Når eksponentiel ulighed ikke har nogen løsninger. Løsning af eksponentielle uligheder: grundlæggende metoder

Diagram i figur 5:

Og følgende eksempel: Løs ulighed 0,6 2x – 3< 0,36 .

Ved at følge diagrammet i figur 5 får vi
2x – 3 > log 0,6 0,36,
2х – 3 > 2,
2x > 5,
x > 2,5

Svar: (2,5; +∞) .

Lad os overveje det sidste skema til løsning af en ulighed i formen og f(x)< b , kl a>0 Og b<0 , vist i figur 6:

Lad os for eksempel løse uligheden:

Vi bemærker, at uanset hvilket tal vi erstatter x, er venstre side af uligheden altid større end nul, og vores udtryk er mindre end -8, dvs. og nul, hvilket betyder, at der ikke er nogen løsninger.

Svar: ingen løsninger.

Ved at vide, hvordan man løser de enkleste eksponentielle uligheder, kan du fortsætte til løsning af eksponentielle uligheder.

Eksempel 1.

Find den største heltalsværdi af x, der opfylder uligheden

Da 6 x er større end nul (ved ingen x går nævneren til nul), multiplicerer vi begge sider af uligheden med 6 x, får vi:

440 – 2 6 2x > 8, så
– 2 6 2x > 8 – 440,
– 2 6 2х > – 332,
6 2x< 216,
2x< 3,

x< 1,5. Наибольшее целое число из помежутка (–∞; 1,5) это число 1.

Svar: 1.

Eksempel 2.

Løs ulighed 2 2 x – 3 2 x + 2 ≤ 0

Lad os betegne 2 x med y, få uligheden y 2 – 3y + 2 ≤ 0, og løse denne kvadratiske ulighed.

y 2 – 3y +2 = 0,
y 1 = 1 og y 2 = 2.

Grenene af parablen er rettet opad, lad os tegne en graf:

Så vil løsningen på uligheden være ulighed 1< у < 2, вернемся к нашей переменной х и получим неравенство 1< 2 х < 2, решая которое и найдем ответ 0 < x < 1.

Svar: (0; 1) .

Eksempel 3. Løs uligheden 5 x +1 – 3 x +2< 2·5 x – 2·3 x –1
Lad os samle udtryk med samme grundlag i en del af uligheden

5 x +1 – 2 5 x< 3 x +2 – 2·3 x –1

Lad os tage 5 x ud af parentes på venstre side af uligheden, og 3 x på højre side af uligheden, og vi får uligheden

5 x (5 – 2)< 3 х (9 – 2/3),
3·5 x< (25/3)·3 х

Divider begge sider af uligheden med udtrykket 3 3 x, fortegnet for uligheden ændres ikke, da 3 3 x er et positivt tal, får vi uligheden:

x< 2 (так как 5/3 > 1).

Svar: (–∞; 2) .

Hvis du har spørgsmål om at løse eksponentielle uligheder eller gerne vil øve dig i at løse lignende eksempler, så tilmeld dig mine lektioner. Underviser Valentina Galinevskaya.

hjemmeside, ved kopiering af materiale helt eller delvist kræves et link til kilden.

At løse de fleste matematiske problemer på den ene eller anden måde involverer transformation af numeriske, algebraiske eller funktionelle udtryk. Ovenstående gælder især for afgørelsen. I versionerne af Unified State Exam i matematik omfatter denne type problemer især opgave C3. At lære at løse C3-opgaver er vigtigt ikke kun med det formål at bestå Unified State Examen, men også af den grund, at denne færdighed vil være nyttig, når du studerer et matematikkursus i gymnasiet.

Når du skal løse C3-opgaver, skal du løse forskellige typer ligninger og uligheder. Blandt dem er rationelle, irrationelle, eksponentielle, logaritmiske, trigonometriske, indeholdende moduler (absolutte værdier) såvel som kombinerede. Denne artikel diskuterer hovedtyperne af eksponentielle ligninger og uligheder, samt forskellige metoder til at løse dem. Læs om løsning af andre typer ligninger og uligheder i afsnittet "" i artikler om metoder til løsning af C3-problemer fra Unified State Examination i matematik.

Før vi begynder at analysere specifikke eksponentielle ligninger og uligheder, som matematikvejleder foreslår jeg, at du frisker op på noget teoretisk materiale, som vi får brug for.

