الغرض من الخدمة. تم تصميم الخدمة للعثور على جذور المعادلات f(x) عبر الإنترنت باستخدام طريقة الوتر.

تعليمات. أدخل التعبير F(x)، وانقر فوق "التالي". يتم حفظ الحل الناتج في ملف Word. يتم أيضًا إنشاء قالب الحل في Excel. فيما يلي تعليمات الفيديو.

و(خ) =

البحث في النطاق من قبل
الدقة ξ =
عدد فترات الانقسام، ن =
طريقة لحل المعادلات غير الخطيةطريقة الانقسام طريقة نيوتن (طريقة الظل) طريقة نيوتن المعدلة طريقة الوتر الطريقة المركبة طريقة القسم الذهبي طريقة التكرار طريقة القاطع

قواعد لإدخال وظيفة

أمثلة
≡ س^2/(س+2)
cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
≡ س+(س-1)^(2/3)

دعونا نفكر في طريقة أسرع للعثور على جذر الفترة، بافتراض أن f(a)f(b)<0.
و '''(x)>0 و''(x)<0
f(b)f''(b)>0 f(a)f''(a)>0


الشكل 1 أ 1 ب

دعونا نلقي نظرة على الشكل 1 أ. دعونا نرسم وترًا عبر النقطتين A وB. معادلة وتر
.
عند النقطة x=x 1 , y=0، ونتيجة لذلك نحصل على التقريب الأول للجذر
. (3.8)
التحقق من الشروط
(أ) و(× ١) و(ب)<0,
(ب) و(× 1) و(أ)<0.
إذا تم استيفاء الشرط (أ)، ففي الصيغة (3.8) نستبدل النقطة أ بـ x 1، ونحصل على ذلك

.

بمواصلة هذه العملية، نحصل على التقريب n
. (3.9)
هنا النهاية a متحركة، أي f(x i)f(b)<0. Аналогичная ситуация на рис 2а.
دعونا نفكر في الحالة عندما تكون النهاية a ثابتة.
و ''(خ)<0 f’’(x)>0
و (ب) و '' (ب)<0 f(a)f’’(a)<0


الشكل 2 أ الشكل 2 ب

في الشكل 1ب، يتم تنفيذ 2b f(x i)f(a).<0. Записав уравнение хорды, мы на первом шаге итерационного процесса получим x 1 (см. (3.8)). Здесь выполняется f(x 1)f(a)<0. Затем вводим b 1 =x 1 (в формуле (3.8) точку b заменяем на x 1), получим
.

بمواصلة العملية، نصل إلى الصيغة
. (3.10)
وقف العملية

|س ن – س ن-1 |<ε; ξ≈x n

أرز. 3
في الشكل 3، علامة التغييرات f''(x)، لذلك سيكون كلا الطرفين متحركين.
قبل الانتقال إلى مسألة تقارب العملية التكرارية لطريقة الوتر، نقدم مفهوم الدالة المحدبة.

تعريف.تسمى الدالة المستمرة محدبة (مقعرة) إذا كانت أي نقطتين x 1 ,x 2 تحققان a≥x 1 f(αx 1 + (1-α)x 2) ≥ αf(x 1) + (1-α)f(x 2) - محدب.
f(αx 1 + (1-α)x 2) ≥ αf(x 1) + (1-α)f(x 2) - مقعرة
لوظيفة محدبة f’’(x)≥0.
للحصول على وظيفة مقعرة f’’(x)≥0

النظرية 3.إذا كانت الدالة f(x) محدبة (مقعرة) على القطعة، فعلى أي قطعة الرسم البياني للدالة f(x) لا يقع أعلى (وليس أقل) من الوتر الذي يمر عبر نقاط الرسم البياني ذات الإحداثيات x 1 و x 2.

دليل:

دعونا نفكر في وظيفة محدبة. معادلة الوتر: المرور عبر x 1 و x 2 لها الشكل:
.
خذ بعين الاعتبار النقطة c= αx 1 + (1-α)x 2 ، حيث aО

من ناحية أخرى، من خلال تعريف الدالة المحدبة لدينا f(αx 1 + (1-α)x 2) ≥ αf 1 + (1-α)f 2 ; وبالتالي f(c) ≥ g(c) إلخ.

بالنسبة للدالة المقعرة، يكون الدليل مشابهًا.
سننظر في برهان تقارب العملية التكرارية لحالة الدالة المحدبة (المقعرة).

