វគ្គវីដេអូ "ទទួលបាននិទ្ទេស A" រួមបញ្ចូលប្រធានបទទាំងអស់ដែលចាំបាច់សម្រាប់ជោគជ័យ ឆ្លងកាត់ការប្រឡងរដ្ឋឯកភាពនៅក្នុងគណិតវិទ្យាសម្រាប់ 60-65 ពិន្ទុ។ បញ្ចប់បញ្ហាទាំងអស់ 1-13 ទម្រង់ការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួមគណិតវិទ្យា។ ក៏សមរម្យសម្រាប់ការឆ្លងកាត់ការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួមមូលដ្ឋានក្នុងគណិតវិទ្យា។ ប្រសិនបើអ្នកចង់ប្រលងជាប់ Unified State Exam ជាមួយនឹងពិន្ទុ 90-100 អ្នកត្រូវដោះស្រាយផ្នែកទី 1 ក្នុងរយៈពេល 30 នាទី និងដោយគ្មានកំហុស!
វគ្គត្រៀមប្រលងបាក់ឌុប សម្រាប់ថ្នាក់ទី១០-១១ ក៏ដូចជាគ្រូផងដែរ។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលអ្នកត្រូវការដើម្បីដោះស្រាយផ្នែកទី 1 នៃការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួមក្នុងគណិតវិទ្យា (បញ្ហា 12 ដំបូង) និងបញ្ហាទី 13 (ត្រីកោណមាត្រ) ។ ហើយនេះគឺច្រើនជាង 70 ពិន្ទុនៅលើការប្រឡង Unified State ហើយទាំងសិស្ស 100 ពិន្ទុ ឬនិស្សិតផ្នែកមនុស្សសាស្ត្រមិនអាចធ្វើដោយគ្មានពួកគេ។
ទាំងអស់។ ទ្រឹស្តីចាំបាច់. វិធីរហ័សដំណោះស្រាយ គ្រោះថ្នាក់ និងអាថ៌កំបាំងនៃការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម។ កិច្ចការបច្ចុប្បន្នទាំងអស់នៃផ្នែកទី 1 ពីធនាគារកិច្ចការ FIPI ត្រូវបានវិភាគ។ វគ្គសិក្សានេះអនុលោមតាមលក្ខខណ្ឌតម្រូវនៃការប្រឡងបង្រួបបង្រួមរដ្ឋឆ្នាំ 2018 ។
វគ្គសិក្សាមាន 5 ប្រធានបទធំ, 2.5 ម៉ោងនីមួយៗ។ ប្រធានបទនីមួយៗត្រូវបានផ្តល់ឱ្យពីទទេ សាមញ្ញ និងច្បាស់លាស់។
ភារកិច្ចប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួមរាប់រយ។ បញ្ហាពាក្យនិងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។ ក្បួនដោះស្រាយសាមញ្ញ និងងាយស្រួលក្នុងការចងចាំសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហា។ ធរណីមាត្រ។ ទ្រឹស្តី, ឯកសារយោង, ការវិភាគនៃគ្រប់ប្រភេទនៃភារកិច្ចប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម។ ស្តេរ៉េអូមេទ្រី។ ដំណោះស្រាយល្បិច, សន្លឹកបន្លំមានប្រយោជន៍, ការអភិវឌ្ឍន៍ ការស្រមើលស្រមៃ spatial. ត្រីកោណមាត្រពីដើមដល់បញ្ហា 13. ការយល់ដឹងជំនួសឱ្យការចង្អៀត។ ការពន្យល់ដែលមើលឃើញ គំនិតស្មុគស្មាញ. ពិជគណិត។ ឫស អំណាច និងលោការីត មុខងារ និងដេរីវេ។ មូលដ្ឋានសម្រាប់ដំណោះស្រាយ កិច្ចការស្មុគស្មាញ 2 ផ្នែកនៃការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម។
នៅពេលសម្រេចចិត្ត បញ្ហាធរណីមាត្រនៅក្នុងលំហជាញឹកញាប់មានវត្ថុដែលចាំបាច់ក្នុងការគណនាមុំរវាងវត្ថុលំហផ្សេងៗ។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងពិចារណាបញ្ហានៃការស្វែងរកមុំរវាងយន្តហោះ និងរវាងពួកវា និងបន្ទាត់ត្រង់មួយ។
បន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងលំហ
វាត្រូវបានគេដឹងថាបន្ទាត់ត្រង់ណាមួយនៅក្នុងយន្តហោះអាចត្រូវបានកំណត់ដោយសមភាពដូចខាងក្រោម:
ខាងក្រោមនេះ a និង b គឺជាលេខមួយចំនួន។ ប្រសិនបើយើងស្រមៃមើលបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងលំហដោយប្រើកន្សោមដូចគ្នា យើងនឹងទទួលបានប្លង់ស្របទៅនឹងអ័ក្ស z ។ សម្រាប់ និយមន័យគណិតវិទ្យាបន្ទាត់ត្រង់ spatial វិធីសាស្រ្តផ្សេងគ្នានៃដំណោះស្រាយត្រូវបានប្រើជាងនៅក្នុងករណីពីរវិមាត្រ។ វាមាននៅក្នុងការប្រើប្រាស់គំនិតនៃ "វ៉ិចទ័រទិសដៅ" ។
ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហាលើការកំណត់មុំប្រសព្វនៃយន្តហោះ
ដោយដឹងពីរបៀបរកមុំរវាងយន្តហោះ យើងនឹងដោះស្រាយបញ្ហាខាងក្រោម។ ដែលបានផ្តល់ឱ្យយន្តហោះពីរ, សមីការដែលមានទម្រង់:
3 * x + 4 * y − z + 3 = 0;
X − 2 * y + 5 * z +1 = 0
តើមុំរវាងយន្តហោះគឺជាអ្វី?
ដើម្បីឆ្លើយសំណួរនៃបញ្ហា សូមចាំថាមេគុណដែលភ្ជាប់ជាមួយអថេរក្នុងសមីការយន្តហោះទូទៅគឺជាកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រណែនាំ។ សម្រាប់យន្តហោះទាំងនេះយើងមានកូអរដោនេដូចខាងក្រោមនៃធម្មតារបស់វា៖
n 1 ¯(3; 4; -1);
n 2 ¯(-1; -2; 5)
ឥឡូវនេះយើងរកឃើញផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះ និងម៉ូឌុលរបស់វា យើងមាន៖
(n 1 ¯ * n 2 ¯) = -3 -8 -5 = -16;
|n 1 ¯| = √(9 + 16 + 1) = √26;
|n 2 ¯| = √(1 + 4 + 25) = √30
ឥឡូវអ្នកអាចជំនួសលេខដែលបានរកឃើញទៅក្នុងលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ កថាខណ្ឌមុន។រូបមន្ត។ យើងទទួលបាន:
α = arccos(|-16 | / (√26 * √30) ≈ 55.05 o
តម្លៃលទ្ធផលត្រូវគ្នាទៅនឹងមុំស្រួចនៃចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះដែលបានបញ្ជាក់នៅក្នុងសេចក្តីថ្លែងការណ៍បញ្ហា។
ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយទៀត។ យន្តហោះពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖
តើពួកគេប្រសព្វគ្នាទេ? ចូរយើងសរសេរតម្លៃនៃកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រទិសដៅរបស់ពួកគេ ហើយគណនា ផលិតផលមាត្រដ្ឋានពួកវានិងម៉ូឌុល៖
n 1 ¯(1; 1; 0);
n 2 ¯(3; 3; 0);
(n 1 ¯ * n 2 ¯) = 3 + 3 + 0 = 6;
|n 1 ¯| = √2;
|n 2 ¯| = √១៨
បន្ទាប់មកមុំប្រសព្វគឺ៖
α = arccos(|6| / (√2 * √18) = 0 o ។
មុំនេះបង្ហាញថាយន្តហោះមិនប្រសព្វគ្នាទេ ប៉ុន្តែស្របគ្នា។ ការពិតដែលថាពួកគេមិនស្របគ្នាគឺងាយស្រួលក្នុងការត្រួតពិនិត្យ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយកចំណុចបំពានដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ទីមួយនៃពួកគេឧទាហរណ៍ P(0; 3; 2) ។ ការជំនួសកូអរដោនេរបស់វាទៅក្នុងសមីការទីពីរ យើងទទួលបាន៖
