Üks neist klassikalised määratlused Funktsiooni mõistet peetakse vastavustel põhinevaks definitsiooniks. Toome välja mitmeid selliseid määratlusi.
Definitsioon 1
Nimetatakse seost, milles iga sõltumatu muutuja väärtus vastab sõltuva muutuja ühele väärtusele funktsiooni.
2. definitsioon
Olgu antud kaks mittetühja hulka $X$ ja $Y$. Nimetatakse kirjavahetus $f$, mis vastab igale $x\in X$ ühele ja ainult ühele $y\in Y$ funktsiooni($f:X → Y$).
3. definitsioon
Olgu $M$ ja $N$ kaks suvalist arvukomplekti. Funktsioon $f$ on defineeritud väärtuses $M$, võttes väärtused alates $N$, kui iga element $x\in X$ on seotud ühe ja ainult ühe elemendiga $N$-st.
Mõiste kaudu antakse järgmine määratlus muutuv suurus. Muutuv suurus on suurus, mis on see uuring võtab erinevaid arvväärtusi.
4. määratlus
Olgu $M$ muutuja $x$ väärtuste kogum. Seejärel, kui iga väärtus $x\in M$ vastab mõne teise muutuja $y$ ühele konkreetsele väärtusele, on komplektis $M$ defineeritud väärtuse $x$ funktsioon.
Definitsioon 5
Olgu $X$ ja $Y$ mingid arvukomplektid. Funktsioon on $f$ järjestatud numbripaaridest $(x,\ y)$ nii, et $x\in X$, $y\in Y$ ja iga $x$ sisaldub ühes ja ainult ühes paaris see komplekt ja iga $y$ on vähemalt ühes paaris.
Definitsioon 6
Mis tahes komplekt $f=\(\left(x,\y\right)\)$ järjestatud paaridest $\left(x,\y\right)$, nii et mis tahes paaride puhul $\left(x",\ y" \right)\in f$ ja $\left(x",\ y""\right)\in f$ tingimusest $y"≠ y""$ järeldub, et $x"≠x""$ on nimetatakse funktsiooniks või kuvariks.
Definitsioon 7
Funktsioon $f:X → Y$ on $f$ järjestatud paaride $\left(x,\y\right)\in X\times Y$, nii et iga elemendi $x\in X$ jaoks on ainulaadne element $y\in Y$ nii, et $\left(x,\y\right)\in f$, see tähendab, et funktsioon on objektide $\left(f,\X,\Y\right) $.
Nendes määratlustes
$x$ on sõltumatu muutuja.
$y$ on sõltuv muutuja.
Kõik võimalikud väärtused Muutujat $x$ nimetatakse funktsiooni domeeniks ja kõiki muutuja $y$ võimalikke väärtusi nimetatakse funktsiooni domeeniks.
Funktsiooni määramise analüütiline meetod
Selle meetodi jaoks vajame analüütilise avaldise kontseptsiooni.
Definitsioon 8
Analüütiline avaldis on kõige võimaliku tulemus matemaatilised tehted mis tahes arvude ja muutujate kohal.
Funktsiooni määramise analüütiline viis on selle täpsustamine analüütilise avaldise abil.
Näide 1
$y=x^2+7x-3$, $y=\frac(x+5)(x+2)$, $y=cos5x$.
Plussid:
- Valemite abil saame määrata funktsiooni väärtuse mis tahes jaoks teatud väärtus muutuja $x$;
- Sel viisil määratletud funktsioone saab seadme abil uurida matemaatiline analüüs.
Miinused:
- Halb nähtavus.
- Mõnikord tuleb teha väga tülikaid arvutusi.
Funktsiooni määramise tabelimeetod
See määramismeetod seisneb sõltuva muutuja väärtuste üleskirjutamises mitme sõltumatu muutuja väärtuse jaoks. Kõik see kantakse tabelisse.
Näide 2
Pilt 1.
Lisaks: Tabelisse sisestatud sõltumatu muutuja $x$ mis tahes väärtuse korral on kohe teada funktsiooni $y$ vastav väärtus.