Eksponentiel funktion

Hvad er en eksponentiel funktion?

Formens funktion y = et x, Hvor -en> 0 og -en≠ 1 kaldes eksponentiel funktion.

Grundlæggende egenskaber ved eksponentiel funktion y = et x:

Graf over en eksponentiel funktion

Grafen for eksponentialfunktionen er eksponent:

Grafer af eksponentielle funktioner (eksponenter)

Løsning af eksponentialligninger

Vejledende kaldes ligninger, hvor den ukendte variabel kun findes i eksponenter for nogle potenser.

For løsninger eksponentielle ligninger du skal kende og kunne bruge følgende simple sætning:

Sætning 1. Eksponentialligning -en f(x) = -en g(x) (Hvor -en > 0, -en≠ 1) svarer til ligningen f(x) = g(x).

Derudover er det nyttigt at huske de grundlæggende formler og operationer med grader:

Title="Gengivet af QuickLaTeX.com">!}

Eksempel 1. Løs ligningen:

Løsning: Vi bruger ovenstående formler og substitution:

Ligningen bliver så:

Diskriminanten af ​​den resulterende andengradsligning er positiv:

Title="Gengivet af QuickLaTeX.com">!}

Det betyder, at denne ligning har to rødder. Vi finder dem:

Går vi videre til omvendt substitution, får vi:

Den anden ligning har ingen rødder, da den eksponentielle funktion er strengt positiv gennem hele definitionsdomænet. Lad os løse den anden:

Under hensyntagen til, hvad der blev sagt i sætning 1, går vi videre til den ækvivalente ligning: x= 3. Dette vil være svaret på opgaven.

Svar: x = 3.

Eksempel 2. Løs ligningen:

Løsning: Ligningen har ingen begrænsninger på rækkevidden af ​​tilladte værdier, da det radikale udtryk giver mening for enhver værdi x(eksponentiel funktion y = 9 4 -x positiv og ikke lig med nul).

Vi løser ligningen ved ækvivalente transformationer ved hjælp af reglerne for multiplikation og division af potenser:

Den sidste overgang blev udført i overensstemmelse med sætning 1.

Svar:x= 6.

Eksempel 3. Løs ligningen:

Løsning: begge sider af den oprindelige ligning kan divideres med 0,2 x. Denne overgang vil være ækvivalent, da dette udtryk er større end nul for enhver værdi x(den eksponentielle funktion er strengt taget positiv i sit definitionsdomæne). Så har ligningen formen:

Svar: x = 0.

Eksempel 4. Løs ligningen:

Løsning: vi forenkler ligningen til en elementær ligning ved hjælp af ækvivalente transformationer ved at bruge reglerne for division og multiplikation af potenser givet i begyndelsen af ​​artiklen:

Ved at dividere begge sider af ligningen med 4 x, som i det foregående eksempel, er en ækvivalent transformation, da dette udtryk ikke er lig med nul for nogen værdier x.

Svar: x = 0.

Eksempel 5. Løs ligningen:

Løsning: fungere y = 3x, der står i venstre side af ligningen, er stigende. Fungere y = —x-2/3 på højre side af ligningen er faldende. Det betyder, at hvis graferne for disse funktioner skærer hinanden, så højst ét ​​punkt. I dette tilfælde er det let at gætte, at graferne skærer hinanden i punktet x= -1. Der vil ikke være andre rødder.

Svar: x = -1.

Eksempel 6. Løs ligningen:

Løsning: vi forenkler ligningen ved hjælp af ækvivalente transformationer, idet vi alle steder husker på, at eksponentialfunktionen er strengt taget større end nul for enhver værdi x og ved at bruge reglerne for beregning af produktet og kvotienten af ​​potenser angivet i begyndelsen af ​​artiklen:

Svar: x = 2.

Løsning af eksponentielle uligheder

Vejledende kaldes uligheder, hvor den ukendte variabel kun er indeholdt i eksponenter for nogle potenser.

For løsninger eksponentielle uligheder kendskab til følgende sætning er påkrævet:

Sætning 2. Hvis -en> 1, så uligheden -en f(x) > -en g(x) svarer til en ulighed af samme betydning: f(x) > g(x). Hvis 0< -en < 1, то показательное неравенство -en f(x) > -en g(x) svarer til en ulighed med den modsatte betydning: f(x) < g(x).

