Факторизиране на полином. Част 1
Факторизация- това е универсална техника, която помага за решаването сложни уравненияи неравенства. Първата мисъл, която трябва да ви хрумне при решаване на уравнения и неравенства, в които има нула от дясната страна, е да се опитаме да разширим лява страначрез множители.
Нека изброим основните начини за факторизиране на полином:
- извеждане на общия множител извън скоби
- използване на формули за съкратено умножение
- според формулата за факторизация квадратен тричлен
- метод на групиране
- деление на полином на бином
- метод на несигурни коефициенти
В тази статия ще се спрем подробно на първите три метода, а останалите ще разгледаме в следващите статии.
1. Изваждане на общия множител извън скоби.
За да извадите общия множител от скоби, първо трябва да го намерите. Общ коефициент на умножениеравен на най-големия общ делител на всички коефициенти.
Буквена частобщият множител е равен на произведението на изразите, включени във всеки член с най-малък показател.
Схемата за присвояване на общ множител изглежда така:
внимание!
Броят на термините в скоби е равен на броя на термините в оригиналния израз. Ако един от термините съвпада с общ фактор, тогава когато се раздели на общ множител, получаваме едно.
Пример 1.
Разложете полинома на множители:
Нека извадим общия множител извън скобите. За да направим това, първо ще го намерим.
1. Намерете най-големия общ делителвсички коефициенти на полинома, т.е. числата 20, 35 и 15. Равно е на 5.
2. Установяваме, че променливата се съдържа във всички членове и най-малкият от нейните показатели е равен на 2. Променливата се съдържа във всички членове, а най-малкият от нейните показатели е 3.
Променливата се съдържа само във втория член, така че не е част от общия множител.
Така че общият фактор е
3. Изваждаме множителя извън скоби, използвайки диаграмата, дадена по-горе:
Пример 2.Решете уравнението:
Решение. Нека разложим на фактори лявата страна на уравнението. Нека извадим фактора извън скоби:
Така че получаваме уравнението 
Нека приравним всеки фактор към нула:
Получаваме - корена на първото уравнение.
корени:
Отговор: -1, 2, 4
2. Факторизиране с помощта на формули за съкратено умножение.
Ако броят на членовете в полинома, който ще разложим, е по-малък или равен на три, тогава се опитваме да приложим формулите за съкратено умножение.
1. Ако полиномът еразлика от два члена, тогава се опитваме да приложим формула за квадратна разлика:
или формула за разлика от кубчета:
Ето ги писмата и обозначават число или алгебричен израз.
2. Ако полиномът е сумата от два члена, тогава може би той може да бъде разложен на множители с помощта на формули за сбор от кубове:
3. Ако полиномът се състои от три члена, тогава се опитваме да приложим формула за квадратна сума:
или формула за разлика на квадрат:
Или се опитваме да разлагаме на множители по формула за разлагане на квадратен трином:
Тук и са корените на квадратното уравнение 
Пример 3.Разложете израза на множители:
Решение. Пред нас е сборът от два члена. Нека се опитаме да приложим формулата за сбора на кубовете. За да направите това, първо трябва да представите всеки член като куб на някакъв израз и след това да приложите формулата за сбора на кубовете:
Пример 4.Разложете израза на множители: 
Решение. Тук имаме разликата на квадратите на два израза. Първи израз: , втори израз:
Нека приложим формулата за разликата на квадратите:
Нека отворим скобите и добавим подобни термини, получаваме:
Разлагането на полиноми е трансформация на идентичността, в резултат на което полиномът се трансформира в произведение на няколко фактора - полиноми или мономи.
Има няколко начина за разлагане на полиноми.
Метод 1. Изваждане на общия множител извън скоби.
Тази трансформация се основава на разпределителния закон на умножението: ac + bc = c(a + b). Същността на трансформацията е да се изолира общият фактор в двата разглеждани компонента и да се „извади“ извън скоби.
Нека разложим на множители полинома 28x 3 – 35x 4.
Решение.
