هذه الصيغةتسمى صيغة حجم الجسم بمساحة المقاطع المتوازية.

مثال. أوجد حجم الشكل الإهليلجيس 2 + ص 2 + ض 2 = 1. أ2ب2ج2

قطع الشكل الناقص بالطائرة، موازية للطائرة Oyz وعلى مسافات منه (-а ≥h ≥а) نحصل على شكل بيضاوي (انظر الشكل 15):

مساحة هذا القطع الناقص هي

S(x) = π قبل الميلاد1

لذلك، وفقا للصيغة (16)، لدينا

حساب مساحة سطح الثورة

دع المنحنى AB يكون رسمًا بيانيًا للدالة y = f (x) ≥ 0، حيث x [a,b] والدالة y = f (x) ومشتقتها y" = f" (x) مستمرة على هذا شريحة.

ثم المساحة S من السطح، تتشكل عن طريق الدورانيتم حساب المنحنى AB حول المحور Ox بواسطة الصيغة

		2π			1 +(ص ′) 2 دكس .

إذا تم إعطاء منحنى AB المعادلات البارامترية x = x (t)، y = y (t)،t 1 ≥t ≥t 2، ثم تأخذ صيغة مساحة سطح الدوران الشكل

S x = 2 π ∫ y (t )(x ′ (t ))2 + (y ′ (t ))2 dt .

مثال أوجد مساحة سطح كرة نصف قطرها R. الحل:

يمكننا أن نفترض أن سطح الكرة يتكون من دوران نصف الدائرة y = R 2 − x 2, - R ≥x ≥R حول محور الثور. وباستخدام الصيغة (19) نجد

			- س
س = 2π		ص 2− س 21 +						دي إكس =
					- س
	- ر

2 π ∫ R2 − x2 + x2 dx= 2 π Rx− R R = 4 π R2 .

-ر

مثال. بالنظر إلى الشكل الدائري x = a (t − sin t)، 0 ≥ ​​t ≥ 2 π. ص = أ (1− التكلفة)،

أوجد مساحة السطح الناتج عن دورانه حول محور الثور. حل:

عندما يدور نصف القوس الدائري حول محور الثور فإن مساحة سطح الدوران تساوي

1 س س

2π π ∫ أ (1− التكلفة )

(أ(1 − كوس t)) 2 + (آسين t) 2 dt=

2π ∫ π أ 2

2 الخطيئة2 ر

2 التكلفة + كوس2

ر + الخطيئة 2 tdt=

4 ب 2

π ∫ الخطيئة2

2 2sin2 t dt = 8π a 2

π ∫ الخطيئة2 ر

سينت

دينار =

= −8 π أ 2 ∫

-كوس

dcos

= − 16 π أ

32πأ

= −16 π أ

0 −

1− 0+

= −16 π أ

1 س س = 32 π أ 2 . لذلك،

64 π أ 2 .

حساب طول قوس منحنى المستوى

إحداثيات مستطيلة

دعونا ندخل قوسًا عندما يزداد عدد روابط الخط المتقطع بشكل غير محدود، ويكون طوله أكبر إحداثيات مستطيلةبالنظر إلى منحنى مسطح AB، معادلته هي y = f(x)، حيث a ≥ x≥ b.

يُفهم طول القوس AB على أنه الحد الذي يميل عنده طول الخط المتقطع المدرج في هذا الارتباط إلى الصفر. دعونا نوضح أنه إذا كانت الدالة y = f(x) ومشتقتها y′ = f′ (x) متصلة على المقطع [a ,b ]، فإن طول المنحنى AB يساوي

إذا كانت معادلة المنحنى AB معطاة في صورة بارامترية

x = x(t) , α ≥ t ≥ β , y= y(t) ,

حيث x (t) و y (t) – وظائف مستمرةمع المشتقات المستمرة و x (α) =a، x (β) =b، ثم يتم العثور على طول l للمنحنى AB بالصيغة

(x ′ (t ))2 + (y ′ (t ))2 dt . = R أركسين

π .

- س

هذا يعني l = 2π R. إذا كانت معادلة الدائرة مكتوبة على الصورة البارامترية = R cost، y = R sint (0 ≥t ≥ 2π )، إذن

	(− Rsin t) 2 + (Rcos t) 2 dt= Rt0 2 π = 2 π R.
ل = ∫

الإحداثيات القطبية

دع المنحنى AB يعطى بالمعادلة في الإحداثيات القطبية r =r (ϕ),α ≥ ϕ ≥ β. لنفترض أن r (ϕ ) و r" (ϕ ) مستمرتان على الفترة [α , β ].

