الزاوية متعددة السطوح هي شكل مركب. مفهوم الزاوية متعددة السطوح

الشكل الذي يتكون من ثلاثة أشعة تنبثق من نقطة واحدة O ولا تقع في نفس المستوى، وثلاثة أجزاء من المستويات المحصورة بين هذه الأشعة، يسمى زاوية ثلاثية السطوح (الشكل 352).

تسمى النقطة O قمة الزاوية، والأشعة a، b، c هي حوافها وأجزاء المستويات. الوجوه هي زوايا مستوية، وتسمى أيضًا الزوايا المستوية لزاوية ثلاثية السطوح معينة. تسمى الزوايا الموجودة بين الوجوه المسطحة زوايا ثنائية السطوح لزاوية ثلاثية السطوح معينة.

النظرية 1. في الزاوية ثلاثية السطوح، تكون كل زاوية مستوية أقل من مجموع الزاويتين الأخريين.

دليل. يكفي إثبات نظرية أكبر الزوايا المستوية. دع أكبر زاوية مستوية للزاوية ثلاثية السطوح في الشكل. 353. دعونا نبني زاوية في المستوى مساوية للزاوية التي يمر ضلعها ب داخل الزاوية (أكبر زوايا المستوى!).

دعونا نضع على الخطوط ج و ب أي شرائح متساويةدعونا نرسم مستوى عشوائيًا عبر النقاط، التي تتقاطع مع الشعاعين a وb عند النقطتين N وM، على التوالي.

المثلثات متساوية كما لها زوايا متساويةالمبرمة بين طرفين متساويين. دعونا نبين أن الزاوية التي لها قمة الرأس O أكبر من الزاوية التي لها نفس الرأس في . في الواقع، هذه الزوايا موجودة بين الأزواج جوانب متساوية، الضلع الثالث أكبر في المثلث

وهذا يدل على أن مجموع زاويتين في المستوى أكبر من زاوية المستوى الثالث، وهو ما يحتاج إلى إثبات.

النظرية 2. مجموع زوايا المستوى لزاوية ثلاثية السطوح أقل من أربع زوايا قائمة.

دليل. لنأخذ ثلاث نقاط A وB وC على حواف الزاوية ثلاثية السطوح ونرسم من خلالها مستوى القطع، كما هو موضح في الشكل. 354. مجموع زوايا المثلث ABC يساوي لذلك، مجموع الزوايا الست OAC، OAB، OCA، OCB، OBC، OVA أكبر مما هو عليه في النظرية السابقة. لكن مجموع زوايا المثلثات الثلاثة OAB، OBC، OCA في وجوه زاوية ثلاثية السطوح يساوي . وبذلك يبقى نصيب الزوايا المسطحة من الزاوية الثلاثية أقل من أربعة خطوط مستقيمة: . يمكن أن يكون هذا المجموع صغيرًا بشكل تعسفي ("برج ثلاثي السطوح") أو قريبًا بشكل تعسفي إذا قمنا بتقليل ارتفاع هرم SABC في الشكل 1. 355، مع الحفاظ على قاعدتها، فإن مجموع زوايا المستوى عند الرأس S سوف يميل إلى ذلك

مجموع زوايا ثنائي السطوح لزاوية ثلاثية السطوح له أيضًا حدود. من الواضح أن كل زاوية من الزوايا ثنائية السطوح وبالتالي مجموعها أقل من . لنفس الهرم في الشكل. 355 يقترب هذا المجموع من نهايته مع انخفاض ارتفاع الهرم ويمكن أيضًا إثبات أن هذا المجموع دائمًا، على الرغم من أنه يمكن أن يختلف قليلاً حسب الرغبة.

وبالتالي، بالنسبة للزوايا المستوية وثنائية السطوح لزاوية ثلاثية السطوح، فإن المتباينات التالية تحمل:

هناك تشابه كبير بين هندسة المثلث على المستوى وهندسة الزاوية ثلاثية السطوح. في هذه الحالة يمكن إجراء تشبيه بين زوايا المثلث والزوايا ثنائية السطوح لزاوية ثلاثية السطوح من ناحية، وبين أضلاع المثلث والزوايا المسطحة لزاوية ثلاثية السطوح من ناحية أخرى. على سبيل المثال، مع الاستبدال المشار إليه للمفاهيم، تظل نظرية مساواة المثلثات صالحة. دعونا نقدم الصيغ المقابلة بالتوازي:

ومع ذلك، فإن زاويتين ثلاثيتي السطوح تكون زاويتا ثنائي السطوح المتقابلتين متساويتين. وفي الوقت نفسه، المثلثان اللذان تتساوى زواياهما على التوالي متشابهان، لكن ليسا بالضرورة متساويين. بالنسبة للزوايا ثلاثية السطوح، وكذلك للمثلثات، يتم طرح مهمة حل زاوية ثلاثية السطوح، أي مهمة العثور على بعض عناصرها من عناصر أخرى معينة. دعونا نعطي مثالا على هذه المهمة.

