Du kan ikke sætte den til 0. Hvor kommer forbuddet mod at dividere med nul fra? Demonstration af forskellige divisionsoperationer ved hjælp af handlinger, som alle kan forstå

Evgeniy Shiryaev, lærer og leder af Matematiklaboratoriet på Polytechnic Museum, fortalte AiF.ru om division med nul:

1. Spørgsmålets jurisdiktion

Enig, det der gør reglen særligt provokerende er forbuddet. Hvordan kan dette ikke lade sig gøre? Hvem har forbudt? Hvad med vores borgerrettigheder?

Hverken Den Russiske Føderations forfatning eller straffeloven eller engang din skoles charter gør indsigelse mod den intellektuelle handling, der interesserer os. Det betyder, at der ikke er noget forbud retskraft, og intet forhindrer dig i at forsøge at dividere noget med nul lige her, på siderne af AiF.ru. For eksempel tusind.

2. Lad os dividere som lært

Husk, da du først lærte at dividere, blev de første eksempler løst ved at kontrollere multiplikation: Resultatet ganget med divisoren skulle være det samme som det delelige. Hvis det ikke stemte, besluttede de sig ikke.

Eksempel 1. 1000: 0 =...

Lad os glemme den forbudte regel et øjeblik og gøre flere forsøg på at gætte svaret.

Forkerte vil blive afskåret af checken. Prøv følgende muligheder: 100, 1, -23, 17, 0, 10.000 For hver af dem vil checken give det samme resultat:

100 0 = 1 0 = − 23 0 = 17 0 = 0 0 = 10.000 0 = 0

Ved at gange nul bliver alt til sig selv og aldrig til tusind. Konklusionen er let at formulere: intet tal vil blive testet. Det vil sige, at intet tal kan være resultatet af at dividere et ikke-nul tal med nul. En sådan opdeling er ikke forbudt, men har simpelthen intet resultat.

3. Nuancer

Vi missede næsten én mulighed for at afvise forbuddet. Ja, vi indrømmer, at et ikke-nul tal ikke kan divideres med 0. Men det kan 0 selv måske?

Eksempel 2. 0: 0 = ...

Hvad er dine forslag til privat? 100? Venligst: kvotienten på 100 ganget med divisoren 0 er lig med udbyttet 0.

Flere muligheder! 1? Passer også. Og −23 og 17, og det er det. I dette eksempel vil testen være positiv for et hvilket som helst tal. Og for at være ærlig, bør løsningen i dette eksempel ikke hedde et tal, men et sæt tal. Alle sammen. Og det tager ikke lang tid at blive enige om, at Alice ikke er Alice, men Mary Ann, og de er begge en kanins drøm.

4. Hvad med højere matematik?

Problemet er løst, nuancerne er taget i betragtning, prikkerne er placeret, alt er blevet klart - svaret på eksemplet med division med nul kan ikke være et enkelt tal. At løse sådanne problemer er håbløst og umuligt. Hvilket betyder... interessant! Tag to.

Eksempel 3. Find ud af, hvordan du dividerer 1000 med 0.

Men ingen måde. Men 1000 kan nemt divideres med andre tal. Nå, lad os i det mindste gøre, hvad vi kan, selvom vi ændrer opgaven. Og så, ser du, bliver vi revet med, og svaret dukker op af sig selv. Lad os glemme alt om nul i et minut og dividere med hundrede:

Hundrede er langt fra nul. Lad os tage et skridt hen imod det ved at mindske divisoren:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

Dynamikken er indlysende: Jo tættere divisoren er på nul, jo større er kvotienten. Tendensen kan observeres yderligere ved at gå til brøker og fortsætte med at reducere tælleren:

Det er tilbage at bemærke, at vi kan komme så tæt på nul, som vi vil, hvilket gør kvotienten så stor, som vi vil.