إذا كان في المساواة x = r cosϕ، y = r sinϕ، يربط الإحداثيات القطبية والديكارتية،

تعتبر الزاوية ϕ معلمة، ثم يمكن ضبط المنحنى AB بارامترياليx = r (ϕ) cos ϕ،

ص = ص(ϕ) خطيئةϕ.

بتطبيق الصيغة (15) نحصل على l = ∫ r 2 + r ′ 2 d ϕ .

مثال أوجد طول الشكل القلبي r =a (1 + cosϕ ). حل:

الشكل القلبي r =a (1 + cosϕ) له الشكل الموضح في الشكل 14. وهو متماثل حول المحور القطبي. لنجد نصف طول القلب:

1 لتر =	π∫	(أ (1 + كوس ϕ ))2 + (أ (− خطيئة ϕ ))2 د ϕ =
أ ∫	2 + 2cosϕ د ϕ =أ π ∫		2 2cos2 ϕ د ϕ =
2a π ∫ cosϕ د ϕ = 4a خطيئةϕ

وبالتالي، 1 2 لتر = 4 أ. وهذا يعني ل = 8أ.

إذا تم إعطاء المنحنى بمعادلات بارامترية، فسيتم حساب مساحة السطح التي تم الحصول عليها عن طريق تدوير هذا المنحنى حول المحور بواسطة الصيغة . في هذه الحالة، فإن "اتجاه الرسم" للخط، الذي تم كسر العديد من النسخ فيه في المقالة، غير مبال. ولكن، كما في الفقرة السابقة، من المهم تحديد موقع المنحنى أعلىالمحور السيني - في خلاف ذلكستتولى الوظيفة "المسؤولة عن الألعاب". القيم السلبيةوسيكون عليك وضع علامة الطرح أمام التكامل.

مثال 3

احسب مساحة الكرة التي تم الحصول عليها عن طريق تدوير دائرة حول المحور.

حل: من المقال على المساحة والحجم لخط محدد حدودياأنت تعلم أن المعادلات تحدد دائرة مركزها أصل نصف القطر 3.

حسنًا جسم كروي ، لمن نسي، هذا هو السطح كرة(أو سطح كروي).

نحن نلتزم بمخطط الحل المعمول به. دعونا نجد المشتقات:

دعونا نؤلف جذر "الصيغة" ونبسطه:

وغني عن القول أنه تبين أنها حلوى. تحقق من المقارنة بين كيفية قيام Fichtenholtz بنطح الرؤوس بالمنطقة القطع الناقص للثورة.

وفقا للملاحظة النظرية، فإننا نعتبر نصف الدائرة العلوي. يتم "رسمه" عندما تتغير قيمة المعلمة ضمن الحدود (من السهل رؤية ذلك في هذه الفترة)، وبالتالي:

إجابة:

إذا قمت بحل المشكلة في منظر عام، ثم سيظهر بالضبط صيغة المدرسةمساحة الكرة، حيث هو نصف قطرها.

لقد كانت مهمة بسيطة ومؤلمة، حتى أنني شعرت بالخجل... أقترح عليك إصلاح هذا الخلل =)

مثال 4

احسب مساحة السطح الناتجة عن تدوير القوس الأول للدائري حول المحور.

المهمة إبداعية. حاول استخلاص أو تخمين الصيغة لحساب مساحة السطح التي تم الحصول عليها عن طريق تدوير منحنى حول المحور الإحداثي. وبطبيعة الحال، ينبغي الإشارة مرة أخرى إلى ميزة المعادلات البارامترية - فهي لا تحتاج إلى تعديل بأي شكل من الأشكال؛ ليست هناك حاجة إلى الاهتمام بإيجاد حدود تكامل أخرى.

يمكن الاطلاع على الرسم البياني الدائري على الصفحة المساحة والحجم، إذا تم تحديد الخط حدوديًا. سوف يشبه سطح الدوران... لا أعرف حتى ما الذي يمكنني مقارنته به... بشيء غريب - مستدير الشكل مع انخفاض مدبب في المنتصف. بالنسبة لحالة دوران الشكل الدائري حول محور، يتبادر إلى الذهن على الفور ارتباط - كرة رجبي مستطيلة.

الحل والجواب في نهاية الدرس .

نختتم مراجعتنا الرائعة بالقضية الإحداثيات القطبية. نعم، بالضبط مراجعة، إذا نظرت إلى الكتب المدرسية التحليل الرياضي(Fichtengolts، Bokhan، Piskunov، مؤلفون آخرون)، يمكنك الحصول على عشرات جيدة (أو حتى أكثر من ذلك بكثير) الأمثلة القياسية، ومن الممكن أن تجد المهمة التي تحتاجها.

