Decimalrod. Udtræk kvadratroden af ​​et flercifret tal

Lad os se på denne algoritme ved hjælp af et eksempel. Vi finder

1. trin. Vi deler tallet under roden i tocifrede ansigter (fra højre mod venstre):

2. trin. Vi tager kvadratroden af ​​det første ansigt, det vil sige fra tallet 65, får vi tallet 8. Under det første ansigt skriver vi kvadratet af tallet 8 og trækker fra. Vi tildeler det andet ansigt (59) til resten:

(nummer 159 er den første rest).

3. trin. Vi fordobler den fundne rod og skriver resultatet til venstre:

4. trin. Vi adskiller et ciffer til højre i resten (159), og til venstre får vi antallet af tiere (det er lig med 15). Så dividerer vi 15 med det dobbelte af det første ciffer i roden, altså med 16, da 15 ikke er deleligt med 16, resulterer kvotienten i nul, som vi skriver som det andet ciffer i roden. Så i kvotienten fik vi tallet 80, som vi fordobler igen og fjerner den næste kant

(tallet 15.901 er den anden rest).

5. trin. I den anden rest adskiller vi et ciffer fra højre og dividerer det resulterende tal 1590 med 160. Vi skriver resultatet (tal 9) som det tredje ciffer i roden og lægger det til tallet 160. Vi multiplicerer det resulterende tal 1609 med 9 og find den næste rest (1420):

Efterfølgende udføres handlinger i den rækkefølge, der er angivet i algoritmen (roden kan udtrækkes med den nødvendige grad af nøjagtighed).

Kommentar. Hvis det radikale udtryk er en decimalbrøk, er hele dens del opdelt i kanter af to cifre fra højre til venstre, brøkdelen - to cifre fra venstre mod højre, og roden udtrækkes i henhold til den angivne algoritme.

DIDAKTISK MATERIALE

1. Tag kvadratroden af ​​tallet: a) 32; b) 32,45; c) 249,5; d) 0,9511.

Sokolov Lev Vladimirovich, elev i 8. klasse ved den kommunale uddannelsesinstitution "Tugulymskaya V(S)OSH"

Målet med arbejdet: finde og vise disse ekstraktionsmetoder kvadratrødder, som kan bruges uden at have en lommeregner ved hånden.

Hent:

Eksempel:

Regional videnskabelig og praktisk konference

studerende fra Tugulym bydistrikt

Udtræk kvadratrødder fra store tal uden lommeregner

Medvirkende: Lev Sokolov,

MCOU "Tugulymskaya V(S)OSH",

8. klasse

Leder: Sidorova Tatyana

Nikolaevna

r.p. Tugulym, 2016

Indledning 3

Kapitel 1. Nedbrydningsmetode til primære faktorer 4

Kapitel 2. Udtrækning af kvadratrødder med hjørne 4

Kapitel 3. Metode til at bruge tabellen med kvadrater af tocifrede tal 6

Kapitel 4. Formel Det gamle Babylon 6

Kapitel 6. Canadisk metode 7

Kapitel 7. Gætte valgmetode 8

Kapitel 8. Metode til fradrag for ulige tal 8

Konklusion 10

Referencer 11

Bilag 12

Introduktion

Relevansen af ​​forskning,da jeg studerede emnet kvadratrødder i dette Akademi år, så var jeg interesseret i spørgsmålet om, hvordan du kan udtrække kvadratroden af ​​store tal uden en lommeregner.

Jeg blev interesseret og besluttede at studere dette spørgsmål dybere, end det stod i skolepensum, og også forberede en mini-bog med de fleste på enkle måder udtrækning af kvadratrødder af store tal uden en lommeregner.

Målet med arbejdet: find og vis de metoder til at udtrække kvadratrødder, som kan bruges uden at have en lommeregner ved hånden.

Opgaver:

1. Studer litteratur vedr denne sag.
2. Overvej funktionerne i hver af de fundne metoder og dens algoritme.
3. At vise praktisk brug erhvervet viden og evaluere

Svært at bruge på forskellige måder og algoritmer.

1. Lav en minibog om de mest interessante algoritmer.

Studieobjekt:matematiske symboler er kvadratrødder.

Undersøgelsens emne:Funktioner af metoder til at udtrække kvadratrødder uden en lommeregner.

Forskningsmetoder:

1. At finde metoder og algoritmer til at udtrække kvadratrødder fra store tal uden lommeregner.
2. Sammenligning af de fundne metoder.
3. Analyse af de opnåede metoder.

Alle ved, at det er meget svært at tage kvadratroden uden en lommeregner.

opgave. Når vi ikke har en lommeregner ved hånden, starter vi med at bruge udvælgelsesmetoden til at forsøge at huske dataene fra tabellen med kvadrater af heltal, men det hjælper ikke altid. For eksempel besvarer en tabel med kvadrater af heltal ikke spørgsmål som f.eks. at udtrække roden af ​​75, 37,885,108,18061 og andre, selv cirka.

Desuden er brugen af ​​en lommeregner ofte forbudt under OGE- og Unified State-eksamenerne.

tabeller med kvadrater af heltal, men du skal udtrække roden af ​​3136 eller 7056 osv.

Men mens jeg studerede litteraturen om dette emne, lærte jeg, at det tager rødder fra sådanne tal

Måske uden en tabel og en lommeregner, lærte folk længe før opfindelsen af ​​mikroberegneren. Mens jeg undersøgte dette emne, fandt jeg flere måder at løse dette problem på.

Kapitel 1. Metode til faktorisering til primfaktorer

For at udtrække kvadratroden kan du indregne tallet i dets primfaktorer og tage kvadratroden af ​​produktet.

Denne metode bruges normalt, når man løser problemer med rødder i skolen.

3136│2 7056│2

1568│2 3528│2

784│2 1764│2

392│2 882│2

196│2 441│3

98│2 147│3

49│7 49│7

7│7 7│7

√3136 = √2²∙2²∙2²∙7² = 2∙2∙2∙7 = 56 √3136 = √2²∙2²∙3²∙7² = 2∙2∙3∙7 = 8

Mange mennesker bruger det med succes og betragter det som det eneste. At udtrække roden ved faktorisering er en tidskrævende opgave, som heller ikke altid fører til ønskede resultat. Prøv at tage kvadratroden af ​​209764? Indregning i primfaktorer giver produktet 2∙2∙52441. Hvad skal man så gøre? Alle står over for dette problem, og i deres svar skriver de roligt resten af ​​nedbrydningen ned under rodens tegn. Du kan selvfølgelig lave nedbrydningen ved at prøve og fejle og udvælge, hvis du er sikker på, at du får et smukt svar, men praksis viser, at meget sjældent opgaver med fuldstændig nedbrydning. Oftere end ikke ser vi, at roden ikke kan udvindes fuldstændigt.

Derfor løser denne metode kun delvist problemet med ekstraktion uden en lommeregner.

Kapitel 2. Udtrækning af kvadratrødder med et hjørne

For at udtrække kvadratroden ved hjælp af et hjørne ogLad os se på algoritmen:
1. trin. Tallet 8649 er opdelt i kanter fra højre mod venstre; som hver skal indeholde to cifre. Vi får to ansigter:.
2. trin. Tager vi kvadratroden af ​​den første side af 86, får vimed en ulempe. Tallet 9 er det første ciffer i roden.
3. trin. Tallet 9 er kvadratisk (9 2 = 81) og trække tallet 81 fra det første ansigt, får vi 86-81=5. Tallet 5 er den første rest.
4. trin. Til de resterende 5 tilføjer vi den anden side 49, vi får tallet 549.