Miinused:
- Enamasti ei täita ülesanne funktsioonid;
- Halb nähtavus.
funktsioon on vastavus kahe hulga elementide vahel, mis on kehtestatud reegli järgi, et ühe hulga iga element on seotud mõne teise hulga elemendiga.
funktsiooni graafik on lookus tasandi punktid, mille abstsiss (x) ja ordinaat (y) on seotud määratud funktsiooniga:
punkt asub (või asub) funktsiooni graafikul siis ja ainult siis, kui .
Seega saab funktsiooni adekvaatselt kirjeldada selle graafikuga.
Tabelimeetod. Üsna levinud on tabeli täpsustamine individuaalsed väärtused argument ja neile vastavad funktsiooni väärtused. Seda funktsiooni defineerimismeetodit kasutatakse juhul, kui funktsiooni määratluspiirkond on diskreetne lõplik hulk.
Funktsiooni määramise tabelimeetodi abil on võimalik ligikaudselt arvutada funktsiooni väärtused, mida tabelis ei sisaldu, mis vastavad argumendi vaheväärtustele. Selleks kasutage interpolatsiooni meetodit.
Funktsiooni määramise tabelimeetodi eelisteks on see, et see võimaldab määrata üht või teist konkreetsed väärtused kohe, ilma täiendavate mõõtmiste ja arvutusteta. Kuid mõnel juhul ei määratle tabel funktsiooni täielikult, vaid ainult mõne argumendi väärtuse jaoks ega anna visuaalset kujutist funktsiooni muutuse olemusest sõltuvalt argumendi muutusest.
Graafiline meetod. Funktsiooni y = f(x) graafik on kõigi tasandi punktide hulk, mille koordinaadid vastavad antud võrrandile.
Funktsiooni määramise graafiline meetod ei võimalda alati argumendi arvväärtusi täpselt määrata. Sellel on aga teiste meetodite ees suur eelis – nähtavus. Inseneriteaduses ja füüsikas kasutatakse funktsiooni määramiseks sageli graafilist meetodit ja graafik on ainus võimalus selleks.
To graafiline ülesanne funktsioon oli matemaatilisest seisukohast üsna õige, on vaja näidata graafiku täpne geomeetriline konstruktsioon, mis enamasti antakse võrrandiga. See toob kaasa järgmise funktsiooni määramise viisi.
Analüütiline meetod. Kõige sagedamini täpsustatakse valemite kaudu seadust, mis loob seose argumendi ja funktsiooni vahel. Seda funktsiooni määramise meetodit nimetatakse analüütiliseks.
See meetod võimaldab leida igale argumendi x arvväärtusele vastava arvväärtus funktsioneerib y täpselt või teatud täpsusega.
Kui seos x ja y vahel on antud valemiga, mis on lahendatud y suhtes, s.o. on kujul y = f(x), siis ütleme, et x funktsioon on antud eksplitsiitselt.
Kui väärtused x ja y on seotud mingi võrrandiga kujul F(x,y) = 0, s.o. valem ei ole y jaoks lahendatud, mis tähendab, et funktsioon y = f(x) on antud kaudselt.
Funktsiooni saab määratleda erinevad valemid peal erinevad valdkonnad teie ülesande valdkondades.
Analüütiline meetod on funktsioonide määramise kõige levinum viis. Kompaktsus, kokkuvõtlikkus, funktsiooni väärtuse arvutamise oskus millal meelevaldne väärtus Definitsioonivaldkonnast lähtuvalt on funktsiooni määramise analüütilise meetodi peamised eelised võimalus rakendada antud funktsioonile matemaatilise analüüsi aparatuuri. Puudusteks on nähtavuse puudumine, mida kompenseerib graafiku koostamise oskus ja vajadus teha mõnikord väga tülikaid arvutusi.
Verbaalne meetod. See meetod on see funktsionaalne sõltuvus sõnadega väljendatud.
Näide 1: funktsioon E(x) on x täisarvuline osa. Üldiselt tähistab E(x) = [x] suurimat täisarvu, mis ei ületa x-i. Teisisõnu, kui x = r + q, kus r on täisarv (võib olla negatiivne) ja q kuulub intervalli = r. Funktsioon E(x) = [x] on konstantne vahemikus = r.
