За много хора математическият анализ е просто набор от неразбираеми числа, символи и определения, далеч от реалния живот. Но светът, в който съществуваме, е изграден върху числови модели, чието идентифициране помага не само да разберем света около нас и да решим неговите сложни проблеми, но и да опростим ежедневните практически проблеми. Какво има предвид един математик, когато казва, че числовата последователност се сближава? Трябва да поговорим за това по-подробно.
малък?
Нека си представим гнездови кукли, които пасват една в друга. Техните размери, записани под формата на числа, започващи от най-големите и завършващи с най-малките от тях, образуват последователност. Ако си представите безкраен брой такива ярки фигури, полученият ред ще се окаже фантастично дълъг. Това е конвергентна числова последователност. И клони към нула, тъй като размерът на всяка следваща кукла за гнездене, катастрофално намаляваща, постепенно се превръща в нищо. По този начин е лесно да се обясни какво е безкрайно малкото.
Подобен пример би бил път, който отива в далечината. И визуалните размери на колата, която се отдалечава от наблюдателя по нея, постепенно се свиват, се превръщат в безформено петно, приличащо на точка. Така колата като някакъв обект, който се отдалечава в неизвестна посока, става безкрайно малка. Параметрите на определеното тяло никога няма да бъдат нула в буквалния смисъл на думата, но неизменно се стремят към тази стойност в крайната граница. Следователно тази последователност отново се сближава до нула.
Нека изчислим всичко капка по капка
Нека сега си представим ежедневна ситуация. Лекарят предписва на пациента да приема сместа, като започва с десет капки на ден и добавя по две капки всеки следващ ден. И така лекарят предложи да продължи, докато съдържанието на бутилката с лекарството, чийто обем е 190 капки, изчезне. От горното следва, че броят на такива, изброени по дни, ще бъде следната числова серия: 10, 12, 14 и т.н.
Как да разберете времето за завършване на целия курс и броя на членовете на последователността? Тук, разбира се, можете да преброите капките по примитивен начин. Но е много по-лесно, като вземем предвид модела, да използваме формулата със стъпка d = 2. И използвайки този метод, разберете, че броят на членовете на числовата серия е 10. Освен това a 10 = 28. номерът на члена показва броя на дните на прием на лекарството, а 28 съответства на броя капки, които пациентът трябва да вземе в последния ден. Сближава ли се тази последователност? Не, защото, въпреки факта, че е ограничен отдолу с числото 10, а отгоре - 28, такава числова серия няма ограничение, за разлика от предишните примери.
Каква е разликата?
Нека сега се опитаме да изясним: кога числова серия се оказва сходяща серия. Дефиниция от този вид, както може да се заключи от горното, е пряко свързана с концепцията за крайна граница, чието наличие разкрива същността на въпроса. И така, каква е фундаменталната разлика между дадените по-рано примери? И защо в последния от тях числото 28 не може да се счита за граница на редицата от числа X n = 10 + 2(n-1)?
За да изясним този въпрос, разгледайте друга последователност, дадена от формулата по-долу, където n принадлежи на множеството от естествени числа.
Тази общност от членове е набор от обикновени дроби, чийто числител е 1, а знаменателят непрекъснато нараства: 1, ½ ...
Освен това, всеки следващ представител на тази серия е все по-близо до 0 по местоположение на числовата ос. Това означава, че се появява квартал, където точките се групират около нулата, което е границата. И колкото по-близо са до нея, толкова по-плътна става концентрацията им върху числовата ос. И разстоянието между тях е катастрофално намалено, превръщайки се в безкрайно малко. Това е знак, че последователността е конвергентна.
По същия начин многоцветните правоъгълници, показани на фигурата, когато се отстранят в пространството, визуално се подреждат по-близо един до друг, като в хипотетичната граница се превръщат в незначителни.
Безкрайно големи последователности
След като разгледахме дефиницията на конвергентна последователност, нека сега преминем към контрапримери. Много от тях са познати на човека от древни времена. Най-простите варианти на дивергентни последователности са серии от естествени и четни числа. Те иначе се наричат безкрайно големи, тъй като техните членове, непрекъснато нарастващи, все повече се приближават до положителна безкрайност.
Примери за тях могат да бъдат и всяка аритметична и геометрична прогресия със стъпка и знаменател съответно по-големи от нула. Различните последователности също се считат за числови серии, които изобщо нямат ограничение. Например X n = (-2) n -1 .