5. trin . Vi fordobler det første ciffer af roden 9, og skriver fra venstre, får vi -18

Følgende skal tilføjes til nummeret det højeste tal, således at produktet af det tal, vi får ved dette tal, enten ville være lig med tallet 549 eller mindre end 549. Dette er tallet 3. Det findes ved udvælgelse: antallet af tiere af tallet 549, dvs. tallet 54 divideres med 18, vi får 3, da 183 ∙ 3 = 549. Tallet 3 er det andet ciffer i roden.

6. trin. Vi finder resten 549 – 549 = 0. Da resten lig med nul, så fik vi den nøjagtige værdi af roden - 93.

Lad mig give dig et andet eksempel: uddrag √212521

	Algoritme trin	Eksempel	Kommentarer
	Opdel tallet i grupper med 2 cifre hver fra højre mod venstre	21’ 25’ 21	Det samlede antal dannede grupper bestemmer antallet af cifre i svaret
	For den første gruppe af tal skal du vælge et tal, hvis kvadrat vil være det største, men ikke overstige tallene i den første gruppe	1 gruppe – 21 4 2 =16 nummer - 4	Det fundne tal skrives i første omgang i svaret.
	Fra den første gruppe af tal skal du trække kvadratet af det første ciffer i svaret fundet i trin 2	21’ 25’ 21
	Til resten fundet i trin 3 skal du tilføje den anden gruppe af tal til højre (flytt væk)	21’ 25’ 21 16__
	Til det fordoblede første ciffer i svaret skal du tilføje et ciffer til højre, således at produktet af det resulterende tal ved dette ciffer er det største, men ikke overstiger tallet i trin 4	4*2=8 nummer - 6 86*6=516	Det fundne tal er skrevet i svaret på andenpladsen
	Fra tallet opnået i trin 4 trækkes tallet fra trin 5 fra. Tag den tredje gruppe til resten	21’ 25’ 21
	Til det fordoblede tal, der består af de to første cifre i svaret, tilføjes et ciffer til højre, således at produktet af det resulterende tal med dette ciffer er det største, men ikke overstiger det tal, der blev opnået i trin 6	46*2=92 nummer 1 921*1=921	Det fundne tal skrives i svaret på tredjepladsen
	Skriv svaret ned	√212521=461

Kapitel 3. Sådan bruges tabellen med kvadrater af tocifrede tal

Jeg lærte om denne metode fra internettet. Metoden er meget enkel og giver dig mulighed for øjeblikkeligt at udtrække kvadratroden af ​​ethvert heltal fra 1 til 100 med en nøjagtighed på tiendedele uden en lommeregner. En betingelse for denne metode er tilstedeværelsen af ​​en tabel med kvadrater med tal op til 99.

(Det er i alle algebra-lærebøger i 8. klasse og videre OGE eksamen tilbydes som reference.)

Åbn tabellen og kontroller hastigheden for at finde svaret. Men først et par anbefalinger: kolonnen længst til venstre vil være heltal i svaret, den øverste linje vil være tiendedele i svaret. Og så er alt simpelt: luk de sidste to cifre i tallet i tabellen og find det du har brug for, der ikke overstiger det radikale tal, og følg derefter reglerne i denne tabel.

Lad os se på et eksempel. Lad os finde værdien √87.

Vi lukker de sidste to cifre af alle tal i tabellen og finder tætte cifre for 87 - der er kun to af dem 86 49 og 88 37. Men 88 er allerede meget.

Så der er kun én ting tilbage - 8649.

Den venstre kolonne giver svaret 9 (disse er heltal), og den øverste linje 3 (disse er tiendedele). Det betyder √87≈ 9,3. Lad os se på MK √87 ≈ 9,327379.

Hurtigt, enkelt, tilgængeligt under eksamen. Men det er umiddelbart klart, at rødder større end 100 ikke kan udvindes ved hjælp af denne metode. Metoden er praktisk til opgaver med små rødder og i nærværelse af et bord.

Kapitel 4. Formel for det gamle Babylon

De gamle babyloniere brugte følgende metode til at finde den omtrentlige værdi af kvadratroden af ​​deres tal x. De repræsenterede tallet x som summen af ​​a 2 +b, hvor a 2 det nærmeste nøjagtige kvadrat på tallet x naturligt tal a (en 2 . (1)

Ved hjælp af formel (1) udtrækker vi kvadratroden, for eksempel fra tallet 28:

Resultatet af at udtrække roden af ​​28 ved hjælp af MK er 5.2915026.

Som vi ser, giver den babylonske metode en god tilnærmelse til præcise værdi rod

Kapitel 5: Droppemetode fuld firkant

(kun for firecifrede tal)

Det er værd at præcisere med det samme, at denne metode kun er anvendelig til at udtrække kvadratroden af ​​et nøjagtigt kvadrat, og findealgoritmen afhænger af størrelsen af ​​det radikale tal.

1. Udtræk rødder op til nummer 75 2 = 5625

For eksempel: √¯3844 = √¯ 37 00 + 144 = 37 + 25 = 62.

Vi præsenterer tallet 3844 som en sum ved at vælge kvadratet 144 fra dette tal og derefter kassere det valgte kvadrat for atantal hundrede af den første periode(37) vi tilføjer altid 25 . Vi får svaret 62.

På denne måde kan du kun udtrække kvadratrødder op til 75 2 =5625!

2) Udtræk rødder efter nummer 75 2 = 5625

Sådan udtrækkes kvadratrødder verbalt fra tal større end 75 2 =5625?

For eksempel: √7225 = √ 70 00 + 225 = 70 + √225 = 70 + 15 = 85.

Lad os forklare, vi vil præsentere 7225 som summen af ​​7000 og det valgte kvadrat 225. Sålæg kvadratroden til antallet af hundreder ud af 225, svarende til 15.

Vi får svaret 85.

Denne metode til at finde er meget interessant og til en vis grad original, men under min forskning stødte jeg kun på den én gang i arbejdet med en Perm-lærer.

Måske har det været lidt undersøgt eller har nogle undtagelser.

Det er ret svært at huske på grund af algoritmens dualitet og gælder kun for firecifrede tal med nøjagtige rødder, men jeg gennemgik mange eksempler og blev overbevist om dens rigtighed. Derudover er denne metode tilgængelig for dem, der allerede har husket kvadraterne med tal fra 11 til 29, for uden deres viden vil det være ubrugeligt.

Kapitel 6. Canadisk metode

√ X = √ S + (X - S) / (2 √ S), hvor X er tallet, der skal rodfæstes, og S er tallet på det nærmeste nøjagtige kvadrat.

Lad os prøve at tage kvadratroden af ​​75

√ 75 = 9 + (- 6/18) = 9 - 0,333 = 8,667

Med en detaljeret undersøgelse af denne metode kan man nemt bevise dens lighed med den babylonske og argumentere for ophavsretten til opfindelsen af ​​denne formel, hvis der er en i virkeligheden. Metoden er enkel og praktisk.