Näide 2: funktsioon y = (x) - murdosa numbrid. Täpsemalt y =(x) = x - [x], kus [x] on arvu x täisarvuline osa. See funktsioon on defineeritud kõigi x jaoks. Kui x - suvaline arv, siis esitades selle kujul x = r + q (r = [x]), kus r on täisarv ja q asub intervallis .
Näeme, et n lisamine argumendile x ei muuda funktsiooni väärtust.
Väikseim nullist erinev arv n-s on , seega on periood sin 2x .
Kutsutakse välja argumendi väärtus, mille juures funktsioon võrdub 0-ga null (juur) funktsioonid.
Funktsioonil võib olla mitu nulli.
Näiteks funktsioon y = x (x + 1) (x-3) sellel on kolm nulli: x = 0, x = - 1, x =3.
Geomeetriliselt on funktsiooni null funktsiooni graafiku ja telje lõikepunkti abstsiss X .
Joonisel 7 on kujutatud nullidega funktsiooni graafik: x = a, x = b ja x = c.
Kui funktsiooni graafik läheneb algpunktist eemaldudes lõputult kindlale sirgele, siis nimetatakse seda sirget nn. asümptoot.
Pöördfunktsioon
Olgu funktsioon y=ƒ(x) antud definitsioonipiirkonnaga D ja väärtuste hulgaga E. Kui iga väärtus yєE vastab ühele väärtusele xєD, siis funktsioon x=φ(y) on defineeritud definitsiooni domeen E ja väärtuste komplekt D (vt joonis 102).
Sellist funktsiooni φ(y) nimetatakse funktsiooni ƒ(x) pöördväärtuseks ja see kirjutatakse sisse järgmine vorm: x=j(y)=f -1 (y). Funktsioonid y=ƒ(x) ja x=φ(y) on vastastikku pöördvõrdelised. Funktsiooni y=ƒ (x) pöördfunktsiooni x=φ(y) leidmiseks piisab, kui lahendada võrrand ƒ(x)=y x jaoks (kui võimalik).
1. Funktsiooni y=2x pöördfunktsiooniks on funktsioon x=y/2;
2. Funktsiooni y=x2 xє pöördfunktsioon on x=√y; pange tähele, et lõigul [-1; 1], pöördväärtust ei eksisteeri, kuna üks y väärtus vastab kahele x väärtusele (nii et kui y = 1/4, siis x1 = 1/2, x2 = -1/2).
Pöördfunktsiooni definitsioonist järeldub, et funktsioonil y=ƒ(x) on pöördfunktsioon siis ja ainult siis, kui funktsioon ƒ(x) määrab üks-ühele vastavuse hulkade D ja E vahel. Sellest järeldub, et mis tahes rangelt monotoonne funktsioon on vastupidine. Veelgi enam, kui funktsioon suureneb (väheneb), siis suureneb (väheneb) ka pöördfunktsioon.
Pange tähele, et funktsiooni y=ƒ(x) ja selle pöördväärtust x=φ(y) on kujutatud sama kõveraga, st nende graafikud langevad kokku. Kui nõustume, et nagu tavaliselt, sõltumatut muutujat (st argumenti) tähistatakse x-ga ja sõltuvat muutujat y-ga, siis funktsiooni y=ƒ(x) pöördfunktsioon kirjutatakse kujul y=φ( x).
See tähendab, et kõvera punktist M 1 (x o;y o) y=ƒ(x) saab kõvera punkt M 2 (y o;x o) y=φ(x). Kuid punktid M 1 ja M 2 on sümmeetrilised sirge y=x suhtes (vt joonis 103). Seetõttu on graafikud vastastikku pöördfunktsioonid y=ƒ(x) ja y=φ(x) on esimese ja kolmanda koordinaatnurga poolitaja suhtes sümmeetrilised.
Olgu funktsioon у=ƒ(u) defineeritud hulgal D ja funktsioon u= φ(х) hulgal D 1 ning x D 1 puhul vastav väärtus u=φ(х) є D. Siis hulgal D 1 funktsioon u=ƒ(φ(x)), mida nimetatakse x kompleksfunktsiooniks (või superpositsiooniks määratud funktsioonid või funktsiooni funktsioon).
Muutujat u=φ(x) nimetatakse kompleksfunktsiooni vaheargumendiks.
