أوجد إحداثيات النقطة التي تقسم المتجه في العلاقة. تقسيم القطعة بنسبة معينة: إحداثيات نقطة

دع النقاط M 1، M 2، M 3 تقع على نفس الخط المستقيم. يقولون أن النقطة M تقسم القطعة M 1 M 2 بالنسبة إلى α(ω≠-1) if .
لتكن معرفة إحداثيات النقطتين M 1 و M 2 بالنسبة لبعض أنظمة الإحداثيات: M 1 (x 1، y 1، z 1)، M 2 (x 2، y 2، z 2)، ثم إحداثيات النقطة تم العثور على النقطة M(x, y, z ) بالنسبة لنفس نظام الإحداثيات باستخدام الصيغ:
إذا كانت النقطة M في منتصف القطعة M 1 M 2، إذن ، أي أن π=1 والصيغ (*) ستأخذ الشكل:

(**)

لحلها استخدم الآلة الحاسبة التالية:

1. يتم تحديد النقاط بإحداثيتين: A(x 1,y 1), B(x 2,y 2).
2. يتم تحديد النقاط بثلاثة إحداثيات: A(x 1,y 1,z 1), B(x 2,y 2,z 2).

المثال رقم 1. يتم تعريف المثلث بإحداثيات رؤوسه A(3, -2, 1), B(3, 1, 5), C(4, 0, 3). أوجد إحداثيات D(x, y, z) – نقاط تقاطع متوسطاتها.

حل. دعونا نشير بـ M(x 0 , y 0 , z 0) إلى منتصف BC، ثم حسب الصيغ (**) و م(7/2، ½، 4). تقسم النقطة D الوسيط AM بنسبة 2=2. بتطبيق الصيغ (*) نجد
.

المثال رقم 2. يتم تقسيم القطعة AB على النقطة C(4,1) بنسبة 1/4=1، بدءًا من النقطة A. أوجد إحداثيات A إذا B(8,5).
حل. وبتطبيق الصيغة (*) نحصل على:
، من حيث نجد x=3، y=0.

المثال رقم 3. ينقسم الجزء AB إلى ثلاثة أجزاء متساوية بالنقطتين C(3, -1) وD(1,4). أوجد إحداثيات نهايات القطعة.
حل. دعونا نشير إلى A(x 1 , y 1), B(x 2 , y 2). النقطة C هي منتصف القطعة AD، لذلك باستخدام الصيغ (**) نجد: حيث × 1 = 5، ص 1 = -6. تم العثور على إحداثيات النقطة B بالمثل: x 2 = -1، y 2 = 9.

إذا كانت النقطة M(x;y) تقع على خط يمر بنقطتين معلومتين M 1 (x 1; y 1)، M 2 (x 2; y 2)، وتكون النسبة lect = M 1 M/MM 2 هي في أي نقطة M تقسم القطعة M 1 M 2، ثم إحداثيات النقطة M

تحددها الصيغ

س = (س 1 + س 2)/(1 + )، ص = (ص 1 + y 2)/(1 + )

إذا كانت النقطة M هي نقطة المنتصف للقطعة M 1 M 2، فسيتم تحديد إحداثياتها بواسطة الصيغ

س = (س 1 + س 2)/2، ص = (ص 1 + ص 2)/2

86. نهايتي A(3; -5) و 6(-1; 1) لقضيب متجانس. تحديد إحداثيات مركز ثقله.

87. يقع مركز ثقل القضيب المتجانس عند النقطة M(1; 4) وأحد طرفيه عند النقطة P(-2; 2). حدد إحداثيات النقطة Q للطرف الآخر من هذا القضيب

88. بالنظر إلى رؤوس المثلث A(1; -3)، 6(3; -5) وC(-5; 7). تحديد منتصف أضلاعه.

89. بالنظر إلى النقطتين أ(3؛ - 1) وب(2؛ 1). يُعرِّف:

1) إحداثيات النقطة M، المتناظرة مع النقطة A بالنسبة إلى النقطة B؛

2) إحداثيات النقطة N، المتناظرة مع النقطة B بالنسبة إلى النقطة A.

