គុណនៃវិសមភាពតាមកាលកំណត់ ក< b с положительными с a и b , причем получается a n < b n .

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃវិសមភាពលេខ

ចូរយើងពិចារណាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិខាងក្រោមនៃវិសមភាពលេខ។

1. ក< a , a >a - វិសមភាពមិនត្រឹមត្រូវ,
   a ≤ a, a ≥ a គឺជាវិសមភាពពិត។
2. ប្រសិនបើ ក< b , то b >a - antisymmetry ។
3. ប្រសិនបើ ក< b и b < c то a < c - транзитивность.
4. ប្រសិនបើ ក< b и c - любоое число, то a + b < b + c .
5. ប្រសិនបើ ក< b и c - положительное число, то a · c < b · c ,
   ប្រសិនបើ ក< b и c - отрицательное число, то a · c >b·c

កូរ៉ូឡារី ១៖ ប្រសិនបើ ក< b , то - a >- ខ.

កូរ៉ូឡារី ២៖ ប្រសិនបើ a និង b គឺជាលេខវិជ្ជមាន និង a< b , то 1 a >1 ខ។

1. ប្រសិនបើ ១< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 + a 2 + . . . + a n < b 1 + b 2 + . . . + b n .
2. ប្រសិនបើ 1, a 2, ។ . . , a n , b 1 , b 2 , ។ . . , b n គឺជាលេខវិជ្ជមាន និង a 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 · a 2 · . . . · a n < b 1 · b 2 · . . . b n .

កូរ៉ូឡារី ១៖ ប្រសិនបើ ក< b , a និង ខ គឺជាលេខវិជ្ជមាន បន្ទាប់មក a n< b n .

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមរំលេចវា ហើយចុច Ctrl+Enter

វិសមភាពលេខ និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។

បទបង្ហាញរៀបរាប់លម្អិតអំពីខ្លឹមសារនៃប្រធានបទនៃវិសមភាពលេខ និងទ្រព្យសម្បត្តិនៃវិសមភាពលេខ ហើយផ្តល់នូវឧទាហរណ៍នៃការបញ្ជាក់វិសមភាពជាលេខ។ (ពិជគណិតថ្នាក់ទី៨ អ្នកនិពន្ធ Makarychev Yu.N.)

មើលមាតិកាឯកសារ
"វិសមភាពលេខ និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា"

វិសមភាពលេខ

និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ពួកគេ។

គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យានៅគ្រឹះស្ថានអប់រំក្រុង "អនុវិទ្យាល័យ Upshinskaya"

ស្រុក Orsha នៃសាធារណរដ្ឋ Mari El

(ទៅសៀវភៅសិក្សាដោយ Yu.A. Makarychev Algebra 8

វិសមភាពលេខ

លទ្ធផលនៃការប្រៀបធៀបលេខពីរឬច្រើនត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់វិសមភាពដោយប្រើសញ្ញា  ,  , =

យើងប្រៀបធៀបលេខដោយប្រើ ផ្សេងៗច្បាប់ (វិធីសាស្រ្ត) ។ វាមានភាពងាយស្រួលក្នុងការធ្វើទូទៅវិធីសាស្រ្តនៃការប្រៀបធៀបដែលគ្របដណ្តប់គ្រប់ករណីទាំងអស់។

និយមន័យ៖

ចំនួន ក ធំជាង b ប្រសិនបើភាពខុសគ្នា ( ក ខ) គឺជាលេខវិជ្ជមាន។

ចំនួន ក តិចជាង b ប្រសិនបើភាពខុសគ្នា ( ក ខ) គឺជាលេខអវិជ្ជមាន។

ចំនួន ក ស្មើនឹងចំនួន b ប្រសិនបើភាពខុសគ្នា ( ក - ខ) - ស្មើនឹងសូន្យ

វិធីទូទៅដើម្បីប្រៀបធៀបលេខ

ឧទាហរណ៍ ១.

ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តទូទៅនៃការប្រៀបធៀបលេខដើម្បីបញ្ជាក់វិសមភាព

ឧទាហរណ៍ 2. បង្ហាញថាមធ្យមនព្វន្ធនៃចំនួនវិជ្ជមានពីរគឺមិនតិចជាងមធ្យមធរណីមាត្រនៃលេខទាំងនេះទេ។

ប្រសិនបើភាគីទាំងពីរនៃវិសមភាពពិតត្រូវបានគុណ ឬបែងចែកដោយចំនួនវិជ្ជមានដូចគ្នា អ្នកនឹងទទួលបានវិសមភាពពិត។

ប្រសិនបើភាគីទាំងពីរនៃវិសមភាពពិតត្រូវបានគុណ ឬបែងចែកដោយចំនួនអវិជ្ជមានដូចគ្នា ហើយសញ្ញានៃវិសមភាពត្រូវបានបញ្ច្រាសនោះ អ្នកនឹងទទួលបានវិសមភាពពិតប្រាកដមួយ។

P = 3a

គុណនឹង 3 ភាគីទាំងពីរនៃវិសមភាពនីមួយៗ

54.2 ∙ 3 ​​a ∙ ៣

162,6

ការអនុវត្តលក្ខណៈសម្បត្តិនៃវិសមភាពលេខ

ប្រភេទវិសមភាពសំខាន់ៗត្រូវបានបង្ហាញរួមមាន Bernoulli, Cauchy - Bunyakovsky, Minkowski, Chebyshev វិសមភាព។ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃវិសមភាពនិងសកម្មភាពលើពួកវាត្រូវបានពិចារណា។ វិធីសាស្រ្តជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ការដោះស្រាយវិសមភាពត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។

រូបមន្តសម្រាប់វិសមភាពមូលដ្ឋាន

រូបមន្តសម្រាប់វិសមភាពសកល

វិសមភាពសកលត្រូវបានពេញចិត្តចំពោះតម្លៃណាមួយនៃបរិមាណដែលបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងពួកគេ។ ប្រភេទសំខាន់ៗនៃវិសមភាពសកលត្រូវបានរាយខាងក្រោម។

១) | a b | ≤ |a| +|b| ; | a 1 a 2 ... a n | ≤ |a 1 | +|a ២| + ... + |a n|

2) |a| +|b| ≥ | a - ខ | ≥ | |a| - |b| |

3)
សមភាពកើតឡើងតែនៅពេល a 1 = a 2 = ... = a n ។

4) វិសមភាព Cauchy-Bunyakovsky

សមភាពមានប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែ α a k = β b k សម្រាប់ k = 1, 2, ..., n និង α, β, |α| + |β| > 0 ។