I denne proces er der intet nul, og der er ingen sidste kvotient. Vi indikerede bevægelsen mod dem ved at erstatte tallet med en sekvens, der konvergerer til det tal, vi er interesserede i:

Dette indebærer en lignende erstatning for udbyttet:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

Det er ikke for ingenting, at pilene er dobbeltsidede: nogle sekvenser kan konvergere til tal. Så kan vi associere sekvensen med dens numeriske grænse.

Lad os se på rækkefølgen af kvotienter:

Den vokser ubegrænset, stræber ikke efter noget antal og overgår nogen. Matematikere tilføjer symboler til tal ∞ for at kunne sætte en dobbeltsidet pil ud for en sådan sekvens:

Sammenligning med antallet af sekvenser, der har en grænse, giver os mulighed for at foreslå en løsning på det tredje eksempel:

Når man elementvis deler en sekvens, der konvergerer til 1000, til en sekvens på positive tal, konvergerende til 0, får vi en sekvens, der konvergerer til ∞.

5. Og her er nuancen med to nuller

Hvad er resultatet af at dividere to sekvenser af positive tal, der konvergerer til nul? Hvis de er ens, så er enheden identisk. Hvis udbyttesekvensen konvergerer til nul hurtigere, så har sekvensen i kvotienten en nulgrænse. Og når elementerne i divisor falder meget hurtigere end udbyttet, vil sekvensen af kvotienten vokse meget:

Usikker situation. Og det hedder det: usikkerhed af typen 0/0 . Når matematikere ser sekvenser, der passer til en sådan usikkerhed, skynder de sig ikke at opdele de to identiske tal på hinanden, men find ud af, hvilken af sekvenserne der løber hurtigere til nul og præcis hvordan. Og hvert eksempel vil have sit eget specifikke svar!

6. I livet

Ohms lov relaterer strøm, spænding og modstand i et kredsløb. Det er ofte skrevet i denne form:

Lad os tillade os at ignorere den pæne fysiske forståelse og formelt se på højre side som kvotienten af to tal. Lad os forestille os, at vi bestemmer skoleopgave på el. Betingelsen giver spændingen i volt og modstand i ohm. Spørgsmålet er indlysende, løsningen er i én handling.

Lad os nu se på definitionen af superledning: dette er egenskaben for nogle metaller at have nul elektrisk modstand.

Nå, lad os løse problemet med et superledende kredsløb? Bare sæt det op R= 0 det går ikke, fysikken kaster op interessant opgave, som åbenbart står bag videnskabelig opdagelse. Og de mennesker, der formåede at dividere med nul i denne situation, modtog Nobel pris. Det er nyttigt at kunne omgå alle forbud!

Meget ofte undrer mange mennesker sig over, hvorfor division med nul ikke kan bruges? I denne artikel vil vi tale meget detaljeret om, hvor denne regel kom fra, samt hvilke handlinger der kan udføres med et nul.

I kontakt med

Zero kan kaldes en af de mest interessante tal. Dette tal har ingen betydning, det betyder tomhed i bogstaveligt talt ord. Men hvis et nul er placeret ved siden af et tal, vil værdien af dette tal blive flere gange større.

Selve nummeret er meget mystisk. Jeg brugte den igen gamle mennesker Maya. For mayaerne betød nul "begyndelse" og tæller kalenderdage startede også fra bunden.

Meget interessant fakta er, at nultegnet og usikkerhedstegnet lignede hinanden. Hermed ønskede mayaerne at vise, at nul er det samme identiske tegn som usikkerhed. I Europa dukkede betegnelsen nul op for relativt nylig.

Mange kender også forbuddet forbundet med nul. Det vil enhver sige du kan ikke dividere med nul. Det siger lærere i skolen, og børn tager normalt deres ord for det. Normalt er børn enten simpelthen ikke interesserede i at vide dette, eller de ved, hvad der vil ske, hvis de efter at have hørt et vigtigt forbud straks spørger: "Hvorfor kan du ikke dividere med nul?" Men når du bliver ældre, vækker din interesse, og du vil gerne vide mere om årsagerne til dette forbud. Der er dog rimelige beviser.

