Mõned programmeerijad mõtlevad pärast tavaliste kommertsrakenduste arendamise alal töötamist masinõppe valdamisele ja andmeanalüütikuks saamisele. Nad ei saa sageli aru, miks teatud meetodid töötavad, ja enamik masinõppemeetodeid tunduvad võluväel. Tegelikult põhineb masinõpe matemaatilisel statistikal, mis omakorda põhineb tõenäosusteoorial. Seetõttu pöörame selles artiklis tähelepanu tõenäosusteooria põhimõistetele: puudutame tõenäosuse, jaotuse definitsioone ja analüüsime mitmeid lihtsaid näiteid.
Võib-olla teate, et tõenäosusteooria jaguneb tinglikult kaheks osaks. Diskreetne tõenäosusteooria uurib nähtusi, mida saab kirjeldada lõpliku (või loendatava) arvu võimalike käitumisvariantidega (täringuviskamine, mündid) jaotusega. Pidev tõenäosusteooria uurib nähtusi, mis on jaotunud mõnele tihedale hulgale, näiteks lõigul või ringis.
Tõenäosusteooria teemat saame käsitleda lihtsa näite abil. Kujutage ette end laskuri arendajana. Selle žanri mängude arendamise lahutamatuks osaks on tulistamismehaanika. On selge, et laskur, milles kõik relvad tulistavad absoluutselt täpselt, pakub mängijatele vähe huvi. Seetõttu on hädavajalik lisada oma relvale levikut. Kuid lihtsalt relvade löögipunktide juhuslik määramine ei võimalda peenhäälestust, seega on mängu tasakaalu kohandamine keeruline. Samas saab juhuslike muutujate ja nende jaotuste abil analüüsida, kuidas relv antud leviga toimib, ja aidata teha vajalikke kohandusi.
Elementaarsete tulemuste ruum
Oletame, et mõnest juhuslikust eksperimendist, mida saame mitu korda korrata (näiteks mündi viskamine), saame välja võtta formaliseeritud teabe (see tuli välja pea või saba). Seda teavet nimetatakse elementaarseks tulemuseks ja on kasulik arvestada kõigi elementaarsete tulemuste kogumit, mida sageli tähistatakse tähega Ω (Omega).
Selle ruumi struktuur sõltub täielikult katse olemusest. Näiteks kui kaalume laskmist piisavalt suure ringikujulise sihtmärgi pihta, on elementaarsete tulemuste ruumiks mugavuse huvides ring, mille keskpunkt on null, ja tulemuseks on selle ringi punkt.
Lisaks võetakse arvesse elementaarsete tulemuste komplektid - sündmusi (näiteks esikümne tabamine on väikese raadiusega kontsentriline ring sihtmärgiga). Diskreetsel juhul on kõik üsna lihtne: me võime saada mis tahes sündmuse, kaasa arvatud või välistades elementaarsed tulemused piiratud aja jooksul. Pideva puhul on kõik palju keerulisem: arvesse on vaja mõnda üsna head hulkade perekonda, mida nimetatakse algebraks analoogia põhjal lihtsate reaalarvudega, mida saab liita, lahutada, jagada ja korrutada. Algebras olevaid hulki saab ristuda ja kombineerida ning tehte tulemus on algebras. See on kõigi nende mõistete taga peituva matemaatika jaoks väga oluline omadus. Minimaalne perekond koosneb ainult kahest komplektist - tühjast komplektist ja elementaarsete tulemuste ruumist.
Mõõt ja tõenäosus
Tõenäosus on viis teha järeldusi väga keerukate objektide käitumise kohta, mõistmata nende toimimist. Seega defineeritakse tõenäosust sündmuse funktsioonina (sellest väga heast hulgaperekonnast), mis tagastab arvu – mõne tunnuse selle kohta, kui sageli selline sündmus võib tegelikkuses aset leida. Et olla kindel, leppisid matemaatikud kokku, et see arv peaks jääma nulli ja ühe vahele. Lisaks sellele on sellel funktsioonil nõuded: võimatu sündmuse tõenäosus on null, kogu tulemuste kogumi tõenäosus on ühik ja kahe sõltumatu sündmuse (disjunkthulga) kombineerimise tõenäosus on võrdne tõenäosuste summaga. Teine tõenäosuse nimi on tõenäosusmõõt. Kõige sagedamini kasutatakse Lebesgue'i mõõdikut, mis üldistab pikkuse, pindala, ruumala mõisted mis tahes mõõtmetele (n-mõõtmeline ruumala) ja seega on see rakendatav laia hulga hulkade jaoks.
