Overvej PDSC (O, jeg,j,k) i rummet R3. Lad  være en plan og vektor  N vinkelret på . Lad os fiksere et vilkårligt punkt M 0 på planet  og tage det aktuelle punkt M i rummet. Lad os betegne ` r =
og` r 0 =
. Derefter
=`r – `r 0 , og punkt М hvis og kun hvis vektorerne ` N Og
ortogonal. Sidstnævnte er muligt når

N .
= 0, dvs. N . (`r –`r 0) = 0, (9)

denne ligning kaldes vektorligning fly. Vektor ` N hedder normal plan vektor.

Hvis ` N =(EN, I, MED), M 0 ( x 0 , på 0 , z 0), M( x, på, z), så vil ligning (9) antage formen

EN( x – x 0) + B( på – på 0) + C( z – z 0) = 0, (10).

Denne ligning kaldes ligningen for det fly, der passerer igennem dette punkt vinkelret på en given vektor.

TIL Som du ved, kan du gennem tre punkter tegne et enkelt plan. Lad M 1 ( x 1 , på 1 , z 1), M 3 ( x 2 , på 2 , z 2), M 3 ( x 3 , på 3 , z 3). Lad os finde ligningen for dette plan. Ifølge vektorligningen (9), for at skrive denne ligning, skal du kende punktet for planet og normalvektoren. Vi har et punkt (for eksempel M 1). Og enhver vektor vinkelret på dette plan er egnet som en normal vektor. Det er kendt, at vektorproduktet af to vektorer er vinkelret på det plan, hvori disse vektorer ligger. Derfor krydsproduktet af vektorer
Og
kan tages som normalvektor for planet:

` N =


Derefter ligningen for planet  in vektor form ligner

. (

) =
.
.
= 0.

(bemærk, at vi har opnået betingelsen for koplanaritet af vektorer
,
,
).

Gennem koordinaterne for punkterne M 1, M 2, M 3 og M vil denne ligning blive skrevet som følger

, (11)

og kaldes planligningen, gennem tre givne punkter M 1 ( x 1 , på 1 , z 1), M 2 ( x 2 , på 2 , z 2), M 3 ( x 3 , på 3 , z 3).

Lad os overveje ligning (9) igen og transformere den:

Åh + Wu + Cz +(–Åh 0 – Wu 0 – Cz 0) = 0 ,

Åh + Wu + Cz+D = 0, hvor D = (– Åh 0 – Wu 0 – Cz 0) .

Ligningen

Åh + Wu + Cz+D = 0, (12)

hedder generel ligning fly. Her er vektorN = ( EN, B, C) – normalvektor for planet (dvs. en vektor vinkelret på planet). Sætningen er sand:

Sætning 4.2.

I rummet R3 kan et hvilket som helst plan beskrives lineært med hensyn til variable x y, z ligning og omvendt, enhver ligning af første grad definerer et eller andet plan.

Lad os studere planets placering i forhold til koordinatsystemet ved hjælp af dets generelle ligning Åh + Wu + Cz+D = 0.

Hvis koefficient D = 0, så opfylder koordinaterne for punktet O(0, 0, 0) ligningen Åh + Wu + Cz= 0, hvilket betyder at dette punkt ligger på planet, dvs. plan med ligning Åh + Wu + Cz= 0 går gennem origo.

Hvis i den generelle ligning af flyet en mangler af variable (den tilsvarende koefficient er nul), så er planen parallel med koordinataksen af ​​samme navn. For eksempel ligningen Åh + Cz + D= 0 definerer et plan parallelt med op-amp aksen. Den normale vektor har faktisk koordinater ` N= (A, 0, C) og det er nemt at kontrollere det ` Nj. Men hvis planet og vektoren er vinkelrette på den samme vektor, så er de parallelle. Plan med ligning Wu + Cz= 0, i dette tilfælde, passerer gennem OX-aksen (dvs. denne akse ligger på planet)

Fravær af to variabler i en planligning betyder, at planet er parallel med den tilsvarende koordinatplan, for eksempel en ligning af formen Åh + D= 0 definerer et plan, parallelt med flyet UOZ. Normalvektoren har koordinater ` N= (A, 0, 0), den er kollineær med vektoren  jeg, og derfor er planet vinkelret på vektoren  jeg, eller parallelt med planet УОZ.

Ligninger af koordinatplaner have formen: pl. HOU: z= 0, pl. XOZ: y= 0, pl. YOZ: x = 0.