1. Намерете общ делител на елементите 28x3 и 35x4. За 28 и 35 ще бъде 7; за x 3 и x 4 – x 3. С други думи, нашият общ множител е 7х3.
2. Всеки от елементите представяме като произведение на фактори, един от които
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.
3. Изваждаме общия множител извън скоби
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).
Метод 2. Използване на формули за съкратено умножение. „Майсторството“ на използването на този метод е да забележите една от съкратените формули за умножение в израза.
Нека разложим полинома на множители x 6 – 1.
Решение.
1. Можем да приложим формулата за разликата на квадратите към този израз. За да направите това, представете си x 6 като (x 3) 2, а 1 като 1 2, т.е. 1. Изразът ще приеме формата:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).
2. Можем да приложим формулата за сбор и разлика на кубове към получения израз:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).
Така,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).
Метод 3. Групиране. Методът на групиране включва комбиниране на компонентите на полином по такъв начин, че да е лесно да се извършват операции върху тях (събиране, изваждане, изваждане на общ фактор).
Нека разложим полинома на множители x 3 – 3x 2 + 5x – 15.
Решение.
1. Нека групираме компонентите по следния начин: 1-ви с 2-ри и 3-ти с 4-ти
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).
2. В получения израз изваждаме общите множители извън скоби: x 2 в първия случай и 5 във втория.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).
3. Изваждаме общия множител x – 3 извън скобите и получаваме:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).
Така,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).
Да осигурим материала.
Разложете полинома на множители a 2 – 7ab + 12b 2 .
Решение.
1. Нека представим монома 7ab като сумата 3ab + 4ab. Изразът ще приеме формата:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2. 
Нека отворим скобите и да получим:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.
2. Нека групираме компонентите на полинома по следния начин: 1-ва с 2-ра и 3-та с 4-та. Получаваме:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).
3. Нека извадим общите фактори извън скобите:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).
4. Нека извадим общия множител (a – 3b) извън скобите:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).
Така,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).
уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.
Дадени са 8 примера за разлагане на полиноми. Те включват примери с решаване на квадратни и биквадратни уравнения, примери с рекурентни полиноми и примери с намиране на цели корени на полиноми от трета и четвърта степен.
1. Примери с решаване на квадратно уравнение
Пример 1.1
х 4 + x 3 - 6 x 2.
Решение
Изваждаме х 2
извън скоби:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Корените на уравнението:
, .
.
Отговор
Пример 1.2
Разложете на множители полином от трета степен:
х 3 + 6 x 2 + 9 x.
Решение
Нека извадим x от скобите:
.
Решаване на квадратното уравнение x 2 + 6 x + 9 = 0:
Неговият дискриминант: .
Тъй като дискриминантът равно на нула, то корените на уравнението са кратни: ;
.
От това получаваме факторизацията на полинома:
.
Отговор
Пример 1.3
Разложете на множители полинома от пета степен:
х 5 - 2 х 4 + 10 х 3.
Решение
Изваждаме х 3
извън скоби:
.
Решаване на квадратното уравнение x 2 - 2 х + 10 = 0.
Неговият дискриминант: .
Тъй като дискриминантът е по-малък от нула, корените на уравнението са комплексни: ;
, .
Факторизацията на полинома има формата:
.
Ако се интересуваме от факторизиране с реални коефициенти, тогава:
.
Отговор
Примери за разлагане на полиноми на множители с помощта на формули
Примери с биквадратни полиноми
Пример 2.1
Разложете на множители биквадратичния полином:
х 4 + x 2 - 20.
Решение
Нека приложим формулите:
а 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
а 2 - b 2 = (a - b)(a + b).
;
.
Отговор
Пример 2.2
Разложете полинома, който се редуцира до биквадратен:
х 8 + x 4 + 1.
Решение
Нека приложим формулите:
а 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
а 2 - b 2 = (a - b)(a + b):
;
;
.
Отговор
Пример 2.3 с повтарящ се полином
Разложете реципрочния полином на множители:
.
Решение
Реципрочният полином има нечетна степен. Следователно има корен x = - 1
. Разделете полинома на x - (-1) = x + 1. В резултат получаваме:
.
