នៅពេលសិក្សាលក្ខណៈសម្បត្តិ សមីការ​ការ៉េការដាក់កម្រិតត្រូវបានកំណត់ - សម្រាប់អ្នករើសអើងតិចជាងសូន្យ គ្មានដំណោះស្រាយទេ។ វា​ត្រូវ​បាន​គេ​បញ្ជាក់​ភ្លាម​ថា​ យើងកំពុងនិយាយអំពីអំពីសំណុំនៃចំនួនពិត។ ចិត្តដែលចង់ដឹងចង់ឃើញរបស់គណិតវិទូនឹងចាប់អារម្មណ៍ថាតើមានអាថ៌កំបាំងអ្វីខ្លះនៅក្នុងឃ្លាអំពីតម្លៃពិត?

យូរ ៗ ទៅគណិតវិទូបានណែនាំគំនិតនៃចំនួនកុំផ្លិច ដែលលេខមួយត្រូវបានគេយកជា អត្ថន័យតាមលក្ខខណ្ឌឫសទីពីរនៃដកមួយ។

ឯកសារយោងប្រវត្តិសាស្ត្រ

ទ្រឹស្តីគណិតវិទ្យាអភិវឌ្ឍជាបន្តបន្ទាប់ពីសាមញ្ញទៅស្មុគស្មាញ។ ចូរយើងស្វែងយល់ពីរបៀបដែលគំនិតដែលហៅថា "ចំនួនកុំផ្លិច" បានកើតឡើង ហើយហេតុអ្វីបានជាវាត្រូវការ។

តាំងពីបុរាណកាលមក មូលដ្ឋាននៃគណិតវិទ្យាគឺការរាប់ធម្មតា។ អ្នកស្រាវជ្រាវបានដឹងតែសំណុំនៃតម្លៃធម្មជាតិប៉ុណ្ណោះ។ ការបូកនិងដកត្រូវបានអនុវត្តយ៉ាងសាមញ្ញ។ នៅពេលដែលទំនាក់ទំនងសេដ្ឋកិច្ចកាន់តែស្មុគស្មាញ ជំនួសឱ្យការបន្ថែម តម្លៃដូចគ្នាបេះបិទបានចាប់ផ្តើមប្រើគុណ។ ប្រតិបត្តិការបញ្ច្រាសទៅគុណបានបង្ហាញខ្លួន - ការបែងចែក។

គំនិតនៃចំនួនធម្មជាតិកំណត់ការប្រើប្រាស់ ប្រតិបត្តិការនព្វន្ធ. វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាការបែងចែកទាំងអស់លើសំណុំនៃតម្លៃចំនួនគត់។ បានដឹកនាំគំនិតដំបូង តម្លៃសមហេតុផលហើយបន្ទាប់មកទៅ តម្លៃមិនសមហេតុផល. ប្រសិនបើសម្រាប់ហេតុផល វាអាចបង្ហាញពីទីតាំងពិតប្រាកដនៃចំណុចនៅលើបន្ទាត់មួយ បន្ទាប់មកសម្រាប់ភាពមិនសមហេតុផល វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការចង្អុលបង្ហាញចំណុចបែបនេះ។ អ្នកគ្រាន់តែអាចបង្ហាញពីចន្លោះពេលទីតាំងប៉ុណ្ណោះ។ ការរួមបញ្ចូលគ្នានៃសមហេតុផលនិង លេខមិនសមហេតុផលបានបង្កើតជាសំណុំពិត ដែលអាចត្រូវបានតំណាងជាបន្ទាត់ជាក់លាក់មួយជាមួយនឹងមាត្រដ្ឋានដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ជំហាននីមួយៗនៅតាមបណ្តោយបន្ទាត់គឺជាលេខធម្មជាតិ ហើយរវាងពួកវាគឺជាតម្លៃសមហេតុផលនិងមិនសមហេតុផល។

យុគសម័យមួយបានចាប់ផ្ដើម គណិតវិទ្យាទ្រឹស្តី. ការអភិវឌ្ឍន៍តារាសាស្ត្រ មេកានិច និងរូបវិទ្យា ទាមទារដំណោះស្រាយកាន់តែខ្លាំងឡើង សមីការស្មុគស្មាញ. នៅក្នុងទម្រង់ទូទៅ ឫសនៃសមីការ quadratic ត្រូវបានរកឃើញ។ នៅពេលដោះស្រាយកាន់តែស្មុគស្មាញ ពហុនាមគូបអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រប្រឈមមុខនឹងភាពផ្ទុយគ្នា។ គំនិត ឫសគូបពីអវិជ្ជមានវាសមហេតុផល ប៉ុន្តែសម្រាប់ការ៉េវាបណ្តាលឱ្យមានភាពមិនច្បាស់លាស់។ ក្នុងករណីនេះសមីការបួនជ្រុងគឺតែប៉ុណ្ណោះ ករណីពិសេសគូប។

នៅឆ្នាំ 1545 ជនជាតិអ៊ីតាលី G. Cardano បានស្នើឡើងនូវគំនិតនៃចំនួនស្រមើលស្រមៃ។

លេខនេះបានក្លាយជាឫសទីពីរនៃដកមួយ។ ពាក្យថាលេខស្មុគស្មាញត្រូវបានបង្កើតឡើងត្រឹមតែបីរយឆ្នាំក្រោយមកនៅក្នុងស្នាដៃ គណិតវិទូដ៏ល្បីល្បាញហ្គូស។ គាត់បានស្នើឱ្យពង្រីកជាផ្លូវការច្បាប់ទាំងអស់នៃពិជគណិតទៅជាលេខស្រមើលស្រមៃ។ បន្ទាត់ពិតប្រាកដបានពង្រីកទៅយន្តហោះ។ ពិភពលោកកាន់តែធំ។

គំនិតជាមូលដ្ឋាន

អនុញ្ញាតឱ្យយើងរំលឹកឡើងវិញនូវមុខងារមួយចំនួនដែលមានការរឹតបន្តឹងលើសំណុំពិតប្រាកដមួយ៖

• y = arcsin(x) ដែលកំណត់ក្នុងជួរតម្លៃរវាងការរួបរួមអវិជ្ជមាន និងវិជ្ជមាន។
• y = ln(x) មានន័យសម្រាប់អាគុយម៉ង់វិជ្ជមាន។
• ឫស​ការេ y = √x គណនាបានតែ x ≥ 0 ។

ដោយការសម្គាល់ i = √(-1) យើងណែនាំគំនិតបែបនេះជាលេខស្រមើស្រមៃ វានឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងដកការរឹតបន្តឹងទាំងអស់ចេញពីដែននៃនិយមន័យនៃមុខងារខាងលើ។ កន្សោមដូចជា y = arcsin(2), y = ln(-4), y = √(-5) យកអត្ថន័យក្នុងចន្លោះជាក់លាក់នៃចំនួនកុំផ្លិច។

ទម្រង់ពិជគណិតអាចត្រូវបានសរសេរជា z = x + i × y លើសំណុំនៃតម្លៃពិត x និង y និង i 2 = -1 ។

គោលគំនិតថ្មីដកការរឹតបន្តឹងទាំងអស់លើការប្រើប្រាស់មុខងារពិជគណិតណាមួយ ហើយរូបរាងរបស់វាប្រហាក់ប្រហែលនឹងក្រាហ្វនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយនៅក្នុងកូអរដោណេនៃតម្លៃពិត និងការស្រមើលស្រមៃ។

យន្តហោះស្មុគស្មាញ

រាងធរណីមាត្រចំនួនកុំផ្លិចធ្វើឱ្យវាអាចស្រមៃមើលលក្ខណៈសម្បត្តិជាច្រើនរបស់ពួកគេ។ តាមអ័ក្ស Re(z) យើងសម្គាល់តម្លៃពិតនៃ x តាមបណ្តោយ Im(z) - តម្លៃស្រមើស្រមៃនៃ y បន្ទាប់មកចំនុច z នៅលើយន្តហោះនឹងបង្ហាញតម្លៃស្មុគស្មាញដែលត្រូវការ។

និយមន័យ៖

• Re(z) - អ័ក្សពិត។
• Im(z) - មានន័យថា អ័ក្សស្រមើស្រមៃ។
• z គឺជាចំណុចតាមលក្ខខណ្ឌនៃចំនួនកុំផ្លិច។
• តម្លៃលេខប្រវែងវ៉ិចទ័រពី ចំណុចសូន្យទៅ z ត្រូវបានគេហៅថាម៉ូឌុល។
• អ័ក្សពិត និងស្រមើលស្រមៃ បែងចែកយន្តហោះទៅជាត្រីមាស។ នៅ តម្លៃវិជ្ជមានកូអរដោនេ - ត្រីមាស។ នៅពេលដែលអាគុយម៉ង់នៃអ័ក្សពិតតិចជាង 0 ហើយអ័ក្សស្រមើលស្រមៃគឺធំជាង 0 - ត្រីមាសទីពីរ។ នៅពេលដែលកូអរដោនេគឺអវិជ្ជមាន - ត្រីមាសទី III ។ ត្រីមាសចុងក្រោយ IV មានតម្លៃពិតវិជ្ជមានជាច្រើន និងតម្លៃស្រមើលស្រមៃអវិជ្ជមាន។

ដូច្នេះនៅលើយន្តហោះដែលមានតម្លៃកូអរដោណេ x និង y អ្នកតែងតែអាចបង្ហាញចំណុចនៃចំនួនកុំផ្លិច។ និមិត្តសញ្ញាខ្ញុំត្រូវបានណែនាំដើម្បីបំបែកផ្នែកពិតចេញពីផ្នែកស្រមើលស្រមៃ។