Eksempel 7. Løs uligheden:

Løsning: Lad os præsentere den oprindelige ulighed i formen:

Lad os dividere begge sider af denne ulighed med 3 2 x, i dette tilfælde (på grund af funktionens positivitet y= 3 2x) ulighedstegnet vil ikke ændre sig:

Lad os bruge substitutionen:

Så vil uligheden antage formen:

Så løsningen på uligheden er intervallet:

går vi til den omvendte erstatning, får vi:

På grund af eksponentialfunktionens positivitet opfyldes den venstre ulighed automatisk. Ved at bruge den velkendte egenskab for logaritmen går vi videre til den ækvivalente ulighed:

Da gradens basis er et tal større end én, er ækvivalent (ved sætning 2) overgangen til følgende ulighed:

Så får vi endelig svar:

Eksempel 8. Løs uligheden:

Løsning: Ved at bruge egenskaberne for multiplikation og magtdeling omskriver vi uligheden i formen:

Lad os introducere en ny variabel:

Under hensyntagen til denne substitution har uligheden formen:

Ved at gange brøkens tæller og nævner med 7 får vi følgende ækvivalente ulighed:

Så de følgende værdier af variablen opfylder uligheden t:

Så går vi til den omvendte substitution, får vi:

Da bunden af ​​graden her er større end én, vil overgangen til uligheden være ækvivalent (ved sætning 2):

Endelig får vi svar:

Eksempel 9. Løs uligheden:

Løsning:

Vi deler begge sider af uligheden med udtrykket:

Den er altid større end nul (på grund af eksponentialfunktionens positivitet), så der er ingen grund til at ændre ulighedstegnet. Vi får:

t placeret i intervallet:

Går vi videre til den omvendte substitution, finder vi, at den oprindelige ulighed opdeles i to tilfælde:

Den første ulighed har ingen løsninger på grund af positiviteten af ​​den eksponentielle funktion. Lad os løse den anden:

Eksempel 10. Løs uligheden:

Løsning:

Parabel grene y = 2x+2-x 2 er rettet nedad, derfor er den begrænset ovenfra af den værdi, den når ved sit toppunkt:

Parabel grene y = x 2 -2x+2 i indikatoren er rettet opad, hvilket betyder, at den er begrænset nedefra af den værdi, den når ved sit toppunkt:

Samtidig viser sig funktionen også at være afgrænset nedefra y = 3 x 2 -2x+2, som er på højre side af ligningen. Den når sin mindste værdi på samme punkt som parablen i eksponenten, og denne værdi er 3 1 = 3. Så den oprindelige ulighed kan kun være sand, hvis funktionen til venstre og funktionen til højre tager værdien på. , lig med 3 (skæringspunktet mellem værdiområderne for disse funktioner er kun dette tal). Denne betingelse er opfyldt på et enkelt punkt x = 1.

Svar: x= 1.

For at lære at bestemme eksponentielle ligninger og uligheder, det er nødvendigt hele tiden at træne i at løse dem. Forskellige læremidler, opgavebøger i elementær matematik, samlinger af konkurrenceproblemer, matematiktimer på skolen samt individuelle lektioner med en professionel vejleder kan hjælpe dig i denne vanskelige opgave. Jeg ønsker dig oprigtigt succes med din forberedelse og fremragende resultater i eksamen.

Sergey Valerievich

P.S. Kære gæster! Skriv ikke anmodninger om at løse dine ligninger i kommentarerne. Desværre har jeg absolut ikke tid til dette. Sådanne beskeder vil blive slettet. Læs venligst artiklen. Måske vil du i den finde svar på spørgsmål, der ikke tillod dig at løse din opgave på egen hånd.

Eksponentielle ligninger og uligheder er dem, hvor det ukendte er indeholdt i eksponenten.

At løse eksponentielle ligninger kommer ofte ned på at løse ligningen a x = a b, hvor a > 0, a ≠ 1, x er en ukendt. Denne ligning har en enkelt rod x = b, da følgende sætning er sand:

Sætning. Hvis a > 0, a ≠ 1 og a x 1 = a x 2, så er x 1 = x 2.

Lad os underbygge den overvejede udsagn.