Нека направим замяна:
, ;
;
;
.
Отговор
Примери за разлагане на полиноми с цели числа
Пример 3.1
Разложете полинома на множители:
.
Решение
Да приемем, че уравнението
6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6
.
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6·(-1) 2 + 11·(-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.
И така, открихме три корена:
х 1 = 1
, х 2 = 2
, х 3 = 3
.
Тъй като оригиналният полином е от трета степен, той има не повече от три корена. Тъй като намерихме три корена, те са прости. Тогава
.
Отговор
Пример 3.2
Разложете полинома на множители:
.
Решение
Да приемем, че уравнението
има поне един цял корен. Тогава то е делител на числото 2
(член без x). Тоест, целият корен може да бъде едно от числата:
-2, -1, 1, 2
.
Ние заместваме тези стойности една по една:
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 = 6
;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 = 0
;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54
.
Ако приемем, че това уравнение има корен от цяло число, тогава то е делител на числото 2
(член без x). Тоест, целият корен може да бъде едно от числата:
1, 2, -1, -2
.
Нека заместим x = -1
:
.
И така, намерихме друг корен x 2
= -1
. Би било възможно, както в предишния случай, да разделим полинома на , но ще групираме условията:
.
Тъй като уравнението x 2 + 2 = 0 няма истински корени, тогава факторизацията на полинома има формата.
Разширяването на полиноми за получаване на продукт понякога може да изглежда объркващо. Но не е толкова трудно, ако разбирате процеса стъпка по стъпка. Статията описва подробно как да факторизираме квадратен трином.
Много хора не разбират как да множат квадратен тричлен и защо се прави това. В началото може да изглежда като безсмислено упражнение. Но в математиката нищо не се прави за нищо. Трансформацията е необходима, за да се опрости изразът и да се улесни изчислението.
Полином от вида – ax²+bx+c, наречен квадратен трином.Терминът "а" трябва да бъде отрицателен или положителен. На практика този израз се нарича квадратно уравнение. Затова понякога го казват по различен начин: как да разширим квадратно уравнение.
Интересно!Полиномът се нарича квадрат поради самата си до голяма степен- квадрат. И тричлен - заради 3-те компонента.
Някои други видове полиноми:
- линеен бином (6x+8);
- кубичен четиричлен (x³+4x²-2x+9).
Факторизиране на квадратен трином
Първо, изразът е равен на нула, след което трябва да намерите стойностите на корените x1 и x2. Може да няма корени, може да има един или два корена. Наличието на корени се определя от дискриминанта. Трябва да знаете формулата му наизуст: D=b²-4ac.
Ако резултатът D е отрицателен, няма корени. Ако е положителен, има два корена. Ако резултатът е нула, коренът е единица. Корените също се изчисляват по формулата.
Ако при изчисляване на дискриминанта резултатът е нула, можете да използвате всяка от формулите. На практика формулата е просто съкратена: -b / 2a.
Формули за различни значениядискриминантите се различават.
Ако D е положителен:
Ако D е нула:
Онлайн калкулатори
В интернет има онлайн калкулатор. Може да се използва за извършване на факторизация. Някои ресурси предоставят възможност за преглед на решението стъпка по стъпка. Такива услуги помагат да се разбере по-добре темата, но трябва да се опитате да я разберете добре.
Полезно видео: Разлагане на множители на квадратен трином
Примери
Каним ви да разгледате прости примери, как да факторизираме квадратно уравнение.
Пример 1
Това ясно показва, че резултатът е две х, защото D е положително. Те трябва да бъдат заменени във формулата. Ако корените се окажат отрицателни, знакът във формулата се променя на противоположния.
Знаем формулата за разлагане на квадратен трином: a(x-x1)(x-x2). Поставяме стойностите в скоби: (x+3)(x+2/3). Няма число пред член в степен. Това означава, че има един там, той отива надолу.
Пример 2
Този пример ясно показва как се решава уравнение, което има един корен.
