درس وعرض حول موضوع: "أنظمة عدم المساواة. أمثلة على الحلول"
مواد إضافية
أعزائي المستخدمين، لا تنسوا ترك تعليقاتكم ومراجعاتكم ورغباتكم! تم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.
الوسائل التعليمية والمحاكيات في متجر Integral الإلكتروني للصف التاسع
كتاب تفاعلي للصف التاسع "قواعد وتمارين في الهندسة"
الكتاب المدرسي الإلكتروني "الهندسة المفهومة" للصفوف 7-9
نظام عدم المساواة
يا رفاق، لقد درستم المتباينات الخطية والتربيعية وتعلمتم كيفية حل المسائل المتعلقة بهذه المواضيع. الآن دعنا ننتقل إلى مفهوم جديد في الرياضيات - نظام عدم المساواة. نظام عدم المساواة يشبه نظام المعادلات. هل تتذكر أنظمة المعادلات؟ لقد درست أنظمة المعادلات في الصف السابع، حاول أن تتذكر كيف قمت بحلها.دعونا نقدم تعريف نظام عدم المساواة.
تشكل العديد من المتباينات مع بعض المتغير x نظامًا من المتباينات إذا كنت بحاجة إلى العثور على جميع قيم x التي تشكل كل من المتباينات قيمة حقيقية لها التعبير الرقمي.
أي قيمة لـ x تأخذ فيها كل متباينة التعبير العددي الصحيح هي حل للمتباينة. ويمكن أيضا أن يسمى الحل الخاص.
ما هو الحل الخاص؟ على سبيل المثال، في الإجابة تلقينا التعبير x>7. إذن x=8، أو x=123، أو أي رقم آخر أكبر من سبعة هو حل معين، والتعبير x>7 هو قرار مشترك. يتكون الحل العام من العديد من الحلول الخاصة.
كيف قمنا بدمج نظام المعادلات؟ هذا صحيح، قوس متعرج، وهكذا يفعلون نفس الشيء مع المتباينات. دعونا نلقي نظرة على مثال لنظام المتباينات: $\begin(cases)x+7>5\\x-3
إذا كان نظام عدم المساواة يتكون من تعبيرات متطابقة، على سبيل المثال، $\begin(cases)x+7>5\\x+7
إذًا، ماذا يعني: إيجاد حل لنظام عدم المساواة؟
حل المتباينة هو مجموعة من الحلول الجزئية للمتباينة التي تحقق متباينتي النظام في وقت واحد.
نكتب الصيغة العامة لنظام المتباينات بالشكل $\begin(cases)f(x)>0\\g(x)>0\end(cases)$
دعونا نشير إلى $Х_1$ كحل عام للمتباينة f(x)>0.
$X_2$ هو الحل العام للمتباينة g(x)>0.
$X_1$ و $X_2$ عبارة عن مجموعة من الحلول المحددة.
سيكون حل نظام المتباينات عبارة عن أرقام تنتمي إلى $X_1$ و$X_2$.
دعونا نتذكر العمليات على المجموعات. كيف نجد عناصر المجموعة التي تنتمي إلى المجموعتين في وقت واحد؟ هذا صحيح، هناك عملية تقاطع لهذا الغرض. إذن، حل المتباينة سيكون المجموعة $A= X_1∩ X_2$.
أمثلة على حلول أنظمة عدم المساواة
دعونا نلقي نظرة على أمثلة لحل أنظمة عدم المساواة.حل نظام عدم المساواة.
أ) $\begin(cases)3x-1>2\\5x-10 ب) $\begin(cases)2x-4≥6\\-x-4
حل.
أ) حل كل متباينة على حدة.
$3x-1>2; \; 3x>3; \; س>1$.
5x-10 دولار
دعونا نحدد الفواصل الزمنية لدينا على خط إحداثي واحد.
سيكون حل النظام هو قطعة تقاطع فتراتنا. عدم المساواة صارمة، ثم سيكون الجزء مفتوحا.
الجواب: (1؛3).
ب) سنحل أيضًا كل متباينة على حدة.
$2x-4≥6; 2x≥ 10؛ س ≥ 5 دولارات.