Näiteks funktsioon y=sin2x on kahe funktsiooni y=sinu ja u=2x superpositsioon. Keerulisel funktsioonil võib olla mitu vahepealset argumenti.
4. Põhilised elementaarfunktsioonid ja nende graafikud.
Järgmisi funktsioone nimetatakse põhielementideks.
1) Eksponentfunktsioon y=a x,a>0, a ≠ 1. Joonisel fig. Näidatud 104 graafikut eksponentsiaalsed funktsioonid, vastav erinevatel põhjustel kraadid.
2) Võimsusfunktsioon y=x α, αєR. Näited graafikutest toitefunktsioonid, vastav erinevaid näitajaid piltidel toodud kraadid
3) Logaritmiline funktsioon y=log a x, a>0,a≠1; graafikud logaritmilised funktsioonid, mis vastavad erinevatele alustele, on näidatud joonisel fig. 106.
4) trigonomeetrilised funktsioonid y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx; Trigonomeetriliste funktsioonide graafikud on joonisel fig. 107.
5) Tagurpidi trigonomeetrilised funktsioonid y=arcsinx, y=arccosх, y=arctgx, y=arcctgx. Joonisel fig. 108 näitab pöördtrigonomeetriliste funktsioonide graafikuid.
Funktsioon, mis on määratletud ühe valemiga, mis koosneb põhilistest elementaarsed funktsioonid ja konstandid, kasutades lõplikku arvu aritmeetilised tehted(liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine) ja funktsioonist funktsiooni võtmise tehteid nimetatakse elementaarfunktsiooniks.
Elementaarfunktsioonide näideteks on funktsioonid
Mitteelementaarfunktsioonide näideteks on funktsioonid
5. Järjestuse ja funktsiooni piiri mõisted. Piirangute omadused.
Funktsiooni piirang (funktsiooni piirväärtus) antud punktis on funktsiooni määratluspiirkonda piirav väärtus, milleni vaadeldava funktsiooni väärtus kaldub, kuna selle argument kaldub antud punkti.
Matemaatikas jada piir meetrilise ruumi või topoloogilise ruumi elemendid on sama ruumi element, millel on elemente "meelitada" antud järjestus. Topoloogilise ruumi elementide jada piir on selline punkt, et selle iga naabrus sisaldab jada kõiki elemente, alates teatud arvust. Meetrilises ruumis defineeritakse naabruskonnad kaugusfunktsiooni kaudu, seega on piiri mõiste sõnastatud kauguste keeles. Ajalooliselt oli esimene piiri mõiste numbrijada, mis tekib matemaatilises analüüsis, kus see on lähendussüsteemi aluseks ja seda kasutatakse laialdaselt diferentsiaal- ja integraalarvutuse koostamisel.
Määramine:
(loeb: x-n-nda jada as en piir lõpmatuseni on a)
Nimetatakse piiriga jada omadust lähenemine: kui jadal on piir, siis öeldakse nii antud järjestus koondub; V muidu(kui järjestusel pole piirangut) öeldakse, et jada lahkneb. Hausdorffi ruumis ja eriti meetrilises ruumis koondub iga konvergentse jada alamjada ja selle piir langeb kokku algse jada piiriga. Teisisõnu, Hausdorffi ruumi elementide jada ei saa olla kahe erineva piiranguga. Siiski võib selguda, et jadal pole piirangut, kuid on (antud jada) alamjada, millel on piir. Kui mis tahes ruumipunktide jadast saab tuvastada koonduva alamjada, siis me ütleme seda antud ruumi on järjestikuse kompaktsuse omadus (või lihtsalt kompaktsus, kui kompaktsus on määratletud eranditult jadadena).
Jada piiri mõiste on otseselt seotud piirpunkti (hulga) mõistega: kui hulgal on piirpunkt, siis on selle hulga elementide jada, mis koondub sellesse punkti.
Definitsioon
Olgu antud topoloogiline ruum ja jada Siis, kui on olemas selline element, et
kus on avatud hulk, mis sisaldab , siis nimetatakse seda jada piiriks. Kui ruum on meetriline, saab piirangu määratleda mõõdiku abil: kui on olemas selline element, et
kus on mõõdik, seda nimetatakse piiriks.