Заменяме получената стойност:
Пример 3
Дадено: 5x²+3x+7
Първо, нека изчислим дискриминанта, както в предишните случаи.
D=9-4*5*7=9-140= -131.
Дискриминантът е отрицателен, което означава, че няма корени.
След получаване на резултата трябва да отворите скобите и да проверите резултата. Трябва да се появи оригиналният тричлен.
Алтернативно решение
Някои хора така и не успяха да се сприятеляват с дискриминатора. Има друг начин за разлагане на множители на квадратен трином. За удобство методът е показан с пример.
Дадено е: x²+3x-10
Знаем, че трябва да получим 2 скоби: (_)(_). Когато изразът изглежда така: x²+bx+c, в началото на всяка скоба поставяме x: (x_)(x_). Останалите две числа са произведението, което дава "c", т.е. в този случай -10. Единственият начин да разберете кои са тези числа е чрез избор. Заместените числа трябва да съответстват на оставащия член.
Например умножение следните числадава -10:
- -1, 10;
- -10, 1;
- -5, 2;
- -2, 5.
- (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Не.
- (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Не.
- (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Не.
- (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Пасва.
Това означава, че трансформацията на израза x2+3x-10 изглежда така: (x-2)(x+5).
важно!Трябва да внимавате да не объркате знаците.
Разгъване на сложен тричлен
Ако" повече от единзапочват трудностите. Но всичко не е толкова трудно, колкото изглежда.
За да разложите на множители, първо трябва да видите дали нещо може да бъде разложено на множители.
Например, даден е изразът: 3x²+9x-30. Тук числото 3 е извадено от скоби:
3(x²+3x-10). Резултатът е вече добре познатият тричлен. Отговорът изглежда така: 3(x-2)(x+5)
Как да разложим, ако членът, който е в квадрата, е отрицателен? IN в такъв случайЧислото -1 е извадено от скоби. Например: -x²-10x-8. Тогава изразът ще изглежда така:
Схемата се различава малко от предишната. Има само няколко нови неща. Да кажем, че е даден изразът: 2x²+7x+3. Отговорът също е изписан в 2 скоби, които трябва да бъдат попълнени в (_)(_). Във 2-ра скоба се пише х, а в 1-ва какво остава. Изглежда така: (2x_)(x_). В противен случай се повтаря предишната схема.
Числото 3 се дава от числата:
- -1, -3;
- -3, -1;
- 3, 1;
- 1, 3.
Решаваме уравнения, като заместваме тези числа. Пасва последен вариант. Това означава, че трансформацията на израза 2x²+7x+3 изглежда така: (2x+1)(x+3).
Други случаи
Не винаги е възможно да се преобразува израз. При втория метод не се изисква решаване на уравнението. Но възможността за трансформиране на термини в продукт се проверява само чрез дискриминанта.
Струва си да се упражнявате, за да решите квадратни уравнениятака че да няма трудности при използването на формули.
Полезно видео: разлагане на тричлен на множители
Заключение
Можете да го използвате по всякакъв начин. Но е по-добре да практикувате и двете, докато станат автоматични. Освен това е необходимо да се научат как да решават добре квадратни уравнения и да размножават полиноми за тези, които планират да свържат живота си с математиката. Всички следващи математически теми са изградени върху това.
Понятията „полином“ и „факторизация на полином“ в алгебрата се срещат много често, защото трябва да ги знаете, за да извършвате лесно изчисления с големи многоцифрени числа. Тази статия ще опише няколко метода на разлагане. Всички те са доста лесни за използване, просто трябва да изберете правилния за всеки конкретен случай.
Концепцията за полином
Полиномът е сбор от мономи, тоест изрази, съдържащи само операцията умножение.
Например 2 * x * y е моном, но 2 * x * y + 25 е полином, който се състои от 2 монома: 2 * x * y и 25. Такива полиноми се наричат биноми.
Понякога, за удобство при решаване на примери с многозначни значенияизразът трябва да се трансформира, например, да се разложи на определен брой множители, тоест числа или изрази, между които се извършва действието на умножение. Има редица начини за разлагане на полином. Струва си да ги разгледаме, като започнем с най-примитивния, който се използва в началното училище.