مهمة. يتم إعطاء الزوايا المستوية لزاوية ثلاثية السطوح. أوجد زواياه ثنائية السطوح.

حل. دعونا نضع قطعة على الحافة a ونرسم مقطعًا عاديًا ABC للزاوية ثنائية السطوح a. من المثلث الأيمن OAV نجد لدينا أيضا

بالنسبة إلى BC نجد من خلال نظرية جيب التمام المطبقة على المثلث BAC (للإيجاز نشير إلى زوايا المستوى ببساطة مثل ab، ac، bc، زوايا ثنائية السطوح - a، b، c)

الآن نطبق نظرية جيب التمام على المثلث BOC:

من هنا نجد

وبالمثل

باستخدام هذه الصيغ، يمكنك العثور على زوايا ثنائية السطوح، بمعرفة الزوايا المستوية. دعونا نلاحظ، دون دليل، العلاقة الرائعة

تسمى نظرية الجيب.

ليس من الصعب الحصول على تفسير للتشابه العميق بين هندسة الزاوية ثلاثية السطوح وهندسة المثلث إذا قمنا بتنفيذ البناء التالي. دعونا نضع مركز كرة نصف قطرها الوحدة عند قمة الزاوية ثلاثية السطوح O (الشكل 357).

ثم تتقاطع الحواف مع سطح الكرة عند ثلاث نقاط أ، ب، ج، وستقطع حواف الزاوية أقواسًا على الكرة دوائر كبيرةأس، أب، ق.م. يتشكل الشكل ABC على الكرة، ويسمى المثلث الكروي. يتم قياس الأقواس ("جوانب" المثلث) بواسطة الزوايا المستوية للزاوية ثلاثية السطوح، والزوايا عند القمم هي الزوايا المستوية للزوايا ثنائية السطوح. ولذلك فإن حل الزوايا الثلاثية ليس سوى حل المثلثات الكروية، وهو موضوع علم المثلثات الكروية. العلاقات (243.1) و (243.2) هي من العلاقات الأساسية في علم المثلثات الكروية. علم المثلثات الكرويةلديه مهملعلم الفلك. وبالتالي فإن نظرية الزوايا الثلاثية السطوح هي نظرية المثلثات الكروية وبالتالي فهي تشبه في كثير من النواحي نظرية المثلث الموجود على المستوى. الفرق بين هذه النظريات هو: 1) في المثلث الكروي، يتم قياس الزوايا والأضلاع بالقياس الزاوي، لذلك، على سبيل المثال، في نظرية الجيب لا تظهر الجوانب، بل جيوب الجوانب AB ، أس، قبل الميلاد؛

زاوية متعددة السطوح

جزء من الفضاء محدود بتجويف واحد متعدد السطوح سطح مخروطي، اتجاهه مضلع مسطح بدون تقاطعات ذاتية. وتسمى وجوه هذا السطح بأوجه الفسيفساء، ويسمى الجزء العلوي بأعلى الفسيفساء. م.ش. يسمى منتظماً إذا كانت جميع زواياه الخطية وجميع زواياه ثنائية السطوح متساوية. ميروي م.ش. هي المنطقة التي يحدها المضلع الكروي الناتج عن تقاطع وجوه المضلع، وهي كرة نصف قطرها يساوي واحد، ومع المركز في قمة M. y. انظر أيضًا الزاوية الصلبة.

كبير الموسوعة السوفيتية. - م: الموسوعة السوفيتية. 1969-1978 .

انظر ما هي "الزاوية متعددة السطوح" في القواميس الأخرى:

انظر الزاوية الصلبة... كبير القاموس الموسوعي

انظر الزاوية الصلبة. * * * زاوية متعددة السطوح زاوية متعددة السطوح، انظر الزاوية الصلبة (انظر الزاوية الصلبة) ... القاموس الموسوعي

جزء من الفضاء محدود بتجويف واحد لمخروط متعدد السطوح. توجيه السطح إلى سرب من المضلع المسطح بدون تقاطعات ذاتية. تسمى وجوه هذا السطح. حواف M. u.، الجزء العلوي من قمة M. u. تسمى الزاوية متعددة السطوح صحيح... الموسوعة الرياضية

انظر الزاوية الصلبة... العلوم الطبيعية. القاموس الموسوعي

زاوية متعددة السطوح- الرياضيات. جزء من الفضاء تحده عدة مستويات تمر بنقطة واحدة (رأس الزاوية) ... قاموس العديد من التعبيرات