ទ្រព្យសម្បត្តិ

1. ជាមួយនឹងតម្លៃសូន្យនៃអាគុយម៉ង់ស្រមើលស្រមៃ យើងគ្រាន់តែទទួលបានលេខ (z = x) ដែលមានទីតាំងនៅលើអ័ក្សពិត ហើយជាកម្មសិទ្ធិរបស់សំណុំពិត។
2. ករណីពិសេសមួយ។នៅពេលដែលតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់ពិតក្លាយជាសូន្យ កន្សោម z = i×y ត្រូវគ្នាទៅនឹងទីតាំងនៃចំណុចនៅលើអ័ក្សស្រមៃ។
3. ទម្រង់ទូទៅ z = x + i × y នឹងសម្រាប់តម្លៃដែលមិនមែនជាសូន្យនៃអាគុយម៉ង់។ ចង្អុលបង្ហាញទីតាំងនៃចំណុចដែលកំណត់ចំនួនកុំផ្លិចនៅក្នុងត្រីមាសមួយ។

សញ្ញាណត្រីកោណមាត្រ

ចូរយើងរំលឹកឡើងវិញនូវប្រព័ន្ធកូអរដោណេប៉ូឡា និង និយមន័យនៃអំពើបាបនិង cos ។ ជាក់ស្តែង ការប្រើប្រាស់មុខងារទាំងនេះ អ្នកអាចពិពណ៌នាអំពីទីតាំងនៃចំណុចណាមួយនៅលើយន្តហោះ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដឹងពីប្រវែងនៃកាំរស្មីប៉ូលនិងមុំទំនោរទៅនឹងអ័ក្សពិត។

និយមន័យ។ សញ្ញាណនៃទម្រង់ ∣z ∣ គុណនឹងផលបូកនៃត្រីកោណមាត្រ មុខងារ cos(ϴ) និងផ្នែកស្រមើលស្រមៃ i ×sin (ϴ) ត្រូវបានគេហៅថា ចំនួនកុំផ្លិចត្រីកោណមាត្រ។ នៅទីនេះយើងប្រើមុំសម្គាល់នៃទំនោរទៅអ័ក្សពិត

ϴ = arg(z) និង r = ∣z∣ ប្រវែងធ្នឹម។

ពីនិយមន័យ និងលក្ខណសម្បត្តិនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ វាធ្វើតាមណាស់។ រូបមន្តសំខាន់ Moivre៖

z n = r n × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)) ។

ដោយប្រើរូបមន្តនេះ វាងាយស្រួលក្នុងការដោះស្រាយប្រព័ន្ធជាច្រើននៃសមីការដែលមាន អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ. ជាពិសេសនៅពេលដែលបញ្ហានៃនិទស្សន្តកើតឡើង។

ម៉ូឌុលនិងដំណាក់កាល

ដើម្បីបំពេញការពិពណ៌នា សំណុំស្មុគស្មាញយើងនឹងផ្តល់ជូនពីរ និយមន័យសំខាន់ៗ.

ដោយដឹងពីទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ វាងាយស្រួលក្នុងការគណនាប្រវែងនៃកាំរស្មីក្នុង ប្រព័ន្ធប៉ូល។កូអរដោនេ

r = ∣z∣ = √(x 2 + y 2) ការសម្គាល់បែបនេះនៅក្នុងលំហស្មុគស្មាញត្រូវបានគេហៅថា "ម៉ូឌុល" ហើយកំណត់លក្ខណៈពីចម្ងាយពី 0 ទៅចំណុចមួយនៅលើយន្តហោះ។

មុំទំនោរនៃកាំរស្មីស្មុគស្មាញទៅបន្ទាត់ពិតϴជាធម្មតាត្រូវបានគេហៅថាដំណាក់កាល។

តាមនិយមន័យ វាច្បាស់ណាស់ថាផ្នែកពិត និងការស្រមើលស្រមៃត្រូវបានពិពណ៌នាដោយប្រើមុខងាររង្វិល។ ពោលគឺ៖

• x = r × cos(ϴ);
• y = r × sin(ϴ);

ផ្ទុយទៅវិញដំណាក់កាលមានទំនាក់ទំនងជាមួយ តម្លៃពិជគណិតតាមរយៈរូបមន្ត៖

ϴ = arctan(x / y) + µ, ការកែតម្រូវ µ ត្រូវបានណែនាំដើម្បីយកទៅពិចារណាតាមកាលកំណត់ មុខងារធរណីមាត្រ.

រូបមន្តអយល័រ

អ្នកគណិតវិទ្យាតែងតែប្រើ ទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល. លេខនៃយន្តហោះស្មុគស្មាញត្រូវបានសរសេរជាកន្សោម

z = r × e i × ϴ ដែលធ្វើតាមរូបមន្តរបស់អយល័រ។

ខ្ញុំបានទទួលធាតុនេះ។ ការប្រើប្រាស់ទូលំទូលាយសម្រាប់ការគណនាជាក់ស្តែង បរិមាណរាងកាយ. ទម្រង់នៃការតំណាងនៅក្នុងទម្រង់នៃលេខស្មុគ្រស្មាញអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលគឺងាយស្រួលជាពិសេសសម្រាប់ការគណនាវិស្វកម្មដែលមានតម្រូវការក្នុងការគណនាសៀគ្វីជាមួយចរន្ត sinusoidal ហើយវាចាំបាច់ត្រូវដឹងពីតម្លៃនៃអាំងតេក្រាលនៃមុខងារជាមួយនឹងរយៈពេលដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ការគណនាដោយខ្លួនឯងបម្រើជាឧបករណ៍ក្នុងការរចនាម៉ាស៊ីន និងយន្តការផ្សេងៗ។

ការកំណត់ប្រតិបត្តិការ

ដូចដែលបានកត់សម្គាល់រួចមកហើយ ច្បាប់ពិជគណិតទាំងអស់នៃការធ្វើការជាមួយមុខងារគណិតវិទ្យាជាមូលដ្ឋានអនុវត្តចំពោះចំនួនកុំផ្លិច។

ប្រតិបត្តិការបូក

នៅពេលបន្ថែមតម្លៃស្មុគ្រស្មាញ ផ្នែកពិត និងការស្រមើលស្រមៃរបស់ពួកគេក៏បន្ថែមផងដែរ។

z = z 1 + z 2 ដែល z 1 និង z 2 ជាចំនួនកុំផ្លិច ទិដ្ឋភាពទូទៅ. ការបំប្លែងកន្សោម បន្ទាប់ពីបើកតង្កៀប និងសម្រួលសញ្ញាណនោះ យើងទទួលបាន អាគុយម៉ង់ពិតប្រាកដ x=(x 1 + x 2) អាគុយម៉ង់ស្រមើលស្រមៃ y = (y 1 + y 2) ។

នៅលើក្រាហ្វវាមើលទៅដូចជាការបន្ថែមវ៉ិចទ័រពីរ យោងទៅតាមច្បាប់ប៉ារ៉ាឡែលល្បី។

ប្រតិបត្តិការដក

វាត្រូវបានចាត់ទុកថាជាករណីពិសេសនៃការបន្ថែម នៅពេលដែលលេខមួយគឺវិជ្ជមាន មួយទៀតគឺអវិជ្ជមាន នោះគឺស្ថិតនៅក្នុងត្រីមាសកញ្ចក់។ ការសម្គាល់ពិជគណិតមើលទៅដូចជាភាពខុសគ្នារវាងផ្នែកពិត និងផ្នែកស្រមើលស្រមៃ។

z = z 1 - z 2 ឬ ដោយគិតគូរពីតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់ ស្រដៀងនឹងប្រតិបត្តិការបន្ថែម យើងទទួលបានសម្រាប់តម្លៃពិត x = (x 1 - x 2) និងតម្លៃស្រមើលស្រមៃ y = (y 1 - y 2) ។

គុណក្នុងប្លង់ស្មុគស្មាញ

ដោយប្រើក្បួនសម្រាប់ធ្វើការជាមួយពហុនាម យើងនឹងទាញយករូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយចំនួនកុំផ្លិច។

ដោយអនុវត្តតាមច្បាប់ពិជគណិតទូទៅ z=z 1×z 2 យើងពណ៌នាអំពីអាគុយម៉ង់នីមួយៗ ហើយបង្ហាញអំពីអំណះអំណាងស្រដៀងគ្នា។ ផ្នែកពិត និងស្រមើស្រមៃអាចសរសេរដូចខាងក្រោម៖

• x = x 1 × x 2 − y 1 × y 2 ,
• y = x 1 × y 2 + x 2 × y 1 ។

វាមើលទៅស្រស់ស្អាតជាងប្រសិនបើយើងប្រើលេខកុំផ្លិចអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។

កន្សោមមើលទៅដូចនេះ៖ z = z 1 × z 2 = r 1 × e i ϴ 1 × r 2 × e i ϴ 2 = r 1 × r 2 × e i(ϴ 1+ ϴ 2) ។