Групиране (запис в обща форма)
Формула за факторизиране на полином с помощта на метода на групиране общ изгледизглежда така:
ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)
Необходимо е мономите да се групират така, че всяка група да има общ фактор. В първата скоба това е факторът c, а във втората - d. Това трябва да се направи, за да се премести след това извън скобата, като по този начин се опростят изчисленията.
Алгоритъм за разлагане с помощта на конкретен пример
Най-простият пример за факторизиране на полином с помощта на метода на групиране е даден по-долу:
10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)
В първата скоба трябва да вземете термините с коефициента a, които ще бъдат общи, а във втората - с коефициента b. Обърнете внимание на знаците + и - в готовия израз. Поставяме пред монома знака, който беше в първоначалния израз. Тоест трябва да работите не с израза 25а, а с израза -25. Знакът минус изглежда е „залепен“ за израза зад него и винаги се взема предвид при изчисляването.
На Следваща стъпкатрябва да вземете фактора, който е често срещан, извън скоби. Точно за това е групирането. Да поставите извън скобата означава да напишете пред скобата (без знака за умножение) всички онези фактори, които се повтарят точно във всички членове, които са в скобата. Ако в една скоба има не 2, а 3 или повече члена, общият множител трябва да се съдържа във всеки от тях, в противен случай той не може да бъде изваден от скобата.
В нашия случай има само 2 термина в скоби. Общият множител се вижда веднага. В първата скоба е a, във втората е b. Тук трябва да обърнете внимание на цифровите коефициенти. В първата скоба и двата коефициента (10 и 25) са кратни на 5. Това означава, че не само a, но и 5a могат да бъдат извадени от скобата. Преди скобата напишете 5а и след това разделете всеки от членовете в скоби на извадения общ множител и също напишете частното в скоби, без да забравяте за знаците + и - Направете същото с втората скоба, извадете 7b, както и 14 и 35, кратни на 7.
10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5).
Имаме 2 члена: 5a(2c - 5) и 7b(2c - 5). Всеки от тях съдържа общ множител (целият израз в скоби е същият тук, което означава, че е общ множител): 2c - 5. Той също трябва да бъде изваден от скобите, тоест членовете 5a и 7b остават във втората скоба:
5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).
Така че пълният израз е:
10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).
Така полиномът 10ac + 14bc - 25a - 35b се разлага на 2 фактора: (2c - 5) и (5a + 7b). Знакът за умножение между тях може да се пропуска при писане
Понякога има изрази от този тип: 5a 2 + 50a 3, тук можете да поставите извън скоби не само a или 5a, но дори 5a 2. Винаги трябва да се опитвате да поставите най-големия общ множител извън скобата. В нашия случай, ако разделим всеки член на общ множител, получаваме:
5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(при изчисляване на частното на няколко степени с по равноОсновата се запазва, а показателят се изважда). Така единицата остава в скобата (в никакъв случай не забравяйте да я напишете, ако извадите някой от членовете от скобата) и частното при деление: 10а. Оказва се, че:
5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)
Квадратни формули
За по-лесно изчисление бяха изведени няколко формули. Те се наричат формули за съкратено умножение и се използват доста често. Тези формули помагат за факторизиране на полиноми, съдържащи степени. Това е още един ефективен начинфакторизация. И така, ето ги:
- a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 -формула, наречена „квадрат на сумата“, тъй като в резултат на разлагането на квадрат се взема сумата от числата, затворени в скоби, т.е. стойността на тази сума се умножава сама по себе си 2 пъти и следователно е множител.
- a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - формулата за квадрат на разликата, тя е подобна на предишната. Резултатът е разликата, оградена в скоби, съдържаща се в степента на квадрат.
- a 2 - b 2 = (a + b)(a - b)- това е формула за разликата на квадратите, тъй като първоначално полиномът се състои от 2 квадрата на числа или изрази, между които се извършва изваждане. Може би от трите споменати той се използва най-често.