$-x-4 -5$. 
سيكون حل النظام هو قطعة تقاطع فتراتنا. المتباينة الثانية صارمة، فسيكون المقطع مفتوحًا على اليسار.
الجواب: (-5؛5).
دعونا نلخص ما تعلمناه.
لنفترض أنه من الضروري حل نظام المتباينات: $\begin(cases)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end(cases)$.
إذن، الفترة ($x_1; x_2$) هي الحل للمتباينة الأولى.
الفاصل الزمني ($y_1; y_2$) هو الحل للمتباينة الثانية.
الحل لنظام عدم المساواة هو تقاطع الحلول لكل عدم المساواة. 
يمكن أن تتكون أنظمة عدم المساواة ليس فقط من عدم المساواة من الدرجة الأولى، ولكن أيضًا من أي أنواع أخرى من عدم المساواة.
قواعد مهمة لحل أنظمة عدم المساواة.
إذا لم يكن لإحدى متباينات النظام حلول، فإن النظام بأكمله ليس له حلول.
إذا تحققت إحدى المتباينات لأي من قيم المتغير، فإن حل النظام سيكون هو حل المتباينة الأخرى.
أمثلة.
حل نظام المتباينات:$\begin(cases)x^2-16>0\\x^2-8x+12≥0 \end(cases)$
حل.
دعونا نحل كل متباينة على حدة.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0$.
دعونا نحل عدم المساواة الثانية.
$x^2-8x+12≥0$.
$(x-6)(x-2)≥0$.
حل عدم المساواة هو الفترة. 
لنرسم كلا الفترتين على نفس الخط ونجد التقاطع. 
تقاطع الفترات هو القطعة (4؛ 6).
الجواب: (4؛ 6).
حل نظام عدم المساواة.
أ) $\begin(الحالات)3x+3>6\\2x^2+4x+4 ب) $\begin(الحالات)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end(الحالات) )$.
حل.
أ) المتباينة الأولى لها حل x>1.
دعونا نوجد مميز المتباينة الثانية.
$د=16-4*2*4=-16$. $D دعونا نتذكر القاعدة: عندما لا يكون لإحدى المتباينات حلول، فإن النظام بأكمله ليس له حلول.
الجواب: لا توجد حلول.
ب) المتباينة الأولى لها حل x>1.
المتباينة الثانية أكبر من الصفر لجميع x. ثم يتزامن حل النظام مع حل المتباينة الأولى.
الجواب: س>1.
مشاكل في أنظمة عدم المساواة للحل المستقل
حل أنظمة عدم المساواة:أ) $\begin(الحالات)4x-5>11\\2x-12 ب) $\begin(الحالات)-3x+1>5\\3x-11 ج) $\begin(الحالات)x^2-25 د) $\begin(cases)x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60≥0 \end(cases)$
هـ) $\begin(cases)x^2+36
الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.
جمع واستخدام المعلومات الشخصية
تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.
قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.
فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.
ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:
- عندما تقوم بتقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوانك بريد إلكترونيإلخ.
كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:
- تم جمعها من قبلنا معلومات شخصيةيسمح لنا بالاتصال بك وإبلاغك بذلك عروض فريدة من نوعهاوالترقيات وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
- من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
- يجوز لنا أيضًا استخدام المعلومات الشخصية لأغراض داخلية مثل التدقيق وتحليل البيانات و دراسات مختلفةمن أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
- إذا شاركت في سحب على جوائز أو مسابقة أو عروض ترويجية مماثلة، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.
الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة
نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.
الاستثناءات:
- إذا لزم الأمر، وفقا للقانون، الإجراء القضائي، الخامس محاكمةو/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات الواردة من وكالات الحكومةعلى أراضي الاتحاد الروسي - الكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
- في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الذي يخلفه.
حماية المعلومات الشخصية
نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.
احترام خصوصيتك على مستوى الشركة
للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.