النظرية 4.دع الدالة المستمرة القابلة للتفاضل مرتين f(x) تعطى ودع f(a)f(b)<0, а f’(x) и f’’(x) сохраняют свои знаки на (см. рис 1а,1б и рис 2а,2б). Тогда итерационный процесс метода хорд сходится к корню ξ с любой наперед заданной точностью ε.
دليل:دعونا نفكر على سبيل المثال في الحالة f(a)f''(a)<0 (см рис 1а и 2а). Из формулы (9) следует, что x n >x n -1 منذ (b-x n -1)>0، و f n -1 /(f b -f n -1)<0. Это справедливо для любого n, то есть получаем возрастающую последовательность чисел
أ×× 0 دعونا الآن نثبت أن جميع التقديرات التقريبية x n< ξ, где ξ - корень. Пусть x n -1 < ξ. Покажем, что x n тоже меньше ξ. Введем
. (3.11)
لدينا
(3.12)
(أي أن قيمة الدالة y(x) عند النقطة x n على الوتر تتزامن مع f(ξ)).
منذ ذلك الحين من (3.12) يتبع
أو
. (3.13)
للتين. 1 أ، لذلك
أو
يعني ذلك الخ (انظر (٣.١١)).
للشكل 2 أ. وبالتالي، من (3.12) نحصل عليها
وسائل
لأن إلخ.
دليل مماثل للشكل 1 ب والشكل 2 ب. وبذلك أثبتنا أن تسلسل الأعداد متقارب.
أ×× 0 أ ξξ هذا يعني أنه لأي ε يمكن تحديد n بحيث يكون |x n - ξ |<ε. Теорема доказана.
تقارب طريقة الوتر خطي مع المعامل .
, (3.14)
حيث m 1 =min|f'(x)|، M 1 =max|f'(x)|.
هذا يتبع من الصيغ التالية. دعونا نفكر في حالة النهاية الثابتة b وf(b)>0.
لدينا من (3.9) . من هنا
. وبالنظر إلى ذلك، يمكننا أن نكتب أو
.
استبدال (ξ-x n -1) في مقام الطرف الأيمن بـ (b-x n -1) مع مراعاة أن (ξ-x n -1)< (b-x n -1), получим وهو ما يحتاج إلى إثبات (انظر عدم المساواة (٣.١٤)).
إن إثبات التقارب في حالة الشكل 3 (f''(x) يغير الإشارة؛ في الحالة العامة، يمكن لكل من f' وf'' تغيير الإشارات) هو أكثر تعقيدًا ولم يتم تقديمه هنا.

في المسائل، حدد عدد الجذور الحقيقية للمعادلة f(x) = 0، وافصل هذه الجذور، وباستخدام طريقة الأوتار والظلال، ابحث عن قيمها التقريبية بدقة 0.001.

دعونا على هذا الجزء فالدالة متصلة، وتأخذ إشارات مختلفة في نهايات القطعة، والمشتقة و "(خ)يحفظ العلامة. اعتمادا على إشارة المشتق الثاني، الحالات التالية لترتيب المنحنى ممكنة (الشكل 1).

أرز. 1.

خوارزمية لحساب الجذر التقريبي باستخدام طريقة الوتر.

البيانات الأولية: و(خ)-وظيفة ; ه- الدقة المطلوبة؛ س 0 - التقريب الأولي.

نتيجة: xpr- الجذر التقريبي للمعادلة و (خ)= 0.

طريقة الحل:

أرز. 2. و "(خ) و ""(x)>0.

دعونا نفكر في القضية متى و "(خ)و و ""(خ)لها نفس العلامات (الشكل 2).

الرسم البياني للوظيفة يمر عبر النقاط أ 0 (أ،و(أ))و ب 0 (ب،و(ب)). الجذر المطلوب للمعادلة (نقطة س*) غير معروف لنا، فسوف يستغرق الأمر نقطة بدلاً من ذلك X 1 تقاطعات الوتر أ 0 في 0 مع محور الإحداثي. ستكون هذه القيمة التقريبية للجذر.

في الهندسة التحليلية، يتم اشتقاق صيغة تحدد معادلة الخط المستقيم الذي يمر عبر نقطتين بإحداثياتهما (×1؛ ص1)و (س2؛ ص2): .

ثم المعادلة الوترية أ 0 في 0 سيتم كتابتها على الشكل : .

دعونا نجد القيمة س = س 1 ، لأي منهم ص = 0: . الآن الجذر على المقطع . دعونا نطبق طريقة الوتر على هذا الجزء. دعونا نرسم وترًا يربط بين النقاط أ 1 (x 1 ،و(خ 1 )) و ب 0 (ب،و(ب))، وسنجد X 2 - نقطة تقاطع الوتر أ 1 في 0 مع المحور أوه: س 2 =س 1 .

وباستمرار هذه العملية نجد

س 3 =س 2 .

نحصل على صيغة متكررة لحساب التقريبات للجذر

س ن+1 =س ن .

في هذه الحالة النهاية بشريحة يبقى بلا حراك والنهاية أالتحركات.

وهكذا نحصل على الصيغ الحسابية لطريقة الوتر:

س ن+1 =س ن ; س 0 =أ. (4)

ويستمر حساب التقريبات المتعاقبة للجذر الدقيق للمعادلة حتى نصل إلى الدقة المحددة، أي. ويجب استيفاء الشرط التالي: |x ن+1 -x ن |< ، أين هي الدقة المحددة.

الآن دعونا نفكر في الحالة التي يكون فيها للمشتقات الأولى والثانية علامات مختلفة، أي. و "(خ) و ""(خ)<0 . (تين. 3).

أرز. 3. التفسير الهندسي لطريقة الوتر للحالة و "(خ) و ""(خ)<0 .

دعونا نربط النقاط أ 0 (أ،و(أ))و ب 0 (ب،و(ب))وتر أ 0 في 0 . نقطة تقاطع الوتر مع المحور أوهسننظر في التقريب الأول للجذر. في هذه الحالة، ستكون النهاية الثابتة للمقطع هي النهاية أ.

معادلة وتر أ 0 في 0 :. من هنا سنجد س 1 ، على افتراض ص = 0: س 1 = ب. الآن جذر المعادلة س. وبتطبيق طريقة الوتر على هذا المقطع نحصل على س 2 =س 1 . الاستمرار، وما إلى ذلك، نحصل على س ن+1 =س ن .

صيغ الحساب للطريقة:

س ن+1 =س ن , س 0 =0 . (5)

شروط استكمال الحسابات: |x ن+1 -x ن |< . ثم xpr = xn+1بدقة لذلك، إذا و "(خ) و ""(x)>0تم العثور على القيمة التقريبية للجذر باستخدام الصيغة (4)، إذا و "(خ) و ""(خ)<0 ثم حسب الصيغة (5).