متعددة الأوجه، متعددة الأوجه، متعددة الأوجه (كتاب). 1. وجود عدة أوجه أو جوانب. حجر متعدد الأوجه. زاوية متعددة السطوح (جزء من الفضاء محدود بعدة مستويات تتقاطع عند نقطة واحدة؛ حصيرة.). 2. نقل... ... قاموسأوشاكوفا

- (حصيرة). إذا رسمنا خطوطًا مستقيمة OA و0B من النقطة O على مستوى معين، فسنحصل على الزاوية AOB (الشكل 1). هراء. 1. تم استدعاء النقطة 0 قمة الزاوية، والخطوط المستقيمة OA و0B كأضلاع الزاوية. لنفترض أن الزاويتين ΒΟΑ و Β 1 Ο 1 Α 1 معطاة بحيث ... ...

- (حصيرة). إذا رسمنا خطوطًا مستقيمة OA و0B من النقطة O على مستوى معين، فسنحصل على الزاوية AOB (الشكل 1). هراء. 1. تم استدعاء النقطة 0 قمة الزاوية، والخطوط المستقيمة OA و0B كأضلاع الزاوية. لنفترض أنه تم إعطاء زاويتين ΒΟΑ و Β1Ο1Α1. دعونا نركبها بحيث تكون القمم O... القاموس الموسوعي ف. بروكهاوس وآي. إيفرون

ولهذا المصطلح معاني أخرى، انظر الزاوية (المعاني). الزاوية ∠ البعد ° وحدات SI راديان ... ويكيبيديا

مستوي، الشكل الهندسي، يتكون من شعاعين (جانبي U.) يخرجان من نقطة واحدة (قمة U.). كل حرف U، له قمة في مركز O لدائرة ما (U. المركزية)، يحدد على الدائرة قوسًا AB، يحده... ... الموسوعة السوفيتية الكبرى

الشريحة 1

يُطلق على الشكل الذي يتكون من السطح المحدد وأحد جزأين الفضاء المحدودين به اسم زاوية متعددة السطوح. يُطلق على الرأس المشترك S رأس الزاوية متعددة السطوح. تسمى الأشعة SA1، ...، SAn بحواف الزاوية متعددة السطوح، وتسمى الزوايا المستوية نفسها A1SA2، A2SA3، ...، An-1SAn، AnSA1 بأوجه الزاوية متعددة السطوح. يُشار إلى الزاوية متعددة السطوح بالأحرف SA1...An، مما يشير إلى قمة الرأس والنقاط الواقعة على حوافها. سطح يتكون من مجموعة محدودة من الزوايا المستوية A1SA2، A2SA3، ...، An-1SAn، AnSA1 ذات قمة مشتركة S، حيث لا تحتوي الزوايا المتجاورة على نقاط مشتركة، باستثناء نقاط الشعاع المشترك والزوايا غير المتجاورة. لم يكن لديك النقاط المشتركة، بالإضافة إلى قمة مشتركة، سيتم استدعاؤها سطح متعدد السطوح.

الشريحة 2


اعتمادًا على عدد الوجوه، تكون الزوايا متعددة السطوح ثلاثية السطوح، ورباعية السطوح، وخماسية، وما إلى ذلك.

الشريحة 3

زوايا ثلاثية

نظرية. كل زاوية مستوية لزاوية ثلاثية السطوح أقل من مجموع زاويتيها المستويتين الأخريين. الدليل: النظر في زاوية ثلاثية السطوح SABC. ولتكن أكبر زوايا مستواه هي الزاوية ASC. ثم يتم استيفاء المتباينات ASB ASC

الشريحة 4


ملكية. مجموع زوايا المستوى لزاوية ثلاثية السطوح أقل من 360 درجة. وبالمثل، بالنسبة للزوايا ثلاثية السطوح ذات الرأسين B وC، فإن المتباينات التالية هي: ABC

الشريحة 5

زوايا محدبة متعددة السطوح

تسمى الزاوية متعددة السطوح محدبة إذا كانت كذلك شكل محدب، أي أنه مع أي نقطتين من نقاطه، فإنه يحتوي بالكامل على الجزء الذي يربط بينهما. يوضح الشكل أمثلة على زوايا متعددة السطوح محدبة وغير محدبة. الخاصية: مجموع جميع الزوايا المستوية لزاوية متعددة السطوح المحدبة أقل من 360 درجة. والدليل مشابه لإثبات الخاصية المقابلة لزاوية ثلاثية السطوح.

الشريحة 6

زوايا متعددة السطوح عمودية

توضح الأشكال أمثلة على نظرية الزوايا العمودية ثلاثية السطوح ورباعية السطوح وخماسية السطوح. زوايا عموديةمتساوون.