عدم المساواةهو تعبير مع، ≥، أو ≥. على سبيل المثال، 3x - 5 حل المتراجحة يعني إيجاد جميع قيم المتغيرات التي تكون المتراجحة صحيحة لها. كل من هذه الأعداد هو حل للمتباينة، ومجموعة كل هذه الحلول هي حلها العديد من الحلول. تسمى المتباينات التي لها نفس مجموعة الحلول عدم المساواة المكافئة.
المتباينات الخطية
مبادئ حل عدم المساواة تشبه مبادئ حل المعادلات.مبادئ حل عدم المساواة
لأي أعداد حقيقية أ، ب، ج:
مبدأ إضافة عدم المساواة: اذا كان مبدأ الضرب لعدم المساواة: إذا كان a 0 صحيحًا، فإن ac إذا كان bc صحيحًا أيضًا.
تنطبق عبارات مماثلة أيضًا على ≥ b.
عندما يتم ضرب طرفي المتراجحة في رقم سلبيفمن الضروري تغيير علامة عدم المساواة تماما.
تسمى متباينات المستوى الأول، كما في المثال 1 (أدناه). المتباينات الخطية.
مثال 1حل كل من المتباينات التالية. ثم ارسم مجموعة من الحلول.
أ) 3س - 5 ب) 13 - 7س ≥ 10س - 4
حل
أي رقم أقل من 11/5 هو الحل.
مجموعة الحلول هي (x|x
للتحقق، يمكننا رسم رسم بياني لـ y 1 = 3x - 5 و y 2 = 6 - 2x. ثم فمن الواضح أن لX 
مجموعة الحلول هي (x|x ≥ 1)، أو (-∞, 1). الرسم البياني لمجموعة الحلول موضح أدناه. 
عدم المساواة المزدوجة
عندما ترتبط متباينتان بكلمة واحدة و, أو، ثم يتم تشكيلها عدم المساواة المزدوجة. عدم المساواة المزدوجة مثل
-3
و 2س + 5 ≥ 7
مُسَمًّى متصل، لأنه يستخدم و. الإدخال -3 يمكن حل المتباينات المزدوجة باستخدام مبدأي جمع وضرب المتباينات.
مثال 2حل -3 حللدينا
مجموعة الحلول (x|x ≥ -1 أوس> 3). يمكننا أيضًا كتابة الحل باستخدام رمز الفترة والرمز لـ ذات الصلةأو تتضمن المجموعتين: (-∞ -1] (3, ∞). الرسم البياني لمجموعة الحلول موضح أدناه. 
للتحقق، دعونا نرسم y 1 = 2x - 5، y 2 = -7، و y 3 = 1. لاحظ أنه بالنسبة لـ (x|x ≥ -1) أوس > 3)، ص 1 ≥ ص 2 أوص 1 > ص 3 . 
المتباينات ذات القيمة المطلقة (المعامل)
تحتوي عدم المساواة في بعض الأحيان على وحدات. يتم استخدام الخصائص التالية لحلها.
ل> 0 و تعبير جبريس:
|س| |س| > a يعادل x أو x > a.
عبارات مشابهة لـ |x| ≥ أ و |x| ≥ أ.
على سبيل المثال،
|س| |ص| ≥ 1 يعادل y ≥ -1 أوص ≥ 1؛
و |2x + 3| ≥ 4 يعادل -4 ≥ 2x + 3 ≥ 4.
مثال 4حل كل من المتباينات التالية. ارسم مجموعة الحلول بيانيًا.
أ) |3x + 2| ب) |5 - 2x| ≥ 1
حل
أ) |3x + 2|
ب) |5 - 2x| ≥ 1
مجموعة الحلول هي (x|x ≥ 2). أوس ≥ 3)، أو (-∞، 2] .
الخوارزمية الموضحة أعلاه مكتوبة على النحو التالي:
3 × + 12 ≥ 0؛ 3 س ≥ − 12 ; س ≥ − 4 .
إجابة:س ≥ − 4 أو (− ∞ , − 4 ] .
مثال 2
وضح جميع الحلول المتاحة للمتباينة − 2, 7 · z > 0.
حل
من الشرط نرى أن المعامل a لـ z يساوي -2.7، وb غائب صراحة أو يساوي الصفر. لا يمكنك استخدام الخطوة الأولى من الخوارزمية، ولكن انتقل على الفور إلى الثانية.