· Kui ruum on varustatud antidiskreetse topoloogiaga, on mis tahes jada piiriks ruumi mis tahes element.
6. Funktsiooni piirväärtus punktis. Ühepoolsed piirid.
Ühe muutuja funktsioon. Funktsiooni piiri määramine punktis Cauchy järgi. Number b nimetatakse funktsiooni piiriks juures = f(x) kell X, püüdlema A(või punktis A), kui mõne positiivse arvu korral on selline positiivne arv et kõigi x ≠ a korral, nii et | x – a | < , выполняется неравенство
| f(x) – a | < .
Funktsiooni piiri määramine punktis Heine järgi. Number b nimetatakse funktsiooni piiriks juures = f(x) kell X, püüdlema A(või punktis A), kui mis tahes järjestuse puhul ( x n ), lähenedes A(sihiks A, millel on piirarv A) ja mis tahes väärtuses n x n ≠ A, järeljada ( y n= f(x n)) koondub b.
Need määratlused eeldavad, et funktsioon juures = f(x) on määratletud punkti mõnes naabruses A, välja arvatud ehk punkt ise A.
Funktsiooni piiri Cauchy ja Heine definitsioonid punktis on samaväärsed: kui arv b on ühele neist piiriks, siis kehtib see ka teise kohta.
Määratud piirmäär on näidatud järgmiselt:
Geomeetriliselt tähendab funktsiooni piiri olemasolu Cauchy punktis, et mis tahes arvu > 0 korral võime osutada koordinaattasand selline ristkülik, mille alus on 2 > 0, kõrgus 2 ja kese punktis ( A; b), et antud funktsiooni graafiku kõik punktid intervallil ( A– ; A+ ), välja arvatud võib-olla punkt M(A; f(A)), asetsevad selles ristkülikus
Ühepoolne piirang matemaatilises analüüsis arvfunktsiooni piir, mis tähendab "lähenemist" ühelt poolt piirpunktile. Selliseid piiranguid nimetatakse vastavalt vasakpoolne piirang(või piir vasakule) Ja parema käe piir (piir paremale). Las see olla mõnda aega numbriline komplekt antud numbriline funktsioon ja arv on määratluspiirkonna piirpunkt. Olemas erinevaid määratlusi funktsiooni ühepoolsete piiride jaoks punktis, kuid need on kõik samaväärsed.
Tehkem mitmeid selgitavaid märkusi funktsiooni määramise kohta analüütilise avaldise või valemiga, millel on matemaatilises analüüsis äärmiselt oluline roll.
1° Esiteks, milliseid analüütilisi tehteid või toiminguid saab nendesse valemitesse lisada? Siin on esikohal kõik algebras ja trigonomeetrias uuritud toimingud: aritmeetilised tehted, eksponentsiatsioon (ja juure ekstraheerimine), logaritm, üleminek nurkadest nende trigonomeetrilistele väärtustele ja tagasi [vt. alla 48–51]. Seda on aga oluline rõhutada, kuna meie analüüsiinfo arenedes lisandub nende hulka ka teisi tehteid, ennekõike üleminek piirini, millega lugeja on juba I peatükist tuttav.
Seega täielik sisu Mõiste "analüütiline avaldis" või "valem" avaldatakse alles järk-järgult.
2° Teine märkus on seotud funktsiooni defineerimise ulatusega analüütilise avaldise või valemiga.
Igal analüütilisel avaldisel, mis sisaldab argumenti x, on nii-öelda loomulik ulatus: see on kõigi nende x väärtuste kogum, mille jaoks see säilitab tähenduse, see tähendab, et sellel on täpselt määratletud, piiratud tegelik väärtus. Selgitame seda lihtsate näidete abil.
Seega on avaldise jaoks selline piirkond kogu reaalarvude komplekt. Väljendamiseks taandatakse see ala suletud intervallile, mille järel selle väärtus lakkab olemast tegelik. Vastupidi, avaldis peab loomuliku rakendusalana sisaldama avatud intervalli, kuna selle nimetaja otstes muutub 0-ks. Mõnikord koosneb väärtuste vahemik, mille jaoks avaldis oma tähenduse säilitab, eraldatud intervallidest: selleks on intervallid jaoks - intervallid jne.