الشريحة 7

قياس الزوايا متعددة السطوح

نظرًا لأن قيمة درجة الزاوية ثنائية السطوح المتقدمة يتم قياسها بقيمة درجة المقابلة زاوية خطيةوتساوي 180 درجة، فإننا نفترض أن قيمة درجة الفضاء بأكمله، الذي يتكون من زاويتين ثنائي السطوح غير المطويتين، تساوي 360 درجة. حجم الزاوية متعددة السطوح، معبرا عنه بالدرجات، يوضح مقدار المساحة التي تشغلها زاوية متعددة السطوح معينة. على سبيل المثال، زاوية ثلاثية السطوح للمكعب تشغل ثُمن المساحة، وبالتالي فإن قيمة درجتها هي 360°: 8 = 45°. زاوية مثلثيةفي اليمين المنشور n-gonal يساوي النصفزاوية ثنائية السطوح عند الحافة الجانبية. معتبرا أن هذا زاوية ثنائي السطوحمتساوية نجد أن زاوية ثلاثي السطوح للمنشور متساوية.

الشريحة 8

قياس الزوايا المثلثية*

دعونا نشتق صيغة تعبر عن مقدار زاوية ثلاثية السطوح بدلالة زواياها ثنائية السطوح. دعونا نصف كرة وحدة بالقرب من قمة الرأس S للزاوية ثلاثية السطوح ونشير إلى نقاط تقاطع حواف الزاوية ثلاثية السطوح مع هذه الكرة A، B، C. تقسم مستويات وجوه الزاوية ثلاثية السطوح هذه الكرة إلى ستة ديجونات كروية متساوية بشكل زوجي تتوافق مع الزوايا ثنائية السطوح للزاوية ثلاثية السطوح المحددة. كروية المثلث ABCوالمثلث الكروي المتماثل A"B"C" هو تقاطع ثلاثة ديجونات. وبالتالي، فإن ضعف مجموع الزوايا ثنائية السطوح يساوي 360o بالإضافة إلى أربعة أضعاف الزاوية الثلاثية السطوح، أو SA +SB + SC = 180o + 2 سابك.

الشريحة 9

قياس الزوايا متعددة السطوح*

دع SA1… زاوية محدبة ذات أوجه n. بتقسيمها إلى زوايا ثلاثية السطوح، ورسم الأقطار A1A3، ...، A1An-1 وتطبيق الصيغة الناتجة عليها، سيكون لدينا:  SA1 + ... + SAn = 180о(n – 2) + 2SA1… ان. يمكن أيضًا قياس الزوايا متعددة السطوح بالأرقام. في الواقع، ثلاثمائة وستين درجة من كل الفضاء يتوافق مع الرقم 2π. بالانتقال من الدرجات إلى الأرقام في الصيغة الناتجة، سيكون لدينا: SA1+ …+SAn = π(n – 2) + 2SA1…An.

الشريحة 10

التمرين 1

هل يمكن أن تكون هناك زاوية ثلاثية السطوح ذات زوايا مسطحة: أ) 30 درجة، 60 درجة، 20 درجة؛ ب) 45 درجة، 45 درجة، 90 درجة؛ ج) 30°، 45°، 60°؟ الجواب: أ) لا؛ ب) لا؛ ج) نعم.

الشريحة 11

التمرين 2

أعط أمثلة على متعددات الوجوه التي تتقاطع وجوهها عند القمم فقط: أ) زوايا ثلاثية السطوح؛ ب) زوايا رباعي السطوح. ج) الزوايا الخماسية. الجواب: أ) رباعي السطوح، مكعب، اثني عشري؛ ب) المجسم الثماني. ج) عشروني الوجوه.

الشريحة 12

التمرين 3

الزاويتان المستويتان لزاوية ثلاثية السطوح هما 70 درجة و 80 درجة. ما هي حدود زاوية المستوى الثالث؟ الجواب: 10 س

الشريحة 13

التمرين 4

الزوايا المستوية لزاوية ثلاثية السطوح هي 45°، 45° و60°. أوجد الزاوية المحصورة بين مستويات الزوايا المستوية التي مقدارها 45 درجة. الجواب: 90 درجة.

الشريحة 14

التمرين 5

في الزاوية ثلاثية السطوح، زاويتان مستويتان تساويان 45 درجة؛ الزاوية ثنائية السطوح بينهما صحيحة. أوجد زاوية المستوى الثالث. الجواب: 60 س.

الشريحة 15

التمرين 6

الزوايا المستوية لزاوية ثلاثية السطوح هي 60°، 60° و90°. يتم وضع شرائح متساوية OA، OB، OC على حوافها من قمة الرأس. أوجد الزاوية ثنائية السطوح بين مستوى الزاوية 90 درجة والمستوى ABC. الجواب: 90 درجة.