Ред на Фибоначи
Практическите ползи от споменатите по-горе числа за човечеството са неоспорими. Но има много други прекрасни примери. Една от тях е редицата на Фибоначи. Всеки негов член, който започва с единица, е сбор от предходните. Първите му два представителя са 1 и 1. Третият е 1+1=2, четвъртият е 1+2=3, петият е 2+3=5. По-нататък, по същата логика, следвайте числата 8, 13, 21 и т.н.
Тази поредица от числа нараства неограничено и няма ограничена граница. Но има още едно прекрасно свойство. Съотношението на всяко предходно число към следващото все повече се доближава до 0,618 Тук можете да разберете разликата между конвергентна и дивергентна редица, защото ако съставите поредица от частни, получени от деления, посочената числова система ще има. крайна граница, равна на 0,618.
Последователност от съотношения на Фибоначи
Горната числова серия се използва широко за практически цели за технически анализ на пазари. Но това не ограничава неговите възможности, които египтяните и гърците са знаели и са умеели да прилагат на практика още в древността. Това се доказва от построените от тях пирамиди и Партенон. В края на краищата числото 0,618 е постоянен коефициент на златното сечение, добре познато в древността. Съгласно това правило всеки произволен сегмент може да бъде разделен така, че връзката между неговите части да съвпада с връзката между най-големия от сегментите и общата дължина.
Нека изградим поредица от тези връзки и да се опитаме да анализираме тази последователност. Числовата серия ще бъде както следва: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0,619 и така нататък. Продължавайки по този начин, можем да проверим, че границата на конвергентната последователност наистина ще бъде 0,618. Необходимо е обаче да се отбележат други свойства на този модел. Тук числата сякаш не са подредени и изобщо не са във възходящ или низходящ ред. Това означава, че тази конвергентна последователност не е монотонна. Защо това е така ще бъде обсъдено допълнително.
Монотонност и ограниченост
Членовете на числова серия с нарастващи числа могат ясно да намаляват (ако x 1 >x 2 >x 3 >…>x n >…) или да се увеличават (ако x 1 След като записахте числата на тази серия, можете да видите, че всеки от нейните членове, който неопределено се приближава до 1, никога няма да надхвърли тази стойност. В този случай се казва, че конвергентната последователност е ограничена. Това се случва винаги, когато има положително число M, което винаги се оказва по-голямо от който и да е член на реда по модул. Ако числова серия има признаци на монотонност и има граница и следователно се сближава, тогава тя задължително е надарена с това свойство. Освен това не е задължително обратното да е вярно. Това се доказва от теоремата за ограничеността на конвергентна последователност. Прилагането на подобни наблюдения на практика се оказва много полезно. Нека дадем конкретен пример, изследвайки свойствата на редицата X n = n/n+1, и да докажем нейната сходимост. Лесно е да се покаже, че е монотонно, тъй като (x n +1 - x n) е положително число за всяка стойност на n. Границата на редицата е равна на числото 1, което означава, че всички условия на горната теорема, наричана още теорема на Вайерщрас, са изпълнени. Теоремата за ограниченост за конвергентна последователност гласи, че ако има граница, тя е ограничена във всеки случай. Все пак нека дадем следния пример. Числовият ред X n = (-1) n е ограничен отдолу с числото -1 и отгоре с 1. Но тази последователност не е монотонна, няма граница и следователно не се сближава. Тоест ограничеността не винаги предполага наличието на граница и конвергенция. За да се случи това, долната и горната граница трябва да съвпадат, както в случая с коефициентите на Фибоначи. Най-простите варианти на конвергентна и дивергентна последователност са може би числовите серии X n = n и X n = 1/n. Първият от тях е естествена редица от числа. Той, както вече споменахме, е безкрайно голям. Втората конвергентна последователност е ограничена и нейните членове се доближават до безкрайно малки по големина. Всяка от тези формули олицетворява една от страните на многостранната Вселена, помагайки на човек на езика на числата и знаците да си представи и изчисли нещо непознато, недостъпно за ограничено възприятие. Законите на Вселената, вариращи от незначителните до невероятно големите, също се изразяват със златния коефициент от 0,618. Учените вярват, че той е в основата на същността на нещата и се използва от природата, за да формира нейните части. Споменатите по-рано връзки между следващите и предишните членове на редицата на Фибоначи не завършват демонстрацията на удивителните свойства на тази уникална редица. Ако разгледаме частното от разделянето на предишния член на следващия един по един, получаваме серията 