كيفية حساب مساحة سطح الثورة
إذا تم إعطاء الخط في نظام الإحداثيات القطبية؟

إذا تم إعطاء المنحنى الإحداثيات القطبيةالمعادلة، والدالة لها مشتق مستمر في فترة معينة، ثم يتم حساب مساحة السطح التي تم الحصول عليها عن طريق تدوير هذا المنحنى حول المحور القطبي بالصيغة ، أين هي القيم الزاوية المقابلة لنهايات المنحنى.

وفق الحس الهندسيمشاكل التكامل ، ولا يتم تحقيق ذلك إلا في ظل الشرط (ومن الواضح أنه غير سلبي). ولذلك، فمن الضروري النظر في قيم الزاوية من النطاق، وبعبارة أخرى، يجب أن يكون موجودا المنحنى أعلىالمحور القطبي واستمراريته. وكما ترون، نفس القصة كما في الفقرتين السابقتين.

مثال 5

احسب مساحة السطح الناتج عن دوران الشكل القلبي حول المحور القطبي.

حل: يمكن رؤية الرسم البياني لهذا المنحنى في المثال 6 من الدرس حول نظام الإحداثيات القطبية. الشكل القلبي متماثل حول المحور القطبي، لذلك نعتبر نصفه العلوي في الفاصل الزمني (والذي يرجع في الواقع إلى الملاحظة المذكورة أعلاه).

سوف يشبه سطح الدوران نقطة الهدف.

تقنية الحل قياسية. لنجد المشتقة المتعلقة بـ "phi":

دعونا نؤلف الجذر ونبسطه:

وآمل مع العادية الصيغ المثلثية لم يواجه أحد أي صعوبات.

نحن نستخدم الصيغة:

بينهما ، لذلك: (تحدثت بالتفصيل عن كيفية التخلص من الجذر بشكل صحيح في المقالة طول القوس المنحنى).

إجابة:

مثيرة للاهتمام و مهمة قصيرةل قرار مستقل:

مثال 6

حساب مساحة الحزام الكروي،

ما هو حزام الكرة؟ ضع برتقالة مستديرة غير مقشرة على الطاولة والتقط سكينًا. اصنع اثنين موازيقطع، وبالتالي تقسيم الفاكهة إلى 3 أجزاء من الأحجام التعسفية. الآن خذ المركز، الذي يحتوي على لحم كثير العصير مكشوف على كلا الجانبين. هذا الجسممُسَمًّى طبقة كرويةوالسطح المحيط به (قشر البرتقال) – حزام الكرة.

القراء على دراية الإحداثيات القطبية ، قدمنا ​​​​رسمًا للمشكلة بسهولة: تحدد المعادلة دائرة مركزها عند قطب نصف القطر، منها أشعة قطع أقلقوس. ويدور هذا القوس حول المحور القطبي وبالتالي ينتج حزام كروي.

الآن يمكنك مع ضمير مرتاحوأكل برتقالة بقلب خفيف، سننهي الدرس على هذه الملاحظة اللذيذة، لا تفسد شهيتك بأمثلة أخرى =)

الحلول والأجوبة:

مثال 2:حل : احسب مساحة السطح الناتجة عن دوران الفرع العلوي حول محور الإحداثي السيني. نحن نستخدم الصيغة .
في هذه الحالة: ;

هكذا:


إجابة:

مثال 4:حل : استخدم الصيغة . يتم تعريف القوس الأول للدويري على المقطع .
لنجد المشتقات:

دعونا نؤلف الجذر ونبسطه:

وبالتالي فإن مساحة سطح الدوران هي:

بينهما ، لهذا السبب

التكامل الأولالتكامل بالأجزاء :

في التكامل الثاني نستخدمالصيغة المثلثية .


إجابة:

مثال 6:حل : استخدم الصيغة:


إجابة:

الرياضيات العليا لطلاب المراسلة والمزيد >>>

(اذهب إلى الصفحة الرئيسية)

كيفية حساب التكامل المحدد
باستخدام الصيغة شبه المنحرفة وطريقة سيمبسون؟

الطرق العددية – قسم كبير جدًا الرياضيات العلياوالكتب المدرسية الجادة حول هذا الموضوع يبلغ عددها مئات الصفحات. في الممارسة العملية، في الاختباراتتقليديًا، يُقترح حل بعض المشكلات باستخدام الطرق العددية، وإحدى المشكلات الشائعة هي الحساب التقريبي تكاملات محددة. في هذه المقالة سوف ألقي نظرة على طريقتين لحساب تقريبي للتكامل المحدد - طريقة شبه منحرفو طريقة سمبسون.