يتم الاختيار العملي لصيغة أو أخرى باستخدام القاعدة التالية: النهاية الثابتة للقطعة هي تلك التي تتزامن فيها علامة الدالة مع علامة المشتق الثاني.

مثال. وضح تأثير هذه القاعدة باستخدام المعادلة

(x-1)ln(x)-1=0، إذا كان الجزء عزل الجذر .

حل. هنا f(x)=(x-1)ln(x)-1.

و "(x)=ln(x)+;

و ""(خ)=.

المشتق الثاني في هذا المثال موجب على قطعة عزل الجذر : و ""(x)>0, و(3)>0، أي و (ب) و""(x)>0. وبالتالي، عند حل هذه المعادلة بطريقة الوتر، لتوضيح الجذر، نختار الصيغة (4).

var e,c,a,b,y,ya,yb,yn,x,x1,x2,xn,f1,f2:real;

ابدأ e:=0.0001;

writeln("vvedi nachalo otrezka");

writeln("vvedi konec otrezka");

y:=((x-1)*ln(x))-1;

y:=((x-1)*ln(x))-1;

yb:=y; ج:=(أ+ب)/2; س:=ج;

y:=((x-1)*ln(x))-1;

f1:=ln(x) + (x-1)/x ;

f2:= 1/x + 1/(x*x);

إذا (يا*يب< 0) and (f1*f2 > 0)

ثم ابدأ x1:=a; بينما abs(x2 - x) > e افعل

x2:=x1 - (yn*(b-x1))/(yb - yn);

writeln("كورين uravneniya xn = "، x2)

نهاية elsebegin x1:=b;

بينما abs(x2 - x) > e افعل

تبدأ س:=x1; y:=((x-1)*ln(x))-1; ين:=ص;

x2:=x1 - (yn*(x1- a))/(yn - ya);

writeln("koren uravneniya xn = ", x2);

طريقة التكرار البسيطة

خذ بعين الاعتبار المعادلة و(س)=0(١) مع الجذر المنفصل X. لحل المعادلة (1) باستخدام طريقة التكرار البسيطة، قمنا بتبسيطها إلى صيغة مكافئة: س = نهاية الخبر (س). (2)

يمكن القيام بذلك دائمًا وبطرق عديدة. على سبيل المثال:

س=ز(س) و(س) + س ؟ ج(خ)، أين ز(س) - دالة مستمرة عشوائية ليس لها جذور في القطعة .

يترك س (0) - تقريب للجذر الذي تم الحصول عليه بطريقة ما س(في أبسط الحالات س (0) =(أ+ب)/2).تتكون طريقة التكرار البسيطة من حساب شروط تسلسل التكرار بشكل تسلسلي:

س (ك+1) =ts(x (ك) ) ، ك=0، 1، 2، ... (3)

بدءا من الاقتراب س (0) .

بيان: 1 إذا تقارب التسلسل (x (k)) لطريقة التكرار البسيطة وكانت الدالة q مستمرة، فإن حد التسلسل هو جذر المعادلة x = q (x)

الدليل: فليكن. (4)

دعنا ننتقل إلى الحد الأقصى في المساواة س (ك+1) =ts(x (ك) ) من ناحية نستنتج من (4) ذلك ومن ناحية أخرى بسبب استمرارية الدالة نهاية الخبرو (4) .

ونتيجة لذلك نحصل س * =ts(x * ). لذلك، س * - جذر المعادلة (2)، أي. س = س * .

لاستخدام هذا البيان، يجب أن يتقارب التسلسل (x (ك) }. الشرط الكافي للتقارب يعطي:

النظرية 1: (على التقارب) دع المعادلة س = نهاية الخبر (س)له جذر واحد على القطعة و استيفاء الشروط :

• 1) ج(خ)ج 1 ;
• 2) ج(خ) "س؛
• 3) هناك ثابت ف > 0: | ف "(x) | ؟ ف . ثم تسلسل التكرار (x (ك) }, تعطى بواسطة الصيغة س (ك+1) = ف(س (ك) ), ك=0، 1، ...يتقارب عند أي تقريب أولي س (0) .

إثبات: النظر في حدين متجاورين في التسلسل (x (ك) )):x (ك) = ف(س (ك-1) ) و س (ك+1) = ف(س (ك) ) منذ وفقا للشرط 2) س (ك)و س (ك+1)تقع داخل الجزء , وباستخدام نظرية القيمة المتوسطة لاغرانج نحصل على:

س (ك+1) -x (ك) = ف(س (ك) ) - ج(خ (ك-1) ) = ج "(ج ك )(x (ك) -x (ك-1) )، أين سي ك (x (ك-1) ، س (ك) ).

ومن هنا نحصل على:

| س (ك+1) -x (ك) | = | تيسي "(ج ك ) | · | س (ك) -x (ك-1) | ؟ ف | س (ك) -x (ك-1) | ?

؟ ف(ف|س (ك-1) -x (ك-2) |) = ف 2 | س (ك-1) -x (ك-2) | ؟ ...؟ س ك | س (1) -x (0) |. (5)

النظر في هذه السلسلة

س ? = س (0) + (خ (1) -x (0) ) + ... + (خ (ك+1) -x (ك) ) + ... . (6)

وإذا أثبتنا أن هذه المتسلسلة متقاربة، فإن متتابعة مجاميعها الجزئية تتقارب أيضًا

س ك = س (0) + (خ (1) -x (0) ) + ... + (خ (ك) -x (ك-1) ).

ولكن ليس من الصعب حساب ذلك

س ك = س (ك)) . (7)

وبالتالي سنثبت بذلك تقارب تسلسل التكرار (x (ك) }.