ការបែងចែក

នៅពេលពិចារណាប្រតិបត្តិការចែកជាបញ្ច្រាសនៃប្រតិបត្តិការគុណ ក្នុងសញ្ញាអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល យើងទទួលបានកន្សោមសាមញ្ញ។ ការបែងចែកតម្លៃនៃ z 1 ដោយ z 2 គឺជាលទ្ធផលនៃការបែងចែកម៉ូឌុលរបស់ពួកគេនិងភាពខុសគ្នានៃដំណាក់កាល។ ជាផ្លូវការ នៅពេលប្រើទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនៃចំនួនកុំផ្លិច វាមើលទៅដូចនេះ៖

z = z 1 / z 2 = r 1 × e i ϴ 1 / r 2 × e i ϴ 2 = r 1 / r 2 × e i(ϴ 1- ϴ 2) ។

នៅក្នុងទម្រង់នៃការសម្គាល់ពិជគណិត ប្រតិបត្តិការនៃការបែងចែកលេខនៅក្នុងយន្តហោះស្មុគស្មាញត្រូវបានសរសេរស្មុគស្មាញបន្តិច៖

ដោយការពិពណ៌នាអំណះអំណាង និងអនុវត្តការបំប្លែងនៃពហុនាម វាងាយស្រួលក្នុងការទទួលបានតម្លៃ x = x 1 × x 2 + y 1 × y 2 រៀងគ្នា y = x 2 × y 1 - x 1 × y 2 ។ ក្នុងក្របខ័ណ្ឌនៃលំហដែលបានពិពណ៌នា កន្សោមនេះមានន័យ ប្រសិនបើ z 2 ≠ 0 ។

ការដកឫស

ទាំងអស់ខាងលើអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីកំណត់មុខងារពិជគណិតដែលស្មុគ្រស្មាញជាងមុន - បង្កើនអំណាចណាមួយ និងច្រាសមកវិញរបស់វា - ស្រង់ឫស។

ទាញ​យក​ប្រយោជន៍ គំនិតទូទៅការបង្កើនថាមពល n យើងទទួលបាននិយមន័យ៖

z n = (r × e i ϴ) n .

ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិទូទៅ យើងសរសេរវាឡើងវិញជា៖

z n = r n × e i ϴ n ។

បាន​ទទួល រូបមន្តសាមញ្ញបង្កើនចំនួនកុំផ្លិចទៅជាថាមពល។

ពីនិយមន័យនៃសញ្ញាប័ត្រយើងទទួលបានកូរ៉ូឡារីសំខាន់ណាស់។ អំណាចគូនៃឯកតាស្រមើលស្រមៃគឺតែងតែស្មើនឹង 1 ។ ថាមពលសេសណាមួយនៃឯកតាស្រមើលស្រមៃគឺតែងតែស្មើនឹង -1 ។

ឥឡូវនេះសូមសិក្សា មុខងារបញ្ច្រាស- ការទាញយកឫស។

សម្រាប់ភាពសាមញ្ញនៃការសម្គាល់ យើងយក n = 2 ។ ឫសការ៉េ w នៃតម្លៃស្មុគស្មាញ z នៅលើប្លង់ស្មុគស្មាញ C ជាធម្មតាត្រូវបានគេចាត់ទុកថាជាកន្សោម z = ± ត្រឹមត្រូវសម្រាប់អាគុយម៉ង់ពិតប្រាកដណាមួយធំជាង ឬ ស្មើនឹងសូន្យ. សម្រាប់ w ≤ 0 មិនមានដំណោះស្រាយទេ។

សូមក្រឡេកមើលសមីការការ៉េសាមញ្ញបំផុត z 2 = 1. ដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ចំនួនកុំផ្លិច យើងសរសេរឡើងវិញ r 2 × e i 2ϴ = r 2 × e i 2ϴ = e i 0 ។ ពីកំណត់ត្រាវាច្បាស់ណាស់ថា r 2 = 1 និង ϴ = 0 ដូច្នេះយើងមាន ការសម្រេចចិត្តតែប៉ុណ្ណោះ, ស្មើនឹង 1. ប៉ុន្តែនេះផ្ទុយនឹងគំនិតដែល z = -1, ក៏ស្របជាមួយនឹងនិយមន័យនៃឫសការ៉េមួយ។

ចូរយើងគិតពីអ្វីដែលយើងមិនយកទៅក្នុងគណនី។ ប្រសិនបើយើងចងចាំ សញ្ញាណត្រីកោណមាត្របន្ទាប់មកយើងស្ដារសេចក្តីថ្លែងការណ៍ - ពេលណា ការផ្លាស់ប្តូរតាមកាលកំណត់ដំណាក់កាល ϴ ចំនួនកុំផ្លិចមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់តម្លៃនៃរយៈពេលដោយនិមិត្តសញ្ញា p បន្ទាប់មកការពិតដូចខាងក្រោម: r 2 × e i 2ϴ = e i (0+ p) ដែលពី 2ϴ = 0 + p ឬ ϴ = p / 2 ។ ដូច្នេះ e i 0 = 1 និង e i p / 2 = -1 ។ យើងបានទទួលដំណោះស្រាយទីពីរ ដែលត្រូវនឹង ការយល់ដឹងរួមឫស​ការេ។

ដូច្នេះ ដើម្បីស្វែងរកឫសតាមអំពើចិត្តនៃចំនួនកុំផ្លិច យើងនឹងអនុវត្តតាមនីតិវិធី។

• ចូរសរសេរទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល w= ∣w∣ × e i (arg (w) + pk), k ជាចំនួនគត់តាមអំពើចិត្ត។
• យើងក៏អាចតំណាងឱ្យលេខដែលត្រូវការដោយប្រើទម្រង់អយល័រ z = r × e i ϴ ។
• តោះទាញយកប្រយោជន៍ និយមន័យទូទៅមុខងារទាញយកឫស r n * e i n ϴ = ∣w∣ × e i (arg (w) + pk) ។
• ពី លក្ខណៈសម្បត្តិទូទៅសមភាពនៃម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់ យើងសរសេរ r n = ∣w∣ និង nϴ = arg (w) + p ×k ។
• សញ្ញាណចុងក្រោយសម្រាប់ឫសនៃចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានពិពណ៌នាដោយរូបមន្ត z = √∣w∣ × e i (arg (w) + pk) / n ។
• មតិយោបល់។ តម្លៃ ∣w∣ តាមនិយមន័យគឺជាចំនួនពិតវិជ្ជមាន ដែលមានន័យថាឫសគល់នៃអំណាចណាមួយមានន័យ។

វាលនិងមិត្ត

សរុបសេចក្តីមក យើងផ្តល់និយមន័យសំខាន់ពីរដែលមានសារៈសំខាន់តិចតួចសម្រាប់ដំណោះស្រាយ បញ្ហាដែលបានអនុវត្តជាមួយនឹងចំនួនកុំផ្លិច ប៉ុន្តែមានសារៈសំខាន់សម្រាប់ ការអភិវឌ្ឍន៍បន្ថែមទៀតទ្រឹស្តីគណិតវិទ្យា។

កន្សោម​សម្រាប់​ការ​បូក និង​គុណ​ត្រូវ​បាន​គេ​និយាយ​ថា​នឹង​បង្កើត​ជា​វាល​មួយ ប្រសិន​បើ​ពួកគេ​បំពេញ​តាម​អ័ក្ស​សម្រាប់​ធាតុ​ណាមួយ​នៃ​ប្លង់​ស្មុគស្មាញ z៖

1. ការផ្លាស់ប្តូរកន្លែងនៃពាក្យស្មុគ្រស្មាញមិនផ្លាស់ប្តូរផលបូកស្មុគស្មាញទេ។
2. សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិត - នៅក្នុង កន្សោមស្មុគស្មាញផលបូកនៃលេខទាំងពីរអាចត្រូវបានជំនួសដោយតម្លៃរបស់វា។
3. មានតម្លៃអព្យាក្រឹត 0 ដែល z + 0 = 0 + z = z គឺពិត។
4. សម្រាប់ z ណាមួយគឺផ្ទុយ - z ការបន្ថែមដែលផ្តល់ឱ្យសូន្យ។
5. នៅពេលផ្លាស់ប្តូរទីកន្លែងនៃកត្តាស្មុគស្មាញផលិតផលស្មុគស្មាញមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។
6. គុណនៃលេខទាំងពីរអាចត្រូវបានជំនួសដោយតម្លៃរបស់វា។
7. មានតម្លៃអព្យាក្រឹត 1 គុណនឹងដែលមិនផ្លាស់ប្តូរចំនួនកុំផ្លិច។
8. សម្រាប់រាល់ z ≠ 0 មានតម្លៃបញ្ច្រាស z -1 ដោយគុណនឹងលទ្ធផល 1 ។
9. ការគុណផលបូកនៃចំនួនពីរដោយមួយភាគបីគឺស្មើនឹងប្រតិបត្តិការនៃគុណលេខនីមួយៗដោយលេខនេះ និងបន្ថែមលទ្ធផល។
10. 0 ≠ 1.