0,5; 0,33; 0,4; 0,375; 0,384; 0,380; 0,382 и така нататък. Интересното е, че тази ограничена последователност се събира, не е монотонна, но съотношението на съседни числа, екстремни от даден член, винаги се оказва приблизително равно на 0,382, което може да се използва и в архитектурата, техническия анализ и други индустрии. Има и други интересни коефициенти от серията на Фибоначи, всички те играят специална роля в природата и се използват от хората за практически цели. Математиците са уверени, че Вселената се развива по своеобразна „златна спирала“, образувана от посочените коефициенти. С тяхна помощ е възможно да се изчислят много явления, случващи се на Земята и в космоса, от нарастването на броя на определени бактерии до движението на далечни комети. Както се оказва, ДНК кодът е подчинен на подобни закони. Има теорема, която посочва уникалността на границата на конвергентна последователност. Това означава, че той не може да има две или повече граници, което несъмнено е важно за намиране на математическите му характеристики. Нека да разгледаме някои случаи. Всяка редица от числа, съставена от членове на аритметична прогресия, е дивергентна, с изключение на случая с нулева стъпка. Същото важи и за геометрична прогресия, чийто знаменател е по-голям от 1. Границите на такива числови серии са „плюс“ или „минус“ от безкрайност. Ако знаменателят е по-малък от -1, тогава изобщо няма ограничение. Възможни са и други варианти. Нека разгледаме числова серия, дадена по формулата X n = (1/4) n -1. На пръв поглед е лесно да се разбере, че тази конвергентна последователност е ограничена, защото тя е строго намаляваща и по никакъв начин не може да приема отрицателни стойности. Нека запишем определен брой членове в редица. Получавате: 1; 0,25; 0,0625; 0.015625; 0,00390625 и така нататък. Съвсем прости изчисления са достатъчни, за да се разбере колко бързо тази геометрична прогресия започва от знаменатели 0 Августин Луи Коши, френски учен, показа на света много произведения, свързани с математическия анализ. Той даде дефиниции на такива понятия като диференциал, интеграл, граница и непрекъснатост. Той също така изследва основните свойства на конвергентните последователности. За да разберем същността на неговите идеи, е необходимо да обобщим някои важни подробности. В самото начало на статията беше показано, че има такива последователности, за които има съседство, където точките, представляващи членовете на определена серия на числовата ос, започват да се струпват заедно, подреждайки се все по-плътно. В същото време разстоянието между тях намалява, тъй като броят на следващия представител се увеличава, превръщайки се в безкрайно малък. Така се оказва, че в дадена съседство са групирани безкраен брой представители на дадена серия, а извън нея има краен брой от тях. Такива последователности се наричат основни. Известният критерий на Коши, създаден от френски математик, ясно показва, че наличието на такова свойство е достатъчно, за да докаже, че последователността се сближава. Обратното също е вярно. Трябва да се отбележи, че това заключение на френския математик в по-голямата си част представлява чисто теоретичен интерес. Прилагането му на практика се счита за доста трудно, следователно, за да се определи сходимостта на сериите, е много по-важно да се докаже съществуването на крайна граница за последователността. В противен случай се счита за разминаващ се. Когато решавате задачи, трябва да вземете предвид и основните свойства на конвергентните последователности. Те са представени по-долу. Такива известни древни учени като Архимед, Евклид, Евдокс използваха суми от безкрайни числови серии, за да изчислят дължините на кривите, обемите на телата и площите на фигурите. По-специално, така беше възможно да се намери площта на параболичен сегмент. За целта е използвана сумата от числовата редица на геометрична прогресия с q = 1/4. Обемите и площите на други произволни фигури са намерени по подобен начин. Тази опция беше наречена метод на „изчерпване“. Идеята е изследваното тяло със сложна форма да бъде разделено на части, които представляват фигури с лесно измерими параметри. Поради тази причина не беше трудно да се изчислят техните площи и обеми и след това те бяха сумирани. Между другото, подобни проблеми са много познати на съвременните ученици и се намират в задачите за единен държавен изпит. Уникален метод, открит от далечни предци, все още е най-простото решение днес. Дори ако има само две или три части, на които е разделена числова фигура, събирането на техните площи все още представлява сумата от числовата серия. Много по-късно древногръцките учени Лайбниц и Нютон, въз основа на опита на своите мъдри предшественици, научиха законите на интегралното изчисление. Познаването на свойствата на