Handlinger med nul

Først skal du bestemme, hvilke handlinger der kan udføres med nul. Eksisterer flere typer handlinger:

Tilføjelse;
Multiplikation;
Subtraktion;
Division (nul efter tal);
Eksponentiering.

Vigtig! Hvis du tilføjer nul til et hvilket som helst tal under addition, vil dette tal forblive det samme og vil ikke ændre dets numeriske værdi. Det samme sker, hvis du trækker nul fra et hvilket som helst tal.

Når man multiplicerer og dividerer tingene er lidt anderledes. Hvis gange ethvert tal med nul, så bliver produktet også nul.

Lad os se på et eksempel:

Lad os skrive dette som en tilføjelse:

Der er fem nuller i alt, så det viser sig

Lad os prøve at gange en med nul. Resultatet bliver også nul.

Nul kan også divideres med et hvilket som helst andet tal, der ikke er lig med det. I dette tilfælde vil resultatet være , hvis værdi også vil være nul. Samme regel gælder for negative tal. Hvis nul divideres med et negativt tal, er resultatet nul.

Du kan også konstruere et hvilket som helst tal til nulgraden. I dette tilfælde vil resultatet være 1. Det er vigtigt at huske, at udtrykket "nul i nul grader"er fuldstændig meningsløst. Hvis du forsøger at hæve nul til en hvilken som helst potens, får du nul. Eksempel:

Vi bruger multiplikationsreglen og får 0.

Så er det muligt at dividere med nul?

Så her kommer vi til hovedspørgsmålet. Er det muligt at dividere med nul? overhovedet? Og hvorfor kan vi ikke dividere et tal med nul, givet at alle andre handlinger med nul eksisterer og anvendes? For at besvare dette spørgsmål er det nødvendigt at vende sig til højere matematik.

Lad os starte med definitionen af begrebet, hvad er nul? Skolelærere De siger, at nul er ingenting. Tomhed. Det vil sige, at når du siger, at du har 0 håndtag, betyder det, at du slet ingen håndtag har.

I højere matematik er begrebet "nul" bredere. Det betyder slet ikke tomhed. Her kaldes nul usikkerhed, fordi hvis vi laver lidt research, viser det sig, at når vi dividerer nul med nul, kan vi ende med et hvilket som helst andet tal, som ikke nødvendigvis er nul.

Vidste du, at de er enkle aritmetiske operationer at I studerede i skolen ikke er så lige hinanden? De mest basale handlinger er addition og multiplikation.

For matematikere eksisterer begreberne "" og "subtraktion" ikke. Lad os sige: hvis du trækker tre fra fem, står du tilbage med to. Sådan ser subtraktion ud. Men matematikere ville skrive det på denne måde:

Det viser sig således, at den ukendte forskel er et bestemt tal, der skal lægges til 3 for at få 5. Det vil sige, at du ikke behøver at trække noget fra, du skal bare finde det passende tal. Denne regel gælder for tilføjelse.

Det er lidt anderledes med regler for multiplikation og division. Det er kendt, at multiplikation med nul fører til et nulresultat. For eksempel, hvis 3:0=x, så hvis du vender indtastningen om, får du 3*x=0. Og et tal, der blev ganget med 0, vil give nul i produktet. Det viser sig, at der ikke er noget tal, der ville give nogen anden værdi end nul i produktet med nul. Det betyder, at division med nul er meningsløst, det vil sige, at det passer til vores regel.

Men hvad sker der, hvis du forsøger at dividere nul i sig selv? Lad os tage x som noget ubestemt antal. Den resulterende ligning er 0*x=0. Det kan løses.

Hvis vi prøver at tage nul i stedet for x, får vi 0:0=0. Det virker logisk? Men hvis vi prøver at tage et hvilket som helst andet tal, for eksempel 1, i stedet for x, ender vi med 0:0=1. Den samme situation vil ske, hvis vi tager et hvilket som helst andet nummer og sæt den ind i ligningen.