លេខ z 1 = x + i × y និង z 2 = x − i × y ត្រូវបានគេហៅថា conjugate ។

ទ្រឹស្តីបទ។សម្រាប់ការផ្គូផ្គង សេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងក្រោមគឺពិត៖

• ផលបូកនៃផលបូកគឺស្មើនឹងផលបូកនៃធាតុផ្សំ។
• conjugate នៃផលិតផលគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃ conjugates ។
• ស្មើនឹងលេខខ្លួនឯង។

ជាទូទៅ ពិជគណិត លក្ខណៈសម្បត្តិបែបនេះ ជាធម្មតាត្រូវបានគេហៅថា អូតូម័រហ្វីស វាល។

ឧទាហរណ៍

អនុវត្តតាមច្បាប់ និងរូបមន្តដែលបានផ្តល់ឱ្យសម្រាប់ចំនួនកុំផ្លិច អ្នកអាចដំណើរការជាមួយពួកវាបានយ៉ាងងាយស្រួល។

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ដ៏សាមញ្ញបំផុត។

កិច្ចការទី 1 ។ដោយប្រើសមីការ 3y +5 x i = 15 − 7i កំណត់ x និង y ។

ដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងរំលឹកនិយមន័យនៃសមភាពស្មុគ្រស្មាញ បន្ទាប់មក 3y = 15, 5x = -7 ។ ដូច្នេះ x = −7/5, y = 5 ។

កិច្ចការទី 2 ។គណនាតម្លៃនៃ 2 + i 28 និង 1 + i 135 ។

ដំណោះស្រាយ។ ជាក់ស្តែង 28 - ចំនួន​គូពី corollary នៃនិយមន័យនៃចំនួនកុំផ្លិចមួយទៅថាមពល យើងមាន i 28 = 1 ដែលមានន័យថាកន្សោមគឺ 2 + i 28 = 3 ។ តម្លៃទីពីរ i 135 = -1 បន្ទាប់មក 1 + i 135 = 0 .

កិច្ចការទី 3 ។គណនាផលគុណនៃតម្លៃ 2+5i និង 4+3i ។

ដំណោះស្រាយ។ ពីលក្ខណៈសម្បត្តិទូទៅនៃការគុណនៃចំនួនកុំផ្លិច យើងទទួលបាន (2 + 5i) X (4 + 3i) = 8 - 15 + i (6 + 20) ។ តម្លៃថ្មីនឹងជា -7 + 26i ។

កិច្ចការទី 4 ។គណនាឫសនៃសមីការ z 3 = -i ។

ដំណោះស្រាយ។ វាអាចមានជម្រើសជាច្រើនសម្រាប់ការស្វែងរកចំនួនកុំផ្លិច។ ចូរយើងពិចារណាអំពីអ្វីដែលអាចធ្វើបាន។ តាមនិយមន័យ ∣ - i∣ = 1 ដំណាក់កាលសម្រាប់ -i គឺ -p / 4 ។ សមីការដើមអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជា r 3 * e i 3ϴ = e - p/4+ pk ពីកន្លែងដែល z = e - p / 12 + pk /3 សម្រាប់ចំនួនគត់ k ។

សំណុំនៃដំណោះស្រាយមានទម្រង់ (e - ip/12, e ip/4, e i 2 p/3) ។

ហេតុអ្វីបានជាត្រូវការលេខស្មុគស្មាញ?

ប្រវត្តិសាស្ត្រដឹងពីឧទាហរណ៍ជាច្រើន នៅពេលដែលអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រ ធ្វើការលើទ្រឹស្ដីមួយ មិនគិតពីការអនុវត្តជាក់ស្តែងនៃលទ្ធផលរបស់ពួកគេ។ ដំបូងបង្អស់ គណិតវិទ្យាគឺជាល្បែងនៃចិត្ត ការប្រកាន់ខ្ជាប់យ៉ាងតឹងរ៉ឹងចំពោះទំនាក់ទំនងហេតុ និងផល។ ស្ទើរតែទាំងអស់។ សំណង់គណិតវិទ្យាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការដោះស្រាយអាំងតេក្រាល និង សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលហើយទាំងនោះ ជាមួយនឹងការប្រហាក់ប្រហែលខ្លះ ត្រូវបានដោះស្រាយដោយការស្វែងរកឫសគល់នៃពហុនាម។ នៅទីនេះដំបូងយើងជួបប្រទះភាពផ្ទុយគ្នានៃចំនួនស្រមើលស្រមៃ។

អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិ, សម្រេចចិត្តទាំងស្រុង បញ្ហាជាក់ស្តែង, ងាកទៅរកដំណោះស្រាយ សមីការផ្សេងគ្នា, រកឃើញការប្រៀបធៀបគណិតវិទ្យា។ ការបកស្រាយអំពីភាពផ្ទុយគ្នាទាំងនេះនាំឱ្យមានការរកឃើញដ៏គួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលទាំងស្រុង។ ធម្មជាតិទ្វេ រលកអេឡិចត្រូម៉ាញ៉េទិចឧទាហរណ៍មួយបែបនេះ។ លេខស្មុគស្មាញដើរតួនាទីយ៉ាងច្បាស់លាស់ក្នុងការយល់ដឹងអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ពួកគេ។

នេះ, នៅក្នុងវេន, បានរកឃើញ ការប្រើប្រាស់ជាក់ស្តែងក្នុងវិស័យអុបទិក វិទ្យុអេឡិចត្រូនិក ថាមពល និងវិស័យបច្ចេកវិទ្យាជាច្រើនទៀត។ ឧទាហរណ៍មួយទៀតពិបាកយល់ណាស់។ បាតុភូតរាងកាយ. Antimatter ត្រូវបានព្យាករណ៍នៅចុងប៊ិច។ ហើយមានតែប៉ុន្មានឆ្នាំក្រោយមកការព្យាយាមដើម្បីសំយោគរាងកាយវាចាប់ផ្តើម។

មនុស្សម្នាក់មិនគួរគិតថាស្ថានភាពបែបនេះមានតែនៅក្នុងរូបវិទ្យាទេ។ មិន​តិច ការរកឃើញគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍កើតឡើងនៅក្នុងធម្មជាតិរស់នៅ កំឡុងពេលសំយោគម៉ាក្រូម៉ូលេគុល កំឡុងពេលសិក្សាអំពីបញ្ញាសិប្បនិម្មិត។ ហើយទាំងអស់នេះអរគុណដល់ការពង្រីកស្មារតីរបស់យើង ផ្លាស់ប្តូរឆ្ងាយពីការបូក និងដកនៃបរិមាណធម្មជាតិសាមញ្ញ។

IN គណិតវិទ្យាទំនើបចំនួនកុំផ្លិច គឺជាគោលគំនិតជាមូលដ្ឋានបំផុតមួយ ស្វែងរកកម្មវិធីនៅក្នុង " វិទ្យាសាស្ត្រសុទ្ធ", និងនៅក្នុង តំបន់ដែលបានអនុវត្ត. វាច្បាស់ណាស់ថានេះមិនមែនតែងតែជាករណីនោះទេ។ នៅសម័យបុរាណ នៅពេលដែលសូម្បីតែលេខអវិជ្ជមានធម្មតាហាក់ដូចជាការច្នៃប្រឌិតចម្លែក និងគួរឱ្យសង្ស័យ តម្រូវការដើម្បីពង្រីកប្រតិបត្តិការឫសការ៉េដល់ពួកគេគឺមិនជាក់ស្តែងទាល់តែសោះ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយនៅក្នុង ពាក់កណ្តាលសតវត្សទី 16គណិតវិទូប្រចាំសតវត្សរ៍ Raphael Bombelli ណែនាំស្មុគ្រស្មាញ (in ក្នុងករណី​នេះច្បាស់ជាងនេះទៅទៀត, ការស្រមើស្រមៃ) លេខនៅក្នុងចរាចរ។ តាមពិតទៅ ខ្ញុំស្នើឱ្យមើលអ្វីដែលជាខ្លឹមសារនៃការលំបាក ដែលទីបំផុតនាំជនជាតិអ៊ីតាលីដែលគួរឱ្យគោរពទៅកាន់ភាពខ្លាំងបែបនេះ។

មានការយល់ខុសជាទូទៅថាចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានទាមទារដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េ។ តាមពិត នេះគឺខុសទាំងស្រុង៖ ភារកិច្ចស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការ quadratic ដោយគ្មានវិធីជំរុញឱ្យមានការបញ្ចូលចំនួនកុំផ្លិចឡើយ។ នោះ​ហើយ​ជា​ការ​ល្អ​ឥត​ខ្ចោះ។

សូមមើលសម្រាប់ខ្លួនយើង។ សមីការការ៉េណាមួយអាចត្រូវបានតំណាងដូចជា៖
.
តាមធរណីមាត្រ នេះមានន័យថាយើងចង់ស្វែងរកចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ជាក់លាក់មួយ និងប៉ារ៉ាបូឡា
ខ្ញុំថែមទាំងបង្កើតរូបភាពនៅទីនេះសម្រាប់ជាឧទាហរណ៍។

ដូចដែលយើងទាំងអស់គ្នាដឹងច្បាស់ពីសាលា ឫសគល់នៃសមីការបួនជ្រុង (ក្នុងសញ្ញាណខាងលើ) ត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្តដូចខាងក្រោម៖

មានជម្រើស 3 ដែលអាចធ្វើទៅបាន៖
1. កន្សោមរ៉ាឌីកាល់គឺវិជ្ជមាន។
2. កន្សោមរ៉ាឌីកាល់គឺស្មើនឹងសូន្យ។
3. កន្សោមរ៉ាឌីកាល់គឺអវិជ្ជមាន។

ក្នុងករណីដំបូងមាន 2 ឫសផ្សេងៗនៅក្នុងទីពីរមានពីរដែលស្របគ្នា ហើយនៅក្នុងទីបីសមីការគឺ "មិនត្រូវបានដោះស្រាយ" ។ ករណីទាំងអស់នេះមានការបកស្រាយធរណីមាត្រច្បាស់លាស់៖
1. បន្ទាត់ត្រង់កាត់ប៉ារ៉ាបូឡា (បន្ទាត់ពណ៌ខៀវក្នុងរូប)។
2. បន្ទាត់ត្រង់ប៉ះប៉ារ៉ាបូឡា។
3. បន្ទាត់ត្រង់មិនមានទំនាក់ទំនងជាមួយប៉ារ៉ាបូឡាទេ។ ចំណុចរួម(បន្ទាត់ lilac នៅក្នុងរូបភាព) ។