ولإثبات تقارب المتسلسلة (6) نقارنها حداً بحد (بدون الحد الأول). س (0) ) مع قريب

س 0 | س (1) -x (0) | +ف 1 |x (1) -x (0) | + ... + |س (1) -x (0) | + ..., (8)

الذي يتقارب باعتباره تقدمًا هندسيًا متناقصًا بشكل لا نهائي (منذ ذلك الحين حسب الشرط س< 1 ). وبحكم المتباينة (5) فإن القيم المطلقة للمتسلسلة (6) لا تتجاوز الحدود المقابلة لها في المتسلسلة المتقاربة (8) (أي أن المتسلسلة (8) تكبر المتسلسلة (6) ولذلك فإن المتسلسلة (6) ) يتقارب أيضًا، وبالتالي يتقارب التسلسل (x (0) }.

نحصل على صيغة تعطي طريقة لتقدير الخطأ |س - س (ك+1) |

طريقة التكرار البسيطة.

X-X (ك+1) = س - س ك+1 = س ? -س ك+1 = (س (ك+2) - (ك+1) ) + (خ (ك+3) -x (ك+2) ) + ... .

لذلك

|س - س (ك+1) | ؟ |x (ك+2) - (ك+1) | + |س (ك+3) -x (ك+2) | + ... ؟ س ك+1 |x (1) -x (0) | +ف ك+2 |x (1) -x (0) | + ... = ف ك+1 |x (1) -x (0) | /(1-ف).

ونتيجة لذلك، نحصل على الصيغة

|س - س (ك+1) | ؟ س ك+1 |x (1) -x (0) | /(1-ف).(9)

أخذ ل س (0) معنى س (ك) , خلف س (1) - معنى س (ك+1)(نظرًا لأن مثل هذا الاختيار ممكن إذا تم استيفاء شروط النظرية) مع مراعاة ذلك بالنسبة للمتباينة س ك+1 ؟ سنحن نخرج:

|س - س (ك+1) | ؟ س ك+1 |x (ك+1) -x (ك) | / (1-ف) ؟ س|س (ك+1) -x (ك) | /(1-ف).

إذن نحصل في النهاية على:

|س - س (ك+1) | ؟ س|س (ك+1) -x (ك) | /(1-ف). (10)

نستخدم هذه الصيغة لاشتقاق المعيار لإنهاء تسلسل التكرار. دع المعادلة س = نهاية الخبر (س)يتم حلها عن طريق التكرار البسيط، ويجب العثور على الإجابة بدقة ه،إنه

|س - س (ك+1) | ؟ ه.

وبأخذ (10) في الاعتبار نجد أن الدقة هسيتم تحقيقها إذا تم استيفاء عدم المساواة

|x (ك+1) -x (ك) | ؟ (1-ف)/ف.(11)

وبالتالي العثور على جذور المعادلة س = نهاية الخبر (س)باستخدام طريقة التكرار البسيط بدقة، من الضروري مواصلة التكرارات حتى يظل معامل الفرق بين آخر التقريبات المجاورة أكبر من الرقم ه(1-ف)/ف.

الملاحظة 1: كقيمة ثابتة q، عادةً ما يأخذ المرء تقديرًا أعلى للكمية

التفسير الهندسي

دعونا نلقي نظرة على الرسم البياني للوظيفة. وهذا يعني أن حل المعادلة هو نقطة التقاطع مع الخط:

الصورة 1.

والتكرار التالي هو الإحداثي x لتقاطع الخط الأفقي المستقيم مع الخط المستقيم.

الشكل 2.

ويبين الشكل بوضوح متطلبات التقارب. كلما اقترب المشتق من 0، كلما تقاربت الخوارزمية بشكل أسرع. اعتمادًا على إشارة المشتقة القريبة من الحل، يمكن إنشاء التقريبات بطرق مختلفة. إذا، فسيتم إنشاء كل تقريب تالي على الجانب الآخر من الجذر:

الشكل 3.

خاتمة

إن مشكلة تحسين جودة الحسابات، كالتناقض بين المطلوب والفعلي، موجودة وستظل موجودة في المستقبل. سيتم تسهيل حلها من خلال تطوير تكنولوجيا المعلومات، والتي تتكون من تحسين أساليب تنظيم عمليات المعلومات وتنفيذها باستخدام أدوات محددة - البيئات ولغات البرمجة.

يمكن اعتبار نتيجة العمل النموذج الوظيفي الذي تم إنشاؤه لإيجاد جذور المعادلة باستخدام طرق التكرار البسيط، نيوتن، الأوتار ونصف القسمة. هذا النموذج قابل للتطبيق على المشاكل الحتمية، أي. الخطأ الحسابي التجريبي الذي يمكن إهماله. يمكن أن يكون النموذج الوظيفي الذي تم إنشاؤه وتنفيذ البرامج الخاص به بمثابة جزء عضوي من حل المشكلات الأكثر تعقيدًا.

بعد إجراء بحث حول موضوع الدورة التدريبية "الطرق العددية. حل المعادلات غير الخطية"، حققت الأهداف المحددة في المقدمة. تمت مناقشة طرق تكرير الجذور بالتفصيل. تم إعطاء عدة أمثلة لكل تعريف ونظرية. لقد تم إثبات جميع النظريات.

أتاح استخدام المصادر المختلفة استكشاف الموضوع بالكامل.

طريقة الوتر (الطريقة المعروفة أيضًا باسم طريقة قاطعة ) إحدى طرق حل المعادلات غير الخطية وتعتمد على التضييق المتسلسل للفاصل الذي يحتوي على الجذر الوحيد للمعادلة. يتم تنفيذ العملية التكرارية حتى يتم تحقيق الدقة المحددة.