последователностите им помогна да решават диференциални и алгебрични уравнения. В момента теорията на сериите, създадена чрез усилията на много поколения талантливи учени, дава възможност за решаване на огромен брой математически и практически проблеми. А изследването на числови последователности е основният проблем, решаван от математическия анализ от създаването му. Последователност Последователност- Това комплектелементи на някакъв набор: Така че последователността се оказва резултат последователенизбор на елементи от дадено множество. И ако някой набор от елементи е краен и говорим за извадка с краен обем, тогава последователността се оказва извадка с безкраен обем. Една последователност по своята същност е картографиране, така че не трябва да се бърка с набор, който „минава през” последователността. В математиката се разглеждат много различни последователности: Целта на изучаването на всички възможни последователности е търсене на модели, прогнозиране на бъдещи състояния и генериране на последователности. Нека е дадено определено множество от произволни елементи. | Всяко преобразуване от набор от естествени числа към даден набор се нарича последователност(елементи от комплекта). Образът на естествено число, а именно елементът, се нарича - th членили елемент на последователност, а поредният номер на член на редицата е нейният индекс. Последователности на формата Прието е да се пише компактно, като се използват скоби: Понякога се използват фигурни скоби: Позволявайки известна свобода на словото, можем да разгледаме и крайни последователности на формата които представляват образа на началния сегмент на редица от естествени числа. Фондация Уикимедия. 2010 г. ПОСЛЕДВАНЕ. В статията на И. В. Киреевски „Деветнадесети век” (1830 г.) четем: „От самото падане на Римската империя до наши дни просвещението на Европа се явява пред нас в постепенно развитие и в непрекъсната последователност” (том 1, стр. ... ... История на думите ПОСЛЕДОВАТЕЛНОСТ, поредици, мн. не, женска (Книга). разсеян съществително към последователно. Поредица от събития. Последователност в променящите се приливи и отливи. Последователност в разсъжденията. Тълковният речник на Ушаков.... ... Обяснителен речник на Ушаков Постоянство, приемственост, логичност; ред, прогресия, заключение, серия, низ, завой, верига, верига, каскада, щафета; постоянство, валидност, набор, методичност, подредба, хармония, упоритост, подпоследователност, връзка, опашка,... ... Речник на синонимите ПОСЛЕДОВАТЕЛНОСТ, числа или елементи, подредени по организиран начин. Поредиците могат да бъдат крайни (с ограничен брой елементи) или безкрайни, като пълната поредица от естествени числа 1, 2, 3, 4 ....... ... Научно-технически енциклопедичен речник ПОСЛЕДОВАТЕЛНОСТ, набор от числа (математически изрази и др.; казват: елементи от всякакво естество), номерирани с естествени числа. Последователността се записва като x1, x2,..., xn,... или накратко (xi) ... Съвременна енциклопедия Едно от основните понятия на математиката. Последователността се формира от елементи от произволно естество, номерирани с естествени числа 1, 2, ..., n, ... и записани като x1, x2, ..., xn, ... или накратко (xn) . .. Голям енциклопедичен речник Последователност- ПОСЛЕДОВАТЕЛНОСТ, набор от числа (математически изрази и др.; казват: елементи от всякакво естество), номерирани с естествени числа. Последователността се записва като x1, x2, ..., xn, ... или накратко (xi). ... Илюстрован енциклопедичен речник SEQUENCE и женски. 1. Вижте последователно. 2. В математиката: безкраен подреден набор от числа. Обяснителен речник на Ожегов. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Обяснителен речник на Ожегов Английски приемственост/последователност; Немски Последствие. 1. Редът на един след друг. 2. Едно от основните понятия на математиката. 3. Качеството на правилното логическо мислене, при което разсъжденията са свободни от вътрешни противоречия в едното и другото... ... Енциклопедия по социология Последователност- „функция, дефинирана върху набор от естествени числа, чийто набор от стойности може да се състои от елементи от всякакво естество: числа, точки, функции, вектори, множества, случайни променливи и т.н., номерирани с естествени числа. . Икономически и математически речник Въведение…………………………………………………………………………………3 1. Теоретична част………………………………………………………………….4 Основни понятия и термини………………………………………………………………..4 1.1 Видове последователности……………………………………………………………...6 1.1.1. Ограничени и неограничени поредици от числа…..6 1.1.2. Монотонност на последователностите…………………………………6 1.1.3. Безкрайно големи и безкрайно малки последователности…….7 1.1.4. Свойства на безкрайно малки последователности…………………8 1.1.5.