3 * 0 +3 * 3 + 8 = 17 ≠ 0
នោះគឺចំណុច P ជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះដំបូងប៉ុណ្ណោះ។
ដូច្នេះ យន្តហោះពីរគឺស្របគ្នាពេលធម្មតារបស់វាដូច្នេះ។
រាបស្មើនិងត្រង់
ក្នុងករណីពិចារណា ទីតាំងដែលទាក់ទងមានជម្រើសច្រើនជាងបន្តិចរវាងយន្តហោះ និងបន្ទាត់ត្រង់ជាងយន្តហោះពីរ។ ការពិតនេះគឺដោយសារតែការពិតដែលថាបន្ទាត់ត្រង់គឺជាវត្ថុមួយវិមាត្រ។ បន្ទាត់ត្រង់ និងយន្តហោះអាចជា៖
- ស្របគ្នាទៅវិញទៅមក ក្នុងករណីនេះ យន្តហោះមិនប្រសព្វបន្ទាត់ទេ។
- ក្រោយមកទៀតអាចជារបស់យន្តហោះ ខណៈពេលដែលវាក៏នឹងស្របទៅនឹងវាដែរ។
- វត្ថុទាំងពីរអាចប្រសព្វគ្នានៅមុំណាមួយ។
ចូរយើងពិចារណាជាមុនសិន ករណីចុងក្រោយចាប់តាំងពីវាទាមទារឱ្យមានការណែនាំអំពីគោលគំនិតនៃមុំប្រសព្វ។
បន្ទាត់ត្រង់និងយន្តហោះតម្លៃនៃមុំរវាងពួកគេ។
ប្រសិនបើយន្តហោះកាត់បន្ទាត់ត្រង់ នោះវាត្រូវបានហៅថាទំនោរទៅនឹងវា។ ចំនុចប្រសព្វជាធម្មតាត្រូវបានគេហៅថាមូលដ្ឋាននៃបន្ទាត់ inclined ។ ដើម្បីកំណត់មុំរវាងវត្ថុធរណីមាត្រទាំងនេះ វាចាំបាច់ត្រូវកាត់កាត់កែងត្រង់ពីចំណុចណាមួយទៅលើយន្តហោះ។ បន្ទាប់មកចំនុចប្រសព្វនៃកាត់កែងជាមួយយន្តហោះ និងចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ទំនោរជាមួយវាបង្កើតជាបន្ទាត់ត្រង់។ ក្រោយមកទៀតត្រូវបានគេហៅថាការព្យាករនៃបន្ទាត់ដើមនៅលើយន្តហោះដែលកំពុងពិចារណា។ Sharp និងការព្យាកររបស់វាគឺជាការចង់បាន។
និយមន័យដែលច្រឡំបន្តិចនៃមុំរវាងយន្តហោះ និងទំនោរមួយនឹងត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយរូបភាពខាងក្រោម។
មុំ ABO គឺជាមុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់ AB និងប្លង់ a ។
ដើម្បីសរសេររូបមន្តសម្រាប់វា សូមពិចារណាឧទាហរណ៍មួយ។ សូមឱ្យមានបន្ទាត់ត្រង់មួយ និងប្លង់មួយ ដែលត្រូវបានពិពណ៌នាដោយសមីការ៖
(x; y; z) = (x 0; y 0; z 0) + λ * (a; b; c);
A * x + B * x + C * x + D = 0
អ្នកអាចគណនាមុំដែលចង់បានសម្រាប់វត្ថុទាំងនេះយ៉ាងងាយស្រួល ប្រសិនបើអ្នករកឃើញផលិតផលមាត្រដ្ឋានរវាងវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ និងប្លង់។ បានទទួល ជ្រុងមុតស្រួចគួរតែត្រូវបានដកពី 90 o បន្ទាប់មកវាត្រូវបានទទួលរវាងបន្ទាត់ត្រង់និងយន្តហោះ។
តួលេខខាងលើបង្ហាញពីក្បួនដោះស្រាយដែលបានពិពណ៌នាសម្រាប់ការស្វែងរកមុំនៅក្នុងសំណួរ។ នៅទីនេះ β គឺជាមុំរវាងបន្ទាត់ធម្មតា និងបន្ទាត់ ហើយ α គឺនៅចន្លោះបន្ទាត់ និងការព្យាកររបស់វាទៅលើយន្តហោះ។ វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាផលបូករបស់ពួកគេគឺ 90 o ។
ខាងលើត្រូវបានបង្ហាញរូបមន្តដែលឆ្លើយសំណួរអំពីរបៀបស្វែងរកមុំរវាងយន្តហោះ។ ឥឡូវនេះយើងផ្តល់កន្សោមដែលត្រូវគ្នាសម្រាប់ករណីនៃបន្ទាត់ត្រង់និងយន្តហោះ:
α = arcsin(|a * A + b * B + c * C| / (√(a 2 + b 2 + c 2) * √(A 2 + B 2 + C 2)))
ម៉ូឌុលនៅក្នុងរូបមន្តអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាតែមុំស្រួចប៉ុណ្ណោះ។ មុខងារ arcsine បានបង្ហាញខ្លួនជំនួសឱ្យ arccosine ដោយសារការប្រើប្រាស់រូបមន្តកាត់បន្ថយដែលត្រូវគ្នារវាងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ (cos(β) = sin(90 o-β) = sin(α)) ។
បញ្ហា៖ យន្តហោះកាត់ខ្សែបន្ទាត់
ឥឡូវនេះយើងនឹងបង្ហាញពីរបៀបធ្វើការជាមួយរូបមន្តដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ចូរដោះស្រាយបញ្ហា៖ យើងត្រូវគណនាមុំរវាងអ័ក្ស y និងប្លង់។ ផ្តល់ដោយសមីការ:
យន្តហោះនេះត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូប។
វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាវាប្រសព្វអ័ក្ស y និង z នៅចំណុច (0; -12; 0) និង (0; 0; 12) រៀងគ្នា ហើយស្របទៅនឹងអ័ក្ស x ។
វ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ y មានកូអរដោនេ (0; 1; 0) ។ វ៉ិចទ័រកាត់កែង យន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ, កំណត់លក្ខណៈដោយកូអរដោនេ (0; 1; -1) ។ យើងអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់មុំប្រសព្វនៃបន្ទាត់ត្រង់ និងប្លង់មួយ យើងទទួលបាន៖
α = arcsin(|1| / (√1 * √2)) = arcsin(1 / √2) = 45 o
បញ្ហា៖ បន្ទាត់ស្របទៅនឹងយន្តហោះ
ឥឡូវនេះសូមដោះស្រាយស្រដៀងគ្នា កិច្ចការមុន។សំណួររបស់ពួកគេត្រូវបានដាក់ខុសគ្នា។ សមីការនៃយន្តហោះ និងបន្ទាត់មួយត្រូវបានគេស្គាល់ថា:
x + y − z − 3 = 0;
(x; y; z) = (1; 0; 0) + λ * (0; 2; 2)
វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងយល់ថាតើវត្ថុធរណីមាត្រទាំងនេះមានឬអត់ ស្របគ្នា។ទៅមិត្តម្នាក់។
យើងមានវ៉ិចទ័រពីរ៖ បន្ទាត់ដឹកនាំគឺស្មើនឹង (0; 2; 2) ហើយយន្តហោះដឹកនាំគឺស្មើនឹង (1; 1; -1) ។ យើងរកឃើញផលិតផលមាត្រដ្ឋានរបស់ពួកគេ៖
0 * 1 + 1 * 2 - 1 * 2 = 0
លទ្ធផលសូន្យបង្ហាញថាមុំរវាងវ៉ិចទ័រទាំងនេះគឺ 90 o ដែលបង្ហាញពីភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ត្រង់និងប្លង់។
ឥឡូវសូមពិនិត្យមើលថាតើខ្សែនេះស្របគ្នាឬក៏ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះដែរ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះជ្រើសរើសចំណុចបំពាននៅលើបន្ទាត់មួយហើយពិនិត្យមើលថាតើវាជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះដែរឬទេ។ ឧទាហរណ៍ ចូរយើងយក λ = 0 បន្ទាប់មកចំនុច P(1; 0; 0) ជារបស់បន្ទាត់។ យើងជំនួសយន្តហោះ P ទៅក្នុងសមីការ៖
ចំនុច P មិនមែនជារបស់យន្តហោះទេ ដូច្នេះហើយខ្សែទាំងមូលមិនស្ថិតនៅក្នុងវាទេ។
តើវាមានសារៈសំខាន់នៅឯណាដើម្បីដឹងពីមុំរវាងវត្ថុធរណីមាត្រដែលបានពិចារណា?