5) វិសមភាពរបស់ Minkowski, សម្រាប់ p ≥ 1

រូបមន្តនៃវិសមភាពដែលពេញចិត្ត

វិសមភាពដែលពេញចិត្តគឺពេញចិត្តចំពោះតម្លៃជាក់លាក់នៃបរិមាណដែលបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងពួកគេ។

1) វិសមភាព Bernoulli៖
.
ជាទូទៅ៖
,
កន្លែងណា លេខនៃសញ្ញាដូចគ្នា និងធំជាង -1 : .
Lemma របស់ Bernoulli៖
.
សូមមើល "ភស្តុតាងនៃវិសមភាព និងលេម៉ារបស់ Bernoulli" ។

2)
សម្រាប់ a i ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n) ។

3) វិសមភាពរបស់ Chebyshev
នៅ 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n និង 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
នៅ 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n និង b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

4) វិសមភាព Chebyshev ទូទៅ
នៅ 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n និង 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n និង k ធម្មជាតិ
.
នៅ 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n និង b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

ទ្រព្យសម្បត្តិនៃវិសមភាព

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃវិសមភាពគឺជាសំណុំនៃច្បាប់ដែលពេញចិត្តនៅពេលផ្លាស់ប្តូរពួកគេ។ ខាង​ក្រោម​នេះ​ជា​លក្ខណៈ​សម្បត្តិ​នៃ​វិសមភាព។ វាត្រូវបានយល់ថាវិសមភាពដើមត្រូវបានពេញចិត្តចំពោះតម្លៃនៃ x i (i = 1, 2, 3, 4) ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចន្លោះពេលដែលបានកំណត់ទុកជាមុនមួយចំនួន។

1) នៅពេលដែលលំដាប់នៃភាគីផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាវិសមភាពផ្លាស់ប្តូរទៅផ្ទុយ។
ប្រសិនបើ x 1< x 2 , то x 2 >x 1 ។
ប្រសិនបើ x 1 ≤ x 2 នោះ x 2 ≥ x 1 ។
ប្រសិនបើ x 1 ≥ x 2 នោះ x 2 ≤ x 1 ។
ប្រសិនបើ x 1 > x 2 បន្ទាប់មក x 2< x 1 .

2) សមភាពមួយគឺស្មើនឹងវិសមភាពមិនតឹងរ៉ឹងពីរនៃសញ្ញាផ្សេងគ្នា។
ប្រសិនបើ x 1 = x 2 នោះ x 1 ≤ x 2 និង x 1 ≥ x 2 ។
ប្រសិនបើ x 1 ≤ x 2 និង x 1 ≥ x 2 នោះ x 1 = x 2 ។

3) ទ្រព្យសម្បត្តិឆ្លងកាត់
ប្រសិនបើ x 1< x 2 и x 2 < x 3 , то x 1 < x 3 .
ប្រសិនបើ x 1< x 2 и x 2 ≤ x 3 , то x 1 < x 3 .
ប្រសិនបើ x 1 ≤ x 2 និង x 2< x 3 , то x 1 < x 3 .
ប្រសិនបើ x 1 ≤ x 2 និង x 2 ≤ x 3 នោះ x 1 ≤ x 3 ។

4) ចំនួនដូចគ្នាអាចត្រូវបានបន្ថែម (ដក) ទៅភាគីទាំងពីរនៃវិសមភាព។
ប្រសិនបើ x 1< x 2 , то x 1 + A < x 2 + A .
ប្រសិនបើ x 1 ≤ x 2 នោះ x 1 + A ≤ x 2 + A ។
ប្រសិនបើ x 1 ≥ x 2 បន្ទាប់មក x 1 + A ≥ x 2 + A ។
ប្រសិនបើ x 1 > x 2 បន្ទាប់មក x 1 + A > x 2 + A ។

5) ប្រសិនបើមានវិសមភាពពីរឬច្រើនដែលមានសញ្ញានៃទិសដៅដូចគ្នានោះផ្នែកខាងឆ្វេងនិងខាងស្តាំរបស់ពួកគេអាចត្រូវបានបន្ថែម។
ប្រសិនបើ x 1< x 2 , x 3 < x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
ប្រសិនបើ x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
ប្រសិនបើ x 1 ≤ x 2 , x 3< x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
ប្រសិនបើ x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4 នោះ x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4 ។
កន្សោមស្រដៀងគ្នាអនុវត្តចំពោះសញ្ញា ≥, > ។
ប្រសិនបើវិសមភាពដើមមានសញ្ញានៃវិសមភាពមិនតឹងរ៉ឹង និងយ៉ាងហោចណាស់វិសមភាពដ៏តឹងរឹងមួយ (ប៉ុន្តែសញ្ញាទាំងអស់មានទិសដៅដូចគ្នា) នោះការបន្ថែមនេះនាំឱ្យមានវិសមភាពដ៏តឹងរឹងមួយ។

6) ភាគីទាំងពីរនៃវិសមភាពអាចត្រូវបានគុណ (បែងចែក) ដោយចំនួនវិជ្ជមាន។
ប្រសិនបើ x 1< x 2 и A >0 បន្ទាប់មក A x 1< A · x 2 .
ប្រសិនបើ x 1 ≤ x 2 និង A > 0 នោះ A x 1 ≤ A x 2 ។
ប្រសិនបើ x 1 ≥ x 2 និង A > 0 នោះ A x 1 ≥ A x 2 ។
ប្រសិនបើ x 1 > x 2 និង A > 0 នោះ A · x 1 > A · x 2 ។

7) ភាគីទាំងពីរនៃវិសមភាពអាចត្រូវបានគុណ (បែងចែក) ដោយចំនួនអវិជ្ជមាន។ ក្នុងករណីនេះសញ្ញានៃវិសមភាពនឹងផ្លាស់ប្តូរទៅផ្ទុយ។
ប្រសិនបើ x 1< x 2 и A < 0 , то A · x 1 >ក x ២.
ប្រសិនបើ x 1 ≤ x 2 និង A< 0 , то A · x 1 ≥ A · x 2 .
ប្រសិនបើ x 1 ≥ x 2 និង A< 0 , то A · x 1 ≤ A · x 2 .
ប្រសិនបើ x 1 > x 2 និង A< 0 , то A · x 1 < A · x 2 .

