مثال 6. أوجد الزاوية بين أقطار متوازي الأضلاع المبني على المتجهات و
حل. أقطار متوازي الأضلاع هي المتجهات و (انظر الشكل 5). إذن ، ، ، - الزاوية بين الأقطار تساوي .
مثال 7.منح: ، ، ، . حساب – طول المتجه .
حل. من الخاصية (5) للمنتج العددي؛ ولكن , , لذلك .
ناقلات العمل الفنييُطلق على ناقلين اسم المتجه، والذي يُشار إليه بـ أو ويتم تعريفه بـ بالطريقة الآتية:
1) حيث – طول هذا المتجه يساوي حاصل ضرب أطوال المتجهات المضروبة وجيب الزاوية بينهما؛
2) ` ` - هذا المتجه عمودي على كل من المتجهات المضروبة؛
3) المتجهات تشكل ثلاثية قائمة.
ويترتب على الشرط (1) أن معامل المتجه عددي يساوي المساحةمتوازي الأضلاع مبني على المتجهات والجانبين (الشكل 17): , .
خصائص المنتج المتجه:
4) أو أو أو ؛
مثال 8.تبسيط التعبير.
حل. بناءً على خصائص المنتج المتجه، نحصل على، لكن، إذن
مثال 9.في مثلث ذو رؤوس، أوجد طول الارتفاع.
حل. ، من اين . لنجد إحداثيات المتجهات: , .
إنه ؛
لذلك، .
حسب تعريف المنتج العددي، أين هي الزاوية بين المتجهات و. ولكن هل مساحة متوازي الأضلاع مبنية على المتجهات و ، وأين هو ارتفاع متوازي الأضلاع. هكذا، .
قطعة مختلطةثلاثة متجهات تصل إلى علامة تساوي حجم متوازي السطوح المبني على هذه المتجهات كما على الحواف. يمكنك كتابة: .
معادلة الخط المار هذه النقطةعمودي هذا المتجه.
- المعادلة العامة لخط مستقيم على المستوى.
- المعادلة الكنسيةالخط، أو معادلة الخط الذي يمر عبر نقطة معينة موازيًا لمتجه معين.
ص0، س0 – الإحداثيات المعطاةناقلات معينة
, – المعادلات البارامترية مستقيم.
- معادلة مرور خط مستقيم من خلال نقطتين معينتين.
الزاوية المحصورة بين خطين مستقيمين.دع الخطوط تعطى على التوالي بواسطة المعادلات , , أين , . دعونا نشير إلى الزاوية بين الخطوط المستقيمة: (الشكل 24). ثم ، .
هكذا،
إذا، إذن، وبالتالي، هذا هو ك 1 = ك 2 .
إذا، إذن، لم يتم تعريفه، لذلك، أو.
إذا كانت الخطوط المستقيمة وتعطى على التوالي بواسطة المعادلات
أين ، هي متجهات خطية عادية، إذن، أو .
إذا، إذن، .
إذا كان ذلك.
المسافة من نقطة إلى خط.دع الخط المستقيم على المستوى يُعطى بواسطة معادلة ونقطة لها إحداثيات (الشكل 25). دعونا نشير إلى – قاعدة العمودي الذي يسقط من نقطة إلى خط، – المسافة من النقطة إلى الخط. إذن، a هو ناقل خط عادي. دعونا نفكر المنتج العددي. من ناحية ، منذ ذلك الحين الزاوية بينهما أو . من ناحية أخرى، ولكن هي نقطة، وبالتالي فإن إحداثياتها تحقق المعادلة، من أين، وبالتالي. معادلة التعبيرات، نحصل على
ثم أو
مثال 12.يتم إعطاء الخط المستقيم بالمعادلة. اكتب معادلات أ) مستقيم يمر بنقطة موازية للخط؛ ب) خط يمر عبر أصل الإحداثيات بشكل عمودي على الخط.
حل. الطريقة الأولى. من معادلة الخط نحدد المتجه الطبيعي لهذا الخط. هذا المتجه عمودي ومستقيم (الشكل 26). وهكذا، فإن المتجه العادي والنقطة معروفان بـ . لنستخدم المعادلة (2.12): أو – المعادلة . بالنسبة للخط المستقيم، المتجه هو دليل ونقطة. لنستخدم المعادلة (2.15): أو أو - المعادلة.