90. النقاط M(2; -1) وN(-1; 4) وP(-2; 2) هي نقاط المنتصف لأضلاع المثلث. تحديد رؤوسها.

91. بالنظر إلى ثلاثة رؤوس متوازي الأضلاع A(3; -5)، B(5; -3)، C(- 1; 3). تحديد الرأس الرابع D، المقابل لـ B.

92. بالنظر إلى رأسين متجاورين لمتوازي الأضلاع A(-3; 5)، B(1; 7) ونقطة تقاطع قطريه M(1; 1). حدد رأسين آخرين.

93. بالنظر إلى الرؤوس الثلاثة A(2; 3)، 6(4; -1) وC(0; 5) لمتوازي الأضلاع ABCD. أوجد رأسه الرابع D.

94. بالنظر إلى رؤوس المثلث A(1; 4)، B(3; -9)، C(-5; 2). أوجد طول متوسطه المرسوم من الرأس B.

95. الجزء الذي يحده النقطتان A (1;-3) و B(4; 3) مقسم إلى ثلاثة أجزاء متساوية. تحديد إحداثيات نقاط التقسيم.

96. بالنظر إلى رؤوس المثلث A(2; -5)، B(1; -2)، C(4; 7). أوجد نقطة التقاطع مع الجانب AC لمنصف زاويته الداخلية عند الرأس B.

97. بالنظر إلى رؤوس المثلث A(3; -5)، B(-3; 3) وC(-1; -2). أوجد طول منصف زاويته الداخلية عند الرأس أ.

98. بالنظر إلى رؤوس المثلث A(- 1; -1)، B(3; 5)، C(-4; 1). أوجد نقطة التقاطع مع استمرار الضلع BC لمنصف زاويته الخارجية عند الرأس A.

99. بالنظر إلى رؤوس المثلث A(3; -5)، B(1; - 3)، C(2; -2). أوجد طول منصف زاويته الخارجية عند الرأس B.

100. بالنظر إلى ثلاث نقاط A(1; -1)، B(3; 3) وC(4; 5)، تقع على نفس الخط. حدد النسبة π التي يقسم بها كل منهما القطعة التي يحدها المقطعان الآخران.

101. تحديد إحداثيات النهايات A و B للمقطع المقسم إلى ثلاثة أجزاء متساوية بالنقطتين P(2; 2) وQ (1; 5).

102. يمر الخط المستقيم عبر النقطتين M 1 (-12؛ -13) وM 2 (- 2؛ -5). أوجد نقطة على هذا الخط طولها الإحداثي 3.

103. يمر الخط المستقيم بالنقطتين M(2; -3) وN(-6; 5). على هذا الخط، أوجد نقطة إحداثيتها -5.

104. يمر خط مستقيم بالنقطتين A(7; -3) وB(23;.-6). أوجد نقطة تقاطع هذا الخط مع محور الإحداثي السيني.

105. يمر خط مستقيم بالنقطتين A(5; 2) و B(-4; -7). أوجد نقطة تقاطع هذا الخط مع المحور الإحداثي.

106. بالنظر إلى رؤوس الشكل الرباعي A(-3; 12)، B(3; -4)، C(5; -4) وD(5; 8). حدد النسبة التي يقسم بها التيار المتردد القطري القطر BD.

107. بالنظر إلى رؤوس الشكل الرباعي A(-2; 14)، B(4; -2)، C(6; -2) وD(6; 10). حدد نقطة تقاطع قطريه AC و BD.

108. فيما يلي رؤوس لوحة مثلثة متجانسة A(x 1 ; y 1)، B(x 2 ; y 2) وC(x 3 ; y 3). تحديد إحداثيات مركز ثقله،

ملحوظة. يقع مركز الثقل عند نقطة تقاطع المتوسطات.

109. تقع النقطة M من تقاطع متوسطات المثلث على محور الإحداثي السيني، ورأساه هما النقطتان A(2؛ -3) وB(-5؛ 1)، والرأس الثالث C يقع على المحور الإحداثي . تحديد إحداثيات النقطتين M و C.