Üheskoos nimetatakse elementaarsete tulemuste hulga, hulkade perekonna ja tõenäosuse kogumit. tõenäosusruum. Mõelgem, kuidas saaksime konstrueerida tõenäosusruumi näiteks märklaua tulistamise näitel.
Kaaluge tulistamist suure ümmarguse sihtmärgi pihta raadiusega R, millest on võimatu mööda lasta. Elementaarsündmuste hulgaga seame ringi, mille keskpunkt on raadiusega R koordinaatide alguspunktis. Kuna me kasutame sündmuse tõenäosuse kirjeldamiseks pindala (Lebesgue'i mõõt kahemõõtmeliste kogumite jaoks), kasutame mõõdetavate (mille jaoks see mõõt on olemas) hulkade perekonda.
Märkus. Tegelikult on see tehniline punkt ja lihtsate ülesannete puhul ei mängi mõõdu ja komplektide perekonna määramise protsess erilist rolli. Kuid on vaja mõista, et need kaks objekti on olemas, sest paljudes tõenäosusteooria raamatutes algavad teoreemid sõnadega: " Olgu (Ω,Σ,P) tõenäosusruum...».
Nagu eespool mainitud, peab kogu elementaarsete tulemuste ruumi tõenäosus olema võrdne ühega. Ringi pindala (kahemõõtmeline Lebesgue'i mõõt, mida tähistame λ 2 (A), kus A on sündmus) on koolist tuntud valemi järgi võrdne π *R 2-ga. Seejärel saame sisestada tõenäosuse P(A) = λ 2 (A) / (π *R 2) ja see väärtus jääb iga sündmuse A puhul juba vahemikku 0 ja 1.
Kui eeldame, et mis tahes punkti tabamine sihtmärgil on võrdselt tõenäoline, taandub laskuri mõne sihtmärgi ala tabamise tõenäosuse otsimine selle komplekti ala leidmisele (siit võime järeldada, et tõenäosus konkreetse punkti tabamine on null, sest punkti pindala on null).
Näiteks tahame välja selgitada, kui suur on tõenäosus, et laskur tabab esikümne (sündmus A – laskur tabab soovitud komplekti). Meie mudelis tähistab “kümme” ringi, mille keskpunkt on null ja raadius r. Siis on sellesse ringi sattumise tõenäosus P(A) = λ 2 /(A)π *R 2 = π * r 2 /(π R 2)= (r/R) 2.
See on üks lihtsamaid "geomeetrilise tõenäosuse" ülesannete tüüpe - enamik neist ülesannetest nõuab ala leidmist.
Juhuslikud muutujad
Juhuslik muutuja on funktsioon, mis teisendab elementaarsed tulemused reaalarvudeks. Näiteks vaadeldavas ülesandes saame kasutusele võtta juhusliku suuruse ρ(ω) – kauguse löögipunktist sihtmärgi keskpunktini. Meie mudeli lihtsus võimaldab meil selgelt määratleda elementaartulemuste ruumi: Ω = (ω = (x,y) sellised arvud, et x 2 +y 2 ≤ R 2 ) . Siis juhuslik suurus ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 .
Tõenäosuslikust ruumist abstraktsiooni vahendid. Jaotusfunktsioon ja tihedus
On hea, kui ruumi struktuur on hästi teada, kuid tegelikkuses see alati nii ei ole. Isegi kui ruumi struktuur on teada, võib see olla keeruline. Juhuslike muutujate kirjeldamiseks, kui nende avaldis on teadmata, on olemas jaotusfunktsiooni mõiste, mida tähistatakse F ξ (x) = P(ξ< x) (нижний индекс ξ здесь означает случайную величину). Т.е. это вероятность множества всех таких элементарных исходов, для которых значение случайной величины ξ на этом событии меньше, чем заданный параметр x .
Jaotusfunktsioonil on mitu omadust:
- Esiteks on see vahemikus 0 kuni 1.
- Teiseks, see ei vähene, kui selle argument x suureneb.