الطريقة الثانية. لنكتب معادلة الخط في الصورة . سوف نجد ميلمستقيم : . الخط المستقيم إذن هو ميله؛ هو خط مستقيم، وبالتالي فإن ميله هو . وبمعرفة ميل الخط وإحداثيات النقطة الواقعة على هذا الخط يمكننا استخدام المعادلة (2.18). نحصل على معادلة الخط المستقيم : أو بضرب الطرفين في 3 ، ومعادلة الخط المستقيم : أي .
مثال 13.في مثلث ذو رؤوس، قم بتكوين معادلات للمتوسط والارتفاع، وأوجد طول الارتفاع (الشكل 27).
حل. – منتصف القطعة سيتم إيجاد إحداثياتها باستخدام الصيغ (2.7): , , أي . وبذلك تكون النقطتان معروفتان على الوسط. لنستخدم المعادلة (2.17): أو - معادلة الوسيط. يمكن إحضاره إلى الشكل. لتجميع معادلة الارتفاع، نجد المتجه الطبيعي للخط المستقيم VN. لنستخدم المعادلة (2.12): . بالقسمة على 4 وفتح الأقواس، نحصل على المعادلة. لنقم بإنشاء معادلة للخط المستقيم باستخدام المعادلة (2.15) واعتبارها متجهًا موجهًا: ; ، أو . ثم نجد طول الارتفاع باستخدام الصيغة (2.21) كالمسافة من النقطة إلى الخط: .
- معادلة المستوى الذي يمر عبر نقطة معينة عموديًا على متجه معين
- المعادلة العامة للطائرة.
- معادلة الطائرة في قطاعات. هنا a، b، c عبارة عن مقاطع مقطوعة بالمستوى على محاور الإحداثيات
- معادلة المستوى الذي يمر عبر ثلاث نقاط معينة.
معادلات غير كاملة للطائرات
إذا كان أي من المعاملات في المعادلة المستوية يساوي الصفر، فسنحصل على ذلك معادلة غير مكتملةطائرة
لنفترض، على سبيل المثال، أن المعادلة لها الشكل وتحدد مستوى يمر عبر أصل الإحداثيات (إحداثيات النقطة O(0; 0; 0) تلبي المعادلة).
دع المعادلة لها الشكل وحدد المستوى، موازية للمحورأوز أو المرور بمحور أوز عند الواقع، أي الطائرة
دع المعادلة لها الشكل وحدد المستوى، موازية للطائرةأوز أو يتزامن معه في الواقع أي طائرة أو
ويمكن النظر في حالات أخرى بالمثل.
الزاوية بين طائرتين
دع المستويين a 1 و a 2 يُعطىان على التوالي بواسطة المعادلات حيث و هي المتجهات الطبيعية لهذه المستويات (الشكل 45). ومن الواضح أن جيب تمام الزاوية بين الطائرات
(ثبت مثل (2.21)).
- المعادلات البارامترية للخط المستقيم؛
| (2.36) |
– معادلات خط مستقيم يمر بنقطتين معلومتين M 1 (x 1, y 1, z 1) و M 2 (x 2, y 2, z 2).
يمكن أيضًا تعريف الخط المستقيم في الفضاء بأنه خط تقاطع طائرتين. إذا كانت معادلات هذه المستويات وأين متجهاتها العادية، فإن معادلات الخط المستقيم (خطوط تقاطعها) تكون لها الصورة
| (2.37) |
(2.37) – المعادلات العامة للخط المستقيم في الفضاء.
للعثور على أي نقطة على هذا الخط، يكفي إعطاء أحد المتغيرات محددة قيمة عددية(على سبيل المثال، x = 0)، استبدله في النظام (2.37) وحله للمتغيرين المتبقيين.
يمكن العثور على متجه الاتجاه للخط المستقيم (2.37) على النحو التالي منتج ناقلاتالمتجهات العادية للمستويات المتقاطعة:
مثال 21. اكتب المعادلات الكنسيةخط مستقيم معين معادلات عامة
حل. دعونا نجد نقطة على السطر. لنفترض مثلا z = 0. سيأخذ النظام الشكل بجمع المعادلات نحصل على ثم من المعادلة الثانية نقطة على السطر A(1; -2; 0). لنجد متجه الاتجاه لهذا الخط: نحصل على المعادلات القانونية للخط (2.39). نحن نستخدم المعادلات البارامترية للخط
تاريخ النشر: 2014-12-08; إقرأ: 1688 | انتهاك حقوق الطبع والنشر للصفحة | طلب كتابة ورقة
الموقع الإلكتروني - Studopedia.Org - 2014-2017.(0.055 ثانية) ...قبل البحث عن حل لمشكلة معينة، عليك اختيار الطريقة الأنسب لحلها. الطريقة الهندسيةيتطلب إنشاءات إضافية ومبرراتها، وبالتالي، في في هذه الحالةيبدو أن استخدام تقنية المتجهات هو الأكثر ملاءمة. لهذا الغرض، يتم استخدام القطاعات الموجهة - المتجهات.