Faktisk passerer XOU-planet gennem origo (D = 0) og vektoren  k=(0, 0, 1) er dens normalvektor. På samme måde passerer planerne ХОZ og УОZ gennem koordinaternes oprindelse (D = 0) og vektorerne  j=(0, 1, 0) og  jeg = (1,0,0) – henholdsvis deres normaler.

Hvis D0, transformerer vi den generelle ligning som følger

Åh + Wu+C z = –D,
,
.

OM bosnificant her
,
,
, får vi ligningen
, (13)

som kaldes planligningen i segmenter på akserne. Her EN, b, c– værdierne af segmenterne afskåret af planet på koordinatakserne (fig.). Denne ligning er praktisk at bruge til at konstruere et plan i et koordinatsystem. Det er nemt at verificere, at punkterne ( EN, 0, 0), (0. b, 0), (0, 0, Med) ligge på et fly. Linjerne, der går gennem disse punkter, kaldes spor fly på koordinatplaner.

Lad os for eksempel konstruere et fly

2x – 3på + 4z –12 = 0.

Lad os reducere denne ligning til formen (13), vi opnår

D For at konstruere et plan i koordinatsystemet skal du markere et punkt (6, 0, 0) på OX-aksen, et punkt (0, -4, 0) på OU-aksen og (0, 0, 3) på OZ akse, og forbinde dem med lige segmenter (spor af planet). Den resulterende trekant er en del af det ønskede plan, indesluttet mellem koordinatakserne.

På den måde at find flyets ligning, det er nok at vide

Enten normalvektoren for dette plan og et hvilket som helst af dets punkter (ligning (10));

Eller tre punkter, der ligger på planet (ligning (11)).

Indbyrdes arrangement af fly i rummet er det praktisk at studere ved hjælp af deres tilsvarende vektorer. Hvis  er en plan med normalvektor N, så

.

Udledningen af ​​formlen svarer til, hvordan det blev gjort for en lige linje på et plan. Gør det selv.

Ligning af et plan. Hvordan skriver man en ligning af et fly?
Gensidig ordning fly. Opgaver

Rumlig geometri er ikke meget mere kompliceret end "flad" geometri, og vores flyvninger i rummet begynder med denne artikel. For at mestre emnet skal du have en god forståelse for vektorer, desuden er det tilrådeligt at være bekendt med flyets geometri - der vil være mange ligheder, mange analogier, så informationen vil blive fordøjet meget bedre. I en række af mine lektioner åbner 2D-verdenen med en artikel Ligning af en ret linje på et plan. Men nu har Batman forladt flad-tv-skærmen og lancerer fra Baikonur Cosmodrome.

Lad os starte med tegninger og symboler. Skematisk kan flyet tegnes i form af et parallelogram, som skaber indtryk af rum:

Flyet er uendeligt, men vi har mulighed for kun at afbilde et stykke af det. I praksis tegnes der udover parallelogrammet også en oval eller endda en sky. Af tekniske årsager er det mere bekvemt for mig at afbilde flyet på præcis denne måde og i præcis denne position. Rigtige fly, som vi vil overveje i praktiske eksempler, kan placeres på enhver måde - tag mentalt tegningen i dine hænder og drej den i rummet, hvilket giver flyet enhver hældning, enhver vinkel.

Betegnelser: fly er normalt angivet med små græske bogstaver, tilsyneladende for ikke at forveksle dem med lige linje på et fly eller med lige linje i rummet. Jeg er vant til at bruge bogstavet. På tegningen er det bogstavet "sigma", og slet ikke et hul. Selvom det hullede fly bestemt er ret sjovt.

I nogle tilfælde er det praktisk at bruge de samme symboler til at udpege fly. græske bogstaver med abonnementer, f.eks.

Det er klart, at flyet er unikt bestemt af tre forskellige punkter, ikke liggende på samme lige linje. Derfor er betegnelser på tre bogstaver af fly ret populære - ved de punkter, der hører til dem, for eksempel osv. Ofte er bogstaver omgivet af parentes: , for ikke at forveksle flyet med en anden geometrisk figur.

For erfarne læsere vil jeg give hurtig adgangsmenu:

• Hvordan laver man en ligning af et plan ved hjælp af et punkt og to vektorer?
• Hvordan laver man en ligning af et plan ved hjælp af et punkt og en normalvektor?

og vi vil ikke sygne hen i lange ventetider:

Generel planligning

Planens generelle ligning har formen , hvor koefficienterne ikke er lig med nul på samme tid.