Lad os antage, at ligheden x 1 = x 2 ikke holder, dvs. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, så øges eksponentialfunktionen y = a x og derfor skal uligheden a x 1 være opfyldt< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >en x 2. I begge tilfælde modtog vi en modsigelse til betingelsen a x 1 = a x 2.

Lad os overveje flere problemer.

Løs ligningen 4 ∙ 2 x = 1.

Løsning.

Lad os skrive ligningen på formen 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0, hvorfra vi får x + 2 = 0, dvs. x = -2.

Svar. x = -2.

Løs ligning 2 3x ∙ 3 x = 576.

Løsning.

Da 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, kan ligningen skrives som 8 x ∙ 3 x = 24 2 eller som 24 x = 24 2.

Herfra får vi x = 2.

Svar. x = 2.

Løs ligningen 3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25.

Løsning.

Tager vi den fælles faktor 3 x - 2 ud af parenteser på venstre side, får vi 3 x - 2 ∙ (3 3 - 2) = 25 - 3 x - 2 ∙ 25 = 25,

hvorfra 3 x - 2 = 1, dvs. x – 2 = 0, x = 2.

Svar. x = 2.

Løs ligningen 3 x = 7 x.

Løsning.

Da 7 x ≠ 0, kan ligningen skrives som 3 x /7 x = 1, hvorfra (3/7) x = 1, x = 0.

Svar. x = 0.

Løs ligningen 9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0.

Løsning.

Ved at erstatte 3 x = a reduceres denne ligning til andengradsligningen a 2 – 4a – 45 = 0.

Ved at løse denne ligning finder vi dens rødder: a 1 = 9 og 2 = -5, hvoraf 3 x = 9, 3 x = -5.

Ligningen 3 x = 9 har rod 2, og ligningen 3 x = -5 har ingen rødder, da eksponentialfunktionen ikke kan tage negative værdier.

Svar. x = 2.

At løse eksponentielle uligheder kommer ofte ned på at løse ulighederne a x > a b eller a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

Lad os se på nogle problemer.

Løs ulighed 3 x< 81.

Løsning.

Lad os skrive uligheden på formen 3 x< 3 4 . Так как 3 >1, så er funktionen y = 3 x stigende.

Derfor for x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

Således ved x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Svar. x< 4.

Løs uligheden 16 x +4 x – 2 > 0.

Løsning.

Lad os betegne 4 x = t, så får vi den kvadratiske ulighed t2 + t – 2 > 0.

Denne ulighed gælder for t< -2 и при t > 1.

Da t = 4 x, får vi to uligheder 4 x< -2, 4 х > 1.

Den første ulighed har ingen løsninger, da 4 x > 0 for alle x € R.

Vi skriver den anden ulighed på formen 4 x > 4 0, hvorfra x > 0.

Svar. x > 0.

Løs grafisk ligningen (1/3) x = x – 2/3.

Løsning.

1) Lad os bygge grafer over funktionerne y = (1/3) x og y = x – 2/3.

2) Baseret på vores figur kan vi konkludere, at graferne for de betragtede funktioner skærer hinanden i punktet med abscissen x ≈ 1. Kontrol beviser, at

x = 1 er roden af ​​denne ligning:

(1/3) 1 = 1/3 og 1 – 2/3 = 1/3.

Vi har med andre ord fundet en af ​​ligningens rødder.

3) Lad os finde andre rødder eller bevise, at der ikke er nogen. Funktionen (1/3) x er faldende, og funktionen y = x – 2/3 er stigende. Derfor, for x > 1, er værdierne af den første funktion mindre end 1/3, og den anden - mere end 1/3; ved x< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 og x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Svar. x = 1.

Bemærk, at især af løsningen af ​​dette problem følger, at uligheden (1/3) x > x – 2/3 er opfyldt for x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

hjemmeside, ved kopiering af materiale helt eller delvist kræves et link til kilden.

Lektion og præsentation om emnet: "Eksponentielle ligninger og eksponentielle uligheder"

Yderligere materialer
Kære brugere, glem ikke at efterlade dine kommentarer, anmeldelser, ønsker! Alt materiale er blevet kontrolleret af et antivirusprogram.