8) ប្រសិនបើមានវិសមភាពពីរឬច្រើនដែលមានពាក្យវិជ្ជមានដោយមានសញ្ញានៃទិសដៅដូចគ្នានោះផ្នែកខាងឆ្វេងនិងខាងស្តាំរបស់ពួកគេអាចត្រូវបានគុណគ្នាទៅវិញទៅមក។
ប្រសិនបើ x 1< x 2 , x 3 < x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 បន្ទាប់មក x 1 x 3< x 2 · x 4 .
ប្រសិនបើ x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 បន្ទាប់មក x 1 x 3< x 2 · x 4 .
ប្រសិនបើ x 1 ≤ x 2 , x 3< x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 បន្ទាប់មក x 1 x 3< x 2 · x 4 .
ប្រសិនបើ x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, x 1, x 2, x 3, x 4 > 0 បន្ទាប់មក x 1 x 3 ≤ x 2 x 4 ។
កន្សោមស្រដៀងគ្នាអនុវត្តចំពោះសញ្ញា ≥, > ។
ប្រសិនបើវិសមភាពដើមមានសញ្ញានៃវិសមភាពមិនតឹងរឹង និងយ៉ាងហោចណាស់វិសមភាពតឹងរឹងមួយ (ប៉ុន្តែសញ្ញាទាំងអស់មានទិសដៅដូចគ្នា) នោះការគុណនឹងនាំឱ្យវិសមភាពដ៏តឹងរឹងមួយ។

9) អនុញ្ញាតឱ្យ f(x) ជាមុខងារបង្កើនឯកតា។ នោះគឺសម្រាប់ x 1 > x 2, f(x 1) > f(x 2)។ បន្ទាប់មកមុខងារនេះអាចត្រូវបានអនុវត្តចំពោះភាគីទាំងពីរនៃវិសមភាព ដែលនឹងមិនផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃវិសមភាពនោះទេ។
ប្រសិនបើ x 1< x 2 , то f(x 1) < f(x 2) .
ប្រសិនបើ x 1 ≤ x 2 បន្ទាប់មក f(x 1) ≤ f(x 2) ។
ប្រសិនបើ x 1 ≥ x 2 បន្ទាប់មក f(x 1) ≥ f(x 2) ។
ប្រសិនបើ x 1 > x 2 នោះ f(x 1) > f(x 2) ។

10) អនុញ្ញាតឱ្យ f(x) ជាអនុគមន៍កាត់បន្ថយឯកតា នោះមានន័យថា សម្រាប់ x 1 > x 2, f(x 1)< f(x 2) . Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
ប្រសិនបើ x 1< x 2 , то f(x 1) >f (x 2) ។
ប្រសិនបើ x 1 ≤ x 2 បន្ទាប់មក f(x 1) ≥ f(x 2) ។
ប្រសិនបើ x 1 ≥ x 2 បន្ទាប់មក f(x 1) ≤ f(x 2) ។
ប្រសិនបើ x 1 > x 2 បន្ទាប់មក f (x 1)< f(x 2) .

វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយវិសមភាព

ការដោះស្រាយវិសមភាពដោយប្រើវិធីសាស្ត្រចន្លោះពេល

វិធីសាស្ត្រចន្លោះពេលអាចអនុវត្តបាន ប្រសិនបើវិសមភាពរួមបញ្ចូលអថេរមួយ ដែលយើងសម្គាល់ថាជា x ហើយវាមានទម្រង់៖
f(x) > 0
ដែល f(x) គឺជាអនុគមន៍បន្តដែលមានចំនួនកំណត់នៃចំនុចដាច់។ សញ្ញាវិសមភាពអាចជាអ្វីមួយ៖ >, ≥,<, ≤ .

វិធីសាស្រ្តចន្លោះពេលមានដូចខាងក្រោម។

1) ស្វែងរកដែននិយមន័យនៃអនុគមន៍ f(x) ហើយសម្គាល់វាដោយចន្លោះពេលនៅលើអ័ក្សលេខ។

2) ស្វែងរកចំនុចដាច់នៃអនុគមន៍ f(x)។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើនេះជាប្រភាគ នោះយើងរកឃើញចំណុចដែលភាគបែងក្លាយជាសូន្យ។ យើងសម្គាល់ចំណុចទាំងនេះនៅលើអ័ក្សលេខ។

3) ដោះស្រាយសមីការ
f (x) = 0 ។
យើងសម្គាល់ឫសនៃសមីការនេះនៅលើអ័ក្សលេខ។

4) ជាលទ្ធផលអ័ក្សលេខនឹងត្រូវបានបែងចែកទៅជាចន្លោះពេល (ផ្នែក) ដោយពិន្ទុ។ ក្នុងចន្លោះពេលនីមួយៗរួមបញ្ចូលក្នុងដែននិយមន័យ យើងជ្រើសរើសចំណុចណាមួយ ហើយនៅចំណុចនេះយើងគណនាតម្លៃនៃមុខងារ។ ប្រសិនបើតម្លៃនេះធំជាងសូន្យ នោះយើងដាក់សញ្ញា "+" នៅពីលើផ្នែក (ចន្លោះពេល)។ ប្រសិនបើតម្លៃនេះតិចជាងសូន្យ នោះយើងដាក់សញ្ញា "-" នៅពីលើផ្នែក (ចន្លោះពេល)។

5) ប្រសិនបើវិសមភាពមានទម្រង់៖ f(x) > 0 បន្ទាប់មកជ្រើសរើសចន្លោះពេលដែលមានសញ្ញា "+"។ ដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាពគឺការបញ្ចូលគ្នារវាងចន្លោះទាំងនេះ ដែលមិនរាប់បញ្ចូលព្រំដែនរបស់ពួកគេ។
ប្រសិនបើវិសមភាពមានទម្រង់៖ f(x) ≥ 0 បន្ទាប់មកយើងបន្ថែមចំនុចដែល f(x) = 0 ។ នោះគឺចន្លោះពេលខ្លះអាចមានព្រំដែនបិទ (ព្រំដែនជារបស់ចន្លោះពេល)។ ផ្នែកផ្សេងទៀតអាចមានព្រំដែនបើកចំហ (ព្រំដែនមិនមែនជារបស់ចន្លោះពេលទេ)។
ដូចគ្នានេះដែរ ប្រសិនបើវិសមភាពមានទម្រង់៖ f(x)< 0 , то выбираем интервалы с знаком „-“ . Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
ប្រសិនបើវិសមភាពមានទម្រង់៖ f(x) ≤ 0 បន្ទាប់មកយើងបន្ថែមចំនុចដែល f(x) = 0 ។

ការដោះស្រាយវិសមភាពដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ពួកគេ។

វិធីសាស្រ្តនេះអាចអនុវត្តបានចំពោះវិសមភាពនៃភាពស្មុគស្មាញណាមួយ។ វាមានការអនុវត្តលក្ខណៈសម្បត្តិ (បង្ហាញខាងលើ) ដើម្បីកាត់បន្ថយវិសមភាពទៅជាទម្រង់សាមញ្ញ និងទទួលបានដំណោះស្រាយ។ វាពិតជាអាចទៅរួចដែលថានេះនឹងនាំឱ្យមានលទ្ធផលមិនមែនតែមួយទេ ប៉ុន្តែជាប្រព័ន្ធនៃវិសមភាព។ នេះគឺជាវិធីសាស្រ្តសកល។ វាអនុវត្តចំពោះវិសមភាពណាមួយ។