En række teoretiske beregninger og praktiske problemer gældende både for det sædvanlige ortonormale grundlag og for affint grundlag plads (hvis olien er olie, vend tilbage til lektionen Lineær (ikke) afhængighed af vektorer. Grundlag for vektorer). For nemheds skyld vil vi antage, at alle hændelser forekommer på ortonormal basis og en kartesisk rektangulært system koordinater

Lad os nu øve os lidt rumlig fantasi. Det er okay, hvis din er dårlig, nu udvikler vi den lidt. Selv at spille på nerver kræver træning.

I selve almindelig sag, når tallene ikke er nul, skærer planet alle tre koordinatakser. For eksempel sådan her:

Jeg gentager endnu en gang, at flyet fortsætter i det uendelige i alle retninger, og vi har mulighed for kun at afbilde en del af det.

Lad os overveje de enkleste ligninger af fly:

hvordan man forstår givet ligning? Tænk over det: "Z" er ALTID lig med nul, for alle værdier af "X" og "Y". Dette er ligningen for det "native" koordinatplan. Rent formelt kan ligningen omskrives som følger: , hvorfra du tydeligt kan se, at vi er ligeglade med, hvilke værdier "x" og "y" tager, er det vigtigt, at "z" er lig nul.

Ligeledes:
– ligning af koordinatplanet;
– ligning af koordinatplanet.

Lad os komplicere problemet lidt, overvej et plan (her og videre i afsnittet antager vi, at de numeriske koefficienter ikke er lig med nul). Lad os omskrive ligningen i formen: . Hvordan forstår man det? "X" er ALTID, for alle værdier af "Y" og "Z", lig med et bestemt tal. Dette plan er parallelt med koordinatplanet. For eksempel er et plan parallelt med et plan og passerer gennem et punkt.

Ligeledes:
– ligning af et plan, der er parallelt med koordinatplanet;
– ligning af et plan, der er parallelt med koordinatplanet.

Lad os tilføje medlemmer: . Ligningen kan omskrives som følger: , det vil sige, "zet" kan være hvad som helst. Hvad betyder det? "X" og "Y" er forbundet med relationen, som tegner en bestemt ret linje i planet (du vil finde ud af ligning af en linje i et plan?). Da "z" kan være hvad som helst, bliver denne lige linje "repliceret" i enhver højde. Således definerer ligningen et plan parallelt med koordinataksen

Ligeledes:
– ligning af et plan, der er parallelt med koordinataksen;
– ligning af en plan, der er parallel med koordinataksen.

Hvis de frie led er nul, så vil flyene direkte passere gennem de tilsvarende akser. For eksempel den klassiske "direkte proportionalitet": . Tegn en lige linje i flyet og multiplicer den mentalt op og ned (da "Z" er et hvilket som helst). Konklusion: fly, givet af ligningen, går gennem koordinataksen.

Vi afslutter gennemgangen: flyets ligning går gennem oprindelsen. Nå, her er det helt indlysende, at pointen opfylder denne ligning.

Og endelig sagen vist på tegningen: - flyet er venner med alle koordinatakser, mens den altid "skærer" trekanten af, som kan være placeret i enhver af de otte oktanter.

Lineære uligheder i rummet

For at forstå informationen skal du studere godt lineære uligheder i planet, fordi mange ting vil ligne hinanden. Afsnittet vil være af kort oversigtskarakter med flere eksempler, da materialet i praksis er ret sjældent.

Hvis ligningen definerer et plan, så er ulighederne
Spørg halve mellemrum. Hvis uligheden ikke er streng (de sidste to på listen), så omfatter løsningen af ​​uligheden udover halvrummet også selve flyet.

Eksempel 5

Find enhedens normalvektor for planet .

Løsning: En enhedsvektor er en vektor, hvis længde er én. Lad os betegne givet vektor igennem . Det er helt klart, at vektorerne er kollineære:

Først fjerner vi normalvektoren fra planens ligning: .

Sådan finder du enhedsvektor? For at finde enhedsvektoren skal du bruge hver divider vektorkoordinaten med vektorlængden.

Lad os omskrive normalvektoren i formen og finde dens længde:

Ifølge ovenstående:

Svar:

Verifikation: hvad der krævedes for at blive verificeret.