نقسم طرفي المعادلة على الرقم - 2، 7. وبما أن الرقم سالب، فمن الضروري عكس علامة المتباينة. أي أننا حصلنا على (− 2, 7 z) : (− 2, 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .
سنكتب الخوارزمية بأكملها نموذج قصير:
− 2, 7 ض > 0; ض< 0 .
إجابة:ض< 0 или (− ∞ , 0) .
مثال 3
حل المتراجحة - 5 س - 15 22 ≥ 0.
حل
ووفقا للشرط نرى أنه من الضروري حل المتراجحة بالمعامل a للمتغير x الذي يساوي - 5، بالمعامل b الذي يتوافق مع الكسر - 15 22. من الضروري حل المتراجحة باتباع الخوارزمية، وهي: الانتقال - 15 22 إلى جزء آخر به علامة المعاكسنقسم الطرفين على - 5 ونغير علامة المتباينة:
5 × ≥ 15 22 ؛ - 5 س: - 5 ≥ 15 22: - 5 س ≥ - 3 22
أثناء الانتقال الأخير للجانب الأيمن، يتم استخدام قاعدة تقسيم الأرقام مع علامات مختلفة 15 22: - 5 = - 15 22: 5، وبعد ذلك نقوم بعملية القسمة جزء مشتركإلى العدد الطبيعي - 15 22: 5 = - 15 22 · 1 5 = - 15 · 1 22 · 5 = - 3 22 .
إجابة:س ≥ - 3 22 و [ - 3 22 + ∞) .
دعونا نفكر في الحالة عندما يكون a = 0. التعبير الخطيمن النموذج أ س + ب< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.
كل شيء يعتمد على تحديد حل عدم المساواة. لأي قيمة x نحصل عليها عدم المساواة العدديةالنوع ب< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.
سننظر في جميع الأحكام في شكل خوارزمية حل المتباينات الخطية 0 س + ب< 0 (≤ , > , ≥) :
التعريف 5
عدم المساواة العددية للنموذج ب< 0 (≤ , >، ≥) صحيحة، فإن المتباينة الأصلية لها حل لأي قيمة، وتكون خاطئة عندما لا يكون للمتباينة الأصلية حلول.
مثال 4
حل المتراجحة 0 x + 7 > 0.
حل
هذه المتباينة الخطية 0 x + 7 > 0 يمكن أن تأخذ أي قيمة x. ثم نحصل على متباينة بالشكل 7 > 0. تعتبر المتباينة الأخيرة صحيحة، مما يعني أن أي رقم يمكن أن يكون حلها.
إجابة: الفاصل الزمني (− ∞ , + ∞) .
مثال 5
أوجد حلاً للمتباينة 0 x − 12, 7 ≥ 0.
حل
عند استبدال المتغير x بأي رقم، نحصل على أن المتراجحة تأخذ الشكل − 12، 7 ≥ 0. هذا غير صحيح. أي أن 0 x − 12, 7 ≥ 0 ليس لها حلول.
إجابة:لا توجد حلول.
لنفكر في حل المتباينات الخطية حيث يكون كلا المعاملين يساوي الصفر.
مثال 6
حدد المتباينة غير القابلة للحل من 0 x + 0 > 0 و 0 x + 0 ≥ 0.
حل
عند استبدال أي رقم بدلاً من x، نحصل على متباينتين بالشكل 0 > 0 و0 ≥ 0. الأول غير صحيح. هذا يعني أن 0 x + 0 > 0 ليس لها حلول، لكن 0 x + 0 ≥ 0 لها حلول عدد لا حصر لهالحلول، أي أي عدد.
إجابة: المتراجحة 0 x + 0 > 0 ليس لها حلول، لكن 0 x + 0 ≥ 0 لها حلول.
هذه الطريقةتمت مناقشته في دورة المدرسةالرياضيات. طريقة الفاصل قادرة على الحل أنواع مختلفةعدم المساواة، وخطية أيضا.