Kapitel 7. Gætte udvælgelsesmetode

Denne metode er foreslået engelske studerende Mathematical College of London, men alle i hans liv brugte mindst en gang ufrivilligt denne metode. Det er baseret på udvælgelse forskellige betydninger kvadrater med lignende tal ved at indsnævre søgeområdet. Enhver kan mestre denne metode, men det er usandsynligt, at den bliver brugt, fordi den kræver gentagen beregning af produktet af en kolonne med ikke altid korrekt gættede tal. Denne metode taber både i løsningens skønhed og i tid. Algoritmen er enkel:

Lad os sige, at du vil tage kvadratroden af ​​75.

Siden 8 2 = 64 og 9 2 = 81, du ved, at svaret er et sted midt imellem.

Prøv at bygge 8.5 2 og du får 72,25 (for lidt)

Prøv nu 8.6 2 og du får 73,96 (for lille, men kommer tættere på)

Prøv nu 8.7 2 og du får 75,69 (for stor)

Nu ved du, at svaret er mellem 8,6 og 8,7

Prøv at bygge 8.65 2 og du får 74.8225 (for lille)

Prøv nu 8,66 2... og så videre.

Fortsæt, indtil du får et svar, der er præcist nok for dig.

Kapitel 8. Ulige tal fradragsmetode

Mange kender metoden til at udtrække kvadratroden ved at indregne et tal i primfaktorer. I mit arbejde vil jeg præsentere en anden måde, hvorpå du kan finde ud af heltalsdelen af ​​kvadratroden af ​​et tal. Metoden er meget enkel. Bemærk, at følgende ligheder er sande for kvadrater af tal:

1=1 2

1+3=2 2

1+3+5=3 2

1+3+5+7=4 2 osv.

Regel: du kan finde ud af hele den del af kvadratroden af ​​et tal ved at trække alt fra det ulige tal i rækkefølge, indtil resten er mindre end det næste tal, der skal trækkes fra eller lig med nul, og tælle antallet af udførte handlinger.

For at få kvadratroden af ​​36 og 121 er dette for eksempel:

Samlet antal subtraktioner = 6, så kvadratroden af ​​36 = 6.

Samlet antal subtraktioner = 11, så √121 = 11.

Et andet eksempel: lad os finde √529

Løsning: 1)_529

2)_528

3)_525

4)_520

5)_513

6)_504

7)_493

8)_480

9)_465

10)_448

11)_429

12)_408

13)_385

14)_360

15)_333

16)_304

17)_273

18)_240

19)_205

20)_168

21)_129

22)_88

23)_45

Svar: √529 = 23

Forskere kalder denne metode aritmetisk kvadratrodsudvinding og bag kulisserne for "skildpaddemetoden" på grund af dens langsommelighed.
Ulempen ved denne metode er, at hvis roden, der udtrækkes, ikke er et heltal, så kan du kun finde ud af hele dens del, men ikke mere præcist. Samtidig er denne metode ret tilgængelig for børn, der kan løse simple problemer. matematiske problemer, der kræver kvadratrodsudvinding. Prøv at udtrække kvadratroden af ​​et tal, for eksempel 5963364 på denne måde, og du vil forstå, at det "virker", selvfølgelig, uden fejl for nøjagtige rødder, men det er meget, meget langt i løsningen.

Konklusion

Rodekstraktionsmetoderne beskrevet i dette arbejde findes i mange kilder. Men at forstå dem viste sig at være en vanskelig opgave for mig, hvilket vakte stor interesse. De præsenterede algoritmer vil give alle, der er interesseret i dette emne, mulighed for hurtigt at mestre færdighederne til at beregne kvadratroden, de kan bruges, når de tjekker deres løsning og er ikke afhængige af en lommeregner.

Som et resultat af undersøgelsen kom jeg til den konklusion: forskellige metoder til at udtrække kvadratroden uden en lommeregner er nødvendige i skoleforløb matematik for at udvikle computerfærdigheder.

Undersøgelsens teoretiske betydning - de vigtigste metoder til at udvinde kvadratrødder er systematiseret.

Praktisk betydning: i at lave en minibog indeholdende referencediagram udvinding af kvadratrødder på forskellige måder (bilag 1).

Litteratur og internetsider:

1. I. Sergeev, S.N. Olehnik, S.B. Gashkov "Anvend matematik." – M.: Nauka, 1990
2. Kerimov Z., "Sådan finder du hele rod? Populærvidenskabeligt og matematisk tidsskrift "Kvant" nr. 2, 1980
3. Petrakov I.S. "matematikklubber i klasse 8-10"; Bog for lærere.

–M.: Uddannelse, 1987

1. Tikhonov A.N., Kostomarov D.P. "Historier om anvendt matematik." - M.: Nauka. Hovedredaktionen fysisk og matematisk litteratur, 1979
2. Tkacheva M.V. Hjemme matematik. Bog til elever i 8. klasse uddannelsesinstitutioner. – Moskva, oplysning, 1994.
3. Zhokhov V.I., Pogodin V.N. Referencetabeller i matematik.-M.: LLC Publishing House "ROSMEN-PRESS", 2004.-120 s.
4. http://translate.google.ru/translate
5. http://www.murderousmaths.co.uk/books/sqroot.htm
6. http://ru.wikipedia.ord /wiki /teorema/

God eftermiddag, kære gæster!

Jeg hedder Lev Sokolov, jeg læser i 8. klasse på aftenskole.

Jeg præsenterer for din opmærksomhed et værk om emnet: "At finde kvadratrødder af store tal uden en lommeregner."

Når man studerer et emnekvadratrødder i dette skoleår var jeg interesseret i spørgsmålet om, hvordan man udtrækker kvadratroden af ​​store tal uden en lommeregner, og jeg besluttede at studere det dybere, da næste år Jeg skal til eksamen i matematik.

Formålet med mit arbejde:finde og vise måder at udtrække kvadratrødder uden en lommeregner

For at nå målet besluttede jeg følgende opgaver:

1. Studer litteraturen om dette spørgsmål.

2. Overvej funktionerne i hver af de fundne metoder og dens algoritme.

3. Vise den praktiske anvendelse af den erhvervede viden og vurdere kompleksitetsgraden ved anvendelse af forskellige metoder og algoritmer.

4.Opret en minibog ifølge de mest interessante algoritmer.

Formålet med min undersøgelse varkvadratrødder.

Undersøgelsens emne:måder at udtrække kvadratrødder uden en lommeregner.

Forskningsmetoder:

1. Søg efter metoder og algoritmer til at udtrække kvadratrødder fra store tal uden lommeregner.

2. Sammenligning og analyse af de fundne metoder.

Jeg fandt og studerede 8 måder at finde kvadratrødder uden en lommeregner og omsætte dem i praksis. Navnene på de fundne metoder er vist på sliden.

Jeg vil fokusere på dem, jeg kunne lide.

Jeg vil med et eksempel vise, hvordan du kan udtrække kvadratroden af ​​tallet 3025 ved hjælp af primfaktorisering.

Den største ulempe ved denne metode- det tager meget tid.

Ved at bruge formlen fra det gamle Babylon vil jeg udtrække kvadratroden af ​​det samme tal 3025.

Metoden er kun praktisk til små tal.

Fra det samme tal 3025 trækker vi kvadratroden ud ved hjælp af et hjørne.

Efter min mening er dette det mest universel metode, det gælder for alle tal.

I moderne videnskab Der er mange måder at udtrække kvadratroden uden en lommeregner, men jeg har ikke studeret dem alle.