- Kolmandaks, kui arv -x on väga suur, on jaotusfunktsioon lähedane 0-le ja kui x ise on suur, on jaotusfunktsioon lähedane 1-le.
Tõenäoliselt ei selgu selle konstruktsiooni tähendus esimesel lugemisel. Üks kasulik omadus on see, et jaotusfunktsioon võimaldab otsida tõenäosust, et suurus võtab intervallist väärtuse. Niisiis, P (juhuslik suurus ξ võtab väärtused intervallist) = F ξ (b)-F ξ (a). Selle võrdsuse põhjal saame uurida, kuidas see väärtus muutub, kui intervalli piirid a ja b on lähedased.
Olgu d = b-a , siis b = a+d . Ja seetõttu F ξ (b) - F ξ (a) = F ξ (a+d) - F ξ (a) . Väikeste d väärtuste korral on ülaltoodud erinevus samuti väike (kui jaotus on pidev). Mõttekas on arvestada suhet p ξ (a,d)= (F ξ (a+d) - F ξ (a))/d. Kui d piisavalt väikeste väärtuste korral erineb see suhe vähe mõnest konstandist p ξ (a), sõltumata d-st, siis sellel hetkel on juhusliku suuruse tihedus võrdne p ξ (a).
Märkus. Lugejad, kes on varem kokku puutunud tuletise mõistega, võivad märgata, et p ξ (a) on funktsiooni F ξ (x) tuletis punktis a. Igal juhul saate tuletise mõistet uurida selleteemalises artiklis Mathprofi veebisaidil.
Nüüd saab jaotusfunktsiooni tähenduse defineerida järgmiselt: selle tuletis (tihedus p ξ, mille defineerisime eespool) punktis a kirjeldab, kui sageli juhuslik suurus langeb väikesesse intervalli, mille keskpunkt on punkt a (punkti a naabruskond). ) võrreldes teiste punktide naabruskonnaga. Teisisõnu, mida kiiremini jaotusfunktsioon kasvab, seda suurem on tõenäosus, et selline väärtus juhuslikus katses ilmub.
Tuleme tagasi näite juurde. Saame arvutada juhusliku suuruse jaotusfunktsiooni ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 , mis tähistab kaugust tsentrist juhusliku tabamuspunktini sihtmärgil. Definitsiooni järgi F ρ (t) = P(ρ(x,y)< t) . т.е. множество {ρ(x,y) < t)} — состоит из таких точек (x,y) , расстояние от которых до нуля меньше, чем t . Мы уже считали вероятность такого события, когда вычисляли вероятность попадания в «десятку» - она равна t 2 /R 2 . Таким образом, Fρ(t) = P(ρ(x,y) < t) = t 2 /R 2 , для 0 Leiame selle juhusliku suuruse tiheduse p ρ. Märgime kohe, et väljaspool intervalli on see null, sest selle intervalli jaotusfunktsioon on muutumatu. Selle intervalli lõpus tihedust ei määrata. Intervalli sees saab selle leida tuletiste tabeli (näiteks Mathprofi veebisaidilt) ja elementaarsete diferentseerimisreeglite abil. t 2 /R 2 tuletis on võrdne 2t/R 2-ga. See tähendab, et leidsime tiheduse kogu reaalarvude teljel. Teine kasulik tiheduse omadus on tõenäosus, et funktsioon võtab intervallist väärtuse, mis arvutatakse selle intervalli tiheduse integraali abil (mis see on, leiate Mathprofi õigete, ebaõigete ja määramata integraalide artiklitest veebisait). Esimesel lugemisel võib funktsiooni f(x) intervalli integraali pidada kõvera trapetsi pindalaks. Selle küljed on Ox-telje fragment, tühimik (horisontaalne koordinaattelg), vertikaalsed segmendid, mis ühendavad kõvera punkte (a,f(a)), (b,f(b)) punktidega (a,0), (b,0 ) Ox-teljel. Viimane pool on funktsiooni f graafiku fragment vahemikust (a,f(a)) kuni (b,f(b)) . Võib rääkida integraalist üle intervalli (-∞; b], kui piisavalt suurte negatiivsete väärtuste korral a, muutub intervalli integraali väärtus tühiselt, võrreldes arvu a muutusega. Intervallide integraal on määratletud sarnaselt)