រូបមន្តខាងលើ និងឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហាមិនត្រឹមតែមានចំណាប់អារម្មណ៍ខាងទ្រឹស្តីប៉ុណ្ណោះទេ។ ពួកវាត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ដើម្បីកំណត់សារៈសំខាន់ បរិមាណរាងកាយពិត តួលេខបរិមាណដូចជា ព្រីស ឬពីរ៉ាមីត។ វាមានសារៈសំខាន់ណាស់ដើម្បីអាចកំណត់មុំរវាងយន្តហោះនៅពេលគណនាបរិមាណនៃតួលេខ និងតំបន់នៃផ្ទៃរបស់វា។ ជាងនេះទៅទៀត ប្រសិនបើក្នុងករណីនៃ prism ត្រង់ វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការប្រើរូបមន្តទាំងនេះដើម្បីកំណត់បរិមាណដែលបានចង្អុលបង្ហាញ នោះសម្រាប់ប្រភេទណាមួយនៃពីរ៉ាមីតការប្រើប្រាស់របស់ពួកគេប្រែទៅជាជៀសមិនរួច។
ខាងក្រោមនេះយើងនឹងពិចារណាឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់ទ្រឹស្តីដែលបានចែងដើម្បីកំណត់ជ្រុងនៃពីរ៉ាមីតដែលមានមូលដ្ឋានការ៉េ។
ពីរ៉ាមីត និងជ្រុងរបស់វា។
រូបខាងក្រោមបង្ហាញពីរ៉ាមីតមួយ នៅមូលដ្ឋានដែលមានរាងការ៉េដែលមានចំហៀង a. កម្ពស់នៃតួលេខគឺ h ។ អ្នកត្រូវរកមុំពីរ៖
- រវាងផ្ទៃចំហៀងនិងមូលដ្ឋាន;
- រវាងឆ្អឹងជំនីរចំហៀងនិងមូលដ្ឋាន។
ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហា ដំបូងអ្នកត្រូវតែណែនាំប្រព័ន្ធកូអរដោនេ និងកំណត់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃចំនុចដែលត្រូវគ្នា។ តួរលេខបង្ហាញថាប្រភពដើមស្របគ្នានឹងចំនុចនៅកណ្តាល មូលដ្ឋានការ៉េ. ក្នុងករណីនេះ ប្លង់គោលត្រូវបានពិពណ៌នាដោយសមីការ៖
នោះគឺសម្រាប់ x និង y តម្លៃនៃកូអរដោនេទីបីគឺតែងតែសូន្យ។ យន្តហោះក្រោយ ABC កាត់អ័ក្ស z នៅចំណុច B(0; 0; h) ហើយអ័ក្ស y នៅចំណុចដែលមានកូអរដោណេ (0; a/2; 0)។ វាមិនប្រសព្វអ័ក្ស x ទេ។ នេះមានន័យថាសមីការនៃយន្តហោះ ABC អាចសរសេរជា៖
y/(a/2) + z/h = 1 ឬ
2 * h * y + a * z − a * h = 0
វ៉ិចទ័រ AB¯ គឺជាគែមចំហៀង។ កូអរដោនេនៃការចាប់ផ្តើមនិងចុងបញ្ចប់របស់វាស្មើគ្នា៖ A(a/2; a/2; 0) និង B(0; 0; h) ។ បន្ទាប់មកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រខ្លួនឯង៖
យើងបានរកឃើញសមីការ និងវ៉ិចទ័រចាំបាច់ទាំងអស់។ ឥឡូវនេះវានៅសល់ដើម្បីប្រើរូបមន្តដែលបានពិចារណា។
ទីមួយ ចូរយើងគណនាមុំនៅក្នុងពីរ៉ាមីតរវាងយន្តហោះនៃមូលដ្ឋាន និងចំហៀង។ វ៉ិចទ័រធម្មតាដែលត្រូវគ្នាគឺស្មើ៖ n 1 ¯(0; 0; 1) និង n 2 ¯(0; 2*h; a)។ បន្ទាប់មកមុំនឹងមានៈ
α = arccos(a / √(4 * h 2 + a 2))
មុំរវាងប្លង់ និងគែម AB នឹងស្មើនឹង៖
β = arcsin(h / √(a 2/2 + h 2))
អ្វីដែលនៅសល់គឺត្រូវជំនួស តម្លៃជាក់លាក់ជ្រុងនៃមូលដ្ឋាន a និងកម្ពស់ h ដើម្បីទទួលបានមុំដែលត្រូវការ។
អត្ថបទនេះគឺអំពីមុំរវាងយន្តហោះ និងរបៀបស្វែងរកវា។ ទីមួយ និយមន័យនៃមុំរវាងយន្តហោះពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហើយគំនូរក្រាហ្វិកត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ បន្ទាប់ពីនេះ គោលការណ៍នៃការស្វែងរកមុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វគ្នាពីរដោយប្រើវិធីសាស្ត្រកូអរដោណេត្រូវបានវិភាគ ហើយរូបមន្តមួយត្រូវបានទទួលដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាមុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វគ្នាដោយប្រើកូអរដោនេដែលគេស្គាល់នៃវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះទាំងនេះ។ នៅក្នុងការសន្និដ្ឋានវាត្រូវបានបង្ហាញ ដំណោះស្រាយលម្អិតភារកិច្ចលក្ខណៈ។
ការរុករកទំព័រ។
មុំរវាងយន្តហោះ - និយមន័យ។
ចូរយើងបង្ហាញអំណះអំណាងដែលនឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងចូលទៅជិតបន្តិចម្តងៗនូវការកំណត់មុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វគ្នាពីរ។
អនុញ្ញាតឱ្យយើងទទួលបានយន្តហោះប្រសព្វគ្នាពីរ និង . ប្លង់ទាំងនេះប្រសព្វគ្នាតាមបន្ទាត់ត្រង់មួយ ដែលយើងសម្គាល់ដោយអក្សរ គ។ ចូរបង្កើតយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុច M នៃបន្ទាត់ c ហើយកាត់កែងទៅបន្ទាត់ c ។ ក្នុងករណីនេះយន្តហោះនឹងប្រសព្វគ្នារវាងយន្តហោះនិង។ ចូរយើងសម្គាល់បន្ទាត់ត្រង់ដែលយន្តហោះប្រសព្វគ្នាជា a និងបន្ទាត់ត្រង់ដែលយន្តហោះប្រសព្វគ្នាជា ខ។ ជាក់ស្តែង បន្ទាត់ a និង b ប្រសព្វគ្នានៅចំណុច M ។
វាងាយស្រួលក្នុងការបង្ហាញថាមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វ a និង b មិនអាស្រ័យលើទីតាំងនៃចំណុច M នៅលើបន្ទាត់ c ដែលយន្តហោះឆ្លងកាត់នោះទេ។
ចូរសង់យន្តហោះកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ c និងខុសពីយន្តហោះ។ យន្តហោះត្រូវបានប្រសព្វគ្នាដោយយន្តហោះ និងតាមបណ្តោយបន្ទាត់ត្រង់ ដែលយើងសម្គាល់ថាជា 1 និង b 1 រៀងគ្នា។
តាមវិធីសាស្រ្តនៃការសាងសង់ប្លង់ វាធ្វើតាមថាបន្ទាត់ a និង b កាត់កែងទៅបន្ទាត់ c ហើយបន្ទាត់ a 1 និង b 1 គឺកាត់កែងទៅបន្ទាត់ c ។ ដោយសារបន្ទាត់ a និង 1 ស្ថិតនៅក្នុងប្លង់តែមួយ ហើយកាត់កែងទៅបន្ទាត់ c បន្ទាប់មកពួកវាស្របគ្នា។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ បន្ទាត់ b និង b 1 ស្ថិតនៅក្នុងប្លង់តែមួយ ហើយកាត់កែងទៅបន្ទាត់ c ដូច្នេះពួកវាគឺស្របគ្នា។ ដូច្នេះអ្នកអាចធ្វើបាន ការផ្ទេរប៉ារ៉ាឡែល plan to plane ដែលក្នុងនោះបន្ទាត់ត្រង់ a 1 ស្របគ្នាជាមួយបន្ទាត់ត្រង់ a និងបន្ទាត់ត្រង់ b ជាមួយបន្ទាត់ត្រង់ b 1 ។ ដូច្នេះមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វពីរ a 1 និង b 1 ស្មើនឹងមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វ a និង b ។
នេះបង្ហាញថាមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វ a និង b ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះប្រសព្វគ្នា ហើយមិនអាស្រ័យលើជម្រើសនៃចំណុច M ដែលយន្តហោះឆ្លងកាត់នោះទេ។ ដូច្នេះ វាជាឡូជីខលក្នុងការយកមុំនេះជាមុំរវាងប្លង់ប្រសព្វគ្នាពីរ។