Praktisk betydning af mit arbejde:i at lave en minibog indeholdende et referencediagram til udtræk af kvadratrødder på forskellige måder.

Resultaterne af mit arbejde kan med succes bruges i matematik, fysik og andre fag, hvor det er nødvendigt at udvinde rødder uden lommeregner.

Tak for din opmærksomhed!

Eksempel:

For at bruge præsentationseksempler skal du oprette en konto til dig selv ( konto) Google og log ind: https://accounts.google.com

Slide billedtekster:

Udtræk kvadratrødder fra store tal uden lommeregner Udøver: Lev Sokolov, MKOU "Tugulymskaya V(S)OSH", 8. klasse Leder: Sidorova Tatyana Nikolaevna I kategori, matematiklærer r.p. Tugulym

Den korrekte anvendelse af metoder kan læres ved at anvende og forskellige eksempler. G. Zeiten Formålet med arbejdet: at finde og vise de metoder til at udtrække kvadratrødder, som kan bruges uden at have en lommeregner ved hånden. Mål: - Studere litteraturen om dette emne. - Overvej funktionerne i hver af de fundne metoder og dens algoritme. - Vise den praktiske anvendelse af den erhvervede viden og vurdere kompleksitetsgraden ved anvendelse af forskellige metoder og algoritmer. - Lav en minibog om de mest interessante algoritmer.

Undersøgelsesobjekt: kvadratrødder Undersøgelsesemne: metoder til at udtrække kvadratrødder uden lommeregner. Forskningsmetoder: Søg efter metoder og algoritmer til at udtrække kvadratrødder fra store tal uden lommeregner. Sammenligning af de fundne metoder. Analyse af de opnåede metoder.

Metoder til at udtrække kvadratrødder: 1. Metode til faktorisering i primfaktorer 2. Udtrækning af kvadratrødder ved hjælp af et hjørne 3. Metode til at bruge en tabel med kvadrater med tocifrede tal 4. Formel for det gamle Babylon 5. Metode til at kassere et perfekt kvadrat 6. Canadisk metode 7. Metode til at gætte 8. Metode til fradrag ulige tal

Metode til faktorisering i primfaktorer For at udtrække en kvadratrod kan du faktorisere et tal i primfaktorer og udtrække kvadratroden af ​​produktet. 3136│2 7056│2 209764│2 1568│2 3528│2 104882│2 784│2 1764│2 52441│229 392│2│2 292│2 41│3 98│2 147│3 √ 209764 = √2∙2∙52441 = 49│7 49│7 = √2²∙229² = 458. 7│7 7│7 √3136 = √ 2²∙1│72 = 2│72 = 2│72 = 2│72 √7056 = √2²∙2²∙3²∙² = 2∙2∙3∙7 = 84. Det er ikke altid let at nedbryde, oftere fjernes det ikke helt, det tager meget tid.

Formel for det gamle Babylon (babylonsk metode) Algoritme til at udtrække kvadratroden ved hjælp af den gamle babylonske metode. 1 . Præsenter tallet c som summen a² + b, hvor a² er det nøjagtige kvadrat af det naturlige tal a nærmest tallet c (a² ≈ c); 2. Den omtrentlige værdi af roden beregnes ved hjælp af formlen: Resultatet af udtrækning af roden ved hjælp af en lommeregner er 5,292.

Udtræk af en kvadratrod med et hjørne Metoden er næsten universel, da den er anvendelig på alle tal, men at sammensætte en rebus (at gætte tallet i slutningen af ​​et tal) kræver logik og gode computerfærdigheder med en kolonne.

Algoritme til at udtrække en kvadratrod ved hjælp af et hjørne 1. Opdel tallet (5963364) i par fra højre mod venstre (5`96`33`64) 2. Udtræk kvadratroden fra den første gruppe til venstre (- nummer 2) . Sådan får vi det første ciffer i tallet. 3. Find kvadratet af det første ciffer (2 2 =4). 4. Find forskellen mellem den første gruppe og kvadratet af det første ciffer (5-4=1). 5. Vi tager de næste to cifre ned (vi får tallet 196). 6. Fordoble det første ciffer, vi fandt, og skriv det til venstre bag linjen (2*2=4). 7. Nu skal vi finde det andet ciffer i tallet: det dobbelte af det første ciffer, vi fandt, bliver tallets ti ciffer, når det ganges med antallet af enheder, skal du få et tal mindre end 196 (dette er tallet 4, 44*4=176). 4 er det andet ciffer i &. 8. Find forskellen (196-176=20). 9. Vi river det ned næste gruppe(vi får tallet 2033). 10. Fordoble tallet 24, vi får 48. 11. 48 tiere i tallet, når ganget med antallet af enere, skulle vi få et tal mindre end 2033 (484*4=1936). Enhedscifferet, vi fandt (4), er det tredje ciffer i tallet. Derefter gentages processen.

Ulige tal fradragsmetode ( aritmetisk metode) Kvadratrodsalgoritme: Træk ulige tal fra i rækkefølge, indtil resten er mindre end det næste tal, der skal trækkes fra, eller lig med nul. Tæl antallet af udførte handlinger - dette tal er den heltallige del af tallet på kvadratroden, der udvindes. Eksempel 1: beregn 1. 9 − 1 = 8; 8 - 3 = 5; 5 − 5 = 0. 2. 3 handlinger udført

36 - 1 = 35 - 3 = 32 - 5 = 27 - 7 = 20 - 9 = 11 - 11 = 0 totalt antal subtraktioner = 6, så kvadratroden af ​​36 = 6. 121 – 1 = 120 - 3 = 117- 5 = 112 - 7 = 105 - 9 = 96 - 11 = 85 – 13 = 72 - 15 = 57 – 17 = 40 - 19 = 21 - 21 = 0 Samlet antal subtraktioner = 11, så kvadratroden af ​​121 = 11. 5963364 = ??? Russiske videnskabsmænd bag kulisserne kalder det "skildpaddemetoden" på grund af dens langsomhed. Det er ubelejligt for store antal.

Undersøgelsens teoretiske betydning - de vigtigste metoder til at udvinde kvadratrødder er systematiseret. Praktisk betydning: ved at lave en minibog indeholdende et referencediagram til udtrækning af kvadratrødder på forskellige måder.

Tak for din opmærksomhed!

Eksempel:

Nogle problemer kræver at tage kvadratroden af ​​et stort tal. Hvordan gør man det?

Ulige tal fradragsmetode.

Metoden er meget enkel. Bemærk, at følgende ligheder er sande for kvadrater af tal:

1=1 2

1+3=2 2

1+3+5=3 2

1+3+5+7=4 2 osv.

Herske: Du kan finde ud af den heltallige del af kvadratroden af ​​et tal ved at trække alle ulige tal fra det i rækkefølge, indtil resten er mindre end det næste subtraherede tal eller lig med nul, og tælle antallet af udførte handlinger.

For eksempel, for at få kvadratroden af ​​36 og 121 er:

36 - 1 = 35 - 3 = 32 - 5 = 27 - 7 = 20 - 9 = 11 - 11 = 0

Samlet antal subtraktioner = 6, altså kvadratroden af 36 = 6.

121 - 1 = 120 - 3 = 117- 5 = 112 - 7 = 105 - 9 = 96 - 11 = 85 – 13 = 72 - 15 = 57 – 17 = 40 - 19 = 21 - 21 = 0

Samlet antal subtraktioner = 11, altså√121 = 11.

canadisk metode.

