Ако всички естествено число n се присвоява на някои реално число x n , тогава казват, че е дадено числова последователност
х 1 , х 2 , … x n , …
Номер х 1 се нарича член на редицата с номер 1 или първия член на последователността, номер х 2 - член на редицата с номер 2 или вторият член на редицата и т.н. Числото x n се нарича член на редицата с номерн.
Има два начина за указване на числови поредици - с и със повтаряща се формула.
Използване на последователност формули за общия член на редица– това е последователна задача
х 1 , х 2 , … x n , …
използвайки формула, изразяваща зависимостта на члена x n от неговия номер n.
Пример 1. Числова последователност
1, 4, 9, … н 2 , …
дадено с помощта на общата формула на термина
x n = н 2 , н = 1, 2, 3, …
Указването на последователност с помощта на формула, изразяваща член на последователност x n чрез членовете на последователността с предходни числа, се нарича определяне на последователност с помощта на повтаряща се формула.
х 1 , х 2 , … x n , …
Наречен в нарастваща последователност, Повече ▼предишен член.
С други думи, за всички н
х н + 1 >х н
Пример 3. Редица от естествени числа
1, 2, 3, … н, …
е възходяща последователност.
Определение 2. Числова последователност
х 1 , х 2 , … x n , …
Наречен низходяща последователностако всеки член на тази последователност по-малкопредишен член.
С други думи, за всички н= 1, 2, 3, … неравенството е изпълнено
х н + 1 < х н
Пример 4. Последователност
дадено от формулата
е низходяща последователност.
Пример 5. Числова последователност
1, - 1, 1, - 1, …
дадено от формулата
x n = (- 1) н , н = 1, 2, 3, …
не е нито нараства, нито намалявапоследователност.
Определение 3. Нарастващи и намаляващи числови последователности се наричат монотонни последователности.
Ограничени и неограничени последователности
Определение 4. Числова последователност
х 1 , х 2 , … x n , …
Наречен ограничен отгоре, ако има число M такова, че всеки член на тази редица по-малкочисла М.
С други думи, за всички н= 1, 2, 3, … неравенството е изпълнено
Определение 5. Числова последователност
х 1 , х 2 , … x n , …
Наречен ограничен отдолу,ако има число m такова, че всеки член на тази редица Повече ▼числа m.
С други думи, за всички н= 1, 2, 3, … неравенството е изпълнено
Определение 6. Числова последователност
х 1 , х 2 , … x n , …
се нарича ограничено, ако го ограничен както отгоре, така и отдолу.
С други думи, има такива числа M и m, че за всички н= 1, 2, 3, … неравенството е изпълнено
м< x n < M
Определение 7. Числови поредици, които не са ограничени, Наречен неограничени последователности.
Пример 6. Числова последователност
1, 4, 9, … н 2 , …
дадено от формулата
x n = н 2 , н = 1, 2, 3, … ,
ограничен отдолу, например числото 0. Тази последователност обаче неограничен отгоре.
Пример 7. Последователност
дадено от формулата
е ограничена последователност , защото за всички н= 1, 2, 3, … неравенството е изпълнено
На нашия уебсайт можете също да се запознаете с образователни материали, разработени от учители на учебния център Resolventa за подготовка за Единния държавен изпит и Единния държавен изпит по математика.
За ученици, които искат да се подготвят добре и да преминат Единен държавен изпит по математика или руски езикНа висока оценка, Образователният център"Резолвента" провежда
| подготвителни курсове за ученици от 10 и 11 клас |
Вида г= f(х), хОТНОСНО н, Където н– набор от естествени числа (или функция на естествен аргумент), означ г=f(н) или г 1 ,г 2 ,…, y n,…. Стойности г 1 ,г 2 ,г 3 ,… се наричат съответно първи, втори, трети, ... членове на редицата.