I dette tilfælde viser det sig, at vi kan tage et hvilket som helst andet tal som en faktor. Resultatet bliver uendeligt sæt forskellige tal. Nogle gange giver division med 0 i højere matematik stadig mening, men så opstår normalt en bestemt betingelse, takket være hvilken vi stadig kan vælge et passende tal. Denne handling kaldes "usikkerhedsoplysning". I almindelig regning vil division med nul igen miste sin betydning, da vi ikke vil kunne vælge ét tal fra mængden.

Vigtig! Du kan ikke dividere nul med nul.

Nul og uendelighed

Uendelighed kan findes meget ofte i højere matematik. Da det simpelthen ikke er vigtigt for skolebørn at vide, at der også er matematiske operationer med uendelighed, kan lærere ikke rigtigt forklare børn, hvorfor det er umuligt at dividere med nul.

Studerende begynder først at lære grundlæggende matematiske hemmeligheder i det første år af instituttet. Højere matematik giver stort kompleks problemer, der ikke har nogen løsning. De mest kendte problemer er problemer med uendelighed. De kan løses vha matematisk analyse.

Kan også anvendes i det uendelige elementære matematiske operationer: addition, multiplikation med tal. Normalt bruger de også subtraktion og division, men i sidste ende kommer de alligevel ned til to simple operationer.

Selv i skolen forsøgte lærerne at hamre den enkleste regel ind i hovedet på os: "Ethvert tal ganget med nul er lig med nul!", – men alligevel opstår der konstant en del polemik omkring ham. Nogle mennesker husker bare reglen og generer sig ikke med spørgsmålet "hvorfor?" "Det kan du ikke, og det er det, for det sagde de i skolen, reglen er reglen!" Nogen kan fylde en halv notesbog med formler, hvilket beviser denne regel eller omvendt dens ulogik.

Hvem har ret i sidste ende?

Under disse tvister har begge mennesker modsatte punkter syn, se på hinanden som en vædder, og bevis med al deres magt, at de har ret. Selvom du ser på dem fra siden, kan du ikke se én, men to væddere, der hviler deres horn på hinanden. Den eneste forskel mellem dem er, at den ene er lidt mindre uddannet end den anden.

Oftest forsøger de, der anser denne regel for at være forkert, at appellere til logikken på denne måde:

Jeg har to æbler på mit bord, hvis jeg sætter nul æbler på dem, det vil sige, jeg lægger ikke et eneste, så forsvinder mine to æbler ikke! Reglen er ulogisk!

Æbler vil faktisk ikke forsvinde nogen steder, men ikke fordi reglen er ulogisk, men fordi en lidt anden ligning bruges her: 2 + 0 = 2. Så lad os forkaste denne konklusion med det samme - den er ulogisk, selvom den har omvendt mål- opfordrer til logik.

Hvad er multiplikation

Oprindeligt multiplikationsreglen blev kun defineret for naturlige tal: multiplikation er et tal tilføjet til sig selv et vist antal gange, hvilket betyder, at tallet er naturligt. Således kan ethvert tal med multiplikation reduceres til denne ligning:

25×3 = 75
25 + 25 + 25 = 75
25×3 = 25 + 25 + 25

Af denne ligning følger det at multiplikation er en forenklet addition.

Hvad er nul

Enhver person ved fra barndommen: nul er tomhed På trods af at denne tomhed har en betegnelse, bærer den ikke noget som helst. Gamle østlige videnskabsmænd tænkte anderledes - de nærmede sig spørgsmålet filosofisk og trak nogle paralleller mellem tomhed og uendelighed og så dyb mening i dette nummer. Efter alt, nul, som har betydningen af tomhed, står ved siden af evt naturligt tal, gange det tidoblet. Derfor al kontroversen om multiplikation - dette tal har så meget inkonsekvens, at det bliver svært ikke at blive forvirret. Derudover bruges nul konstant til at definere tomme cifre i decimaler, dette gøres både før og efter decimaltegnet.

Er det muligt at gange med tomhed?