ឥឡូវនេះអ្នកអាចបញ្ចេញនិយមន័យនៃមុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វគ្នាពីរ និង។
និយមន័យ។
មុំរវាងយន្តហោះពីរប្រសព្វគ្នាក្នុងបន្ទាត់ត្រង់មួយ និង- នេះគឺជាមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នាពីរ a និង b ដែលនៅតាមបណ្តោយយន្តហោះ ហើយប្រសព្វគ្នាជាមួយប្លង់កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ គ។
និយមន័យនៃមុំរវាងយន្តហោះពីរអាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យខុសគ្នាបន្តិចបន្តួច។ ប្រសិនបើនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ c តាមបណ្តោយដែលយន្តហោះនិងប្រសព្វគ្នា សម្គាល់ចំណុច M ហើយគូរបន្ទាត់ត្រង់ a និង b កាត់វាកាត់កែងទៅបន្ទាត់ត្រង់ c ហើយដេកក្នុងយន្តហោះ ហើយរៀងគ្នា បន្ទាប់មកមុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់ a និង b គឺជាមុំរវាងយន្តហោះ និង។ ជាធម្មតានៅក្នុងការអនុវត្តជាក់ស្តែង គ្រាន់តែសំណង់បែបនេះត្រូវបានអនុវត្តដើម្បីទទួលបានមុំរវាងយន្តហោះ។
ដោយសារមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នាមិនលើសពី វាធ្វើតាមនិយមន័យដែលបានបញ្ជាក់នោះ។ រង្វាស់ដឺក្រេមុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វគ្នាពីរត្រូវបានបង្ហាញ ចំនួនពិតពីចន្លោះពេល។ ក្នុងករណីនេះយន្តហោះប្រសព្វត្រូវបានគេហៅថា កាត់កែងប្រសិនបើមុំរវាងពួកវាគឺកៅសិបដឺក្រេ។ មុំរវាង យន្តហោះស្របគ្នា។ពួកគេមិនបានកំណត់វាទាល់តែសោះ ឬពួកគេចាត់ទុកថាវាស្មើនឹងសូន្យ។
ស្វែងរកមុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វគ្នាពីរ។
ជាធម្មតា នៅពេលស្វែងរកមុំរវាងប្លង់ប្រសព្វគ្នាដំបូង អ្នកត្រូវតែធ្វើការសាងសង់បន្ថែម ដើម្បីមើលបន្ទាត់ត្រង់ដែលប្រសព្វគ្នា មុំរវាងដែលស្មើនឹងមុំដែលចង់បាន ហើយបន្ទាប់មកភ្ជាប់មុំនេះជាមួយទិន្នន័យដើមដោយប្រើតេស្តសមភាព ភាពស្រដៀងគ្នា។ តេស្ត ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស ឬនិយមន័យនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស និងតង់សង់នៃមុំ។ នៅក្នុងវគ្គសិក្សានៃធរណីមាត្រ វិទ្យាល័យបញ្ហាស្រដៀងគ្នាកើតឡើង។
ជាឧទាហរណ៍ សូមផ្តល់ដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហា C2 ពីការប្រឡងបង្រួបបង្រួមរដ្ឋក្នុងគណិតវិទ្យាសម្រាប់ឆ្នាំ 2012 (លក្ខខណ្ឌត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរដោយចេតនា ប៉ុន្តែវាមិនប៉ះពាល់ដល់គោលការណ៍នៃដំណោះស្រាយទេ)។ នៅក្នុងវា អ្នកគ្រាន់តែត្រូវរកមុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វគ្នាពីរ។
ឧទាហរណ៍។
ដំណោះស្រាយ។
ដំបូងយើងធ្វើគំនូរ។
ចូរយើងធ្វើការសាងសង់បន្ថែមដើម្បី "មើល" មុំរវាងយន្តហោះ។
ដំបូង យើងកំណត់បន្ទាត់ត្រង់មួយ ដែលយន្តហោះ ABC និង BED 1 ប្រសព្វគ្នា។ ចំណុច B គឺជាចំណុចរួមមួយរបស់ពួកគេ។ ចូរយើងស្វែងរកចំណុចរួមទីពីរនៃយន្តហោះទាំងនេះ។ បន្ទាត់ DA និង D 1 E ស្ថិតនៅលើយន្តហោះដូចគ្នា ADD 1 ហើយពួកវាមិនស្របគ្នាទេ ដូច្នេះហើយប្រសព្វគ្នា។ ម្យ៉ាងវិញទៀត បន្ទាត់ DA ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ ABC ហើយបន្ទាត់ D 1 E - នៅក្នុងយន្តហោះ BED 1 ដូច្នេះចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ DA និង D 1 E នឹងជា ចំណុចរួម យន្តហោះ ABCនិង BED 1 ។ ដូច្នេះ ចូរយើងបន្តបន្ទាត់ DA និង D 1 E ទៅចំនុចប្រសព្វរបស់ពួកគេ ដោយសម្គាល់ចំណុចប្រសព្វរបស់ពួកគេជាមួយនឹងអក្សរ F ។ បន្ទាប់មក BF គឺជាបន្ទាត់ត្រង់ដែលយន្តហោះ ABC និង BED 1 ប្រសព្វគ្នា។
វានៅសល់ដើម្បីសាងសង់បន្ទាត់ពីរដែលស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ ABC និង BED 1 រៀងគ្នាឆ្លងកាត់ចំណុចមួយនៅលើបន្ទាត់ BF និងកាត់កែងទៅបន្ទាត់ BF - មុំរវាងបន្ទាត់ទាំងនេះតាមនិយមន័យនឹងស្មើនឹងមុំដែលចង់បានរវាង យន្តហោះ ABC និង BED 1 ។ តោះធ្វើវា។
ចំណុច A គឺជាការព្យាករនៃចំណុច E ទៅលើយន្តហោះ ABC ។ តោះគូរបន្ទាត់ត្រង់ប្រសព្វ BF នៅមុំខាងស្តាំត្រង់ចំនុច M ។ បន្ទាប់មក បន្ទាត់ត្រង់ AM គឺជាការព្យាករនៃបន្ទាត់ត្រង់ EM ទៅលើយន្តហោះ ABC ហើយតាមទ្រឹស្តីបទនៃកាត់កែងបី។
ដូច្នេះមុំដែលត្រូវការរវាងយន្តហោះ ABC និង BED 1 គឺស្មើនឹង .
យើងអាចកំណត់ស៊ីនុស កូស៊ីនុស ឬតង់សង់នៃមុំនេះ (ហើយដូច្នេះមុំខ្លួនវា) ពី ត្រីកោណកែង AEM ប្រសិនបើយើងដឹងពីប្រវែងនៃភាគីទាំងពីររបស់វា។ តាមលក្ខខណ្ឌវាងាយស្រួលក្នុងការស្វែងរកប្រវែង AE: ចាប់តាំងពីចំនុច E បែងចែកចំហៀង AA 1 ក្នុងសមាមាត្រនៃ 4 ទៅ 3 ដោយរាប់ពីចំណុច A ហើយប្រវែងនៃចំហៀង AA 1 គឺ 7 បន្ទាប់មក AE = 4 ។ ចូររកប្រវែង AM ។
ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ សូមពិចារណាត្រីកោណកែង ABF ដែលមានមុំខាងស្តាំ A ដែល AM ជាកម្ពស់។ តាមលក្ខខណ្ឌ AB = 2 ។ យើងអាចរកឃើញប្រវែងនៃចំហៀង AF ពីភាពស្រដៀងគ្នានៃត្រីកោណកែង DD 1 F និង AEF៖ 
ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ យើងរកឃើញពីត្រីកោណ ABF ។ យើងរកឃើញប្រវែង AM តាមតំបន់ត្រីកោណ ABF ៖ នៅម្ខាងផ្ទៃត្រីកោណ ABF គឺស្មើ 
, នៅម្ខាងទៀត 
កន្លែងណា 
.
ដូច្នេះពីត្រីកោណខាងស្តាំ AEM យើងមាន 
.
បន្ទាប់មកមុំដែលត្រូវការរវាងយន្តហោះ ABC និង BED 1 គឺស្មើគ្នា (ចំណាំថា 
).
ចម្លើយ៖
ក្នុងករណីខ្លះ ដើម្បីស្វែងរកមុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វគ្នាពីរ វាងាយស្រួលក្នុងការកំណត់ Oxyz ហើយប្រើវិធីសាស្ត្រកូអរដោនេ។ តោះឈប់នៅទីនោះ។
ចូរយើងកំណត់ភារកិច្ច៖ រកមុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វគ្នាពីរ និង . ចូរយើងកំណត់មុំដែលចង់បានជា .