Det her hurtig metode blev opdaget af unge videnskabsmænd ved et af Canadas førende universiteter i det 20. århundrede. Dens nøjagtighed er ikke mere end to til tre decimaler. Her er deres formel:

√ X = √ S + (X - S) / (2 √ S), hvor X er tallet, der skal rodfæstes, og S er tallet på det nærmeste nøjagtige kvadrat.

Eksempel. Tag kvadratroden af ​​75.

X = 75, S = 81. Det betyder, at √ S = 9.

Lad os beregne √75 ved hjælp af denne formel: √ 75 = 9 + (75 - 81) / (2∙9)
√ 75 = 9 + (- 6/18) = 9 - 0,333 = 8,667

En metode til at udtrække kvadratrødder ved hjælp af et hjørne.

1. Opdel tallet (5963364) i par fra højre mod venstre (5`96`33`64)

2. Tag kvadratroden af ​​den første gruppe til venstre (- nummer 2). Sådan får vi det første ciffer i tallet.

3. Find kvadratet af det første ciffer (2 2 =4).

4. Find forskellen mellem den første gruppe og kvadratet af det første ciffer (5-4=1).

5. Vi tager de næste to cifre ned (vi får tallet 196).

6. Fordoble det første ciffer, vi fandt, og skriv det til venstre bag linjen (2*2=4).

7. Nu skal vi finde det andet ciffer i tallet: det dobbelte af det første ciffer, vi fandt, bliver tallets ti ciffer, når det ganges med antallet af enheder, skal du få et tal mindre end 196 (dette er tallet 4, 44*4=176). 4 er det andet ciffer i &.

8. Find forskellen (196-176=20).

9. Vi river den næste gruppe ned (vi får tallet 2033).

10. Fordoble tallet 24, vi får 48.

Der er 11,48 tiere i et tal, når ganget med antallet af enere, skulle vi få et tal mindre end 2033 (484*4=1936). Enhedscifferet, vi fandt (4), er det tredje ciffer i tallet.

Handling kvadrat rodomvendt til handlingen af ​​kvadrating.

√81= 9 9 2 =81.

Udvælgelsesmetode.

Eksempel: Udtræk roden af ​​tallet 676.

Vi bemærker, at 20 2 = 400 og 30 2 = 900, hvilket betyder 20

Nøjagtige kvadrater af naturlige tal ender på 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Tallet 6 giver 4 2 og 6 2 .
Det betyder, at hvis roden er taget fra 676, så er den enten 24 eller 26.

Resterende at kontrollere: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Svar: √ 676 = 26.

Et andet eksempel: √6889.

Siden 80 2 = 6400 og 90 2 = 8100, derefter 80 Tallet 9 giver 3 2 og 7 2 , så er √6889 lig med enten 83 eller 87.

Lad os tjekke: 83 2 = 6889.

Svar: √6889 = 83.

Hvis du har svært ved at løse ved hjælp af udvælgelsesmetoden, kan du faktorisere det radikale udtryk.

Find for eksempel √893025.

Lad os faktor tallet 893025, husk, du gjorde dette i sjette klasse.

Vi får: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Babylonsk metode.

Trin 1. Præsenter tallet x som en sum: x=a 2 + b, hvor a 2 det nærmeste nøjagtige kvadrat af det naturlige tal a til tallet x.

Trin #2. Brug formel:

Eksempel. Beregn.

Aritmetisk metode.

Vi trækker alle ulige tal fra tallet i rækkefølge, indtil resten er mindre end det næste tal, der skal trækkes fra, eller lig med nul. Efter at have talt antallet af udførte handlinger, bestemmer vi heltalsdelen af ​​kvadratroden af ​​tallet.

Eksempel. Beregn heltalsdelen af ​​et tal.

Løsning. 12 - 1 = 11; 11 - 3 = 8; 8 - 5 = 3; 3 3 - hele delen tal. Så, .

Metode (kendt som Newtons metode)er som følgende.

Lad en 1 - første tilnærmelse af tallet(som 1 du kan tage værdierne af kvadratroden af ​​et naturligt tal - et nøjagtigt kvadrat, der ikke overstiger .

Denne metode giver dig mulighed for at udtrække kvadratroden af ​​et stort tal med enhver nøjagtighed, men med en betydelig ulempe: besværligheden af ​​beregningerne.

Evalueringsmetode.

Trin 1. Find ud af det interval, som den oprindelige rod ligger i (100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10.000).

Trin #2. Brug det sidste ciffer til at bestemme hvilket ciffer det ønskede tal slutter med.

Enheder ciffer af x
Enheder ciffer af x 2

Trin #3. Kvadret de forventede tal og bestem det ønskede tal ud fra dem.

Eksempel 1. Beregn .

Løsning. 2500 50 2 2 50

= *2 eller = *8.

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

Derfor = 58.

Cirklen viste, hvordan du kan udtrække kvadratrødder i en kolonne. Du kan beregne roden med vilkårlig præcision, finde et hvilket som helst antal cifre i den decimalnotation, selvom det viser sig at være irrationelt. Algoritmen blev husket, men spørgsmålene forblev. Det var ikke klart, hvor metoden kom fra, og hvorfor den gav det rigtige resultat. Det stod ikke i bøgerne, eller måske kiggede jeg bare i de forkerte bøger. Til sidst, ligesom meget af det, jeg ved og kan i dag, fandt jeg på det selv. Jeg deler min viden her. Forresten ved jeg stadig ikke, hvor begrundelsen for algoritmen er givet)))

Så først fortæller jeg dig "hvordan systemet fungerer" med et eksempel, og derefter forklarer jeg, hvorfor det rent faktisk fungerer.

Lad os tage et tal (nummeret blev taget "ud af det blå", det kom lige til at tænke på).

1. Vi deler dens tal i par: dem til venstre for decimaltegnet er grupperet to fra højre mod venstre, og dem til højre er grupperet to fra venstre mod højre. Vi får.

2. Vi udtrækker kvadratroden fra den første gruppe af tal til venstre - i vores tilfælde er dette (det er klart, at den nøjagtige rod måske ikke kan udtrækkes, vi tager et tal, hvis kvadrat er så tæt som muligt på vores tal dannet af første gruppe af tal, men overskrider den ikke). I vores tilfælde vil dette være et tal. Vi skriver svaret ned - dette er det vigtigste ciffer i roden.

3. Vi firkanter det tal, der allerede er i svaret - dette - og trækker det fra den første gruppe af tal til venstre - fra tallet. I vores tilfælde forbliver det.

4. Vi tildeler følgende gruppe af to tal til højre: . Vi ganger det tal, der allerede er i svaret, med , og vi får .

5. Pas nu godt på. Vi skal tildele et ciffer til tallet til højre og gange tallet med, det vil sige med det samme tildelte ciffer. Resultatet skal være så tæt som muligt på, men igen ikke mere end dette tal. I vores tilfælde vil dette være nummeret, vi skriver det i svaret ved siden af, til højre. Dette er det næste ciffer i decimalnotationen af ​​vores kvadratrod.

6. Ved at trække produktet fra får vi .

7. Dernæst gentager vi de velkendte operationer: vi tildeler følgende gruppe af cifre til højre, multiplicerer med , til det resulterende tal > vi tildeler et ciffer til højre, sådan at når vi ganget med det, får vi et tal mindre end , men nærmest til det - dette er det næste ciffer i decimal rodnotation.