Læsere, der omhyggeligt studerede det sidste afsnit af lektionen, har sandsynligvis bemærket det enhedsvektorens koordinater er nøjagtigt vektorens retningscosinus:

Lad os tage en pause fra problemet: når du får en vilkårlig ikke-nul vektor, og i henhold til betingelsen er det påkrævet at finde dens retning cosinus (se de sidste opgaver i lektionen Punktprodukt af vektorer), så finder du faktisk en enhedsvektor kollineær med denne. Faktisk to opgaver på én flaske.

Behovet for at finde enhedsnormalvektoren opstår i nogle problemer med matematisk analyse.

Vi har fundet ud af, hvordan man fisker en normal vektor ud, lad os nu besvare det modsatte spørgsmål:

Hvordan laver man en ligning af et plan ved hjælp af et punkt og en normalvektor?

Denne stive konstruktion af en normal vektor og et punkt er velkendt for dartskiven. Stræk venligst hånden fremad og vælg mentalt et vilkårligt punkt i rummet, for eksempel en lille kat i skænken. Det er klart, at du gennem dette punkt kan tegne et enkelt plan vinkelret på din hånd.

Ligningen for et plan, der passerer gennem et punkt vinkelret på vektoren, udtrykkes med formlen:

Overfladeligning i rummet

Definition. Enhver ligning, der relaterer x-, y- og z-koordinaterne til ethvert punkt på en overflade, er en ligning for den overflade.

Generel planligning

Definition. En plan er en overflade, som alle punkter opfylder den generelle ligning:

Axe + By + Cz + D = 0,

hvor A, B, C er vektorkoordinater

normal vektor til planet. Følgende særlige tilfælde er mulige:

A = 0 - planet er parallelt med Ox-aksen

B = 0 - planet er parallelt med Oy-aksen

C = 0 - planet er parallelt med Oz-aksen

D = 0 - flyet passerer gennem origo

A = B = 0 - planet er parallelt med xOy-planet

A = C = 0 - planet er parallelt med xOz-planet

B = C = 0 - planet er parallelt med yOz-planet

A = D = 0 - planet passerer gennem Ox-aksen

B = D = 0 - flyet passerer gennem Oy-aksen

C = D = 0 - flyet passerer gennem Oz-aksen

A = B = D = 0 - planet falder sammen med xOy-planet

A = C = D = 0 - planet falder sammen med xOz-planet

B = C = D = 0 - planet falder sammen med yOz-planet

Ligning for et plan, der passerer gennem tre punkter

For at et enkelt plan kan trækkes gennem tre punkter i rummet, er det nødvendigt, at disse punkter ikke ligger på den samme lige linje. Overvej punkterne M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) generelt Cartesisk system koordinater For at et vilkårligt punkt M(x, y, z) skal ligge i samme plan med punkterne M1, M2, M3, er det nødvendigt, at vektorerne er koplanære.

Dermed,

Ligning for et plan, der passerer gennem tre punkter:

Ligning af et plan givet to punkter og en vektor kollineær til planet

Lad punkterne M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) og en vektor være givet.

Lad os lave en ligning for et plan, der går gennem disse punkter M1 og M2 og et vilkårligt punkt M(x, y, z) parallelt med vektoren.

Vektorerne og vektoren skal være koplanære, dvs.

Planligning:

Ligning for en plan givet et punkt og to vektorer kollineært med planet

Lad to vektorer være givet og, kollineære planer. Derefter for et vilkårligt punkt M(x, y, z), der hører til flyet, skal vektorerne være koplanære. Planligning:

Ligning af et plan efter punkt og normalvektor

Sætning. Hvis et punkt M0(x0, y0, z0) er givet i rummet, så har ligningen for planet, der passerer gennem punktet M0 vinkelret på normalvektoren (A, B, C), formen:

A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0.

Bevis. For et vilkårligt punkt M(x, y, z), der hører til planet, sammensætter vi en vektor. Fordi vektor er en normal vektor, så er den vinkelret på planet og derfor vinkelret på vektoren. Derefter det skalære produkt

Således får vi flyets ligning

Sætningen er blevet bevist.

Det kan vises, at enhver førstegradsligning med hensyn til kartesiske koordinater x, y, z repræsenterer ligningen for et bestemt plan. Denne ligning er skrevet som:

Axe+By+Cz+D=0

og kaldes generel ligning flyet og koordinaterne A, B, C her er koordinaterne for normalvektoren i planet.