យើងនឹងសន្មត់ថានៅក្នុងប្រព័ន្ធសំរបសំរួលរាងចតុកោណ Oxyz យើងដឹងពីកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះប្រសព្វគ្នា ហើយឬមានឱកាសស្វែងរកពួកវា។ អនុញ្ញាតឱ្យ 
គឺជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះ និង 
គឺជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះ។ យើងនឹងបង្ហាញពីរបៀបស្វែងរកមុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វគ្នា និងតាមរយៈកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះទាំងនេះ។
ចូរយើងបង្ហាញពីបន្ទាត់ត្រង់ដែលប្លង់និងប្រសព្វជា គ។ តាមរយៈចំណុច M នៅលើបន្ទាត់ c យើងគូរប្លង់កាត់កែងទៅបន្ទាត់ c ។ យន្តហោះប្រសព្វគ្នារវាងយន្តហោះ និងតាមបណ្តោយបន្ទាត់ a និង b រៀងគ្នា បន្ទាត់ a និង b ប្រសព្វគ្នានៅចំណុច M ។ តាមនិយមន័យ មុំរវាងប្លង់ប្រសព្វ និងស្មើនឹងមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វ a និង ខ។
ចូរយើងគូររូបវ៉ិចទ័រ និងប្លង់ធម្មតា និងពីចំណុច M ក្នុងយន្តហោះ។ ក្នុងករណីនេះ វ៉ិចទ័រស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដែលកាត់កែងទៅបន្ទាត់ a ហើយវ៉ិចទ័រស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដែលកាត់កែងទៅបន្ទាត់ b ។ ដូច្នេះក្នុងប្លង់វ៉ិចទ័រគឺជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់ a គឺជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់ ខ។
នៅក្នុងអត្ថបទស្វែងរកមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នា យើងបានទទួលរូបមន្តដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងគណនាកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វដោយប្រើកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតា។ ដូច្នេះកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងបន្ទាត់ a និង b ហើយជាលទ្ធផល។ កូស៊ីនុសនៃមុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វហើយត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត កន្លែងណា និង គឺជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះ និងរៀងៗខ្លួន។ បន្ទាប់មកវាត្រូវបានគណនាជា 
.
ចូរដោះស្រាយឧទាហរណ៍មុនដោយប្រើវិធីសាស្ត្រកូអរដោណេ។
ឧទាហរណ៍។
ដែលបានផ្តល់ឱ្យចតុកោណ parallelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ដែលក្នុងនោះ AB = 2, AD = 3, AA 1 = 7 និងចំណុច E បែងចែកចំហៀង AA 1 ក្នុងសមាមាត្រនៃ 4 ទៅ 3 ដោយរាប់ពីចំណុច A ។ រកមុំរវាងយន្តហោះ ABC និង BED 1។
ដំណោះស្រាយ។
ចាប់តាំងពីភាគី ចតុកោណ parallelepipedនៅពេលដែល vertex មួយត្រូវកាត់កែងគ្នា វាជាការងាយស្រួលក្នុងការណែនាំ ប្រព័ន្ធចតុកោណសំរបសំរួល Oxyz ដូចនេះ៖ ការចាប់ផ្តើមត្រូវបានតម្រឹមជាមួយ vertex C និង សំរបសំរួលអ័ក្ស Ox, Oy និង Oz ត្រូវបានដឹកនាំទៅភាគី CD, CB និង CC 1 រៀងគ្នា។
មុំរវាងយន្តហោះ ABC និង BED 1 អាចត្រូវបានរកឃើញតាមរយៈកូអរដោណេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះទាំងនេះដោយប្រើរូបមន្ត ដែលនិងជាវ៉ិចទ័រធម្មតារបស់យន្តហោះ ABC និង BED 1 រៀងគ្នា។ ចូរកំណត់កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតា។
\(\blacktriangleright\) មុំ Dihedral គឺជាមុំមួយដែលបង្កើតឡើងដោយពាក់កណ្តាលប្លង់ពីរ និងបន្ទាត់ត្រង់ \(a\) ដែលជាព្រំដែនរួមរបស់ពួកគេ។
\(\blacktriangleright\) ដើម្បីស្វែងរកមុំរវាងយន្តហោះ \(\xi\) និង \(\pi\) អ្នកត្រូវស្វែងរក មុំលីនេអ៊ែរ(និង ហឹរឬ ត្រង់) មុំ dihedralបង្កើតឡើងដោយយន្តហោះ \(\xi\) និង \(\pi\) :
ជំហានទី 1: អនុញ្ញាតឱ្យ \(\xi\cap\pi=a\) (បន្ទាត់នៃចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះ) ។ នៅក្នុងយន្តហោះ \(\xi\) យើងសម្គាល់ចំណុចបំពាន \(F\) ហើយគូរ \(FA\perp a\);
ជំហានទី 2: អនុវត្ត \(FG\perp \pi\);
ជំហានទី 3: យោងតាម TTP (\(FG\) - កាត់កែង, \(FA\) - oblique, \(AG\) - ការព្យាករណ៍) យើងមាន: \(AG\perp a\);
ជំហានទី 4៖ មុំ \(\angle FAG\) ត្រូវបានគេហៅថាមុំលីនេអ៊ែរនៃមុំ dihedral ដែលបង្កើតឡើងដោយយន្តហោះ \(\xi\) និង \(\pi\) ។
ចំណាំថាត្រីកោណ \(AG\) គឺមុំខាងស្តាំ។
ចំណាំផងដែរថាយន្តហោះ \(AFG\) ដែលត្រូវបានសាងសង់តាមរបៀបនេះគឺកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះទាំងពីរ \(\xi\) និង \(\pi\) ។ ដូច្នេះយើងអាចនិយាយខុសគ្នា៖ មុំរវាងយន្តហោះ\(\xi\) និង \(\pi\) គឺជាមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នាពីរ \(c\in \xi\) និង \(b\in\pi\) បង្កើតប្លង់កាត់កែងទៅ និង \(\xi\ ) និង \(\pi\) ។
កិច្ចការទី 1 #2875
កម្រិតកិច្ចការ៖ ពិបាកជាងការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម
ដាណា ពីរ៉ាមីតរាងបួនជ្រុងគែមទាំងអស់ស្មើគ្នា ហើយមូលដ្ឋានគឺជាការ៉េ។ ស្វែងរក \(6\cos \alpha\) ដែល \(\alpha\) គឺជាមុំរវាងមុខចំហៀងរបស់វា។
អនុញ្ញាតឱ្យ \(SABCD\) - ពីរ៉ាមីតនេះ។(\(S\) គឺជាចំនុចកំពូល) ដែលគែមរបស់វាស្មើនឹង \(a\) ។ ដូច្នេះអ្វីគ្រប់យ៉ាង មុខចំហៀងគឺជាត្រីកោណសមមូល។ ចូរយើងស្វែងរកមុំរវាងមុខ \(SAD\) និង \(SCD\) ។
តោះធ្វើ \(CH\perp SD\) ។ ដោយសារតែ \\(\ត្រីកោណ SAD=\ត្រីកោណ SCD\)បន្ទាប់មក \(AH\) ក៏នឹងជាកម្ពស់នៃ \(\ត្រីកោណ SAD\) ផងដែរ។ ដូច្នេះតាមនិយមន័យ \(\angle AHC=\alpha\) គឺជាមុំលីនេអ៊ែរនៃមុំ dihedral រវាងមុខ \(SAD\) និង \(SCD\) ។
ដោយសារមូលដ្ឋានគឺជាការ៉េ បន្ទាប់មក \(AC=a\sqrt2\) ។ សូមចំណាំផងដែរថា \(CH=AH\) គឺជាកម្ពស់ ត្រីកោណសមមូលជាមួយចំហៀង \(a\) ដូច្នេះ \(CH=AH=\frac(\sqrt3)2a\) ។
បន្ទាប់មកដោយទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសពី \(\ត្រីកោណ AHC\)៖ \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]
ចម្លើយ៖ -២
កិច្ចការទី 2 #2876
កម្រិតកិច្ចការ៖ ពិបាកជាងការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម
យន្តហោះ \(\pi_1\) និង \(\pi_2\) ប្រសព្វគ្នានៅមុំមួយដែលកូស៊ីនុសស្មើនឹង \(0.2\) ។ ប្លង់ \\(\pi_2\) និង \(\pi_3\) ប្រសព្វគ្នានៅមុំខាងស្តាំ ហើយបន្ទាត់នៃចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះ \(\pi_1\) និង \(\pi_2\) គឺស្របទៅនឹងបន្ទាត់ប្រសព្វនៃ យន្តហោះ \(\pi_2\) និង \(\ pi_3\) ។ រកស៊ីនុសនៃមុំរវាងប្លង់ \(\pi_1\) និង \(\pi_3\) ។
សូមឱ្យបន្ទាត់ប្រសព្វនៃ \(\pi_1\) និង \(\pi_2\) ជាបន្ទាត់ត្រង់ \(a\) បន្ទាត់ប្រសព្វនៃ \(\pi_2\) និង \(\pi_3\) ជាបន្ទាត់ត្រង់ បន្ទាត់ \(b\) និងបន្ទាត់ប្រសព្វ \(\pi_3\) និង \(\pi_1\) – បន្ទាត់ត្រង់ \(c\) ។ ចាប់តាំងពី \(a\parallel b\) បន្ទាប់មក \(c\parallel a\parallel b\) (យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទពីផ្នែកនៃទ្រឹស្ដីយោង "ធរណីមាត្រក្នុងលំហ" \(\rightarrow\) "សេចក្តីផ្តើមចំពោះស្តេរ៉េអូមេទ្រី, ភាពស្របគ្នា”) ។
ចូរសម្គាល់ចំណុច \(A\in a, B\in b\) ដូច្នេះ \(AB\perp a, AB\perp b\) (វាអាចទៅរួចចាប់តាំងពី \(a\parallel b\))។ ចូរយើងសម្គាល់ \(C\in c\) ដូច្នេះ \(BC\perp c\) ដូច្នេះ \(BC\perp b\) ។ បន្ទាប់មក \(AC\perp c\) និង \(AC\perp a\) ។
ជាការពិត ចាប់តាំងពី \(AB\perp b, BC\perp b\) បន្ទាប់មក \(b\) គឺកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ \(ABC\) ។ ចាប់តាំងពី \(c\parallel a\parallel b\) បន្ទាប់មកបន្ទាត់ \(a\) និង \(c\) ក៏កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ \(ABC\) ហើយដូច្នេះចំពោះបន្ទាត់ណាមួយពីយន្តហោះនេះ ជាពិសេស , បន្ទាត់ \ (AC\) ។
វាធ្វើតាមនោះ។ \(\angle BAC=\angle (\pi_1, \pi_2)\), \(\angle ABC=\angle (\pi_2, \pi_3)=90^\circ\), \(\angle BCA=\angle (\pi_3, \pi_1)\). វាប្រែថា \(\ត្រីកោណ ABC\) មានរាងចតុកោណកែង ដែលមានន័យថា \[\sin \angle BCA=\cos \angle BAC=0.2.\]
ចម្លើយ៖ ០.២
កិច្ចការទី 3 #2877
កម្រិតកិច្ចការ៖ ពិបាកជាងការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម
បានផ្តល់ឱ្យបន្ទាត់ត្រង់ \(a, b, c\) ប្រសព្វគ្នានៅចំណុចមួយ ហើយមុំរវាងពួកវាទាំងពីរគឺស្មើនឹង \(60^\circ\) ។ ស្វែងរក \(\cos^(-1)\alpha\) ដែល \(\alpha\) ជាមុំរវាងយន្តហោះដែលបង្កើតដោយបន្ទាត់ \(a\) និង \(c\) និង យន្តហោះដែលបង្កើតដោយបន្ទាត់ \( b\) និង \(c\) ។ ផ្តល់ចម្លើយរបស់អ្នកជាដឺក្រេ។
សូមឲ្យបន្ទាត់ប្រសព្វនៅចំណុច \(O\) ។ ដោយសារមុំរវាងពួកវាទាំងពីរគឺស្មើនឹង \(60^\circ\) នោះបន្ទាត់ត្រង់ទាំងបីមិនអាចស្ថិតនៅក្នុងប្លង់តែមួយបានទេ។ ចូរយើងគូសចំនុច \(A\) នៅលើបន្ទាត់ \(a\) ហើយគូរ \(AB\perp b\) និង \(AC\perp c\) ។ បន្ទាប់មក \\ (\\ ត្រីកោណ AOB = \\ ត្រីកោណ AOC \\)ជាចតុកោណកែងតាមបណ្តោយអ៊ីប៉ូតេនុស និងមុំស្រួច។ ដូច្នេះ \(OB=OC\) និង \(AB=AC\) ។
តោះធ្វើ \(AH\perp (BOC)\) ។ បន្ទាប់មកដោយទ្រឹស្តីបទអំពីបីកាត់កែង \(HC\perp c\), \(HB\perp b\) ។ ចាប់តាំងពី \(AB=AC\) បន្ទាប់មក \\ (\\ ត្រីកោណ AHB = \\ ត្រីកោណ AHC \\)រាងចតុកោណកែងតាមបណ្តោយអ៊ីប៉ូតេនុស និងជើង។ ដូច្នេះ \(HB=HC\) ។ នេះមានន័យថា \(OH\) គឺជាផ្នែកនៃមុំ \(BOC\) (ចាប់តាំងពីចំនុច \(H\) គឺស្មើគ្នាពីជ្រុងនៃមុំ)។
ចំណាំថាតាមរបៀបនេះយើងក៏បានសាងសង់មុំលីនេអ៊ែរនៃមុំ dihedral, បង្កើតឡើងដោយយន្តហោះបង្កើតដោយបន្ទាត់ \(a\) និង \(c\) ហើយប្លង់ដែលបង្កើតឡើងដោយបន្ទាត់ \(b\) និង \(c\) ។ នេះគឺជាមុំ \(ACH\) ។
ចូរយើងស្វែងរកមុំនេះ។ ដោយសារយើងជ្រើសរើសចំណុច \(A\) តាមអំពើចិត្ត អនុញ្ញាតឱ្យយើងជ្រើសរើសវាដូច្នេះ \(OA=2\) ។ បន្ទាប់មកនៅក្នុងចតុកោណ \\ (\ ត្រីកោណ AOC)៖ \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ]ដោយសារ \(OH\) ជា bisector នោះ \(\angle HOC=30^\circ\) ដូច្នេះក្នុងចតុកោណ \(\ត្រីកោណ HOC\) : \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3)\]បន្ទាប់មកពីចតុកោណ \\ (\ ត្រីកោណ ACH ) : \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]
ចម្លើយ៖ ៣
កិច្ចការទី 4 # 2910
កម្រិតកិច្ចការ៖ ពិបាកជាងការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម
ប្លង់ \(\pi_1\) និង \(\pi_2\) ប្រសព្វគ្នាតាមបន្ទាត់ត្រង់ \(l\) ដែលចំនុច \(M\) និង \(N\) ស្ថិតនៅ។ ចម្រៀក \(MA\) និង \(MB\) កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ \(l\) ហើយស្ថិតនៅលើយន្តហោះ \(\pi_1\) និង \(\pi_2\) រៀងគ្នា និង \(MN = 15 \) , \(AN = 39\), \(BN = 17\), \(AB = 40\) ។ ស្វែងរក \(3\cos\alpha\) ដែល \(\alpha\) ជាមុំរវាងប្លង់ \(\pi_1\) និង \(\pi_2\) ។
ត្រីកោណ \(AMN\) ជាមុំខាងស្តាំ \(AN^2 = AM^2 + MN^2\) មកពីណា \ ត្រីកោណ \(BMN\) ជាមុំខាងស្តាំ \(BN^2 = BM^2 + MN^2\) ដែល \យើងសរសេរទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសសម្រាប់ត្រីកោណ \(AMB\): \ បន្ទាប់មក \ ដោយសារមុំ \(\alpha\) រវាងប្លង់គឺជាមុំស្រួច ហើយ \(\angle AMB\) ប្រែទៅជា obtuse បន្ទាប់មក \(\cos\alpha=\dfrac5(12)\) ។ បន្ទាប់មក \
ចម្លើយ៖ ១.២៥
កិច្ចការទី 5 #2911
កម្រិតកិច្ចការ៖ ពិបាកជាងការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) គឺជាប៉ារ៉ាឡែលពីចំណុច \(ABCD\) ជាការ៉េដែលមានចំហៀង \(a\) ចំណុច \(M\) ជាមូលដ្ឋានកាត់កាត់ពីចំណុច \(A_1\) ទៅកាន់យន្តហោះ \ ((ABCD)\) លើសពីនេះទៀត \(M\) គឺជាចំនុចប្រសព្វនៃអង្កត់ទ្រូងនៃការ៉េ \(ABCD\) ។ វាត្រូវបានគេស្គាល់ថា \(A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a\). រកមុំរវាងយន្តហោះ \((ABCD)\) និង \((AA_1B_1B)\) ។ ផ្តល់ចម្លើយរបស់អ្នកជាដឺក្រេ។
ចូរយើងសង់ \(MN\) កាត់កែងទៅ \(AB\) ដូចបង្ហាញក្នុងរូប។
ដោយសារ \(ABCD\) គឺជាការ៉េដែលមានចំហៀង \(a\) និង \(MN\perp AB\) និង \(BC\perp AB\) បន្ទាប់មក \(MN\parallel BC\) ។ ដោយសារ \(M\) គឺជាចំណុចប្រសព្វនៃអង្កត់ទ្រូងនៃការ៉េ ដូច្នេះ \(M\) គឺជាចំណុចកណ្តាលនៃ \(AC\) ដូច្នេះ \(MN\) គឺ បន្ទាត់កណ្តាលនិង \(MN =\frac12BC=\frac(1)(2)a\).