110. فيما يلي رؤوس لوحة مثلثة متجانسة A(x 1; y 1)، B(x 2; y 2) وC(x 3; y 3). وإذا قمت بتوصيل منتصف جوانبه، يتم تشكيل لوحة مثلثة متجانسة جديدة. أثبت أن مركزي ثقل الصفيحتين متطابقان.

ملحوظة. استخدم نتيجة المشكلة 108.

111. صفيحة متجانسة لها شكل مربع طول ضلعه 12، يتم فيها قطع مربع، تمر الخطوط المستقيمة للقطع عبر مركز المربع، المحاور

يتم توجيه الإحداثيات على طول حواف اللوحة (الشكل 4). حدد مركز ثقل هذه اللوحة.

112. لوحة متجانسة لها شكل مستطيل ذو جوانب متساوية a و b، يتم عمل فتحة مستطيلة فيها؛ تمر خطوط القطع عبر المركز، ويتم توجيه محاور الإحداثيات على طول حواف اللوحة (الشكل 5). حدد مركز ثقل هذه اللوحة.

113. لوحة متجانسة لها شكل مربع ضلعه يساوي 2a، يقطع منه مثلث؛ يربط خط القطع نقاط المنتصف للجانبين المتجاورين، ويتم توجيه محاور الإحداثيات على طول حواف اللوحة (الشكل 6). تحديد مركز ثقل اللوحة.

114. عند النقاط التالية A(x 1; y 1) وB(x 2; y 2) وC(x 3; y 3) تتركز الكتل m وn وp. حدد إحداثيات مركز ثقل هذا النظام المكون من ثلاث كتل.

115. النقاط أ (4؛ 2)، ب (7؛ -2) و ج (1؛ 6) هي رؤوس مثلث مصنوع من سلك موحد. حدد مركز ثقل هذا المثلث.

دع الجزء الموجه AB يُعطى؛ يقولون أن هذه هي النقطة

M من هذا الخط يقسم القطعة AB بنسبة تساوي X، حيث يوجد رقم حقيقي عشوائي، إذا

عندما تقع النقطة M بين النقطتين A و B (أي داخل القطعة

AB)، ثم يتم توجيه المتجهين AM وMB في نفس الاتجاه (الشكل 2) وتكون النسبة (1) موجبة.

عندما تقع النقطة M خارج القطعة

AB، ثم يتم توجيه المتجهين AM وMB في اتجاهين متعاكسين (الشكل 3) وتكون النسبة (1) سالبة.

دعونا نرى كيف تتغير العلاقة (1) عندما تمر النقطة M عبر الخط بأكمله. عندما تتطابق النقطة M مع النقطة A، فإن النسبة (1) تساوي الصفر؛ إذا كانت النقطة M تمر عبر القطعة AB في الاتجاه من A إلى B، فإن النسبة (1) تزداد باستمرار، وتصبح كبيرة بشكل تعسفي مع اقتراب النقطة M من B. عندما يفقد الكسر (1) معناه، حيث يتحول مقامه إلى متجه صفر. مع مزيد من حركة النقطة على طول خط مستقيم في نفس الاتجاه (في الشكل 3، a على يمين B)، تصبح النسبة (1) سالبة، وإذا كانت Z قريبة بدرجة كافية من B، فإن هذه النسبة لها تأثير تعسفي قيمة مطلقة كبيرة.

منذ ذلك الحين (بموجب الاقتراح 8 من الفقرة 4) لدينا

عندما تتحرك النقطة M طوال الوقت في نفس الاتجاه (في الشكل 3 لدينا، أ من اليسار إلى اليمين)، وتتجه مباشرة إلى ما لا نهاية، فإن الكسر يميل إلى الصفر (نظرًا لأن بسطه يظل ثابتًا، ويزداد المقام إلى أجل غير مسمى) وبالتالي فإن النسبة - تميل إلى -1.