Beregningerne vil blive skrevet som følger:

Og nu den lovede forklaring. Algoritmen er baseret på formlen

Kommentarer: 50

1. 2 Anton:

   For kaotisk og forvirrende. Arranger alt punkt for punkt og nummerér dem. Plus: forklar, hvor vi erstatter i hver handling nødvendige værdier. Jeg har aldrig beregnet en rodrod før - jeg havde svært ved at finde ud af det.

2. 5 Julia:

3. 6 :

   Yulia, 23 år dette øjeblik skrevet til højre, er det de to første (til venstre) allerede opnåede cifre i roden i svaret. Gang med 2 i henhold til algoritmen. Vi gentager trinene beskrevet i punkt 4.

4. 7 zzz:

   fejl i "6. Fra 167 trækker vi produktet 43 * 3 = 123 (129 nada), vi får 38."
   Jeg forstår ikke, hvordan det viste sig at være 08 efter decimaltegnet...

5. 9 Fedotov Alexander:

   Og selv i pre-calculator-æraen blev vi undervist i skolen ikke kun firkantet, men også terningerod uddrag i en kolonne, men dette er mere kedeligt og møjsommeligt arbejde. Det var nemmere at bruge Bradis-borde eller en glideregel, som vi allerede studerede i gymnasiet.

6. 10 :

   Alexander, du har ret, du kan udtrække det i en kolonne og rødder højere grader. Jeg skal bare skrive om, hvordan man finder terningroden.

7. 12 Sergei Valentinovich:

   Kære Elizaveta Alexandrovna! I slutningen af ​​70'erne udviklede jeg en ordning til automatisk (dvs. ikke ved udvælgelse) beregning af quadra. root på Felix tilføjelsesmaskine. Hvis du er interesseret, kan jeg sende dig en beskrivelse.

8. 14 Vlad aus Engelsstadt:

   (((udtrækker kvadratroden af ​​kolonnen)))
   Algoritmen forenkles, hvis du bruger 2. talsystemet, som er studeret i datalogi, men også er brugbart i matematik. A.N. Kolmogorov præsenterede denne algoritme i populære foredrag for skolebørn. Hans artikel kan findes i "Chebyshev Collection" ( Matematisk journal, se efter et link til det på internettet)
   Sig i øvrigt:
   G. Leibniz legede på et tidspunkt med ideen om at gå fra det 10. talsystem til det binære på grund af dets enkelhed og tilgængelighed for begyndere ( ungdomsskolebørn). Men at bryde etablerede traditioner er som at bryde en fæstningsport med panden: det er muligt, men det er nytteløst. Så det viser sig, at ifølge de mest citerede i gamle dage til den skæggede filosof: alle døde generationers traditioner undertrykker de levendes bevidsthed.

   Indtil næste gang.

9. 15 Vlad aus Engelsstadt:

   ))Sergey Valentinovich, ja, jeg er interesseret...((

   Jeg vil vædde på, at dette er en variation af den "Felix" babylonske metode til hesteudvinding kvadratisk metode successive tilnærmelser. Denne algoritme var dækket af Newtons metode (tangensmetode)

   Jeg spekulerer på, om jeg tog fejl i min prognose?

10. 18 :

    2Vlad aus Engelsstadt

    Ja, det er algoritmen binært system burde være enklere, det er ret indlysende.

    Om Newtons metode. Måske er det rigtigt, men det er stadig interessant

11. 20 Kirill:

    Mange tak. Men der er stadig ingen algoritme, ingen ved, hvor den kom fra, men resultatet er korrekt. MANGE TAK! Jeg har ledt efter dette i lang tid)

12. 21 Alexander:

    Hvordan vil du udtrække roden fra et tal, hvor den anden gruppe fra venstre mod højre er meget lille? for eksempel er alles favoritnummer 4.398.046.511.104. Efter den første subtraktion er det ikke muligt at fortsætte alt efter algoritmen. Kan du forklare venligst.

13. 22 Alexey:

    Ja, jeg kender denne metode. Jeg kan huske, at jeg læste det i bogen "Algebra" i en gammel udgave. Så, analogt, udledte han selv, hvordan man udtrak terningroden i en kolonne. Men der er det allerede mere kompliceret: hvert ciffer bestemmes ikke af et (som for et kvadrat), men af ​​to subtraktioner, og selv der skal du gange lange tal hver gang.

14. 23 Artem:

    Der er slåfejl i eksemplet med at udtrække kvadratroden af ​​56789.321. Gruppen af ​​tal 32 tildeles to gange til tallene 145 og 243, i tallet 2388025 skal det andet 8 erstattes af 3. Så skal den sidste subtraktion skrives som følger: 2431000 – 2383025 = 47975.
    Derudover, når vi dividerer resten med den fordoblede værdi af svaret (ignorerer kommaet), får vi den ekstra mængde signifikante tal(47975/(2*238305) = 0,100658819...), som skal føjes til svaret (√56789,321 = 238,305... = 238,305100659).

15. 24 Sergey:

    Tilsyneladende kom algoritmen fra Isaac Newtons bog "General Arithmetic eller en bog om aritmetisk syntese og analyse." Her er et uddrag af det:

    OM UDTRÆKNING AF RØDDER

    For at udtrække kvadratroden af ​​et tal skal du først placere en prik over dets cifre, begyndende med dem. Så skal du i kvotienten eller radikalet skrive det tal, hvis kvadrat er lig med eller nærmest i ulempe for tallene eller tallet foran det første punkt. Efter at have trukket dette kvadrat, vil de resterende cifre i roden blive fundet sekventielt ved at dividere resten med det dobbelte af værdien af ​​den allerede udtrukne del af roden og hver gang fra resten af ​​kvadratet trække det sidst fundne ciffer og dets tidoblede produkt med den navngivne divisor.

16. 25 Sergey:

    Ret også titlen på bogen "Generel aritmetik eller en bog om aritmetisk syntese og analyse"

17. 26 Alexander:

    tak for interessant materiale. Men denne metode forekommer mig noget mere kompliceret, end hvad der er brug for for eksempel til et skolebarn. Jeg bruger en enklere metode baseret på nedbrydning kvadratisk funktion ved hjælp af de to første afledte. Dens formel er:
    sqrt(x)= A1+A2-A3, hvor
    A1 er det heltal, hvis kvadrat er tættest på x;
    A2 er en brøk, tælleren er x-A1, nævneren er 2*A1.
    For de fleste tal, man støder på i et skoleforløb, er dette nok til at få resultatet nøjagtigt til en hundrededel.
    Hvis du har brug for et mere præcist resultat, så tag
    A3 er en brøk, tælleren er A2 i anden, nævneren er 2*A1+1.
    Selvfølgelig skal du bruge en tabel med kvadrater af heltal, men dette er ikke et problem i skolen. Det er ret simpelt at huske denne formel.
    Det forvirrer mig dog, at jeg opnåede A3 eksperimentelt som resultat af forsøg med regneark og jeg forstår ikke helt hvorfor dette medlem ser sådan ud. Måske du kan give mig nogle råd?