ស្ថានភាពគឺសាមញ្ញ ឡូជីខល និងស្រប។ ពិតជាគ្មានហេតុផលដើម្បីព្យាយាមយកឫសការ៉េនៃចំនួនអវិជ្ជមាននោះទេ។ គ្មាននរណាម្នាក់សូម្បីតែព្យាយាម។

ស្ថានភាពបានផ្លាស់ប្តូរយ៉ាងខ្លាំងនៅពេលដែលការគិតគណិតវិទ្យាដែលចង់ដឹងចង់ឃើញឈានដល់សមីការគូប។ កាន់តែច្បាស់បន្តិច ដោយប្រើការជំនួសសាមញ្ញមួយចំនួន សមីការគូបណាមួយអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់៖ . តាមទស្សនៈធរណីមាត្រ ស្ថានភាពគឺស្រដៀងនឹងចំណុចមុន៖ យើងកំពុងស្វែងរកចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ត្រង់ និងប៉ារ៉ាបូឡាគូប។
សូមទស្សនារូបភាព៖

ភាពខុសគ្នាដ៏សំខាន់ពីករណីនៃសមីការបួនជ្រុងគឺថា មិនថាយើងយកខ្សែណាក៏ដោយ វានឹងប្រសព្វនឹងប៉ារ៉ាបូឡាជានិច្ច។ នោះគឺពីការពិចារណាធរណីមាត្រសុទ្ធសាធ សមីការគូបតែងតែមានដំណោះស្រាយយ៉ាងហោចណាស់មួយ។
អ្នកអាចរកឃើញវាដោយប្រើរូបមន្ត Cardano៖

កន្លែងណា
.
រាងសំពីងសំពោងបន្តិច ប៉ុន្តែរហូតមកដល់ពេលនេះ អ្វីៗហាក់បីដូចជាមានសណ្តាប់ធ្នាប់។ ឬ​មិន​មែន?

ជាទូទៅរូបមន្ត Cardano គឺ ឧទាហរណ៍ភ្លឺ"គោលការណ៍របស់ Arnold" នៅក្នុងសកម្មភាព។ ហើយអ្វីដែលជាលក្ខណៈគឺថា Cardano មិនដែលអះអាងពីភាពជាអ្នកនិពន្ធនៃរូបមន្តនោះទេ។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ចូរយើងត្រលប់ទៅចៀមរបស់យើងវិញ។ រូបមន្តគឺគួរឱ្យកត់សម្គាល់ ដោយគ្មានការបំផ្លើស ដែលជាសមិទ្ធិផលដ៏អស្ចារ្យនៃគណិតវិទ្យានៅដើមសតវត្សទី 16 ។ ប៉ុន្តែនាងមានចំនុចពិសេសមួយ។
តោះយក ឧទាហរណ៍បុរាណដែលត្រូវបានពិចារណាផងដែរដោយ Bombelli:
.
រំពេចនោះ
,
និង​ត្រូវ​គ្នា​,
.
យើង​បាន​មក​ដល់។ វាជាការអាណិតចំពោះរូបមន្ត ប៉ុន្តែរូបមន្តគឺល្អ។ ចុង​បញ្ចប់​បាន​ស្លាប់។ ទោះបីជាការពិតដែលថាសមីការពិតជាមានដំណោះស្រាយ។

គំនិតរបស់ Rafael Bombelli មានដូចខាងក្រោម៖ ចូរយើងធ្វើពុតជាទុយោ ហើយធ្វើពុតថាឫសនៃអវិជ្ជមានគឺជាប្រភេទមួយចំនួន។ ជាការពិតណាស់ យើងដឹងថាមិនមានលេខបែបនេះទេ ប៉ុន្តែយ៉ាងណាក៏ដោយ ចូរយើងស្រមៃថាវាមាន និងរបៀប លេខធម្មតា។, អាចត្រូវបានបន្ថែមជាមួយអ្នកដទៃ, គុណ, លើកឡើងទៅជាថាមពល។ល។

ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តស្រដៀងគ្នានេះ Bombelli បានរកឃើញជាពិសេសនោះ។
,
និង
.
តោះពិនិត្យ៖
.
សូមចំណាំថានៅក្នុងការគណនាមិនមានការសន្មត់ណាមួយត្រូវបានធ្វើឡើងអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃឫសការ៉េនៃលេខអវិជ្ជមានទេ លើកលែងតែការសន្មត់ដែលបានរៀបរាប់ខាងលើថាពួកគេមានឥរិយាបទដូចជាលេខ "ធម្មតា"។

សរុបមកយើងទទួលបាន។ ដែលជាចម្លើយត្រឹមត្រូវ ដែលអាចផ្ទៀងផ្ទាត់បានយ៉ាងងាយដោយការជំនួសដោយផ្ទាល់។ វាគឺជារបកគំហើញពិតប្រាកដមួយ។ ទម្លាយចូលទៅក្នុងយន្តហោះស្មុគស្មាញ។

យ៉ាង​ណា​ក៏​ដោយ ការ​គណនា​បែប​នេះ​មើល​ទៅ​ដូច​ជា​វេទមន្ត​មួយ​ចំនួន ដែល​ជា​ល្បិច​គណិតវិទ្យា។ អាកប្បកិរិយាចំពោះពួកគេដូចជាល្បិចមួយចំនួនបានបន្តកើតមានក្នុងចំណោមអ្នកគណិតវិទ្យាអស់រយៈពេលជាយូរ។ តាមពិតទៅ ឈ្មោះ "លេខស្រមើស្រមៃ" ដែលបង្កើតដោយ Rene Descartes សម្រាប់ឫសនៃលេខអវិជ្ជមាន ឆ្លុះបញ្ចាំងយ៉ាងពេញលេញនូវអាកប្បកិរិយារបស់គណិតវិទូនៅសម័យនោះចំពោះការកម្សាន្តបែបនេះ។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយនៅពេលដែលពេលវេលាបន្ត "ល្បិច" ត្រូវបានប្រើជាមួយ ជោគជ័យបន្តសិទ្ធិអំណាចនៃ "លេខស្រមើស្រមៃ" នៅក្នុងក្រសែភ្នែករបស់សហគមន៍គណិតវិទ្យាបានរីកចម្រើន រឹតត្បិតដោយភាពរអាក់រអួលនៃការប្រើប្រាស់របស់ពួកគេ។ មានតែបង្កាន់ដៃដោយ Leonhard Euler (ដោយវិធីនេះវាគឺជាគាត់ដែលបានណែនាំការរចនាដែលប្រើជាទូទៅសម្រាប់អង្គភាពស្រមើលស្រមៃ) នៃរូបមន្តដ៏ល្បីល្បាញ

បានបើកផ្លូវសម្រាប់ចំនួនកុំផ្លិចទៅកាន់ផ្នែកផ្សេងៗនៃគណិតវិទ្យា និងកម្មវិធីរបស់វា។ ប៉ុន្តែនោះជារឿងខុសគ្នាទាំងស្រុង។

លេខស្មុគស្មាញ

ការស្រមើស្រមៃ និង លេខស្មុគស្មាញ។ Abscissa និងតែងតាំង

ចំនួនកុំផ្លិច។ ផ្សំលេខកុំផ្លិច។

ប្រតិបត្តិការជាមួយចំនួនកុំផ្លិច។ ធរណីមាត្រ

តំណាងនៃចំនួនកុំផ្លិច។ យន្តហោះស្មុគស្មាញ។

ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច។ ត្រីកោណមាត្រ

ទម្រង់លេខស្មុគស្មាញ។ ប្រតិបត្តិការជាមួយស្មុគស្មាញ

លេខនៅក្នុង ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ. រូបមន្តរបស់ Moivre ។

ព័ត៌មានបឋមអូ ការស្រមើស្រមៃ និង លេខស្មុគស្មាញ ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងផ្នែក "ការស្រមើលស្រមៃនិងចំនួនកុំផ្លិច" ។ តម្រូវការសម្រាប់លេខទាំងនេះនៃប្រភេទថ្មីបានកើតឡើងនៅពេលដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងសម្រាប់ករណីឃ< 0 (здесь ឃ- ការរើសអើងនៃសមីការការ៉េ) ។ អស់រយៈពេលជាយូរមកហើយលេខទាំងនេះមិនត្រូវបានរកឃើញ កម្មវិធីរាងកាយនោះហើយជាមូលហេតុដែលពួកគេត្រូវបានគេហៅថាលេខ "ស្រមើលស្រមៃ" ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយឥឡូវនេះពួកវាត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងវិស័យផ្សេងៗនៃរូបវិទ្យា

និងបច្ចេកវិជ្ជា៖ វិស្វកម្មអគ្គិសនី ធារាសាស្ត្រ និងលំហអាកាស ទ្រឹស្តីនៃការបត់បែន។ល។

លេខស្មុគស្មាញ ត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់៖a+bi. នៅទីនេះ កនិង ខ – ចំនួនពិត , ក ខ្ញុំ – ឯកតាស្រមើលស្រមៃ, i.e.អ៊ី ខ្ញុំ 2 = –1. ចំនួន កហៅ abscissa, ក ខ - ចាត់តាំងចំនួនកុំផ្លិចa + ប៊ី។លេខស្មុគស្មាញពីរa+biនិង a-bi ត្រូវបានហៅ ផ្សំលេខស្មុគស្មាញ។

កិច្ចព្រមព្រៀងសំខាន់ៗ៖

1. ចំនួនពិតកអាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់ផងដែរ។ចំនួនកុំផ្លិច៖ក + 0 ខ្ញុំឬ ក – 0 ខ្ញុំ. ឧទាហរណ៍កត់ត្រា 5 + 0ខ្ញុំនិង ៥-០ ខ្ញុំមានន័យថាលេខដូចគ្នា។ 5 .

