Характерна функцияслучайна величина хсе нарича преобразуване на Фурие на разпределението на случайна променлива:

Имоти

Доказателство.

Доказателство.

Естествено, това свойство се простира до по-голям брой термини:

.

φ (T) е равномерно непрекъснато.

Доказателство.

Полученият краен израз зависи само от ч. За непрекъсната случайна променлива можем да напишем

.

Доказателство. Ако съществува кти момент на величина х, след това, използвайки диференциране под интегралния знак (което е възможно, тъй като стр(х) съществува), получаваме

С всяка следваща диференциация се „отнася“ аз E[ х], така че след кдиференциации, които получаваме аз к E[ х к]. Този резултат може да бъде представен във формата

.

Характеристичната функция еднозначно определя разпределението на случайна променлива.

Доказателство за специални случаи

Позволявам х - цяло число дискретна случайна променлива ( к З), след това (обратно преобразуване на Фурие)

(Редове на Фурие, чиито коефициенти са стр к), Тогава

Всички термини, за които к≠м, дава 0 (по ортогоналност) и остава

.

Позволявам φ (T) е абсолютно интегрируем на реалната права и има плътност на разпределение стр(х) 11 .

Да опитамеекспресен стр(х) чрез характеристичната функция. Нека напишем обратното преобразуване на Фурие на функцията φ :

.

Имайки това предвид

Тъй като

Чрез промяна на променливи получаваме

и следователно

.

Ако в (*) във втория интеграл двете граници на интегриране имат еднакви знаци, получаваме 0; ако са различни - крайно число. Тоест има ненулева граница при а<г<b. В този случай ще се появи интегралът от −∞ до ∞, равен на π . Оттук

Има:

,

следователно, стрсе определя изцяло от характеристичната функция.

.

Доказателство..

Критерий за характерна функция

функция φ х (T) - характеристика на случайна величина хако и само ако:

φ х (0) = 1,

φ х (T) положително определено.

функция φ (T) е наречен положително определено(положително определен), ако

и равенство на нула се постига само когато z аз = 0аз. Ако отслабим условието за постигане на равенство до нула, получаваме неотрицателно определенофункция.

Да проверимче характеристичната функция е положително определена:

Обосновка. По свойство 5),

При к= 1, получаваме,

При к= 2 -.

Ако Е х= 0.D х=E[ х 2 ] = 1,
.

20.2 Примери

Решение. Нека намалим израза до формата

Не е трудно да се види това
. След трансформацията можете да пишете
.

Нека да разгледаме стойностите стр аз :

Заключение:защото 2 T е характеристичната функция на дискретна случайна променлива, приемаща стойност 0 с вероятност 1/2 и стойностите 2 и −2 с вероятност 1/4.

Изчислете характеристична функция изроденислучайна величина: П(х= 0) = 1.

Решение..

Ако П(х=° С) = 1, получаваме.

Решение. Нека намалим израза до формата

.

Нека да разгледаме стойностите стр аз :

Има: Това е характеристичната функция на дискретна случайна променлива.

Решение. Позволявам Y=х–х′ , Тогава

Заключение: квадратът на модула на всяка характеристична функция отново е характеристична функция.

Позволявам х,Y - случайни величини с характерни функции φ х (T) И φ Y (T);а,b> 0 - константи, такива че а+b= 1. Разгледайте функцията

Характерно ли е и ако да, за коя случайна променлива?

Отговор: Да, така е. Нека съответните функции на разпределение хИ Y - Е х (х) И Е Y (г). Нека разгледаме функцията. Очевидно това е функция на разпределение, тъй като

След това плътността на вероятността

Ако φ (T) - характеристична функция х, Че φ (−T) - характеристична функция (– х). (от пример 4)).

Позволявам φ (Tх, тогава е

f (T) =Re[ φ (T)]

Решение. очевидно,

Позволявам φ (T) съответства на функцията на разпределение Е х (х), тогава за Re[ φ (T)]:

Позволявам φ (T) - характеристична функция на величината х, тогава е

f (T) =Аз[ φ (T)]

характеристична функция на някаква случайна променлива?

Решение. Не, не е, защото f (0) = 0.

Намерете характеристичната функция на нормалното разпределение.