ឯកសារយោង៖
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, សៀវភៅណែនាំគណិតវិទ្យាសម្រាប់វិស្វករ និងនិស្សិតមហាវិទ្យាល័យ, “Lan”, ឆ្នាំ ២០០៩។

មេរៀន និងបទបង្ហាញលើប្រធានបទ៖ "លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃវិសមភាពលេខ និងវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយពួកវា"។

សម្ភារៈបន្ថែម
អ្នកប្រើប្រាស់ជាទីគោរព កុំភ្លេចទុកមតិយោបល់ ការពិនិត្យ បំណងប្រាថ្នា! សម្ភារៈទាំងអស់ត្រូវបានត្រួតពិនិត្យដោយកម្មវិធីប្រឆាំងមេរោគ។

ជំនួយ​ការ​អប់រំ និង​ម៉ាស៊ីន​ក្លែង​ធ្វើ​នៅ​ក្នុង​ហាង​អនឡាញ​អាំងតេក្រាល​សម្រាប់​ថ្នាក់​ទី 8
Combinatorics and probability theory សមីការ និងវិសមភាព

សេចក្តីផ្តើមអំពីវិសមភាពលេខ

បុរស, យើងបានជួបប្រទះវិសមភាពរួចទៅហើយ, ឧទាហរណ៍, នៅពេលដែលយើងបានចាប់ផ្តើមស្គាល់ជាមួយនឹងគំនិតនៃឫសការ៉េ។ ដោយវិចារណញាណ ដោយប្រើវិសមភាព អ្នកអាចប៉ាន់ប្រមាណថាតើលេខណាមួយដែលបានផ្តល់ឱ្យធំឬតិចជាង។ សម្រាប់ការពិពណ៌នាគណិតវិទ្យា វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការបន្ថែមនិមិត្តសញ្ញាពិសេសដែលនឹងមានន័យច្រើន ឬតិច។

ការសរសេរកន្សោម $a>b$ ជាភាសាគណិតវិទ្យាមានន័យថាលេខ $a$ ធំជាងលេខ $b$។ នៅក្នុងវេន នេះមានន័យថា $a-b$ គឺជាចំនួនវិជ្ជមាន។
ការសរសេរកន្សោម $a

ដូចវត្ថុគណិតវិទ្យាស្ទើរតែទាំងអស់ វិសមភាពមានលក្ខណៈសម្បត្តិជាក់លាក់។ យើងនឹងសិក្សាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះនៅក្នុងមេរៀននេះ។

ទ្រព្យ ១.
ប្រសិនបើ $a>b$ និង $b>c$ បន្ទាប់មក $a>c$ ។

ភស្តុតាង។
ជាក់ស្តែង $10>5$ និង $5>2$ ហើយពិតណាស់ $10>2$។ ប៉ុន្តែគណិតវិទ្យាចូលចិត្តភស្តុតាងយ៉ាងម៉ត់ចត់សម្រាប់ករណីទូទៅបំផុត។
ប្រសិនបើ $a>b$ នោះ $a-b$ គឺជាលេខវិជ្ជមាន។ ប្រសិនបើ $b>c$ នោះ $b-c$ គឺជាលេខវិជ្ជមាន។ ចូរបន្ថែមចំនួនលទ្ធផលវិជ្ជមានទាំងពីរ។
$a-b+b-c=a-c$ ។
ផលបូកនៃចំនួនវិជ្ជមានពីរគឺជាចំនួនវិជ្ជមាន ប៉ុន្តែបន្ទាប់មក $a-c$ ក៏ជាចំនួនវិជ្ជមានផងដែរ។ ដែលវាធ្វើតាមនោះ $a>c$ ។ ទ្រព្យសម្បត្តិត្រូវបានបញ្ជាក់។

ទ្រព្យសម្បត្តិនេះអាចបង្ហាញឱ្យកាន់តែច្បាស់ដោយប្រើបន្ទាត់លេខ។ ប្រសិនបើ $a>b$ នោះលេខ $a$ នៅលើបន្ទាត់លេខនឹងស្ថិតនៅខាងស្តាំ $b$។ ដូច្នោះហើយ ប្រសិនបើ $b>c$ នោះលេខ $b$ នឹងស្ថិតនៅខាងស្តាំនៃលេខ $c$ ។
ដូចដែលអាចមើលឃើញពីរូប ចំនុច $a$ ក្នុងករណីរបស់យើងមានទីតាំងនៅខាងស្តាំចំនុច $c$ ដែលមានន័យថា $a>c$ ។

ទ្រព្យ ២.
ប្រសិនបើ $a>b$ នោះ $a+c>b+c$។
ម្យ៉ាងវិញទៀត ប្រសិនបើលេខ $a$ ធំជាងលេខ $b$ នោះមិនថាលេខណាដែលយើងបន្ថែម (វិជ្ជមាន ឬអវិជ្ជមាន) ទៅលេខទាំងនេះទេ សញ្ញាវិសមភាពក៏នឹងត្រូវបានរក្សាទុកផងដែរ។ ទ្រព្យសម្បត្តិនេះងាយស្រួលបញ្ជាក់ណាស់។ អ្នកត្រូវធ្វើការដក។ អថេរដែលត្រូវបានបន្ថែមនឹងរលាយបាត់ ហើយវិសមភាពដើមនឹងត្រឹមត្រូវ។

ទ្រព្យ ៣.
ក) ប្រសិនបើភាគីទាំងពីរនៃវិសមភាពត្រូវបានគុណនឹងចំនួនវិជ្ជមាន នោះសញ្ញាវិសមភាពត្រូវបានរក្សាទុក។
ប្រសិនបើ $a>b$ និង $c>0$ បន្ទាប់មក $ac>bc$ ។
ខ) ប្រសិនបើភាគីទាំងសងខាងនៃវិសមភាពត្រូវបានគុណនឹងចំនួនអវិជ្ជមាន នោះសញ្ញានៃវិសមភាពគួរតែត្រូវបានបញ្ច្រាស់។
ប្រសិនបើ $a>b$ និង $c ប្រសិនបើ $a bc$ ។
នៅពេលបែងចែកអ្នកគួរតែបន្តតាមរបៀបដូចគ្នា (ចែកដោយលេខវិជ្ជមាន - សញ្ញានៅតែដដែលចែកដោយលេខអវិជ្ជមាន - សញ្ញាផ្លាស់ប្តូរ) ។