لننتقل الآن M إلى "يسار" نصفي الخطين حيث تقسم النقطة A الخط (أي إلى نصف الخط الذي لا يحتوي على القطعة AB). إذا كانت النقطة M في هذه الحالة تقع بعيدًا بدرجة كافية عن النقطة A، فمرة أخرى تكون صغيرة بشكل تعسفي، وبالتالي، في الصيغة، تختلف النسبة قليلاً بشكل تعسفي عن -1. عندما تقترب النقطة M من النقطة A من اليسار (الشكل 3، ب)، فإن النسبة (I)، مع بقائها سالبة، تتناقص باستمرار في القيمة المطلقة وتصبح أخيرًا مساوية للصفر عندما تعود النقطة M إلى النقطة A.

لاحظ أنه عند أي نقطة يكون موضع M على الخط تساوي -1. في الواقع، تكون النسبة سالبة فقط عندما تقع النقطة M خارج القطعة AB. ولكن في هذه الحالة، فإن المقطعين AM وMB لا يكونان متساويين أبدًا، أي.

لنقم الآن بإنشاء نظام إحداثي على الخط المستقيم ويكون O هو أصل هذا النظام. دعونا نشير إلى إحداثيات النقطة A عبر النقطة B بـ ، والنقطة المتغيرة M بـ . ثم

عندما تكون هناك شروط لتقسيم القطعة بنسبة معينة، فمن الضروري أن تكون قادرًا على تحديد إحداثيات النقطة التي تعمل كفاصل. دعونا نشتق صيغة لإيجاد هذه الإحداثيات من خلال طرح المشكلة على المستوى.

البيانات الأولية: تم إعطاء نظام إحداثيات مستطيل O x y ونقطتين غير متطابقتين عليه بإحداثيات معينة A (x A، y A) و B (x B، y B). ويتم أيضًا إعطاء النقطة C، لتقسيم القطعة A B بالنسبة إلى lect (عدد حقيقي موجب). من الضروري تحديد إحداثيات النقطة C: x C و y C.

قبل أن نبدأ في حل المشكلة، دعونا نكشف قليلاً عن معنى الشرط المعطى: "النقطة C تقسم القطعة A B بالنسبة إلى lect". أولاً، يشير هذا التعبير إلى أن النقطة C تقع على القطعة A B (أي بين النقطتين A وB). ثانيًا، من الواضح أنه وفقًا للشرط المحدد، فإن نسبة أطوال المقطعين A C و C B تساوي lect. أولئك. المساواة صحيحة:

في هذه الحالة، النقطة A هي بداية المقطع، والنقطة B هي نهاية المقطع. إذا علمنا أن النقطة C تقسم القطعة BA A بنسبة معينة، فإن المساواة ستكون صحيحة: .

حسنًا، الحقيقة الواضحة تمامًا هي أنه إذا كانت lect = 1، فإن النقطة C هي نقطة منتصف القطعة المستقيمة A B.

دعونا نحل المشكلة باستخدام المتجهات. دعونا نعرض النقاط A وB والنقطة C بشكل تعسفي على المقطع A B في نظام إحداثيات مستطيل معين، ولنقم ببناء متجهات نصف القطر لهذه النقاط، بالإضافة إلى المتجهات A C → وC B →. وفقًا لشروط المشكلة، تقسم النقطة C القطعة A B بالنسبة إلى lect.

إحداثيات متجه نصف القطر للنقطة تساوي إحداثيات النقطة، إذن تكون المساواة صحيحة: O A → = (x A, y A) و O B → = (x B, y B).

دعونا نحدد إحداثيات المتجه: ستكون مساوية لإحداثيات النقطة C، والتي يجب العثور عليها وفقًا لشروط المشكلة.

باستخدام عملية إضافة المتجهات، نكتب المعادلات: O C → = O A → + A C → O B → = O C → + C B → ⇔ C B → = O B → - O C →

وفقًا لشروط المشكلة، تقسم النقطة C القطعة A B بالنسبة إلى lect، أي. المساواة A C = α · C B صحيحة.

يقع المتجهان A C → و C B → على نفس الخط المستقيم ويكونان في اتجاه مشترك. α > 0 حسب شروط المشكلة، إذن، وبعملية ضرب المتجه بعدد نحصل على: A C → = lect · C B → .

دعونا نحول التعبير عن طريق التعويض به: C B → = O B → - O C → .