سوف تحتاج
ورق؛
- قلم؛
- مسطرة.
برعاية مقالات P&G حول موضوع "كيفية العثور على الزاوية بين أقطار متوازي الأضلاع" كيفية العثور على زوايا الشكل الرباعي كيفية حساب المتجه كيفية العثور على الزاوية بين الوسيط والجانب
تعليمات
دع متوازي الأضلاع يتم تعريفه بواسطة متجهات جانبيه (الجانبان الآخران متساويان في الزوج) وفقًا للشكل. 1. في الواقع ناقلات متساويةعلى متن الطائرة بقدر ما تريد. وهذا يتطلب المساواة في أطوالها (بتعبير أدق، الوحدات - |a|) والاتجاه، الذي يُعطى عن طريق الميل إلى أي محور (في الإحداثيات الديكارتية هذا هو المحور 0X). لذلك، من أجل الراحة، في مشاكل من هذا النوع، يتم تحديد المتجهات، كقاعدة عامة، بواسطة نواقل نصف القطر r = a، التي يقع أصلها دائمًا في أصل الإحداثيات. للعثور على الزاوية بين جانبي متوازي الأضلاع، ستحتاج إلى حساب المجموع الهندسي والفرق بين المتجهات، بالإضافة إلى حاصل ضربها القياسي (أ، ب). وفقا لقاعدة متوازي الأضلاع مجموع هندسيالمتجهان a و b يساويان بعض المتجهات c=a+b، والتي تم إنشاؤها وتقع على قطري متوازي الأضلاع AD. الفرق بين a وb هو المتجه d=b-a، المبني على القطر الثاني BD. إذا تم إعطاء المتجهات بالإحداثيات وكانت الزاوية بينهما هي φ، فإن منتجها القياسي هو الرقم يساوي المنتجمعاملات المتجهات و cos ф (انظر الشكل 1): (a, b) = |a||b|cos f في الإحداثيات الديكارتية، إذا كانت a=(x1, y1) وb=(x2, y2)، إذن (a) ، ب) = x1y2 +x2y1. في هذه الحالة، المربع العددي للمتجه (a,a)=|a|^2=x1^2 +x2^2. بالنسبة للمتجه ب - بالمثل. ثم: |a||b|cos φ = x1y2 +x2y1. وبالتالي cosф=(x1y2 +x2y1)/(|a||b|).
وبالتالي، فإن خوارزمية حل المشكلة هي كما يلي:
إيجاد إحداثيات متجهات أقطار متوازي الأضلاع كمتجهات لمجموع وفرق متجهات أضلاعه c=a+b و d=b-a. في هذه الحالة، يتم ببساطة إضافة أو طرح الإحداثيات المقابلة a وb. ج= أ+ ب =(x3, y3)= ( x1+x2, y1+y2),
د= ب-أ =(x4, y4)=( x2 –x1, y2-y1).
2. إيجاد جيب تمام الزاوية بين متجهات الأقطار (دعنا نسميها FD) باستخدام المعطى قاعدة عامة cosфд=(x3y3 +x4y4)/(|c||d|) مثال. أوجد الزاوية المحصورة بين قطري متوازي الأضلاع بمتجهات أضلاعه a=(1, 1) وb =(1, 4).
حل. وفقًا للخوارزمية المذكورة أعلاه، تحتاج إلى العثور على المتجهات القطرية c=(1+1, 1+4)=(2, 5) وd=(1-1, 4-1)=(0, 3).
الآن احسب cosfd =(0+15)/(sqrt(4+25)sqrt9)= 15/3sqrt29=0.92.
الجواب: فد = أركوس (0.92).