يتم استخدام طريقة الفاصل الزمني لعدم المساواة الخطية عندما تكون قيمة المعامل x لا تساوي 0. وإلا فسيتعين عليك الحساب باستخدام طريقة مختلفة.
التعريف 6
طريقة الفاصل هي:
- تقديم الدالة y = a · x + b ;
- البحث عن الأصفار لتقسيم مجال التعريف إلى فترات؛
- تعريف العلامات لمفاهيمها على فترات.
لنقم بتجميع خوارزمية لحل المعادلات الخطية a x + b< 0 (≤ , >، ≥) لـ ≠ 0 باستخدام طريقة الفاصل:
- إيجاد أصفار الدالة y = a · x + b لحل معادلة من الصورة a · x + b = 0 . إذا كانت ≠ 0، فسيكون الحل هو جذر واحد، والذي سيأخذ التعيين x 0؛
- بناء خط إحداثي مع صورة نقطة بإحداثيات x 0، مع عدم المساواة الصارمةتتم الإشارة إلى النقطة بنقطة مثقوبة، أو إذا لم تكن صارمة، بنقطة مرسومة؛
- تحديد علامات الدالة y = a · x + b على فترات؛ لذلك من الضروري العثور على قيم الدالة عند نقاط على الفاصل الزمني؛
- حل المتراجحة ذات الإشارة > أو ≥ على خط الإحداثيات، وإضافة تظليل على الفترة الموجبة،< или ≤ над отрицательным промежутком.
دعونا نلقي نظرة على عدة أمثلة لحل المتباينات الخطية باستخدام طريقة الفاصل.
مثال 6
حل المتراجحة − 3 x + 12 > 0.
حل
يترتب على الخوارزمية أنك تحتاج أولاً إلى إيجاد جذر المعادلة − 3 x + 12 = 0. حصلنا على − 3 · x = − 12 , x = 4 . من الضروري رسم خط إحداثي حيث نحدد النقطة 4. سيتم ثقبه لأن عدم المساواة صارم. النظر في الرسم أدناه.
من الضروري تحديد العلامات على فترات. لتحديدها على الفترة (− ∞, 4)، من الضروري حساب الدالة y = − 3 x + 12 عند x = 3. ومن هنا نحصل على − 3 3 + 12 = 3 > 0. الإشارة على الفاصل الزمني إيجابية.
نحدد الإشارة من الفترة (4, + ∞)، ثم نعوض بالقيمة x = 5. لدينا − ٣ ٥ + ١٢ = − ٣< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.
نحل المتراجحة بعلامة >، ويتم التظليل على الفترة الموجبة. النظر في الرسم أدناه.
يتضح من الرسم أن الحل المطلوب له الصورة (− ∞ , 4) أو x< 4 .
إجابة: (− ∞ , 4) أو x< 4 .
لفهم كيفية الرسم بيانيًا، من الضروري النظر في 4 متباينات خطية كمثال: 0، 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 و0، 5 س − 1 ≥ 0. حلولهم ستكون قيم x< 2 , x ≤ 2 , x >2 و س ≥ 2. للقيام بذلك، دعونا نرسم رسما بيانيا دالة خطيةص = 0.5 س - 1 الواردة أدناه.
انه واضح
التعريف 7
- حل المتراجحة 0, 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
- الحل 0, 5 x − 1 ≥ 0 يعتبر الفاصل الزمني حيث تكون الدالة y = 0, 5 x − 1 أقل من O x أو تتزامن؛
- الحل 0, 5 · x − 1 > 0 يعتبر فاصلًا زمنيًا، وتقع الدالة فوق O x;
- يعتبر الحل 0, 5 · x − 1 ≥ 0 هو الفاصل الزمني الذي يتزامن فيه الرسم البياني فوق O x أو يتزامن.
معنى الحل الرسوميعدم المساواة هو العثور على الفواصل الزمنية، والتي يجب أن يتم تصويرها على الرسم البياني. في في هذه الحالةلقد حصلنا على ذلك الجهه اليسرىلديه y = a · x + b، والصحيح لديه y = 0، ويتزامن مع O x.