Lad os overveje særlige tilfælde generel ligning. Lad os finde ud af, hvordan planet er placeret i forhold til koordinatsystemet, hvis en eller flere koefficienter i ligningen bliver nul.

1. Gratis medlem lig med nul D= 0.

I dette tilfælde tager flyets ligning formen Axe+Cy+Bz=0. Fordi tal x=0, y=0, z=0 opfylder planens ligning, så passerer den gennem origo. Ligeledes hvis B= 0, så er planet parallelt med aksen Åh Og C= 0 – plan parallelt med aksen Oz. Således, hvis i planligningen en af ​​koefficienterne ved den aktuelle koordinat er lig med nul, så er planen parallel med den tilsvarende koordinatakse.

1. Koefficienten ved den aktuelle koordinat og det frie led er lig med nul. For eksempel, A=D= 0. I dette tilfælde ligningen Af + Cz= 0 svarer til det plan, der går gennem koordinaternes oprindelse (ifølge punkt 1). Herudover under hensyntagen til pkt. givet fly skal være parallel med aksen Okse. Derfor passerer flyet gennem aksen Okse.

Tilsvarende hvornår B=D=0 fly Axe+Cz=0 går gennem aksen Åh. På C=D=0 flyet passerer gennem aksen Oz.

1. To koefficienter ved de aktuelle koordinater af såret er nul. Lad f.eks. A=B=0. Så flyet Cz+D=0 på grund af punkt 2 vil være parallel med akserne Okse Og Åh, og derfor parallelt med koordinatplanet xOy, og passerer gennem punktet med koordinat. Tilsvarende ligningerne Axe+D=0 og Ved+D=0 svarer til planer parallelt med koordinatplaner yOz Og xOz.
2. To koefficienter ved de aktuelle koordinater og det frie led er lig med nul. Lad f.eks. A=B=D=0. Så har flyets ligning formen Cz=0 eller z=0. Dette plan passerer gennem origo og er parallelt med akserne Okse Og Åh, dvs. ligningen definerer koordinatplanet xOy. Ligeledes, x=0 – ligning for koordinatplanet yOz Og y=0 – fly xOz.

Eksempler.

1. Skriv en ligning for et plan parallelt med aksen Åh, gennem punkter M 1(1; 0; -1), M 2(-1; 2;0).

Siden aksen Åh er parallel, så er planens ligning Axe+Cy+D=0. Overvejer det M 1Î α, M 2О α, erstatter vi koordinaterne for disse punkter i ligningen og får et system med to lineære ligninger med tre ukendte

Putting D= 1, lad os finde EN= 1 og C= 2. Derfor har planens ligning formen x+ 2z+1=0.

1. Skriv en ligning for et plan, der går gennem et punkt M(2;3;-4) parallelt med planet yOz(vinkelret på aksen Okse).

Fordi yOz||α, så vil flyets ligning være Axe+D=0. På den anden side MО α, derfor 2A+D=0, D=-2EN. Derfor har flyet ligningen x-2=0.

Du kan indstille forskellige veje(et punkt og en vektor, to punkter og en vektor, tre punkter osv.). Det er med dette i tankerne, at flyets ligning kan have forskellige slags. Under visse betingelser kan planer også være parallelle, vinkelrette, krydsende osv. Vi vil tale om dette i denne artikel. Vi vil lære, hvordan man laver en generel ligning af et fly og mere.

Normal form for ligning

Lad os sige, at der er et mellemrum R 3, der har et rektangulært XYZ-koordinatsystem. Lad os definere vektoren α, som vil blive frigivet fra startpunktet O. Gennem enden af ​​vektoren α tegner vi en plan P, som vil være vinkelret på den.

Lad os betegne et vilkårligt punkt på P som Q = (x, y, z). Lad os underskrive radiusvektoren for punkt Q med bogstavet p. I dette tilfælde er længden af ​​vektoren α lig med р=IαI og Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Dette er en enhedsvektor, der er rettet til siden, ligesom vektoren α. α, β og γ er de vinkler, der dannes mellem vektoren Ʋ og de positive retninger af henholdsvis rumakserne x, y, z. Projektionen af ​​ethvert punkt QϵП på vektoren Ʋ er konstant værdi, som er lig med p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Ovenstående ligning giver mening, når p=0. Det eneste er, at planet P i dette tilfælde vil skære punktet O (α=0), som er udgangspunktet for koordinaterne, og enhedsvektoren Ʋ frigivet fra punktet O vil være vinkelret på P, på trods af dens retning, hvilket betyder, at vektoren Ʋ er bestemt med nøjagtighed til tegnet. Den foregående ligning er ligningen for vores plan P, udtrykt i vektorform. Men i koordinater vil det se sådan ud:

P her er større end eller lig med 0. Vi har fundet ligningen for planet i rummet i normal form.