أخبار أخرى حول الموضوع:
المتجه هو مقطع موجه محدد بالمعلمات التالية: الطول والاتجاه (الزاوية) لمحور معين. بالإضافة إلى ذلك، فإن موضع المتجه لا يقتصر على أي شيء. تلك المتجهات ذات الاتجاه المشترك ولها أطوال متساوية. سوف تحتاج - الورق؛ - قلم. راعي
يتم حساب مساحة متوازي الأضلاع المبني على المتجهات على أنها حاصل ضرب أطوال هذه المتجهات وجيب الزاوية بينهما. إذا كانت إحداثيات المتجهات معروفة فقط، فيجب عليك استخدامها للحساب طرق التنسيق، بما في ذلك تحديد الزاوية بين المتجهات. سوف تحتاج - المفهوم
حل مشكلة إيجاد الزاوية بين أضلاع البعض الشكل الهندسييجب أن تبدأ بالإجابة على السؤال: ما هو نوع الشكل الذي تتعامل معه، أي أن تقرر ما إذا كان متعدد السطوح أمامك أم مضلعًا. في القياس الفراغي، يتم أخذ "الحالة المسطحة" (المضلع) بعين الاعتبار. كل مضلع
الزاوية بين متجهين منبعثين من نفس النقطة هي أقصر زاوية يجب أن يدور من خلالها أحد المتجهات حول نقطة الأصل إلى موضع المتجه الثاني. ويمكن تحديد قياس درجة هذه الزاوية إذا كانت إحداثيات المتجهات معروفة. الراعي لمقالات التنسيب P&G حول موضوع "كيف
إن مهمة العثور على زاوية المضلع مع العديد من معلماته المعروفة بسيطة للغاية. في حالة تحديد الزاوية بين متوسط المثلث وأحد أضلاعه، فمن المناسب استخدام الطريقة المتجهة. لتحديد مثلث، يكفي وجود متجهين لأضلاعه. راعي
قم بتسمية الزوايا ألفا وبيتا وغاما شكلت بواسطة ناقلاتوباتجاه إيجابي محاور الإحداثيات(انظر الشكل 1). تسمى جيب التمام لهذه الزوايا جيب تمام الاتجاه للمتجه أ. سوف تحتاج - الورق؛ - قلم. نشر مقالات الراعي P&G حول موضوع "كيفية العثور على الأدلة
قبل البحث عن حل لمشكلة معينة، عليك اختيار الطريقة الأنسب لحلها. تتطلب الطريقة الهندسية إنشاءات إضافية ومبرراتها، وبالتالي، في هذه الحالة، الأكثر ملاءمة هو استخدام تقنية المتجهات. لهذا الغرض، يتم استخدام القطاعات الموجهة - المتجهات.
سوف تحتاج
- - ورق؛
- - قلم؛
- - مسطرة.
تعليمات
دع متوازي الأضلاع يتم تعريفه بواسطة متجهات جانبيه (الجانبان الآخران متساويان في الزوج) وفقًا للشكل. 1. بشكل عام، هناك العديد من المتجهات المتساوية على المستوى كما تريد. وهذا يتطلب المساواة في أطوالها (بتعبير أدق، الوحدات - |a|) والاتجاه، الذي يُعطى عن طريق الميل إلى أي محور (في الإحداثيات الديكارتية هذا هو المحور 0X). لذلك، من أجل الراحة، في مشاكل من هذا النوع، يتم تحديد المتجهات، كقاعدة عامة، بواسطة نواقل نصف القطر r = a، التي يقع أصلها دائمًا في أصل الإحداثيات.
للعثور على الزاوية بين الجانبين متوازي الاضلاعستحتاج إلى حساب المجموع الهندسي والفرق بين المتجهات، بالإضافة إلى حاصل ضربها القياسي (أ، ب). وفقا للقاعدة متوازي الاضلاعالمجموع الهندسي للمتجهين a وb يساوي بعض المتجهات c=a+b، المبنية وتقع على القطر متوازي الاضلاعإعلان. الفرق بين a وb هو المتجه d=b-a، المبني على القطر الثاني BD. إذا تم إعطاء المتجهات بواسطة الإحداثيات، و ركنبينهما φ، فإن منتجهم القياسي هو رقم يساوي منتج معاملات المتجهات و cosφ (انظر الشكل 1): (a، b) = |a||b|cosφ
في الإحداثيات الديكارتية، إذا كانت a=(x1, y1) وb=(x2, y2)، فإن (a, b) = x1y2 +x2y1. في هذه الحالة، المربع العددي للمتجه (a,a)=|a|^2=x1^2 +x2^2. بالنسبة للمتجه ب - بالمثل. ثم: |a||b|cos φ = x1y2 +x2y1. وبالتالي cosф=(x1y2 +x2y1)/(|a||b|). وبالتالي فإن خوارزمية حل المشكلة هي كما يلي: 1. إيجاد إحداثيات المتجهات القطرية متوازي الاضلاعكمتجهات لمجموع وفرق متجهات جوانبه c=a+b و d=b-a. في هذه الحالة، يتم ببساطة إضافة أو طرح الإحداثيات المقابلة a وb. ج= أ+ ب =(x3, y3)= ( x1+x2, y1+y2),د= ب-أ =(x4, y4)=( x2 –x1, y2-y1). 2. إيجاد جيب تمام الزاوية بين متجهات الأقطار (دعنا نسميها phd) وفقاً للقاعدة العامة المعطاة cosphd=(x3y3 +x4y4)/(|c||d|)
مثال. يجد ركنبين الأقطار متوازي الاضلاع، محددة بواسطة متجهات جوانبها a=(1, 1) و b =(1, 4). حل. وفقًا للخوارزمية المذكورة أعلاه، تحتاج إلى العثور على المتجهات القطرية c=(1+1, 1+4)=(2, 5) وd=(1-1, 4-1)=(0, 3). الآن احسب cosfd =(0+15)/(sqrt(4+25)sqrt9)= 15/3sqrt29=0.92. الجواب: فد = أركوس (0.92).