Примери за изчисления по квадратни формули
Изчисленията за тях са съвсем прости. Например:
- 25x 2 + 20xy + 4y 2 - използвайте формулата „квадрат на сумата“.
- 25x 2 е квадрат на 5x. 20xy е двойното произведение на 2*(5x*2y), а 4y 2 е квадрат на 2y.
- Така, 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y). Този полиномсе разлага на 2 множителя (факторите са еднакви, така че се записва като израз с квадратна степен).
Действията, използващи формулата за квадратна разлика, се извършват подобно на тези. Останалата формула е разликата на квадратите. Примери за тази формула са много лесни за дефиниране и намиране сред други изрази. Например:
- 25a 2 - 400 = (5a - 20)(5a + 20). Тъй като 25a 2 = (5a) 2 и 400 = 20 2
- 36x 2 - 25y 2 = (6x - 5y) (6x + 5y). Тъй като 36x 2 = (6x) 2 и 25y 2 = (5y 2)
- c 2 - 169b 2 = (c - 13b)(c + 13b). Тъй като 169b 2 = (13b) 2
Важно е всеки от членовете да е квадрат на някакъв израз. След това този полином трябва да бъде факторизиран с помощта на формулата за разликата на квадратите. За това не е необходимо втората степен да е над числото. Има полиноми, съдържащи големи градуси, но все пак е подходящ за тези формули.
a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2
IN в този примери 8 може да бъде представено като (a 4) 2, тоест квадрат на определен израз. 25 е 5 2, а 10а е 4 - това е двойното произведение на членовете 2 * a 4 * 5. Това е този израз, въпреки наличието на степени с големи експоненти, може да се разложи на 2 фактора, за да се работи впоследствие с тях.
Кубични формули
Съществуват същите формули за разлагане на полиноми, съдържащи кубове. Те са малко по-сложни от тези с квадратите:
- a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)- тази формула се нарича сбор от кубове, тъй като в начална формаПолиномът е сумата от два израза или числа в куб.
- a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2) -формула, идентична на предишната, се обозначава като разлика на кубчета.
- a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - куб от сума, в резултат на изчисления, сумата от числа или изрази се затваря в скоби и се умножава по себе си 3 пъти, т.е. намира се в куб
- a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 -формула, съставена по аналогия с предишната с променени само някои знаци математически операции(плюс и минус), има името „куб на разликата“.
Последните две формули практически не се използват за целите на факторизирането на полином, тъй като са сложни и е достатъчно рядко да се намерят полиноми, които напълно отговарят точно на тази структура, така че да могат да бъдат факторизирани с помощта на тези формули. Но все пак трябва да ги знаете, тъй като те ще бъдат необходими, когато действате обратна посока- при отваряне на скоби.
Примери за кубични формули
Да разгледаме един пример: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).
Тук са взети доста прости числа, така че веднага можете да видите, че 64a 3 е (4a) 3, а 8b 3 е (2b) 3. По този начин този полином се разширява според формулата за разлика на кубове на 2 фактора. Действията, използващи формулата за сумата от кубчета, се извършват по аналогия.
Важно е да се разбере, че не всички полиноми могат да бъдат разширени поне по един начин. Но има изрази, които съдържат по-големи степени от квадрат или куб, но те също могат да бъдат разширени в съкратени форми за умножение. Например: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 − 5x 4 y + 25y 2).
Този пример съдържа колкото 12-та степен. Но дори то може да бъде разложено на множители с помощта на формулата за сбора на кубовете. За да направите това, трябва да си представите x 12 като (x 4) 3, тоест като куб от някакъв израз. Сега, вместо a, трябва да го замените във формулата. Е, изразът 125y 3 е куб от 5y. След това трябва да съставите продукта, като използвате формулата и да извършите изчисления.
Първоначално или в случай на съмнение, винаги можете да проверите обратно умножение. Просто трябва да отворите скобите в получения израз и да извършите действията с подобни условия. Този метод се прилага за всички изброени методи за намаляване: както за работа с общ множител и групиране, така и за работа с формули на кубове и квадратни степени.