Man kan gange med nul, men det er nytteløst, for uanset hvad man siger, selv når man multiplicerer negative tal, vil man stadig få nul. Det er nok bare at huske denne enkle regel og aldrig stille dette spørgsmål igen. Faktisk er alt enklere, end det ser ud ved første øjekast. Der er ingen skjulte betydninger og hemmeligheder, som gamle videnskabsmænd troede. Nedenfor vil vi give den mest logiske forklaring på, at denne multiplikation er ubrugelig, for når du ganger et tal med det, får du stadig det samme - nul.

Vender vi tilbage til begyndelsen, til argumentet om to æbler, 2 gange 0 ser sådan ud:

Hvis du spiser to æbler fem gange, så spiser du 2×5 = 2+2+2+2+2 = 10 æbler
Hvis du spiser to af dem tre gange, så spiser du 2×3 = 2+2+2 = 6 æbler
Hvis du spiser to æbler nul gange, så bliver der ikke spist noget - 2×0 = 0×2 = 0+0 = 0

At spise et æble 0 gange betyder jo ikke at spise et eneste. Det vil være klart selv for dig selv til et lille barn. Uanset hvad man kan sige, vil resultatet være 0, to eller tre kan erstattes med absolut et hvilket som helst tal, og resultatet vil være absolut det samme. Og for at sige det enkelt, altså nul er ingenting, og hvornår har du der er ingenting, så uanset hvor meget du formerer dig, er det stadig det samme vil være nul. Der er ikke noget der hedder magi, og intet vil lave et æble, selvom du gange 0 med en million. Dette er den enkleste, mest forståelige og logiske forklaring på reglen om multiplikation med nul. For en person, der er langt fra alle formler og matematik, vil en sådan forklaring være nok til, at dissonansen i hovedet løser sig, og alt falder på plads.

Division

Af alt det ovenstående følger en anden ting vigtig regel:

Du kan ikke dividere med nul!

Denne regel er også vedvarende blevet boret ind i vores hoveder siden barndommen. Vi ved bare, at det er umuligt at gøre alt uden at fylde vores hoveder med unødvendig information. Hvis du uventet bliver stillet spørgsmålet, hvorfor det er forbudt at dividere med nul, så vil flertallet blive forvirret og vil ikke være i stand til at svare klart på spørgsmålet. simpelt spørgsmål fra skolepensum, fordi der ikke er så meget polemik og polemik omkring denne regel.

Alle huskede simpelthen reglen udenad og dividerede ikke med nul, uden mistanke om, at svaret var skjult på overfladen. Addition, multiplikation, division og subtraktion er ulige af ovenstående, kun multiplikation og addition er gyldige, og alle andre manipulationer med tal er bygget ud fra dem. Det vil sige, at indgangen 10: 2 er en forkortelse af ligningen 2 * x = 10. Det betyder, at indgangen 10: 0 er den samme forkortelse for 0 * x = 10. Det viser sig, at division med nul er en opgave, der skal find et tal, gange med 0, får du 10 Og vi har allerede fundet ud af, at et sådant tal ikke eksisterer, hvilket betyder, at denne ligning ikke har nogen løsning, og den vil a priori være forkert.

Lad mig fortælle dig,

For ikke at dividere med 0!

Klip 1 som du vil, på langs,

Bare lad være med at dividere med 0!

Matematikere har en særlig sans for humor, og nogle spørgsmål i forbindelse med beregninger tages ikke længere seriøst. Det er ikke altid klart, om de forsøger at forklare dig i fuld alvor, hvorfor du ikke kan dividere med nul, eller om dette bare er endnu en joke. Men spørgsmålet i sig selv er ikke så indlysende, hvis man i elementær matematik kan nå dens løsning rent logisk, så kan der i højere matematik godt være andre begyndelsesbetingelser.

Hvornår dukkede nul op?