Læremidler og simulatorer i Integral-onlinebutikken til 11. klasse
Interaktiv manual for klasse 9-11 "Trigonometri"
Interaktiv manual for klasse 10-11 "Logarithms"

Definition af eksponentialligninger

Definition. Ligninger med formen: $a^(f(x))=a^(g(x))$, hvor $a>0$, $a≠1$ kaldes eksponentialligninger.

Idet vi husker de sætninger, vi studerede i emnet "Eksponentiel funktion", kan vi introducere en ny sætning:
Sætning. Eksponentialligningen $a^(f(x))=a^(g(x))$, hvor $a>0$, $a≠1$ svarer til ligningen $f(x)=g(x) $.

Eksempler på eksponentialligninger

B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
Så kan vores ligning omskrives: $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) ) =((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
$2х+0,2=0,2$.
$x=0$.
Svar: $x=0$.

C) Den oprindelige ligning svarer til ligningen: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ og $x_2=-3$.
Svar: $x_1=6$ og $x_2=-3$.

Eksempel.
Løs ligningen: $\frac((((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=16*((0,0625))^(x+1)$.
Løsning:
Lad os udføre en række handlinger sekventielt og bringe begge sider af vores ligning til de samme baser.
Lad os udføre en række operationer på venstre side:
1) $((0,25))^(x-0,5)=((\frac(1)(4)))^(x-0,5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0,5+0,5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Lad os gå videre til højre side:
4) $16=4^2$.
5) $((0,0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0,0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Den oprindelige ligning svarer til ligningen:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Svar: $x=0$.

Eksempel.
Løs ligningen: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Løsning:
Lad os omskrive vores ligning: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Lad os lave en ændring af variabler, lad $a=3^x$.
I de nye variabler vil ligningen have formen: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ og $a_2=3$.
Lad os udføre den omvendte ændring af variabler: $3^x=-12$ og $3^x=3$.
I den sidste lektion lærte vi, at eksponentielle udtryk kun kan have positive værdier, husk grafen. Det betyder, at den første ligning ikke har nogen løsninger, den anden ligning har én løsning: $x=1$.
Svar: $x=1$.

Lad os lave en påmindelse om, hvordan man løser eksponentialligninger:
1. Grafisk metode. Vi repræsenterer begge sider af ligningen i form af funktioner og bygger deres grafer, find grafernes skæringspunkter. (Vi brugte denne metode i sidste lektion).
2. Princippet om lighed af indikatorer. Princippet er baseret på, at to udtryk med samme grundtal er lige, hvis og kun hvis graderne (eksponenterne) af disse grundtal er ens. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Variabel udskiftningsmetode. Denne metode bør bruges, hvis ligningen, når den erstatter variabler, forenkler dens form og er meget lettere at løse.

Eksempel.
Løs ligningssystemet: $\begin (tilfælde) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \end (sager)$.
Løsning.
Lad os betragte begge systemets ligninger separat:
$27^å*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Overvej den anden ligning:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Lad os bruge metoden til ændring af variabler, lad $y=2^(x+y)$.
Så vil ligningen antage formen:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ og $y_2=-3$.
Lad os gå videre til de indledende variabler, fra den første ligning får vi $x+y=2$. Den anden ligning har ingen løsninger. Så svarer vores indledende ligningssystem til systemet: $\begin (cases) x+3y=0, \\ x+y=2. \end (sager)$.
Træk den anden fra den første ligning, vi får: $\begin (tilfælde) 2y=-2, \\ x+y=2. \end (sager)$.
$\begin (tilfælde) y=-1, \\ x=3. \end (sager)$.
Svar: $(3;-1)$.

Eksponentielle uligheder

Sætning. Hvis $a>1$, så svarer den eksponentielle ulighed $a^(f(x))>a^(g(x))$ til uligheden $f(x)>g(x)$.
Hvis $0 a^(g(x))$ svarer til uligheden $f(x)

Eksempel.
Løs uligheder:
a) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Løsning.
a) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Vores ulighed svarer til ulighed:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5$.

B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) I vores ligning er grundtallet, når graden er mindre end 1, så Når du erstatter en ulighed med en tilsvarende, er det nødvendigt at ændre tegnet.
$2x-4>2$.
$x>3$.

C) Vores ulighed svarer til uligheden:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Lad os bruge intervalløsningsmetoden:
Svar: $(-∞;-5]U)