Generel ligning

Hvis vi multiplicerer ligningen i koordinater med et hvilket som helst tal, der ikke er lig med nul, får vi en ligning svarende til denne, der definerer netop den plan. Det vil se sådan ud:

Her er A, B, C tal, der samtidigt er forskellige fra nul. Denne ligning kaldes den generelle planligning.

Planernes ligninger. Særlige tilfælde

Ligning i generel opfattelse kan ændres, hvis det er tilgængeligt yderligere betingelser. Lad os se på nogle af dem.

Lad os antage, at koefficienten A er 0. Det betyder, at dette plan er parallelt med den givne Ox-akse. I dette tilfælde vil formen af ​​ligningen ændre sig: Ву+Cz+D=0.

Tilsvarende vil formen af ​​ligningen ændre sig under følgende forhold:

• For det første, hvis B = 0, så ændres ligningen til Ax + Cz + D = 0, hvilket vil indikere parallelitet til Oy-aksen.
• For det andet, hvis C=0, så vil ligningen blive transformeret til Ax+By+D=0, hvilket vil indikere parallelitet til den givne Oz-akse.
• For det tredje, hvis D=0, vil ligningen se ud som Ax+By+Cz=0, hvilket vil betyde, at planet skærer O (originalen).
• For det fjerde, hvis A=B=0, så ændres ligningen til Cz+D=0, hvilket vil vise sig parallelt med Oxy.
• For det femte, hvis B=C=0, så bliver ligningen Ax+D=0, hvilket betyder, at planet til Oyz er parallelt.
• For det sjette, hvis A=C=0, vil ligningen have formen Ву+D=0, det vil sige, at den vil rapportere parallelitet til Oxz.

Type af ligning i segmenter

I det tilfælde, hvor tallene A, B, C, D er forskellige fra nul, kan formen af ​​ligning (0) være som følger:

x/a + y/b + z/c = 1,

hvor a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Vi får som et resultat. Det er værd at bemærke, at dette plan vil skære Ox-aksen i et punkt med koordinater (a,0,0), Oy - (0,b,0) og Oz - (0,0,c ).

Når man tager ligningen x/a + y/b + z/c = 1 i betragtning, er det ikke svært visuelt at forestille sig planets placering i forhold til et givet koordinatsystem.

Normale vektorkoordinater

Normalvektoren n til planen P har koordinater, der er koefficienter for den generelle ligning for denne plan, det vil sige n (A, B, C).

For at bestemme koordinaterne for normalen n er det nok at kende den generelle ligning for en given plan.

Når du bruger en ligning i segmenter, som har formen x/a + y/b + z/c = 1, samt når du bruger en generel ligning, kan du skrive koordinaterne for enhver normalvektor i en given plan: (1 /a + 1/b + 1/ Med).

Det er værd at bemærke, at den normale vektor hjælper med at løse forskellige opgaver. De mest almindelige omfatter problemer, der involverer bevis for vinkelret eller parallelitet af planer, problemer med at finde vinkler mellem planer eller vinkler mellem planer og rette linjer.

Type af planligning ifølge koordinaterne for punktet og normalvektoren

En ikke-nul vektor n vinkelret på en given plan kaldes normal for en given plan.

Lad os antage, at der i koordinatrummet (rektangulært koordinatsystem) er givet Oxyz:

• punkt Mₒ med koordinater (xₒ,yₒ,zₒ);
• nul vektor n=A*i+B*j+C*k.

Det er nødvendigt at lave en ligning for en plan, der vil passere gennem punktet Mₒ vinkelret på normalen n.

Vi vælger et hvilket som helst vilkårligt punkt i rummet og betegner det M (x y, z). Lad radiusvektoren for ethvert punkt M (x,y,z) være r=x*i+y*j+z*k, og radiusvektoren for punktet Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Punkt M vil tilhøre et givet plan, hvis vektoren MₒM er vinkelret på vektor n. Lad os skrive ortogonalitetsbetingelsen ved hjælp af skalarproduktet:

[MₒM, n] = 0.