ما الذي تحتاج إلى معرفته لإتقان هذه الأساليب؟ قد يبدو الأمر مضحكًا، لكن قد لا تتمكن من أخذ التكاملات على الإطلاق. وأنت لا تفهم حتى ما هي التكاملات. من الوسائل التقنيةسوف تحتاج إلى آلة حاسبة صغيرة. نعم، نعم، الحسابات المدرسية الروتينية تنتظرنا. والأفضل من ذلك، تحميل الألغام آلة حاسبة نصف آلية للطريقة شبه المنحرفة وطريقة سيمبسون. الآلة الحاسبة مكتوبة بلغة Excel وستؤدي إلى تقليل الوقت اللازم لحل المشكلات وإكمالها بعشرات المرات. بالنسبة لدمى Excel، يتم تضمين دليل فيديو! بالمناسبة أول فيديو تسجيل بصوتي.

أولا، دعونا نسأل أنفسنا: لماذا نحتاج إلى حسابات تقريبية على الإطلاق؟ يبدو أنه يمكنك العثور عليه المشتقة العكسية للدالةواستخدم صيغة نيوتن-لايبنيز في الحساب القيمة الدقيقةتكامل محدد. للإجابة على السؤال، دعونا ننظر على الفور إلى مثال تجريبي مع صورة.

حساب التكامل المحدد

كل شيء سيكون على ما يرام، ولكن في هذا المثاللا يمكن أخذ التكامل - أمامك تكامل غير مأخوذ، ما يسمى لوغاريتم متكامل. هل هذا التكامل موجود أصلاً؟ دعونا نرسم في الرسم البياني للدالة التكاملية:

كل شيء على ما يرام. متكامل مستمرعلى القطعة والتكامل المحدد يساوي عدديا المساحة المظللة. هناك مشكلة واحدة فقط: لا يمكن أخذ التكامل. وفي مثل هذه الحالات يأتون للإنقاذ الطرق العددية. وفي هذه الحالة تحدث المشكلة في صيغتين:

1) احسب التكامل المحدد تقريبيا ، تقريب النتيجة إلى منزلة عشرية معينة. على سبيل المثال، ما يصل إلى منزلتين عشريتين، وما يصل إلى ثلاث منازل عشرية، وما إلى ذلك. لنفترض أن الإجابة التقريبية هي 5.347. في الواقع، قد لا يكون صحيحًا تمامًا (في الواقع، على سبيل المثال، الإجابة الأكثر دقة هي 5.343). مهمتنا هي هذا فقطلتقريب النتيجة إلى ثلاث منازل عشرية.

2) احسب التكامل المحدد تقريبًا، بدقة معينة. على سبيل المثال، قم بحساب تكامل محدد تقريبًا بدقة 0.001. ماذا يعني ذلك؟ وهذا يعني أنه إذا كانت الإجابة التقريبية هي 5.347، إذن الجميعيجب أن تكون الأرقام الخرسانة المسلحة صحيح. وبشكل أكثر دقة، يجب أن يختلف الجواب 5.347 عن معامل الحقيقة (في اتجاه أو آخر) بما لا يزيد عن 0.001.

هناك عدة طرق أساسية لحساب تقريبي للتكامل المحدد الذي يحدث في المسائل:

طريقة المستطيل. ينقسم جزء التكامل إلى عدة أجزاء ويتم إنشاء شكل الخطوة ( الرسم البياني) ، وهي قريبة من المنطقة إلى المنطقة المطلوبة:

لا تحكم بدقة من خلال الرسومات، فالدقة ليست مثالية - فهي تساعد فقط على فهم جوهر الأساليب.

في هذا المثال، يتم تقسيم جزء التكامل إلى ثلاثة أجزاء:
. من الواضح أنه كلما زاد تكرار التقسيم (المزيد من المقاطع الوسيطة الأصغر)، زادت الدقة. تعطي طريقة المستطيل تقديرًا تقريبيًا للمساحة، ومن الواضح أنه نادرًا ما يتم العثور عليه عمليًا (أتذكر واحدًا فقط مثال عملي). في هذا الصدد، لن أفكر في طريقة المستطيل، ولن أعطي حتى صيغة بسيطة. ليس لأنني كسول، ولكن بسبب مبدأ الحل الخاص بي: وهو أمر نادر للغاية مشاكل عملية، ثم – لا يعتبر.