على عكس طريقة التقسيم النصفي، تشير طريقة الوتر إلى أن تقسيم الفاصل الزمني قيد النظر لن يتم في منتصفه، ولكن عند نقطة تقاطع الوتر مع محور الإحداثي السيني (المحور X). تجدر الإشارة إلى أن الوتر يُفهم على أنه مقطع مرسوم عبر نقاط الدالة قيد النظر في نهايات الفاصل الزمني قيد النظر. توفر الطريقة قيد النظر إيجاد الجذر بشكل أسرع من طريقة النصفين، بشرط تحديد نفس الفترة قيد النظر.

هندسياً، طريقة الوتر تعادل استبدالها بوتر منحني يمر عبر النقاط و (انظر الشكل 1.).

رسم بياني 1. بناء قطعة (وتر) لوظيفة.

معادلة الخط المستقيم (الوتر) الذي يمر بالنقطتين A و B لها الشكل التالي:

هذه المعادلة هي معادلة نموذجية لوصف الخط المستقيم في نظام الإحداثيات الديكارتية. يتم تحديد ميل المنحنى على طول الإحداثي والإحداثي باستخدام القيم الموجودة في المقام و على التوالي.

بالنسبة لنقطة تقاطع الخط المستقيم مع محور الإحداثي السيني، تعاد كتابة المعادلة المكتوبة أعلاه بالشكل التالي:

كفاصل زمني جديد للمرور عبر العملية التكرارية، نختار واحدًا من الاثنين أو، في نهايتها تأخذ الدالة قيمًا ذات علامات مختلفة. يمكن تحديد العلامات المعاكسة لقيم الدالة في نهايات المقطع بعدة طرق. إحدى هذه الطرق العديدة هي ضرب قيم الدالة في نهايات القطعة وتحديد علامة الضرب من خلال مقارنة نتيجة الضرب بالصفر:

أو .

تنتهي العملية التكرارية لتنقية الجذر عندما تصبح حالة القرب لتقريبين متتاليين أقل من الدقة المحددة، أي.

الصورة 2. شرح تعريف الخطأ الحسابي.

وتجدر الإشارة إلى أن تقارب طريقة الوتر هو خطي، ولكنه أسرع من تقارب طريقة التنصيف.

خوارزمية لإيجاد جذر المعادلة غير الخطية باستخدام طريقة الوتر

1. أوجد فترة عدم اليقين الأولية باستخدام إحدى طرق فصل الجذر. زإعطاء خطأ الحساب (رقم موجب صغير) و خطوة التكرار الأولية () .

2. أوجد نقطة تقاطع الوتر مع محور الإحداثي السيني:

3. من الضروري إيجاد قيمة الدالة عند النقاط و . بعد ذلك، عليك التحقق من شرطين:

إذا تم استيفاء الشرط ، ثم يقع الجذر المطلوب داخل الجزء الأيسر، ؛

إذا تم استيفاء الشرط , ثم يقع الجذر المطلوب داخل الجزء الأيمن قبول , .

ونتيجة لذلك، تم العثور على فترة عدم يقين جديدة، والتي يقع عليها الجذر المطلوب للمعادلة:

4. نقوم بالتحقق من القيمة التقريبية لجذر المعادلة للتأكد من الدقة المحددة، في حالة:

إذا أصبح الفرق بين تقديرين متتاليين أقل من الدقة المحددة، تنتهي عملية التكرار. يتم تحديد القيمة التقريبية للجذر بواسطة الصيغة:

إذا كان الفرق بين تقديرين متتاليين لا يصل إلى الدقة المطلوبة، فمن الضروري مواصلة العملية التكرارية والانتقال إلى الخطوة 2 من الخوارزمية قيد النظر.

مثال على حل المعادلات باستخدام طريقة الوتر

على سبيل المثال، فكر في حل معادلة غير خطية باستخدام طريقة الوتر. يجب العثور على الجذر في النطاق قيد النظر بدقة .

خيار لحل معادلة غير خطية في حزمة البرامجMathCAD.

يتم عرض نتائج الحساب، أي ديناميكيات التغييرات في القيمة التقريبية للجذر، وكذلك أخطاء الحساب اعتمادًا على خطوة التكرار، في شكل رسوم بيانية (انظر الشكل 1).

رسم بياني 1. نتائج الحساب باستخدام طريقة الوتر

لضمان الدقة المحددة عند البحث عن معادلة في نطاق ما، من الضروري إجراء 6 تكرارات. في خطوة التكرار الأخيرة، سيتم تحديد القيمة التقريبية لجذر المعادلة غير الخطية بالقيمة: .

ملحوظة:

تعديل هذه الطريقة هو طريقة الموقف الخاطئ(طريقة الموضع الخاطئ)، والتي تختلف عن الطريقة القاطعة فقط في أنه في كل مرة لا يتم أخذ النقطتين الأخيرتين، ولكن تلك النقاط الموجودة حول الجذر.

تجدر الإشارة إلى أنه إذا أمكن أخذ المشتقة الثانية من دالة غير خطية، فيمكن تبسيط خوارزمية البحث. لنفترض أن المشتقة الثانية تحتفظ بإشارة ثابتة وننظر في حالتين:

حالة 1:

من الشرط الأول يتبين أن الضلع الثابت للقطعة هو الضلعأ.