الشريحة 16

التمرين 7

كل زاوية مستوية لزاوية ثلاثية السطوح هي 60 درجة. يفرد من أعلى على أحد حافتيه قطعة طولها 3 سم، ويسقط عمودي من نهايتها على الوجه المقابل. أوجد طول هذا العمودي. الجواب: انظر

الشريحة 17

التمرين 8

يجد موضع النقاط الداخليةزاوية ثلاثية السطوح متساوية البعد عن وجوهها. الجواب: شعاع رأسه رأس زاوية ثلاثية السطوح، يقع على خط تقاطع المستويات التي تقسم الزوايا ثنائية السطوح إلى نصفين.

الشريحة 18

التمرين 9

أوجد موضع النقاط الداخلية لزاوية ثلاثية السطوح متساوية البعد عن حافتيها. الجواب: شعاع رأسه رأس زاوية ثلاثية السطوح، يقع على خط تقاطع المستويات المار بمنصفات الزوايا المستوية و عمودي على الطائراتهذه الزوايا.

الشريحة 19

التمرين 10

بالنسبة للزوايا ثنائية السطوح للرباعي الاسطح لدينا: ، حيث 70o30". بالنسبة للزوايا ثلاثية السطوح للرباعي الاسطح لدينا: 15o45". الإجابة: 15o45". أوجد القيم التقريبية لزوايا ثلاثي السطوح لرباعي السطوح.

الشريحة 20

التمرين 11

أوجد القيم التقريبية لزوايا رباعي السطوح للمجسم الثماني. بالنسبة للزوايا ثنائية السطوح للمجسم الثماني لدينا: ، حيث 109o30". بالنسبة للزوايا الرباعية السطوح للمجسم الثماني لدينا: 38o56". الجواب: 38o56".

الشريحة 21

التمرين 12

أوجد القيم التقريبية للزوايا الخماسية للمجسم العشروني. بالنسبة للزوايا ثنائية السطوح في المجسم العشريني لدينا: ، حيث 138о11". بالنسبة للزوايا الخماسية في المجسم العشريني لدينا: 75о28". الجواب: 75o28".

الشريحة 22

التمرين 13

بالنسبة للزوايا ثنائية السطوح في الاثني عشر وجهًا لدينا: ، حيث 116o34". بالنسبة للزوايا ثلاثية السطوح في الاثني عشر وجهًا لدينا: 84o51". الإجابة: 84o51". أوجد القيم التقريبية لزوايا ثلاثية السطوح في الاثني عشر وجهًا.

الشريحة 23

التمرين 14

في الهرم الرباعي المنتظم SABCD، طول ضلع القاعدة 2 سم، والارتفاع 1 سم. أوجد زاوية رباعي السطوح عند قمة هذا الهرم. الحل: الأهرامات المعطاة تقسم المكعب إلى ستة أهرامات متساوية تكون رؤوسها في وسط المكعب. وبالتالي فإن الزاوية الرباعية في قمة الهرم تساوي سدس الزاوية التي قياسها 360 درجة، أي. يساوي 60 درجة. الجواب: 60 س.

الشريحة 24

التمرين 15

في اليمين الهرم الثلاثي الأضلاع الجانبيةيساوي 1، زوايا الرأس 90 درجة. أوجد الزاوية الثلاثية عند قمة هذا الهرم. الحل: الأهرامات المشار إليها تقسم المجسم الثماني إلى ثمانية أهرامات متساوية تكون رؤوسها في المركز O للمجسم الثماني. وبالتالي فإن الزاوية الثلاثية التي في قمة الهرم تساوي ثمن الزاوية التي قياسها 360 درجة، أي. يساوي 45o. الجواب: 45 س.

الشريحة 25

التمرين 16

في الهرم الثلاثي المنتظم، الحواف الجانبية تساوي ١، والارتفاع أوجد الزاوية الثلاثية عند قمة هذا الهرم. الحل: الأهرامات المشار إليها مكسورة رباعي الاسطح منتظمبأربعة أهرامات متساويةمع القمم في وسط المجسم. وبالتالي فإن الزاوية الثلاثية التي في قمة الهرم تساوي ربع الزاوية التي قياسها 360 درجة، أي. يساوي 90 درجة. الجواب: 90 درجة.

عرض جميع الشرائح

النص النصي للدرس:

في علم القياس، أحد الأشياء التي يتم دراستها هي الزاوية.

الزاوية هي شكل هندسي يتكون من نقطة - رأس الزاوية وشعاعين ينبعثان من هذه النقطة.

تسمى الزاويتان، أحد ضلعيهما مشتركًا والجانبان الآخران استمرارًا لبعضهما البعض، متجاورتين في علم القياس.

يمكن اعتبار البوصلة نموذجًا لزاوية مستوية.

دعونا نتذكر مفهوم الزاوية ثنائية السطوح.