طريقة شبه منحرف. الفكرة مشابهة. ينقسم مقطع التكامل إلى عدة أجزاء وسيطة، ويقترب الرسم البياني للدالة التكاملية خط مكسورخط:

وبالتالي، يتم تقريب مساحتنا (التظليل الأزرق) بمجموع مساحات شبه المنحرف (الأحمر). ومن هنا اسم الطريقة. من السهل أن نرى أن طريقة شبه المنحرف تعطي تقريبًا أفضل بكثير من طريقة المستطيل (مع نفس عدد مقاطع القسم). وبطبيعة الحال، كلما زاد حجم المقاطع الوسيطة الأصغر التي نأخذها في الاعتبار، زادت الدقة. تم العثور على طريقة شبه المنحرف من وقت لآخر المهام العملية، وسوف تتناول هذه المقالة عدة أمثلة.

طريقة سيمبسون (طريقة القطع المكافئ). هذه طريقة أكثر تقدمًا - لا يتم تقريب الرسم البياني للتكامل بخط متقطع، بل بقطع مكافئة صغيرة. يوجد عدد من القطع المكافئة الصغيرة بقدر ما توجد شرائح وسيطة. إذا أخذنا نفس الأجزاء الثلاثة، فإن طريقة سيمبسون ستعطي تقريبًا أكثر دقة من طريقة المستطيل أو طريقة شبه المنحرف.

لا أرى أي فائدة في إنشاء رسم، حيث سيتم فرض التقريب البصري على الرسم البياني للوظيفة ( خط مكسور الفقرة السابقة- وكاد أن يتزامن).

تعد مشكلة حساب التكامل المحدد باستخدام صيغة سيمبسون هي المهمة الأكثر شيوعًا في الممارسة العملية. وسوف تحظى طريقة القطع المكافئ باهتمام كبير.

سطح الثورة- سطح يتكون من الدوران حول خط مستقيم (محور السطح) خط تعسفي(منحنى مستقيم أو مسطح أو مكاني). على سبيل المثال، إذا تقاطع خط مستقيم مع محور الدوران، فعند الدوران ستكون النتيجة سطح مخروطي، إذا كان موازيًا للمحور - أسطوانيًا، إذا تم تقاطعه مع المحور - سطح زائد ذو ورقة واحدة للثورة. ويمكن الحصول على نفس السطح عن طريق تدوير مجموعة واسعة من المنحنيات. مساحة سطح الدوران المتكونة من دوران منحنى مستوي ذو طول محدود حول محور يقع في مستوى المنحنى، ولكن لا يتقاطع مع المنحنى، تساوي حاصل ضرب طول المنحنى و طول الدائرة مع نصف القطر، يساوي المسافةمن المحور إلى مركز كتلة المنحنى. تسمى هذه العبارة بنظرية جيلدن الثانية، أو نظرية بابوس المركزية.

يمكن حساب مساحة سطح الثورة الناتجة عن دوران المنحنى حول محور باستخدام الصيغة

بالنسبة للحالة التي يتم فيها تحديد المنحنى في نظام الإحداثيات القطبية، تكون الصيغة صالحة

التطبيقات الميكانيكية تكامل محدد(شغل القوى، العزوم الساكنة، مركز الثقل).

حساب عمل القوى

تتحرك نقطة مادية على طول منحنى قابل للتمييز بشكل مستمر، بينما يتم التأثير عليها بواسطة قوة موجهة بشكل عرضي إلى المسار في اتجاه الحركة. عمل كامل، مصنوعة بالقوة F (ق):

إذا تم وصف موضع نقطة ما على مسار الحركة بواسطة معلمة أخرى، فإن الصيغة تأخذ الشكل:

حساب العزوم الساكنة ومركز الثقل
دع على المستوى الإحداثي Oxy يتم توزيع بعض الكتلة M بكثافة p = p(y) على مجموعة معينة من النقاط S (يمكن أن يكون هذا قوسًا من المنحنى أو شكلًا مسطحًا محددًا). دعونا نشير إلى s(y) - قياس المجموعة المحددة (طول القوس أو المساحة).

التعريف 2. الرقم مُسَمًّى لحظة كالكتلة M نسبة إلى محور الثور.
عند ك = 0 م 0 = م - الكتلة،
ك = 1 م 1 - لحظة ثابتة،
ك = 2 م 2 - لحظة القصور الذاتي.

يتم تقديم اللحظات حول محور أوي بالمثل. في الفضاء، مفاهيم لحظات الكتلة نسبة إلى تنسيق الطائرات.
إذا كانت p = 1، فإن العزوم المقابلة تسمى هندسية. إحداثيات مركز ثقل المتجانس (p - const) شخصية مسطحةيتم تحديدها بواسطة الصيغ:

حيث M 1 y, M 1 x هي العزوم الهندسية الثابتة للشكل نسبة إلى محوري Oy وOx؛ S هي مساحة الشكل.