\(MN\) គឺជាការព្យាករនៃ \(A_1N\) ទៅលើយន្តហោះ \((ABCD)\) ហើយ \(MN\) កាត់កែងទៅ \(AB\) បន្ទាប់មក តាមទ្រឹស្តីបទនៃ កាត់កែងបី \ (A_1N\) គឺកាត់កែងទៅនឹង \(AB \) និងមុំរវាងយន្តហោះ \((ABCD)\) និង \((AA_1B_1B)\) គឺ \(\angle A_1NM\) ។
\[\mathrm(tg)\, \angle A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rightarrow\qquad\angle A_1NM = 60^(\circ)\]
ចម្លើយ៖ ៦០
កិច្ចការទី 6 # 1854
កម្រិតកិច្ចការ៖ ពិបាកជាងការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម
នៅក្នុងការ៉េមួយ \(ABCD\) : \(O\) - ចំនុចប្រសព្វនៃអង្កត់ទ្រូង; \(S\) - មិនស្ថិតនៅក្នុងប្លង់នៃការ៉េទេ \(SO \perp ABC\) ។ រកមុំរវាងប្លង់ \(ASD\) និង \(ABC\) ប្រសិនបើ \(SO = 5\) និង \(AB = 10\) ។
ត្រីកោណស្តាំ \\(\ត្រីកោណ SAO\) និង \(\ត្រីកោណ SDO\) ស្មើគ្នានៅជ្រុងពីរ និងមុំរវាងពួកវា (\(SO \perp ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SOA = \angle SOD = 90^\circ\); \(AO = DO\) ពីព្រោះ \(O\) - ចំនុចប្រសព្វនៃអង្កត់ទ្រូងនៃការ៉េ \(SO\) - ផ្នែករួម) \(\Rightarrow\) \(AS = SD\) \(\Rightarrow\) \(\ត្រីកោណ ASD\) – isosceles ។ ចំណុច \(K\) គឺពាក់កណ្តាលនៃ \(AD\) បន្ទាប់មក \(SK\) គឺជាកំពស់ក្នុងត្រីកោណ \(\triangle ASD\) ហើយ \(OK\) ជាកំពស់ក្នុងត្រីកោណ \( AOD\) \(\Rightarrow\) យន្តហោះ \(SOK\) កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ \(ASD\) និង \(ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SKO\) - មុំលីនេអ៊ែរ ស្មើនឹងការចង់បាន មុំ dihedral ។
ក្នុង \(\ត្រីកោណ SKO\)៖ \(យល់ព្រម = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO\)\(\Rightarrow\) \(\triangle SOK\) - isosceles ត្រីកោណកែង \(\Rightarrow\) \(\angle SKO = 45^\circ\) ។
ចម្លើយ៖ ៤៥
កិច្ចការទី 7 # 1855
កម្រិតកិច្ចការ៖ ពិបាកជាងការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម
នៅក្នុងការ៉េមួយ \(ABCD\) : \(O\) - ចំនុចប្រសព្វនៃអង្កត់ទ្រូង; \(S\) - មិនស្ថិតនៅក្នុងប្លង់នៃការ៉េទេ \(SO \perp ABC\) ។ រកមុំរវាងយន្តហោះ \(ASD\) និង \(BSC\) ប្រសិនបើ \(SO = 5\) និង \(AB = 10\) ។
ត្រីកោណកែង \\(\ត្រីកោណ SAO\) , \(\ត្រីកោណ SDO\) , \(\ត្រីកោណ SOB\) និង \(\ត្រីកោណ SOC\) គឺស្មើគ្នាជាពីរជ្រុង និងមុំរវាងពួកវា (\(SO \perp ABC \\) \\ (\\ ព្រួញស្ដាំ \\) \(\angle SOA = \angle SOD = \angle SOB = \angle SOC = 90^\circ\); \(AO = OD = OB = OC\), ដោយសារតែ \(O\) - ចំនុចប្រសព្វនៃអង្កត់ទ្រូងនៃការ៉េ \(SO\) - ផ្នែកធម្មតា) \(\Rightarrow\) \(AS = DS = BS = CS\) \(\Rightarrow\) \( \triangle ASD\) និង \(\triangle BSC\) គឺជា isosceles ។ ចំណុច \(K\) គឺពាក់កណ្តាលនៃ \(AD\) បន្ទាប់មក \(SK\) គឺជាកំពស់ក្នុងត្រីកោណ \(\triangle ASD\) ហើយ \(OK\) ជាកំពស់ក្នុងត្រីកោណ \( AOD\) \(\ Rightarrow\) យន្តហោះ \(SOK\) គឺកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ \(ASD\) ។ ចំណុច \(L\) គឺពាក់កណ្តាលនៃ \(BC\) បន្ទាប់មក \(SL\) គឺជាកំពស់ក្នុងត្រីកោណ \(\ត្រីកោណ BSC\) ហើយ \(OL\) ជាកំពស់ក្នុងត្រីកោណ \( BOC\) \(\rightarrow\) យន្តហោះ \(SOL\) (aka plane \(SOK\)) កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ \(BSC\) ។ ដូច្នេះ យើងទទួលបាននោះ \(\angle KSL\) គឺជាមុំលីនេអ៊ែរ ស្មើនឹងមុំ dihedral ដែលចង់បាន។
\(KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10\)\\(\Rightarrow\) \\(OL = 5\); \(SK = SL\) - កម្ពស់ស្មើគ្នា ត្រីកោណ isoscelesដែលអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គ័រ៖ \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\). វាអាចត្រូវបានកត់សម្គាល់ឃើញ \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\)\(\Rightarrow\) សម្រាប់ត្រីកោណ \(\triangle KSL\) ទ្រឹស្ដីបទពីតាហ្គោរ ច្រាសកាន់ \(\Rightarrow\) \(\triangle KSL\) – ត្រីកោណស្តាំ \(\Rightarrow\) \(\angle KSL = 90 ^\ រង្វង់\) ។
ចម្លើយ៖ ៩០
ការរៀបចំសិស្សដើម្បីប្រលងជាប់ Unified State ក្នុងគណិតវិទ្យា ជាក្បួនចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងការធ្វើឡើងវិញនូវរូបមន្តមូលដ្ឋាន រួមទាំងរូបមន្តដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកកំណត់មុំរវាងយន្តហោះ។ ទោះបីជាការពិតដែលថាផ្នែកនៃធរណីមាត្រនេះត្រូវបានគ្របដណ្តប់នៅក្នុងលម្អិតគ្រប់គ្រាន់នៅក្នុង កម្មវិធីសិក្សារបស់សាលានិស្សិតបញ្ចប់ការសិក្សាជាច្រើនត្រូវការសម្ភារៈមូលដ្ឋានឡើងវិញ។ ដោយយល់ពីរបៀបស្វែងរកមុំរវាងយន្តហោះ សិស្សវិទ្យាល័យនឹងអាចគណនាបានរហ័សនូវចម្លើយត្រឹមត្រូវនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហា ហើយពឹងផ្អែកលើការទទួលបានពិន្ទុសមរម្យលើលទ្ធផលនៃការប្រលងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម។
nuances ចម្បង
ដើម្បីធានាថាសំណួរអំពីរបៀបស្វែងរកមុំ dihedral មិនបង្កឱ្យមានការលំបាក យើងសូមផ្តល់អនុសាសន៍ឱ្យធ្វើតាមក្បួនដោះស្រាយដំណោះស្រាយដែលនឹងជួយអ្នកដោះស្រាយជាមួយនឹងភារកិច្ចប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម។