Сходящи и дивергентни редици и техните свойства.....9 1.2 Ограничение на последователността………………………………………………….11 1.2.1. Теореми за границите на последователностите………………………………15 1.3 Аритметична прогресия………………………………………17 1.3.1. Свойства на аритметичната прогресия…………………………………..17 1.4 Геометрична прогресия………………………………………………………………..19 1.4.1. Свойства на геометричната прогресия…………………………………….19 1.5. Числата на Фибоначи………………………………………………………………..21 1.5.1 Връзка на числата на Фибоначи с други области на знанието………………….22 1.5.2. Използване на числата на Фибоначи за описание на живата и неживата природа……………………………………………………………………………………………….23 2. Собствени изследвания…………………………………………………….28 Заключение…………………………………………………………………………………….30 Списък с референции…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Въведение. Числовите последователности са много интересна и образователна тема. Тази тема се среща в задачи с повишена сложност, които се предлагат на учениците от авторите на дидактически материали, в задачи на математически олимпиади, приемни изпити във висши учебни заведения и Единен държавен изпит. Интересувам се да науча как математическите последователности са свързани с други области на знанието. Цел на изследователската работа: Разширяване на знанията за числовата последователност. 1. Обмислете последователността; 2. Разгледайте неговите свойства; 3. Разгледайте аналитичната задача на последователността; 4. Демонстрирайте ролята му в развитието на други области на знанието. 5. Демонстрирайте използването на редицата от числа на Фибоначи за описание на живата и неживата природа. 1. Теоретична част. Основни понятия и термини. Определение. Числовата редица е функция от вида y = f(x), x О N, където N е набор от естествени числа (или функция на естествен аргумент), означена y = f(n) или y1, y2, …, да,…. Стойностите y1, y2, y3,... се наричат съответно първи, втори, трети,... членове на последователността. Число a се нарича граница на редицата x = (x n ), ако за произволно предварително определено произволно малко положително число ε съществува естествено число N, такова че за всички n>N неравенството |x n - a|< ε. Ако числото a е границата на редицата x = (x n ), тогава казват, че x n клони към a и пишат За последователност (yn) се казва, че нараства, ако всеки член (с изключение на първия) е по-голям от предишния: y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < …. Редица (yn) се нарича намаляваща, ако всеки член (с изключение на първия) е по-малък от предишния: y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > … . Нарастващи и намаляващи последователности се обединяват под общия термин - монотонни последователности. Редица се нарича периодична, ако съществува естествено число T, такова че, започвайки от някое n, е в сила равенството yn = yn+T. Числото T се нарича дължина на периода. Аритметичната прогресия е редица (an), чийто всеки член, като се започне от втория, е равен на сбора от предходния член и същото число d, се нарича аритметична прогресия, а числото d е разликата на аритметична прогресия. По този начин аритметичната прогресия е числова последователност (an), определена периодично от отношенията a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4, …) Геометрична прогресия е последователност, в която всички членове са различни от нула и всеки член от която, започвайки от втория, се получава от предходния член чрез умножаване по същото число q. По този начин, геометрична прогресия е числова последователност (bn), определена периодично от отношенията b1 = b, bn = bn–1 q (n = 2, 3, 4…). 1.1 Видове последователности. 1.1.1 Ограничени и неограничени последователности. За поредица (bn) се казва, че е ограничена отгоре, ако има число M такова, че за всяко число n неравенството bn≤ M е в сила; Поредица (bn) се нарича ограничена отдолу, ако има число M такова, че за всяко число n неравенството bn≥ M е в сила; Например: 1.1.2 Монотонност на последователностите. Редица (bn) се нарича ненарастваща (ненамаляваща), ако за всяко число n неравенството bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1) е вярно; Редица (bn) се нарича намаляваща (нарастваща), ако за всяко число n неравенството bn> bn+1 (bn Намаляващите и нарастващите последователности се наричат строго монотонни, а ненарастващите последователности се наричат монотонни в широк смисъл. Последователности, които са ограничени отгоре и отдолу, се наричат ограничени. Последователността на всички тези типове се нарича монотонна. 1.1.3 Безкрайно големи и малки последователности. Безкрайно малка последователност е числова функция или последователност, която клони към нула. За последователност an се казва, че е безкрайно малка, ако Функция се нарича безкрайно малка в околност на точката x0, ако ℓimx→x0 f(x)=0. Една функция се нарича безкрайно малка в безкрайност, ако ℓimx→.