هذا شكل يتكون من خط مستقيم أ ونصف مستويين ج الحدود المشتركةوعدم الانتماء إلى نفس المستوى في الهندسة يسمى زاوية ثنائية السطوح. أنصاف المستويات هي وجوه زاوية ثنائية السطوح. الخط المستقيم a هو حافة زاوية ثنائية السطوح.

يوضح سقف المنزل بوضوح زاوية ثنائي السطوح.

لكن سقف المنزل في الشكل الثاني مصنوع على شكل شكل مكون من ستة زوايا مسطحة ذات قمة مشتركة بحيث تؤخذ الزوايا عند بترتيب معينوكل زوج من الزوايا المتجاورة، بما في ذلك الأولى والأخيرة، له الجانب المشترك. ماذا يسمى شكل السقف هذا؟

في الهندسة، الشكل يتكون من زوايا

والزوايا التي تتكون منها هذه الزاوية تسمى زوايا مستوية. تسمى جوانب الزوايا المستوية بحواف الزاوية متعددة السطوح. النقطة O تسمى رأس الزاوية

يمكن العثور على أمثلة للزوايا متعددة السطوح في رباعي السطوح ومتوازي السطوح.

وجوه رباعي السطوح DBA، ABC، DBC تشكل زاوية متعددة السطوح BADC. في كثير من الأحيان يطلق عليه زاوية ثلاثية السطوح.

في متوازي السطوح، تشكل الوجوه AA1D1D، ABCD، AA1B1B زاوية ثلاثية السطوح AA1DB.

حسنًا، سقف المنزل مصنوع على شكل زاوية سداسية. ويتكون من ست زوايا مسطحة.

هناك عدد من الخصائص صحيحة بالنسبة لزاوية متعددة السطوح. دعونا صياغة لهم وإثباتهم. وجاء هنا أن البيان

أولاً، لأي زاوية متعددة السطوح محدبة يوجد مستوى يتقاطع مع جميع حوافها.

للإثبات، خذ بعين الاعتبار الزاوية متعددة السطوح OA1A2 A3…An.

بشرط أنها محدبة. تسمى الزاوية محدبة إذا كانت تقع على أحد جانبي مستوى كل زاوية من زواياها المستوية.

بما أن هذه الزاوية محدبة، فإن النقاط O، A1، A2، A3، تقع على أحد جانبي المستوى OA1A2

دعونا ننفذ خط الوسطكم للمثلث OA1A2 وحدد من الحواف OA3، OA4، OAn الحافة التي تشكل أصغر زاوية ثنائية السطوح مع مستوى OKM. دع هذه تكون حافة OAi.(مجموعها)

دعونا نفكر في نصف المستوى α مع الحد CM، وتقسيم زاوية ثنائي السطوح OKMAi إلى زاويتين ثنائي السطوح. جميع القمم من A إلى An تقع على أحد جانبي المستوى α، والنقطة O على الجانب الآخر. وبالتالي، فإن المستوى α يتقاطع مع جميع حواف الزاوية متعددة السطوح. وقد ثبت البيان.

الزوايا المحدبة متعددة السطوح لها خاصية أخرى مهمة.

مجموع الزوايا المستوية لزاوية متعددة السطوح المحدبة أقل من 360 درجة.

خذ بعين الاعتبار زاوية متعددة السطوح محدبة رأسها عند النقطة O. وبموجب البيان المثبت، هناك مستوى يتقاطع مع جميع حوافه.

دعونا نرسم مثل هذا المستوى α، وندعه يتقاطع مع حواف الزاوية عند النقاط A1 وA2 وA3 وهكذا.

المستوى α من المنطقة الخارجية لزاوية المستوى سوف يقطع المثلث. مجموع الزوايا هو 180 درجة. نحصل على أن مجموع جميع الزوايا المستوية من A1OA2 إلى AnOA1 يساوي التعبير، ونحول هذا التعبير، ونعيد ترتيب الحدود، ونحصل على

في هذا التعبيروالمجاميع الموضحة بين القوسين هي مجموع زوايا المستوى لزاوية ثلاثية السطوح، وكما هو معروف فهي أكبر من زاوية المستوى الثالث.

يمكن كتابة هذه المتباينة لجميع الزوايا ثلاثية السطوح التي تشكل زاوية متعددة السطوح معينة.

وبالتالي نحصل على استمرار المساواة التالي

تثبت الإجابة أن مجموع الزوايا المستوية لزاوية متعددة السطوح المحدبة أقل من 360 درجة.

20. دراسة متعددة المستويات للزوايا متعددة السطوح، وخصائص الزوايا المستوية لزاوية ثلاثية السطوح وزاوية متعددة السطوح.

المستوى الأساسي:

أتاناسيان

يأخذ في الاعتبار فقط زاوية ثنائي السطوح.