أ ج → = λ · (O B → - O C →) .

نعيد كتابة المساواة O C → = O A → + A C → كـ O C → = O A → + lect · (O B → - O C →).

باستخدام خصائص العمليات على المتجهات، من المساواة الأخيرة يلي: O C → = 1 1 + lect · (O A → + lect · O B →) .

الآن علينا فقط أن نحسب مباشرة إحداثيات المتجه O C → = 1 1 + lect · O A → + lect · O B → .

لنقم بتنفيذ الإجراءات اللازمة على المتجهين O A → و O B →.

O A → = (x A, y A) و O B → = (x B, y B)، ثم O A → + lect · O B → = (x A + lect · x B, y A + lect · y B).

وبالتالي، O C → = 1 1 + lect · (O A → + lect · O B →) = (x A + lect · x B 1 + lect , y A + lect · y B 1 + lect) .

لتلخيص: يتم تحديد إحداثيات النقطة C التي تقسم القطعة A B بنسبة معينة lect بواسطة الصيغ: x C = x A + lect · x B 1 + lect و y C = y A + lect · y B 1 + lect .

تحديد إحداثيات نقطة تقسم قطعة بنسبة معينة في الفضاء

البيانات الأولية: نظام الإحداثيات المستطيل O x y z، النقاط ذات الإحداثيات المعطاة A (x A، y A، z A) وB (x B، y B، z B).

تقسم النقطة C القطعة A B بالنسبة إلى lect. من الضروري تحديد إحداثيات النقطة C.

باستخدام نفس المنطق كما في الحالة أعلاه على الطائرة، نصل إلى المساواة:

O C → = 1 1 +  (O A → +  O B →)

المتجهات وهي متجهات نصف القطر للنقطتين A و B، مما يعني:

O A → = (x A , y A , z A) و O B → = (x B , y B , z B) لذلك

O C → = 1 1 + lect · (O A → + lect · O B →) = (x A + lect · x B 1 + lect , y A + lect · y B 1 + lect , z A + lect · z B 1 + lect)

وبالتالي، فإن النقطة C، التي تقسم القطعة A B في الفضاء بنسبة معينة lect، لها إحداثيات: (x A + lect · x B 1 + lect, y A + lect · y B 1 + lect, z A + lect · z B 1 + )

دعونا نلقي نظرة على النظرية باستخدام أمثلة محددة.

مثال 1

البيانات الأولية: تقسم النقطة C القطعة A B بنسبة خمسة إلى ثلاثة. يتم إعطاء إحداثيات النقطتين A و B بواسطة A (11، 1، 0)، B (- 9، 2، - 4).

حل

وفقا لشروط المشكلة، α = 5 3. دعونا نطبق الصيغ المذكورة أعلاه ونحصل على:

س أ + lect س ب 1 + lect = 11 + 5 3 (- 9) 1 + 5 3 = - 3 2

ص أ +  · ذ ب 1 +  = 1 + 5 3 · 2 1 + 5 3 = 13 8

ض أ + lect ض ب 1 + lect = 0 + 5 3 (- 4) 1 + 5 3 = - 5 2

الإجابة: ج (- 2 3، 8 13، - 2 5)

مثال 2

البيانات الأولية: من الضروري تحديد إحداثيات مركز ثقل المثلث أ ب ج.

إحداثيات رؤوسها معطاة: A (2، 3، 1)، B (4، 1، - 2)، C (- 5، - 4، 8)

حل

ومن المعروف أن مركز ثقل أي مثلث هو نقطة تقاطع متوسطاته (ولتكن هذه النقطة M). يتم تقسيم كل متوسط ​​على النقطة M بنسبة 2 إلى 1، بدءًا من الرأس. وعلى هذا سنجد الإجابة على السؤال المطروح.

لنفترض أن A D هو متوسط ​​المثلث A B C. والنقطة M هي نقطة تقاطع المتوسطات، ولها إحداثيات M (x M، y M، z M) وهي مركز ثقل المثلث. M، كنقطة تقاطع المتوسطات، تقسم الجزء A D بنسبة 2 إلى 1، أي. φ = 2.