Da MₒM = r-rₒ, vil vektorligningen for planet se sådan ud:

Denne ligning kan have en anden form. For at gøre dette bruges egenskaberne for det skalære produkt, og transformationen er venstre side ligninger = - . Hvis vi betegner det som c, får vi følgende ligning: - c = 0 eller = c, som udtrykker konstansen af ​​projektionerne på normalvektoren af ​​radiusvektorerne af givne punkter, der hører til planet.

Nu kan du få koordinatvisningen af ​​posten vektorligning vores plan = 0. Da r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, og n = A*i+B*j+C*k, vi har:

Det viser sig, at vi har en ligning for et plan, der går gennem et punkt vinkelret på normalen n:

A*(x-x2)+B*(y-y2)C*(z-z2)=0.

Type af planligning ifølge koordinaterne for to punkter og en vektor kolineær til planet

Lad os specificere to vilkårlige punkter M′ (x′,y′,z′) og M″ (x″,y″,z″) samt en vektor a (a′,a″,a‴).

Nu kan vi lave en ligning for en given plan, der vil passere gennem de eksisterende punkter M′ og M″, såvel som ethvert punkt M med koordinater (x, y, z) parallelt med den givne vektor a.

I dette tilfælde skal vektorerne M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) og M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) være koplanære med vektoren a=(a′,a″,a‴), hvilket betyder, at (M′M, M″M, a)=0.

Så vores planligning i rummet vil se sådan ud:

Type af ligning for et plan, der skærer tre punkter

Lad os sige, at vi har tre punkter: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), som ikke hører til den samme linje. Det er nødvendigt at skrive ligningen for et plan, der passerer gennem givet tre punkter. Teorien om geometri hævder, at denne slags fly virkelig eksisterer, men det er det eneste og unikke. Da dette plan skærer punktet (x′,y′,z′), vil formen af ​​dets ligning være som følger:

Her er A, B, C forskellige fra nul på samme tid. Desuden skærer det givne plan yderligere to punkter: (x″,y″,z″) og (x‴,y‴,z‴). I den forbindelse skal følgende betingelser være opfyldt:

Nu kan vi komponere homogent system med ukendt u, v, w:

I vores tilfælde x,y eller z stikker ud vilkårligt punkt, som opfylder ligning (1). Givet ligning (1) og ligningssystemet (2) og (3), er ligningssystemet angivet i figuren ovenfor opfyldt af vektoren N (A,B,C), som er ikke-triviel. Derfor er determinanten for dette system lig nul.

Ligning (1), som vi har fået, er ligningen for planet. Den passerer gennem 3 punkter nøjagtigt, og det er nemt at kontrollere. For at gøre dette skal vi udvide vores determinant til elementerne i første række. Fra eksisterende ejendomme determinant følger det, at vores plan samtidig skærer tre oprindeligt givne punkter (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴). Det vil sige, at vi har løst den opgave, vi har fået tildelt.

Dihedral vinkel mellem planer

En dihedral vinkel repræsenterer et rumligt geometrisk figur, dannet af to halvplaner, der udgår fra én lige linje. Med andre ord er dette den del af rummet, der er begrænset af disse halvplaner.

Lad os sige, at vi har to planer med følgende ligninger:

Vi ved, at vektorerne N=(A,B,C) og N¹=(A¹,B¹,C¹) er vinkelrette iflg. givne fly. I denne henseende er vinklen φ mellem vektorerne N og N¹ lig med den vinkel (dihedral), der er placeret mellem disse planer. Skalært produkt har formen:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

netop fordi

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Det er nok at tage højde for, at 0≤φ≤π.

Faktisk danner to planer, der skærer hinanden, to vinkler (dihedral): φ 1 og φ 2. Deres sum er lig π (φ 1 + φ 2 = π). Hvad angår deres cosinus, er deres absolutte værdier ens, men de adskiller sig i fortegn, det vil sige cos φ 1 = -cos φ 2. Hvis vi i ligning (0) erstatter A, B og C med henholdsvis tallene -A, -B og -C, så vil ligningen, vi får, bestemme den samme plan, den eneste, vinklen φ i cos ligningφ=NN1/|N||N1 | vil blive erstattet af π-φ.

Ligning for et vinkelret plan

Planer, mellem hvilke vinklen er 90 grader, kaldes vinkelrette. Ved at bruge det ovenfor præsenterede materiale kan vi finde ligningen for et plan vinkelret på et andet. Lad os sige, at vi har to planer: Ax+By+Cz+D=0 og A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Vi kan sige, at de vil være vinkelrette, hvis cosφ=0. Det betyder, at NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Parallelplansligning

To planer, der ikke indeholder fælles punkter, kaldes parallelle.