بوجوريلوف

أولاً، يأخذ في الاعتبار الزاوية ثنائية السطوح ثم على الفور الزوايا ثلاثية السطوح ومتعددة السطوح.

لنتأمل ثلاثة أشعة أ، ب، ج، تنبعث من نفس النقطة وتقع في نفس المستوى. الزاوية ثلاثية السطوح (abc) هي شكل مكون من ثلاث زوايا مسطحة (ab)، (bc)، و(ac) (الشكل 400). وتسمى هذه الزوايا بأوجه زاوية ثلاثية السطوح، وتسمى أضلاعها بالحواف. يسمى الرأس المشترك للزوايا المستوية رأس الزاوية ثلاثية السطوح. تسمى الزوايا ثنائية السطوح التي تتكون من وجوه زاوية ثلاثية السطوح زوايا ثنائية السطوح لزاوية ثلاثية السطوح.

يتم تقديم مفهوم الزاوية متعددة السطوح بالمثل (الشكل 401).

الشكل 400 والشكل 401

ص مستوى الملف الشخصي(أ.د. ألكساندروف، أ.ل. فيرنر، في.آي. ريجيك):

ترك تعريف ودراسة الزوايا متعددة السطوح التعسفية حتى الفقرة 31، وسننظر الآن في أبسطها - زوايا ثلاثية السطوح. إذا كان من الممكن اعتبار الزوايا ثنائية السطوح في القياس المجسم نظائرًا للزوايا المستوية، فيمكن اعتبار الزوايا ثلاثية السطوح نظائرًا للمثلثات المستوية، وفي الفقرات التالية سنرى كيف ترتبط بشكل طبيعي بالمثلثات الكروية.

يمكنك بناء (وبالتالي تحديدها بشكل بناء) زاوية ثلاثية السطوح مثل هذه. خذ أي ثلاثة أشعة أ، ب، ج، لها بداية عامة O وعدم الاستلقاء في نفس المستوى (الشكل 150). هذه الأشعة هي جوانب ثلاث زوايا مستوية محدبة: الزاوية α مع الجوانب b، c، الزاوية β مع الجوانب a، c، والزاوية γ مع الجوانب a، b. ويسمى اتحاد هذه الزوايا الثلاث α، β، γ بالزاوية ثلاثية السطوح Oabc (أو باختصار، الزاوية ثلاثية السطوح O). تسمى الأشعة a، b، c حواف الزاوية ثلاثية السطوح Oabc، والزوايا المستوية α، β، γ هي أوجهها. تسمى النقطة O رأس الزاوية ثلاثية السطوح.

3 ملاحظة سيكون من الممكن تحديد زاوية ثلاثية السطوح بوجه غير محدب (الشكل 151)، لكننا لن نأخذ في الاعتبار مثل هذه الزوايا ثلاثية السطوح.

يتم تحديد لكل حافة من زاوية ثلاثية السطوح زاوية ثنائية السطوح مقابلة، تحتوي حافتها على الحافة المقابلة للزاوية ثلاثية السطوح، وتحتوي أوجهها على وجوه الزاوية ثلاثية السطوح المجاورة لهذه الحافة.

سيتم الإشارة إلى قيم الزوايا ثنائية السطوح للزاوية ثلاثية السطوح Oabc عند الحواف a، b، c على التوالي بواسطة a^، b^، c^ (أحرف كبيرة أعلى الحروف مباشرة).

ثلاثة وجوه α، β، γ للزاوية ثلاثية السطوح Oabc وزواياها ثنائية السطوح الثلاثة عند الضلوع أ، ب, с, وكذلك الكميات α, β, γ و а^, b^, с^ سوف نسمي عناصر زاوية ثلاثية السطوح. (تذكر أن عناصر المثلث المستوي هي أضلاعه وزواياه).

مهمتنا هي التعبير عن بعض عناصر الزاوية ثلاثية السطوح من خلال عناصرها الأخرى، أي بناء "علم المثلثات" للزوايا ثلاثية السطوح.

1) لنبدأ باشتقاق نظير لنظرية جيب التمام. أولاً، فكر في زاوية ثلاثية السطوح Oabc، والتي لها وجهان على الأقل، على سبيل المثال α و β، زوايا حادة. لنأخذ النقطة C على حافتها c ونرسم منها في الوجوه α و β عموديين CB و CA على الحافة c حتى يتقاطعوا مع الحافتين a و b عند النقطتين A و B (الشكل 152). دعونا نعبر عن المسافة AB من المثلثين OAB وCAB باستخدام نظرية جيب التمام.

AB 2 =AC 2 +BC 2 -2AC*BC*Cos(c^) و AB 2 =OA 2 +OB 2 -2AO*BO*Cosγ.