التعريف 8يتم رسم الرسم البياني للدالة y = a x + b:
- أثناء حل المتراجحة a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
- عند حل المتراجحة a · x + b ≥ 0، يتم تحديد الفاصل الزمني حيث يتم تصوير الرسم البياني أسفل المحور O x أو يتزامن؛
- عند حل المتراجحة a · x + b > 0، يتم تحديد الفاصل الزمني حيث يظهر الرسم البياني فوق O x؛
- عند حل المتراجحة a · x + b ≥ 0، يتم تحديد الفاصل الزمني حيث يكون الرسم البياني أعلى من O x أو يتزامن.
مثال 7
حل المتراجحة - 5 · x - 3 > 0 باستخدام الرسم البياني.
حل
من الضروري إنشاء رسم بياني للدالة الخطية - 5 · x - 3 > 0. هذا الخط يتناقص لأن معامل x سالب. لتحديد إحداثيات نقطة تقاطعها مع O x - 5 · x - 3 > 0 نحصل على القيمة - 3 5. دعونا نصورها بيانيا.
عند حل المتراجحة بعلامة >، عليك الانتباه إلى الفترة الواقعة فوق O x. دعونا نسلط الضوء على الجزء المطلوب من الطائرة باللون الأحمر ونحصل عليه
الفجوة المطلوبة هي الجزء O × الأحمر. لذا فهو مفتوح شعاع العدد- ∞ , - 3 5 سيكون حل المتراجحة. إذا كانت لدينا متباينة غير صارمة حسب الشرط، فإن قيمة النقطة - 3 5 ستكون أيضًا حلاً للمتباينة. وسوف يتزامن مع O x.
إجابة: - ∞ , - 3 5 أو x< - 3 5 .
الطريقة الرسوميةيتم استخدام الحل عندما يتوافق الجانب الأيسر مع الدالة y = 0 x + b، أي y = b. عندها سيكون الخط المستقيم موازيًا لـ O x أو متطابقًا عند b = 0. توضح هذه الحالات أن المتراجحة قد لا يكون لها حلول، أو قد يكون الحل أي عدد.
مثال 8
أوجد من المتباينات 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.
حل
تمثيل y = 0 x + 7 هو y = 7، ثم سيتم إعطاؤه خطة تنسيقبخط مستقيم موازٍ لـ O x ويقع فوق O x. إذن 0 س + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.
الرسم البياني للدالة y = 0 x + 0 يعتبر y = 0، أي أن الخط المستقيم يتزامن مع O x. هذا يعني أن المتراجحة 0 x + 0 ≥ 0 لها العديد من الحلول.
إجابة: المتباينة الثانية لها حل لأي قيمة لـ x.
عدم المساواة التي تقلل إلى الخطية
يمكن اختزال حل عدم المساواة إلى الحل معادلة خط مستقيم، والتي تسمى عدم المساواة التي تتحول إلى خطية.
وقد تم تناول هذه المتباينات في المقرر الدراسي كونها حالة خاصة لحل المتباينات مما أدى إلى فتح الأقواس وإحضارها مصطلحات مماثلة. على سبيل المثال، اعتبر أن 5 − 2 x > 0, 7 (x − 1) + 3 ≥ 4 x − 2 + x, x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x.
يتم دائمًا تقليل المتباينات المذكورة أعلاه إلى شكل معادلة خطية. ثم يتم فتح القوسين وتعطى مصطلحات مماثلة ونقل منها اجزاء مختلفة، تغيير الإشارة إلى العكس.
عند تقليل المتباينة 5 − 2 x > 0 إلى الخطية، فإننا نمثلها بحيث يكون لها الشكل − 2 x + 5 > 0، ولتقليل الثانية نحصل على 7 (x − 1) + 3 ≥ 4 x − 2 + x . ولا بد من فتح القوسين وإحضار المصطلحات المتشابهة ونقل جميع المصطلحات إلى الجانب الأيسر وإحضار المصطلحات المتشابهة. تبدو هكذا:
7 x − 7 + 3 ≥ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≥5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≥ 0 2 x − 2 ≥ 0
وهذا يؤدي إلى الحل لعدم المساواة الخطية.