Например за функцията г= н 2 може да се напише:
г 1 = 1 2 = 1;
г 2 = 2 2 = 4;
г 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…
Методи за специфициране на последователности.Последователностите могат да бъдат зададени различни начини, сред които особено важни са три: аналитичен, описателен и повтарящ се.
1. Редица е дадена аналитично, ако е дадена нейната формула нти член:
y n=f(н).
Пример. y n= 2н - 1 – поредица от нечетни числа: 1, 3, 5, 7, 9, …
2. Описателен начин на настройка числова последователносте, че обяснява от кои елементи е изградена последователността.
Пример 1. „Всички членове на редицата са равни на 1.“ Това означава, ние говорим заотносно стационарната редица 1, 1, 1, …, 1, ….
Пример 2. „Поредица се състои от всички прости числавъв възходящ ред". Така дадената последователност е 2, 3, 5, 7, 11, …. С този метод за указване на последователността в в този примертрудно е да се отговори на какво е равен, да речем, 1000-ният елемент от редицата.
3. Повтарящият се метод за указване на последователност е да укажете правило, което ви позволява да изчислявате н-ти член на редица, ако предишните й членове са известни. Името повтарящ се метод идва от латинска дума рецидивиращ- Върни се. Най-често в такива случаи се посочва формула, която позволява да се изрази нчлен на редицата през предходните и посочете 1–2 начални члена на редицата.
Пример 1. г 1 = 3; y n = y n–1 + 4 ако н = 2, 3, 4,….
Тук г 1 = 3; г 2 = 3 + 4 = 7;г 3 = 7 + 4 = 11; ….
Можете да видите, че последователността, получена в този пример, може да бъде определена и аналитично: y n= 4н - 1.
Пример 2. г 1 = 1; г 2 = 1; y n = y n –2 + y n–1 ако н = 3, 4,….
Тук: г 1 = 1; г 2 = 1; г 3 = 1 + 1 = 2; г 4 = 1 + 2 = 3; г 5 = 2 + 3 = 5; г 6 = 3 + 5 = 8;
Последователността, съставена в този пример, е специално изучавана в математиката, тъй като има число от интересни свойстваи приложения. Нарича се редицата на Фибоначи, кръстена на италианския математик от 13-ти век. Много е лесно да се дефинира последователността на Фибоначи периодично, но е много трудно аналитично. нЧислото на Фибоначи се изразява чрез него сериен номер следната формула.
На пръв поглед формулата за нномерът на Фибоначи изглежда неправдоподобен, тъй като формулата, която определя последователността от естествени числа, съдържа само квадратни корени, но можете да проверите „ръчно“ валидността на тази формула за първите няколко н.
Свойства на числови поредици.
Числова последователност – специален случай числова функция, следователно редица свойства на функциите също се разглеждат за последователности.
Определение . Последователност ( y n} се нарича нарастващо, ако всеки от неговите членове (с изключение на първия) е по-голям от предишния:
г 1 y 2 y 3 y n y n +1
Определение. Последователност ( y n} се нарича намаляваща, ако всеки от неговите членове (с изключение на първия) е по-малък от предходния:
г 1 > г 2 > г 3 > … > y n> y n +1 > … .
Комбинират се нарастващи и низходящи последователности общ термин– монотонни последователности.
Пример 1. г 1 = 1; y n= н 2 – нарастваща последователност.
Следователно следната теорема е вярна (характерно свойство на аритметична прогресия). Една числова последователност е аритметична тогава и само ако всеки от нейните членове с изключение на първия (и последния в случая крайна последователност), е равно на средноаритметичното на предходния и следващите членове.
Пример. На каква стойност хчисла 3 х + 2, 5х– 4 и 11 х+ 12 образуват крайна аритметична прогресия?
Според характерно свойство, дадените изрази трябва да удовлетворяват отношението
5х – 4 = ((3х + 2) + (11х + 12))/2.
Решаването на това уравнение дава х= –5,5. При тази стойност хдадени изрази 3 х + 2, 5х– 4 и 11 х+ 12 вземете съответно стойностите -14,5, –31,5, –48,5. Това - аритметична прогресия, разликата му е –17.