18. 27 Alexander:

    Ja, jeg har også overvejet disse overvejelser, men djævelen er i detaljerne. Du skriver:
    "da a2 og b adskiller sig ganske lidt." Spørgsmålet er præcis hvor lidt.
    Denne formel fungerer godt på tal i de anden ti og meget værre (ikke op til hundrededele, kun op til tiendedele) på tal i de første ti. Hvorfor dette sker, er svært at forstå uden brug af derivater.

19. 28 Alexander:

    Jeg vil præcisere, hvad jeg ser som fordelen ved den formel, jeg foreslår. Det kræver ikke den ikke helt naturlige opdeling af tal i talpar, som erfaringsmæssigt ofte udføres med fejl. Dens betydning er indlysende, men for en person, der er fortrolig med analyse, er den triviel. Fungerer godt på tal fra 100 til 1000, som er de mest almindelige tal, man støder på i skolen.

20. 29 Alexander:

    Jeg har i øvrigt gravet lidt og fundet nøjagtigt udtryk for A3 i min formel:
    A3= A22 /2(A1+A2)

21. 30 vasil stryzhak:

    I dag udbredt brug computerteknologi, spørgsmålet om at udtrække en firkantet ridder fra et nummer er ikke det værd fra et praktisk synspunkt. Men for matematikelskere er de uden tvivl interessante forskellige muligheder løsninger på dette problem. I skolens læseplan er der en vej af denne beregning uden at involvere yderligere midler, bør det foregå på niveau med multiplikation og lang division. Beregningsalgoritmen skal ikke kun huskes, men også forståelig. Klassisk metode, leveret i dette materiale til diskussion med afsløring af essensen, opfylder fuldt ud ovenstående kriterier.
    En væsentlig ulempe ved metoden foreslået af Alexander er brugen af ​​en tabel med kvadrater af heltal. Forfatteren er tavs om størstedelen af ​​de tal, man støder på i skoleforløbet. Med hensyn til formlen, så tiltaler den mig generelt mht høj nøjagtighed beregninger.

22. 31 Alexander:

    for 30 vasil stryzhak
    Jeg tier ikke noget. Tabellen med kvadrater skal være op til 1000. I min tid på skolen lærte de det simpelthen udenad og det stod i alle matematikbøger. Jeg navngav udtrykkeligt dette interval.
    Hvad angår computerteknologi, bruges den ikke hovedsageligt i matematiktimerne, medmindre emnet om at bruge en lommeregner er specifikt diskuteret. Lommeregnere er nu indbygget i enheder, der er forbudt at bruge på Unified State-eksamenen.

23. 32 vasil stryzhak:

    Alexander, tak for afklaringen, jeg troede, at det er teoretisk nødvendigt at huske eller bruge en tabel med kvadrater af alle to-cifrede tal teknikken til at øge eller mindske dem med påkrævet beløb ordrer om kommaoverførsel.

24. 33 vasil stryzhak:

25. 39 ALEXANDER:

    MIT FØRSTE PROGRAM PÅ IAMB-SPROG PÅ DEN SOVJETISKE MASKIN "ISKRA 555″ BLEV SKREVET FOR AT UDTREKKE KVADRATRODEN AF ET TAL VED HJÆLP AF KOLONNEUDTRÆKNINGSALGORITIMEN! og nu har jeg glemt, hvordan man udpakker det manuelt!

At udtrække roden er den omvendte operation af at hæve en magt. Det vil sige, at hvis vi tager roden af ​​tallet X, får vi et tal, der i anden anden giver det samme tal X.

Udtrækning af roden er en ret simpel operation. Et bord med firkanter kan gøre udsugningsarbejdet lettere. For det er umuligt at huske alle kvadraterne og rødderne udenad, men tallene kan være store.

Udtræk roden af ​​et tal

Det er nemt at tage kvadratroden af ​​et tal. Desuden kan dette ikke gøres med det samme, men gradvist. Tag for eksempel udtrykket √256. I starten er det svært for en uvidende at give et svar med det samme. Så gør vi det trin for trin. Først dividerer vi med kun tallet 4, hvorfra vi tager det valgte kvadrat som rod.

Lad os repræsentere: √(64 4), så vil det svare til 2√64. Og som du ved, ifølge multiplikationstabellen 64 = 8 8. Svaret bliver 2*8=16.

Tilmeld dig kurset "Fremskynd hovedregning, IKKE hovedregning"at lære, hvordan man hurtigt og korrekt adderer, subtraherer, multiplicerer, dividerer, kvadrattal og endda slår rødder. På 30 dage lærer du, hvordan du bruger nemme tricks til at forenkle aritmetiske operationer. Hver lektion indeholder nye teknikker, klare eksempler Og nyttige opgaver.

Udtrække en kompleks rod

Kvadratroden kan ikke beregnes ud fra negative tal, fordi ethvert kvadrateret tal er et positivt tal!

Et komplekst tal er tallet i, som i anden er lig med -1. Det vil sige i2=-1.

I matematik er der et tal, som fås ved at tage roden af ​​tallet -1.

Det vil sige, at det er muligt at beregne roden af negativt tal, men det gælder allerede højere matematik, ikke skole.

Lad os overveje et eksempel på en sådan rodudvinding: √(-49)=7*√(-1)=7i.

Online rodberegner

Ved hjælp af vores lommeregner kan du beregne udtrækket af et tal fra kvadratroden:

Konvertering af udtryk, der indeholder en rodoperation

Essensen af ​​at transformere radikale udtryk er at nedbryde det radikale tal til simplere, hvorfra roden kan udvindes. Såsom 4, 9, 25 og så videre.

Lad os give et eksempel, √625. Lad os dividere det radikale udtryk med tallet 5. Vi får √(125 5), gentag handlingen √(25 25), men vi ved, at 25 er 52. Hvilket betyder, at svaret bliver 5*5=25.

Men der er tal, for hvilke roden ikke kan beregnes ved hjælp af denne metode, og du skal bare kende svaret eller have en tabel med kvadrater ved hånden.

√289=√(17*17)=17

Bundlinie

Vi har kun set på toppen af ​​isbjerget, for at forstå matematik bedre - tilmeld dig vores kursus: Accelererende hovedregning - IKKE hovedregning.

Fra kurset lærer du ikke kun snesevis af teknikker til forenklet og hurtig multiplikation, addition, multiplikation, division, udregning af procenter, men du vil også øve dem i specielle opgaver og pædagogiske spil! Hovedregning kræver også meget opmærksomhed og koncentration, som trænes aktivt, når man løser interessante problemer.

Når man beslutter sig forskellige opgaver I matematik- og fysikkurser står elever og studerende ofte over for behovet for at udvinde rødder af anden, tredje eller n. grad. Selvfølgelig i århundredet informationsteknologier Det vil ikke være svært at løse dette problem ved hjælp af en lommeregner. Der opstår dog situationer, hvor det er umuligt at bruge den elektroniske assistent.

For eksempel tillader mange eksamener ikke, at man medbringer elektronik. Derudover har du muligvis ikke en lommeregner ved hånden. I sådanne tilfælde er det nyttigt at kende i det mindste nogle metoder til at beregne radikaler manuelt.

En af de enkleste måder at beregne rødder på er at ved hjælp af et specielt bord. Hvad er det, og hvordan bruger man det korrekt?