لنجد إحداثيات النقطة د. بما أن A D هو الوسيط، فإن النقطة D هي منتصف القطعة B C. وبعد ذلك، باستخدام صيغة إيجاد إحداثيات منتصف القطعة، نحصل على:

x D = x B + x C 2 = 4 + (- 5) 2 = - 1 2 y D = y B + y C 2 = 1 + (- 4) 2 = - 3 2 z D = z B + z C 2 = - 2 + 8 2 = 3

لنحسب إحداثيات النقطة M:

x M = x A + lect x D 1 + lect = 2 + 2 (- 1 2) 1 + 2 = 1 3

y M = y A + lect · y D 1 + lect = 3 + 2 · (- 3 2) 1 + 2 = 0

ض م = ض أ + α · ض د 1 + lect = 1 + 2 · 3 1 + 2 = 7 3

الجواب: (1 3، 0، 7 3)

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

يمكن إجراء حساب إحداثيات نقطة معينة C، التي تقسم قطعة معينة AB بنسبة معينة، باستخدام الصيغ:

xC = (xA + lectxB) / (1 + lect)، yC = (yA + lectyB) / (1 + lect)،

حيث (xA; yA) و (xB; yB) هما إحداثيات نهايات مقطع معين AB؛ الرقم LA = AC/CB – النسبة التي يتم بها تقسيم القطعة AB على النقطة C، التي لها إحداثيات (xC; yC).

إذا تم تقسيم القطعة AB إلى نصفين بالنقطة C، فإن الرقم lect = 1 وصيغ xC وyC تأخذ الشكل:

xC = (xA + xB)/2، yC = (yA + yB)/2.

يجب أن يؤخذ في الاعتبار أنه في المسائل φ هي نسبة أطوال المقاطع، وبالتالي فإن الأرقام المضمنة في هذه النسبة ليست أطوال المقاطع نفسها في وحدة قياس معينة. على سبيل المثال، AC = 12 سم، CB = 16 سم: × = AC/CB = 12 سم / 16 سم = 3/4.

1. البحث عن إحداثيات منتصف قطعة معينة باستخدام الإحداثيات المعطاة لأطرافها

مثال 1.

النقطتان A(-2; 3) وB(6;-9) هما طرفي القطعة AB. أوجد النقطة C، التي هي منتصف القطعة AB.

حل.

ينص بيان المشكلة على أن xA = -2; xB = 6; يا = 3 و ص = -9. نحن بحاجة إلى العثور على C(xC; yC).

بتطبيق الصيغ xC = (xA + xB)/2، yC = (yA + yB)/2، نحصل على:

س ج = (-2 + 6)/2 = 2، ص ج = (3 + (-9))/2 = -3.

وبالتالي، فإن النقطة C، التي تقع في منتصف القطعة AB، لها الإحداثيات (-2؛ 3) (رسم بياني 1).
2. حساب إحداثيات نهاية قطعة معينة ومعرفة إحداثيات طرفها الأوسط والطرف الآخر

مثال 2.

أحد طرفي القطعة AB هي النقطة A، بإحداثيات (-3؛ -5)، ونقطة المنتصف هي النقطة C(3; -2). احسب إحداثيات الطرف الثاني للمقطع - النقطة B.

حل.

ومن شروط المشكلة يتضح أن xA = -3؛ يا = -5؛ س ج = 3 و ص ج = -2.

باستبدال هذه القيم في الصيغ xC = (xA + xB)/2، yC = (yA + yB)/2، نحصل على:

3 = (-3 + xB)/2 و

2 = (-5 + الأشعة فوق البنفسجية)/2.

وبعد حل المعادلة الأولى لـ xB والثانية لـ yB نجد: xB = 9 و yB = 1، يتبين أن النقطة المطلوبة B سيتم تحديدها بالإحداثيات (9؛ 1) (الصورة 2).

3. حساب إحداثيات رؤوس المثلث من الإحداثيات المعطاة لمنتصف أضلاعه

مثال 3.