Геометрична прогресия.
Числова поредица, всички членове на която са различни от нула и всеки член, започвайки от втория, се получава от предишния член чрез умножаване по същото число р, Наречен геометрична прогресия, и числото р- знаменателят на геометрична прогресия.
По този начин геометричната прогресия е числова последователност ( b n), дефинирани рекурсивно от отношенията
b 1 = b, b n = b n –1 р (н = 2, 3, 4…).
(bИ q –дадени числа, b ≠ 0, р ≠ 0).
Пример 1. 2, 6, 18, 54, ... – нарастваща геометрична прогресия b = 2, р = 3.
Пример 2. 2, –2, 2, –2, … – геометрична прогресия b= 2,р= –1.
Пример 3. 8, 8, 8, 8, … – геометрична прогресия b= 8, р= 1.
Геометричната прогресия е нарастваща последователност, ако b 1 > 0, р> 1 и намалява, ако b 1 > 0, 0 q
Едно от очевидните свойства на геометричната прогресия е, че ако последователността е геометрична прогресия, то такава е и последователността от квадрати, т.е.
b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,... е геометрична прогресия, чийто първи член е равен на b 1 2 , а знаменателят е р 2 .
Формула н-членът на геометричната прогресия има формата
b n= b 1 qn– 1 .
Можете да получите формула за сумата от членовете на крайна геометрична прогресия.
Нека е дадена крайна геометрична прогресия
b 1 ,b 2 ,b 3 , …, b n
позволявам S n –сумата от неговите членове, т.е.
S n= b 1 + b 2 + b 3 + … +b n.
Прието е, че р No 1. Да се определи S nсе прилага изкуствен прием: някои са изпълнени геометрични трансформацииизрази S n q.
S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n)р = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– b 1 .
По този начин, S n q= S n +b n q – b 1 и следователно
Това е формулата с umma n термини на геометричната прогресияза случая, когато р≠ 1.
При р= 1 формулата не трябва да се извежда отделно; очевидно е, че в този случай S n= а 1 н.
Прогресията се нарича геометрична, защото всеки член в нея, с изключение на първия, е равен на средното геометрично на предходния и следващите членове. Наистина, тъй като
bn=bn- 1 q;
bn = bn+ 1 /q,
следователно, b n 2=bn– 1 bn+ 1 и е вярна следната теорема (характерно свойство на геометрична прогресия):
числова последователност е геометрична прогресия тогава и само ако квадратът на всеки от нейните членове, с изключение на първия (и последния в случай на крайна последователност), равно на произведениетопредишни и последващи членове.
Граница на консистенция.
Нека има последователност ( c n} = {1/н}. Тази последователност се нарича хармонична, тъй като всеки от нейните членове, започвайки от втория, е хармоничната средна стойност между предишния и следващите членове. Средно аритметично геометрични числа аИ bима номер
IN в противен случайпоследователността се нарича дивергентна.
Въз основа на това определение може например да се докаже съществуването на граница А=0за хармоничната последователност ( c n} = {1/н). Нека ε е произволно малко положително число. Разликата се разглежда
Съществува ли такова нещо? нтова е за всички n ≥ ннеравенство 1 е в сила /Н ? Ако го приемем като нвсяко естествено число, по-голямо от 1/ε , след това за всички n ≥ Nнеравенство 1 е в сила /n ≤ 1/N ε, Q.E.D.
Доказването на наличието на ограничение за определена последователност понякога може да бъде много трудно. Най-често срещаните последователности са добре проучени и са изброени в справочници. На разположение важни теореми, което позволява да се направи заключение за наличието на граница за дадена последователност (и дори да се изчисли), въз основа на вече проучени последователности.
Теорема 1. Ако една последователност има граница, значи тя е ограничена.
Теорема 2. Ако една последователност е монотонна и ограничена, тогава тя има граница.