ដំបូងអ្នកត្រូវកំណត់បន្ទាត់ត្រង់ដែលយន្តហោះប្រសព្វគ្នា។
បន្ទាប់មកអ្នកត្រូវជ្រើសរើសចំណុចមួយនៅលើបន្ទាត់នេះហើយគូរកាត់កែងពីរទៅវា។
ជំហានបន្ទាប់- ការស្វែងរក មុខងារត្រីកោណមាត្រមុំ dihedral បង្កើតឡើងដោយកាត់កែង។ មធ្យោបាយងាយស្រួលបំផុតដើម្បីធ្វើវាគឺដោយមានជំនួយពីត្រីកោណលទ្ធផលដែលមុំគឺជាផ្នែកមួយ។
ចម្លើយនឹងជាតម្លៃនៃមុំ ឬអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្ររបស់វា។
ការរៀបចំសម្រាប់ការធ្វើតេស្តប្រឡងជាមួយ Shkolkovo គឺជាគន្លឹះនៃភាពជោគជ័យរបស់អ្នក។
ក្នុងអំឡុងពេលថ្នាក់រៀននៅមុនថ្ងៃនៃការប្រឡង Unified State សិស្សសាលាជាច្រើនត្រូវប្រឈមមុខនឹងបញ្ហានៃការស្វែងរកនិយមន័យ និងរូបមន្តដែលអនុញ្ញាតឱ្យពួកគេគណនាមុំរវាងយន្តហោះ 2 ។ សៀវភៅសិក្សាសាលាវាមិនតែងតែមាននៅក្នុងដៃទេនៅពេលដែលអ្នកត្រូវការវា។ និងដើម្បីស្វែងរក រូបមន្តចាំបាច់និងឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់ត្រឹមត្រូវរបស់ពួកគេ រួមទាំងការស្វែងរកមុំរវាងយន្តហោះនៅលើអ៊ីនធឺណិតតាមអ៊ីនធឺណិត ដែលជួនកាលត្រូវការពេលវេលាច្រើន។
វិបផតថលគណិតវិទ្យា "Shkolkovo" ផ្តល់ជូន វិធីសាស្រ្តថ្មី។ដើម្បីត្រៀមប្រឡងថ្នាក់រដ្ឋ។ ថ្នាក់រៀននៅលើគេហទំព័ររបស់យើងនឹងជួយសិស្សឱ្យស្គាល់ផ្នែកដែលពិបាកបំផុតសម្រាប់ខ្លួនគេ និងបំពេញចន្លោះនៃចំណេះដឹង។
យើងបានរៀបចំ និងបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់នូវសម្ភារៈចាំបាច់ទាំងអស់។ និយមន័យមូលដ្ឋាននិងរូបមន្តត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងផ្នែក "ព័ត៌មានទ្រឹស្តី" ។
ដើម្បីយល់កាន់តែច្បាស់អំពីសម្ភារៈ យើងក៏ស្នើឱ្យអនុវត្តលំហាត់សមស្របផងដែរ។ ជម្រើសដ៏ធំនៃភារកិច្ច កម្រិតខុសគ្នាឧទាហរណ៍ភាពស្មុគស្មាញត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងផ្នែក "កាតាឡុក" ។ កិច្ចការទាំងអស់មានក្បួនដោះស្រាយលម្អិតសម្រាប់ការស្វែងរកចម្លើយត្រឹមត្រូវ។ បញ្ជីនៃលំហាត់នៅលើគេហទំព័រត្រូវបានបំពេញបន្ថែម និងធ្វើបច្ចុប្បន្នភាពជានិច្ច។
ខណៈពេលដែលកំពុងអនុវត្តការដោះស្រាយបញ្ហាដែលតម្រូវឱ្យស្វែងរកមុំរវាងយន្តហោះពីរ សិស្សមានឱកាសដើម្បីរក្សាទុកកិច្ចការណាមួយតាមអ៊ីនធឺណិតជា "ចំណូលចិត្ត"។ សូមអរគុណដល់ការនេះពួកគេនឹងអាចត្រលប់ទៅគាត់វិញ។ ចំនួនទឹកប្រាក់ដែលត្រូវការពេលវេលា និងពិភាក្សាអំពីវឌ្ឍនភាពនៃការសម្រេចចិត្តរបស់ខ្លួនជាមួយ គ្រូបង្រៀនសាលាឬគ្រូបង្រៀន។
រង្វាស់នៃមុំរវាងយន្តហោះគឺជាមុំស្រួចដែលបង្កើតឡើងដោយបន្ទាត់ត្រង់ពីរដែលស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះទាំងនេះ ហើយគូសកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់នៃចំនុចប្រសព្វរបស់វា។
ក្បួនដោះស្រាយសំណង់
- ពី ចំណុចបំពាន K គូរកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះនីមួយៗដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
- ដោយការបង្វិលជុំវិញបន្ទាត់កម្រិត មុំ γ° ជាមួយចំនុចកំពូលនៅចំណុច K ត្រូវបានកំណត់។
- គណនាមុំរវាងប្លង់ ϕ° = 180 – γ° ផ្តល់ថា γ° > 90° ។ ប្រសិនបើγ°< 90°, то ∠ϕ° = ∠γ°.
តួលេខបង្ហាញពីករណីនៅពេលដែលយន្តហោះ α និង β ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយដាន។ សំណង់ចាំបាច់ទាំងអស់ត្រូវបានអនុវត្តតាមក្បួនដោះស្រាយហើយត្រូវបានពិពណ៌នាខាងក្រោម។
ដំណោះស្រាយ
- នៅកន្លែងដែលបំពានក្នុងគំនូរ សម្គាល់ចំណុច K. ពីវា យើងបន្ទាបកាត់កែង m និង n រៀងគ្នាទៅនឹងប្លង់ α និង β ។ ទិសដៅនៃការព្យាករ m និង n មានដូចខាងក្រោម៖ m""⊥f 0α, m"⊥h 0α, n""⊥f 0β, n"⊥h 0β ។
- យើងកំណត់ទំហំពិត ∠γ° រវាងបន្ទាត់ m និង n ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះនៅជុំវិញផ្នែកខាងមុខ f យើងបង្វិលយន្តហោះនៃមុំជាមួយ vertex K ទៅទីតាំងមួយស្របទៅនឹងយន្តហោះខាងមុខនៃការព្យាករ។ កាំបង្វិល R នៃចំណុច K ស្មើនឹងតម្លៃអ៊ីប៉ូតេនុសនៃត្រីកោណខាងស្តាំ O""K""K 0 ដែលផ្នែកម្ខាងគឺ K""K 0 = y K - y O ។
- មុំដែលចង់បានគឺ ϕ° = ∠γ° ចាប់តាំងពី ∠γ° គឺស្រួច។
រូបខាងក្រោមបង្ហាញពីដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាដែលតម្រូវឱ្យស្វែងរកមុំγ°រវាងប្លង់ α និង β ដែលផ្តល់ដោយបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល និងប្រសព្វរៀងគ្នា។
ដំណោះស្រាយ
- យើងកំណត់ទិសដៅនៃការព្យាករផ្តេក h 1, h 2 និងផ្នែកខាងមុខ f 1, f 2, ជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះα និង β តាមលំដាប់ដែលបង្ហាញដោយព្រួញ។ ពីចំណុចបំពាន K នៅលើការ៉េ។ α និង β យើងលុបកាត់កែង e និង k ។ ក្នុងករណីនេះ e ""⊥f"" 1 , e "⊥h" 1 និង k""⊥f"" 2 , k "⊥h" 2 ។
- យើងកំណត់ ∠γ° រវាងបន្ទាត់ e និង k ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះគូរបន្ទាត់ផ្តេក h 3 ហើយនៅជុំវិញវាយើងបង្វិលចំណុច K ទៅទីតាំង K 1 ដែល △CKD នឹងក្លាយទៅជាស្របទៅនឹងយន្តហោះផ្តេក ហើយនឹងត្រូវបានឆ្លុះបញ្ចាំងលើវាតាមទំហំធម្មជាតិ - △C "K" 1 D "។ ការព្យាករនៃចំណុចកណ្តាលនៃការបង្វិល O" ស្ថិតនៅលើចំណុចទាញទៅ h" 3 កាត់កែងទៅ K "O" ។ កាំ R ត្រូវបានកំណត់ពីត្រីកោណខាងស្តាំ O"K"K 0 ដែលចំហៀង K"K 0 = Z O - Z K ។
- តម្លៃនៃតម្លៃដែលចង់បានគឺ ∠ϕ° = ∠γ° ចាប់តាំងពីមុំ γ° គឺស្រួច។