الحالة رقم 2:

الطرق العددية 1

حل المعادلات غير الخطية 1

بيان المشكلة 1

توطين الجذر 2

4- تحسين الجذر

طرق تكرير الجذور 4

طريقة القسمة النصفية 4

طريقة الوتر 5

طريقة نيوتن (طريقة الظل) 6

التكامل العددي 7

بيان المشكلة 7

طريقة المستطيل 8

طريقة شبه منحرف 9

طريقة القطع المكافئ (صيغة سمبسون) 10

الطرق العددية

من الناحية العملية، في معظم الحالات، ليس من الممكن إيجاد حل دقيق للمشكلة الرياضية التي نشأت. يحدث هذا لأن الحل المطلوب لا يتم التعبير عنه عادةً في وظائف أولية أو وظائف أخرى معروفة. ولذلك، اكتسبت الطرق العددية أهمية كبيرة.

الطرق العددية تعني طرق حل المشكلات التي تتلخص في العمليات الحسابية وبعض العمليات المنطقية على الأرقام. اعتمادًا على مدى تعقيد المهمة، والدقة المحددة، والطريقة المستخدمة، قد يتطلب الأمر عددًا كبيرًا من الإجراءات، وهنا لا يمكنك الاستغناء عن جهاز كمبيوتر عالي السرعة.

الحل الذي يتم الحصول عليه بالطريقة العددية عادة ما يكون تقريبيا، أي أنه يحتوي على بعض الخطأ. مصادر الخطأ في الحل التقريبي للمشكلة هي:

خطأ في طريقة الحل

أخطاء التقريب في العمليات مع الأرقام.

خطأ الطريقة سببهحقيقة أن الطريقة العددية عادة ما تحل مشكلة أخرى أبسط تقارب (تقرب) المشكلة الأصلية. في بعض الحالات، تكون الطريقة العددية هي عملية لا نهاية لها، أيّ في الحديؤدي إلى الحل المطلوب . العملية، التي تمت مقاطعتها في مرحلة ما، تعطي حلاً تقريبيًا.

خطأ التقريبيعتمد على عدد العمليات الحسابية التي يتم إجراؤها في عملية حل المشكلة. يمكن استخدام طرق عددية مختلفة لحل نفس المشكلة. تعتمد الحساسية لأخطاء التقريب بشكل كبير على الطريقة المختارة.

حل المعادلات غير الخطية بيان المشكلة

يعد حل المعادلات غير الخطية ذات المجهول الواحد من المسائل الرياضية المهمة التي تنشأ في مختلف فروع الفيزياء والكيمياء والأحياء وغيرها من مجالات العلوم والتكنولوجيا.

بشكل عام، يمكن كتابة معادلة غير خطية ذات مجهول واحد:

F(س) = 0 ,

أين F(س) - بعض الوظائف المستمرة للوسيطة س.

أي رقم س 0 ، الذي F(س 0 ) ≡ 0، يسمى جذر المعادلة F(س) = 0.

وتنقسم طرق حل المعادلات غير الخطية إلى مستقيم(تحليلي ودقيق) و ترابطي. تتيح لك الطرق المباشرة كتابة الحل في شكل علاقة معينة (صيغة). وفي هذه الحالة يمكن حساب قيم الجذور باستخدام هذه الصيغة في عدد محدود من العمليات الحسابية. وقد تم تطوير طرق مماثلة لحل المعادلات المثلثية واللوغاريتمية والأسية وكذلك المعادلات الجبرية البسيطة.

ومع ذلك، فإن الغالبية العظمى من المعادلات غير الخطية التي تتم مواجهتها عمليًا لا يمكن حلها بالطرق المباشرة. حتى بالنسبة للمعادلة الجبرية الأعلى من الدرجة الرابعة، لا يمكن الحصول على حل تحليلي على شكل صيغة ذات عدد محدود من العمليات الحسابية. وفي جميع هذه الحالات، من الضروري اللجوء إلى الأساليب العددية التي تتيح الحصول على قيم تقريبية للجذور بأي دقة معينة.

وبالمنهج العددي تنقسم مشكلة حل المعادلات غير الخطية إلى مرحلتين: الموقع(انفصال) الجذور، أي. العثور على مثل هذه القطاعات على المحور س، حيث يوجد جذر واحد، و توضيح الجذور، أي. حساب القيم التقريبية للجذور بدقة معينة.

توطين الجذور

للفصل بين جذور المعادلة F(س) = 0، فمن الضروري أن يكون هناك معيار يجعل من الممكن التحقق من ذلك، أولاً، على المقطع قيد النظر [ أ,ب] هناك جذر، وثانيًا، أن هذا الجذر هو الوحيد في المقطع المشار إليه.

إذا كانت الوظيفة F(س) مستمرة على الفترة [ أ,ب]، وفي نهايات المقطع يكون لقيمه علامات مختلفة، أي.

F(أ)  F(ب) < 0 ,

إذن هناك جذر واحد على الأقل في هذا الجزء.

الشكل 1. فصل الجذور. وظيفة F(س) ليست رتيبة في الفاصل الزمني [ أ,ب].

وهذا الشرط، كما يتبين من الشكل (1)، لا يضمن فرادة الجذر. شرط إضافي كاف يضمن تفرد الجذر على المقطع [ أ,ب] هو شرط أن تكون الوظيفة رتيبة في هذه الفترة. كدليل على رتابة الدالة، يمكننا استخدام شرط ثبات إشارة المشتقة الأولى F′( س) .

وبالتالي، إذا كان في الفاصل الزمني [ أ,ب] الدالة مستمرة ورتيبة، وقيمها في نهايات القطعة لها إشارات مختلفة، إذن هناك جذر واحد فقط على القطعة قيد النظر.

باستخدام هذا المعيار، يمكنك فصل الجذور تحليليطريقة إيجاد فترات رتابة الوظيفة.