انتبه، اليوم فقط!
كل شيء مثير للاهتمام
القيمة المطلقة للمتجه هي طوله. وإذا لم يكن من الممكن قياسه بالمسطرة، فيمكن حسابه. في حالة إعطاء المتجه الإحداثيات الديكارتيةيتم استخدام صيغة خاصة. من المهم أن تكون قادرًا على حساب معامل المتجه عند إيجاد...
الرياضيات علم معقد ودقيق. أنت بحاجة إلى التعامل معها بكفاءة وليس في عجلة من أمرها. بطبيعة الحال، دون التفكير المجردلا توجد طريقة حوله. وكذلك بدون قلم وورقة لتبسيط العمليات الحسابية بصريًا. تعليمات 1ضع علامة على الزوايا باستخدام الحروف...
المتجه، كقطعة موجهة، لا يعتمد فقط على قيمه مطلقه(المعامل) وهو يساوي طوله. خاصية أخرى مهمة هي اتجاه المتجه. ويمكن تحديده عن طريق الإحداثيات والزاوية بين المتجه ومحور الإحداثيات.
لحل هذه المشكلة باستخدام طرق الجبر المتجه، عليك أن تعرف المفاهيم التالية: مجموع المتجهات الهندسية وحاصل الضرب النقطي للمتجهات، وتذكر أيضًا خاصية المجموع زوايا داخليةرباعي الزوايا. لك…
إن مهمة العثور على زاوية المضلع مع العديد من معلماته المعروفة بسيطة للغاية. في حالة تحديد الزاوية بين متوسط المثلث وأحد أضلاعه، فمن المناسب استخدام الطريقة المتجهة. لتعريف المثلث...
غالبًا ما تسبب العمليات باستخدام النواقل صعوبات لأطفال المدارس. على الرغم من وجود عدد محدود من الصيغ التي تحتاج إلى العمل بها، إلا أن بعض المشاكل تسبب صعوبات ومشاكل في الحل. وخاصة أن ليس كل طلاب الثانوية العامة...
المتجه هو مقطع موجه محدد بالمعلمات التالية: الطول والاتجاه (الزاوية) لمحور معين. بالإضافة إلى ذلك، فإن موضع المتجه لا يقتصر على أي شيء. تعتبر تلك المتجهات ذات الاتجاه المشترك والتي لها أطوال متساوية متساوية. ...
يجب أن يبدأ حل مشكلة العثور على الزاوية بين جوانب شكل هندسي معين بالإجابة على السؤال: ما نوع الشكل الذي تتعامل معه، أي تحديد ما إذا كان متعدد السطوح أمامك أم مضلعًا.
في القياس المجسم نعتبر ...
تشير بألفا وبيتا وغاما إلى الزوايا التي يشكلها المتجه أ مع الاتجاه الإيجابي لمحاور الإحداثيات (انظر الشكل 1). تسمى جيب التمام لهذه الزوايا جيب تمام الاتجاه للمتجه أ. سوف تحتاج إلى - ورقة - قلم تعليمات 1 لذا...
يتم حساب مساحة متوازي الأضلاع المبني على المتجهات على أنها حاصل ضرب أطوال هذه المتجهات وجيب الزاوية بينهما. إذا كانت إحداثيات المتجهات فقط معروفة، فأنت بحاجة إلى استخدام طرق الإحداثيات لإجراء العمليات الحسابية، بما في ذلك...