+∞ f(x)=0 или ℓimx→-∞ f(x)=0 Също безкрайно малка е функция, която е разликата между функция и нейната граница, т.е. ако ℓimx→.+∞ f(x)=a, тогава f(x) − a = α(x), ℓimx→.+∞ f(( x)-a)=0. Безкрайно голяма последователност е числова функция или последователност, която клони към безкрайност. За последователност an се казва, че е безкрайно голяма, ако ℓimn→0 an=∞. За дадена функция се казва, че е безкрайно голяма в околност на точката x0, ако ℓimx→x0 f(x)= ∞. За функция се казва, че е безкрайно голяма в безкрайност, ако ℓimx→.+∞ f(x)= ∞ или ℓimx→-∞ f(x)= ∞ . 1.1.4 Свойства на безкрайно малки последователности. Сумата от две безкрайно малки последователности сама по себе си също е безкрайно малка последователност. Разликата на две безкрайно малки последователности сама по себе си също е безкрайно малка последователност. Алгебричната сума на всеки краен брой безкрайно малки последователности сама по себе си също е безкрайно малка последователност. Произведението на ограничена последователност и безкрайно малка последователност е безкрайно малка последователност. Произведението на всеки краен брой безкрайно малки последователности е безкрайно малка последователност. Всяка безкрайно малка последователност е ограничена. Ако една стационарна последователност е безкрайно малка, тогава всички нейни елементи, започвайки от определена точка, са равни на нула. Ако цялата безкрайно малка последователност се състои от еднакви елементи, тогава тези елементи са нули. Ако (xn) е безкрайно голяма последователност, която не съдържа нулеви членове, тогава има последователност (1/xn), която е безкрайно малка. Ако обаче (xn) съдържа нула елементи, тогава последователността (1/xn) все още може да бъде дефинирана, започвайки от някакво число n, и все още ще бъде безкрайно малка. Ако (an) е безкрайно малка последователност, която не съдържа нулеви членове, тогава има последователност (1/an), която е безкрайно голяма. Ако (an) все пак съдържа нула елементи, тогава последователността (1/an) все още може да бъде дефинирана, започвайки от някакво число n, и все още ще бъде безкрайно голяма. 1.1.5 Конвергентни и дивергентни последователности и техните свойства. Конвергентна последователност е последователност от елементи на множество X, която има граница в това множество. Дивергентна последователност е последователност, която не е конвергентна. Всяка безкрайно малка последователност е конвергентна. Неговата граница е нула. Премахването на произволен краен брой елементи от безкрайна последователност не засяга нито конвергенцията, нито границата на тази последователност. Всяка конвергентна последователност е ограничена. Въпреки това, не всяка ограничена последователност се събира. Ако редицата (xn) се сближава, но не е безкрайно малка, тогава, започвайки от определено число, се дефинира редица (1/xn), която е ограничена. Сумата от конвергентни последователности също е конвергентна последователност. Разликата на конвергентните последователности също е конвергентна последователност. Продуктът на конвергентни последователности също е конвергентна последователност. Коефициентът на две конвергентни последователности се определя, започвайки от някакъв елемент, освен ако втората последователност не е безкрайно малка. Ако частното на две конвергентни последователности е определено, тогава това е конвергентна последователност. Ако конвергентна последователност е ограничена отдолу, тогава никой от нейните ниски грани не надвишава нейната граница. Ако конвергентна последователност е ограничена отгоре, тогава нейната граница не надвишава никоя от нейните горни граници. Ако за което и да е число членовете на една конвергентна последователност не превишават членовете на друга конвергентна последователност, тогава границата на първата последователност също не надвишава границата на втората. Последователност Последователност съществително, и., използвани сравнявам често
Морфология: (не, какво? последователности, Какво? последователности, (виж какво? подпоследователност, как? последователност, за какво? относно последователността;
мн.
Какво? последователности, (не, какво? последователности, Какво? последователности, (виж какво? последователности, как? последователности, за какво? относно последователностите
1.
Последователностнарича ред, в който един елемент е разположен до друг. Непрекъсната последователност. | Хронологична последователност. | Запомнете последователността на събитията. | Последователност в разсъжденията. | Последователност в действията.
2. По математика, информатика последователностназовават поредица от числа, информационни елементи от определен тип. Безкрайна редица от числа. | Граница на консистенция. | Структурата е обект, състоящ се от поредица от именувани членове, като всеки член може да бъде от произволен тип.