يمكن إجراء فصل الجذر بيانيا، إذا كان من الممكن إنشاء رسم بياني للوظيفة ذ=F(س) . على سبيل المثال، يوضح الرسم البياني للدالة في الشكل (1) أن هذه الدالة على فترة يمكن تقسيمها إلى ثلاث فترات رتابة وعلى هذه الفترة لها ثلاثة جذور.

ويمكن أيضا أن يتم فصل الجذر مجدولطريق. لنفترض أن جميع جذور المعادلة (2.1) التي تهمنا تقع في الفترة [ أ، ب]. يمكن اختيار هذا الجزء (فاصل البحث الجذري)، على سبيل المثال، بناءً على تحليل مشكلة فيزيائية معينة أو مشكلة أخرى.

أرز. 2. الطريقة الجدولية لتوطين الجذر.

سوف نقوم بحساب القيم F(س) ابتداء من هذه النقطة س=أ، والانتقال إلى اليمين مع بعض الخطوات ح(الصورة 2). بمجرد اكتشاف زوج من القيم المجاورة F(س) لها علامات مختلفة، وبالتالي فإن القيم المقابلة للوسيطة سيمكن اعتبار حدود الجزء الذي يحتوي على الجذر.

تعتمد موثوقية الطريقة الجدولية لفصل جذور المعادلات على طبيعة الوظيفة F(س) وعلى حجم الخطوة المحدد ح. في الواقع، إذا كان لقيمة صغيرة بما فيه الكفاية ح(ح<<|ب−أ|) على حدود المقطع الحالي [ س، س+ح] وظيفة F(س) تأخذ قيما لنفس الإشارة فمن الطبيعي أن نتوقع أن تكون المعادلة F(س) = 0 ليس له جذور في هذا الجزء. ومع ذلك، هذا ليس هو الحال دائمًا: إذا لم يتم استيفاء شرط رتابة الوظيفة F(س) على الجزء [ س، س+ح] قد يتبين أنها جذور المعادلة (الشكل 3 أ).

الشكل 3 أ الشكل 3 ب

هناك أيضًا عدة جذور في المقطع [ س، س+ح] قد يظهر أيضًا في حالة استيفاء الشرط F(س)  F(س+ ح) < 0 (الشكل 3 ب). توقع مثل هذه المواقف، يجب عليك اختيار قيم صغيرة إلى حد ما ح.

من خلال فصل الجذور بهذه الطريقة، نحصل بشكل أساسي على قيمها التقريبية حتى الخطوة المحددة. لذلك، على سبيل المثال، إذا أخذنا منتصف مقطع التعريب كقيمة تقريبية للجذر، فإن الخطأ المطلق لهذه القيمة لن يتجاوز نصف خطوة البحث ( ح/2). ومن خلال تقليل الخطوة في محيط كل جذر، من الممكن، من حيث المبدأ، زيادة دقة فصل الجذر إلى أي قيمة محددة مسبقًا. ومع ذلك، فإن هذه الطريقة تتطلب قدرا كبيرا من الحسابات. لذلك، عند إجراء تجارب عددية مع معلمات مختلفة للمشكلة، عندما يكون من الضروري البحث بشكل متكرر عن الجذور، فإن هذه الطريقة غير مناسبة لتحسين الجذور وتستخدم فقط لفصل (توطين) الجذور، أي. تحديد التقريبات الأولية لهم. يتم تنفيذ عملية صقل الجذر باستخدام طرق أخرى أكثر اقتصادا.

طريقة التكرار

طريقة التكرار البسيطة للمعادلة F(س) = 0 كما يلي:

1) يتم تحويل المعادلة الأصلية إلى شكل مناسب للتكرارات:

س = φ (X). (2.2)

2) حدد التقريب الأولي X 0 وحساب التقديرات اللاحقة باستخدام الصيغة التكرارية
س ك = φ (س ك -1), ك =1,2, ... (2.3)

إذا كان هناك حد لتسلسل التكرار، فهو جذر المعادلة F(س) = 0، أي F(ξ ) =0.

ذ = φ (X)

فأس 0 س 1 س 2 ξ ب

أرز. 2. عملية التكرار المتقاربة

في التين. يوضح الشكل 2 عملية الحصول على التقريب التالي باستخدام طريقة التكرار. تسلسل التقريبات يتقارب إلى الجذر ξ .

يتم إعطاء الأساس النظري لتطبيق طريقة التكرار من خلال النظرية التالية.

نظرية 2.3. ولتتحقق الشروط:

1) جذر المعادلة X= φ(س)ينتمي إلى الجزء [ أ, ب];

2) جميع قيم الوظائف φ (X) تنتمي إلى الجزء [ أ, ب]،ت. ه. أ ≤ φ (X)≤ب;

3) يوجد مثل هذا الرقم الإيجابي س< 1، ما هو المشتق φ "(س) في جميع نقاط الجزء [ أ, ب] يرضي عدم المساواة | φ "(س) | ≤ س.

1) تسلسل التكرار س ن= φ (س ع- 1)(ن = 1، 2، 3، ...) يتقارب لأي س 0 Î [ أ, ب];

2) نهاية تسلسل التكرار هي جذر المعادلة

س = φ(س)، أي إذا س ك= ξ، ثم ξ= φ (ξ);

3) أن المتباينة التي تميز معدل تقارب تسلسل التكرار صحيحة

| ξ -س ك | ≤ (ب-أ)×ف ك .(2.4)

من الواضح أن هذه النظرية تضع شروطًا صارمة جدًا يجب التحقق منها قبل تطبيق طريقة التكرار. إذا كانت مشتقة الدالة φ (س) أكبر من واحد في القيمة المطلقة، فإن عملية التكرار تتباعد (الشكل 3).