Nagu viimane näide arvestage lõpmatu geomeetrilise progressiooni summaga
Kui siis, nagu me teame, on see piir olemas ja see on oluline. Kui piir on kas võrdne või puudub üldse. Seega oleks antud analüütilise avaldise puhul loomulik rakendusvaldkond avatud intervall
Järgnevas esitluses peame arvestama nii keerulisemate kui ka üldisemate analüütiliste avaldistega ning uurime rohkem kui üks kord määratud funktsioonide omadusi. sarnane väljend kogu alal, kus see tähendus säilib, st uurides analüüsiaparaati ennast.
Võimalik on aga ka teine olukord, millele peame vajalikuks eelnevalt lugeja tähelepanu juhtida. Kujutagem ette, et mõned konkreetne küsimus, milles muutuja x on sisuliselt piiratud X-i variatsioonivahemikuga, viis kaalumiseni funktsiooni, mis lubab analüütilist avaldist. Kuigi võib juhtuda, et sellel väljendil on tähendus väljaspool piirkonda X, on loomulikult siiski võimatu sellest kaugemale minna. Siin mängib analüütiline väljendus allutavat, abistavat rolli.
Näiteks kui, uurides vabalangus raske punkt maapinnast kõrgemalt, kasutame valemit
Seda oleks absurdne kaaluda negatiivsed väärtused t või väärtused suuremad kui jaoks, nagu on lihtne näha, hetkel juba kukub maha. Ja seda hoolimata asjaolust, et väljend ise säilitab tähenduse kõigi tegelike jaoks.
3° Võib juhtuda, et funktsioon ei ole määratud kõigi argumendi väärtuste jaoks sama valemiga, vaid mõne jaoks - ühe valemiga ja teiste jaoks - teise valemiga. Sellise intervalli funktsiooni näide on funktsioon, mis on määratletud järgmise kolme valemiga:
ja lõpuks, kui .
Nimetagem ka Dirichlet funktsiooni (P. G. Lejeune-Dinchlet), mis on defineeritud järgmiselt:
Lõpuks vaatleme koos Kroneckeriga (L. Kroneckcf) funktsiooni, mida ta nimetas "signumiks" ja tähistas
on antud ehk teada, kui võimaliku argumentide arvu iga väärtuse kohta saab teada funktsioonile vastava väärtuse. Kõige tavalisemad kolm funktsiooni määramise viis: tabel, graafiline, analüütiline, on ka verbaalseid ja rekursiivseid meetodeid.
1. Tabelimeetod enim kasutatav (logaritmide tabelid, ruutjuured), selle peamiseks eeliseks on saamise võimalus arvväärtus funktsioonide miinuseks on see, et tabel võib olla raskesti loetav ja mõnikord ei sisalda see vahepealseid argumentide väärtusi.
Näiteks:
|
x |
||||
|
y |
Argument X võtab tabelis määratud väärtused ja juures määratakse selle argumendi järgi X.
2. Graafiline meetod koosneb joone (graafiku) joonistamisest, kus abstsissid tähistavad argumendi väärtusi ja ordinaadid tähistavad funktsiooni vastavaid väärtusi. Sageli võetakse selguse huvides telgedel olevaid skaalasid erinevaks.
Näiteks: ajakava järgi leida juures, mis vastab x = 2,5 on vaja joonistada teljega risti X märgi juures 2,5 . Märgi saab joonlaua abil üsna täpselt teha. Siis leiame, et kell X = 2,5 juures võrdub 7,5 aga kui meil on vaja väärtust leida juures juures X võrdne 2,76 , See graafiline meetod funktsiooni määramine ei ole piisavalt täpne, sest Joonlaud ei võimalda nii täpseid mõõtmisi teha.
Selle funktsioonide täpsustamise meetodi eelisteks on tajumise lihtsus ja terviklikkus, argumendi muutuste järjepidevus; Puuduseks on vähenenud täpsusaste ja täpsete väärtuste saamise raskus.
3. Analüütiline meetod koosneb funktsiooni määramisest ühe või mitme valemiga. Selle meetodi peamine eelis on kõrge täpsus funktsiooni määramine huvipakkuvast argumendist, kuid puuduseks on täiendavate matemaatiliste toimingute tegemiseks kuluv aeg.