Ved hjælp af tabellen kan du finde kvadratet af ethvert tal fra 10 til 99. Rækkerne i tabellen indeholder værdierne af tiere, og kolonnerne indeholder værdierne af enheder. Cellen i skæringspunktet mellem en række og en kolonne indeholder en firkant tocifret nummer. For at beregne kvadratet på 63 skal du finde en række med værdien 6 og en kolonne med værdien 3. I skæringspunktet finder vi en celle med tallet 3969.

Da udtrækning af roden er den omvendte operation af kvadrering, for at udføre denne handling skal du gøre det modsatte: find først cellen med det tal, hvis radikal du vil beregne, og brug derefter værdierne af kolonnen og rækken til at bestemme svaret . Som et eksempel kan du overveje at beregne kvadratroden af ​​169.

Vi finder en celle med dette tal i tabellen, vandret bestemmer vi tiere - 1, lodret finder vi enheder - 3. Svar: √169 = 13.

På samme måde kan du beregne terning og n. rødder ved hjælp af de relevante tabeller.

Fordelen ved metoden er dens enkelhed og fraværet af yderligere beregninger. Ulemperne er indlysende: Metoden kan kun bruges til et begrænset antal tal (tallet, som roden findes for, skal ligge i området fra 100 til 9801). Desuden vil det ikke virke, hvis givet nummer ikke i tabellen.

Primfaktorisering

Hvis tabellen med kvadrater ikke er ved hånden, eller det viste sig at være umuligt at finde roden med dens hjælp, kan du prøve faktor tallet under roden til primfaktorer. Primære faktorer er dem, der kan være fuldstændigt (uden rest) delelige kun af sig selv eller med én. Eksempler kunne være 2, 3, 5, 7, 11, 13 osv.

Lad os se på at beregne roden ved at bruge √576 som eksempel. Lad os opdele det i primære faktorer. Vi får følgende resultat: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². Ved at bruge den grundlæggende egenskab af rødder √a² = a, vil vi slippe af med rødder og kvadrater, og derefter beregne svaret: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​= 24.

Hvad skal man gøre, hvis nogen af ​​multiplikatorerne ikke har sit eget par? Overvej for eksempel beregningen af ​​√54. Efter faktorisering får vi resultatet ind følgende formular: √54 = √(2 ∙ 3 ​​∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. Den ikke-aftagelige del kan efterlades under roden. For de fleste geometri- og algebraproblemer vil dette tælle som det endelige svar. Men hvis der er behov for at beregne omtrentlige værdier, kan du bruge metoder, der vil blive diskuteret nedenfor.

Herons metode

Hvad skal man gøre, når man i det mindste skal vide, hvad den udtrukne rod er lig med (hvis det er umuligt at opnå en heltalsværdi)? Et hurtigt og ret præcist resultat opnås ved at bruge Heron-metoden. Dens essens er at bruge en omtrentlig formel:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

hvor R er det tal, hvis rod skal beregnes, a er det nærmeste tal, hvis rodværdi er kendt.

Lad os se på, hvordan metoden fungerer i praksis og vurdere, hvor præcis den er. Lad os beregne, hvad √111 er lig med. Tallet tættest på 111, hvis rod er kendt, er 121. Således er R = 111, a = 121. Erstat værdierne i formlen:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Lad os nu kontrollere nøjagtigheden af ​​metoden:

10,55² = 111,3025.

Metodens fejl var ca. 0,3. Hvis nøjagtigheden af ​​metoden skal forbedres, kan du gentage de tidligere beskrevne trin:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Lad os kontrollere nøjagtigheden af ​​beregningen:

10,536² = 111,0073.

Efter genanvendelse af formlen blev fejlen fuldstændig ubetydelig.

Beregning af roden ved lang division

Denne metode til at finde kvadratrodsværdien er lidt mere kompleks end de foregående. Det er dog den mest nøjagtige blandt andre beregningsmetoder uden lommeregner.

Lad os sige, at du skal finde kvadratroden nøjagtig med 4 decimaler. Lad os se på beregningsalgoritmen ved hjælp af et eksempel ethvert nummer 1308,1912.

1. Del papirarket i 2 dele med en lodret linje, og træk derefter en anden linje fra det til højre, lidt under den øverste kant. Lad os skrive tallet i venstre side, opdele det i grupper med 2 cifre, flytte til højre og venstre side fra komma. Det allerførste ciffer til venstre kan være uden et par. Hvis tegnet mangler på højre side af tallet, så skal du tilføje 0. I vores tilfælde vil resultatet være 13 08.19 12.
2. Lad os vælge det bedste stort antal, hvis kvadrat vil være mindre end eller lig med den første gruppe af cifre. I vores tilfælde er det 3. Lad os skrive det øverst til højre; 3 er det første ciffer i resultatet. Nederst til højre angiver vi 3×3 = 9; dette vil være nødvendigt for efterfølgende beregninger. Fra 13 i kolonnen trækker vi 9 fra, vi får en rest på 4.
3. Lad os tildele det næste par tal til resten 4; vi får 408.
4. Gang tallet øverst til højre med 2 og skriv det ned nederst til højre, og læg _ x _ = til det. Vi får 6_ x _ =.
5. I stedet for bindestreger skal du erstatte det samme tal, mindre end eller lig med 408. Vi får 66 × 6 = 396. Vi skriver 6 fra øverst til højre, da dette er det andet ciffer i resultatet. Træk 396 fra 408, vi får 12.
6. Lad os gentage trin 3-6. Da cifrene flyttet ned er i brøkdelen af ​​tallet, er det nødvendigt at sætte decimaltegnetøverst til højre efter 6. Lad os skrive det dobbelte resultat ned med streger: 72_ x _ =. Et passende tal ville være 1: 721×1 = 721. Lad os skrive det ned som svaret. Lad os trække 1219 - 721 = 498 fra.
7. Lad os gøre det givne forrige afsnit sekvens af handlinger tre gange mere for at opnå det nødvendige antal decimaler. Hvis der ikke er nok tegn til yderligere beregninger, skal du tilføje to nuller til det aktuelle tal til venstre.

Som et resultat får vi svaret: √1308.1912 ≈ 36.1689. Hvis du kontrollerer handlingen ved hjælp af en lommeregner, kan du sikre dig, at alle tegn blev identificeret korrekt.

Bitvis kvadratrodsberegning

Metoden er meget nøjagtig. Derudover er det ganske forståeligt og kræver ikke at huske formler eller kompleks algoritme handlinger, da essensen af ​​metoden er at vælge det rigtige resultat.

Lad os udtrække roden af ​​tallet 781. Lad os se på rækkefølgen af ​​handlinger i detaljer.

1. Lad os finde ud af, hvilket ciffer i kvadratrodsværdien der vil være det mest signifikante. For at gøre dette, lad os firkante 0, 10, 100, 1000 osv. og finde ud af mellem hvilke af dem det radikale nummer er placeret. Vi får de 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. Lad os vælge værdien af ​​tiere. For at gøre dette vil vi skiftes til at hæve til potensen 10, 20, ..., 90, indtil vi får et tal større end 781. I vores tilfælde får vi 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. værdien af ​​resultatet n vil være inden for 20< n <30.
3. I lighed med det foregående trin vælges værdien af ​​enhedscifferet. Lad os firkante 21,22, ..., 29 én efter én: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28,2 Vi får det 7< n < 28.
4. Hvert efterfølgende ciffer (tiendedele, hundrededele osv.) beregnes på samme måde som vist ovenfor. Beregninger udføres, indtil den nødvendige nøjagtighed er opnået.