ទ្រព្យ ៤.
ប្រសិនបើ $a>b$ និង $c>d$ នោះ $a+c>b+d$។

ភស្តុតាង។
ពីលក្ខខណ្ឌ៖ $a-b$ គឺជាលេខវិជ្ជមាន ហើយ $c-d$ គឺជាលេខវិជ្ជមាន។
បន្ទាប់មក ផលបូក $(a-b)+(c-d)$ ក៏ជាលេខវិជ្ជមានផងដែរ។
តោះប្តូរពាក្យខ្លះ $(a+c)-(b+d)$។
ការផ្លាស់ប្តូរទីកន្លែងនៃលក្ខខណ្ឌមិនផ្លាស់ប្តូរផលបូកទេ។
នេះមានន័យថា $(a+c)-(b+d)$ គឺជាចំនួនវិជ្ជមាន និង $a+c>b+d$ ។
ទ្រព្យសម្បត្តិត្រូវបានបញ្ជាក់។

ទ្រព្យ ៥.
ប្រសិនបើ $a, b, c, d$ គឺជាលេខវិជ្ជមាន និង $a>b$, $c>d$ បន្ទាប់មក $ac>bd$ ។

ភស្តុតាង។
ចាប់តាំងពី $a>b$ និង $c>0$ បន្ទាប់មកដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិ 3 យើងមាន $ac>bc$ ។
ចាប់តាំងពី $c>d$ និង $b>0$ បន្ទាប់មកដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិ 3 យើងមាន $cb>bd$ ។
ដូច្នេះ $ac>bc$ និង $bc>bd$ ។
បន្ទាប់មកដោយប្រើលក្ខណសម្បត្តិ 1 យើងទទួលបាន $ac>bd$ ។ Q.E.D.

និយមន័យ។
វិសមភាពនៃទម្រង់ $a>b$ និង $c>d$ ($a វិសមភាពនៃទម្រង់ $a>b$ និង $c d$) ត្រូវបានគេហៅថា វិសមភាពនៃអត្ថន័យផ្ទុយ។

បន្ទាប់មកទ្រព្យសម្បត្តិ 5 អាចត្រូវបានបកប្រែឡើងវិញ។ នៅពេលគុណវិសមភាពនៃអត្ថន័យដូចគ្នា ដែលផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំមានវិជ្ជមាន វិសមភាពនៃអត្ថន័យដូចគ្នាត្រូវបានទទួល។

ទ្រព្យ ៦.
ប្រសិនបើ $a>b$ ($a>0$, $b>0$) បន្ទាប់មក $a^n>b^n$ ដែល $n$ គឺជាលេខធម្មជាតិណាមួយ។
ប្រសិនបើភាគីទាំងពីរនៃវិសមភាពគឺជាលេខវិជ្ជមាន ហើយពួកគេត្រូវបានលើកឡើងទៅជាថាមពលធម្មជាតិដូចគ្នា នោះវិសមភាពដែលមានអត្ថន័យដូចគ្នានឹងត្រូវបានទទួល។
ចំណាំ៖ ប្រសិនបើ $n$ ជាលេខសេស នោះសម្រាប់លេខ $a$ និង $b$ នៃសញ្ញាណាមួយ Property 6 គឺពេញចិត្ត។

ទ្រព្យ ៧.
ប្រសិនបើ $a>b$ ($a>0$, $b>0$) បន្ទាប់មក $\frac(1)(a)

ភស្តុតាង។
ដើម្បីបញ្ជាក់ទ្រព្យសម្បត្តិនេះ ចាំបាច់ត្រូវដក $\frac(1)(a)-\frac(1)(b)$ ដើម្បីទទួលបានលេខអវិជ្ជមាន។
$\frac(1)(a)-\frac(1)(b)=\frac(b-a)(ab)=\frac(-(a-b))(ab)$ ។

យើងដឹងថា $a-b$ គឺជាលេខវិជ្ជមាន ហើយផលគុណនៃចំនួនវិជ្ជមានពីរក៏ជាលេខវិជ្ជមានផងដែរ ពោលគឺឧ។ $ab>0$ ។
បន្ទាប់មក $\frac(-(a-b))(ab)$ គឺជាលេខអវិជ្ជមាន។ ទ្រព្យសម្បត្តិត្រូវបានបញ្ជាក់។

ទ្រព្យ ៨.
ប្រសិនបើ $a>0$ នោះវិសមភាពខាងក្រោមមាន៖ $a+\frac(1)(a)≥2$ ។

ភស្តុតាង។
ចូរយើងពិចារណាពីភាពខុសគ្នា។
$a+\frac(1)(a)-2=\frac(a^2-2a+1)(a)=\frac((a-1)^2)(a)$ គឺជាចំនួនមិនអវិជ្ជមាន។
ទ្រព្យសម្បត្តិត្រូវបានបញ្ជាក់។

ទ្រព្យ ៩.វិសមភាពរបស់ Cauchy (មធ្យមនព្វន្ធគឺធំជាង ឬស្មើនឹងមធ្យមធរណីមាត្រ)។
ប្រសិនបើ $a$ និង $b$ ជាលេខមិនអវិជ្ជមាន នោះវិសមភាពនឹងរក្សា៖ $\frac(a+b)(2)≥\sqrt(ab)$ ។

ភស្តុតាង។
ចូរយើងពិចារណាពីភាពខុសគ្នា៖
$\frac(a+b)(2)-\sqrt(ab)=\frac(a-2\sqrt(ab)+b)(2)=\frac((\sqrt(a)-\sqrt(b) ))^2)(2)$ គឺជាលេខដែលមិនអវិជ្ជមាន។
ទ្រព្យសម្បត្តិត្រូវបានបញ្ជាក់។

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយវិសមភាព

ឧទាហរណ៍ ១.
វាត្រូវបានគេដឹងថា $-1.5 ក) ៣ ដុល្លារ។
ខ) $-2b$ ។
គ) $a+b$។
ឃ) $a-b$ ។
e) $b^2$ ។
e) $a^3$ ។
g) $\frac(1)(b)$។

ដំណោះស្រាយ។
ក) ចូរយើងប្រើទ្រព្យសម្បត្តិ 3. គុណនឹងចំនួនវិជ្ជមាន ដែលមានន័យថាសញ្ញាវិសមភាពមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។
$-1.5*3 $-4.5<3a<6.3$.