1. х ~ н(0, 1):

Да преброим φ (T), разграничавайки под интегралния знак:

Нека решим диференциалното уравнение
с начално състояние φ (0) = 1:

х~н(а,σ 2): сравнете тази стойност с х 0 ~н(0, 1). Лесно е да се види това х=а+σ х 0 . Тогава, по свойство 2)

Математическо очакване и неговите свойства.

Числени характеристики на случайни величини.

Характерна функция.

Лекция № 5

Раздел 2. Случайни променливи.

Тема 1. Функция на разпределение, плътност на вероятността и числени характеристики на случайна променлива.

Цел на лекцията:дават знания за начините за описание на случайни променливи.

Въпроси на лекцията:

Литература:

L1 - Бочаров П. П., Печинкин А. В. Теория на вероятностите. Математическа статистика. - 2-ро изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 296 с.

L2 - Gmurman, V. E. Теория на вероятностите и математическа статистика: Учебник. ръководство за ВУЗ/V. Е. Гмурман. - 9-то изд., изтрито. - М.: Висше. училище, 2005. - 479 с.: ил.

L3 - Нахман А.Д., Косенкова И.В. Редове. Теория на вероятностите и математическа статистика. Методически разработки. – Тамбов: Издателство TSTU, 2009.

L4 - Плотникова С.В. Математическа статистика. Методически разработки. – Тамбов: Издателство TSTU, 2005. (pdf файл)

При решаване на много задачи, вместо функцията на разпределение F(x)и п.в. p(x)се прилага характеристичната функция. С помощта на тази характеристика се оказва целесъобразно например да се определят някои числови характеристики на думата. и з.р. функции s.v.

Характерна функциясл.в. се нарича преобразуване на Фурие на неговата a.e. p(x):

, (2.6.1)

където е параметърът, който е аргумент на характеристичната функция, - m.o. сл.в. (вижте § 2.8.).

Прилагайки обратното преобразуване на Фурие, получаваме формула, която определя а.е. сл.в. по своята характерна функция

. (2.6.2)

Тъй като измерението p(x)обратно на измерение х, тогава количеството , и следователно са безразмерни. Аргументът има обратното измерение х.

Използване на представяне (2.5.7) a.e. p(x)под формата на сума от делта функции, можем да разширим формула (1) до дискретни r.v.

. (2.6.3)

Понякога вместо характеристичната функция се оказва удобно да се използва нейният логаритъм:

Y. (2.6.4)

функция Yможе да се нарече втори ( логаритмичен)характерна функциясл.в. .

Нека отбележим най-важните свойства на характеристичната функция.

1. Характеристичната функция отговаря на следните условия:

. (2.6.5)

2. За симетрично разпределение, когато p(x)= p(-x), имагинерната част в (1) е нула и следователно характеристичната функция е реална четна функция . Напротив, ако приема само реални стойности, то е равномерно и съответното разпределение е симетрично.

3. Ако с.в. е линейна функция на r.v. , то неговата характеристична функция се определя от израза

, (2.6.6)

Където аИ b- постоянен.

4. Характеристична функция на сумата независима с.в. е равно на произведението на характеристичните функции на термините, т.е. ако

. (2.6.7)

Това свойство е особено полезно, тъй като в противен случай намирането на a.e. количество сл.в. е свързано с многократни повторения на навиване, което понякога причинява затруднения.

По този начин, като се вземе предвид недвусмислената връзка между функцията на разпределение, плътността на вероятността и характеристичната функция, последната може еднакво да се използва за описание на r.v.

Пример 2.6.1.Чрез комуникационен канал със смущения се предава кодова комбинация от два импулса. Поради независимото влияние на смущенията върху тези импулси, всеки от тях може да бъде потиснат с вероятност р=0,2. Необходимо е да се определи: I) серията на разпространение на c.v. - брой импулси, потиснати от смущения; 2) разпределителна функция; 3) плътност на вероятността; 4) характерна функция на р.в. .

Дискретни s.v. може да приеме три стойности (нито един от импулсите не се потиска), (един импулс се потиска), (двата импулса се потискат). Вероятностите на тези стойности са съответно равни:

Между другото, току-що се застъпихте ученикът да не знае нищо за равномерната непрекъснатост, а сега му предлагате делта функции? Адекватно, няма да кажа нищо.

Радвам се да ви видя отново по темата с желание за дискусия независимо от характеристиките, които ме вълнуват лично. интересувам се от теб Студентът трябва да знае всичко, за което може да бъде попитан, но преди всичко той трябва да владее системата от понятия, тяхната характеристика и връзките между тях и не трябва да се ограничава в тесния кръг на раздела от дисциплината, който той изучава. учи в момента и също не трябва да бъде ходещ справочник, който постоянно помни голям брой функции, които не отговарят на едно или друго условие.
В първоначалния проблем се изискваше да се установи дали дадената HF функция е някаква случайна променлива. Студентът получава такава задача, когато се въведе понятието HF. И целта на решаването на такива проблеми е да се консолидира разбирането за връзката между CP и PR, както и да се консолидират знанията за свойствата на CP.
Има два начина да се покаже, че дадена функция е HF: или трябва да намерите съответстващата й функция според Фурие и да проверите дали тя удовлетворява условието за нормализиране и е положителна, или трябва да докажете неотрицателната определеност на дадената функция и се обърнете към теоремата на Бохнер-Хинчин. В същото време използването на теореми за представяне на SV под формата на линейна комбинация от други Rademacher SV по никакъв начин не допринася за разбирането на основните свойства на HF; освен това, както посочих по-горе, вашето решение съдържа завоалиран ред на Фурие, тоест всъщност отговаря на първия метод.
Когато се изисква да се покаже, че дадена функция не може да бъде HF на който и да е SV, тогава е достатъчно да се установи неуспехът на едно от свойствата на HF: единична стойност при нула, ограничен модул с единица, получаване на правилни стойности ​за моментите на PDF, равномерна непрекъснатост. Проверката на коректността на стойностите на моментите, изчислени чрез дадена функция, е математически еквивалентна проверка на еднаква непрекъснатост в смисъл, че неспазването на някое от тези свойства може да служи като същата основа за признаване на неподходящата функция. Проверката на правилността на моментните стойности обаче е формализирана: диференцирайте и проверете. Равномерната приемственост в общия случай трябва да бъде доказана, което прави успеха на решаването на задача зависим от творческия потенциал на ученика, от способността му да „познае“.
Като част от дискусията за „конструкцията“ на SV, предлагам да разгледаме прост проблем: нека конструираме SV с HF от формата: Където

α k	(y)=	M[Y				+∞∫ ϕ k	(х)			(x) dx;
µk(y)				∫ (ϕ (x)						f(x)dx.
Характеристична функция на случайна величина
Нека Y = e itX, където			Х -	случайна величина с известен закон
разпределение, t – параметър, i =				− 1.
Характерна функция случайна величинаНаречен
математическо очакване на функцията Y = e itX:
					∑ e itx k p k , за DSV,
				k = 1
υ X (t )= M =
					∫ e itX f (x )dx , за NSV.
По този начин, характеристиката								υ X(t)		и закона за разпределение

случайните променливи са уникално свързани Преобразуване на Фурие. Например, плътността на разпределение f (x) на случайна променлива X се изразява еднозначно чрез нейната характеристична функция, използвайки обратно преобразуване на Фурие:

	f(x)=		+∞ υ (t) e− itX dt.
		2 π−∞ ∫
Основни свойства на характеристичната функция:
	Характеристична функция на величината Z = aX + b, където X е случаен
стойността на характеристичната функция υ X (t) е равна на
	υ Z (t) = M [ e it(aX+ b) ] = e itbυ X (at) .
	Началният момент на k-ти ред на случайната променлива X е равен на
	α k (x )= υ X (k ) (0)i − k ,

където υ X (k) (0) е стойността на k-тата производна на характеристичната функция при t = 0.

3. Характеристична функция на сумата	Y = ∑ X k независими
	k = 1

случайни променливи е равно на произведението на характеристичните функции на термините:

υ Y(t ) = ∏ υ Xi		(T).
i = 1
4. Характерна функция на нормата			случайна променлива с
параметри m и σ е равно на:
υ X (t) = eitm −	t 2 σ 2

ЛЕКЦИЯ 8 Двумерни случайни променливи. Двумерен закон на разпределение

Двумерна случайна променлива (X,Y) е набор от две едномерни случайни променливи, които приемат стойности в резултат на един и същ експеримент.

Двумерните случайни променливи се характеризират с набори от стойности Ω X , Ω Y на техните компоненти и съвместен (двуизмерен) закон за разпределение. В зависимост от вида на компонентите X,Y се разграничават дискретни, непрекъснати и смесени двумерни случайни величини.

Двумерна случайна променлива (X, Y) може да бъде геометрично представена като произволна точка (X, Y) в равнината x0y или като случаен вектор, насочен от началото към точката (X, Y).

Двумерна функция на разпределение двумерна случайна променлива

(X,Y) е равна на вероятността за съвместно изпълнение на две събития (X<х } и {Y < у }:

F(x, y) = p(( X< x} { Y< y} ) .

Геометрично двумерна функция на разпределение F(x, y)

удар на произволна точка (X,Y) в
безкраен		квадрант с	забождам
точка (x,y), разположена вляво и под нея.
Компонент X прие стойностите
по-малко от реалното число x, това е
	разпространение		F X (x), и
компонент Y – по-малък от реалния
числата y,			разпространение
FY(y).

Свойства на двумерната функция на разпределение:

1. 0 ≤ F (x ,y ) ≤ 1.

е вероятността

. (x,y)

Доказателство. Свойството следва от дефиницията на функцията на разпределение като вероятност: вероятността е неотрицателно число, което не надвишава 1.

2. F (–∞, y) = F (x, –∞) = F (–∞, –∞) = 0,F (+∞, +∞) = 1.

3. F (x 1 ,y )≤ F (x 2 ,y ), ако x 2 >x 1 ;F (x ,y 1 )≤ F (x ,y 2 ), ако y 2 >y 1 .

Доказателство. Нека докажем, че F (x,y) е ненамаляваща функция по отношение на

променлива x. Помислете за вероятността

p(X< x2 , Y< y) = p(X< x1 , Y< y) + p(x1 ≤ X< x2 , Y< y) .

Тъй като p(X< x 2 ,Y < y )= F (x 2 ,y ), аp (X < x 1 , Y < y ) = F (x 1 , y ) , то

F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y )= p (x 1 ≤ X< x 2 ,Y < y )F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y )≥ 0F (x 2 ,y )≥ F (x 1 ,y ).

По същия начин за y.

4. Преход към едномерни характеристики:

	F (x ,∞ )= p (X< x ,Y < ∞ )= p (X < x )= F X (x );
	F (∞ ,y )= p (X< ∞ ,Y < y )= p (Y < y )= F Y (y ).
5. Вероятност за попадение в правоъгълна област
p (α≤ X ≤ β; δ≤ Υ≤ γ) =
F (β,γ) −F (β,δ) −F (α,γ) +F (α,δ).										(β,γ)
Функция на разпределение – най
универсален
разпространение
използвани		описания на това как								(β,δ)
непрекъснато,		и дискретни						(α,δ)
двумерни случайни променливи.

Матрица на разпределение

Двумерна случайна променлива (X,Y) е дискретна, ако множествата от стойности на нейните компоненти Ω X и Ω Y са изброими множества. За описание на вероятностните характеристики на такива величини се използват двумерна функция на разпределение и матрица на разпределение.

Матрица на разпределениее правоъгълна таблица, която съдържа стойностите на компонента X − Ω X =( x 1 ,x 2 ,... ,x n ), стойностите на компонента Y − Ω Y =( y 1 ,y 2 , …,y m ) и вероятностите на всички възможни двойки стойности p ij =p (X =x i,Y =y j),i = 1, …,n,j = 1, …,m.

xi\yj
	X i )= ∑ p ij ,i = 1, ...,n .
	j= 1
3. Преход към серията на вероятностното разпределение на компонента Y:
	p j = p (Y = y j )= ∑ p ij ,j = 1, ...,m .

i= 1

Двумерна плътност на разпределение

Двумерна случайна променлива (X,Y) е непрекъсната, ако тя

функцията на разпределение F (x,y) е непрекъсната, диференцируема функция за всеки от аргументите и има втори

смесена производна ∂ 2 F (x, y).

∂ x ∂y

Двумерна плътност на разпределение f(x, y ) характеризира плътността на вероятността в близост до точка с координати ( x, y ) и е равно на втората смесена производна на функцията на разпределение:

∫∫ f(x, y) dxdy.

Свойства на двумерната плътност:

1. f (x,y)≥ 0.

2. Условие за нормализиране:

∞ ∞

∫ ∫ f(x, y) d x d y= 1 .