2. លេខស្មុគស្មាញ 0 + ប៊ីហៅ ការស្រមើលស្រមៃសុទ្ធសាធ ចំនួន. កត់ត្រាប៊ីមាន​ន័យ​ដូច​គ្នា​នឹង 0 + ប៊ី.

3. ចំនួនកុំផ្លិចពីរa+bi និងគ + ឌីត្រូវបានចាត់ទុកថាស្មើគ្នាប្រសិនបើa = គនិង b = ឃ. IN បើមិនដូច្នេះទេ ចំនួនកុំផ្លិចមិនស្មើគ្នា។

ការបន្ថែម។ ផលបូកនៃចំនួនកុំផ្លិចa+biនិង គ + ឌីត្រូវបានគេហៅថាចំនួនកុំផ្លិច (a+c ) + (b+d ) ខ្ញុំដូច្នេះ នៅពេលបន្ថែម ចំនួនកុំផ្លិច, abscissas និង ordinates របស់វាត្រូវបានបន្ថែមដោយឡែកពីគ្នា។

និយមន័យនេះត្រូវគ្នាទៅនឹងច្បាប់សម្រាប់ប្រតិបត្តិការជាមួយពហុនាមធម្មតា។

ដក។ ភាពខុសគ្នានៃចំនួនកុំផ្លិចa+bi(ថយចុះ) និង គ + ឌី(subtrahend) ត្រូវបានគេហៅថា ចំនួនកុំផ្លិច (ក-គ ) + (b-d ) ខ្ញុំ

ដូច្នេះ នៅពេលដកចំនួនកុំផ្លិចពីរ អាប់សស៊ីស និងលេខរៀងរបស់វាត្រូវបានដកដោយឡែកពីគ្នា។

គុណ។ ផលិតផលនៃចំនួនកុំផ្លិចa+biនិង គ + ឌី ត្រូវបានគេហៅថាចំនួនកុំផ្លិច៖

(ac-bd ) + (ad+bc ) ខ្ញុំនិយមន័យនេះធ្វើតាមតម្រូវការពីរ៖

1) លេខ a+biនិង គ + ឌីត្រូវតែគុណដូចពិជគណិតទ្វេ​នាម

2) លេខ ខ្ញុំមានទ្រព្យសម្បត្តិចម្បង៖ខ្ញុំ 2 = – 1.

ឧទាហរណ៍ ( a+ ប៊ី )(a-bi) = ក 2 + ខ 2 . អាស្រ័យហេតុនេះ ការងារ

ចំនួនកុំផ្លិចដែលផ្សំពីរគឺស្មើនឹងពិត

លេខវិជ្ជមាន។

ការបែងចែក។ ចែកចំនួនកុំផ្លិចa+bi (បែងចែក) ដោយមួយផ្សេងទៀតគ + ឌី(ចែក) - មានន័យថាស្វែងរកលេខទីបីe + f i(ជជែក) ដែលនៅពេលគុណនឹងចែកគ + ឌី, ជាលទ្ធផលនៅក្នុងភាគលាភa + ប៊ី។

ប្រសិនបើការបែងចែកមិនមែនទេ។ ស្មើនឹងសូន្យការបែងចែកគឺតែងតែអាចធ្វើទៅបាន។

ឧទាហរណ៍ ស្វែងរក (8 +ខ្ញុំ ) : (2 – 3 ខ្ញុំ) .

ដំណោះស្រាយ ចូរយើងសរសេរសមាមាត្រនេះឡើងវិញជាប្រភាគ។

គុណភាគយក និងភាគបែងរបស់វាដោយ 2 + 3ខ្ញុំ

និង ដោយបានអនុវត្តការផ្លាស់ប្តូរទាំងអស់ យើងទទួលបាន៖

តំណាងធរណីមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច។ លេខពិតត្រូវបានតំណាងដោយចំណុចនៅលើបន្ទាត់លេខ៖

នេះគឺជាចំណុច កមានន័យថា លេខ -3, ចំនុចខ- លេខ ២ និង អូ- សូន្យ។ ផ្ទុយទៅវិញ ចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានតំណាងដោយចំនុចនៅលើ សំរបសំរួលយន្តហោះ. ចំពោះគោលបំណងនេះ យើងជ្រើសរើសកូអរដោនេចតុកោណកែង (Cartesian) ដែលមានមាត្រដ្ឋានដូចគ្នានៅលើអ័ក្សទាំងពីរ។ បន្ទាប់មកចំនួនកុំផ្លិចa+bi នឹងត្រូវបានតំណាងដោយចំណុច P ជាមួយ abscissa ក និង​ចាត់ចែង ខ (មើលរូបភាព)។ ប្រព័ន្ធកូអរដោនេនេះត្រូវបានគេហៅថា យន្តហោះស្មុគស្មាញ .

ម៉ូឌុល ចំនួនកុំផ្លិចគឺជាប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រOPតំណាងឱ្យចំនួនកុំផ្លិចនៅលើកូអរដោណេ ( ទូលំទូលាយ) យន្តហោះ។ ម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិចa+biតំណាង | a+bi| ឬលិខិត r

ទំព័រថ្មី ១

លេខស្មុគ្រស្មាញសម្រាប់អត់ចេះសោះ មេរៀនទី 1. តើពួកគេជាអ្វី ហើយតើអ្នកញ៉ាំវាជាមួយអ្វី? ឯកតាស្រមើលស្រមៃ។

ដើម្បីយល់ពីចំនួនកុំផ្លិច ចូរយើងចងចាំអំពីលេខធម្មតា ហើយពិនិត្យមើលវាឱ្យបានទូលំទូលាយ។ ដូច្នេះហើយ រឿងសាមញ្ញបំផុតគឺ ធម្មជាតិលេខ។ ពួកវាត្រូវបានគេហៅថាធម្មជាតិ ពីព្រោះតាមរយៈពួកវា អ្វីមួយដែលអាចត្រូវបានបង្ហាញ "ដោយសប្បុរស" ពោលគឺ អ្វីមួយអាចរាប់បាន។ នេះគឺជាផ្លែប៉ោមពីរ។ ពួកគេអាចត្រូវបានរាប់។ មានប្រអប់សូកូឡាចំនួនប្រាំ។ យើងអាចរាប់ពួកគេ។ ក្នុង​ន័យ​ផ្សេងទៀត, ចំនួនគត់- ទាំងនេះគឺជាលេខដែលយើងអាចរាប់បាន។ ធាតុជាក់លាក់. អ្នកដឹងច្បាស់ថាលេខទាំងនេះអាចត្រូវបានបូក ដក គុណ និងចែក។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺច្បាស់ជាមួយនឹងការបន្ថែមនិងគុណ។ មានផ្លែប៉ោមពីរ ពួកគេបានបន្ថែមបី វាបានក្លាយទៅជាប្រាំ។ យើង​បាន​យក​សូកូឡា​បី​ប្រអប់​ 10 ដុំ ដែល​មាន​ន័យ​ថា​មាន​បង្អែម​សរុប​សាមសិប។ ឥឡូវនេះសូមបន្តទៅ ទាំងមូលលេខ។ ប្រសិនបើលេខធម្មជាតិបង្ហាញពីចំនួនជាក់លាក់នៃវត្ថុនោះ អរូបីត្រូវបានណែនាំទៅក្នុងសំណុំនៃចំនួនគត់។ នេះ។ សូន្យនិង អវិជ្ជមានលេខ។ ហេតុអ្វីបានជាអរូបីទាំងនេះ? សូន្យគឺជាអវត្តមាននៃអ្វីមួយ។ ប៉ុន្តែតើយើងអាចប៉ះមានអារម្មណ៍ថាអ្វីដែលមិនមាន? យើងអាចប៉ះផ្លែប៉ោមពីរបាន យើងថែមទាំងអាចញ៉ាំវាបាន។ តើផ្លែប៉ោមសូន្យមានន័យដូចម្តេច? តើយើងអាចប៉ះ មានអារម្មណ៍ថាសូន្យនេះទេ? ទេ យើងមិនអាចទេ។ ដូច្នេះនេះគឺ អរូបី. អ្នកត្រូវតែបង្ហាញពីអវត្តមាននៃអ្វីមួយ។ ដូច្នេះយើងកំណត់លេខសូន្យជាលេខ។ ប៉ុន្តែ​ហេតុ​អ្វី​បាន​ជា​សញ្ញា​នេះ​ដូចម្ដេច? ចូរយើងស្រមៃថាយើងមានផ្លែប៉ោមពីរ។ យើងញ៉ាំពីរ។ តើយើងនៅសល់ប៉ុន្មាន? នោះជាការត្រឹមត្រូវ មិនមែនទាល់តែសោះ។ យើងនឹងសរសេរប្រតិបត្តិការនេះ (យើងបានញ៉ាំផ្លែប៉ោមពីរ) ជាដក 2-2 ។ ហើយតើយើងបញ្ចប់ដោយអ្វី? តើយើងគួរដាក់ស្លាកលទ្ធផលយ៉ាងដូចម្តេច? មានតែដោយការណែនាំអរូបីថ្មី (សូន្យ) ដែលនឹងបង្ហាញថាជាលទ្ធផលនៃការដក (ការញ៉ាំ) វាប្រែថាយើងមិនមានផ្លែប៉ោមតែមួយទេ។ ប៉ុន្តែយើងអាចដកមិនមែន 2 ប៉ុន្តែ 3 ពីពីរ វាហាក់ដូចជាថាប្រតិបត្តិការនេះគ្មានន័យទេ។ បើ​យើង​មាន​ផ្លែ​ប៉ោម​តែ​ពីរ​ផ្លែ តើ​យើង​ញ៉ាំ​បី​ផ្លែ​ដោយ​របៀប​ណា?