5. إيجاد مساحة سطح أجسام الثورة

دع المنحنى AB هو الرسم البياني للدالة y = f(x) ≥ 0، حيث x [a; b]، والدالة y = f(x) ومشتقتها y" = f"(x) متصلة على هذا المقطع.

دعونا نوجد المساحة S من السطح المتكون من دوران المنحنى AB حول محور الثور (الشكل 8).

دعونا نطبق المخطط الثاني (الطريقة التفاضلية).

خلال نقطة تعسفيةس [أ؛ ب] رسم الطائرة P، عمودي على المحورأوه. المستوى П يتقاطع مع سطح الدوران في دائرة نصف قطرها y – f(x). الحجم S لسطح جزء شكل الثورة الواقع على يسار المستوى هو دالة لـ x، أي. ق = ق(س) (ق(أ) = 0 و ق(ب) = S).

لنعطي الوسيطة x زيادة Δx = dx. من خلال النقطة x + dx [a؛ ب] نرسم أيضًا مستوى عموديًا على محور الثور. ستتلقى الدالة s = s(x) زيادة قدرها Δs، الموضحة في الشكل على أنها "حزام".

دعونا نجد المساحة التفاضلية ds عن طريق استبدال الشكل المتكون بين الأقسام بمخروط مقطوع، مولده يساوي dl، ونصف قطر القواعد يساوي y و y + dу. مساحة سطحه الجانبي تساوي: = 2ydl + dydl.

رفض المنتج dу d1 باعتباره متناهيًا في الصغر ترتيب أعلىمن ds، نحصل على ds = 2уdl، أو منذ d1 = dx.

بدمج المساواة الناتجة في النطاق من x = a إلى x = b، نحصل على

إذا تم إعطاء المنحنى AB بواسطة المعادلات البارامترية x = x(t)، y = y(t)، t≤ t ≥ t، فإن صيغة مساحة سطح الثورة تأخذ الشكل

س = 2 dt.

مثال: أوجد مساحة سطح كرة نصف قطرها R.

س = 2 =

6. العثور على عمل قوة متغيرة

عمل القوة المتغيرة

يترك نقطة ماديةيتحرك M على طول محور الثور تحت تأثير قوة متغيرة F = F(x) موجهة بالتوازي مع هذا المحور. الشغل الذي تبذله القوة عند تحريك النقطة M من الموضع x = a إلى الموضع x = b (a

ما مقدار الشغل الذي يجب بذله لمد الزنبرك بمقدار 0.05 m إذا كانت قوة مقدارها 100 N تمد الزنبرك بمقدار 0.01 m؟

وفقًا لقانون هوك، فإن القوة المرنة التي تمد الزنبرك تتناسب طرديًا مع هذا التمدد x، أي. F = kx، حيث k هو معامل التناسب. وفقًا لشروط المشكلة، فإن القوة F = 100 N تمد الزنبرك بمقدار x = 0.01 m؛ لذلك، 100 = ك 0.01، حيث ك = 10000؛ وبالتالي، F = 10000x.

الوظيفة المطلوبة حسب الصيغة

أ=

أوجد الشغل الذي يجب بذله لضخ السائل فوق الحافة من خزان أسطواني رأسي ارتفاعه N m ونصف قطر القاعدة R m (الشكل 13).

الشغل المبذول لرفع جسم وزنه p إلى ارتفاع h يساوي p N. لكن طبقات السائل المختلفة في الخزان تكون على أعماق مختلفة وارتفاع الارتفاع (إلى حافة الخزان) مختلف الطبقات ليست هي نفسها.

لحل المشكلة نطبق المخطط الثاني (الطريقة التفاضلية). دعونا نقدم نظام الإحداثيات.

1) العمل المبذول على ضخ طبقة من السائل بسمك x (0 ≥ x ≥ H) من الخزان هو دالة x، أي. A = A(x)، حيث (0 ≥ x ≥ H) (A(0) = 0، A(H) = A 0).

2) ابحث عن الجزء الرئيسي من الزيادة ΔA عندما يتغير x بمقدار Δx = dx، أي. أوجد التفاضلية dA للدالة A(x).

ونظرًا لصغر dx، فإننا نفترض أن طبقة السائل "الأولية" تقع على نفس العمق x (من حافة الخزان). ثم dA = dph، حيث dr هو وزن هذه الطبقة؛ إنه يساوي g АV، حيث g هو تسارع الجاذبية، هو كثافة السائل، dv هو حجم الطبقة "الابتدائية" من السائل (يتم تسليط الضوء عليه في الشكل)، أي. د = ز. من الواضح أن حجم الطبقة السائلة المشار إليها يساوي حيث dx هو ارتفاع الأسطوانة (الطبقة)، وهي مساحة قاعدتها، أي. دي في = .