Теорема 3. Ако последователността ( a n} има ограничение А, след това последователностите ( мога}, {a n+ в) и (| a n|} имат граници cA, А +° С, |А| съответно (тук ° С– произволно число).
Теорема 4. Ако последователностите ( a n} И ( b n) имат граници, равни на АИ б pa n + qbn) има ограничение pA+ qB.
Теорема 5. Ако последователностите ( a n) И ( b n) имат граници, равни на АИ бсъответно, тогава последователността ( a n b n) има ограничение AB.
Теорема 6. Ако последователностите ( a n} И ( b n) имат граници, равни на АИ бсъответно и в допълнение, b n ≠ 0 и B≠ 0, след това последователността ( a n / b n) има ограничение A/B.
Анна Чугайнова
Дадена е дефиницията на числова редица. Разглеждат се примери за безкрайно нарастващи, конвергентни и дивергентни последователности. Разглежда се редица, съдържаща всички рационални числа.
Определение .
Числова последователност (xn)
е закон (правило), според който за всяко естествено число n = 1, 2, 3, . . .
е присвоено определено число x n.
Елементът x n се нарича n-ти членили елемент от последователност.
Последователността се обозначава като n-тия член, ограден във фигурни скоби: . Възможни са и следните обозначения: . Те изрично показват, че индексът n принадлежи към множеството от естествени числа и самата последователност има безкраен брой членове. Ето няколко примерни последователности:
,
,
.
С други думи, числова последователност е функция, чиято област на дефиниране е множеството от естествени числа. Броят на елементите на редицата е безкраен. Сред елементите може да има и членове, притежаващи същите стойности. Също така една последователност може да се разглежда като номериран набор от числа, състоящ се от безкраен брой членове.
Ще се интересуваме главно от въпроса как се държат последователностите, когато n клони към безкрайност: . Този материал е представен в раздел Граница на редица - основни теореми и свойства. Тук ще разгледаме някои примери за последователности.
Примери за последователност
Примери за безкрайно нарастващи последователности
Обмислете последователността. Общият член на тази последователност е . Нека запишем първите няколко члена:
.
Може да се види, че с нарастването на числото n, елементите се увеличават неограничено към положителни стойности. Можем да кажем, че тази последователност клони към: за .
Сега разгледайте последователност с общ член. Ето някои от първите му членове:
.
С нарастването на числото n елементите на тази последователност се увеличават неограничено абсолютна стойност, но нямат постоянен знак. Тоест тази последователност клони към: при .
Примери за последователности, сходни към крайно число
Обмислете последователността. Нейният общ член. Първите условия имат следната форма:
.
Вижда се, че с увеличаване на числото n елементите на тази редица се доближават до граничната си стойност a = 0
: при . = 0
Така че всеки следващ член е по-близо до нула от предишния. В известен смисъл можем да считаме, че има приблизителна стойност за числото a > 0
с грешка. Ясно е, че с увеличаването на n тази грешка клони към нула, тоест чрез избор на n грешката може да бъде толкова малка, колкото желаете. Освен това, за всяка дадена грешка ε
можете да зададете число N, така че за всички елементи с числа, по-големи от N:, отклонението на числото от граничната стойност a няма да надвишава грешката ε:.
.
След това помислете за последователността. Нейният общ член. Ето някои от първите му членове: = 0
В тази последователност членовете с четни числа са равни на нула. Членове с нечетно n са равни. Следователно, когато n се увеличава, техните стойности се доближават до граничната стойност a
.
. Това следва и от факта, че > 0
Точно както в предишния пример, можем да зададем произволно малка грешка ε = 0
, за които е възможно да се намери число N, така че елементи с числа, по-големи от N, да се отклоняват от граничната стойност a = 0
със сума, която не надвишава посочената грешка. Следователно тази последователност се свежда до стойността a
: при .
Примери за дивергентни последователности
Помислете за последователност със следния общ термин:
.