Näiteks:
Funktsiooni saab seadistada kasutades matemaatiline valem y=x2, siis kui X võrdub 2 , See juures võrdub 4, me ehitame X ruudu sisse.
4. Verbaalne meetod seisneb funktsiooni määramises tavakeeles, st. sõnad. Sel juhul on vaja anda sisend-, väljundväärtused ja nendevaheline vastavus.
Näiteks:
Saate suuliselt määrata funktsiooni (ülesande), mida aktsepteeritakse loomuliku argumendina X väärtuse moodustavate numbrite summa vastava väärtusega juures. Täpsustame: kui X võrdub 4 , See juures võrdub 4 , ja kui X võrdub 358 , See juures võrdne summaga 3 + 5 + 8 , st. 16 . Edasi sarnased.
5. Rekursiivne viis seisneb funktsiooni määramises iseenda kaudu, while funktsiooni väärtused määratakse selle muude väärtuste kaudu. Seda funktsiooni määramise meetodit kasutatakse hulkade ja seeriate määramisel.
Näiteks:
Lagunemise ajal Euleri numbrid antakse funktsiooniga:
Selle lühend on toodud allpool:
Kell otsene arvutus toimub lõpmatu rekursioon, kuid saab tõestada, et väärtus f(n) suurenemisega n kaldub ühtsusele (seetõttu, vaatamata sarja lõpmatusele, väärtus Euleri numbrid Kindlasti). Väärtuse ligikaudseks arvutamiseks e piisab, kui rekursiooni sügavust mingil määral eelnevalt kunstlikult piirata antud number ja selleni jõudes kasutage seda hoopis f(n)üksus.
Funktsiooni määramise erinevad viisid Analüütiline, graafiline, tabel on funktsiooni määramiseks kõige lihtsamad ja seetõttu ka populaarseimad viisid, meie vajadusteks on need meetodid täiesti piisavad. Analüütiline graafika tabelTegelikult on matemaatikas neid üsna palju erinevatel viisidel funktsioonide ülesandeid ja üks neist on verbaalne, mida kasutatakse väga ainulaadsetes olukordades.
Funktsiooni sõnaline määramise viis Funktsiooni saab määrata ka verbaalselt, s.t kirjeldavalt. Näiteks nn Dirichlet funktsioon on antud järgmisel viisil: funktsioon y on kõigi ratsionaalide puhul võrdne 0-ga ja kõigi puhul 1-ga irratsionaalsed väärtused argument x. Sellist funktsiooni ei saa tabeliga määrata, kuna see on määratletud kogu arvteljel ja selle argumendi väärtuste hulk on lõpmatu. Graafiliselt seda funktsiooni samuti ei saa täpsustada. Selle funktsiooni jaoks leiti analüütiline avaldis, kuid see on nii keeruline, et sellel puudub praktiline tähtsus. Verbaalne meetod annab selle lühikese ja selge definitsiooni.
Näide 1 Funktsioon y = f (x) on määratletud kõigi mittenegatiivsete arvude hulgal kasutades järgmine reegel: iga arv x 0 on määratud esimesele kümnendkohale kümnendmärk numbrid x. Kui näiteks x = 2,534, siis f(x) = 5 (esimene komakoht on arv 5); kui x = 13,002, siis f(x) = 0; kui x = 2/3, siis kirjutades 2/3 lõpmatuks kümnend 0,6666..., leiame f(x) = 6. Mis on f(15) väärtus? See on võrdne 0-ga, kuna 15 = 15 000... ja näeme, et esimene koma pärast koma on 0 (üldiselt on võrdus 15 = 14 999... tõsi, kuid matemaatikud on leppinud kokku, et seda ei arvestata lõpmatud perioodilised kümnendmurrud perioodiga 9).