وهكذا، د = . و

3) بتكامل المساواة الناتجة في المدى من x = 0 إلى x = H نجد

أ

8. حساب التكاملات باستخدام حزمة MathCAD

عند حل بعض المسائل التطبيقية لا بد من استخدام عملية التكامل الرمزي. في هذه الحالة، يمكن أن يكون برنامج MathCad مفيدًا في المرحلة الأولية (من الجيد معرفة الإجابة مسبقًا أو معرفة وجودها) وفي المرحلة النهائية (من الجيد التحقق من النتيجة باستخدام إجابة من مصدر آخر أو حل شخص آخر).

عند حل عدد كبير من المسائل يمكن ملاحظة بعض مميزات حل المسائل باستخدام برنامج MathCad. دعونا نحاول أن نفهم بعدة أمثلة كيفية عمل هذا البرنامج، ونحلل الحلول التي تم الحصول عليها بمساعدته ومقارنة هذه الحلول مع الحلول التي تم الحصول عليها بطرق أخرى.

المشاكل الرئيسية عند استخدام برنامج MathCad هي كما يلي:

أ) يعطي البرنامج الإجابة ليس في شكل وظائف أولية مألوفة، ولكن في شكل وظائف خاصة غير معروفة للجميع؛

ب) في بعض الحالات "يرفض" إعطاء إجابة، على الرغم من وجود حل للمشكلة؛

ج) في بعض الأحيان يكون من المستحيل استخدام النتيجة التي تم الحصول عليها بسبب ضخامة حجمها؛

د) لا يحل المشكلة بشكل كامل ولا يحلل الحل.

ولحل هذه المشاكل لا بد من استغلال نقاط القوة والضعف في البرنامج.

بمساعدته، من السهل والبسيط حساب تكاملات الدوال الكسرية. لذلك، يوصى باستخدام طريقة الاستبدال المتغير، أي. قم بإعداد التكامل للحل مسبقًا. ولهذه الأغراض، يمكن استخدام البدائل التي تمت مناقشتها أعلاه. ويجب أيضًا أن يؤخذ في الاعتبار أنه يجب فحص النتائج التي تم الحصول عليها من أجل تطابق مجالات تعريف الوظيفة الأصلية والنتيجة التي تم الحصول عليها. وبالإضافة إلى ذلك، فإن بعض الحلول التي تم الحصول عليها تتطلب المزيد من البحث.

يحرر برنامج MathCad الطالب أو الباحث من العمل الروتيني، لكنه لا يستطيع تحريره من التحليل الإضافي سواء عند تحديد المشكلة أو عند الحصول على أي نتائج.

تناول هذا البحث الأحكام الأساسية المتعلقة بدراسة تطبيقات التكامل المحدد في مقرر الرياضيات.

– تم إجراء تحليل للأساس النظري لحل التكاملات.

– تم تنظيم المادة وتعميمها.

في عملية استكمال الدورة التدريبية، تم النظر في أمثلة للمشكلات العملية في مجال الفيزياء والهندسة والميكانيكا.

خاتمة

إن أمثلة المشكلات العملية التي تمت مناقشتها أعلاه تعطينا فكرة واضحة عن أهمية التكامل المحدد لقابلية حلها.

من الصعب تسمية مجال علمي لا تستخدم فيه طرق حساب التكامل بشكل عام، وخصائص التكامل المحدد بشكل خاص. لذلك، في عملية استكمال الدورة التدريبية، قمنا بدراسة أمثلة للمشكلات العملية في مجال الفيزياء والهندسة والميكانيكا والبيولوجيا والاقتصاد. بالطبع، هذه ليست قائمة شاملة للعلوم التي تستخدم الطريقة التكاملية للبحث عن قيمة ثابتة عند حل مشكلة معينة وإثبات الحقائق النظرية.

يستخدم التكامل المحدد أيضًا لدراسة الرياضيات نفسها. على سبيل المثال، عند حل المعادلات التفاضلية، والتي بدورها تقدم مساهمة لا غنى عنها في حل المسائل العملية. يمكننا القول أن التكامل المحدد هو أساس معين لدراسة الرياضيات. ومن هنا أهمية معرفة كيفية حلها.

ومن كل ما سبق يتضح لماذا يتم التعرف على التكامل المحدد في إطار المدرسة الثانوية، حيث لا يدرس الطلاب مفهوم التكامل وخصائصه فحسب، بل يدرسون أيضًا بعض تطبيقاته.