نقاط منتصف جوانب المثلث ABC هي النقاط D(1; 3)، E(-1; -2) وF(4;-1). أوجد إحداثيات الرءوس A وB وC لهذا المثلث.

حل.

لتكن النقطة D نقطة منتصف الجانب AB، والنقطة E نقطة منتصف الجانب BC، والنقطة F نقطة منتصف الجانب AC (تين. 3). تحتاج إلى العثور على النقاط A و B و C.

نرمز إلى رؤوس المثلث بواسطة A(xA; yA) وB(xB; yB) وC(xC; yC) ومعرفة إحداثيات النقاط D وE وF، وفقًا للصيغة xC = (xA + xB )/2, yC = (yA + уВ)/2 نحصل على:

(1 = (xA + xB)/2،
(-1 = (xB + xC)/2،
(4 = (سأ + سج)/2،

(3 = (uА + уВ)/2،
(-2 = (уВ + уС)/2،
(-1 = (يا + صج)/2.

دعونا نقلل المعادلات إلى شكلها الكامل:

(xA + xB = 2،
(xB + xC = -2،
(س أ + س ج = 8،

(UA + UB = 6،
(yВ + уС = -4،
(يا + ص ج = -2.

وبعد حل الأنظمة نحصل على:
س أ = 6؛ xB = -4; س ج = 2.
يا = 4؛ уВ = 2؛ يو = -6.

النقاط A(6; 4) وB(-4; 2) وC(2;-6) هي القمم الضرورية للمثلث.

4. حساب إحداثيات النقاط التي تقسم القطعة بنسبة معينة حسب الإحداثيات المعطاة لنهايات هذه القطعة

مثال 4.

يتم تقسيم القطعة AB على النقطة C بنسبة 3:5 (من النقطة A إلى النقطة B). نهايات القطعة AB هي النقاط A(2;3) وB(10;11). ابحث عن النقطة ج.

حل.

ينص بيان المشكلة على أن xA = 2; xB = 10؛ يا = 3؛ уВ = 11؛ lect = AC/SV = 3/5. ابحث عن C(xC; yC) (الشكل 4).

باستخدام الصيغ xC = (xA + lectxB) / (1 + lect)، yC = (yA + lectyB) / (1 + lect) نحصل على:

xC = (2 + 3/5 10) / (1 + 3/5) = 5 و yC = (3 + 3/5 11) / (1 + 3/5) = 6. وبالتالي، لدينا C( 5; 6).

دعونا تحقق: AC = 3√2، NE = 5√2، LA = AC/SV = 3√2/5√2 = 3/5.

تعليق. تشير شروط المشكلة إلى أن تقسيم القطعة يتم بنسبة معينة من النقطة أ إلى النقطة ب. وإذا لم يتم تحديد ذلك، فسيكون للمشكلة حلان. الحل الثاني: تقسيم القطعة من النقطة B إلى النقطة A.

مثال 5.

يتم تقسيم مقطع معين AB بنسبة 2: 3: 5 (من النقطة A إلى النقطة B)، ونهاياته عبارة عن نقاط بإحداثيات A (-11؛ 1) و B (9؛ 11). أوجد نقاط تقسيم هذا الجزء.

حل.

دعونا نشير إلى نقاط تقسيم القطعة من A إلى B على C وD. وينص بيان المشكلة على ذلك
xA = -11؛ xB = 9; يا = 1؛ yB = 11. ابحث عن C(xC; yC) وD(xD; yD)، إذا كان AC: CD: DB = 2: 3: 5.

تقسم النقطة C القطعة AB بنسبة lect = AC/CB = 2/(3 + 5) = 2/8 = 1/4.

باستخدام الصيغ xC = (xA + lectxB) / (1 + lect)، yC = (yA + lectyB) / (1 + lect) نحصل على:

س ج = (-11 + ¼ 9) / (1 + 1/4) = -7 و ص ج = (1 + ¼ 11) / (1 + 1/4) = 3.

وهكذا، ج(-7؛ 3).

النقطة D هي منتصف القطعة AB. بتطبيق الصيغ xD = (xA + xB)/2, yD = (yA + yB)/2 نجد:

xD = (-11 + 9)/2 = -1، yD = (1 + 11)/2 = 6. هذا يعني أن D له إحداثيات (-1؛ 6).