Tallet nul er fyldt med mange mysterier:

I Det gamle Rom De kendte ikke dette nummer, referencesystemet begyndte med I.
For retten til at blive kaldt stamfædre til nul i lang tid Arabere og indere skændtes.
Undersøgelser af mayakulturen har vist, at dette oldtidens civilisation kunne godt have været den første i forhold til at bruge nul.
Zero har intet numerisk værdi, endda minimal.
Det betyder bogstaveligt talt ingenting, fraværet af ting at tælle.

I det primitive system var der ikke noget særligt behov for en sådan figur, at fraværet af noget kunne forklares ved hjælp af ord. Men med fremkomsten af civilisationer steg menneskelige behov også med hensyn til arkitektur og teknik.

At implementere mere komplekse beregninger og det var nødvendigt at indføre nye funktioner et tal, der ville indikere fuldstændig fravær hvad som helst.

Er det muligt at dividere med nul?

Der er to diametralt modsatte meninger:

I skolen, stadig i juniorklasser De lærer, at du aldrig skal dividere med nul. Dette forklares meget enkelt:

Lad os forestille os, at du har 20 mandarinskiver.
Ved at dividere dem med 5, giver du 4 skiver til fem venner.
At dividere med nul vil ikke fungere, fordi processen med division mellem nogen vil ikke ske.

Dette er naturligvis en billedlig forklaring, stort set forenklet og ikke helt i overensstemmelse med virkeligheden. Men det forklarer på en yderst tilgængelig måde meningsløsheden i at dividere noget med nul.

Trods alt kan man faktisk på denne måde betegne kendsgerningen om fraværet af splittelse. Hvorfor komplicere det? matematiske beregninger og også nedskrive fraværet af division?

Kan nul divideres med et tal?

Ud fra anvendt matematiks synspunkt giver enhver division, der involverer et nul, ikke meget mening. Men skolebøger er klare i deres mening:

Nul kan deles.
Ethvert tal kan bruges til division.
Du kan ikke dividere nul med nul.

Det tredje punkt kan forårsage en smule forvirring, da det blot nogle få afsnit ovenfor blev indikeret, at en sådan opdeling er ganske mulig. Faktisk afhænger det hele af den disciplin, du laver beregningerne i.

I dette tilfælde er det virkelig bedre for skolebørn at skrive det udtryk kan ikke bestemmes , og derfor giver det ikke mening. Men i nogle grene af algebraisk videnskab er det tilladt at skrive et sådant udtryk ved at dividere nul med nul. Især når vi taler om O computere og programmeringssprog.

Behovet for at dividere nul med et tal kan opstå, når man løser eventuelle ligheder og søger efter begyndelsesværdier. Men i så fald svaret vil altid være nul. Her, som med multiplikation, vil du ikke ende med mere end nul, uanset hvilket tal du dividerer nul med. Derfor, hvis du bemærker dette dyrebare tal i en enorm formel, så prøv hurtigt at "finde ud af", om alle beregningerne vil komme ned til en meget enkel løsning.

Hvis uendelighed er divideret med nul

Det var nødvendigt at nævne uendeligt store og uendeligt små værdier lidt tidligere, fordi dette også åbner nogle smuthuller for division, herunder brug af nul. Det er rigtigt, og der er en lille hake her, fordi uendelig lille værdi og fuldstændig fravær af værdi er forskellige begreber.

Men denne lille forskel i vores forhold kan i sidste ende ignoreres, beregninger udføres ved hjælp af abstrakte mængder:

Tællerne skal indeholde et uendelighedstegn.
Nævnerne er et symbolsk billede af en værdi, der har en tendens til nul.
Svaret vil være uendelig, hvilket repræsenterer en uendelig stor funktion.

Det skal bemærkes, at vi stadig taler om symbolsk repræsentation i det uendelige lille funktion, ikke om at bruge nul. Intet har ændret sig med dette tegn, det kan stadig ikke opdeles i, kun som meget, meget sjældne undtagelser.

For det meste bruges nul til at løse problemer, der er inde rent teoretisk plan. Måske, efter årtier eller endda århundreder, vil al moderne computer finde praktisk brug, og de vil give en form for storslået gennembrud inden for videnskaben.