ខ) ចូរយើងប្រើទ្រព្យសម្បត្តិ 3. គុណនឹងចំនួនអវិជ្ជមាន ដែលមានន័យថាសញ្ញានៃការផ្លាស់ប្តូរវិសមភាព។
$-2*3.1>-2*b>-2*5.3$ ។
$-10.3
គ) ការបន្ថែមវិសមភាពនៃអត្ថន័យដូចគ្នា យើងទទួលបានវិសមភាពនៃអត្ថន័យដូចគ្នា។
$-1.5+3.1 $1.6

ឃ) គុណផ្នែកទាំងអស់នៃវិសមភាព $3.1 $-5.3<-b<-3.1$.
ឥឡូវនេះសូមអនុវត្តប្រតិបត្តិការបន្ថែម។
$-1.5-5.3 $-6.8

ឃ) ផ្នែកទាំងអស់នៃវិសមភាពគឺវិជ្ជមាន បំបែកពួកវា យើងទទួលបានវិសមភាពនៃអត្ថន័យដូចគ្នា។
${3.1}^2 $9.61

ង) កម្រិតនៃវិសមភាពគឺសេស បន្ទាប់មកអ្នកអាចលើកវាទៅជាថាមពលដោយសុវត្ថិភាព និងមិនផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា។
${(-1.5)}^3 $-3.375

ឆ) ចូរយើងប្រើប្រាស់ទ្រព្យ ៧.
$\frac(1)(5.3)<\frac{1}{b}<\frac{1}{3.1}$.
$\frac(10)(53)<\frac{1}{b}<\frac{10}{31}$.

ឧទាហរណ៍ ២.
ប្រៀបធៀបលេខ៖
ក) $\sqrt(5)+\sqrt(7)$ និង $2+\sqrt(8)$។
ខ) $π+\sqrt(8)$ និង $4+\sqrt(10)$ ។

ដំណោះស្រាយ។
ក) ចូរយើងធ្វើការ៉េចំនួននីមួយៗ។
$(\sqrt(5)+\sqrt(7))^2=5+2\sqrt(35)+7=12+\sqrt(140)$ ។
$(2+\sqrt(8))^2=4+4\sqrt(8)+8=12+\sqrt(128)$ ។
ចូរយើងគណនាភាពខុសគ្នារវាងការេនៃការ៉េទាំងនេះ។
$(\sqrt(5)+\sqrt(7))^2-(2+\sqrt(8))^2=12+\sqrt(140)-12-\sqrt(128)=\sqrt(140) -\sqrt(128)$ ។
ជាក់ស្តែង យើងទទួលបានលេខវិជ្ជមាន ដែលមានន័យថា៖
$(\sqrt(5)+\sqrt(7))^2>(2+\sqrt(8))^2$ ។
ដោយសារលេខទាំងពីរគឺវិជ្ជមាន ដូច្នេះ៖
$\sqrt(5)+\sqrt(7)>2+\sqrt(8)$ ។

បញ្ហាដែលត្រូវដោះស្រាយដោយឯករាជ្យ

1. គេដឹងថា $-2.2 ស្វែងរកការប៉ាន់ស្មាននៃលេខ។
ក) ៤ ដុល្លារ។
ខ) $-3b$ ។
គ) $a+b$។
ឃ) $a-b$ ។
e) $b^4$ ។
e) $a^3$ ។
g) $\frac(1)(b)$។
2. ប្រៀបធៀបលេខ៖
ក) $\sqrt(6)+\sqrt(10)$ និង $3+\sqrt(7)$។
ខ) $π+\sqrt(5)$ និង $2+\sqrt(3)$ ។

សំណុំនៃចំនួនពិតទាំងអស់អាចត្រូវបានតំណាងថាជាសហជីពនៃបីសំណុំ: សំណុំនៃចំនួនវិជ្ជមាន, សំណុំនៃលេខអវិជ្ជមាននិងសំណុំដែលមានលេខមួយ - លេខសូន្យ។ ដើម្បីបង្ហាញថាលេខ កវិជ្ជមាន ប្រើការថត a > 0ដើម្បីចង្អុលបង្ហាញលេខអវិជ្ជមាន ប្រើសញ្ញាសម្គាល់ផ្សេងទៀត។ ក< 0 .

ផលបូក និងផលនៃលេខវិជ្ជមានក៏ជាលេខវិជ្ជមានផងដែរ។ ប្រសិនបើលេខ កអវិជ្ជមានបន្ទាប់មកលេខ - កវិជ្ជមាន (និងផ្ទុយមកវិញ) ។ សម្រាប់លេខវិជ្ជមានណាមួយ a មានលេខសមហេតុផលវិជ្ជមាន r, អ្វី r< а . ការពិតទាំងនេះបង្កប់នូវទ្រឹស្តីនៃវិសមភាព។

តាមនិយមន័យ វិសមភាព a > b (ឬ អ្វីដូចគ្នា b< a) имеет место в том и только в том случае, если а - b >0, ឧ. ប្រសិនបើលេខ a - b គឺវិជ្ជមាន។

ពិចារណាជាពិសេសវិសមភាព ក< 0 . តើវិសមភាពនេះមានន័យដូចម្តេច? យោងតាមនិយមន័យខាងលើមានន័យថា 0 - a > 0, i.e. -a > 0ឬនិយាយម្យ៉ាងទៀត តើលេខអ្វី - កជាវិជ្ជមាន។ ប៉ុន្តែ​វា​កើត​ឡើង​ប្រសិន​បើ​លេខ​ កអវិជ្ជមាន។ ដូច្នេះ វិសមភាព ក< 0 មានន័យថាលេខ ប៉ុន្តែអវិជ្ជមាន។

សញ្ញាណក៏ត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ផងដែរ។ ab(ឬអ្វីដែលដូចគ្នា ប).
កត់ត្រា abតាមនិយមន័យ មានន័យថា ក > ខ, ឬ a = ខ. ប្រសិនបើយើងពិចារណាលើកំណត់ត្រា abជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍មិនកំណត់ បន្ទាប់មកនៅក្នុងសញ្ញាណនៃតក្កវិជ្ជាគណិតវិទ្យា យើងអាចសរសេរបាន។

(a b) [(a> b) V (a = b)]

ឧទាហរណ៍ ១.តើវិសមភាព 5 0, 0 0 ពិតដែរឬទេ?