Обяснителен речник на руския език от дмитриев. Д. В. Дмитриев. 2003 г. Последователността е набор от елементи на определено множество: за всяко естествено число можете да посочите елемент от това множество; това число е номерът на елемента и показва позицията на този елемент в редицата; за всеки... ... Уикипедия ПОСЛЕДВАНЕ. В статията на И. В. Киреевски „Деветнадесети век” (1830 г.) четем: „От самото падане на Римската империя до наши дни просвещението на Европа се явява пред нас в постепенно развитие и в непрекъсната последователност” (том 1, стр. ... ... История на думите ПОСЛЕДОВАТЕЛНОСТ, поредици, мн. не, женска (Книга). разсеян съществително към последователно. Поредица от събития. Последователност в променящите се приливи и отливи. Последователност в разсъжденията. Тълковният речник на Ушаков.... ... Обяснителен речник на Ушаков Постоянство, приемственост, логичност; ред, прогресия, заключение, серия, низ, завой, верига, верига, каскада, щафета; постоянство, валидност, набор, методичност, подредба, хармония, упоритост, подпоследователност, връзка, опашка,... ... Речник на синонимите ПОСЛЕДОВАТЕЛНОСТ, числа или елементи, подредени по организиран начин. Поредиците могат да бъдат крайни (с ограничен брой елементи) или безкрайни, като пълната поредица от естествени числа 1, 2, 3, 4 ....... ... Научно-технически енциклопедичен речник ПОСЛЕДОВАТЕЛНОСТ, набор от числа (математически изрази и др.; казват: елементи от всякакво естество), номерирани с естествени числа. Последователността се записва като x1, x2,..., xn,... или накратко (xi) ... Съвременна енциклопедия Едно от основните понятия на математиката. Последователността се формира от елементи от произволно естество, номерирани с естествени числа 1, 2, ..., n, ... и записани като x1, x2, ..., xn, ... или накратко (xn) . .. Голям енциклопедичен речник Последователност- ПОСЛЕДОВАТЕЛНОСТ, набор от числа (математически изрази и др.; казват: елементи от всякакво естество), номерирани с естествени числа. Последователността се записва като x1, x2, ..., xn, ... или накратко (xi). ... Илюстрован енциклопедичен речник SEQUENCE и женски. 1. Вижте последователно. 2. В математиката: безкраен подреден набор от числа. Обяснителен речник на Ожегов. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Обяснителен речник на Ожегов Английски приемственост/последователност; Немски Последствие. 1. Редът на един след друг. 2. Едно от основните понятия на математиката. 3. Качеството на правилното логическо мислене, при което разсъжденията са свободни от вътрешни противоречия в едното и другото... ... Енциклопедия по социология Последователност- „функция, дефинирана върху набор от естествени числа, чийто набор от стойности може да се състои от елементи от всякакво естество: числа, точки, функции, вектори, множества, случайни променливи и т.н., номерирани с естествени числа. . Икономически и математически речник Определение . Последователността се обозначава като n-тия член, ограден във фигурни скоби: . Възможни са и следните обозначения: . Те изрично показват, че индексът n принадлежи към множеството от естествени числа и самата последователност има безкраен брой членове. Ето няколко примерни последователности: С други думи, числова последователност е функция, чиято дефиниционна област е множеството от естествени числа. Броят на елементите на редицата е безкраен. Сред елементите може да има и членове, които имат същите значения. Освен това една последователност може да се разглежда като номериран набор от числа, състоящ се от безкраен брой членове. Ще се интересуваме главно от въпроса как се държат последователностите, когато n клони към безкрайност: . Този материал е представен в раздел Граница на редица - основни теореми и свойства. Тук ще разгледаме някои примери за последователности. Обмислете последователността. Общият член на тази последователност е . Нека запишем първите няколко члена: Сега разгледайте последователност с общ член. Ето първите няколко членове: Обмислете последователността. Нейният общ член. Първите условия имат следната форма: можете да зададете число N, така че за всички елементи с числа, по-големи от N:, отклонението на числото от граничната стойност a няма да надвишава грешката ε:. Помислете за последователност със следния общ термин: Сега нека разгледаме една по-интересна последователност. Нека вземем отсечка на числовата ос. Нека го разделим наполовина. Получаваме два сегмента. Позволявам В резултат на това получаваме последователност, чиито елементи са разпределени в отворен интервал (0; 1)
. Каквато и точка да вземем от затворения интервал
, винаги можем да намерим членове на последователността, които ще бъдат произволно близки до тази точка или съвпадат с нея. След това от оригиналната последователност може да се избере подпоследователност, която ще се сближи с произволна точка от интервала
. Тоест, с нарастването на числото n членовете на подпоследователицата ще се приближават все повече и повече до предварително избраната точка. Например за точка а = 0
можете да изберете следната подпоследователност: За точка а = 1