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយទៀត។ យើងទៅហាងសម្រាប់ស្រាបៀរ។ យើងមាន 100 rubles ជាមួយយើង។ ស្រាបៀរមានតម្លៃ 60 រូប្លិ៍ក្នុងមួយដប។ យើងចង់ទិញពីរដប ប៉ុន្តែយើងមិនមានលុយគ្រប់គ្រាន់ទេ។ យើងត្រូវការ 120 រូប្លិ៍។ ហើយបន្ទាប់មកយើងជួបមិត្តចាស់របស់យើង ហើយខ្ចីម្ភៃពីគាត់។ យើងទិញស្រាបៀរ។ សំណួរ។ តើយើងនៅសល់លុយប៉ុន្មាន? ធម្មតាណែនាំថាមិនមែនទាល់តែសោះ។ ប៉ុន្តែតាមទស្សនៈគណិតវិទ្យា នេះប្រហែលជាមិនសមហេតុផលទេ។ ហេតុអ្វី? ដោយសារតែដើម្បីទទួលបានសូន្យជាលទ្ធផល អ្នកត្រូវដក 100 ពី 100។ ហើយយើងធ្វើ 100-120 ។ នៅទីនេះយើងគួរតែទទួលបានអ្វីដែលប្លែក។ តើយើងទទួលបានអ្វីខ្លះ? ហើយការពិតដែលថាយើងនៅតែជំពាក់មិត្តរបស់យើង 20 រូប្លិ៍។ លើកក្រោយយើងមានលុយ 140 រូពីជាមួយយើង យើងនឹងមកហាងស្រាបៀរ ជួបមិត្តភ័ក្តិ សងបំណុលជាមួយគាត់ ហើយអាចទិញស្រាបៀរពីរដបទៀត។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន 140-120-20=0 ។ ចំណាំ -20 ។ នេះគឺជាអរូបីមួយទៀត - លេខអវិជ្ជមាន . នោះគឺបំណុលរបស់យើងចំពោះមិត្តគឺជាលេខដែលមានសញ្ញាដក ព្រោះនៅពេលយើងសងបំណុលយើងដកចំនួននេះ។ ខ្ញុំនឹងនិយាយបន្ថែមទៀត នេះគឺជាអរូបីដ៏អស្ចារ្យជាងសូន្យ។ សូន្យមានន័យថាអ្វីដែលមិនមាន។ ហើយលេខអវិជ្ជមានគឺដូចជាអ្វីមួយដែលនឹងត្រូវដកចេញពីយើងនាពេលអនាគត។

ដូច្នេះហើយ ដោយប្រើឧទាហរណ៍ ខ្ញុំបានបង្ហាញពីរបៀបដែលអរូបីកើតនៅក្នុងគណិតវិទ្យា។ ហើយនោះ វានឹងហាក់បីដូចជា បើទោះបីជាភាពមិនសមហេតុផលទាំងអស់នៃអរូបីបែបនេះ (ដូចជាការយកច្រើនជាងនេះទៅទៀត) ពួកគេបានរកឃើញកម្មវិធីនៅក្នុង ជីវិត​ពិត. ក្នុងករណីនៃការបែងចែកចំនួនគត់ អរូបីមួយទៀតកើតឡើង - លេខប្រភាគ។ខ្ញុំនឹងមិនរស់នៅលើពួកវាដោយលម្អិតទេ ហើយវាច្បាស់ណាស់ថាពួកវាត្រូវការក្នុងករណីដែលយើងមានចំនួនគត់ដែលមិនត្រូវបានបែងចែកដោយចំនួនគត់។ ជាឧទាហរណ៍ យើងមានផ្លែប៉ោមបួនផ្លែ ប៉ុន្តែយើងត្រូវបែងចែកវាក្នុងចំណោមមនុស្សបីនាក់។ វាច្បាស់ណាស់នៅទីនេះថាយើងបែងចែកផ្លែប៉ោមមួយដែលនៅសល់ជាបីផ្នែកហើយទទួលបានប្រភាគ។

ឥឡូវ​នេះ ចូរ​យើង​ទៅ​រក​ចំនួន​កុំផ្លិច​ដោយ​រលូន។ ប៉ុន្តែជាដំបូង សូមចាំថា នៅពេលអ្នកគុណលេខអវិជ្ជមានពីរ អ្នកនឹងទទួលបានលេខវិជ្ជមាន។ មាននរណាម្នាក់សួរ - ហេតុអ្វីបានជាដូច្នេះ? ចូរយើងយល់ជាមុនអំពីការគុណលេខអវិជ្ជមានដោយលេខវិជ្ជមាន។ ឧបមាថាយើងគុណ -20 គុណនឹង 2. នោះគឺយើងត្រូវបន្ថែម -20+-20។ លទ្ធផលគឺ -40 ចាប់តាំងពីការបូកលេខអវិជ្ជមានគឺជាការដក។ ហេតុអ្វីបានជាដក - សូមមើលខាងលើលេខអវិជ្ជមានគឺជាបំណុល; មានអត្ថន័យប្រចាំថ្ងៃមួយទៀត។ តើមានអ្វីកើតឡើងប្រសិនបើបំណុលកើនឡើង? ឧទាហរណ៍ក្នុងករណីដែលយើងត្រូវបានផ្តល់ប្រាក់កម្ចីដោយការប្រាក់? ជាលទ្ធផល លេខដដែលដែលមានសញ្ញាដកនៅតែជាលេខដែលធំជាងបន្ទាប់ពីដក។ តើការគុណនឹងលេខអវិជ្ជមានមានន័យដូចម្តេច? តើ 3*-2 មានន័យដូចម្តេច? នេះមានន័យថាលេខបីត្រូវតែដកពីរដង។ នោះគឺដាក់ដកមួយមុនលទ្ធផលនៃគុណ។ និយាយអីញ្ចឹង នេះគឺដូចគ្នាទៅនឹង -3*2 ចាប់តាំងពីការរៀបចំឡើងវិញនូវកត្តាមិនផ្លាស់ប្តូរផលិតផល។ ឥឡូវនេះយកចិត្តទុកដាក់។ គុណ -៣ ដោយ −២ ។ យើងយកលេខ -3 ដកពីរដង។ ប្រសិនបើយើងយកលេខ -3 ពីរដងនោះលទ្ធផលនឹងជា -6 អ្នកយល់។ ចុះបើយើងដកពីរដង? ប៉ុន្តែតើវាមានន័យយ៉ាងណាក្នុងការដកដង? ប្រសិនបើអ្នកយក លេខវិជ្ជមានដកដង បន្ទាប់មកលទ្ធផលនឹងអវិជ្ជមាន សញ្ញារបស់វាផ្លាស់ប្តូរ។ ប្រសិនបើយើងយកលេខអវិជ្ជមានដកដង នោះសញ្ញារបស់វាផ្លាស់ប្តូរ ហើយវាក្លាយជាវិជ្ជមាន។

ហេតុអ្វីបានជាយើងនិយាយអំពីការគុណដកដោយដក? ហើយដើម្បីពិចារណាអរូបីមួយទៀត លើកនេះវាទាក់ទងដោយផ្ទាល់ទៅនឹងចំនួនកុំផ្លិច។ នេះ។ ឯកតាស្រមើលស្រមៃ. ឯកតាស្រមើលស្រមៃស្មើនឹងឫសការ៉េនៃដក ១៖

ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា ឫសការ៉េជាអ្វី។ នេះគឺជាប្រតិបត្តិការបញ្ច្រាសនៃការ៉េ។ ហើយការេកំពុងគុណលេខដោយខ្លួនឯង។ ដូច្នេះឫសការ៉េនៃ 4 គឺ 2 ពីព្រោះ 2 * 2 = 4 ។ ឫសការ៉េនៃ 9 គឺ 3 ចាប់តាំងពី 3 * 3 = 9 ។ ឫសការ៉េនៃមួយក៏ប្រែទៅជាមួយ ហើយឫសការ៉េនៃសូន្យគឺសូន្យ។ ប៉ុន្តែតើយើងយកឫសការ៉េនៃដកមួយដោយរបៀបណា? តើលេខមួយណាត្រូវគុណដោយខ្លួនវាដើម្បីទទួលបាន -1? ប៉ុន្តែមិនមានលេខបែបនេះទេ! ប្រសិនបើយើងគុណ -1 ដោយខ្លួនវា នោះទីបំផុតយើងនឹងទទួលបាន 1។ ប្រសិនបើយើងគុណនឹង 1 យើងនឹងទទួលបាន 1។ ប៉ុន្តែយើងនឹងមិនទទួលបានដក -1 តាមវិធីនេះទេ។ ប៉ុន្តែទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ យើងអាចជួបប្រទះនឹងស្ថានភាពដែលមានចំនួនអវិជ្ជមាននៅក្រោមឫស។ អ្វី​ដែល​ត្រូវធ្វើ? អ្នកអាចនិយាយបានថា គ្មានដំណោះស្រាយទេ។ វាដូចជាការបែងចែកដោយសូន្យ។ រហូតមកដល់ពេលខ្លះ យើងទាំងអស់គ្នាជឿថា វាមិនអាចបែងចែកដោយសូន្យបានទេ។ ប៉ុន្តែបន្ទាប់មកយើងបានរៀនអំពីអរូបីដូចជា ភាពគ្មានទីបញ្ចប់ហើយវាបានប្រែក្លាយថាការបែងចែកដោយសូន្យនៅតែអាចធ្វើទៅបាន។ ជាងនេះទៅទៀត អរូបីដូចជាការបែងចែកដោយសូន្យ ឬភាពមិនប្រាកដប្រជាដែលទទួលបានដោយការបែងចែកសូន្យដោយសូន្យ ឬភាពគ្មានកំណត់ដោយភាពគ្មានកំណត់ ក៏ដូចជាប្រតិបត្តិការស្រដៀងគ្នាផ្សេងទៀតត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងគណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាង () និង គណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាង- នេះគឺជាមូលដ្ឋាននៃមនុស្សជាច្រើន វិទ្យាសាស្ត្រពិតប្រាកដដែលឆ្ពោះទៅមុខវឌ្ឍនភាពបច្ចេកទេស ដូច្នេះប្រហែលជានៅក្នុងអង្គភាពស្រមើលស្រមៃមានប្រភេទខ្លះ អត្ថន័យសម្ងាត់? បរិភោគ។ ហើយអ្នកនឹងយល់វាដោយការអានមេរៀនបន្ថែមរបស់ខ្ញុំអំពីចំនួនកុំផ្លិច។ ក្នុងពេលនេះ ខ្ញុំនឹងនិយាយអំពីផ្នែកមួយចំនួនដែលលេខកុំផ្លិច (លេខដែលមានឯកតាស្រមើលស្រមៃ) ត្រូវបានប្រើ។

ដូច្នេះហើយ នេះគឺជាបញ្ជីនៃតំបន់ដែលចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានប្រើប្រាស់៖

វិស្វករ​អគ្គិសនី។ ការគណនានៃសៀគ្វីចរន្តឆ្លាស់។ការ​ប្រើ​លេខ​កុំផ្លិច​នៅ​ក្នុង​ករណី​នេះ​ជួយ​សម្រួល​ដល់​ការ​គណនា​យ៉ាង​ខ្លាំង​ដោយ​គ្មាន​ពួកវា សមីការ​ឌីផេរ៉ង់ស្យែល និង​អាំងតេក្រាល​នឹង​ត្រូវ​ប្រើ។

មេកានិចកង់ទិច។ក្នុងរយៈពេលខ្លី មេកានិចកង់ទិចមានរឿងដូចជា មុខងាររលកដែលខ្លួនវាមានតម្លៃស្មុគ្រស្មាញ ហើយការ៉េ (ចំនួនពិតរួចហើយ) គឺស្មើនឹងដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេនៃការស្វែងរកភាគល្អិតនៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ សូមមើលវគ្គមេរៀនផងដែរ។

ដំណើរការសញ្ញាឌីជីថល។ទ្រឹស្ដី ដំណើរការឌីជីថលសញ្ញារួមមានគំនិតដូចជាការផ្លាស់ប្តូរ z ដែលជួយសម្រួលយ៉ាងខ្លាំងដល់ការគណនាផ្សេងៗដែលទាក់ទងនឹងការគណនាលក្ខណៈនៃសញ្ញាផ្សេងៗ ដូចជាលក្ខណៈប្រេកង់ និងទំហំជាដើម។

ការពិពណ៌នាអំពីដំណើរការនៃលំហូរយន្តហោះនៃសារធាតុរាវ។

លំហូររាវជុំវិញទម្រង់។

ចលនារលកនៃរាវ។

ហើយនេះគឺនៅឆ្ងាយពីបញ្ជីពេញលេញនៃកន្លែងដែលលេខស្មុគស្មាញត្រូវបានប្រើ។ នេះបញ្ចប់អ្នកស្គាល់គ្នាដំបូងជាមួយនឹងលេខស្មុគស្មាញ រហូតដល់យើងជួបគ្នាម្តងទៀត។

លេខស្មុគស្មាញ ឬស្រមើលស្រមៃបានបង្ហាញខ្លួនជាលើកដំបូងនៅក្នុងការងារដ៏ល្បីល្បាញរបស់ Cardano គឺ The Great Art ឬ ក្បួនពិជគណិត» ១៥៤៥។ តាមគំនិតរបស់អ្នកនិពន្ធ លេខទាំងនេះមិនស័ក្តិសមសម្រាប់ការប្រើប្រាស់ទេ។ ទោះ​ជា​យ៉ាង​ណា ការ​លើក​ឡើង​នេះ​ត្រូវ​បាន​បដិសេធ​ក្រោយ​មក។ ជាពិសេស Bombelli នៅឆ្នាំ 1572 នៅពេលសម្រេចចិត្ត សមីការគូបយុត្តិកម្មនៃការប្រើប្រាស់លេខស្រមើលស្រមៃ។ គាត់បានចងក្រងច្បាប់ជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ប្រតិបត្តិការជាមួយនឹងចំនួនកុំផ្លិច។

ប៉ុន្តែ​នៅតែ សម្រាប់រយៈពេលដ៏យូរមួយ។វ ពិភពគណិតវិទ្យាមិនមានគំនិតទូទៅអំពីខ្លឹមសារនៃចំនួនកុំផ្លិចនោះទេ។

និមិត្តសញ្ញាសម្រាប់លេខស្រមើលស្រមៃត្រូវបានស្នើឡើងជាលើកដំបូង គណិតវិទូឆ្នើមអយល័រ។ និមិត្តសញ្ញាដែលបានស្នើឡើងមើលទៅដូច តាមវិធីខាងក្រោម: i = sqr -1 ដែលខ្ញុំជា imaginarius ដែលមានន័យថា ប្រឌិត។ គុណសម្បត្តិរបស់អយល័រក៏រួមបញ្ចូលផងដែរនូវគំនិតនៃការបិទពិជគណិតនៃវាលនៃចំនួនកុំផ្លិច។

ដូច្នេះ តម្រូវការសម្រាប់លេខនៃប្រភេទថ្មីកើតឡើងនៅពេលដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងសម្រាប់ករណី D< 0 (где D - дискриминант квадратного уравнения). В настоящее время комплексные числа нашли широкое применение в физике и технике, гидро- и аэродинамике, теории упругости и т.п.

តំណាងក្រាហ្វិកនៃចំនួនកុំផ្លិចមានទម្រង់៖ a + bi ដែល a និង b ជាចំនួនពិត ហើយ i គឺជាឯកតាស្រមើលស្រមៃ ឧ។ i 2 = -1 ។ លេខ a ត្រូវបានគេហៅថា abscissa ហើយ b គឺជាលំដាប់នៃចំនួនកុំផ្លិច a + bi ។ ចំនួនកុំផ្លិចពីរ a + bi និង a - bi ត្រូវបានគេហៅថា conjugate complex number ។

មានច្បាប់មួយចំនួនដែលទាក់ទងនឹងចំនួនកុំផ្លិច៖

• ជាដំបូង ចំនួនពិតហើយអាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់នៃចំនួនកុំផ្លិច៖ a+ 0 i ឬ a - 0 i ។ ឧទាហរណ៍ 5 + 0 i និង 5 - 0 ខ្ញុំមានន័យថាលេខដូចគ្នា 5 ។
• ទីពីរ លេខស្មុគស្មាញ 0+ bi ត្រូវបានគេហៅថាជាលេខស្រមើលស្រមៃសុទ្ធសាធ។ សញ្ញាណ bi មានន័យដូចគ្នានឹង 0+ bi ។
• ទីបី ចំនួនកុំផ្លិចពីរ a + bi និង c + di ត្រូវបានចាត់ទុកថាស្មើគ្នា ប្រសិនបើ a = c និង b = d ។ បើមិនដូច្នោះទេចំនួនកុំផ្លិចមិនស្មើគ្នា។

ប្រតិបត្តិការជាមូលដ្ឋានលើចំនួនកុំផ្លិចរួមមាន:

នៅក្នុងការតំណាងធរណីមាត្រ ចំនួនកុំផ្លិច មិនដូចលេខពិត ដែលត្រូវបានតំណាងនៅលើបន្ទាត់លេខដោយចំនុច ត្រូវបានសម្គាល់ដោយចំណុចនៅលើយន្តហោះកូអរដោនេ។ ចំពោះបញ្ហានេះយើងយកកូអរដោនេចតុកោណកែង (Cartesian) ដែលមានមាត្រដ្ឋានដូចគ្នានៅលើអ័ក្ស។ ក្នុងករណីនេះ ចំនួនកុំផ្លិច a + bi នឹងត្រូវបានតំណាងដោយចំនុច P ជាមួយ abscissa a និង ordinate b ។ ប្រព័ន្ធកូអរដោនេនេះត្រូវបានគេហៅថា យន្តហោះស្មុគស្មាញ.

ម៉ូឌុលចំនួនកុំផ្លិច គឺជាប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ OP ដែលតំណាងឱ្យចំនួនកុំផ្លិចនៃប្លង់ស្មុគស្មាញ។ ម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិច a + bi ត្រូវបានសរសេរជា |a + bi| ឬអក្សរ r និងស្មើនឹង៖ r = |a + ib| = sqr a 2 + b 2 ។

Conjugate លេខស្មុគស្មាញមានម៉ូឌុលដូចគ្នា។