وبطرح المساواة الأولى من المساواة الثانية نحصل على:

OA 2 -AC 2 +OB 2 -BC 2 +2AC*BC*Cos(c^)-2AO*VO*Cosγ=0 (1). لأن المثلثان OSV وOCA قائما الزاوية، ثم AC 2 -AC 2 =OS 2 وOB 2 -VS 2 =OS 2 (2)

لذلك، من (1) و (2) يترتب على ذلك أن OA*OB*Cosγ=OC 2 +AC*BC*Cos(c^)

أولئك.

لكن
,
,
,
. لهذا السبب

(3) – تماثل نظرية جيب التمام للزوايا ثلاثية السطوح – صيغة جيب التمام.

كلا الوجهين α و β زاويتان منفرجتان.

إحدى الزاويتين α و β، على سبيل المثال α، حادة، والأخرى، β، منفرجة.

تكون إحدى الزوايا α أو β على الأقل مستقيمة.

علامات تساوي الزوايا ثلاثية السطوحتشبه علامات تساوي المثلثات. ولكن هناك فرق: على سبيل المثال، زاويتان ثلاثيتان متساويتان إذا كانت زاويتهما ثنائية السطوح متساوية على التوالي. تذكر أن المثلثين المستويين اللذين تكون زواياهما المتناظرة متساوية متشابهان. وبالنسبة للزوايا ثلاثية السطوح، فإن حالة مماثلة لا تؤدي إلى التشابه، بل إلى المساواة.

زوايا ثلاثية السطوح لها ملحوظا ملكيةوهو ما يسمى الازدواجية. إذا كان في أي نظرية حول الزاوية الثلاثية السطوح Oabc فإننا نستبدلها القيم أ، ب، من إلى π-α، π-β، π-γ، وعلى العكس من ذلك، استبدل α، β، γ بـ π-a^، π-b^، π-c^، ثم نحصل مرة أخرى على بيان صحيح حول زوايا ثلاثية السطوح، المزدوج للنظرية الأصلية. صحيح، إذا تم إجراء مثل هذا الاستبدال في نظرية الجيب، فإننا نأتي مرة أخرى إلى نظرية الجيب (هو مزدوج لنفسه). لكن إذا فعلنا ذلك في نظرية جيب التمام (3)، فسنحصل على صيغة جديدة

cosc^= -cosa^ cosb^+sina^ sin b^ cosγ.

سوف يصبح سبب حدوث هذه الازدواجية واضحًا إذا قمنا ببناء زاوية ثلاثية السطوح لزاوية ثلاثية السطوح تكون حوافها متعامدة مع أوجه الزاوية الأصلية (انظر القسم 33.3 والشكل 356).

بعض من أبسط الأسطح هي زوايا متعددة السطوح. وهي مكونة من زوايا عادية (سنسمي هذه الزوايا في كثير من الأحيان زوايا مسطحة)، تمامًا كما يتكون الخط المكسور المغلق من أجزاء. وهي يتم إعطاء التعريف التالي:

تسمى الزاوية متعددة السطوحشكل يتكون من زوايا مستوية بحيث تتحقق الشروط التالية:

1) لا توجد زاويتان لهما نقاط مشتركة باستثناء الرأس المشترك أو الضلع الكامل.

2) في كل زاوية من هذه الزوايا يكون كل ضلع من أضلاعها مشتركاً مع زاوية واحدة فقط من هذه الزوايا.

3) من كل زاوية يمكنك الذهاب إلى كل زاوية على طول الزوايا التي لها جوانب مشتركة.

4) لا توجد زاويتان لهما جانب مشترك في نفس المستوى (الشكل 324).

وفي هذه الحالة تسمى الزوايا المستوية التي تشكل زاوية متعددة السطوح أوجهها، وتسمى أضلاعها حوافها.

تحت هذا التعريفالزاوية ثنائية السطوح مناسبة أيضًا. وهي تتألف من زاويتين مسطحتين مفتوحتين. ويمكن اعتبار رأسه أي نقطة على حافته، وهذه النقطة تقسم الحافة إلى حافتين تلتقيان عند الرأس. ولكن بسبب عدم اليقين هذا في موضع الرأس، يتم استبعاد زاوية ثنائي السطوح من عدد الزوايا متعددة السطوح.

ص

إن مفهوم زاوية متعدد السطوح مهم، على وجه الخصوص، في دراسة متعددات السطوح - في نظرية متعددات السطوح. يتميز هيكل متعدد السطوح بنوع الوجوه التي يتكون منها وكيفية تقاربها عند القمم، أي ما هي زوايا متعدد السطوح الموجودة.

خذ بعين الاعتبار الزوايا متعددة السطوح لمتعددات السطوح المختلفة.

لاحظ أن وجوه الزوايا متعددة السطوح يمكن أن تكون أيضًا زوايا غير محدبة.