Ето и първите му членове:
,
Вижда се, че термини с четни числа: 1 = 0
се сближават със стойността a . Членове с:
,
Вижда се, че термини с четни числа: 2 = 2
нечетни числа
. Самата последователност, когато n расте, не се сближава с никаква стойност.
Последователност с членове, разпределени в интервала (0;1)
.
Сега нека разгледаме една по-интересна последователност. Нека вземем отсечка на числовата ос. Нека го разделим наполовина. Получаваме два сегмента. Позволявам
.
Нека отново разделим всеки от сегментите наполовина. Получаваме четири сегмента. Позволявам
.
Нека отново разделим всеки сегмент наполовина. Да вземем
И така нататък. В резултат на това получаваме последователност, в която са разпределени елементи (0; 1) отворен интервал , винаги можем да намерим членове на последователността, които ще бъдат произволно близки до тази точка или съвпадат с нея.
След това от оригиналната последователност може да се избере подпоследователност, която ще се сближи с произволна точкаот интервала . Тоест, с нарастването на числото n, членовете на подпоследователицата ще се приближават все повече и повече до предварително избраната точка.
Например за точка а = 0
можете да изберете следната подпоследователност:
.
= 0
.
За точка а = 1
Нека изберем следната подпоследователност:
.
Членовете на тази подпоследователност се сближават със стойността a = 1
.
Тъй като има подпоследователности, сходни към различни значения, тогава самата оригинална последователност не се свежда до никакво число.
Последователност, съдържаща всички рационални числа
Сега нека построим редица, която съдържа всички рационални числа. Освен това всяко рационално число ще се появи в такава последователност безкраен брой пъти.
Рационално число r може да бъде представено в следната форма:
,
където е цяло число; - естествено.
Трябва да свържем всяко естествено число n с двойка числа p и q, така че всяка двойка p и q да бъде включена в нашата последователност.
За да направите това, начертайте осите p и q в равнината. Начертаваме линии на мрежата през целочислените стойности на p и q. Тогава всеки възел на тази решетка с ще съответства рационално число. Целият набор от рационални числа ще бъде представен от набор от възли. Трябва да намерим начин да номерираме всички възли, така че да не пропуснем нито един възел. Това е лесно да се направи, ако номерирате възлите с квадрати, чиито центрове са разположени в точката (0; 0) (виж снимката). В този случай долните части на квадратите с q < 1 не ни трябва. Следователно те не са показани на фигурата.
И така, за горната страна на първия квадрат имаме:
.
След това номерираме горна частследния квадрат:
.
Номерираме горната част на следния квадрат:
.
Нека отново разделим всеки сегмент наполовина. Да вземем
По този начин получаваме редица, съдържаща всички рационални числа. Можете да забележите, че всяко рационално число се появява в тази последователност безкраен брой пъти. Наистина, заедно с възела, тази последователност ще включва и възли, където е естествено число. Но всички тези възли съответстват на едно и също рационално число.
След това от последователността, която сме конструирали, можем да изберем подпоследователност (имаща безкраен брой елементи), всички от които са равни на предварително определено рационално число. Тъй като последователността, която конструирахме, има подпоследователности, сходни към различни числа, тогава последователността не се свежда до нито едно число.
Заключение
Тук сме дали точна дефиниция на числовата последователност. Ние също повдигнахме въпроса за неговата конвергенция, базирана на интуитивни идеи. Точно определениеконвергенцията се обсъжда на страницата Определяне на границата на последователност. Свързаните свойства и теореми са посочени на страницата
Концепцията за числова редица.
Нека всяко естествено число n съответства на число a n , тогава казваме, че е дадена функция a n =f(n), която се нарича числова редица. Означава се с a n ,n=1,2,… или (a n ).
Числата a 1 , a 2 , ... се наричат членове на редицата или нейни елементи, a n е общият член на редицата, n е номерът на члена a n .
По дефиниция всяка последователност съдържа безкрайно множествоелементи.
Примери за числови поредици.