5. حساب إحداثيات النقاط التي تقسم القطعة إذا تم إعطاء إحداثيات نهايات هذه القطعة وعدد الأجزاء التي قسمت إليها هذه القطعة

مثال 6.

نهايات المقطع هي النقاط A(-8; -5) وB(10;4). ابحث عن النقطتين C وD اللتين تقسمان هذا الجزء إلى ثلاثة أجزاء متساوية.

حل.

من شروط المشكلة يعرف أن xA = -8؛ xB = 10؛ يا = -5؛ yB = 4 و n = 3. أوجد C(xC; yC) وD(xD; yD) (الشكل 5).

دعونا نجد النقطة C. فهي تقسم القطعة AB بنسبة 1 = 1/2. نقسم من النقطة A إلى النقطة B. باستخدام الصيغ xC = (xA + lectxB) / (1 + lect)، yC = (yA + lectyB) / (1 + lect) لدينا:

xC = (-8 + ½ 10) / (1 + 1/2) = -2 وyC = (-5 + ½ 4) / (1 + 1/2) = -2. وبالتالي، C(-2؛ -2).

يتم تقسيم الجزء CB بنسبة 1: 1، لذلك نستخدم الصيغ

xD = (xA + xB)/2، yD = (yA + yB)/2:

xD = (-2 + 10)/2 = 4، yD = (-2 + 4)/2 = 1. وبالتالي، D(4; 1).

نقاط التقسيم C(-2; -2) وD(4; 1).

ملحوظة: يمكن العثور على النقطة D عن طريق قسمة القطعة AB بنسبة 2: 1. في هذه الحالة، سيكون من الضروري تطبيق الصيغ مرة أخرى xD = (xA + lectxB) / (1 + lect)، yD = (yA) + yB) / (1 + ).

مثال 7.

النقطتان A(5; -6) وB(-5; 9) هي نهايات المقطع. أوجد النقاط التي ستقسم القطعة المعطاة إلى خمسة أجزاء متساوية.

حل.

دع نقاط التقسيم المتعاقبة من A إلى B تكون C(xC; yC)، D(xD; yD)، E(xE; yE) وF(xF; yF). شروط المشكلة تقول أن xA = 5؛ xB = -5; يا = -6؛ уВ = 9 و n = 5.

باستخدام الصيغ xC = (xA + lectxB) / (1 + lect)، yC = (yA + lectyB) / (1 + lect) نجد النقطة C. وهي تقسم القطعة AB بنسبة lect = 1/4:

xC = (5 + 1/4 · (-5)) / (1 + 1/4) = 3 و yC = (-6 + 1/4 · 9) / (1 + 1/4) = -3، نحن احصل على تلك النقطة C لها إحداثيات (3؛ -3).

يتم تقسيم الجزء AB على النقطة D بنسبة 2: 3 (أي 2/3 = 2/3)، وبالتالي:

xD = (5 + 2/3 · (-5)) / (1 + 2/3) = 1 و yD = (-6 + 2/3 · 9) / (1 + 2/3) = 0، إذن D (10).

دعونا نجد النقطة E. وهي تقسم القطعة AB بنسبة 2/3 = 2:

XE = (5 + 3/2 · (-5)) / (1 + 3/2) = -1 و yE = (-6 + 3/2 · 9) / (1 + 3/2) = 3. وبالتالي وهكذا، E(-1؛ 3).

تقسم النقطة F القطعة AB بنسبة 4 = 4/1، وبالتالي:

XF = (5 + 4 · (-5)) / (1 + 4) = -3 و yF = (-6 + 4 · 9) / (1 + 4) = 6، F(-3؛ 6).

نقاط التقسيم C(-2; -2); د(4; 1); E(-1; 3) وF(-3; 6).

لا تزال لديك أسئلة؟ لا أعرف كيفية حل مشكلة تقسيم الجزء؟
للحصول على مساعدة من المعلم، قم بالتسجيل.
الدرس الأول مجاني!

موقع الويب، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر.