За първи път се срещнахме в курс по алгебра в 7 клас. Разглеждайки графиката на функцията, взехме съответната информация: ако, движейки се по графиката отляво надясно, ние в същото време се движим отдолу нагоре (сякаш изкачваме хълм), тогава декларирахме функцията на се увеличава (фиг. 124); ако се движим отгоре надолу (слизаме по хълм), тогава сме обявили функцията за намаляваща (фиг. 125).
Въпреки това, математиците не са много любители на този метод за изучаване на свойствата на функция. Те смятат, че дефинициите на понятията не трябва да се основават на чертеж - чертежът трябва само да илюстрира едно или друго свойство на функция върху нейния графики. Нека дадем строги дефиниции на понятията нарастващи и намаляващи функции.
Определение 1.
Казва се, че функцията y = f(x) нараства в интервала X, ако от неравенството x 1< х 2 - где хг и х2 - любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x 1) < f(x 2).
Определение 2. Казва се, че функцията y = f(x) намалява в интервала X, ако неравенството x 1< х 2 , где х 1 и х 2 - любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x 1) > f(x 2).
На практика е по-удобно да се използват следните формулировки:
функция нараства, ако по-голяма стойност на аргумента съответства на по-голяма стойност на функцията;
функция намалява, ако по-голяма стойност на аргумента съответства на по-малка стойност на функцията.
Използвайки тези определения и свойствата, установени в § 33 числови неравенства, ще можем да обосновем изводи за увеличаване или намаляване на предварително изследвани функции.
1. Линейна функция y = kx +m
Ако k > 0, тогава функцията нараства навсякъде (фиг. 126); ако к< 0, то функция убывает на всей числовой прямой (рис. 127).
Доказателство. Нека f(x) = kx +m. Ако x 1< х 2 и k >О, тогава, съгласно свойството на 3 числени неравенства (вижте § 33), kx 1< kx 2 . Далее, согласно свойству 2, из kx 1 < kx 2 следует, что kx 1 + m < kx 2 + m, т. е. f(х 1) < f(х 2).
И така, от неравенството x 1< х 2 следует, что f(х 1) < f(x 2). Это и означает возрастание функции у = f(х), т.е. линеенфункции y = kx+ m.
Ако x 1< х 2 и k < 0, то, согласно свойству 3 числовых неравенств, kx 1 >kx 2 , а според свойство 2 от kx 1 > kx 2 следва, че kx 1 + m> kx 2 + т.е.
И така, от неравенството x 1< х 2 следует, что f(х 1) >f(x 2). Това означава намаляване на функцията y = f(x), т.е. линейна функция y = kx + m.
Ако една функция нараства (намалява) в цялата си област на дефиниция, тогава тя може да се нарече нарастваща (намаляваща), без да се посочва интервалът. Например за функцията y = 2x - 3 можем да кажем, че тя нараства по цялата числова ос, но можем да кажем и по-кратко: y = 2x - 3 - нарастваща
функция.
2. Функция y = x2
1. Разгледайте функцията y = x 2 върху лъча. Нека вземем две неположителни числа x 1 и x 2, така че x 1< х 2 . Тогда, согласно свойству 3 числовых неравенств, выполняется неравенство - х 1 >- х 2. Тъй като числата - x 1 и - x 2 са неотрицателни, то като повдигнем на квадрат двете страни на последното неравенство, получаваме неравенство със същото значение (-x 1) 2 > (-x 2) 2, т.е. Това означава, че f(x 1) > f(x 2).
И така, от неравенството x 1< х 2 следует, что f(х 1) >f(x 2).
Следователно функцията y = x 2 намалява върху лъча (- 00, 0] (фиг. 128).
1. Разгледайте функция на интервала (0, + 00).
Нека x1< х 2 . Так как х 1 и х 2 - , то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) >f(x 2).
И така, от неравенството x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2). Това означава, че функцията намалява на отворения лъч (0, + 00) (фиг. 129).
2. Разгледайте функция на интервала (-oo, 0). Нека x 1< х 2 , х 1 и х 2 - отрицателни числа. Тогава - x 1 > - x 2, и двете страни на последното неравенство са положителни числа, и следователно (отново използвахме неравенството, доказано в пример 1 от § 33). След това имаме, откъде идваме.
И така, от неравенството x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2) т.е. функцията намалява на отворения лъч (- 00 , 0)
Обикновено термините „нарастваща функция” и „намаляваща функция” се обединяват под общото наименование монотонна функция, а изследването на функция за нарастване и намаляване се нарича изследване на функция за монотонност.
Решение.
1) Нека начертаем функцията y = 2x2 и вземем разклонението на тази парабола при x< 0 (рис. 130).
2) Да построим и изберем неговата част върху отсечката (фиг. 131).
3) Да построим хипербола и да изберем нейната част върху отворения лъч (4, + 00) (фиг. 132).
4) Нека изобразим и трите „парчета“ в една координатна система - това е графиката на функцията y = f(x) (фиг. 133).
Нека прочетем графиката на функцията y = f(x).
1. Областта на дефиниране на функцията е цялата числова ос.
2. y = 0 при x = 0; y > 0 за x > 0.
3. Функцията намалява върху лъча (-oo, 0], нараства върху сегмента, намалява върху лъча, е изпъкнала нагоре върху сегмента, изпъкнала надолу върху лъча)