Ükskõik milline mittenegatiivne arv x saab kirjutada kümnendmurruna (lõplik või lõpmatu) ja seetõttu leiame iga x väärtuse kohta teatud arv esimese kümnendkoha väärtused, nii et saame rääkida funktsioonist, ehkki mõnevõrra ebatavalisest. D (f) = . = 2 [" title="funktsioon, mis on määratletud tingimustega: f (x) on täisarv; f (x) x;x; f + 1 > x,x, arvu täisarv nimetatakse arvu täisarvuks D (f) = (-;+), E (f) = Z (täisarvude hulk) Arvu x täisarvulise osa jaoks kasuta tähistust [ x ] = 2 [" class="link_thumb"> 7 !} Funktsioon, mis on määratud järgmiste tingimustega: f (x) – täisarv; f(x)x;x; f + 1 > x,x nimetatakse arvu täisarvu osaks arvu täisarvu. D (f) = (-;+), E (f) = Z (täisarvude hulk) Arvu x täisarvulise osa jaoks kasutage tähistust [x]. = 2 = 47 [ - 0,23] = - 1 x,x, arvu täisarvulist osa nimetatakse arvu täisarvuks. D (f) = (-;+), E (f) = Z (täisarvude hulk) Arvu x täisarvulise osa jaoks kasutage tähistust [x]. = 2 ["> x,x, arvu täisarvu osaks nimetatakse arvu täisarvu D (f) = (-;+), E (f) = Z (täisarvude hulk) Täisarvu osa jaoks arvust x kasutatakse tähistust [ x ] = 2 = 47 [ - 0,23] = - 1"> x,x, arvu täisarv osa nimetatakse arvu täisarv osaks. D (f) = (-;+), E (f) = Z (täisarvude hulk) Arvu x täisarvulise osa jaoks kasutage tähistust [x]. = 2 [" title="funktsioon, mis on määratletud tingimustega: f (x) on täisarv; f (x) x;x; f + 1 > x,x, arvu täisarv nimetatakse arvu täisarvuks D (f) = (-;+), E (f) = Z (täisarvude hulk) Arvu x täisarvulise osa jaoks kasuta tähistust [ x ] = 2 ["> title="Funktsioon, mis on määratud järgmiste tingimustega: f (x) – täisarv; f(x)x;x; f + 1 > x,x nimetatakse arvu täisarvu osaks arvu täisarvu. D (f) = (-;+), E (f) = Z (täisarvude hulk) Arvu x täisarvulise osa jaoks kasutage tähistust [x]. = 2 ["> !}
Kõigist ülaltoodud meetodid funktsiooni täpsustamine annab suurimad võimalused matemaatilise analüüsi aparaadi kasutamiseks analüütiline meetod ja nn nn kõige visuaalsem on gg-graafika. Seetõttu põhineb matemaatiline analüüs sügaval sünteesil analüütilisest ja geomeetrilised meetodid. Analüütiliselt defineeritud funktsioonide uurimine on palju lihtsam ja saab selgemaks, kui paralleelselt uurida ka nende funktsioonide graafikuid.
X y=x
Suurepärane matemaatik- Dirichlet B professor Berliinis, aastast 1855 Göttingeni ülikoolis. Peamised tööd arvuteooria ja matemaatilise analüüsi alal. Matemaatilise analüüsi valdkonnas oli Dirichlet esimene, kes selle mõiste täpselt sõnastas ja uuris tingimuslik lähenemine seeria, kehtestas jada konvergentsi testi (nn Dirichlet' test, 1862), andis (1829) range tõestuse võimalusest laiendada funktsiooni, millel on lõplik number tõusud ja mõõnad. Dirichlet’ märkimisväärsed tööd on pühendatud mehaanikale ja matemaatiline füüsika(Teoreetiliselt Dirichlet' põhimõte harmooniline funktsioon). Dirichlet Peter Gustav Lejeune () Saksa matemaatik, välismaa korrespondentliige. Peterburi Teaduste Akadeemia (c), Londoni liige Kuninglik Ühing(1855), Pariisi Teaduste Akadeemia (1854), Berliini Teaduste Akadeemia. Dirichlet tõestas olemasoluteoreemi lõputult suur number algarvud mis tahes täisarvude aritmeetilises progressioonis, mille esimene liige ja erinevus on vastastikku algarvud ning uuris (1837) algarvude jaotusseadust aritmeetilised progressioonid ja seetõttu kasutusele võetud funktsionaalne seeria eritüüp(nn Dirichlet seeria).