Нека изберем следната подпоследователност: Тъй като има подпоследователности, които се сближават с различни стойности, самата оригинална поредица не се сближава с нито едно число. Сега нека построим редица, която съдържа всички рационални числа. Освен това всяко рационално число ще се появи в такава последователност безкраен брой пъти. Рационалното число r може да бъде представено по следния начин: За да направите това, начертайте осите p и q в равнината. Начертаваме линии на мрежата през целочислените стойности на p и q. Тогава всеки възел на тази мрежа c ще съответства на рационално число. Целият набор от рационални числа ще бъде представен от набор от възли. Трябва да намерим начин да номерираме всички възли, така че да не пропуснем нито един възел. Това е лесно да се направи, ако номерирате възлите с квадрати, чиито центрове са разположени в точката (0; 0)
(виж снимката). В този случай долните части на квадратите с q < 1
не ни трябва. Следователно те не са показани на фигурата. И така, за горната страна на първия квадрат имаме: По този начин получаваме редица, съдържаща всички рационални числа. Можете да забележите, че всяко рационално число се появява в тази последователност безкраен брой пъти. Наистина, заедно с възела, тази последователност ще включва и възли, където е естествено число. Но всички тези възли съответстват на едно и също рационално число. След това от последователността, която сме конструирали, можем да изберем подпоследователност (имаща безкраен брой елементи), всички от които са равни на предварително определено рационално число. Тъй като последователността, която конструирахме, има подпоследователности, които се събират към различни числа, последователността не се сближава с нито едно число. Тук сме дали точна дефиниция на числовата последователност. Ние също повдигнахме въпроса за неговата конвергенция, базирана на интуитивни идеи. Точната дефиниция на конвергенция се обсъжда на страницата Дефиниране на границата на последователност. Свързаните свойства и теореми са посочени на страницата
Числата и законите на Вселената
Намаляваща геометрична прогресия
Фундаментални последователности
Безкрайни количества
Определение
Свързани определения
Коментари
Наименования
Вижте също
Вижте какво е „последователност“ в други речници:
Книги
Синоними:
Вижте какво е „последователност“ в други речници:
Книги
Числова последователност (xn)
е закон (правило), според който за всяко естествено число n = 1, 2, 3, . . .
е присвоено определено число x n.
Елементът x n се нарича n-ти член или елемент на редицата.
,
,
.
Примери за последователност
Примери за безкрайно нарастващи последователности
.
Вижда се, че с нарастване на числото n елементите се увеличават неограничено към положителни стойности. Можем да кажем, че тази последователност клони към: за .
.
С увеличаване на числото n елементите на тази редица нарастват неограничено по абсолютна стойност, но нямат постоянен знак. Тоест тази последователност клони към: при .Примери за последователности, сходни към крайно число
.
Вижда се, че с увеличаване на числото n елементите на тази редица се доближават до граничната си стойност a = 0
: при . = 0
Така че всеки следващ член е по-близо до нула от предишния. В известен смисъл можем да считаме, че има приблизителна стойност за числото a > 0
с грешка. Ясно е, че с увеличаването на n тази грешка клони към нула, тоест чрез избор на n грешката може да бъде толкова малка, колкото желаете. Освен това, за всяка дадена грешка ε
.
След това помислете за последователността. Нейният общ член. Ето някои от първите му членове: = 0
В тази последователност членовете с четни числа са равни на нула. Членове с нечетно n са равни. Следователно, когато n се увеличава, техните стойности се доближават до граничната стойност a
.
. Това следва и от факта, че > 0
, за които е възможно да се намери число N, така че елементи с числа, по-големи от N, да се отклоняват от граничната стойност a = 0
със сума, която не надвишава посочената грешка. Следователно тази последователност се свежда до стойността a = 0
: при .Примери за дивергентни последователности
Ето и първите му членове:
.
Вижда се, че термини с четни числа:
,
се сближават със стойността a 1 = 0
. Нечетни членове:
,
се сближават със стойността a 2 = 2
. Самата последователност, с нарастването на n, не се сближава с никаква стойност.Последователност с членове, разпределени в интервала (0;1)
.
Нека отново разделим всеки от сегментите наполовина. Получаваме четири сегмента. Позволявам
.
Нека отново разделим всеки сегмент наполовина. Да вземем
.
И така нататък.
.
= 0
.
.
Членовете на тази подпоследователност се сближават със стойността a = 1
.
Последователност, съдържаща всички рационални числа
,
където е цяло число; - естествено.
Трябва да присвоим всяко естествено число n на двойка числа p и q, така че всяка двойка p и q да бъде включена в нашата последователност.
.
След това номерираме горната част на следващия квадрат:
.
Номерираме горната част на следния квадрат:
.
И така нататък.Заключение