تعتبر هذه المتباينات خطية، حيث أن لها نفس مبدأ الحل، وبعد ذلك يمكن اختزالها إلى متباينات أولية.
لحل هذا النوع من المتباينة، من الضروري تقليله إلى متباينة خطية. وينبغي أن يتم ذلك بهذه الطريقة:
التعريف 9
- فتح الأقواس؛
- جمع المتغيرات على اليسار والأرقام على اليمين؛
- إعطاء مصطلحات مماثلة؛
- اقسم كلا الطرفين على معامل x.
مثال 9
حل المتراجحة 5 · (x + 3) + x ≥ 6 · (x − 3) + 1.
حل
نفتح القوسين، فنحصل على متباينة بالشكل 5 x + 15 + x ≥ 6 x − 18 + 1. بعد تبسيط الحدود المتشابهة، نحصل على 6 x + 15 ≥ 6 x − 17. وبعد نقل الحدود من اليسار إلى اليمين، نجد أن 6 x + 15 − 6 x + 17 ≥ 0. وبالتالي هناك عدم مساواة بالشكل 32 ≥ 0 من تلك التي تم الحصول عليها عن طريق حساب 0 x + 32 ≥ 0. ويمكن ملاحظة أن المتباينة خاطئة، مما يعني أن المتباينة المعطاة بالشرط ليس لها حلول.
إجابة: لا توجد حلول.
ومن الجدير بالذكر أن هناك العديد من أنواع المتباينات الأخرى التي يمكن اختزالها إلى متباينات خطية أو من النوع الموضح أعلاه. على سبيل المثال، 5 2 x − 1 ≥ 1 يكون المعادلة الأسية, والذي يختزل إلى محلول خطي 2 x − 1 ≥ 0 . سيتم أخذ هذه الحالات في الاعتبار عند حل عدم المساواة من هذا النوع.
إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter
لا يعرف الجميع كيفية حل عدم المساواة المتشابهة في البنية و السمات المميزةمع المعادلات. المعادلة هي تمرين يتكون من جزأين، بينهما علامة المساواة، وبين أجزاء المتراجحة يمكن أن تكون هناك علامة "أكثر من" أو "أقل من". وبالتالي، قبل إيجاد حل لمتباينة معينة، يجب أن نفهم أنه من المفيد النظر في إشارة العدد (موجب أو سالب) إذا كانت هناك حاجة لضرب كلا الطرفين بأي تعبير. وينبغي أن تؤخذ نفس الحقيقة في الاعتبار إذا كان التربيع مطلوبًا لحل المتباينة، حيث أن التربيع يتم عن طريق الضرب.
كيفية حل نظام عدم المساواة
إن حل أنظمة عدم المساواة أصعب بكثير من حل أنظمة عدم المساواة العادية. كيفية حل عدم المساواة الصف 9، دعونا ننظر أمثلة محددة. يجب أن يكون مفهوما أنه قبل حل المتباينات التربيعية (الأنظمة) أو أي أنظمة أخرى للمتباينات، من الضروري حل كل متباينة على حدة، ثم مقارنتها. سيكون حل نظام عدم المساواة إما إجابة إيجابية أو سلبية (سواء كان النظام لديه حل أو ليس لديه حل).
المهمة هي حل مجموعة من عدم المساواة:
دعونا نحل كل متباينة على حدة
نبني خط الأعداد الذي نصور عليه مجموعة من الحلول
بما أن المجموعة عبارة عن اتحاد لمجموعات من الحلول، فيجب وضع خط تحت هذه المجموعة الموجودة على خط الأعداد بخط واحد على الأقل.
حل عدم المساواة مع المعامل
سيوضح هذا المثال كيفية حل المتباينات باستخدام المعامل. لذلك لدينا تعريف:
نحن بحاجة إلى حل عدم المساواة:
قبل حل هذه المتباينة، من الضروري التخلص من المعامل (العلامة)
دعنا نكتب بناءً على بيانات التعريف:
أنت الآن بحاجة إلى حل كل نظام على حدة.
لنقم بإنشاء خط أرقام واحد نصور عليه مجموعات الحلول.