I mellemtiden drømmer de fleste matematiske genier kun om verdensomspændende anerkendelse. Undtagelsen fra disse regler er vores landsmand, Perelman. Men han er kendt for at løse et virkelig epokegørende problem med beviset for Poinqueré-formodningen og for sin ekstravagante opførsel.

Paradokser og meningsløsheden ved at dividere med nul

At dividere med nul giver for det meste ingen mening:

Division er repræsenteret som omvendt funktion af multiplikation.
Vi kan gange et hvilket som helst tal med nul og få nul som svar.
Med samme logik kunne man dividere et hvilket som helst tal med nul.
Under sådanne forhold ville det være let at komme til den konklusion, at ethvert tal ganget eller divideret med nul er lig med ethvert andet tal, som denne operation blev udført på.
Læne sig tilbage matematisk operation og vi får den mest interessante konklusion - ethvert tal er lig med ethvert tal.

Ud over at skabe sådanne hændelser, division med nul har nej praktisk betydning , fra ordet generelt. Selvom det er muligt at udføre denne handling, vil det ikke være muligt at få nye oplysninger.

Fra synspunkt elementær matematik, under division med nul divideres hele objektet nul gange, det vil sige ikke en enkelt gang. Kort fortalt - der sker ingen fissionsproces, derfor kan der ikke være et resultat af denne begivenhed.

Når du er i samme virksomhed som en matematiker, kan du altid stille et par banale spørgsmål, for eksempel hvorfor du ikke kan dividere med nul og få et interessant og forståeligt svar. Eller irritation, for det er nok ikke første gang, en person bliver spurgt om dette. Og ikke engang i tiende. Så pas på dine matematikervenner, lad være med at tvinge dem til at gentage én forklaring hundrede gange.

Video: dividere med nul

I denne video vil matematikeren Anna Lomakova fortælle dig, hvad der sker, hvis du dividerer et tal med nul, og hvorfor det ikke kan lade sig gøre, set fra et matematisk synspunkt:

Evgeniy SHIRYAEV, lærer og leder af Matematiklaboratoriet på Polytechnic Museum, fortalte AiF om division med nul:

1. Spørgsmålets jurisdiktion

Enig, det der gør reglen særligt provokerende er forbuddet. Hvordan kan dette ikke lade sig gøre? Hvem har forbudt? Hvad med vores borgerrettigheder?

Hverken forfatningen eller straffeloven eller engang din skoles charter gør indsigelse mod den intellektuelle handling, der interesserer os. Det betyder, at forbuddet ikke har nogen juridisk kraft, og intet forhindrer dig i at forsøge at dividere noget med nul lige her, på AiFs sider. For eksempel tusind.

2. Lad os dividere som lært

Husk, da du først lærte at dividere, blev de første eksempler løst med en multiplikationskontrol: Resultatet ganget med divisor skulle falde sammen med udbyttet. Det stemte ikke - de besluttede sig ikke.

Eksempel 1. 1000: 0 =...

Lad os glemme den forbudte regel et øjeblik og gøre flere forsøg på at gætte svaret.

Forkerte vil blive afskåret af checken. Prøv følgende muligheder: 100, 1, -23, 17, 0, 10.000 For hver af dem vil checken give det samme resultat:

100 0 = 1 0 = − 23 0 = 17 0 = 0 0 = 10.000 0 = 0

Ved at gange nul bliver alt til sig selv og aldrig til tusind. Konklusionen er let at formulere: intet tal vil bestå testen. Det vil sige, at intet tal kan være resultatet af at dividere et ikke-nul tal med nul. En sådan opdeling er ikke forbudt, men har simpelthen intet resultat.

3. Nuancer

Vi missede næsten én mulighed for at afvise forbuddet. Ja, vi indrømmer, at et ikke-nul tal ikke kan divideres med 0. Men det kan 0 selv måske?

Eksempel 2. 0: 0 = ...

Hvad er dine forslag til privat? 100? Venligst: kvotienten på 100 ganget med divisoren 0 er lig med udbyttet 0.