វិសមភាព 5 0 គឺជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដ៏ស្មុគស្មាញមួយដែលមានសេចក្តីថ្លែងការណ៍សាមញ្ញចំនួនពីរដែលតភ្ជាប់ដោយតក្កវិជ្ជាតភ្ជាប់ "ឬ" (ការបំបែក) ។ ទាំង 5 > 0 ឬ 5 = 0 ។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍ទីមួយ 5 > 0 គឺពិត សេចក្តីថ្លែងការណ៍ទីពីរ 5 = 0 គឺមិនពិត។ តាមនិយមន័យនៃការបែងចែក សេចក្តីថ្លែងការណ៍ដ៏ស្មុគស្មាញបែបនេះគឺជាការពិត។

ធាតុ 00 ត្រូវបានពិភាក្សាស្រដៀងគ្នា។

ភាពមិនស្មើគ្នានៃទម្រង់ a > b, ក< b យើងនឹងហៅពួកគេថាតឹងរ៉ឹង និងវិសមភាពនៃទម្រង់ ab, ab- មិនតឹងរ៉ឹង។

វិសមភាព ក > ខនិង គ > ឃ(ឬ ក< b និង ជាមួយ< d ) នឹងត្រូវបានគេហៅថា វិសមភាពនៃអត្ថន័យដូចគ្នា និងវិសមភាព ក > ខនិង គ< d - វិសមភាពនៃអត្ថន័យផ្ទុយ។ ចំណាំថាពាក្យទាំងពីរនេះ (វិសមភាពនៃអត្ថន័យដូចគ្នា និងផ្ទុយគ្នា) សំដៅតែលើទម្រង់នៃការសរសេរវិសមភាពប៉ុណ្ណោះ ហើយមិនមែនចំពោះការពិតដែលខ្លួនគេបានសម្តែងដោយវិសមភាពទាំងនេះទេ។ ដូច្នេះទាក់ទងនឹងវិសមភាព ក< b វិសមភាព ជាមួយ< d គឺជាវិសមភាពនៃអត្ថន័យដូចគ្នា និងនៅក្នុងសញ្ញាណ d> គ(មានន័យដូចគ្នា) - វិសមភាពនៃអត្ថន័យផ្ទុយ។

រួមជាមួយនឹងវិសមភាពនៃទម្រង់ a> ខ, abអ្វី​ដែល​ហៅ​ថា​វិសមភាព​ទ្វេ​ដង​ត្រូវ​បាន​ប្រើ ពោល​គឺ​វិសមភាព​នៃ​ទម្រង់ ក< с < b , ac< b , ក< cb ,
កcb. តាមនិយមន័យ កំណត់ត្រាមួយ។

ក< с < b (1)
មានន័យថា វិសមភាពទាំងពីរមាន៖

ក< с និង ជាមួយ< b.

វិសមភាពមានអត្ថន័យស្រដៀងគ្នា acb, ac< b, а < сb.

វិសមភាពទ្វេ (1) អាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម:

(ក< c < b) [(a < c) & (c < b)]

និងវិសមភាពទ្វេ a ≤ c ≤ ខអាចត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ

(a c b) [( ក< c)V(a = c) & (c < b)V(c = b)]

ឥឡូវនេះ ចូរយើងបន្តទៅការបង្ហាញពីលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាន និងវិធាននៃសកម្មភាពលើវិសមភាព ដោយបានយល់ព្រមថានៅក្នុងអត្ថបទនេះ អក្សរ ក, ខ, គឈរសម្រាប់លេខពិត និង នមានន័យថាលេខធម្មជាតិ។

1) ប្រសិនបើ a > b និង b > c នោះ a > c (អន្តរកាល) ។

ភស្តុតាង។

ចាប់តាំងពីតាមលក្ខខណ្ឌ ក > ខនិង b > គបន្ទាប់មកលេខ ក - ខនិង b - គគឺវិជ្ជមាន ហើយដូច្នេះចំនួន a - c = (a - b) + (b - c)ជាផលបូកនៃលេខវិជ្ជមាន ក៏វិជ្ជមានផងដែរ។ នេះមានន័យថាតាមនិយមន័យ ក > គ.

2) ប្រសិនបើ a > b នោះសម្រាប់ c ណាមួយ វិសមភាព a + c > b + c កាន់។

ភស្តុតាង។

ដោយសារតែ ក > ខបន្ទាប់មកលេខ ក - ខជាវិជ្ជមាន។ ដូច្នេះលេខ (a+c)-(b+c)=a+c-b-c=a-bគឺវិជ្ជមានផងដែរ, i.e.
a + c > b + c ។

3) ប្រសិនបើ a + b> c នោះ a > b - c,នោះគឺពាក្យណាមួយអាចត្រូវបានផ្ទេរពីផ្នែកមួយនៃវិសមភាពទៅមួយទៀតដោយការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃពាក្យនេះទៅផ្ទុយ។

ភ័ស្តុតាងបន្តពីទ្រព្យសម្បត្តិ 2) វាគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ភាគីទាំងពីរនៃវិសមភាព a + b > គបន្ថែមលេខ - ខ.

4) ប្រសិនបើ a > b និង c > d នោះ a + c > b + d,នោះគឺនៅពេលបន្ថែមវិសមភាពពីរនៃអត្ថន័យដូចគ្នា វិសមភាពនៃអត្ថន័យដូចគ្នាត្រូវបានទទួល។

ភស្តុតាង។

ដោយគុណធម៌នៃនិយមន័យនៃវិសមភាពវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបង្ហាញថាភាពខុសគ្នា
(ក + គ) - (ខ + គ)វិជ្ជមាន។ ភាពខុសគ្នានេះអាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម:
(a+c)-(b+d)=(a-b)+(c-d).
ចាប់តាំងពីយោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌនៃលេខ ក - ខនិង គ - ឃបន្ទាប់មកគឺវិជ្ជមាន (a + c) - (b + d)វាក៏មានលេខវិជ្ជមានផងដែរ។

ផលវិបាក។ ពីវិធាន 2) និង 4) វិធានសម្រាប់ការដកវិសមភាពដូចខាងក្រោម៖ ប្រសិនបើ a > b, c > ឃ, នោះ។ a - d > b - c(សម្រាប់ភ័ស្តុតាង វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីអនុវត្តភាគីទាំងពីរនៃវិសមភាព a + c> b + ឃបន្ថែមលេខ - គ - ឃ).

5) ប្រសិនបើ a > b នោះសម្រាប់ c > 0 យើងមាន ac > bc ហើយសម្រាប់ c< 0 имеем ас < bc.

ម្យ៉ាងវិញទៀត នៅពេលគុណភាគីទាំងពីរនៃវិសមភាពជាមួយនឹងចំនួនវិជ្ជមាន សញ្ញាវិសមភាពត្រូវបានរក្សាទុក (មានន័យថា វិសមភាពនៃអត្ថន័យដូចគ្នាត្រូវបានទទួល) ប៉ុន្តែនៅពេលគុណនឹងលេខអវិជ្ជមាន សញ្ញាវិសមភាពនឹងផ្លាស់ប្តូរទៅផ្ទុយ។ (ឧ. វិសមភាពនៃអត្ថន័យផ្ទុយត្រូវបានទទួល។

ភស្តុតាង។

ប្រសិនបើ ក > ខ, នោះ។ ក - ខគឺជាលេខវិជ្ជមាន។ ដូច្នេះសញ្ញានៃភាពខុសគ្នា ac-bc = ក្បាំងមុខ)ផ្គូផ្គងសញ្ញានៃលេខ ជាមួយ៖ ប្រសិនបើ ជាមួយគឺជាលេខវិជ្ជមាន បន្ទាប់មកភាពខុសគ្នា ac - bcគឺវិជ្ជមាន ហើយដូច្នេះ ac > bc, ហើយ​ប្រសិន​បើ ជាមួយ< 0 ដូច្នេះភាពខុសគ្នានេះគឺអវិជ្ជមាន bc - អេកវិជ្ជមាន, i.e. bc > ac.