ونتيجة لذلك، لدينا مجموعة تجمع بين العديد من الحلول.
حل المتباينات التربيعية
باستخدام خط الأعداد، دعونا نلقي نظرة على مثال لحل المتباينات التربيعية. لدينا عدم المساواة:
ونحن نعلم أن الجدول الزمني ثلاثية الحدود من الدرجة الثانيةهو القطع المكافئ. ونعلم أيضًا أن فروع القطع المكافئ تكون متجهة لأعلى إذا كانت a>0.
س 2 -3س-4< 0
باستخدام نظرية فييتا نجد الجذور x 1 = - 1؛ × 2 = 4
لنرسم قطعًا مكافئًا، أو بالأحرى رسمًا تخطيطيًا له.
وبذلك اكتشفنا أن قيم ثلاثية الحدود التربيعية ستكون أقل من 0 في الفترة من – 1 إلى 4.
لدى العديد من الأشخاص أسئلة عند حل المتباينات المزدوجة مثل g(x)< f(x) < q(x). Перед тем, как решать двойные неравенства, необходимо их раскладывать на простые, и каждое простое неравенство решать по отдельности. Например, разложив наш пример, получим в результате систему неравенств g(x) < f(x) и f(x) < q(x), которую следует и решать.
في الواقع، هناك عدة طرق لحل المتباينات، لذا يمكنك استخدامها عدم المساواة المعقدةطريقة الرسم.
حل المتباينات الكسرية
أنها تتطلب نهجا أكثر حذرا عدم المساواة الكسرية. ويرجع ذلك إلى حقيقة أنه في عملية حل بعض المتباينات الكسرية قد تتغير العلامة. قبل حل المتباينات الكسرية، عليك أن تعرف أنه يتم استخدام الطريقة الفاصلة لحلها. يجب تمثيل المتباينة الكسرية بحيث يبدو أحد جانبي العلامة التعبير العقلاني الجزئيوالثاني - "-0". بتحويل المتباينة بهذه الطريقة، نحصل على النتيجة f(x)/g(x) > (.
حل المتباينات باستخدام طريقة الفترات
تعتمد تقنية الفاصل على الطريقة الحث الكاملأي أنه لإيجاد حل لعدم المساواة، من الضروري فرز كل شيء الخيارات الممكنة. قد لا تكون طريقة الحل هذه ضرورية لطلاب الصف الثامن، حيث يجب أن يعرفوا كيفية حل المتباينات للصف الثامن، وهي تمارين بسيطة. لكن بالنسبة للصفوف الأكبر سنا، لا غنى عن هذه الطريقة، لأنها تساعد في حل عدم المساواة الكسرية. يعتمد حل عدم المساواة باستخدام هذه التقنية أيضًا على خاصية الدالة المستمرة مثل الحفاظ على الإشارة بين القيم التي تتحول فيها إلى 0.
دعونا نبني رسمًا بيانيًا لكثيرة الحدود. هذا وظيفة مستمرة، الحصول على القيمة 0 3 مرات، أي أن f(x) ستكون تساوي 0 عند النقاط x 1 وx 2 وx 3، جذور كثيرة الحدود. في الفترات الفاصلة بين هذه النقاط، يتم الحفاظ على علامة الدالة.
بما أنه لحل المتراجحة f(x)>0 نحتاج إلى إشارة الدالة، فإننا ننتقل إلى خط الإحداثيات، ونترك الرسم البياني.
f(x)>0 لـ x(x 1 ; x 2) و لـ x(x 3 ;)
f(x)x(- ; x 1) وفي x (x 2 ; x 3)
يوضح الرسم البياني بوضوح حلول المتباينات f(x)f(x)>0 (حل المتباينة الأولى باللون الأزرق، وحل المتباينة الثانية باللون الأحمر). لتحديد إشارة الدالة على فترة ما، يكفي أن تعرف إشارة الدالة عند إحدى النقاط. هذه التقنيةيسمح لك بحل عدم المساواة بسرعة، حيث يتم أخذ الجانب الأيسر في الاعتبار، لأنه في مثل هذه عدم المساواة، من السهل جدًا العثور على الجذور.