ذ = φ (س) ذ = س

أرز. 3. عملية التكرار المتباينة

كشرط لتقارب الأساليب التكرارية، عدم المساواة

|x ك - س ك - 1 | ≤ ε . (2.5)

طريقة الوترهو استبدال المنحنى في = F(س) قطعة خطية تمر عبر النقاط ( أ, F(أ)) و ( ب, F(ب)) أرز. 4). الإحداثي الإحداثي لنقطة تقاطع الخط مع المحور أوهيؤخذ على أنه النهج التالي.

للحصول على الصيغة الحسابية لطريقة الوتر نكتب معادلة الخط المستقيم المار بالنقاط ( أ, F(أ)) و ( ب, F(ب)) ومساواة فيإلى الصفر، سوف نجد X:

Þ

خوارزمية طريقة الوتر :

1) دع ك = 0;

2) حساب رقم التكرار التالي: ك = ك + 1.

دعونا نجد التالي ك-التقريب باستخدام الصيغة:

س ك= أ- F(أ)(ب - أ)/(F(ب) - F(أ)).

دعونا نحسب F(س ك);

3) إذا F(س ك)= 0 (تم العثور على الجذر)، ثم انتقل إلى الخطوة 5.

لو F(س ك) × F(ب)>0، ثم ب= س ك، خلاف ذلك أ = س ك;

4) إذا |x ك – س ك -1 | > ε ، ثم انتقل إلى الخطوة 2؛

5) عرض قيمة الجذر س ك ;

تعليق. إجراءات الفقرة الثالثة تشبه إجراءات طريقة القسمة على النصف. ومع ذلك، في طريقة الوتر، في كل خطوة، يمكن إزاحة نفس نهاية المقطع (اليمين أو اليسار) إذا كان الرسم البياني للوظيفة في حي الجذر محدبًا لأعلى (الشكل 4، أ) أو مقعرة للأسفل (الشكل 4، ب).ولذلك يستخدم الفرق بين التقريبات المتجاورة في معيار التقارب.

أرز. 4. طريقة الوتر

4. طريقة نيوتن(الظلال)

لنتمكن من إيجاد القيمة التقريبية لجذر المعادلة F(س) = 0، وتدل عليه س ن.صيغة الحساب طريقة نيوتنلتحديد النهج التالي س نيمكن الحصول على +1 بطريقتين.

الطريقة الأولى تعبر عن المعنى الهندسي طريقة نيوتنويتكون من حقيقة أنه بدلاً من نقطة التقاطع في الرسم البياني للوظيفة في= F(س) مع المحور أوهأبحث عن نقطة التقاطع مع المحور أوهالمماس المرسوم على الرسم البياني للوظيفة عند النقطة ( س ن,F(س ن))، كما يظهر في الشكل. 5. معادلة الظل لها الشكل ذ - و(س ن)= F"(س ن)(س- س ن).

أرز. 5. طريقة نيوتن (الظلال)

عند نقطة تقاطع المماس مع المحور أوهعامل في= 0. المعادلة فيإلى الصفر، ونحن نعرب Xونحصل على الصيغة طريقة الظل :

(2.6)

الطريقة الثانية: توسيع الوظيفة F(س) في سلسلة تايلور بالقرب من نقطة ما س = س ن:

دعونا نقتصر على المصطلحات الخطية فيما يتعلق بـ ( X- س ن)، مضبوطًا على الصفر F(س) والتعبير عن المجهول من المعادلة الناتجة X، مما يدل على ذلك س ن+1 نحصل على الصيغة (2.6).

ولنقدم الشروط الكافية لتقارب طريقة نيوتن.

نظرية 2.4. دع على المقطع [ أ, ب] استيفاء الشروط:

1) الوظيفة F(س) ومشتقاته F"(X)و F ""(س)مستمر؛

2) المشتقات F"(خ) و F""(س) تختلف عن الصفر وتحتفظ ببعض العلامات الثابتة؛

3) F(أ)×ف(ب) < 0 (وظيفة F(س)علامة التغييرات على المقطع).
ثم هناك مقطع [ α , β ]، يحتوي على الجذر المطلوب للمعادلة F(س) = 0، حيث يتقارب تسلسل التكرار (2.6). إذا كان بمثابة تقريب الصفر X 0 حدد تلك النقطة الحدودية [ α , β ]، حيث تتطابق إشارة الدالة مع إشارة المشتق الثاني،

أولئك. F(س 0)× F"(س 0)>0، فإن تسلسل التكرار يتقارب بشكل رتيب

تعليق. لاحظ أن طريقة الوتر تأتي من الاتجاه المعاكس، وكلا الطريقتين يمكن أن يكمل كل منهما الآخر. الجمع ممكن أيضا طريقة وتر الظل.

5. طريقة قاطعة

يمكن الحصول على طريقة القاطع من طريقة نيوتن عن طريق استبدال المشتق بتعبير تقريبي - صيغة الفرق:

, ,

. (2.7)

تستخدم الصيغة (2.7) تقديرين تقريبيين سابقين س نو س ن - 1. لذلك، لتقريب أولي معين X 0 فمن الضروري لحساب التقريب التالي س 1 , على سبيل المثال، بطريقة نيوتن مع الاستبدال التقريبي للمشتق وفقًا للصيغة

,

خوارزمية الطريقة القاطعة:

1) تم تعيين القيمة الأولية X 0 والخطأ ε . دعونا نحسب

;

2) ل ن = 1، 2، ... مع تحقق الشرط | س ن – س ن -1 | > ε احسب س ن+ 1 حسب الصيغة (2.7).