6) ប្រសិនបើ a > b > 0 និង c > d > 0 បន្ទាប់មក ac > bd,នោះគឺប្រសិនបើពាក្យទាំងអស់នៃវិសមភាពពីរដែលមានអត្ថន័យដូចគ្នាគឺវិជ្ជមាន នោះនៅពេលគុណវិសមភាពទាំងនេះតាមពាក្យ វិសមភាពនៃអត្ថន័យដូចគ្នាត្រូវបានទទួល។

ភស្តុតាង។

យើង​មាន ac - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b(c - d). ដោយសារតែ c> 0, b> 0, a - b> 0, c - d> 0 បន្ទាប់មក ac - bd> 0, i.e. ac> bd ។

មតិយោបល់។តាម​ការ​បញ្ជាក់​វា​ច្បាស់​ណាស់​ថា​លក្ខខណ្ឌ​ ឃ > 0ក្នុងទម្រង់នៃទ្រព្យសម្បត្តិ 6) មិនសំខាន់៖ សម្រាប់ទ្រព្យសម្បត្តិនេះមានសុពលភាព វាគ្រប់គ្រាន់ហើយដែលលក្ខខណ្ឌត្រូវបានបំពេញ។ a > b > 0, c > d, c > 0. ប្រសិនបើ (ប្រសិនបើវិសមភាពត្រូវបានបំពេញ a > b, c > ឃ) លេខ ក, ខ, គទាំងអស់នឹងមិនមានភាពវិជ្ជមានទេ បន្ទាប់មកវិសមភាព ac > bdអាចនឹងមិនត្រូវបានបំពេញ។ ឧទាហរណ៍នៅពេល ក = 2, ខ =1, គ= -2, ឃ= -3 យើងមាន a > b, គ > ឃប៉ុន្តែភាពមិនស្មើគ្នា ac > bd(ឧ. -៤ > -៣) បរាជ័យ។ ដូច្នេះតម្រូវការដែលលេខ a, b, c មានភាពវិជ្ជមានក្នុងការបង្កើតទ្រព្យសម្បត្តិ 6) គឺចាំបាច់។

7) ប្រសិនបើ ≥ b > 0 និង c > d > 0 នោះ (ការបែងចែកវិសមភាព)។

ភស្តុតាង។

យើង​មាន ភាគបែងនៃប្រភាគនៅខាងស្តាំគឺវិជ្ជមាន (សូមមើលលក្ខណៈសម្បត្តិ 5), 6)) ភាគបែងក៏វិជ្ជមានផងដែរ។ ដូច្នេះ,. នេះបញ្ជាក់ទ្រព្យសម្បត្តិ ៧).

មតិយោបល់។ចូរយើងកត់សម្គាល់ករណីពិសេសសំខាន់នៃច្បាប់ទី 7) ដែលទទួលបានជាមួយ a = b = 1: ប្រសិនបើ c > d > 0 បន្ទាប់មក។ ដូច្នេះ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌនៃវិសមភាពមានភាពវិជ្ជមាន នោះនៅពេលឆ្លងទៅភាគីវិញ យើងទទួលបានវិសមភាពនៃអត្ថន័យផ្ទុយ។ យើងសូមអញ្ជើញអ្នកអានឱ្យពិនិត្យមើលថាច្បាប់នេះក៏មាននៅក្នុង 7) ប្រសិនបើ ab > 0 និង c > d > 0 បន្ទាប់មក (ការបែងចែកវិសមភាព) ។

ភស្តុតាង។ នោះ។

យើងបានបង្ហាញខាងលើលក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួននៃវិសមភាពដែលសរសេរដោយប្រើសញ្ញា > (ច្រើនទៀត) ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់នេះអាចត្រូវបានបង្កើតដោយប្រើសញ្ញា < (តិចជាង) ចាប់តាំងពីវិសមភាព ខ< а តាមនិយមន័យ ដូចគ្នានឹងវិសមភាពដែរ។ ក > ខ. លើសពីនេះទៀត ដូចដែលវាងាយស្រួលក្នុងការផ្ទៀងផ្ទាត់ លក្ខណៈសម្បត្តិដែលបានបង្ហាញខាងលើក៏ជាការពិតសម្រាប់វិសមភាពដែលមិនតឹងរ៉ឹង។ ឧទាហរណ៍ ទ្រព្យសម្បត្តិ 1) សម្រាប់វិសមភាពមិនតឹងរឹង នឹងមានទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ ប្រសិនបើ ab និង bc, នោះ។ ac.

ជាការពិតណាស់ខាងលើមិនកំណត់លក្ខណៈទូទៅនៃវិសមភាពទេ។ វាក៏មានវិសមភាពទូទៅជាច្រើនដែលទាក់ទងនឹងការពិចារណាលើអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល លោការីត និងត្រីកោណមាត្រ។ វិធីសាស្រ្តទូទៅសម្រាប់ការសរសេរវិសមភាពប្រភេទនេះមានដូចខាងក្រោម។ ប្រសិនបើមុខងារមួយចំនួន y = f(x)បង្កើន monotonically នៅលើផ្នែក [a, ខ]បន្ទាប់មកសម្រាប់ x 1 > x 2 (ដែល x 1 និង x 2 ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែកនេះ) យើងមាន f (x 1) > f(x២). ដូចគ្នានេះដែរប្រសិនបើមុខងារ y = f(x) monotonically ថយចុះនៅចន្លោះពេល [a, ខ], បន្ទាប់​មក​នៅ​ពេល​ដែល x 1 > x 2 (កន្លែងណា x ១និង X 2 ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែកនេះ) យើងមាន f(x 1)< f(x 2 ) ជាការពិតណាស់អ្វីដែលត្រូវបានគេនិយាយគឺមិនខុសពីនិយមន័យនៃ monotonicity នោះទេប៉ុន្តែបច្ចេកទេសនេះគឺងាយស្រួលណាស់សម្រាប់ការទន្ទេញចាំនិងការសរសេរវិសមភាព។

ដូច្នេះឧទាហរណ៍សម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ n មុខងារ y = xnការកើនឡើងឯកតាតាមកាំរស្មី }