الأدب

1. فولكوف إ. الطرق العددية. م.، ناوكا، 1988.

2. بيسكونوف إن إس. حساب التفاضل والتكامل. م.، إنتجرال برس، 2004. ت. 1.

3. شيباتشوف ضد. الرياضيات العليا. م.، الثانوية العامة، 1990.

تحياتي لكم أعزائي طلاب جامعة أرجيمونا!

اليوم سوف نستمر في تعلم كيفية تجسيد الأشياء. آخر مرة قمنا بتدوير الأشكال المسطحة وحصلنا على أجسام ضخمة. بعضها مغري ومفيد للغاية. أعتقد أن الكثير مما يخترعه الساحر يمكن استخدامه في المستقبل.

اليوم سوف نقوم بتدوير المنحنيات. من الواضح أنه بهذه الطريقة يمكننا الحصول على بعض الأشياء ذات الحواف الرفيعة جدًا (مخروط أو زجاجة للجرعات، أو إناء للزهور، أو كأس للمشروبات، وما إلى ذلك)، لأن المنحنى الدوار يمكن أن يخلق هذا النوع من الأشياء بالضبط. بمعنى آخر، من خلال تدوير المنحنى يمكننا الحصول على نوع من السطح - مغلقًا من جميع الجوانب أم لا. لماذا أتذكر الآن الكأس المتسربة التي كان يشرب منها السير شورف لونلي-لوكلي دائمًا.

لذلك سنقوم بإنشاء وعاء به ثقوب ووعاء بدون ثقوب، وحساب مساحة السطح الذي تم إنشاؤه. أعتقد أنها (مساحة السطح بشكل عام) ستكون ضرورية لشيء ما - حسنًا، على الأقل لتطبيق طلاء سحري خاص. من ناحية أخرى، قد تكون هناك حاجة إلى مناطق التحف السحرية لحساب القوى السحرية المطبقة عليها أو أي شيء آخر. سوف نتعلم كيفية العثور عليه، وسوف نجد مكان تطبيقه.

إذن، قطعة من القطع المكافئ يمكن أن تعطينا شكل الوعاء. لنأخذ أبسط y=x 2 على الفترة. يمكن ملاحظة أنه عند تدويره حول محور OY، تحصل على وعاء فقط. لا القاع.

تعويذة حساب مساحة سطح الدوران هي كما يلي:

هنا |ذ| هي المسافة من محور الدوران إلى أي نقطة على المنحنى الذي يدور. كما تعلمون، المسافة عمودية.
الأمر أكثر صعوبة قليلاً مع العنصر الثاني في التعويذة: ds هو قوس التفاضل. هذه الكلمات لا تعطينا شيئًا، فلا نتعب أنفسنا، ولكن لننتقل إلى لغة الصيغ، حيث يظهر هذا التفاضل بوضوح لجميع الحالات المعروفة لدينا:
- نظام الإحداثيات الديكارتية.
- تسجيل المنحنى في شكل حدودي.
- نظام الإحداثيات القطبية.

في حالتنا، المسافة من محور الدوران إلى أي نقطة على المنحنى هي x. نحسب مساحة سطح الوعاء الناتج:

لصنع وعاء بقاع، عليك أن تأخذ قطعة أخرى، ولكن بمنحنى مختلف: على الفاصل الزمني هذا هو الخط y=1.

من الواضح أنه عندما يدور حول محور OY، سيكون قاع الوعاء على شكل دائرة نصف قطرها وحدة. ونحن نعرف كيفية حساب مساحة الدائرة (باستخدام الصيغة pi*r^2. في حالتنا، ستكون مساحة الدائرة مساوية لـ pi)، ولكن دعونا نحسبها باستخدام صيغة جديدة - للتحقق.
المسافة من محور الدوران إلى أي نقطة من هذه القطعة من المنحنى تساوي أيضًا x.

حسنًا، حساباتنا صحيحة، وهذا خبر جيد.

والآن العمل في المنزل.

1. أوجد مساحة السطح التي تم الحصول عليها عن طريق تدوير الخط المتقطع ABC، حيث A=(1; 5)، B=(1; 2)، C=(6; 2)، حول محور OX.
نصيحة. اكتب جميع القطاعات في شكل حدودي.
AB: س = 1، ص = ر، 2 ≥t ≥5
قبل الميلاد: س = ر، ص = 2، 1 ≥t ≥6
بالمناسبة، كيف يبدو العنصر الناتج؟

2. حسنًا، الآن ابتكر شيئًا بنفسك. أعتقد أن ثلاثة عناصر ستكون كافية.