Flere muligheder! 1? Passer også. Og −23 og 17, og det er det. I dette eksempel vil testen være positiv for et hvilket som helst tal. Og for at være ærlig bør løsningen i dette eksempel ikke kaldes et tal, men et sæt tal. Alle sammen. Og det tager ikke lang tid at blive enige om, at Alice ikke er Alice, men Mary Ann, og de er begge en kanins drøm.

4. Hvad med højere matematik?

Eksempel 3. Find ud af, hvordan du dividerer 1000 med 0.

Men ingen måde. Men 1000 kan nemt divideres med andre tal. Nå, lad os i det mindste gøre det, der virker, selvom vi ændrer opgaven. Og så, ser du, bliver vi revet med, og svaret dukker op af sig selv. Lad os glemme alt om nul i et minut og dividere med hundrede:

Hundrede er langt fra nul. Lad os tage et skridt hen imod det ved at mindske divisoren:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

Dynamikken er indlysende: Jo tættere divisoren er på nul, jo større er kvotienten. Tendensen kan observeres yderligere ved at gå til brøker og fortsætte med at reducere tælleren:

Det er tilbage at bemærke, at vi kan komme så tæt på nul, som vi vil, hvilket gør kvotienten så stor, som vi vil.

I denne proces er der intet nul, og der er ingen sidste kvotient. Vi indikerede bevægelsen mod dem ved at erstatte tallet med en sekvens, der konvergerer til det tal, vi er interesserede i:

Dette indebærer en lignende erstatning for udbyttet:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

Det er ikke for ingenting, at pilene er dobbeltsidede: nogle sekvenser kan konvergere til tal. Så kan vi associere sekvensen med dens numeriske grænse.

Lad os se på rækkefølgen af kvotienter:

Den vokser ubegrænset, stræber ikke efter noget antal og overgår nogen. Matematikere tilføjer symboler til tal ∞ for at kunne sætte en dobbeltsidet pil ud for en sådan sekvens:

Sammenligning med antallet af sekvenser, der har en grænse, giver os mulighed for at foreslå en løsning på det tredje eksempel:

Når vi elementvis dividerer en sekvens, der konvergerer til 1000, med en sekvens af positive tal, der konvergerer til 0, får vi en sekvens, der konvergerer til ∞.

5. Og her er nuancen med to nuller

Hvad er resultatet af at dividere to sekvenser af positive tal, der konvergerer til nul? Hvis de er ens, så er enheden identisk. Hvis en udbyttesekvens konvergerer til nul hurtigere, så er det især en sekvens med en nulgrænse. Og når elementerne i divisor falder meget hurtigere end udbyttet, vil sekvensen af kvotienten vokse meget:

Usikker situation. Og det hedder det: usikkerhed af typen 0/0 . Når matematikere ser sekvenser, der passer til en sådan usikkerhed, skynder de sig ikke med at dividere to identiske tal med hinanden, men finde ud af, hvilken af sekvenserne der løber hurtigere til nul og præcis hvordan. Og hvert eksempel vil have sit eget specifikke svar!

6. I livet

Ohms lov relaterer strøm, spænding og modstand i et kredsløb. Det er ofte skrevet i denne form:

Lad os tillade os at ignorere den pæne fysiske forståelse og formelt se på højre side som kvotienten af to tal. Lad os forestille os, at vi løser et skoleproblem på el. Betingelsen giver spændingen i volt og modstand i ohm. Spørgsmålet er indlysende, løsningen er i én handling.

Lad os nu se på definitionen af superledning: dette er egenskaben for nogle metaller at have nul elektrisk modstand.

Nå, lad os løse problemet med et superledende kredsløb? Bare sæt det op R= 0 Hvis det ikke lykkes, kaster fysikken et interessant problem op, bag hvilket der naturligvis er en videnskabelig opdagelse. Og de mennesker, der formåede at dividere med nul i denne situation, modtog Nobelprisen. Det er nyttigt at kunne omgå alle forbud!