Betingelse (deres ligninger er de samme som i forrige afsnit) er, at vektorerne N og N¹, som er vinkelrette på dem, er kollineære. Og det betyder, at de er opfyldt følgende forhold proportionalitet:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Hvis proportionalitetsbetingelserne udvides - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

dette indikerer, at disse fly falder sammen. Det betyder, at ligningerne Ax+By+Cz+D=0 og A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 beskriver én plan.

Afstand til fly fra punkt

Lad os sige, at vi har en plan P, som er givet ved ligning (0). Det er nødvendigt at finde afstanden til den fra et punkt med koordinater (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. For at gøre dette skal du bringe ligningen for planet P i normal form:

(ρ,v)=р (р≥0).

I I dette tilfældeρ (x,y,z) er radiusvektoren for vores punkt Q placeret på P, p er længden af ​​den vinkelrette P, der blev frigivet fra nulpunkt, v er enhedsvektoren, som er placeret i retningen a.

Forskellen ρ-ρº radiusvektor for et punkt Q = (x, y, z), der tilhører P, såvel som radiusvektoren for et givet punkt Q 0 = (xₒ, yₒ, zₒ) er sådan en vektor, absolut værdi hvis projektion på v er lig med afstanden d, som skal findes fra Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) til P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, men

(ρ-ρ 0,v)= (ρ,v)-(ρ0,v) =р-(ρ0,v).

Så det viser sig

d=|(ρ 0,v)-р|.

Så vi finder absolut værdi det resulterende udtryk, det vil sige det ønskede d.

Ved at bruge parametersproget får vi det åbenlyse:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Hvis sætpunkt Q 0 er på den anden side af planen P, ligesom koordinaternes oprindelse, så mellem vektoren ρ-ρ 0 og v er derfor placeret:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

I det tilfælde, hvor punktet Q 0, sammen med oprindelsen af ​​koordinater, er placeret på samme side af P, så er den skabte vinkel spids, det vil sige:

d=(ρ-ρ0,v)=р - (ρ0, v)>0.

Som et resultat viser det sig, at i det første tilfælde (ρ 0 ,v)>р, i det andet (ρ 0 ,v)<р.

Tangentplan og dets ligning

Tangentplanet til overfladen i kontaktpunktet Mº er et plan, der indeholder alle mulige tangenter til kurverne trukket gennem dette punkt på overfladen.

Med denne type overfladeligning F(x,y,z)=0, vil ligningen for tangentplanet ved tangentpunktet Mº(xº,yº,zº) se sådan ud:

F x (xº,yº,zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y- yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

Hvis du angiver overfladen i eksplicit form z=f (x,y), så vil tangentplanet blive beskrevet med ligningen:

z-zº =f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).

Skæring af to planer

I koordinatsystemet (rektangulært) er Oxyz placeret, der er givet to planer П′ og П″, som skærer hinanden og ikke er sammenfaldende. Da enhver plan placeret i et rektangulært koordinatsystem er bestemt af en generel ligning, vil vi antage, at P′ og P″ er givet af ligningerne A′x+B′y+C′z+D′=0 og A″x +B″y+ С″z+D″=0. I dette tilfælde har vi normalen n′ (A′,B′,C′) for planen P′ og normalen n″ (A″,B″,C″) af planen P″. Da vores planer ikke er parallelle og ikke falder sammen, er disse vektorer ikke kollineære. Ved at bruge matematikkens sprog kan vi skrive denne betingelse som følger: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Lad den rette linje, der ligger i skæringspunktet mellem P′ og P″, betegnes med bogstavet a, i dette tilfælde a = P′ ∩ P″.

a er en ret linje, der består af mængden af ​​alle punkter i de (fælles) planer P′ og P″. Det betyder, at koordinaterne for ethvert punkt, der hører til linje a, samtidig skal opfylde ligningerne A′x+B′y+C′z+D′=0 og A″x+B″y+C″z+D″=0 . Dette betyder, at punktets koordinater vil være en delvis løsning af følgende ligningssystem:

Som et resultat viser det sig, at den (generelle) løsning af dette ligningssystem vil bestemme koordinaterne for hvert af punkterne på linjen, som vil fungere som skæringspunktet for P′ og P″ og bestemme den rette linje a i Oxyz (rektangulære) koordinatsystem i rummet.