Аритметикапрогресия – числова прогресия на формата:
това е поредица от числа (членове на прогресията), всяко от които, като се започне от второто, се получава от предходното чрез добавяне към него на постоянно число d (стъпка или разлика на прогресията): 
.
Всеки член на прогресията може да се изчисли с помощта на общата формула за член:
Всеки член на аритметична прогресия, започвайки от втория, е средноаритметичното на предишния и следващия член на прогресията: 
Сумата от първите n члена на аритметичната прогресия може да се изрази с формулите: 
Сумата от n последователни члена на аритметична прогресия, започваща с член k: 
Пример за сбор от аритметична прогресия е сборът от поредица от естествени числа до n включително:
Геометриченпрогресия - последователност от числа 
(членове на прогресия), при която всяко следващо число, започвайки от второто, се получава от предходното чрез умножаването му по определено число q (знаменател на прогресията), където 
,
:
Всеки член на геометрична прогресия може да се изчисли по формулата: 
Ако b 1 > 0 и q > 1, прогресията е нарастваща последователност, ако 0 Прогресията получи името си от характерното си свойство: Продуктът на първите n членове на геометрична прогресия може да се изчисли по формулата: Произведението на членовете на геометрична прогресия, започваща с k-тия член и завършваща с n-тия член, може да се изчисли по формулата: Сума от първите n членове на геометрична прогресия: Ако Граница на консистенция. Поредица се нарича нарастваща, ако всеки член е по-голям от предишния. Редица се нарича намаляваща, ако всеки член е по-малък от предишния. Поредица x n се нарича ограничена, ако има такива числа m и M, че за всяко естествено число n условието е изпълнено Може да се случи всички членове на редицата (a n ) с неограничен растеж на числото n да се доближат до някакво число m. Число a се нарича граница на редицата X n, ако за всяко Ε>0 съществува число (в зависимост от Ε) n 0 =n o (Ε), такова че за В този случай те пишат Конвергенция на последователности. Казва се, че последователност, чиято граница е крайна, се сближава до: Ако една последователност няма крайна (изброима) граница, тя ще се нарича дивергентна. Геометрично значение. Ако Теорема 1) За уникалността на границата: Ако последователността се сближава, тоест има граница, тогава тази граница е уникална. Теорема 2) Ако последователността a n се сближава с a: Теорема 3) Предпоставканаличието на лимит. Ако една последователност се сближава, тоест има граница, тогава тя е ограничена. Доказателство: нека изберем n>N така, че: Теорема 4) Достатъчно условие за съществуване на лимит. Ако една последователност е монотонна и ограничена, тогава тя има граница. . Теорема 5) Позволявам Теорема за три последователности. Ако Ограничени свойства. Ако (xn) и (yn) имат граници, тогава: Граница на съотношение на полиноми (дроби). Нека x n и y n са съответно полиноми в степен k, тоест: x n =P k (n)=a 0 n k +a 1 n k-1 +…+a k, y n =Q m (n)=b 0 n m +b 1 n m-1 +…+b m Границата на съотношението на полиномите е равна на границата на съотношението на техните водещи членове: Ако степента на числителя е равна на степента на знаменателя, тогава границата е равна на отношението на коефициентите при по-високи степени. Ако степента на числителя е по-малка от степента на знаменателя, границата е нула. Ако степента на числителя е по-голяма от степента на знаменателя, границата клони към безкрайност.
всеки член е равен на средното геометрично на своите съседи.
, тогава когато 
, И
при 
.
.
неравенството е в сила 
за всички (естествени)n>n 0 .
или 
.
, тогава всички членове на тази редица, с изключение на последното число, ще попаднат в произволна Е околност на точка а. Геометрично ограничеността на последователност означава, че всички нейни стойности лежат на определен сегмент.
, след това всяка негова подпоследователност 
има същата граница.
∎
и нека условието x n ≤y n е изпълнено за всяко n, тогава 
и за последователности x n ,y n ,z n условието x n ≤y n ≤z n е изпълнено, тогава за 
Трябва 
.
